Tratamento de Dados

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TRATAMENTO DE 
DADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simone Echeveste 
 
2 
SUMÁRIO 
 
 
Introdução ................................................................................................. 003 
1. Conceitos Básicos de Estatística .......................................................... 004 
1.1.Tabelas de frequência ........................................................................ 008 
2. Medidas Estatísticas ............................................................................. 016 
2.1. Medidas de Tendência Central ................................................. 017 
2.1.1. Média ..................................................................................... 017 
2.1.2. Mediana ................................................................................. 020 
2.1.3. Moda ...................................................................................... 023 
2.2. Medidas de Variabilidade ......................................................... 024 
2.2.1. Variância ................................................................................ 026 
2.2.2. Desvio-padrão ....................................................................... 028 
2.2.3. Coeficiente de Variação ........................................................ 032 
3. Gráficos de Controle ............................................................................. 043 
4. Probabilidade ........................................................................................ 060 
5. Distribuições de probabilidade .............................................................. 075 
5.1. Distribuição Binomial ................................................................ 076 
5.2. Distribuição Poisson ................................................................. 079 
5.3. Distribuição Normal .................................................................. 082 
6. Intervalos de Confiança ........................................................................ 102 
6.1. Intervalo de Confiança para média ........................................... 103 
6.2. Intervalo de Confiança para proporção .................................... 110 
7. Testes de hipóteses .............................................................................. 115 
7.1. Teste t-student para uma média ............................................... 121 
7.2. Teste t-student para comparação de duas médias .................. 131 
7.3. Teste para proporção ............................................................... 140 
8. Análise de Variância ............................................................................. 146 
8.1. Teste de comparações múltiplas de Tukey .............................. 155 
9. Análise de Correlação .......................................................................... 160 
10. Análise de regressão linear simples ................................................... 176 
 
 
3 
INTRODUÇÃO 
 
O grande avanço tecnológico das últimas décadas gerou a necessidade 
de formação de profissionais capazes de acompanhar este desenvolvimento 
com habilidades para gerar e analisar dados, produzindo informação útil a ser 
utilizada na resolução de problema. Neste contexto as ferramentas estatísticas 
são imprescindíveis e o conhecimento das mesmas torna-se necessário para 
qualquer profissional. 
 
. A Estatística hoje se configura como uma das ciências que mais vem 
crescendo em termos de utilização e importância na Engenharia: estudos de 
qualidade, confiabilidade, desenvolvimentos de novos produtos, avaliação de 
metodologias de produção, novos materiais, etc. são alguns exemplos da ampla 
utilização das ferramentas estatísticas para resolução de problemas e tomada 
de decisões nesta área. 
 
A disciplina de Tratamento de Dados tem por objetivos: propiciar ao aluno 
o estudo da estatística com vistas a análise de dados experimentais, cálculo e 
interpretação das medidas descritivas, uso de probabilidades e raciocínio lógico 
na resolução de problemas, utilização de testes estatísticos como ferramenta de 
análise de comparação e relação de dados no contexto das organizações 
industriais. 
 
Os conteúdos serão apresentados em 10 capítulos contendo a explicação 
teórica dos mesmos, bem como a apresentação de exemplos e aplicações em 
problemas na área da Engenharia. Em cada capítulo será destacado o objetivo 
de cada ferramenta estatística bem como a interpretação dos resultados obtidos. 
 
 
 
 
 
1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 
4 
 Simone Echeveste 
 
Neste capítulo será apresentado o contexto da pesquisa em que a 
estatística está inserida, bem como serão destacados os principais conceitos 
básicos de estatística. O objetivo aqui é que o aluno compreenda o vocabulário 
pertinente à análise estatística e que seja capaz de identificar as variáveis de um 
estudo, organizando-as em tabelas de frequencia. 
 
Ao final deste capítulo espera-se que o aluno, dada uma situação 
problema, identifique corretamente a amostra de estudo e as variáveis 
envolvidas, bem como construa tabelas de frequência como forma de resumo e 
apresentação de dados. 
 
 
 
CONCEITOS DE ESTATÍSTICA E O SEU PAPEL NA CIÊNCIA 
 
A necessidade de analisar um conjunto de dados estatisticamente está 
sempre inserida no contexto de uma pesquisa, ou seja, temos inicialmente uma 
situação problema a ser resolvida, ou ainda uma hipótese a ser testada e para 
isso uma pesquisa deve ser realizada. 
 
Com isso, em uma pesquisa destaca-se a importância da utilização da 
estatística de acordo com os seguintes fatores: 
 
a) Em uma pesquisa, muitas vezes são realizados estudos experimentais ou 
observacionais que culminam em uma coleção de dados numéricos que 
devem ser organizados e resumidos. 
 
b) O padrão de variação nos dados faz com que a resposta não seja óbvia, 
ou seja, somente tratando os dados adequadamente é que poderemos 
verificar o comportamento das variáveis de estudo. 
5 
c) Uma análise estatística é composta por métodos para coleta e descrição 
dos dados, viabilizando a verificação da força da evidência nos dados pró 
ou contra as hipóteses de pesquisa. A presença de uma variação não 
previsível nos dados faz disso, muitas vezes, uma tarefa pouco trivial. 
 
Figura 1. O papel da Estatística na pesquisa 
 
 
 
Em toda a pesquisa realizada almeja-se a resposta a um problema ou 
ainda uma situação- problema que está vinculada a uma tomada de decisão a 
ser realizada. Podemos considerar que nossa decisão pode ser tomada através 
de dois tipos de soluções: a primeira que pode ser considerada uma solução 
empírica que se fundamenta na observação e na experiência, livre de um método 
científico – é uma forma de solução muitas vezes subjetiva que pode levar a 
tomada de decisão errada. 
 
O outro tipo de solução seria através do método científico, à luz de dados 
provenientes de uma pesquisa que segue uma metodologia pré-determinada 
para garantir a imparcialidade das informações obtidas. Neste caso as 
ferramentas estatísticas são indispensáveis para a viabilização de uma tomada 
de decisão com menores riscos e incertezas. 
Problema
Tomada de Decisão
Solução através de Experiências 
passadas, "palpites"
Solução através da ciência -
Estatística 
6 
Rao (1999) define estatística como: 
 
"A estatística é uma ciência que estuda e pesquisa sobre: o levantamento 
de dados com a máxima quantidade de informação possível para um dado 
custo; o processamento de dados para a quantificação da quantidade de 
incerteza existente na resposta para um determinado problema; a tomada 
de decisões sob condições de incerteza, sob o menor risco possível. 
Finalmente, a estatística tem sido utilizada na pesquisa científica, para a 
otimização de recursos econômicos, para o aumento da qualidade e 
produtividade,na otimização em análise de decisões” 
 
Dentre os conceitos importantes frequentemente utilizados na Estatística 
estão as definições de População e Amostra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Estatística pode ser dividida em duas áreas: Descritiva e Inferencial. 
A área descritiva é mais simples, contemplando ferramentas de organização de 
dados e síntese de informação. A área Inferencial, por sua vez, permite ao 
pesquisador projetar resultados amostrais para populações, bem como testar 
hipóteses concernentes a parâmetros populacionais. Inferência estatística é o 
processo pelo qual estatísticos tiram conclusões acerca da população usando 
informação de uma amostra. A Estatística Inferencial está baseada em dois 
pilares fundamentais: a Amostragem e a Probabilidade. 
 
 
 
 
 
Uma população (N) é conjunto de elementos de interesse em um determinado estudo, 
que podem ser pessoas ou resultados experimentais, com uma ou mais características 
comuns, que se pretendem estudar. 
 
Uma amostra (n) é um subconjunto da população usado para obter informação acerca 
do todo. Obtemos uma amostra para fazer inferências de uma população. Nossas 
inferências são válidas somente se a amostra é representativa da população. 
 
7 
Outro conceito importante é o conceito da Variável, que vem a ser a 
matéria prima de qualquer pesquisa, ou seja, quando se termina uma coleta de 
dados em um primeiro momento dispomos de um conjunto de valores ou ainda 
respostas pertinentes as nossas variáveis de pesquisa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As variáveis podem ser classificadas em: 
 
a) Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidas 
em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores 
numéricos/quantidades. Podem ser contínuas ou discretas. 
 
 Discretas: características mensuráveis que podem assumir 
apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, 
somente fazem sentido valores inteiros. Exemplos: número de 
falhas, número de itens perfeitos números de carros vendidos, etc. 
 
 Contínuas: características mensuráveis que assumem valores em 
uma escala para as quais valores fracionais fazem sentido. 
Exemplos: comprimento da peça , temperatura, tempo de vida de 
um componente eletrônico, etc. 
 
b) Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as características que não 
possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias 
categorias, ou seja, representam uma classificação dos elementos. Podem 
ser nominais ou ordinais. 
 
Uma variável (x) é uma característica dos elementos investigados que difere 
de um elemento para outro e do qual temos interesse em estudar. Cada 
unidade (elemento) da população que é escolhido como parte de uma amostra 
fornece uma medida de uma ou mais variáveis, também chamadas 
observações. 
8 
 Variáveis Qualitativas nominais: não existe ordenação dentre as 
categorias. Exemplos: marca do carro, tipo de fornecedor, região 
de produção, etc. 
 
 Variáveis Qualitativas ordinais: existe uma ordenação entre as 
categorias. Exemplos: escolaridade (Fundamental, Médio ou 
Superior), grau de importância (nenhuma, pouca, razoável, muito), 
etc. 
 
1.1. ANÁLISE DESCRITIVA: TABELAS DE FREQUENCIA 
 
O primeiro contato do pesquisador com os seus dados é feito através da 
construção das tabelas de frequência, podemos dizer que neste momento os 
dados recebem o seu primeiro tratamento. Nesta etapa de análise o pesquisador 
identificará as possíveis respostas a uma determinada variável e o 
comportamento das mesmas no que se refere a sua frequência. 
 
A tabela de frequência tem por objetivo apresentar os resultados de cada 
variável de uma forma organizada e resumida. Nesta tabela encontramos o 
número de repetições de cada categoria de resposta de uma variável bem como 
o seu percentual no grupo investigado. 
 
De acordo com as normas da ABNT (Associação Brasileira de Normas 
Técnicas) e do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) as tabelas 
de frequência devem considerar os seguintes elementos: 
 
a) Título: deve conter as informações necessárias para que se 
compreenda “o que” está sendo apresentado na tabela, “onde” os 
dados foram obtidos e “quando” esses dados foram coletados. 
 
b) Cabeçalho: indica a natureza do conteúdo de cada coluna da tabela. 
c) Corpo da Tabela: é a parte composta por linhas e colunas com as 
informações observadas. 
9 
 
d) Rodapé: espaço logo abaixo da tabela que pode ser utilizado para a 
apresentação de notas ou observações de natureza informativa. 
 
 
e) Fonte: refere-se à entidade que organizou ou forneceu os dados 
apresentados na tabela. 
 
Exemplo de construção de uma tabela de frequência: 
 
 
Considere uma pesquisa realizada com uma amostra de 20 lotes de 
parafusos com o objetivo de investigar o número de parafusos fora da 
conformidade. Os dados observados foram: 
 
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4 
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0 
 
Verifique que temos 20 números apresentados – cada número desses 
corresponde a um lote. Por exemplo, o primeiro lote possui o parafusos fora da 
conformidade, o segundo 1 parafuso e assim sucessivamente até o vigésimo lote 
que possui 0 parafusos não conformes. 
 
Para este problema podemos destacar as seguintes informações: 
 
a) Variável de pesquisa: Número de parafusos fora da conformidade 
 
b) Amostra investigada: 20 lotes 
 
Para a construção da tabela precisamos das seguintes informações: 
 
10 
c) Valores da variável que surgiram: corresponde às quantidades 
observadas de parafusos fora da conformidade. Neste caso encontramos 
0, 1, 2, 3 e 4 parafusos. 
d) Frequência (f) de cada valor da variável: corresponde ao número de 
vezes que cada valor se repetiu. 
 
Para o exemplo, podemos observar que 0 parafusos fora da 
conformidade se repetiu em 7 lotes: 
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4 
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0 
 
 
Na sequência, 1 parafuso fora da conformidade se repetiu em 5 lotes: 
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4 
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0 
 
 
Já 2 parafusos fora da conformidade se repetiu em 3 lotes: 
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4 
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0 
 
 
Para 3 parafusos fora da conformidade observamos uma ocorrência em 
3 lotes: 
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4 
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0 
 
 
Por fim, para 4 parafusos fora da conformidade observamos uma 
ocorrência em 2 lotes: 
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4 
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0 
 
 
11 
Agora organizamos essa informação através da estrutura de uma tabela 
de frequência, considerando todos os seus elementos: 
 
 
Número de parafusos fora da conformidade 
Fábrica A – Junho 2013 
Nº Parafusos Frequência % 
0 7 35 
1 5 25 
2 3 15 
3 3 15 
4 2 10 
Total 20 100 
 Fonte: Pesquisa Interna 
 
 
 
 Expressão Geral: 
 
% = 
Frequencia (f)
Total da amostra (n)
 × 100 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Porcentagem: 
 
% 0 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜𝑠 = 
7
20
 × 100 = 35% 
 
% 1 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜 = 
5
20
 × 100 = 25% 
 
% 2 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜𝑠 = 
3
20
 × 100 = 15% 
 
% 3 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜𝑠 = 
3
20
 × 100 = 15% 
 
% 4 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜𝑠 = 
2
20
 × 100 = 10% 
 
 
IMPORTANTE!!! 
De acordo com as normas, as tabelas de frequência não podem ser fechadas dos lados 
e nem ter linhas dividindo as categorias da variável. As únicas linhas permitidas são as 
que delimitam o cabeçalho e as que delimitam o total e no centro da tabela é opcional 
colocar ou não o traço divisório das colunas. 
 
12 
Recapitulando 
 
 
As ferramentas estatísticas são indispensáveis no tratamento de dados 
provenientes de uma pesquisa. É através da análise e tratamento de dados que 
o pesquisador obtém todas as informações pertinentes ao objeto de estudo, 
propiciando uma tomada de decisão com menores riscos e incertezas. 
 
 
Algumas definições importantes: 
 
 População (N):: é o conjunto de elementos de interesse em um 
determinado estudo. 
 Amostra (n):: parte da população selecionadaé a quantidade de 
elementos investigada 
 Variável (x): é a característica da amostra a ser investigada, ou seja, 
o que desejamos saber com a pergunta realizada. 
 Categorias: representam as possíveis respostas para a variável 
investigada. 
 Frequência (f): é o número de vezes que cada categoria da variável 
se repetiu, ou ainda, quantos elementos investigados optaram por 
determinada resposta da questão. 
 
As tabelas de frequência correspondem a uma forma de apresentação 
de dados, seus elementos são: Título, Cabeçalho, Corpo, Rodapé e Fonte. Sua 
estrutura é composta por linhas e colunas. As colunas são determinadas de 
forma que a variável a ser apresentada e suas respectivas categorias localizam-
se na primeira coluna, já na segunda coluna é apresentado a frequência (número 
de repetições) de cada categoria, e por fim, a terceira coluna representa a 
porcentagem de cada categoria de resposta. 
 
 
 
 
 
 
13 
Atividades: Conceitos Básicos de Estatística 
 
Considere a seguinte situação de pesquisa: 
 
“Um engenheiro realizou uma pesquisa com os pneus radiais de um novo 
veículo produzido por sua montadora com o objetivo de verificar o desgaste. 
Para este estudo ele selecionou um grupo de 50 pneus e observou a 
quilometragem em que estes rodavam até a ocorrência do desgaste dos 
pneus.” 
 
 Questão 1. A população desta pesquisa pode ser considerada como sendo: 
a) Os carros produzidos pela montadora 
b) Pneus radiais do novo veículo 
c) Desgaste dos pneus radiais 
d) Um grupo de 50 pneus investigados 
e) Quilometragem rodada pelos pneus radiais até ocorrer o desgaste 
 
Questão 2. A amostra desta pesquisa pode ser considerada como sendo: 
a) Os carros produzidos pela montadora 
b) Pneus radiais do novo veículo 
c) Desgaste dos pneus radiais 
d) Um grupo de 50 pneus investigados 
e) Quilometragem rodada pelos pneus radiais até ocorrer o desgaste 
 
Questão 3. A variável desta pesquisa pode ser considerada como sendo: 
a) Os carros produzidos pela montadora 
b) Pneus radiais do novo veículo 
c) Desgaste dos pneus radiais 
d) Um grupo de 50 pneus investigados 
e) Quilometragem rodada pelos pneus radiais até ocorrer o desgaste 
 
14 
Questão 4. Marque V para verdadeiro e F para falso nas seguintes afirmativas: 
 
a) ( ) Em uma pesquisa o padrão de variação nos dados faz com que os 
resultados não sejam óbvios, por este motivo, os resultados obtidos devem 
receber um tratamento estatístico que permitirá a verificação do 
comportamento das variáveis de estudo. 
 
b) ( ) As variáveis quantitativas são características que não possuem valores, 
mas, ao contrário, são definidas por categorias, ou seja, representam uma 
classificação dos elementos. 
 
c) ( ) No título de uma tabela de frequências deve-se colocar todas as 
informações necessárias para que se compreenda “o que” está sendo 
apresentado na tabela, “onde” os dados foram obtidos e “quando” esses 
dados foram coletados. 
 
d) ( ) O número de repetições de cada categoria de uma variável é chamado 
de frequência e é representado pela letra “x”. 
 
Questão 5. Os dados a seguir referem-se ao tempo que determinada marca de 
transformador levou para apresentar a primeira falha grave, em anos, obtidos em 
um grupo de 15 transformadores. Os resultados do tempo de falhas em anos são 
dados por: 
 
6 5 6 7 8 
8 8 8 5 7 
8 7 6 8 6 
 
Construa uma tabela de frequência para representar estes dados. 
 
15 
Gabarito das atividades propostas 
 
Questão 1. b) Pneus radiais do novo veículo 
Questão 2. d) Um grupo de 50 pneus investigados 
Questão 3. e) Quilometragem rodada pelos pneus radiais até ocorrer o 
desgaste 
Questão 4. a) V, b) F, c) V, d) F 
Questão 5. 
 
Tempo que determinada marca de transformador levou para apresentar a primeira 
falha grave, em anos 
Tempo Frequência % 
5 2 13,3 
6 4 26,7 
7 3 20,0 
8 6 40,0 
Total 15 100 
 Fonte: Pesquisa Interna 
 
 
 
16 
2. MEDIDAS ESTATÍSTICAS 
 
 Simone Echeveste 
 
Neste capítulo iremos abordar as principais medidas estatísticas utilizadas 
na área da Engenharia. Elas são divididas em dois grupos: Medidas de 
Tendência Central e Medidas de Variabilidade. Nosso objetivo aqui é a 
apresentação de cada uma destas medidas no que se refere à aplicabilidade, ao 
cálculo e à interpretação dos resultados obtidos. 
 
O aluno ao final deste capítulo deverá ser capaz de calcular e interpretar 
as medidas estatísticas apresentadas. 
 
 
 
Podemos ainda aprofundar um pouco mais a nossa análise estatística 
para o caso em que as variáveis analisadas sejam QUANTITATIVAS através das 
medidas estatísticas. Estas medidas dividem-se em dois grupos de medidas: as 
Medidas de tendência central e as Medidas de variabilidade. 
17 
Figura 2. Medidas Estatísticas
 
2.1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
Estas medidas têm por objetivo encontrar a “tendência central” de um 
conjunto de dados, ou seja, encontrar o valor do meio ou ainda os valores típicos 
de uma distribuição. São medidas úteis para caracterizar e representar um 
conjunto de dados através de um único valor utilizando critérios distintos para 
isso. As medidas de tendência central são: média, mediana e moda. 
2.1.1. MÉDIA 
A média é a medida de tendência central mais conhecida e mais utilizada 
de todas. Existem vários tipos de médias, a que utilizamos em pesquisas é a 
Média aritmética, obtida através da soma de todos os valores da variável 
investigada (valores de x) dividida pelo número total de valores no conjunto de 
dados (total da amostra – n). É representada pelos símbolos �̅� na amostra e por 
 na população. 
 
Notação: 
 - média populacional 
�̅� - média amostral 
Medidas 
Estatísticas
Medidas de 
tendência 
Central
Média
Mediana
Moda
Medidas de 
Variabilidade
Variância
Desvio-
padrão
Coeficiente 
de variação
18 
Fórmula: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
 
 
onde: 
 = somatório 
x – variável (valores obtidos para a variável investigada) 
n – tamanho da amostra 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Os dados abaixo representam o tempo de vida útil (em mil horas) de um 
conjunto de 7 lâmpadas fluorescentes: 
 
15 18 18 20 17 18 16 
 
Elementos importantes: 
 
Amostra (n): 7 lâmpadas fluorescentes 
Variável (x): tempo de vida útil (em mil horas) 
 
Média: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
= 
15 + 18 + 18 + 20 + 17 + 18 + 16
7
 
 
�̅� = 
122
7
= 17,4 
 
�̅� = 17,4 mil horas 
19 
 
Interpretação: “Em média o tempo de vida útil destas lâmpadas fluorescentes 
é de 17,4 mil horas” 
 
 
20 
MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM TABELAS DE FREQUENCIA 
Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de 
frequências devemos multiplicar os diferentes valores “x” pelas respectivas 
frequências “f”. A fórmula utilizada deverá ser neste caso: 
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
 
 
onde: 
 = somatório 
x – variável 
f – frequência de cada valor da variável 
n – tamanho da amostra 
 
Exemplo 
 
Considere a seguinte tabela referente ao Número de peças defeituosas 
encontradas em uma amostra de 62 lotes produzidos: 
 
 Número de peças defeituosas 
Nº peças (x) Frequência (f) % x.f 
0 5 8,0 0 x 5 = 0 
2 25 40,3 2 x 25= 50 
4 30 48,4 4 x 30= 120 
6 2 3,2 6 x 2= 12 
Total 62 (n) 100 182 
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
(0 × 5) + (2 × 25) + (4 × 30) + (6 × 2)
62
 
 
21 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
0 + 50 + 120 + 12
62
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
182
62
= 2,9 
 
�̅� = 2,9 peças 
 
 
Interpretação: “Em média cada lote possui 2,9 peças defeituosas” 
 
 
2.1.2. MEDIANA 
Ordenados os elementos da amostra em ordem crescente a mediana é o 
valor considerado o ponto do meio, que a divide ao meio, isto é, metade dos 
elementos da amostra é menor ou igual à mediana e a outra metade é maior ou 
igual à mediana.Notação: 
Md ou Me 
 
Como obter a Mediana: 
 
1º) todos os valores do conjunto de dados devem ser colocados em ordem 
crescente, se houver algum valor que se repita mais de uma vez ele deve 
repetido na ordenação também. 
 
2º) devemos encontrar a posição da mediana considerando a seguinte regra: se 
o tamanho da amostra (n) é ímpar, a mediana é o valor central; se o tamanho da 
amostra (n) for par a mediana será a média dos dois valores centrais. 
 
 
 
Exemplo 1: Quando o tamanho da amostra “n” for ímpar 
22 
 
“Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar o pH de 5 amostras de 
tintas acrílicas de diferentes marcas. Os dados coletados estão apresentados 
abaixo” 
 
8,0 9,1 8,5 9,7 9,2 
 
Amostra (n): 5 amostras de tintas de diferentes marcas 
Variável (x): valor do pH 
 
Mediana (Md) 
 
1º) Colocar os valores em ordem crescente 
 
8,0 8,5 9,1 9,2 9,7 
 
2º) Encontrar o valor central no conjunto de dados 
 
8,0 8,5 9,1 9,2 9,7 
 
 
 
 
Interpretação: “Metade das amostras de tinta possuem pH de 9,1 ou menos e 
metade das amostras de tinta possuem pH de 9,1 ou mais.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Quando o tamanho da amostra “n” for par 
Mediana 
23 
 
Vamos observar o mesmo exemplo anterior, porém agora vamos 
considerar um grupo de 6 amostras de tintas acrílicas. 
 
“Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar o pH de 6 amostras de 
tintas acrílicas de diferentes marcas. Os dados coletados estão apresentados 
abaixo” 
 
8,0 8,8 8,5 9,7 9,5 9,2 
 
Amostra (n): 6 amostras de tintas de diferentes marcas 
Variável (x): valor do pH 
 
1º) Colocar os valores em ordem crescente 
 
8,0 8,5 8,8 9,2 9,5 9,7 
 
2º) Encontrar os dois valores centrais no conjunto de dados 
 
8,0 8,5 8,8 9,2 9,5 9,7 
 
 
 
3º) Calcular o ponto médio entre estes dois valores central (somando os dois 
valores e dividindo por dois) 
 
𝑀𝑑 = 
8,8 + 9,2
2
= 
18
2
= 9,0 
 
Md = 9,0 
 
Interpretação: “Metade das amostras de tinta possuem pH inferior a 9 e metade 
das amostras de tinta possuem pH superior a 9.” 
2.1.3. MODA 
Mediana 
24 
A moda de um conjunto de dados é simplesmente o valor do conjunto de 
dados que ocorreu com maior frequência, ou seja, que mais se repetiu. 
 
Notação: 
Mo 
 
Exemplo 
 
Os dados apresentados a seguir são provenientes de experimentos 
realizados com uma marca de concreto para determinar a resistência (kg/cm2) 
em uma amostra de 8 unidades: 
 
200 kg/cm2 210 kg/cm2 200 kg/cm2 210 kg/cm2 
210 kg/cm2 250 kg/cm2 230 kg/cm2 210 kg/cm2 
 
Amostra (n): 8 unidades 
Variável (x): resistência do concreto (kg/cm2) 
 
Moda 
 
Mo = 210 kg/cm2 
(este valor se repete quatro vezes na amostra, foi o valor de resistência que 
mais se repetiu). 
 
200 kg/cm2 210 kg/cm2 220 kg/cm2 210 kg/cm2 
210 kg/cm2 250 kg/cm2 230 kg/cm2 210 kg/cm2 
 
Interpretação: “O valor da resistência do concreto que ocorreu com maior 
frequência foi de 210 kg/cm2”. 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. MEDIDAS DE VARIABILIDADE 
Algumas situações podem ocorrer em relação à moda: 
 
1ª) Um conjunto de dados pode não ter moda, ou seja, nenhum valor se repetir 
 
 Exemplo: Tempo de produção de 5 peças (em minutos) 
 34, 56, 23, 42, 38 
 Nenhum valor se repete – não tem moda! 
 
2ª) Um conjunto de dados pode ter mais que uma moda, ou seja, poderemos ter mais 
que um valor da variável se repetindo com frequências iguais. 
 
 Exemplo: Número de peças produzidas em 8 dias: 
 35, 23, 35, 40, 51, 40, 32, 55 
 Duas modas: 35 e 40 peças! 
 
26 
 
Tão importante quanto representarmos todos os valores de um conjunto 
de dados através das medidas de tendência central é ter o conhecimento da 
variação que ocorre em torno desta medida. As medidas de variabilidade são 
extremamente úteis no tratamento de dados, pois estas indicam a variação 
existente em torno da média. 
Vamos considerar o seguinte exemplo apresentado abaixo: 
Exemplo: 
Considere uma linha de produção que possui três máquinas em operação: 
Máquina A, Máquina B e Máquina C. Está sendo investigado o número de 
unidades com falhas produzidas em três dias de produção. Os dados coletados 
foram: 
 
 
Observando apenas a média de unidades com falhas das três máquinas 
investigadas chegaremos à conclusão de que elas são iguais, ou seja, possuem 
MÁQUINA A 
 
Unidades com falhas: 
 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 0 unidades 
3º Dia: 10 unidades 
 
Média de vendas: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
= 
5 + 0 + 10
3
= 5 
 
Em média a Máquina A 
produz 5 unidades com 
falhas por dia. 
 
 
 
MÁQUINA B 
 
Unidades com falhas: 
 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 5 unidades 
3º Dia: 5 unidades 
 
Média de vendas: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
= 
5 + 5 + 5
3
= 5 
 
Em média a Máquina B 
produz 5 unidades com 
falhas por dia. 
 
 
 
MÁQUINA C 
 
Unidades com falhas: 
 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 4 unidades 
3º Dia: 6 unidades 
 
Média de vendas: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
= 
5 + 4 + 6
3
= 5 
 
Em média a Máquina C 
produz 5 unidades com 
falhas por dia. 
 
 
 
27 
o mesmo comportamento no que se refere à produção de unidades com falhas. 
Porém ao analisar os dados brutos (unidades com falhas para cada um dos dias 
investigados) observamos que, embora a média seja a mesma entre as três 
máquinas, a variação de um dia para o outro possui um comportamento bem 
distinto. 
Enquanto que a Máquina A varia de 0 unidades com falha em um dia a 10 
unidades com falha em outro, a Máquina B mantém uma produção de unidades 
com falha constante de 5 unidades em todos os três dias do estudo. Para este 
caso a análise realizada utilizando somente a média como ferramenta estatística 
pode induzir o investigador a uma interpretação errônea a respeito dos dados. 
Por este motivo, além das medidas de tendência central devemos obter 
as medidas de variabilidade que contribuem para uma melhor interpretação do 
comportamento de uma variável quantitativa. Estas medidas representam a 
variação de um conjunto de dados em torno da média. 
Figura 3. Medidas de Variabilidade 
 
2.2.1. VARIÂNCIA 
Medias de Variabilidade
Variância Desvio-padrão
Coeficiente de 
Variação
28 
A variância de uma amostra corresponde à média dos quadrados dos 
desvios dos valores em relação à média, Quanto maior for a variação dos valores 
do conjunto de dados, maior será a variância. 
Notação: 
2 - variância populacional 
s2 - variância amostral 
 
Fórmula: 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥− �̅�)2
𝑛−1
 
 
onde: 
x – valores da variável investigada 
�̅� - média da amostra 
n – tamanho da amostra 
Σ - somatório 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No cálculo da variância pode-se observar que a unidade da variável 
estudada é levada ao quadrado, dificultando assim, a interpretação de seu 
resultado final. A solução para este problema é extrair a raiz quadrada da 
variância, permitindo assim que se volte à unidade original da variável. Essa 
nova medida (a raiz quadrada da variância) é chamada de desvio-padrão. 
2.2.2. DESVIO-PADRÃO 
Propriedades da Variância 
1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um conjunto de valores 
uma constante, a variância não se altera; 
2. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjunto de valores por 
um valor constante, a variância fica multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da 
constante. 
 
29 
O desvio-padrão corresponde à raiz quadrada da variância. Esta medida 
expressa a variação média do conjunto de dados em torno da média, para mais 
ou para menos na mesma unidade de medida da média. 
 
Notação: 
 - desvio-padrão populacional 
s - desvio-padrão amostral 
 
 
Fórmula: 
 
 𝑠 = √
∑(𝑥−�̅�)2
𝑛−1
 
 
 
 
 
 
O desvio-padrão de uma amostra pode ser calculado considerando as 
seguintes etapas: 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.Etapas para o cálculo do Desvio-padrão 
 
Propriedades do Desvio-padrão 
1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um conjunto de valores uma 
constante, o desvio-padrão não se altera; 
2. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjunto de valores por 
um valor constante, o desvio-padrão fica multiplicado (ou dividido) pela constante. 
 
30 
 
 
 
Vamos considerar o exemplo inicial da comparação do número de 
unidades com falhas entre as máquinas A, B e C em uma amostra de 3 dias: 
 
 
 
Importante: 
 
Amostra (n): 3 dias 
Variável (x): Número de unidades produzidas com falhas 
 
 
 
MÁQUINA A 
1ª) Calcular a média
2ª) Subtrair a média de cada valor do conjunto (desvio)
3ª) Elevar ao quadrado cada desvio
4ª) Somar os quadrados dos desvios
5ª) Dividir esta soma por (n-1)
6ª) Extrair a raiz quadrada
MÁQUINA A 
Unidades com falhas: 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 0 unidades 
3º Dia: 10 unidades 
 
 
MÁQUINA B 
Unidades com falhas: 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 5 unidades 
3º Dia: 5 unidades 
 
 
 
MÁQUINA C 
Unidades com falhas: 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 4 unidades 
3º Dia: 6 unidades 
 
 
 
 
31 
 
Média de vendas: �̅� = 5 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √
(5 − 5)2 + (0 − 5)2 + (10 − 5)2
3 − 1
 
 
𝑠 = √
(0)2 + (−5)2 + (5)2
3 − 1
 
 
𝑠 = √
0 + 25 + 25
3 − 1
 = √
50
2
= √25 = 5 
 
Interpretação: “Para a Máquina A observa-se que, em média, são produzidas 
ao dia 5 unidades com falhas com uma variação em torno desta média de 5 
unidades.” 
 
[ 5 unidades com falha/dia ± 5 unidades com falha/dia ] 
 
 
MÁQUINA B 
 
Média de vendas – �̅� = 5 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √
(5 − 5)2 + (5 − 5)2 + (5 − 5)2
3 − 1
 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √
(0)2 + (0)2 + (0)2
3 − 1
 
 
𝑠 = √
0
2
= √0 = 0 
MÁQUINA A 
 
Unidades com falhas: 
 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 0 unidades 
3º Dia: 10 unidades 
 
MÁQUINA B 
 
Unidades com falhas: 
 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 5 unidades 
3º Dia: 5 unidades 
 
32 
 
Interpretação: “Para a Máquina B observa-se que, em média, são produzidas 
ao dia 5 unidades com falhas com uma variação em torno desta média de 0 
unidades.” 
 
[ 5 unidades com falha/dia ± 0 unidades com falha/dia ] 
 
 
MÁQUINA C 
 
Média de vendas – �̅� = 5 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √
(5 − 5)2 + (4 − 5)2 + (6 − 5)2
3 − 1
 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √
(0)2 + (−1)2 + (1)2
3 − 1
 
 
𝑠 = √
0 + 1 + 1
3 − 1
 
 
𝑠 = √
2
2
 = √1 = 1 
 
Interpretação: “Para a Máquina C observa-se que, em média, são produzidas 
ao dia 5 unidades com falhas com uma variação em torno desta média de 1 
unidade.” 
 
[ 5 unidades com falha/dia ± 1 unidades com falha/dia ] 
 
Podemos agora comparar as três máquinas utilizando as medidas 
estatísticas média e desvio-padrão da seguinte forma: 
MÁQUINA C 
 
Unidades com falhas: 
 
1º Dia: 5 unidades 
2º Dia: 4 unidades 
3º Dia: 6 unidades 
 
33 
 
 
 
 
 
2.2.3. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
Neste momento poderemos questionar: quando um desvio-padrão é 
grande e quando ele é pequeno? Na verdade, um desvio padrão pode ser 
considerado grande ou pequeno dependendo da ordem de grandeza da variável. 
Por este motivo quando desejamos comparar a variabilidade entre métodos, ou 
ainda entre grupos de valores é indicada a utilização do Coeficiente de Variação 
que representa o desvio-padrão expresso como uma porcentagem da média.: 
 
Notação: 
C.V. - Coeficiente de variação 
 
Fórmula: 
 
𝐶. 𝑉. = 
𝑠
�̅�
 × 100 
 
onde: 
�̅� - média da amostra 
s – desvio-padrão 
No exemplo da comparação das filiais: 
 
MÁQUINA A 
 
Nesta máquina em 
média são produzidas 5 
unidades com falhas ao 
dia com uma variação de 
5 unidades. 
 
[5 ± 5] 
 
 
 
MÁQUINA B 
 
Nesta máquina em 
média são produzidas 5 
unidades com falhas ao 
dia com uma variação 
de 0 unidades. 
 
[5 ± 0] 
 
 
 
MÁQUINA C 
 
Nesta máquina em 
média são produzidas 5 
unidades com falhas ao 
dia com uma variação de 
1 unidade. 
 
[5 ± 1] 
 
 
 
 
34 
 
 
Analisando as medidas de variabilidade podemos observar que, embora 
o número médio de unidades com falhas produzidas pelas três máquinas seja o 
mesmo, não podemos considerar a qualidade da produção destas máquinas a 
mesma, já que a variabilidade apresenta resultados bem distintos entre as 
máquinas. 
 
Uma informação importante que podemos obter através do Coeficiente de 
variação diz respeito à homogeneidade de um conjunto de dados comparado a 
outro, por exemplo, podemos observar que destas filiais a que possui uma 
produção de unidades com falhas mais homogênea é a máquina B pois possui 
menor coeficiente de variação (C.V. = 0%), seguida pela máquina C (C.V. = 20%) 
e, por fim, com maior coeficiente de variação e maior heterogeneidade está a 
máquina C (C.V. = 100). 
 
Figura 4. Interpretação Coeficiente de Variação 
 
Exemplo 
 
Maior coeficiente de variação - Dados
mais HETEROGÊNEOS
Menor coeficiente de variação - Dados 
mais HOMOGÊNEOS
MÁQUINA A 
 
𝐶. 𝑉. = 
5
5
 × 100 
 
𝐶. 𝑉. = 100% 
 
 
MÁQUINA B 
 
𝐶. 𝑉. = 
0
5
 × 100 
 
𝐶. 𝑉. = 0% 
 
 
 
 
 
MÁQUINA C 
 
𝐶. 𝑉. = 
1
5
 × 100 
 
𝐶. 𝑉. = 20% 
 
 
 
 
 
35 
Vamos considerar agora um exemplo em que não tenhamos que 
comparar conjunto de valores: 
 
Os dados apresentados a seguir são provenientes de experimentos 
realizados com uma marca de concreto para determinar a resistência (kg/cm2) 
em uma amostra de 6 unidades: 
 
200 kg/cm2 210 kg/cm2 200 kg/cm2 
210 kg/cm2 250 kg/cm2 230 kg/cm2 
 
 
Amostra (n): 6 unidades 
Variável (x): resistência do concreto (kg/cm2) 
 
Para estes dados vamos calcular e interpretar a Média e o Desvio-padrão: 
 
Média 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
= 
200 + 210 + 200 + 210 + 250 + 230
6
= 
1300
6
= 216,7 
 
�̅� = 216,7 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 
 
Variância 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
 
 
 
(200 − 216,7)2 + (210 − 216,7)2 + (200 − 216,7)2 + (210 − 216,7)2 + (250 − 216,7)2 + (230 − 216,7)2
6 − 1
 
 
36 
278,9 + 44,89 + 278,9 + 44,89 + 1108,89 + 176,89
5
= 386,67 
 
 
𝑠2 = 386,67 
 
Desvio-Padrão 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √386,67 = 19,7 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 
 
Interpretação: “Em média a resistência desta marca de concreto é de 216,7 
kg/cm2 com uma variação de 19,7 kg/cm2”. [216,7 ± 19,7 kg/cm2] 
 
Exemplo para dados agrupados em tabelas de frequência 
 
Considere a seguinte tabela anteriormente citado referente ao Número de 
peças defeituosas encontradas em uma amostra de 62 lotes produzidos: 
 
 Número de peças defeituosas 
Nº peças (x) Frequência (f) % x.f 
0 5 8,0 0 x 5 = 0 
2 25 40,3 2 x 25= 50 
4 30 48,4 4 x 30= 120 
6 2 3,2 6 x 2= 12 
Total 62 (n) 100 182 
 
Para este exemplo já havíamos calculado a média: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
0 + 50 + 120 + 12
62
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
182
62
= 2,9 
37 
Agora vamos calcular a variância e o desvio-padrão. Neste caso devemos 
considerar a frequência de cada valor da variável. 
 
Variância 
 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2. 𝑓
𝑛 − 1
 
 
 
 Número de peças defeituosas 
Nº peças (x) Frequência (f) % (𝑥 − �̅�)2. 𝑓 
0 5 8,0 (0 – 2,9)2. 5 = 42,05 
2 25 40,3 (2 – 2,9)2. 25 = 20,25 
4 30 48,4 (4 – 2,9)2. 30 = 36,3 
6 2 3,2 (6 – 2,9)2. 2 = 19,22 
Total 62 (n) 100 117,82 
 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2. 𝑓
𝑛 − 1
= 
42,05 + 20,25 + 36,3 + 19,22
62 − 1
= 
117,82
61
= 1,93 
 
 
Desvio-padrão 
 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √1,93 = 1,4 
 
 
s = 1,4 peças defeituosas 
 
 
Interpretação: “Em média são produzidas 2,9 peças defeituosas com uma 
variação de 1,4 peças”. [2,9 ± 1,4 peças defeituosas] 
 
38 
Recapitulando 
 
 
Para o caso em que a variável analisada é QUANTITATIVA podemos 
aprofundar nossa análise através das medidas estatística. Estas medidas 
dividem-se em dois grupos de medidas: as Medidas de tendência central e asMedidas de variabilidade. 
 
As Medidas de Tendência Central (média, mediana e moda) são medidas 
úteis para caracterizar e representar um conjunto de dados através de um único 
valor utilizando critérios distintos para isso. 
 
Já as Medidas de Variabilidade (Variância, Desvio-padrão e Coeficiente 
de Variação) são extremamente úteis no tratamento de dados, pois estas 
indicam a variação existente em torno da média. 
 
Quando realizamos o tratamento estatístico de dados provenientes de 
variáveis quantitativas o cálculo e interpretação destas medidas fornece 
informação detalhada e de extrema importância na tomada de decisão do 
pesquisador. 
 
 
39 
Atividades Medidas de Tendência Central e Medidas de Variabilidade 
 
Questão 1. Os dados abaixo são referentes às taxas de desemprego (em %) em 
alguns países selecionados: 
 
 Grupo 1: Países da América do Sul e América do Norte 
 Brasil Uruguai Chile Argentina Canadá EUA Venezuela 
11.4 12.1 5.6 7.3 4.8 5.3 7.3 
 
 Grupo 2: Países da Europa 
Espanha Portugal Itália Alemanha Suécia Inglaterra França 
4.8 5.2 4.3 3.8 2.5 5.8 3.6 
 
2a) Complete a tabela abaixo com as medidas estatísticas solicitadas: 
Comparação das taxas de desemprego (em %) 
Grupo n Taxa Média Desvio-padrão Coef. Variação 
Américas do Sul e Norte 
Europa 
 
2b) Qual dos grupos apresentou resultados mais homogêneos? 
a) ( ) Países da América do Sul e América do Norte 
b) ( ) Países da Europa 
c) ( ) Nenhum dos grupos foi mais homogêneo 
 
Questão 2. A companhia GE Esmaltec usa um processo para pintar geladeiras 
com uma camada de esmalte. Durante cada turno uma amostra de 5 geladeiras 
é selecionada e a espessura da pintura (mm) é determinada. Considere os 
seguintes dados coletados: 
 
Manhã: 2,7 2,3 2,6 2,4 2,7 
Tarde: 2,6 2,3 2,0 2,5 2,4 
Noite: 1,8 2,8 2,3 1,6 2,9 
a) Calcule as medidas descritivas: média e desvio-padrão da espessura 
da pintura para cada turno 
40 
b) Qual turno apresentou resultados mais homogêneos? 
 
Questão 3. Um fabricante de molas está interessado em implementar um 
sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de produção. Para 
isto, foi registrado o número de molas fora da conformidade em cada lote de 
produção. Os dados apresentados na tabela de frequência abaixo referem-se a 
20 lotes selecionados, observando-se o número de molas fora da conformidade. 
 
Tabela 1. Número de molas fora de conformidade 
Número de molas f % 
6 3 15,0 
7 6 30,0 
8 4 20,0 
9 3 15,0 
12 4 20,0 
Total 20 100,0 
 
a) Calcule e interprete as medidas descritivas: média e desvio-padrão 
para estes dados. 
 
 
Questão 4. A capacidade em litros dos porta-malas dos carros populares 
produzidos no Brasil foi investigada obtendo-se os seguintes dados: 
 
Corsa: 240 litros Uno: 224 litros Hobby: 325 litros Gol: 146 litros 
 
a) Calcule e interprete a Mediana para estes dados. 
b) Calcule e interprete a média e o desvio-padrão para estes dados. 
 
 
 
 
 
Gabarito das atividades propostas 
 
41 
Questão 1. 
a) Comparação das taxas de desemprego (em %) 
 
Grupo n Taxa Média Desvio-padrão Coef. Variação 
Américas do Sul e Norte 7 7,7% 2,9% 37,7% 
Europa 7 4,3% 1,1% 25,6% 
 
b) O mais homogêneo foi o grupo dos países da Europa, pois possui menor 
Coeficiente de variação. 
 
Questão 2: 
a) Manhã: 
Média = 2,5 mm 
Desvio-padrão = 0,19 mm 
CV = 7,6 % 
 
Tarde: 
Média = 2,4 mm 
Desvio-padrão = 0,23 mm 
CV = 9,6 % 
 
Noite: 
Média = 2,3 mm 
Desvio-padrão = 0,58 mm 
CV = 25,2 % 
 
b) O turno da manhã, pois o seu coeficiente de variação (CV) foi o menor, 
comparado com os dos demais turnos. 
 
Questão 3. 
Tabela 1. Número de molas fora de conformidade 
Número de molas f % 𝑥 . 𝑓 (𝑥 − �̅�)2. 𝑓 
6 3 15,0 6 x 3 = 18 (6 – 8,4)2 . 3 = 17,28 
7 6 30,0 7 x 6 = 42 (7 – 8,4)2 . 6 = 11,76 
8 4 20,0 8 x 4 = 32 (8 – 8,4)2 . 4 = 0,64 
9 3 15,0 9 x 3 = 27 (9 – 8,4)2 . 3 = 1,08 
12 4 20,0 12 x 4 = 48 (12 – 8,4)2 . 4 = 51,84 
Total 20 100,0 167 82,6 
 
Média 
 
42 
�̅� = 
∑ 𝑥 . 𝑓
𝑛
= 
167
20
= 8,4 
 
Variância 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2. 𝑓
𝑛 − 1
= 
17,28 + 11,76 + 0,64 + 1,08 + 52,84
20 − 1
= 
82,6
19
= 4,35 
 
Desvio-padrão 
 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2. f
𝑛 − 1
= √4,35 = 2,1 
 
 
s = 2,1 molas fora da conformidade 
 
 
Interpretação: “Em média são produzidas por lote 8,4 molas fora da 
conformidade com uma variação de 2,1 molas”. [8,4 ± 2,1 molas fora da 
conformidade] 
 
Questão 4. 
 
a) Calcule e interprete a Mediana para estes dados. 
 
146 224 240 325 
 
𝑀𝑑 = 
224 + 240
2
= 232 
 
Interpretação: “Em metade dos carros a capacidade do porta malas é inferior a 
232 litros e em metade dos carros a capacidade do porta malas é superiora 232 
litros”. 
 
b) Calcule e interprete a média e o desvio-padrão para estes dados. 
 
43 
Média 
 
�̅� = 
∑ 𝑥 
𝑛
= 
935
4
= 233,8 litros 
 
Variância 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= 
(146 − 233,8)2 + (224 − 233,8)2 + (240 − 233,8)2 + (325 − 233,8)2
4 − 1
 
 
𝑠2 = 
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= 
7708,84 + 96,04 + 38,44 + 8317,44
4 − 1
= 
16160,76
3
= 5386,92 
 
 
Desvio-padrão 
 
 
𝑠 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √5386,92 = 73,4 litros 
 
 
Interpretação: “Em média, a capacidade do porta malas destes carros é de 
233,8 litros com uma variação de 73,4 litros”. 
 
44 
3. GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
 Simone Echeveste 
 
Neste capítulo iremos abordar a utilização das medidas estatísticas 
anteriormente vistas em uma aplicação prática extremamente importante na área 
da Engenharia: Controle de qualidade. Aqui, será demonstrada a construção de 
gráficos de controle e a interpretação das informações que estes nos fornecem. 
 
O aluno deverá ser capaz de construir gráficos de controle utilizando para 
isso medidas estatísticas de tendência central e variabilidade, bem como deverá 
realizar a correta interpretação dos mesmos. 
 
 
 
 
Os gráficos de controle estão inseridos no Controle Estatístico de 
Qualidade – é um sistema amplo e complexo que tem por finalidade a inspeção, 
a análise e a ação corretiva aplicados a um processo produtivo. O processo 
estará sob controle quando a variação da qualidade estiver dentro dos limites de 
especificação do produto. 
 
Alguns dos princípios fundamentais dos gráficos de controle: 
 
 Pensar e decidir baseado em dados e fatos; 
 Pensar separando a causa do efeito, buscar sempre conhecer a causa 
fundamental dos problemas; 
 Reconhecer a existência da variabilidade na produção e administrá-la; 
 Identificar instantaneamente focos e locais de disfunção e corrigir os 
problemas a tempo. 
 
 
45 
A variação que ocorre num processo de produção pode ser desmembrada 
em duas componentes: uma de difícil controle, chamada variação aleatória; e 
outra chamada variação controlável. Assim a equação da variação total de um 
processo pode ser escrita como sendo: 
 
 
 
 
 
Se as variações forem conhecidas, controladas e reduzidas, os índices de 
produtos defeituosos certamente se reduzirão. Os gráficos de controle são 
utilizados para avaliar se o processo está sob controle. A partir de sua análise é 
possível evitar, reduzir ou eliminar não conformidades em tempo real (durante o 
processo de produção) 
 
Os gráficos de controle são úteis para: 
 
 
 
 
 
 
Variação 
Aleatória
Variação 
Controlável
Variação 
Total
Monitorar variabilidade do processo
Detectar variabilidade do processo
Auxiliar na eliminação de causas especiais, trazendo o processo para o 
estado de controle
Dar indicações de como mudanças podem afetar um processo sob controle
46 
 
Benefícios dos gráficos de controle 
 
 Podem ser aplicados pelos próprios operários, que poderão discutir com 
os supervisores, engenheiros e técnicos através da linguagem dos dados 
fornecidos pelos gráficosde controle; 
 
 Os gráficos de controle servem para monitoramento do processo, 
mostrando a ocorrência de um descontrole (presença de causas 
especiais) e/ou a tendência dessa ocorrência; 
 
 Ao melhorar o processo os gráficos de controle permitem: aumentar a 
porcentagem de produtos que satisfaçam exigências dos clientes; 
diminuir os índices de retrabalho dos itens produzidos e, 
conseqüentemente, dos custos de produção aumentando a produtividade. 
 
Gráficos de controle para medições 
 
O uso dos gráficos de controle para medições deve ocorrer sempre que 
uma característica da qualidade observada é expressa em unidades reais como 
peso em quilogramas, comprimento em centímetros, temperatura em graus 
celsius 
 
Fornecem informações sobre um processo através dos resultados de 
pequenas amostras coletadas periodicamente onde a cada intervalo h, retira-se 
uma amostra de tamanho n para análise. Cada grupo fornece uma ideia do que 
o processo está produzindo naquele momento 
 
Para a construção de um gráfico controle de variáveis, são coletados 
dados de subgrupos de pequenas amostras de n= 4 ou 5 itens extraídos a 
intervalos regulares (de hora em hora, dia a dia, etc.). O intervalo adequado para 
extração das amostras depende de cada processo de fabricação. 
 
47 
Símbolos Importantes: 
 
n = tamanho da amostra 
k = número (quantidade) de amostras 
�̿� = média das médias das amostras (média global) 
R = amplitude amostral média 
�̅� = média das amplitudes 
d2, A3, D3, D4 = fatores de correção tabelados 
 
 
Passo a passo: Gráfico de Controle para Média e Amplitude 
 
1º) Determinar o tamanho das amostras n (usualmente 4 ou 5) e a quantidade K 
das amostras (no mínimo 25, ou 20, respectivamente). 
 
2º) Calcular para cada amostra a média �̅� e a amplitude R: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 
 
3º) Calcular para todas as k amostras obtidas a Média das Médias �̿� e a Média 
das amplitudes �̅�: 
 
�̿� = 
∑ �̅�
𝑘
 �̅� = 
∑ 𝑅
𝐾
 
 
4º) Calcular o desvio-padrão das médias 
 
�̂��̅� = 
1
𝑑2
∙ 
�̅�
√𝑛
 
 
 
 
 
48 
Figura 1. Fator de Correção para gráfico de controle das Médias 
 
Tamanho das amostras (n) 
Fator de Correção 
D3 D4 D c4 d2 
2 0 3,267 0,709 0,798 1,128 
3 0 2,574 0,524 0,886 1,693 
4 0 2,282 0,446 0,921 2,059 
5 0 2,114 0,403 0,94 2,326 
6 0 2,004 0,375 0,952 2,534 
7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704 
8 0,136 1,864 0,338 0,965 2,847 
9 0,184 1,816 0,325 0,969 2,970 
10 0,223 1,777 0,314 0,973 3,078 
 
 
6º) Calcular os Limites 
 
 Limite Superior de Controle (LSC) 
 
𝐿𝑆𝐶 = �̿� + 3�̂��̅� 
 
 Linha Média (LM) 
 
𝐿𝑀 = �̿� 
 
 Limite Inferior de Controle (LIC) 
 
𝐿𝐼𝐶 = �̿� − 3�̂��̅� 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
7º) Plotar o gráfico no Excel 
 
8º) O gráfico obtido constitui a norma de controle de fabricação; permitirá 
acompanhar o processo. 
 
9º) Por fim, construir o gráfico de controle para R - amplitude 
 
 Limite Superior de Controle (LSC) 
𝐿𝑆𝐶 = 𝐷4 ∙ �̅� 
 
 Linha Média (LM) 
𝐿𝑀 = �̅� 
 
 Limite Inferior de Controle (LIC) 
𝐿𝐼𝐶 = 𝐷3 ∙ �̅� 
 
 
 
 
 
 
50
55
60
65
70
75
80
85
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Amostra
Média
LSC
LM
LIC
50 
Exemplo 1 
 
A cada 2 horas de atividade, uma amostra de 5 peças são medidas e 
dentre as características de qualidade monitoradas está o peso de um dos 
componentes plásticos que são fabricados por sopro. Foram extraídas 10 
amostras (cada uma com as respectivas 5 peças) foram pesadas e indicaram os 
resultados descritos abaixo: 
 
Amostra Pesos Observados (n = 5) 
1 65 70 75 60 80 
2 75 70 80 90 70 
3 80 70 70 80 80 
4 65 65 65 80 65 
5 80 60 80 80 75 
6 75 70 60 85 75 
7 80 75 65 75 70 
8 70 65 75 65 85 
9 85 85 75 65 80 
10 65 65 65 80 60 
 
 
Atenção: 
K = 10 amostras extraídas 
n = 5 peças em cada amostra 
 
- Calcular para cada amostra a média �̅� e a amplitude R: 
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
 
 
𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 
 
 
 
51 
Amostra Pesos Observados (n = 5) Soma Média (�̅�) Amplitude ( R ) 
1 65 70 75 60 80 350 70 20 
2 75 70 80 90 70 385 77 20 
3 80 70 70 80 80 380 76 10 
4 65 65 65 80 65 340 68 15 
5 80 60 80 80 75 375 75 20 
6 75 70 60 85 75 365 73 25 
7 80 75 65 75 70 365 73 15 
8 70 65 75 65 85 360 72 20 
9 85 85 75 65 80 390 78 20 
10 65 65 65 80 60 335 67 20 
 
 
- Calcular para todas as k amostras obtidas a Média das Médias �̿� e a Média 
das amplitudes �̅� 
 
�̿� = 
∑ �̅�
𝑘
= 
729
10
= 72,9 
 
�̅� = 
∑ 𝑅
𝑘
= 
185
10
= 18,5 
 
- Calcular o desvio-padrão das médias 
 
�̂��̅� = 
1
𝑑2
∙ 
�̅�
√𝑛
= 
1
2,326
∙
18,5
√5
= 0,4299 ∙ 8,2734 = 3,5568 
 
 
Como obter o valor para d2 
Fator de Correção para gráfico de controle das Médias 
 
Tamanho das amostras 
(n) 
Fator de Correção 
D3 D4 D c4 d2 
4 0 2,282 0,446 0,921 2,059 
5 0 2,114 0,403 0,94 2,326 
6 0 2,004 0,375 0,952 2,534 
7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704 
 
 
 
52 
- Calcular os Limites 
 
Limite Superior de Controle (LSC) 
 
𝐿𝑆𝐶 = x̿ + 3σ̂x̅ 
𝐿𝑆𝐶 = 72,9 + 3 ∙ 3,5568 = 72,9 + 10,6704 = 83,57 
𝑳𝑺𝑪 = 𝟖𝟑, 𝟓𝟕 
 
Linha Média (LM) 
 
LM = x̿ 
𝐋𝐌 = 𝟕𝟐, 𝟗 
 
Limite Inferior de Controle (LIC) 
 
LIC = x̿ − 3σ̂x̅ 
LIC = 72,9 − 3 ∙ 3,5568 = 72,9 − 10,6704 = 62,23 
𝐋𝐈𝐂 = 𝟔𝟐, 𝟐𝟑 
 
Amostra Média LCS LM LCI 
1 70 83,57 72,9 62,23 
2 77 83,57 72,9 62,23 
3 76 83,57 72,9 62,23 
4 68 83,57 72,9 62,23 
5 75 83,57 72,9 62,23 
6 73 83,57 72,9 62,23 
7 73 83,57 72,9 62,23 
8 72 83,57 72,9 62,23 
9 78 83,57 72,9 62,23 
10 67 83,57 72,9 62,23 
 
 
 
 
 
 
53 
- Construir o gráfico de controle para a Média 
 
 
- Gráfico de controle para R – Amplitude 
 
 Limite Superior de Controle (LSC) 
LSC = D4 ∙ R̅ 
LSC = 2,114 ∙ 18,5 = 39,11 
𝐋𝐒𝐂 = 𝟑𝟗, 𝟏𝟏 
 
Como obter o valor para D4 
Fator de Correção para gráfico de controle das Médias 
 
Tamanho das amostras 
(n) 
Fator de Correção 
D3 D4 D c4 d2 
4 0 2,282 0,446 0,921 2,059 
5 0 2,114 0,403 0,94 2,326 
6 0 2,004 0,375 0,952 2,534 
7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704 
 
 
 
 
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
LSC
Média
LM
LIC
54 
 Linha Média (LM) 
LM = R̅ 
LM = 18,5 
 
 Limite Inferior de Controle (LIC) 
LIC = D3 ∙ R̅ 
LIC = 0 ∙ 18,5 = 0 
LIC = 0 
 
Como obter o valor para D3 
Fator de Correção para gráfico de controle das Médias 
 
Tamanho das amostras 
(n) 
Fator de Correção 
D3 D4 D c4 d2 
4 0 2,282 0,446 0,921 2,059 
5 0 2,114 0,403 0,94 2,326 
6 0 2,004 0,375 0,952 2,534 
7 0,076 1,924 0,353 0,959 2,704 
 
 
Amostra Amplitude R LSC LM LIC 
1 20 39,11 18,5 0 
2 20 39,11 18,5 0 
3 10 39,11 18,5 0 
4 15 39,11 18,5 0 
5 20 39,11 18,5 0 
6 25 39,11 18,5 0 
7 15 39,11 18,5 0 
8 20 39,11 18,5 0 
9 20 39,11 18,5 0 
10 20 39,11 18,5 0 
 
 
 
 
 
 
55 
- Construir o Gráfico de controle para R – Amplitude 
 
Gráfico de Controle para Amplitude 
 
 
Avaliação dos gráficos de controle 
 
 
 
 Se os pontos estão dentro dos limites não é necessário intervir no 
processo 
 A variação é decorrente de causas aleatórias 
 Se um ponto cai fora desses limites: Deve-se intervir no processo, pois o 
afastamento excessivo desse ponto em relação à linha média 
provavelmente é devido a uma causa especial. 
 
 
 
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
LSC
Amplitude R
LM
LIC
Processo sob controle: é aquele cujos resultados de medição apresentam
variação dentro dos limites de controle.
56 
 
Exemplo de um processo que está FORA de controle 
 
 
 
 
 
 
 
Recapitulando 
 
Os gráficos de controle correspondem a uma das ferramentas mais úteis 
no controle de um processo, pois permitem a identificação de causas que não 
são naturais ao processo de produção e que podem prejudicar a qualidadede 
um produto. 
 
Após a identificação de um processo fora de controle poderemos agir nas 
causas e melhorar continuamente o processo de produção garantindo a 
qualidade desejada no produto final. 
 
 
 
 
 
 
50
55
60
65
70
75
80
85
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Amostra
Média
LCI
LM
LCS
Este ponto está 
FORA 
Este ponto está 
FORA 
57 
Atividades Gráficos de Controle 
 
Questão 1. Considere os dados apresentados a seguir de 12 amostras de 
tamanho 5, para os quais foi medido o volume em saquinhos de 1 litro de leite. 
Construa o gráfico de controle para a Média e para a Amplitude com estes dados 
e verifique se o processo está sob controle. 
 
Amostra Medidas (litros de leite) 
1 1003,2 1004,4 993,5 994,6 997,6 
2 1002,3 999,0 1000,8 1000,7 998,0 
3 998,3 998,1 1004,2 1002,1 991,3 
4 1002,2 996,6 1002,7 1004,2 1001,8 
5 998,3 997,5 1006,1 996,5 998,1 
6 995,8 1000,8 999,1 1002,5 1001,0 
7 1004,1 1003,0 1004,8 997,9 999,9 
8 1000,1 994,9 1000,1 1004,9 997,3 
9 1000,2 996,1 998,0 1006,1 999,4 
10 996,2 1017,3 993,6 996,5 1003,7 
11 1014,0 1008,9 1004,1 1007,9 1000,7 
12 997,1 1000,7 999,8 1000,6 1001,7 
 
Questão 2. Responda: Quais são os princípios fundamentais dos gráficos de 
controle? 
 
Questão 3. Os gráficos de controle são utilizados para: 
a.( ) Identificar exatamente o que está causando algum tipo de problema no 
processo 
b.( ) Identificar o tipo de defeito nas unidades produzidas. 
c.( ) Auxiliar na eliminação de causas especiais, trazendo o processo para o 
estado de controle. 
d.( ) Analisar a melhor forma de efetuar o controle estatístico do processo. 
 
Questão 4. A variação que ocorre num processo de produção pode ser 
desmembrada em duas componentes, quais são elas? 
 
58 
Questão 5. Um processo está sob controle quando: 
a.( ) Os resultados de medição apresentam variação dentro dos limites de 
controle. 
b.( ) O desvio-padrão encontrado é menor que a média da variável. 
c.( ) A variação aleatória é conhecida durante todo o processo. 
d.( ) Não há ocorrência registrada de danos nas unidades produzidas. 
 
 
Gabarito Atividades Propostas 
 
Questão 1. 
Amostra Medidas (litros de leite) Amplitude ( R ) Média (x̅) 
1 1003,2 1004,4 993,5 994,6 997,6 10,9 998,7 
2 1002,3 999,0 1000,8 1000,7 998,0 4,3 1000,2 
3 998,3 998,1 1004,2 1002,1 991,3 12,9 998,8 
4 1002,2 996,6 1002,7 1004,2 1001,8 7,6 1001,5 
5 998,3 997,5 1006,1 996,5 998,1 9,6 999,3 
6 995,8 1000,8 999,1 1002,5 1001,0 6,7 999,8 
7 1004,1 1003,0 1004,8 997,9 999,9 6,9 1001,9 
8 1000,1 994,9 1000,1 1004,9 997,3 10,0 999,5 
9 1000,2 996,1 998,0 1006,1 999,4 10,0 1000,0 
10 996,2 1017,3 993,6 996,5 1003,7 23,7 1001,5 
11 1014,0 1008,9 1004,1 1007,9 1000,7 13,3 1007,1 
12 997,1 1000,7 999,8 1000,6 1001,7 4,6 1000,0 
 
Resultados para o Gráfico de Controle para a Média 
Média LIC LM LSC 
998,7 994,9 1000,7 1006,5 
1000,2 994,9 1000,7 1006,5 
998,8 994,9 1000,7 1006,5 
1001,5 994,9 1000,7 1006,5 
999,3 994,9 1000,7 1006,5 
999,8 994,9 1000,7 1006,5 
1001,9 994,9 1000,7 1006,5 
999,5 994,9 1000,7 1006,5 
1000,0 994,9 1000,7 1006,5 
1001,5 994,9 1000,7 1006,5 
1007,1 994,9 1000,7 1006,5 
1000,0 994,9 1000,7 1006,5 
 
59 
Resultados para o Gráfico de Controle para a Amplitude 
LSC 
Amplitude ( R ) 
LM LIC 
21,2 10,9 10,04 0 
21,2 4,3 10,04 0 
21,2 12,9 10,04 0 
21,2 7,6 10,04 0 
21,2 9,6 10,04 0 
21,2 6,7 10,04 0 
21,2 6,9 10,04 0 
21,2 10 10,04 0 
21,2 10 10,04 0 
21,2 23,7 10,04 0 
21,2 13,3 10,04 0 
21,2 
4,6 
10,04 0 
 
Gráfico de Controle para Média 
 
 
O processo está fora do controle!! 
 
 
 
 
 
 
985
990
995
1000
1005
1010
1015
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
LSC
Média
LM
LIC
60 
 
Gráfico de Controle para Amplitude 
 
 
O processo está fora do controle!! 
 
Questão 2. 
Resposta: Pensar e decidir baseado em dados e fatos; Pensar separando a 
causa do efeito, buscar sempre conhecer a causa fundamental dos problemas; 
Reconhecer a existência da variabilidade na produção e administrá-la e 
Identificar instantaneamente focos e locais de disfunção e corrigir os problemas 
a tempo. 
 
Questão 3. 
c.( x ) Auxiliar na eliminação de causas especiais, trazendo o processo para o 
estado de controle. 
 
Questão 4. Uma de difícil controle que é a variação aleatória e outra chamada 
variação controlável. 
 
 
 
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
LSC
Amplitude ( R )
LM
LIC
61 
Questão 5. Um processo está sob controle quando: 
a.( x ) Os resultados de medição apresentam variação dentro dos limites de 
controle. 
 
Como construir gráficos de controle no Excel 
 
Após a realização dos cálculos para determinar os limites para o gráfico, em uma 
planilha do Excel coloque as informações obtidas da seguinte forma: 
 
Vá até a barra de ferramentas na opção Inserir – gráfico de linhas - 
 
 
 
62 
4. PROBABILIDADE 
 Simone Echeveste 
 
 
Este capítulo tem por objetivo apresentar os conceitos básicos de 
probabilidade, viabilizando ao aluno o raciocínio lógico e probabilístico na 
resolução de problemas. Ao final deste estudo espera-se que o aluno resolva 
problemas aplicando para isso os conhecimentos básicos de probabilidade 
aprendidos. 
 
 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE 
 
A Teoria das Probabilidades se apresenta como um estudo teórico de 
fenômenos envolvendo a incerteza utilizando ferramentas básicas do Cálculo 
Matemático. Esses fenômenos, conhecidos como aleatórios estocásticos ou 
não-determinísticos, são aqueles que a sua repetição, em condições idênticas, 
produz resultados diferenciados, isto é, não é possível determinar, com exatidão, 
qual o seu resultado. 
 
A Probabilidade é o ramo da matemática que trata de fenômenos 
aleatórios. A observação de um fenômeno aleatório por parte do homem é 
chamada de experimento aleatório. 
 
Características de um experimento aleatório: 
 
1ª) Não se conhece um particular valor do experimento antes dele ser executado, 
porém podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades – o 
conjunto das possibilidades de um experimento aleatório é denominado de 
Espaço Amostral (S); 
 
63 
2ª) Quando o experimento é repetido algumas vezes, os resultados ocorrem de 
uma forma aparentemente acidental. Mas quando o número de repetições 
aumenta, uma regularidade aparecerá. E esta regularidade que torna possível 
construir um modelo matemático preciso para analisar o experimento. 
 
Definição de probabilidade 
 
Na definição clássica de probabilidade, considerando que todos os 
resultados possíveis são equiprováveis, podemos definir probabilidade de um 
evento qualquer A como sendo: 
 
𝑃(𝐴) = 
𝑁º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑁º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 
 
 
Exemplo 
 
Considere uma caixa contendo 10 brindes: 4 livros, 2 celulares, 1 rádio e 
3 perfumes. Você tem direito a um destes brindes que serão sorteados. Qual a 
probabilidade de você: 
 
a) Ganhar um livro 
b) Ganhar um celular 
c) Ganhar um rádio ou um celular 
d) Não ganhar perfume 
 
Resolução: 
 
Vamos considerar então que ao todo nessa caixa temos 10 brindes dos 
quais apenas 1 deles será seu. Então o Espaço amostral (conjunto de todos os 
possíveis resultados de um experimento) pode assim ser definido: 
 
 
S= { livro, celular, rádio, perfume} 
64 
 
a) Ganhar um livro 
Como temos na caixa 4 livros em um total de 10 brindes, a probabilidade de 
ganhar um livro é: 
 
𝑃(𝑙𝑖𝑣𝑟𝑜) = 
4
10
= 0,40 𝑥 100 = 40% 
 
b) Ganhar um celular 
 
𝑃(𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟) = 
2
10
= 0,20 𝑥 100 = 20% 
 
c) Ganhar um rádio ou um celular 
 
𝑃(𝑟á𝑑𝑖𝑜 𝑜𝑢 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟) = 
3
10
= 0,30 𝑥 100 = 30% 
 
d) Não ganhar perfume 
𝑃(𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑢𝑚𝑒) = 
7
10
= 0,70 𝑥 100 = 70%Não esqueça!!! 
A probabilidade de um evento A deve ser sempre: 
0  P(A)  1 
ou ainda 
0%  P(A)  100% 
65 
Propriedades da probabilidade 
 
Propriedade 1: Probabilidade Complementar 
 
 
A probabilidade complementar de A, é o evento formado por todos os 
resultados do espaço amostral que não pertencem à A. A probabilidade de não 
ocorrência de A, é descrita como )(AP e é expressa da forma: 
 
)(1)( APAP  
 
 
Propriedade 2: Regra da Adição 
 
 Se A e B são dois eventos independentes então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
 
 
Exemplo 
Ao retirar uma carta do baralho considere os eventos: A – retirar um Ás e 
R – retirar um Rei. Qual a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta 
deste baralho e ela ser um Ás ou um Rei? 
 
P(A ou R) = P(A) + P(R) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 0,1538 
 
 
 Se A e B são dois eventos dependentes então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
A B 
A B 
66 
Exemplo 
 
 Ao retirar uma carta do baralho considere os eventos: A – retirar um Ás 
e E – retirar uma carta no naipe Espadas. Qual a probabilidade de selecionar 
aleatoriamente uma carta deste baralho e ela ser um Ás ou uma carta do naipe 
de espadas? 
 
P(A ou E) = P(A) + P(E) – P(A e E) 
4/52 + 13/52 – 1/52 = 
 16/52 = 0,3077 
 
 
 
Atenção! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais exemplos de aplicação das propriedades 
 
Questão 1 
De 300 estudantes do curso de Engenharia, 100 são matriculados em 
Geometria Analítica e 80 em Estatística. Estes dados incluem 30 estudantes que 
estão matriculados em ambas as disciplinas. Qual a probabilidade de um 
estudante de engenharia selecionado ao acaso esteja matriculado em Geometria 
Analítica ou Estatística? 
 
Vamos considerar os eventos: 
GA – estar matriculado em Geometria Analítica 
E- estar matriculado em Estatística 
 
Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou não de um evento 
não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Dois 
eventos são dependentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de um evento 
afeta a probabilidade de ocorrência do outro. 
67 
𝑃(𝐺𝐴) =
100
300
= 0,3333 
 
𝑃(𝐸) =
80
300
= 0,2667 
 
𝑃(𝐺𝐴 𝑒 𝐸) =
30
300
= 0,10 
 
Qual a probabilidade de um estudante de engenharia selecionado ao 
acaso esteja matriculado em Geometria Analítica ou Estatística? 
 
𝑃(𝐺𝐴 𝑜𝑢 𝐸) = 𝑃(𝐺𝐴) + 𝑃(𝐸) − 𝑃(𝐺𝐴 𝑒 𝐸) 
 
𝑃(𝐺𝐴 𝑜𝑢 𝐸) = 0,3333 + 0,2667 − 0,10 
 
𝑷(𝑮𝑨 𝒐𝒖 𝑬) = 𝟎, 𝟓𝟎𝟎𝟎 
 
 
Questão 2 
De 100 pessoas que solicitaram emprego de engenheiro de produção, 
durante o ano passado, 65 possuíam experiência anterior e 30 possuíam um 
certificado profissional. Vinte dos candidatos possuíam tanto experiência anterior 
como certificado profissional. Qual a probabilidade de um candidato selecionado 
ao acaso deste grupo tenha experiência anterior ou certificado profissional? 
 
Vamos considerar os eventos: 
EA – possuir experiência anterior 
CP- possuir certificado profissional 
 
𝑃(𝐸𝐴) =
65
100
= 0,65 
 
𝑃(𝐶𝑃) =
30
100
= 0,30 
 
68 
𝑃(𝐸𝐴 𝑒 𝐶𝑃) =
20
100
= 0,20 
 
Qual a probabilidade de um candidato selecionado ao acaso deste grupo 
tenha experiência anterior ou certificado profissional? 
 
𝑃(𝐸𝐴 𝑜𝑢 𝐶𝑃) = 𝑃(𝐸𝐴) + 𝑃(𝐶𝑃) − 𝑃(𝐸𝐴 𝑒 𝐶𝑃) 
 
𝑃(𝐸𝐴 𝑜𝑢 𝐶𝑃) = 0,65 + 0,30 − 0,20 
 
𝑃(𝐸𝐴 𝑜𝑢 𝐶𝑃) = 0,75 
 
 
Propriedade 3: Regra da Multiplicação 
 
 
 Se A e B são dois eventos independentes então: 
 
P(A e B) = P(A) x P(B) 
 
Exemplo 
 
Em uma linha de produção a probabilidade de uma peça fabricada estar 
fora das especificações em relação a sua largura é 2%, em relação ao seu 
comprimento é 5%. Considere que a ocorrência de defeito na largura ou 
comprimento acontece de forma independente. Uma peça foi aleatoriamente 
selecionada desta linha de produção e seu comprimento e largura verificados 
pelo controle de qualidade, qual a probabilidade desta peça: 
 
a) Apresentar defeito na largura e no comprimento 
P(DL e Dc) = 0,02 x 0,05 = 0,001 
 
b) Apresentar defeito apenas na largura 
P(DL e Pc) = 0,02 x 0,95 = 0,019 
 
 
69 
c) A peça ser perfeita na largura e no comprimento 
P(PL e Pc) = 0,98 x 0,95 = 0,931 
 
d) A peça apresentar pelo menos um destes defeitos 
 
 P(DL e Pc) ou P(PL e Dc) ou P(DL e Dc)= 
 
 (0,02 x 0,95) + (0,98 x 0,05) + (0,02 x 0,05) = 
 
 0,019 + 0,049 + 0,001 = 0,069 
 
 
Propriedade 4: Probabilidade Condicional 
 
 
 Se A e B são dois eventos dependentes então: 
 
Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade 
condicional é empregado para indicar a probabilidade de ocorrência de um 
evento relacionado. A expressão P(B/A) indica a probabilidade de ocorrer o 
evento B, dado que tenha ocorrido o evento A . 
 
P(A e B) = P(A) x P(B/A) 
 
Onde: 
P(A)
B) eP(A 
P(B/A)  
 
Exemplo 
 
 Um lote de 10 peças produzidas por uma fábrica contém 8 peças boas e 
2 defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente sem reposição pelo 
comprador do lote. Qual é a probabilidade de: 
 
a) As duas peças serem boas 
P(B1 e B2) = P(B1) x P(B2/B1) = 8/10 x 7/9 = 56/90 = 0,6222 
70 
b) A primeira peça ser boa e a segunda defeituosa 
P(B1 e D2) = P(B1) x P(D2/B1) = 8/10 x 2/9 = 16/90 = 0,1777 
 
c) As duas peças serem defeituosas 
P(D1 e D2) = P(D1) x P(D2/D1) = 2/10 x 1/9 = 2/90 = 0, 0222 
 
 
 
ÁRVORE DE PROBABILIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais exemplos de aplicação das propriedades 
 
Questão 1 
 
Um sistema tem dois componentes A e B que operam 
independentemente. Suponha que a probabilidade de falha do componente A 
seja 10% e do componente B 20%. Qual é a probabilidade de: 
 
a) A falha do sistema ocorrer em ambos componentes 
𝑃(𝐴) = 0,10 𝑃(𝐵) = 0,20 
𝑃(𝐴 𝑒 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) 
𝑷(𝑨 𝒆 𝑩) = 𝟎, 𝟏𝟎 × 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟐 
8 Boas 
2 defeituosas 
__________ 
10 peças 
Boa 
8/10 
 
Defeituosa 
2/10 
Boa 
7/9 
Boa 
8/9 
Defeituosa 
2/9 
Defeituosa 
1/9 
1ª Peça 
2ª Peça 
71 
b) A falha do sistema ocorrer apenas no componente A 
 
𝑃(𝐴) = 0,10 𝑃(𝐵) = 0,20 
 
Utilizando a propriedade 1 da probabilidade complementar: 
 
𝑃(�̅�) − 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑁Ã𝑂 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 
𝑃(�̅�) − 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑁Ã𝑂 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐵 
 
𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,10 = 0,90 
 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 − 0,20 = 0,80 
 
Então 
 
A falha do sistema ocorrer apenas no componente A: 
 
𝑃(𝐴 𝑒 �̅�) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(�̅�) 
𝑷(𝑨 𝒆 �̅�) = 𝟎, 𝟏𝟎 × 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟖 
 
c) Não ocorrer falha no sistema 
𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,10 = 0,90 
𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 − 0,20 = 0,80 
 
Então 
Não ocorrer falha no sistema 
 
𝑷(�̅� 𝒆 �̅�) = 𝟎, 𝟗𝟎 × 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟎, 𝟕𝟐 
 
72 
Questão 2 
 
Dos eleitores de certa comunidade 33% são homens e 10% dos eleitores 
votaram em branco na última eleição. Supondo que estes eventos sejam 
independentes, determine a probabilidade de escolher aleatoriamente um 
homem e este ter votado em branco na última eleição. 
 
Considere os eventos: 
H – ser homem 
B- votar em branco 
 
𝑃(𝐻) = 0,33 𝑃(𝐵) = 0,10 
 
𝑷(𝑯 𝒆 𝑩) = 𝑷(𝑯) × 𝑷(𝑩) = 𝟎, 𝟑𝟑 × 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟑 
 
 
73 
Recapitulando 
 
O estudo da probabilidade viabiliza o entendimento das chances 
associadas aos fenômenos aleatórios presentes em várias atividades do nosso 
dia-a-dia. 
 
A definição clássica de uma probabilidade é 
 
𝑃(𝐴) = 
𝑁º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑁º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 
 
Para a resolução dos problemas podemosconsiderar algumas 
propriedades importantes do cálculo das probabilidades: 
 
Probabilidade Complementar: 
)(1)( APAP  
 
Regra da Adição: 
Se A e B são dois eventos independentes: P(A ou B) = P(A) + P(B) 
Se A e B são dois eventos dependentes: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
 
Regra da Multiplicação: 
Se A e B são dois eventos independentes: P(A e B) = P(A) x P(B) 
Se A e B são dois eventos dependentes: P(A e B) = P(A) x P(B/A) 
Onde: 
P(A)
B) eP(A 
P(B/A)  
 
 
 
 
 
74 
Atividades 
 
Questão 1. Um pacote de sementes de flores contém 4 sementes de flores 
vermelhas, 3 amarelas, 3 roxas e 1 flor laranja. Escolhida ao acaso, uma 
semente deste pacote, qual a probabilidade de: 
 
a) ser de flor vermelha ou laranja 
b) não ser de flor amarela 
c) ser roxa 
 
Questão 2. A probabilidade de um homem estar vivo daqui a 30 anos é de 40% 
e de sua mulher é de 65%. Qual a probabilidade de que daqui a 30 anos: 
 
a) Ambos estejam vivos 
b) Somente a mulher esteja viva 
 
Questão 3. Marcelo tem dois velhos automóveis. Nas manhãs frias, há 20% de 
probabilidade de um deles não pegar e 30% do outro não pegar. Em uma manhã 
fria qual a probabilidade de nenhum dos carros pegar: 
 
Questão 4. Uma urna contém 7 moedas de 50 centavos e 5 moedas de 10 
centavos. Duas moedas são retiradas ao acaso, sem reposição. Qual a 
probabilidade de se retirar desta urna 1 real. 
 
Questão 5. Verificou-se que na exportação de um artigo de higiene problemas 
relacionados à embalagem ocorrem com probabilidade de 0,02, e que problemas 
relacionados à consistência deste produto ocorrem com uma probabilidade de 
0,05. Considerando que estes problemas ocorrem de forma independente do 
outro, qual é a probabilidade de ao selecionar ao acaso um destes artigos de 
higiene este apresentar pelo menos um destes problemas? 
 
 
 
75 
Gabarito 
 
Questão 1 
a) P(V ou L) = 5/11 = 0,4545 
b) P(não Amarela) = 8/11 = 0,7272 
c) P(R) = 3/11 = 0,2727 
 
 
Questão 2. 
a) P(Ambos estejam vivos) = 0,26 
b) P(Somente a mulher esteja viva) = 0,39 
 
Questão 3. 
P(Nenhum pegar) = 0,60 
 
Questão 4. 
 
P(50 centavos) = 7/12 = 0,5833 P(10 centavos) = 5/12 = 0,4167 
P(1 real) = P(50 e 50) = 0,5833 x 0,5833 = 0,3403 
 
Questão 5. 
P(Embalagem) = 0,02 P(Consistência) = 0,05 
 
P(E e C) = P(E) X P(C) = 0,02 X 0,05 = 0,001 
76 
5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
 
 Simone Echeveste 
 
 
Este capítulo tem por objetivo apresentar as principais distribuições de 
probabilidades aplicadas à área da Engenharia, trazendo exemplos da área. O 
aluno deverá ser capaz de identificar para cada situação a distribuição de 
probabilidade indicada para resolvê-la, bem como aplicar corretamente os 
modelos na resolução dos problemas. 
 
 
 
 
Uma distribuição de probabilidades é caracterizada pela construção de 
um modelo matemático que representa para uma variável aleatória “X” as 
probabilidades associadas aos possíveis valores que esta variável pode assumir. 
Seu objetivo é determinar a probabilidade de ocorrência de cada valor que uma 
variável aleatória pode assumir, ou seja, é uma correspondência que associa 
probabilidades aos valores de uma variável aleatória, ou ainda, é uma Função 
que relaciona a probabilidade de ocorrência de um valor da variável aleatória: 
 
 
P(X=x) = f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
77 
 
 
A distribuição Binomial é útil para avaliar experimentos em que somente 
dois resultados são possíveis: sucesso ou fracasso que são mutuamente 
excludentes. As características desta distribuição são: 
 
 
 
Características: 
 
 O experimento pode ser repetido “n” vezes em condições essencialmente 
inalteradas; 
 Há apenas dois resultados possíveis em cada repetição, denominados 
sucesso ( p ) e fracasso ( 1- p ) 
 As probabilidades “p” (sucesso) e “1-p” (fracasso) permanecem 
constantes em todas as repetições. 
 As repetições são independentes, ou seja, o resultado de uma repetição 
não é influenciado por outros resultados. 
 
 
O Modelo Binomial 






















fracasso de adeprobabilid p)-(1
sucesso de adeprobabilid p
determinar deseja se que valor x
evento do repetições de nº n
 onde , )1.(.
)!!.(
!
)( xnx pp
xnx
n
xXP
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
78 
 
A probabilidade da ocorrência de peças defeituosas em um lote produzido 
por uma fábrica é de 5%. Cinco lotes são investigados, qual é a probabilidade 
de: 
 
a) Somente um lote contenha uma peça defeituosa 
 
n= 5 lotes 
x = nº lotes com peças defeituosas 
p = 0,05 (5%) 
(1-p) = 1- 0,05 = 0,95 (95%) 
 
Pede-se: Somente um lote contenha peças defeituosas - P(x = 1) 
 
𝑃(𝑥 = 1) = 
5!
1!. (5 − 1)!
 ∙ 0,051 ∙ 0,955−1 = 5 ∙ 0,05 ∙ 0,954 = 0,2036 
 
𝑷(𝒙 = 𝟏) = 𝟎, 𝟐𝟎𝟑𝟔 
 
 
b) Nenhum lote contenha peças defeituosas 
 
n= 5 lotes 
x = nº lotes com peças defeituosas 
p = 0,05 (5%) 
(1-p) = 1- 0,05 = 0,95 (95%) 
 
Pede-se: Nenhum lote contenha peças defeituosas - P(x = 0) 
 
𝑃(𝑥 = 0) = 
5!
0!. (5 − 0)!
 ∙ 0,050 ∙ 0,955−0 = 1 ∙ 1 ∙ 0,955 = 0,7738 
 
𝑷(𝒙 = 𝟎) = 𝟎, 𝟕𝟕𝟑𝟖 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
79 
 
 
A probabilidade de ocorrer problemas na direção hidráulica de um 
caminhão de uma determinada marca é de 0,10. Considerando uma frota de 8 
caminhões desta marca, qual é a probabilidade de que metade deles venha a ter 
problemas na direção hidráulica? 
 
X = Nº de caminhões com problemas na direção hidráulica 
p = 0,10 (a probabilidade de um caminhão ter problemas na direção hidráulica) 
(1-p) = 0,90 
n = 8 caminhões 
 
Pede-se: 
P(metade da frota de 8 caminhões apresentar problemas na direção hidráulica) P(x=4) 
 
Resolução: 
P(x= 4) = 0,0046 0,6561 . 0,0001 . 70 .0,90.0,10
4!.4!
8! 44  
 
P(x= 4) = 0,0046 
 
Média ou Valor Esperado da Distribuição Binomial 
 
Se a variável aleatória X possui distribuição Binomial então sua média e 
seu desvio-padrão podem ser definidos como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
)1.(. ppn pnxE .)( 
Média Desvio-padrão 
80 
Vamos considerar o exemplo anteriormente visto: A probabilidade de 
ocorrer problemas na direção hidráulica de um caminhão de uma determinada 
marca é de 0,10. Considerando uma frota de 8 caminhões desta marca, qual é 
a probabilidade de que metade deles venha a ter problemas na direção 
hidráulica? 
 
A média de caminhões com problemas na direção hidráulica, ou ainda o 
valor esperado de caminhões com problemas na direção hidráulica seria de: 
 
𝛍 = 𝐧 ∙ 𝐩 = 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟎 
 
E o desvio-padrão: 
 
𝛔 = √𝐧 ∙ 𝐩 ∙ (𝟏 − 𝐩) = √𝟖 ∙ 𝟎, 𝟏𝟎 ∙ (𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟎) = √𝟎, 𝟕𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟓 
 
 
5.2. DISTRIBUIÇÃO POISSON 
 
Depois da Binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição de 
probabilidade discreta mais utilizada, pois pode ser aplicada a muitos casos 
práticos nos quais interessa o número de vezes que um determinado evento 
pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou num determinado ambiente 
físico, por exemplo: 
 
 O número de acidentes de carros por dia numa grande cidade. 
 O número de garrafas mal fechadas por trinta minutos na máquina de 
enchimento de cerveja. 
 O número de defeitos de soldagem em seis metros de tubo; 
 
 
 
 
Num processo de Poisson podem ser observados eventos discretos numa 
área de oportunidade de tal forma que, reduzindo suficientemente essa área de 
81 
oportunidade que pode ser um intervalo de tempo, espaço, ou área na qual mais 
de uma ocorrência de um evento pode ocorrer: 
 
Características da Distribuição Poisson 
 
 A probabilidade de observar apenas um sucesso no intervalo é estável. 
 A probabilidade de observar mais de um sucesso no intervalo é zero. 
 A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é estatisticamente 
independente