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1. Seja f : R2 → R a função definida por, f(x, y) = 2xy x2 + y2 se x2 + y2 6= 0 0 se x = y = 0 a) Mostre que f é cont́ınua em P = (−1, 3); Temos que, lim (x,y)→(−1,3) f(x, y) = lim (x,y)→(−1,3) 2xy x2 + y2 = lim (x,y)→(−1,3) 2xy lim (x,y)→(−1,3) x2 + y2 = = 2 · (−1) · 3 (−1)2 + 33 = − 6 10 = f(−1, 3) Portanto, f é cont́ınua em P = (−1, 3). b) f é cont́ınua em Q = (0, 0)? justifique. Para f ser cont́ınua em Q = (0, 0), devemos ter a existência do limite, lim (x,y)→(0,0) f(x, y), mas se esse limite existe então, lim (x,x)→(0,0) f(x, y) = lim (x,−x)→(0,0) f(x, y) Temos que, lim (x,x)→(0,0) f(x, y) = lim (x,x)→(0,0) 2xx x2 + x2 = 1 e lim (x,−x)→(0,0) f(x, y) = lim (x,−x)→(0,0) 2x(−x) x2 + (−x)2 = −1 Logo, lim (x,y)→(0,0) f(x, y) não existe. Portanto, f não é cont́ınua em Q = (0, 0) . 1 Segunda Prova Resolvida de Cálculo Diferencial e Séries 2. Sejam f : R2 → R e g : (0,+∞)×R2 ⊆ R3 → R funções definidas por f(x, y) = sen(x ·sen(y)) e g(x, y, z) = xy+z. a) Calcule a derivada direcional ∂f ∂v (0, π 2 ), sendo v = ( 1√ 2 ,− 1√ 2 ); f(x, y) = sen(x · sen(y)). Temos que, ∂f ∂v (0, π 2 ) = 〈∇f(0, π 2 ), v〉 = 〈(∂f ∂x (0, π 2 ), ∂f ∂y (0, π 2 )), ( 1√ 2 ,− 1√ 2 )〉 = = ∂f ∂x (0, π 2 ) · 1√ 2 + ∂f ∂y (0, π 2 ) · ( − 1√ 2 ) Mas, ∂f ∂x (x, y) = cos(x · sen(y)) · sen(y) logo, ∂f ∂x (0, π 2 ) = cos(0) · sen(π 2 ) = 1 · 1 = 1. ∂f ∂y (x, y) = cos(x · sen(y)) · x · cos(y) logo, ∂f ∂y (0, π 2 ) = cos(0) · 0 · cos(π 2 ) = 0. Portanto, ∂f ∂v (0, π 2 ) = 1√ 2 = √ 2 2 b) Calcule a derivada direcional ∂g ∂w (1, 2, 3), sendo w = ( 1√ 3 ,− 1√ 3 ,− 1√ 3 ); g(x, y, z) = xy+z = e(y+z) ln(x). Temos que, ∂g ∂w (1, 2, 3) = 〈∇g(1, 2, 3), w〉 = 〈(∂g ∂x (1, 2, 3), ∂g ∂y (1, 2, 3), ∂g ∂z (1, 2, 3)), ( 1√ 3 ,− 1√ 3 ,− 1√ 3 )〉 = = ∂g ∂x (1, 2, 3) · 1√ 3 + ∂g ∂y (1, 2, 3) · ( − 1√ 3 ) + ∂g ∂z (1, 2, 3) · ( − 1√ 3 ) Mas, ∂g ∂x (x, y, z) = (y + z) · xx+y−1 logo, ∂g ∂x (1, 2, 3) = (2 + 3) · 12+3−1 = 5. ∂g ∂y (x, y, z) = xy+z · ln(x) logo, ∂g ∂y (1, 2, 3) = 15 · ln(1) = 0. ∂g ∂z (x, y, z) = xy+z · ln(x) logo, ∂g ∂y (1, 2, 3) = 15 · ln(1) = 0. Portanto, ∂f ∂w (1, 2, 3) = 5√ 3 = 5 √ 3 3 3. A derivada direcional de f(x, y, z) em um ponto P é maior na direção v = (1, 1,−1). Nesta direção, o valor da derivada direcional é 2 √ 3. a) Determine o vetor gradiente ∇f(P ); 2 A direção em que a função cresce mais rapidamente é a direção (e sentido) do vetor gradiente. Logo, ∇f(P ) = λ · (1, 1,−1) para algum λ > 0. Assim, se v = ∇f(P )||∇f(P )|| = ( 1√ 3 , 1√ 3 ,− 1√ 3 ), temos que: 2 √ 3 = ∂f ∂v (P ) = 〈∇f(P ), v〉 = 〈(λ, λ,−λ), ( 1√ 3 , 1√ 3 ,− 1√ 3 )〉 = 3 · λ√ 3 = λ √ 3 Logo, λ = 2 e ∇f(P ) = (2, 2,−2) b) Qual é o valor da derivada direcional de f no ponto P e na direção w = (1, 1, 0)? Temos que w||w|| = ( 1√ 2 , 1√ 2 , 0). Logo, ∂f ∂w (P ) = 〈∇f(P ), w ||w|| 〉 = 〈(2, 2,−2), ( 1√ 2 , 1√ 2 , 0)〉 = 2√ 2 + 2√ 2 + (−2) · 0 = 2 √ 2 4. Determine uma equação geral do plano π, tangente à superf́ıcie S : 4x2 +y2−z = 0, no ponto P = (1, 1, 5). Um vetor normal ao plano π é dado por ∇f(P ), sendo f : R3 → R a função definida por f(x, y, z) = 4x2 + y2 − z. Assim, ∇f(x, y, z) = (∂f ∂x (x, y, z), ∂f ∂y (x, y, z), ∂f ∂z (x, y, z)) = (8x, 2y,−1) Logo, ∇f(P ) = ∇f(1, 1, 5) = (8, 2,−1) e uma equação geral para o plano π, tangente à superf́ıcie S no ponto P = (1, 1, 5), é dada por 8x+2y−z+d = 0. Como o ponto P = (1, 1, 5) pertence ao plano π, devemos ter d = −8 · 1− 2 · 1 + 1 · 5 = −10 + 5 = −5. Portanto: π : 8x+ 2y − z − 5 = 0 3
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