Aula 12 - Concervação de energia Mecânica

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Conservação de energia mecânica
APRESENTAÇÃO
É possível solucionar vários problemas mecânicos a partir do conhecimento dos princípios de 
conservação de energia. Ao analisar um determinado sistema, avalia-se sobretudo a forma em 
que a sua energia se comporta à medida em que evolui. A energia mecânica reúne todas as 
possíveis energias que atuam em um sistema, nesta Unidade de Aprendizagem estudaremos a 
conservação da energia mecânica.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir o que é energia cinética e potencial em um sistema conservativo.•
Calcular as variações da energia em um sistema mecânico.•
Resolver problemas mecânicos a partir da conservação de energia mecânica.•
DESAFIO
Uma pedra com massa de 15 kg se desloca com velocidade constante de 10m/s. Ao encontrar 
uma mola constante elástica 1000 N/m, começa a perder velocidade até atingir o repouso 
absoluto.
Diante deste contexto, você pode encontrar o valor da compressão sofrida pela mola neste 
momento?
INFOGRÁFICO
Em um sistema isolado nenhuma energia é transferida para fora ou para dentro desse mesmo 
sistema. Veja um exemplo no infográfico:
CONTEÚDO DO LIVRO
Para compreender melhor a conservação de energia mecânica e suas aplicações, acompanhe o 
capítulo Conservação de Energia Mecânica do livro Dinâmica.
Boa leitura.
DINÂMICA 
Ricardo Lauxen
Conservação da 
energia mecânica
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Definir o que é energia cinética e potencial em um sistema conservativo.
 Calcular as variações da energia em um sistema mecânico.
 Resolver problemas mecânicos a partir da conservação de energia
mecânica.
Introdução
No cotidiano, energia é um conceito associado ao consumo de alimentos, 
à eletricidade, etc. Entretanto, se você realizar uma análise cuidadosa, 
descobrirá que esse conceito diz respeito à matéria-prima necessária 
para executar alguma tarefa e não define o que é energia.
A energia está presente em nosso cotidiano de diversas formas, como 
energia mecânica, química, térmica, eletromagnética, nuclear, etc. Um 
bom exemplo é a bateria de um carro, cuja energia química deve ser 
convertida em energia elétrica para abastecer os sistemas eletrônicos do 
veículo. De fato, todos os processos que ocorrem no universo envolvem 
energia e a sua transferência ou transformação. Por isso, é fundamental 
compreender o conceito de energia, que em física é entendido como a 
capacidade de o sistema de realizar trabalho. Nesse ponto é importante 
ressaltar que estamos considerando apenas trabalho realizado por forças 
conservativas, ou seja, que o trabalho realizado pela força é independe 
da trajetória descrita pelo corpo.
Neste capítulo, você verá o que é energia mecânica, que é determi-
nada pela soma das energias cinética e potencial de um sistema, bem 
como a sua conservação.
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Energias cinética e potencial
O conceito de conservação da energia pode ser aplicado a sistemas dinâmicos 
sem recorrermos às leis de Newton. Porém, para que seja possível aplicar essas 
técnicas de resolução de problemas, primeiramente é necessário compreender 
o conceito e a calcular a energia mecânica do sistema, que depende das suas
energias cinética e potencial.
Energias cinética e potencial
A energia cinética é a energia associada ao movimento de uma partícula e é 
matematicamente determinada por:
onde m é a massa e v a velocidade da partícula. Essa expressão ainda pode ser 
colocada em termos do momento linear p = mv da partícula: 
As unidades de energia cinética são:
Note que a unidade de energia cinética é o Joule, a mesma unidade da 
variável trabalho. Não se trata de uma coincidência, uma vez que podemos 
utilizar a variação da energia cinética para determinar o trabalho realizado 
por uma força. Isso é conhecido como princípio de trabalho e energia:
Lembrando que o trabalho de uma força correspondente ao deslocamento 
 é dado por:
O princípio de energia e trabalho, representado na equação (4), ilustra a 
relação entre os dois conceitos que foram utilizados para definir o que era 
energia no início do capítulo.
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A energia potencial U, por sua vez, está associada à configuração do sistema 
e apresenta-se em diversas formas, como a energia potencial gravitacional e 
a potencial elástica.
Para que você possa compreender o conceito de energia potencial gravi-
tacional, imagine que uma bola seja abandonada de uma determinada altura y 
em relação ao solo. Ao ser abandonada, por influência da força da gravidade, 
ela ganha velocidade (consequentemente energia cinética) e cai em direção 
ao solo. Isso significa que, ao ser levantada a uma determinada distância 
do solo, o sistema bola–terra acumulou energia capaz de ser convertida em 
energia cinética quando esta é abandonada. A essa energia dá-se o nome de 
energia potencial gravitacional, estando matematicamente relacionada com 
a magnitude da força que a Terra exerce no objeto e a altura em que este se 
encontra do solo da seguinte maneira:
em que m é a massa do objeto, g = 9,81 m/s2 é a magnitude da aceleração da 
gravidade e y é a posição vertical do objeto em relação ao solo.
Figura 1. A figura mostra uma bola 
sendo abandonada de altura y em 
relação ao solo e movimentando-se 
por influência da força da gravidade.
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Outra forma de energia potencial é a energia potencial elástica Ue, que 
pode ser acumulada em um sistema bloco–mola. Analogamente ao sistema 
bola–terra, que acumula energia quando a bola é levantada a uma certa 
altura em relação ao solo, o sistema bloco–mola acumula energia ao ser 
comprimida, ou esticada, a partir da posição de relaxamento da mola, isto 
é, a sua posição natural, sem deformações. Após a compressão da mola, ao 
ser abandonada, a mola retornará à sua posição natural e a energia potencial 
acumulada na mola se transformará em energia cinética, de modo que o 
bloco vai adquirir uma velocidade na direção e no sentido do movimento da 
mola, como mostrado na Figura 2. O cálculo da energia potencial elástica 
está relacionado à constante elástica da mola k e à sua deformação x da 
seguinte maneira:
Em ambas as situações (a queda da bola e a compressão da mola), devido 
à ação de uma força (gravitacional e elástica, respectivamente) ocorreu o 
deslocamento do objeto, de modo que trabalho foi realizado. Desse modo, 
assim como no caso da energia cinética, pode-se determinar o trabalho 
utilizando o princípio de trabalho e energia, calculando a variação da 
energia potencial:
Em que W pode ser determinado por (5). A unidade de medida de energia 
potencial também é o Joule.
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Figura 2. A figura mostra três situações: (a) a mola sem defor-
mação, (b) a mola sendo comprimida e (c) a mola retornando 
à sua posição de natural, e o bloco adquirindo velocidade.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
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Conservação da energia mecânica
O que é a conservação da energia mecânica, afinal, e como pode ser útil na resolução 
de problemas? Você pode compreendê-la da seguinte maneira: existe uma quantidade, 
chamada de energia mecânica, cujo valor não muda independentemente do que 
esteja ocorrendo no sistema. Ou seja, você pode calcular a energia mecânica no início 
e no final do processo, e o valor numérico que você obterá será o mesmo. Esse fato 
pode ser utilizado para a solução de problemas que, na prática, seriam complicados 
de resolver utilizando as leis de Newton.
Na seção anterior, você viu que, a partir do princípio de trabalho e energia, 
podemos determinar o trabalho realizado calculando a variação da energiacinética ou da energia potencial. Como, em ambos os casos, o resultado é o 
trabalho, pode-se igualar as equações (4) e (8), de modo a obter:
A quantidade K + U que aparece dos dois lados da igualdade é a energia 
mecânica E do sistema:
Como é possível ter mais de um tipo de energia potencial ou mais de um 
objeto envolvido, na equação (10), K e U devem ser entendidos como a soma 
de todas as energias cinéticas e potenciais do sistema — situação ilustrada 
segundo exemplo deste capítulo. Desse modo, utilizando (10), a equação (9) 
pode ser reescrita como:
ou, então:
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As equações (11) e (12) expressam a conservação da energia mecânica do 
sistema. Elas estabelecem que, de alguma forma, a energia mecânica medida 
no momento inicial tem exatamente o mesmo valor se medida em qualquer 
outro momento (que foi definido como final), independentemente das mudanças 
que o sistema tenha sofrido ao longo do processo. Para que isso seja possível, 
as perdas em energia potencial devem ser compensadas com o aumento da 
energia cinética, do mesmo modo como as perdas de energia cinética devem 
ser compensadas com o aumento da energia potencial. 
A Figura 3 ilustra com detalhes essa situação utilizando um skatista em 
uma rampa. Note que, embora ocorram mudanças nas energias cinética e 
potencial gravitacional nas diferentes situações ilustradas, a energia mecânica 
sempre se mantém constante.
Figura 3. A Figura (a) ilustra o início do movimento. Nesse instante, o skatista não está em 
movimento, mas a uma determinada altura em relação ao solo. Nessa situação, a energia 
cinética é zero, de modo que a energia mecânica do sistema é determinada somente 
pela energia potencial gravitacional. Na figura (b), o skatista já está em movimento, mas a 
uma altura menor em relação ao solo. Desse modo, a sua energia potencial gravitacional 
diminuiu e, na mesma proporção, aumentou a sua energia cinética, mantendo constante 
a energia mecânica. Na figura (c), o skatista está passando pelo ponto mais baixo da sua 
trajetória, onde ele tem energia potencial gravitacional zero e a sua energia cinética é 
máxima. Nesse caso, a energia mecânica é determinada pela energia cinética do sistema.
Fonte: PhET (c2018b). 
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Se, na Figura 3, estivesse sendo considerado o atrito do 
skate com a rampa de skate, o que aconteceria? Nesse 
caso, conforme o skatista subisse e descesse a rampa, 
parte da energia seria convertida em energia térmica. 
De qualquer forma, a energia total se conservaria. Você 
pode compreender melhor essa situação acessando o link 
abaixo (PHET, c2018a) ou código QR ao lado:
https://goo.gl/DBAJYv 
Exemplo 1
Um colar de 2 kg está ligado a uma mola de constante elástica de 400 N/m 
e pode deslizar sem atrito sobre uma haste horizontal, como mostrado na 
Figura 4. Se o colar é movido 90 mm para a esquerda a partir da sua posição 
de equilíbrio e libertado, determine a sua velocidade máxima durante o mo-
vimento resultante.
Figura 4. Sistema colar–mola.
Fonte: Sartori (2018).
Para resolver esse problema, vamos utilizar a conservação da energia 
mecânica. No instante inicial, o colar está parado e a mola de K = 400 N/m 
está comprimida em 90 mm = 90 × 10−3 m. Assim, a energia mecânica no 
momento inicial é:
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No momento final, o colar adquire a sua velocidade e a mola está na sua 
posição de relaxamento, sem deformação. Portanto:
Pela conservação da energia (11), temos:
Exemplo 2
Um colar de 2,5 kg está ligado a uma mola de constante elástica 4,0 N/m e 
ajusta-se a uma haste vertical como mostrado na Figura 5. Se, no ponto A, a 
mola não está deformada, determine a velocidade do colar para y = 1,0 m se 
o colar é solto com velocidade inicial de 1,5 m/s.
Figura 5. Sistema haste–mola.
Fonte: Hibbeler (2005).
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Assim como no exercício anterior, você deve utilizar a conservação da 
energia para resolver este problema. Entretanto este problema possui tem 
alguns detalhes a mais na sua resolução. Primeiramente, neste sistema, temos 
dois tipos de energia potencial, a gravitacional e a elástica. Deste modo, a 
energia potencial do sistema será:
U = Ug + Ue
O ponto A é o ponto de referência, no qual não há deformação da mola 
onde será considerado como altura 0. Assim, no início do movimento, temos 
Uei = 0 e Ugi = 0. A velocidade inicial do colar é 1,5 m/s, resultando que a sua 
energia cinética inicial é:
Portanto, a energia mecânica inicial é:
No ponto C, o momento final, a mola vai estar esticada. Para determinar a 
deformação x da mola, você precisa encontrar o comprimento da mola quando 
esticada e descontar esse valor do comprimento da mola quando relaxada.
O comprimento da mola esticada é dado pela hipotenusa do triângulo 
retângulo mostrado na Figura 5 e vale 1,25 m. Assim, a deformação da mola é:
Agora é possível calcular as energias potenciais no ponto C. A energia 
potencial gravitacional é:
em que o sinal negativo aparece porque estamos abaixo do ponto que foi 
tomado como altura zero. Para energia potencial elástica, temos:
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Assim, a energia mecânica no ponto final é:
Pela conservação da energia mecânica (11), obtém-se:
Em que, no final, arredondamos para uma casa depois da vírgula o resultado 
devido à precisão das medidas apresentadas no problema.
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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2005.
PHET. Energia na pista de skate. Boulder: University of Colorado, c2018a. Disponível 
em: <https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/energy-skate-park-basics>. Acesso 
em: 05 mar. 2018.
PHET. Energia na pista de skate: intro, atrito, parque. Boulder: University of Colorado, 
c2018b. Disponível em: <https://phet.colorado.edu/sims/html/energy-skate-park-
-basics/latest/energy-skate-park-basics_pt_BR.html>. Acesso em: 05 mar. 2018.
SARTORI, C. S. MA: mecânica aplicada. [S.l.]: Centro de Estudos Espaço, 2018. Disponível 
em: <http://www.claudio.sartori.nom.br/mecanicaaplicada_lista2bim.pdf>. Acesso 
em: 05 mar. 2018.
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Leituras recomendadas
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânica vetorial para engenheiros: 
dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012.
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 
2002. v. 1.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
DICA DO PROFESSOR
A energia mecânica é determinada pela soma das energias cinética e potencial, sendo que a 
potencial pode ser energia potencial gravitacional e potencial elástica.
Acompanhe a resolução de exercício nesta dica do professor e compreenda como a energia 
potencial gravitacional e a energia cinética influenciam no sistema conservativo. 
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EXERCÍCIOS
1) Seria difícil imaginar o progresso da ciência e da indústria sem o conceito de energia. 
Em vista disto, podemos dizer que o princípio da Conservação da Energia Mecânica 
diz que: 
A) A energia cinética de um corpo está relacionada com a força da gravidade.
B) Nada se perde, nada se cria, tudo se transforma.
C) Que a energia pode ser gastada e perdida.
D) A energia total de um sistema isolado é constante.
E) Que a energia jamais podeser transferida de um corpo o outro.
2) Uma montanha-russa é um típico sistema mecânico que utiliza a conservação da 
energia. Nota-se neste sistema constante mudança de velocidade e de altura ao longo 
do percurso. Sobre o funcionamento da montanha russa, podemos dizer que: 
A altura não tem muita importância, pois o que conta é a força atuante dada pela massa A) 
vezes a aceleração.
B) No momento em que o carrinho está subindo lentamente para ganhar altura, está 
acumulando energia potencial.
C) Quando o carrinho chega ao vale da montanha-russa em alta velocidade, está com sua 
energia cinética mínima.
D) Neste sistema mecânico, a energia cinética sempre será maior que a energia potencial.
E) Neste sistema mecânico, a energia potencial sempre será maior que a energia cinética.
3) Uma pessoa abandona um objeto com massa m de uma altura de 35,5 metros. 
Encontre sua velocidade ao tocar o solo. Considere a aceleração da gravidade 
valendo 10 m/s2: 
A) V= 26,6 m/s.
B) V= 36,6 m/s.
C) V= 16,7 m/s.
D) V= 9,81 m/s.
E) V= 43,1 m/s.
4) Um carro encontra-se parado no alto de uma montanha. Analisando essa situação a 
partir dos conceitos de energia cinética e potencial, é correto afirmar que: 
A energia cinética neste carro existe e pode ser medida, já que podemos encontrar a massa A) 
e a força resultante neste carro.
B) A energia potencial não pode ser medida, pois não possuímos neste caso o componente 
velocidade.
C) A energia potencial depende da altura desta montanha em relação ao solo e não irá perder 
esta energia caso o carro desça a montanha.
D) A energia potencial e a energia potencial gravitacional não têm qualquer relação neste 
caso.
E) Caso este carro queira descer esta montanha, no caminho irá converter energia potencial 
em energia cinética.
5) Se um carrinho de montanha-russa estiver parado e medirmos sua altura em relação 
ao solo e ela valer 20 metros, calcule a velocidade do carrinho ao passar pelo ponto 
mais baixo da montanha-russa. Despreze as resistências e adote a massa do carrinho 
igual a 300 kg e a aceleração da gravidade como 10m/s2. 
A) V = 10 m/s.
B) V = 20 m/s.
C) V = 30 m/s.
D) V = 40 m/s.
E) V = 50 m/s.
NA PRÁTICA
Conservação da Energia e o Universo.
Lavoisier descobriu que a massa dos reagentes era igual à massa dos produtos de reação, em 
reações químicas que se dão em sistema fechado. Já Huygens, ao estudar colisões entre esferas, 
constatou que o produto da massa pelo quadrado do valor da velocidade, se conservava em 
algumas colisões. Essa característica definiu um tipo de colisão: colisões elásticas. Julius Robert 
Mayer observou: "Quando uma quantidade de energia de qualquer natureza desaparece numa 
transformação, então produz-se uma quantidade igual em grandeza de uma energia de outra 
natureza". Max Planck, o pai da mecânica quântica, enunciou: "A energia total (mecânica e não 
mecânica) de um sistema isolado, um sistema que não troca matéria e/ou energia com o exterior, 
mantém-se constante." Todo esse interesse em descrever o conceito de energia está em sua 
importância no dia a dia. Um mundo movido a combustível, a economia de energia é essencial, 
por isso a importância do estudo de sistemas conservativos de energia. Devemos olhar o 
Universo como um sistema e isolado porque para além dele não há nada sem levarmos em 
consideração as atuais teorias do Multiverso e estamos considerando a impossibilidade de trocas 
de matéria e energia com outros possíveis Universos. Somente assim podemos chancelar esta 
como a lei fundamental do Cosmos.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Conservação de Energia - Exemplo
Veja um exemplo para o cálculo da conservação da energia mecânica.
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Conservação da Energia Mecânica - Física Geral
Saiba mais neste vídeo que analisa os componentes da energia mecânica de forma aplicada.
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Física I - Aula 25 - Energia Mecânica
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