Livro Eletromagnetismo I

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Eletromagnetismo I 
1 
 
Técnicas de 
Estudo e Pesquisa 
Mônica Ferreira 
Eletromagnetismo I 
Alexander Cascardo Carneiro 
1
ª 
ed
iç
ão
 
Eletromagnetismo I 
 
 
 
Alexander Cascardo Carneiro 
Eletromagnetismo I 
2 
 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Texto: 
Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes 
Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos e Victor Narciso 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliotecária: ELIZABETH FRANCO MARTINS – CRB 7/4990 
 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se 
responsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
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da Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
 
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Eletromagnetismo I 
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Palavra da Reitora 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, exigente 
e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de Oliveira 
(UNIVERSO) apresenta a UNIVERSOEAD, que reúne os diferentes segmentos do 
ensino a distância na universidade. Nosso programa foi desenvolvido segundo as 
diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio dessa 
modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço presentes nos dias 
de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio tempo e gerenciar seu 
estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se responsável pela própria 
aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que permite 
que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo o momento, 
ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-sucedido 
projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo de atualização, 
ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, graduação ou pós-
graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando as 
novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
 
Seja bem-vindo à UNIVERSOEAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora. 
 
Eletromagnetismo I 
4 
 
Eletromagnetismo I 
5 
 
Sumário 
 
 
Apresentação da disciplina......................................................................................... 7 
Plano da disciplina ..................................................................................................... 9 
Unidade 1 – Revisão de Álgebra Vetorial .................................................................. 13 
Unidade 2 – Cálculo Vetorial ..................................................................................... 67 
Unidade 3 – Campo Eletrostático ............................................................................... 114 
Unidade 4 – Densidade de Fluxo Elétrico e Condições de Contorno .......................... 178 
Unidade 5 – Campo Magnetostático e Lei de Ampére................................................ 220 
Considerações finais .................................................................................................. 259 
Conhecendo o autor ................................................................................................... 261 
Referências ................................................................................................................ 263 
Anexos ...................................................................................................................... 265 
 
Eletromagnetismo I 
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Eletromagnetismo I 
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Apresentação da Disciplina 
 
Caro Leitor, 
 
A Teoria Eletromagnética é uma disciplina preocupada com o estudo das cargas 
elétricas, em repouso ou em movimento, as quais produzem correntes e campos 
elétricos e magnéticos. Portanto, ela é fundamental para o estudo da Física e da 
Engenharia Elétrica, sendo indispensável para a compreensão, projeto e operação de 
diversos sistemas práticos. Algumas das aplicações da Teoria Eletromagnética incluem 
antenas, circuitos de micro-ondas, rádio frequência, comunicações óticas, geociência, 
radar, eletrônica quântica, circuitos de estado sólido, conversão eletromecânica e 
computadores. 
O estudo do Eletromagnetismo inclui conceitos tanto teóricos quanto aplicados. 
Os conceitos teóricos são descritos por um conjunto de leis básicas formuladas através 
de experimentos conduzidos durante os últimos séculos, em especial o século XIX. 
Alguns dos principais cientistas são Faraday, Ampere, Gauss, Lenz, Coulomb e Volta. 
A combinação dessas leis resulta em um conjunto de equações vetoriais propostas por 
Maxwell, conhecidas como Equações de Maxwell. Os conceitos aplicados de 
Eletromagnetismo são formulados por meio da aplicação dos conceitos teóricos a 
projetos e operações de sistemas práticos. 
Nesse livro, estudaremos os conceitos teóricos de Eletromagnetismo, concluindo 
com a definição das Equações de Maxwell. Além disso, resolveremos uma série de 
problemas teóricos e práticos de Eletromagnetismo, os quais podem ser solucionados 
por meio da Teoria Eletromagnética. 
 
Seu Professor, Alexander Cascardo Carneiro. 
Eletromagnetismo I 
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Eletromagnetismo I 
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Plano da Disciplina 
 
Prezado, 
Vamos iniciar os nossos estudos sobre a disciplina de Eletromagnetismo a partir 
dos conceitos fundamentais de álgebra e do cálculo vetorial. Em seguida, estudaremos 
as principais características e parâmetros de natureza elétrica, essenciais para 
entendermos os campos Eletrostáticos e Magnetostáticos. O conteúdo da disciplina fica 
dividido nas seguintes seis Unidades. 
 
Unidade 1 – Revisão de Álgebra Vetorial 
Nesta Unidade inicial, iremos começar a estudar os conceitos matemáticos da 
álgebra vetorial que são fundamentais ao estudo do Eletromagnetismo. 
Objetivos da unidade: 
Conhecer o histórico do Eletromagnetismo e as principais grandezas físicas e 
unidades de medidas. 
Compreender os conceitos e operações algébricas envolvendo vetores, como 
somas, subtrações e produtos escalar e vetorial. 
Entender os três principais sistemas de coordenadas ortogonais,sistema de 
coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas, e as operações entre eles. 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
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Unidade 2 – Cálculo Vetorial 
Nesta Unidade aprenderemos os fundamentos do Cálculo Vetorial que são a base 
matemática para o Eletromagnetismo. 
Objetivos da unidade: 
Conhecer os elementos diferenciais de volume, área e comprimento. 
Entender os operadores vetoriais, como o gradiente, o divergente e o rotacional. 
Ser capaz de desenvolver sucessivas aplicações dos operadores vetoriais. 
 
Unidade 3 – Campo Eletrostático 
Nesta Unidade, estudaremos os conceitos básicos sobre os campos Eletrostáticos, 
incluindo o campo elétrico, a força elétrica e o potencial elétrico. Vamos aprender as 
expressões que relacionam esses parâmetros, as quais são aplicações de álgebra e 
cálculo vetorial que vimos nas Unidades anteriores. 
Objetivos da unidade: 
Aprender os conceitos fundamentais sobre carga elétrica, força elétrica e campo 
elétrico e suas relações. 
Demonstrar a obtenção do campo elétrico através da Lei do Fluxo de Gauss. 
Apresentar os modelos, fórmulas e expressões para o potencial elétrico, energia 
potencial e diferença de potencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
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Unidade 4 – Densidade de Fluxo Elétrico e Condições de Contorno 
Nesta Unidade, vamos estudar os conceitos relacionados às propriedades dos 
materiais elétricos, incluindo a definição de condutividade e permissividade. Em 
seguida, deduziremos a equação de Laplace, a ser aplicada para diversas condições de 
contorno, para determinar a capacitância de capacitores. 
Objetivos da unidade: 
Aprender sobre as principais propriedades dos materiais elétricos, incluindo suas 
classificações, fenômeno de polarização e grandezas, como condutividade e 
permissividade. 
Estudar as diversas condições de fronteira entre materiais condutores e dielétricos. 
Conhecer as equações de Poisson e Laplace para a dedução das condições de 
contorno em problemas de Eletrostática. 
 
Unidade 5 – Campo Magnetostático e Lei de Ampére 
Nesta última Unidade de Eletromagnetismo I, estudaremos os principais conceitos 
relacionados aos campos magnetostáticos, incluindo as Leis de Biot-Svart e a Lei de 
Ampére. Encerraremos o aprendizado sobre a Teoria Eletromagnética, considerado o 
caso estacionário (sem variação dos campos em relação ao tempo). 
Objetivos da unidade: 
Estudar as propriedades magnéticas dos materiais, como a permeabilidade e sua 
relação com as grandezas magnéticas. 
Entender a Lei de Biot-Savart para a densidade de fluxo magnético a partir de uma 
corrente elétrica percorrendo um material condutor. 
Conhecer a Lei de Ampére e sua aplicação em diferentes configurações de 
condutores percorridos por corrente. 
 
Eletromagnetismo I 
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Eletromagnetismo I 
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Revisão de Álgebra 
Vetorial 
 
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1 Revisão de Álgebra Vetorial 
 
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Nesta Unidade inicial, iremos começar a estudar os conceitos matemáticos da 
álgebra vetorial que são fundamentais ao estudo do Eletromagnetismo. 
 
Objetivos da unidade: 
Conhecer o histórico do Eletromagnetismo e as principais grandezas físicas e 
unidades de medidas. 
Compreender os conceitos e operações algébricas envolvendo vetores, como 
somas, subtrações e produtos escalar e vetorial. 
Entender os três principais sistemas de coordenadas ortogonais, sistema de 
coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas, e as operações entre eles. 
 
Plano da unidade: 
Introdução ao Eletromagnetismo. 
Álgebra Vetorial. 
 
 
Bons estudos! 
 
Eletromagnetismo I 
 
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Introdução ao Eletromagnetismo 
 
A Linha do Tempo para o Eletromagnetismo: 
Em geral, a história do Eletromagnetismo pode ser divida em duas eras que se 
sobrepõem: a Era Clássica e a Era Moderna. 
1. Na Era Clássica foram descobertas e formuladas as leis fundamentais da 
Eletricidade e do Magnetismo. 
2. A Era Moderna, iniciada a partir do século passado, produziu resultados 
importantes para essas leis fundamentais, introduzindo uma ampla gama de aplicações 
de Engenharia Elétrica. 
A Figura a seguir apresenta os principais eventos históricos do Eletromagnetismo 
ocorridos na Era Clássica: 
 
Fonte: WENTWORTH, 2009. 
Eletromagnetismo I 
 
16 
Como pode ser observado na Figura, o primeiro relato do comportamento elétrico 
e magnético foi descrito por Thales de Mileto, em 600 a. C. Thales de Mileto descreveu 
como a fricção do âmbar fazia o material “desenvolver” uma força que atraia objetos, 
como plumas. Em seu experimento, Thales de Mileto mostrou como o âmbar, ao ser 
friccionado com pele de gato, pode atrair penas (que hoje sabemos ser explicado pela 
Eletricidade Estática). 
Mas foi só por volta de 1600 que o termo elétrico surgiu pela primeira vez 
(originada da palavra grega elektron, que significa âmbar), em um tratado sobre “força 
elétrica gerada por fricção”, de autoria do físico da rainha Elizabeth I, William Gilbert. 
Em seu experimento, Gilbert observou que a agulha da bússola se posiciona na direção 
norte-sul, pois a Terra se comporta como um “grande ímã”. 
Em 1752, Benjamin Franklin inventou o para-raios e demonstrou que o 
relâmpago é um fenômeno elétrico (uma forma de eletricidade). Todo o conhecimento 
científico do século XVIII sobre Eletricidade foi integrado nos trabalhos de Charles-
Augustin de Coulomb, que formulou as equações matemáticas sobre a força elétrica 
entre duas cargas em termos de intensidade (magnitude) e polaridade (direção), em 
função da distância entre elas. 
 
O estudo científico e qualitativo dos fenômenos elétricos e magnéticos ocorreu 
durante os séculos XVII e XVIII, nas obras dos seguintes autores: Gilbert, 1600, 
Guericke, 1660, Dufay, 1733, Franklin, 1752, Galvani, 1771, Cavendish, 1775, 
Coulomb, 1785 e Volta, 1800. As forças entre cargas elétricas estacionárias (que não 
variam no tempo) puderam ser explicadas graças a Lei de Coulomb. A partir daí, os 
campos eletrostáticos e magnetostáticos (campos que não variam com o tempo) 
puderam ser formulados e modelados matematicamente. 
 
A partir da segunda metade do século XVIII, em especial a partir do início do 
século XIX, tivemos um grande progresso na compreensão do fenômeno 
eletromagnético. Em torno de 1800, Alexandre Volta inventou a célula fotovoltaica 
(“pilha” ou “bateria” elétrica), permitindo que os experimentos realizados tivessem 
correntes controladas. 
Eletromagnetismo I 
 
17 
Em 1819, Hans Christian Oersted descobriu que a corrente elétrica produz 
magnetismo (campo magnético). Em um experimento, Oersted mostrou que a corrente 
elétrica em um fio faz uma agulha de uma bússola se orientar de forma perpendicular 
ao fio, evidenciando a relação entre eletricidade e magnetismo. No ano seguinte, André 
Marie Ampère, demonstrou que as correntes elétricas que circulam em um mesmo 
sentido fazem os fios se atraírem, enquanto as correntes elétricas em sentidos contrários 
fazem os fios se repelirem. 
No ano de 1826, Geog Simon Ohm publica a conhecida Lei de Ohm, que relaciona 
o potencial elétrico à corrente elétrica e à resistência elétrica. Em 1831, Michael 
Faraday demonstra que um campo magnético variante no tempo produz campo elétrico 
(induzir uma força eletromotriz). Além disso, Faraday construiu o primeiro gerador 
elétrico, que converte energia mecânica em energia elétrica (o gerador elétrico tem a 
função contrária do motor elétrico; este converte a energia elétrica em mecânica, e foi 
proposto no mesmo ano por Joseph Henry). 
As descobertas desse período, em especial a de Oersted de que corrente elétrica 
cria campo magnético e a de Faraday de que a variação do campo magnético com o 
tempo cria campo elétrico, culminaram na unificação da Eletricidade e do Magnetismo 
(Eletromagnetismo) em quatro equações, por James Clerck Maxwell. Essas equações 
são hoje conhecidas como equações de Maxwell, sendoo seu desenvolvimento e 
entendimento o principal objetivo desse livro. As equações de Maxwell consistem em 
um conjunto de fórmulas e fundamentos matemáticos para análise de campos e ondas 
eletromagnéticas. 
 
A partir de 1820 foram formulados e modelados matematicamente as relações 
entre campos elétrico e magnético e do comportamento de campos variáveis no tempo, 
presentes nas obras dos seguintes autores: Oersted, 1819, Ampère, 1820, Faraday, 1831, 
Henry, 1831 e Maxwell, 1863. 
 
Mais tarde, em 1887, Hertz verificou, experimentalmente, a propagação de ondas 
eletromagnéticas, que foram previstas teoricamente pelas Equações de Maxwell. 
As equações de Maxwell representam os fundamentos da Teoria Eletromagnética, 
representando o término da chamada Era Clássica do Eletromagnetismo. Uma das 
Eletromagnetismo I 
 
18 
primeiras aplicações práticas da Teoria Eletromagnética foi apresentada em 1901, por 
Guglielmo Marconi, que transmitiu e recebeu ondas eletromagnéticas (ondas de rádio), 
através do Oceano Atlântico. 
A partir daí entramos na Era Moderna do Eletromagnetismo, na qual começaram 
a ser desenvolvidas importantes aplicações da Teoria Eletromagnética, como a 
propagação de ondas eletromagnéticas através de linhas de transmissão, guias de ondas, 
fibras óticas etc. Algumas das aplicações mais atuais do Eletromagnetismo incluem 
diodos, transistores, circuitos integrados, lasers, fornos de micro-ondas etc., 
desempenhando um papel fundamental tanto nos projetos quanto nas operações de 
Engenharia Elétrica. 
 
Grandezas, Unidades e Prefixos: 
Antes de entrarmos na revisão sobre álgebra vetorial, é importante fazermos uma 
pequena revisão sobre as grandezas, as unidades, os prefixos e a notação científica. O 
Sistema de Unidades Internacional (SI) apresenta o padrão para expressar as unidades 
das grandezas físicas. Por exemplo, o comprimento é uma grandeza, enquanto o metro 
(m) é a sua unidade no SI; da mesma forma, o tempo é uma grandeza e o segundo (s) é 
a sua unidade no SI. A Tabela 1 apresenta as unidades fundamentais (ou unidades 
básicas) no SI. 
Tabela 1: Unidades fundamentais (ou unidades básicas) no SI. 
 
Fonte: NAHVI-DEKHORDI e EDMINISTER, 2013. 
Outros exemplos de grandezas básicas (que não estão presentes na Tabela 1) são: 
temperatura em kelvin (K), a intensidade luminosa em candelas (cd) e a quantidade de 
uma substância em mols (mol). Não iremos abordá-las uma vez que não temos interesse 
nelas. 
 
Eletromagnetismo I 
 
19 
As unidades para todas as demais grandezas são derivadas dessas quatro unidades 
fundamentais. Por exemplo, a unidade de carga elétrica é obtida a partir da corrente e 
do tempo: um coulomb (C) é a quantidade de carga elétrica transportada em um segundo 
(s) por uma corrente de intensidade igual a um ampère (A), ou seja 1 C = 1 A x 1 s. 
 
Algumas das grandezas e unidades derivadas das grandezas básicas, que são 
importantes para o nosso estudo, estão presentes na Tabela 2. 
Tabela 2: Unidades adicionais no SI derivadas das unidades básicas. 
 
Fonte: NAHVI-DEKHORDI e EDMINISTER, 2013. 
Para representarmos múltiplos ou submúltiplos das unidades, é comum utilizarmos 
os prefixos (os quais são expressos em múltiplos de 103). A Tabela 3 apresenta os 
múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do SI. 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
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Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do SI. 
 
Fonte: NAHVI-DEKHORDI e EDMINISTER, 2013. 
Exemplos: 
1) 50 mA = 50 x 10-3 A = 0,05 A. 
2) 215 μV = 215 x 10-6 V = 0,000215 V. 
3) 44 km = 44 x 103 m = 4.400 m. 
4) 0,78 MΩ = 0,78 x 106 Ω = 780.000 Ω. 
 
Problema 1: Sabendo que a tensão elétrica pode ser obtida pela equação: V = i x R, e 
que i = 48 μA e R = 0,05 GΩ, calcule a tensão elétrica em kV. 
Solução: 
V = i x R 
V = 48 μ x 0,05 G 
V = 48 x 10-6 x 0,05 x 109 
V = 2.400 V 
V = 2,4 x 103 V 
V = 2,4 kV 
Resposta: V = 2,4 kV. 
Eletromagnetismo I 
 
21 
 
Problema 2: Sabendo que a carga elétrica pode ser obtida pela equação: Q = i x t, e que 
i = 350 pA e t = 22 s, calcule a carga elétrica em μC. 
Solução: 
Q = i x t 
Q = 350 p x 22 
Q = 350 x 10-12 x 22 
Q = 7.700 x 10-12 C 
Q = 7,7 x 10-9 C 
Q = 0,0077 x 10-6 C 
Q = 0,0077 μC 
Resposta: Q = 0,0077 μC. 
 
Em Eletromagnetismo lidamos tanto com grandezas escalares (como nos 
problemas 1 e 2) quanto vetoriais. Na próxima seção estudaremos as operações 
matemáticas com as grandezas vetoriais, por meio da chamada Álgebra Vetorial. 
 
Álgebra Vetorial 
 
Princípios da Álgebra Vetorial: 
Enquanto as grandezas escalares possuem apenas intensidade, as grandezas 
vetoriais possuem intensidade (magnitude ou módulo), direção e sentido. Por 
exemplo, quando falamos que a velocidade média de um móvel é igual a 30 m/s, temos 
uma grandeza escalar, uma vez que a informação dessa grandeza considera apenas a 
sua magnitude. Por outro lado, quando falamos que o móvel está se deslocando a uma 
velocidade de 30 m/s para frente, temos uma grandeza vetorial, pois possui tanto 
magnitude (30 m/s) quanto direção e sentido (para frente). Portanto, grandezas vetoriais 
Eletromagnetismo I 
 
22 
possuem tanto informações em relação a sua magnitude quanto em relação a sua 
orientação (direção e sentido). 
 Exemplo de Grandezas Escalares: comprimento, área, volume, temperatura, 
massa, velocidade (envolvendo distância e tempo), carga elétrica, energia elétrica etc. 
 Exemplo de Grandezas Vetoriais: velocidade (envolvendo distância, tempo e 
direção), força, trabalho, campo elétrico, campo magnético etc. 
 
A maior parte das grandezas elétricas que iremos lidar em Eletromagnetismo são 
vetoriais, em especial os campos elétricos e magnéticos. Nesse contexto, a análise 
vetorial fornece um conjunto de ferramentas matemáticas para a manipulação de 
grandezas vetoriais de forma eficiente. 
 
Nessa seção estudaremos a Álgebra Vetorial, que explica as operações de adição, 
subtração e multiplicação de vetores. Na próxima Unidade estudaremos o Cálculo 
Vetorial, que incorpora as regras de diferenciação e integração de vetores a nossa 
análise. 
 
Soma (e Subtração) de Vetores: 
Um vetor é representado geometricamente por um seguimento de reta, cuja 
orientação é dada por uma flecha: 
 
Nesse exemplo, observe que a orientação do vetor 𝐴 é “para direita”, ou seja, sua 
direção é horizontal e o seu sentido é para direita. A magnitude (ou módulo) do vetor 𝐴 
é o seu comprimento e representamos por |𝐴| (lê-se “módulo de 𝐴”). Temos que: 
|𝐴| = 𝐴 
Ou seja, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar (o módulo ou magnitude é 
um valor que define a intensidade do vetor). 
Para realizar a soma (ou subtração) de vetores podemos utilizar tanto o método 
geométrico (Método do Polígono) quanto o método analítico. 
Eletromagnetismo I 
 
23 
Método do Polígono (Método Geométrico): 
Considere que temos um conjunto de N vetores (por exemplo, três vetores): 
 
(a) Junte a origem de um vetor à extremidade de outro vetor. Repita esse passo até o 
último vetor. 
(b) Trace uma linha unindo a origem do primeiro vetor com a extremidade do último 
vetor. Essa linha corresponde ao vetor resultante �⃗⃗�, que representa a soma desses três 
vetores. 
 
 
Problema 3: Considere dois vetores, 𝐴 e �⃗⃗�, como mostrado a seguir. O vetor 𝐴 faz um 
ângulo de 30o com a horizontal. Sabendo que os módulos dos vetores são dados por: 
|𝐴| = 𝐴 = 12 e |�⃗⃗�| = 𝐵 = 5, determine o módulo do vetor resultante da soma desses 
dois vetores: �⃗⃗� = 𝐴 + �⃗⃗�. 
 
Eletromagnetismo I 
 
24 
 
Solução: 
Pela Regra do Polígono, temos: 
 
O módulo do vetor resultante corresponde ao comprimento do lado de cor vermelha. 
Temos os comprimentos dos outros dois lados do triângulo, que são 12 e 5, e também 
o ângulo entre esses lados, que é igual a 90o + 30o = 120o. Para calcular o lado de um 
triângulo qualquer devemos utilizar a Lei dos Cossenos.Assim: 
|�⃗⃗�|
2
= |𝐴|
2
+ |�⃗⃗�|
2
− 2 ∙ |𝐴| ∙ |�⃗⃗�| ∙ cos 120𝑜 
|�⃗⃗�|
2
= 122 + 52 − 2 ∙ 12 ∙ 5 ∙ cos 120𝑜 
|�⃗⃗�|
2
= 229 
|�⃗⃗�| = 𝑅 = 15,133 
 
A subtração de vetores é mostrada a seguir: 
𝐴 − �⃗⃗� = 𝐴 + (−�⃗⃗�) 
O sinal de menos, em vetores, inverte o sentido do vetor (o vetor mantém o seu 
módulo e sua direção, mas inverte o seu sentido). Então a subtração de vetores equivale 
a uma soma com a inversão de sentido. 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
25 
Problema 4: Considere o mesmo enunciado do Problema 3. Determine o módulo do 
vetor resultante da subtração desses dois vetores: �⃗⃗� = 𝐴 − �⃗⃗�. 
Solução: 
Pela Regra do Polígono, temos: 
 
Observe que invertemos o sentido de �⃗� . O módulo do vetor resultante corresponde ao 
comprimento do lado de cor vermelha. Temos os comprimentos dos outros dois lados 
do triângulo, que são 12 e 5, e também o ângulo entre esses lados, que é igual a 90o - 
30o = 60o. Para calcular o lado de um triângulo qualquer devemos utilizar a Lei dos 
Cossenos. Assim: 
|�⃗⃗�|
2
= |𝐴|
2
+ |�⃗⃗�|
2
− 2 ∙ |𝐴| ∙ |�⃗⃗�| ∙ cos 60𝑜 
|�⃗⃗�|
2
= 122 + 52 − 2 ∙ 12 ∙ 5 ∙ cos 60𝑜 
|�⃗⃗�|
2
= 109 
|�⃗⃗�| = 𝑅 = 10,44 
 
O Método Analítico se baseia na representação analítica do vetor, que considera o 
vetor como um ponto em um sistema de coordenadas. Por exemplo, a figura a seguir 
mostra o vetor 𝐴 = (4,3) representado em um sistema de coordenadas cartesianas (x,y). 
Eletromagnetismo I 
 
26 
 
O ponto (4,3) foi marcado no sistema de coordenada cartesiana. Em seguida foi 
traçada uma reta da origem do sistema coordenado (0,0) até o ponto (4,3). Essa reta é a 
representação geométrica do vetor 𝐴. 
Considerando um vetor 𝐴 qualquer dado por: 
𝐴 = (𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑛) 
Para calcular o seu módulo, teríamos que utilizar o Teorema de Pitágoras, 
resultando em: 
|𝐴| = √𝐴1
2 + 𝐴2
2 + 𝐴3
2 + ⋯𝐴𝑛
2 
No caso do sistema de coordenadas cartesianas, temos: 
𝐴 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦) 
Nesse caso, o módulo é dado por: 
|𝐴| = √𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
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Problema 5: Calcule o módulo do vetor 𝐴 = (4,3). 
Solução: 
O módulo do vetor pode ser calculado através da seguinte equação: 
|𝐴| = √𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 
|𝐴| = √42 + 32 
|𝐴| = 𝐴 = 5 
 
Problema 6: Calcule o módulo do vetor �⃗� = (2,2,5). 
Solução: 
O módulo do vetor pode ser calculado através da seguinte equação: 
|�⃗⃗�| = √𝐵1
2 + 𝐵2
2 + 𝐵3
2 
|�⃗⃗�| = √22 + 22 + 52 
|�⃗⃗�| = √33 
|�⃗⃗�| = 𝐵 = 5,74 
 
Para somarmos vetores, basta somarmos cada uma de suas componentes. 
Analogamente, no caso da subtração, basta subtraímos cada uma de suas componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
28 
 
Exemplos: 
Considere os vetores 𝐴 = (5,6), �⃗⃗� = (2,3) e 𝐶 = (0, −2). Determine: 
1) �⃗⃗� = 𝐴 + �⃗⃗� = (5,6) + (2,3) = (5 + 2, 6 + 3) = (7,9) 
|�⃗⃗�| = 𝑅 = √72 + 92 = 11,4 
2) �⃗⃗� = 𝐴 + 𝐶 = (5,6) + (0, −2) = (5 + 0, 6 − 2) = (5,4) 
|�⃗⃗�| = 𝑅 = √52 + 42 = 6,4 
3) �⃗⃗� = 𝐴 − �⃗⃗� = (5,6) − (2,3) = (5 − 2, 6 − 3) = (3,3) 
|�⃗⃗�| = 𝑅 = √32 + 32 = 4,24 
4) �⃗⃗� = �⃗⃗� − 𝐴 − 𝐶 = (2,3) − (5,6) − (0,−2) = (2 − 5 − 0, 3 − 6 + 2) = 
= (−3,−1) 
|�⃗⃗�| = 𝑅 = √(−3)2 + (−1)2 = 3,16 
 
Problema 7: Considere os vetores 𝐴 = (8,0,−3), �⃗⃗� = (6, −5,3) e 𝐶 = (0,7,6). 
Determine o vetor �⃗⃗� = 𝐴 − �⃗⃗� + 𝐶 e o módulo de �⃗⃗�. 
Solução: 
Obtendo o vetor �⃗⃗�: 
�⃗⃗� = 𝐴 − �⃗⃗� + 𝐶 
�⃗⃗� = (8,0, −3) − (6,−5,3) + (0,7,6) 
�⃗⃗� = (8 − 6 + 0 , 0 + 5 + 7 , −3 − 3 + 6) 
�⃗⃗� = (2 , 12 , 0) 
Obtendo o módulo de �⃗⃗�: 
|�⃗⃗�| = √22 + 122 + 02 
|�⃗⃗�| = √148 
|�⃗⃗�| = 𝑅 = 12,17 
Eletromagnetismo I 
 
29 
 
Produto de Vetores: 
Existem dois tipos de produtos (ou multiplicação) entre dois vetores: o produto 
escalar (representado pelo símbolo ⋅) e o produto vetorial (representado pelo símbolo 
×). 
O produto escalar entre dois vetores representa o produto resultante da projeção de 
um vetor sobre o outro. 
Considere dois vetores 𝐴 e �⃗⃗�, separados por um ângulo θ, como mostrado a seguir: 
 
No produto escalar, devemos projetar o vetor 𝐴 sobre o vetor �⃗⃗� (ou o �⃗⃗� sobre o 𝐴, 
tanto faz o vetor), como mostrado a seguir: 
 
O produto escalar entre 𝐴 e �⃗⃗� é então calculado por: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = |𝐴|cos (𝜃)|�⃗⃗�| 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴 ⋅ cos (𝜃) ⋅ 𝐵 
O produto escalar 𝐴 ⋅ �⃗⃗� (lê-se A escalar B) é igual ao produto entre o módulo da 
projeção de 𝐴 sobre �⃗⃗� (𝐴 ⋅ cos (𝜃)) e o módulo de �⃗⃗� (𝐵). 
 
Observe que o produto escalar tem esse nome uma vez que resulta em um escalar 
(um valor, sem orientação). 
Eletromagnetismo I 
 
30 
 
Analogamente, temos que: 
�⃗⃗� ⋅ 𝐴 = 𝐵 ⋅ cos (𝜃) ⋅ 𝐴 
Ou seja, 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = �⃗⃗� ⋅ 𝐴 
Tanto faz se projetarmos 𝐴 sobre �⃗⃗� ou se projetarmos �⃗⃗� sobre 𝐴. 
 
Problema 8: Calcule o produto escalar entre os vetores 𝐴 e �⃗⃗�, sabendo que seus módulos 
são dados por: 𝐴 = 11 e 𝐵 = 4, e o ângulo entre eles é 𝜃 = 20o. 
Solução: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴 ⋅ cos (𝜃) ⋅ 𝐵 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 11 ⋅ cos (20𝑜) ⋅ 4 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 41,35 
 
O produto escalar, do ponto de vista geométrico, representa a projeção de um vetor 
sobre o outro vetor. Em outras palavras, é o cálculo da componente de um vetor em 
dada direção. 
 
Observe ainda que, se o ângulo entre os dois vetores for 𝜃 = 90o, então o produto 
escalar será dado por: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴 ⋅ cos (90𝑜) ⋅ 𝐵 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴 ⋅ 0 ⋅ 𝐵 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 0 
Ou seja, caso o ângulo entre os dois vetores seja igual a 90o, então o produto escalar 
entre esses dois vetores será igual a 0. Geometricamente, quando o ângulo é igual a 90o 
os vetores estão perpendiculares (são ditos ortogonais), por isso não existe projeção de 
um vetor sobre o outro (a projeção é nula). 
Eletromagnetismo I 
 
31 
 
Caso 𝜃 = 90o então os vetores são ortogonais, resultando em 𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 0. Vetores 
ortogonais são representados da seguinte forma: 𝐴 ⊥ �⃗⃗�. 
 
Outro caso particular é o de 𝜃 = 0o, ou seja, quando um vetor já está sobre o outro 
(os vetores são paralelos ou colineares). Nesse caso, temos: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴 ⋅ cos (0𝑜) ⋅ 𝐵 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴 ⋅ 1 ⋅ 𝐵 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴 ⋅ 𝐵 
Ou seja, nesse caso, o produto entre dois vetores é igual ao produto entre os seus 
módulos (não precisamos projetar o vetor 𝐴 sobre �⃗⃗�, uma vez que ele já está sobre �⃗⃗�). 
 
Problema 10: Calcule o produto escalar entre os vetores 𝐴 e �⃗⃗�, sabendo que seus 
módulos são dados por: 𝐴 = 11 e 𝐵 = 4, e que eles são paralelos. 
Solução: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴 ⋅ 𝐵 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 11 ⋅ 4 = 44 
 
Outro parâmetro importante, definido a partir do produto escalar, é o vetor 
unitário. 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
32 
 
Vetor Unitário: 
Um vetor unitário �̂� é um vetor que possui módulo igual a 1, ou seja, |�̂�| = 1. 
Por exemplo: 
�⃗⃗� ⋅ �̂� = 𝐵 ⋅ cos (𝜃) ⋅ |�̂�| 
�⃗⃗� ⋅ �̂� = 𝐵 ⋅ cos (𝜃) ⋅ 1 
�⃗⃗� ⋅ �̂� = 𝐵 ⋅ cos (𝜃) 
Ou seja, o produto escalar entre o vetor �⃗⃗� e o vetor unitário �̂� representa a projeção do 
vetor �⃗⃗� na direção de �̂�. 
Considere agora um vetor 𝐴 com mesma direção do vetor unitário �̂�: 
 
Podemos representar o vetor 𝐴 como: 
𝐴 = 𝐴�̂� 
Assim: 
�̂� =
𝐴
𝐴
 
Ou seja, podemos obter o vetor unitário, em dada direção, é igual a razão entre o vetor 
𝐴 e o seu módulo 𝐴. 
 
Observe que o produto escalar entre dois vetores unitários de mesma direção é 
sempre igual a 1, ou seja, �̂� ⋅ �̂� = |�̂�| ⋅ |�̂�| = 1 ⋅ 1 = 1. E que o produto escalar entre 
dois vetores unitários ortogonais (ângulo de 90o) é sempre igual a 0. 
 
Eletromagnetismo I 
 
33 
 
Exemplos: 
1) Determine o vetor unitário na direção de 𝐴, dado 𝐴 = (5,6). 
|𝐴| = 𝐴 = √52 + 62 = 7,81 
�̂� =
𝐴
𝐴
=
(5,6)
7,81
= (
5
7,81
 ,
6
7,81
) = (0,64 , 0,77) 
Observe que: 
|�̂�| = √0,642 + 0,772 = 1 
2) Determine o vetor unitário na direção de �⃗⃗�, dado �⃗⃗� = (−3,5). 
|�⃗⃗�| = 𝐵 = √(−3)2 + 52 = 5,83 
�̂� =
�⃗⃗�
𝐵
=
(−3,5)
5,83
= (
−3
5,83
 ,
5
5,83
) = (−0,51 , 0,86) 
Observeque: 
|�̂�| = √(−0,51)2 + 0,862 = 1 
 
Problema 11: Determine o vetor unitário na direção de 𝐴, dado 𝐴 = (−2,1,8). 
Solução: 
|𝐴| = 𝐴 = √(−2)2 + 12 + 82 = 8,31 
�̂� =
𝐴
𝐴
=
(−2,1,8)
8,31
= (
−2
8,31
 ,
1
8,31
 ,
8
8,31
) = (−0,24 , 0,12 , 0,96) 
Resposta: �̂� = (−0,24 , 0,12 , 0,96) 
Observe que: 
|𝑎 | = √(−0,24)2 + 0,122 + 0,962 = 1 
 
Como discutido anteriormente, o conceito de produto escalar em conjunto com o 
vetor unitário, permite o cálculo das componentes de um vetor em dadas direções. No 
Eletromagnetismo I 
 
34 
caso de um sistema de coordenadas cartesianas (x,y) podemos obter as componentes x 
e y desse vetor (que correspondem às projeções do vetor nos eixos x e y). 
Por exemplo, considere novamente o vetor 𝐴 = (4,3) 
 
Podemos representa-lo em termos de suas projeções sobre os eixos x e y: 
𝐴 = (4,3) = 4𝑥 + 3�̂� 
Ou seja, o comprimento (ou módulo) de 𝐴 projetado sobre o eixo x é igual a 4, 
enquanto no eixo y é igual a 3. 
De forma geral, para o sistema de coordenadas cartesianas, temos: 
 
Assim: 
𝐴 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦) = 𝐴𝑥𝑥 + 𝐴𝑦�̂� 
Eletromagnetismo I 
 
35 
Considerando um vetor 𝐴 qualquer: 
𝐴 = (𝐴1, 𝐴2, 𝐴3) = 𝐴1𝑎1̂ + 𝐴2𝑎2̂ + 𝐴3𝑎3̂ 
 
Problema 12: Calcule o produto escalar entre os vetores no sistema de coordenadas 
cartesianas 𝐴 = (2,4) e �⃗⃗� = (5,7). 
Solução completa: 
Temos que: 
𝐴 = (2,4) = 2𝑥 + 4�̂� 
�⃗⃗� = (5,7) = 5𝑥 + 7�̂� 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = (2,4) ⋅ (5,7) = (2𝑥 + 4�̂�) ⋅ (5𝑥 + 7�̂�) 
Fazendo a operação distributiva: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 2𝑥 ⋅ 5𝑥 + 2𝑥 ⋅ 7�̂� + 4�̂� ⋅ 5𝑥 + 4�̂� ⋅ 7�̂� 
Temos que o produto escalar de componentes paralelas é igual a 1: 
𝑥 ⋅ 𝑥 = 1 
�̂� ⋅ �̂� = 1 
E o produto escalar entre as componentes ortogonais é igual a 0: 
𝑥 ⋅ �̂� = 0 
�̂� ⋅ 𝑥 = 0 
Assim: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 2 ⋅ 5 + 0 + 0 + 4 ⋅ 7 = 38 
Solução rápida: 
Basta multiplicarmos as respectivas componentes de cada vetor: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = (2,4) ⋅ (5,7) = 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 = 38 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
36 
 
Problema 13: Calcule o produto escalar entre os vetores no sistema de coordenadas 
retangulares 𝐴 = (1,0,4) e �⃗⃗� = (−3,2,8). 
Solução: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = (1,0,4) ⋅ (−3,2,8) = 1 ⋅ (−3) + 0 ⋅ 2 + 4 ⋅ 8 = 29 
 
Problema 14: Calcule o produto escalar entre os vetores no sistema de coordenadas 
cartesianas 𝐴 = (1,1) e �⃗⃗� = (1, −1). 
Solução: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = (1,1) ⋅ (1,−1) = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−1) = 0 
Portanto, os vetores 𝐴 e �⃗⃗� são ortogonais. Observe: 
 
 
Propriedades do produto escalar: 
1) Comutativa: 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = �⃗⃗� ⋅ 𝐴 
2) Distributiva: 
𝐴 ⋅ (�⃗⃗� + 𝐶) = 𝐴 ⋅ �⃗⃗� + 𝐴 ⋅ 𝐶 
3) O produto escalar de um vetor por ele mesmo resulta em: 
𝐴 ⋅ 𝐴 = 𝐴 ⋅ 𝐴 = 𝐴2 
𝐴 ⋅ 𝐴 = 𝐴2 
Eletromagnetismo I 
 
37 
 
Enquanto o produto escalar mede a projeção de um vetor sobre o outro vetor, o 
produto vetorial mede a rotação de um vetor na direção de outro vetor. Diferentemente 
de o produto escalar, o resultado de um produto vetorial é um vetor. 
Considere dois vetores 𝐴 e �⃗⃗�, separados por um ângulo θ, como mostrado a seguir: 
 
No produto escalar, devemos girar o vetor 𝐴 na direção do vetor �⃗⃗�. Para saber a 
direção do vetor resultante, utilizamos a chamada Regra da Mão Direita: 
 
Com os quatro dedos da mão direita, giramos o vetor 𝐴 na direção do vetor �⃗⃗�. O 
polegar aponta a direção do vetor resultante: 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
38 
O produto vetorial entre dois vetores 𝐴 × �⃗⃗� (lê-se A vetorial B) é um vetor cuja 
direção e sentido podem ser obtidas pela Regra da Mão Direita. No exemplo, ao 
girarmos o vetor 𝐴 na direção do vetor �⃗⃗�, o dedo polegar aponta para cima (ou para 
“fora da folha”). Por outro lado, no produto vetorial �⃗⃗� × 𝐴 giramos o vetor �⃗⃗� na direção 
do vetor 𝐴, fazendo com que o dedo polegar aponte para baixo (ou para “dentro da 
folha”). 
 
A direção do vetor resultante do produto vetorial é sempre perpendicular ao plano 
formado pelos vetores 𝐴 e �⃗⃗�. Nesse caso, a direção é dita normal ao plano formado 
entre os dois vetores. 
 
Portanto, definiremos �̂� como sendo um vetor unitário normal ao plano formado 
pelos vetores 𝐴 e �⃗⃗�, cujo sentido é dado pela Regra da Mão Direita. 
 
A figura a seguir ilustra o vetor unitário normal: 
 
Observe que �̂� é normal ao plano formado pelos dois vetores e, portanto, deve fazer 
um ângulo de 90o com ambos. Além disso, pela Regra da Mão Direita, temos que 𝐴 ×
�⃗⃗� resulta em um vetor apontando para cima (positivo), enquanto que �⃗⃗� × 𝐴 resulta em 
um vetor apontando para baixo (negativo). Ambos têm o mesmo módulo, mas sentidos 
opostos. Ou seja: 
𝐴 × �⃗⃗� = −�⃗⃗� × 𝐴 
 
Eletromagnetismo I 
 
39 
O sinal negativo representa a troca de sentido de rotação. Observe na figura que no 
produto vetorial 𝐴 × �⃗⃗� estamos girando no sentido anti-horário, enquanto que no 
produto vetorial �⃗⃗� × 𝐴 estamos girando no sentido horário. 
 
O módulo do produto vetorial 𝐴 × �⃗⃗�, do ponto de vista geométrico, consiste na 
área do paralelogramo formado pelos vetores 𝐴 e �⃗⃗�: 
 
A área do paralelogramo é igual a: 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
Assim, o produto vetorial entre os vetores 𝐴 e �⃗⃗� é dado por: 
𝐴 × �⃗⃗� = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∙ �̂� 
Em que �̂� é um vetor unitário normal ao plano formado pelos vetores 𝐴 e �⃗⃗�. 
O módulo do produto vetorial é dado por: 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 
Problema 15: Calcule o módulo do produto vetorial entre 𝐴 e �⃗⃗�, sabendo que seus 
módulos são dados por: 𝐴 = 11 e 𝐵 = 4, e o ângulo entre eles é 𝜃 = 20o. 
Solução: 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 11 ⋅ 4 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (20𝑜) 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 15,05 
 
Eletromagnetismo I 
 
40 
Se o ângulo entre os dois vetores for 𝜃 = 90o, então o módulo do produto vetorial 
será dado por: 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(90𝑜) 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 𝐴 ∙ 𝐵 
Ou seja, caso o ângulo entre os dois vetores seja igual a 90o, então o módulo do 
produto vetorial entre esses dois vetores será igual ao produto dos módulos dos vetores. 
 
Outro caso particular é o de 𝜃 = 0o, ou seja, quando um vetor já está sobre o outro 
(os vetores são paralelos ou colineares). Nesse caso, temos: 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0𝑜) 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 0 
|𝐴 × �⃗⃗�| = 0 
Ou seja, caso os vetores sejam paralelos (colineares), isto é, esteja um sobre o 
outro, o produto vetorial será igual a 0. Visto que o produto vetorial mede a rotação de 
um vetor na direção do outro, no caso de termos um vetor sobre o outro a rotação será 
nula (portanto o produto vetorial será igual a 0). 
 
Temos então que, se 𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 0, então os vetores 𝐴 e �⃗⃗� são ortogonais. Se 𝐴 × �⃗⃗� =
0, temos então que os vetores 𝐴 e �⃗⃗� são colineares. 
 
Para calcularmos a direção do vetor resultante do produto vetorial entre dois 
vetores (isto é, para calcularmos vetor unitário normal �̂�), precisamos conhecer o 
sistema de coordenadas retangulares: 
Eletromagnetismo I 
 
41 
 
Observe os vetores unitários na direção de cada um de seus eixos. A partir da Regra 
da Mão Direita, podemos concluir que: 
𝑥 × �̂� = �̂� 
�̂� × �̂� = 𝑥 
�̂� × 𝑥 = �̂� 
𝑥 × �̂� = −�̂� 
�̂� × 𝑥 = −�̂� 
�̂� × �̂� = −𝑥 
𝑥 × 𝑥 = �̂� × �̂� = �̂� × �̂� = 0 
 
Problema 16: Calcule o produto vetorial entre 𝐴 e �⃗⃗�, dado: 𝐴 = 7𝑥 e �⃗⃗� = 2�̂�. 
Solução: 
𝐴 × �⃗⃗� = 7𝑥 × 2�̂� = 7 ∙ 2 𝑥 × �̂� = 14�̂� 
Resposta: 14�̂� 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
42 
 
Problema 17: Calcule o produto vetorial entre os vetores no sistema de coordenadas 
cartesianas 𝐴 = (2,4) e �⃗⃗� = (5,7). 
Solução completa: 
𝐴 = (2,4) = 2𝑥 + 4�̂� 
�⃗⃗� = (5,7) = 5𝑥 + 7�̂� 
𝐴 × �⃗⃗� = (2,4) × (5,7) = (2𝑥 + 4�̂�) × (5𝑥 + 7�̂�) 
Fazendo a operação distributiva: 
𝐴 × �⃗⃗� = 2𝑥 × 5𝑥 + 2𝑥 × 7�̂� + 4�̂� × 5𝑥 + 4�̂� × 7�̂� 
Temos que o produto vetorial de componentes paralelas é igual a 0: 
𝑥 × 𝑥 = 0 
�̂� × �̂� = 0 
E o produto vetorial entre as componentes ortogonais é igual a:𝑥 × �̂� = �̂� 
�̂� × 𝑥 = −�̂� 
Assim: 
𝐴 × �⃗⃗� = 0 + 2 ⋅ 7 �̂� + 4 ⋅ 5 (−�̂�) + 0 = 14 �̂� − 20 �̂� = −6 �̂� 
Solução rápida: 
O produto vetorial é o determinante da matriz: 
𝐴 × �⃗⃗� = |
𝑥 �̂� �̂�
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
| 
Assim: 
𝐴 × �⃗⃗� = |
𝑥 �̂� �̂�
2 4 0
5 7 0
| = 2 ⋅ 7 �̂� − 5 ⋅ 4 �̂� = −6 �̂� 
 
Eletromagnetismo I 
 
43 
 
Problema 18: Calcule o produto vetorial entre os vetores no sistema de coordenadas 
retangulares 𝐴 = (7,0,5) e �⃗⃗� = (1,−3,6). Em seguida determine o vetor unitário 
normal �̂�. 
Solução: 
𝐴 × �⃗⃗� = |
𝑥 �̂� �̂�
7 0 5
1 −3 6
| = 1 ⋅ 5 �̂� + 7 ⋅ (−3)�̂� − (−3) ⋅ 5 𝑥 − 6 ⋅ 7 �̂� = 
= 5 �̂� − 21 �̂� + 15 𝑥 − 42 �̂� = 15 𝑥 − 37 �̂� − 21 �̂� = (15,−37,−21) 
Ou seja, 𝐴 × �⃗⃗� = (15,−37, −21). 
Para calcular o vetor unitário: 
|𝐴 × �⃗⃗�| = √152 + (−37)2 + (−21)2 = 45,11 
�̂� =
𝐴 × �⃗⃗�
|𝐴 × �⃗⃗�|
 
�̂� =
(15,−37, −21)
45,11
= (0,33 , −0,82 ,−0,47) 
Ou seja, �̂� = (0,33 ,−0,82 ,−0,47) 
Isso significa que o vetor resultante do produto vetorial é 45,11 �̂�, em que �̂� =
(0,33 ,−0,82 , −0,47), ou o vetor (15,−37,−21). Isto é: 
𝐴 × �⃗⃗� = (15,−37,−21) = 45,11 �̂� 
Em que �̂� = (0,33 ,−0,82 , −0,47) 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
44 
 
Propriedades do produto vetorial: 
1) Não é comutativo: 
𝐴 × �⃗⃗� = −�⃗⃗� × 𝐴 
2) Distributiva: 
𝐴 × (�⃗⃗� + 𝐶) = 𝐴 × �⃗⃗� + 𝐴 × 𝐶 
3) O produto vetorial de um vetor por ele mesmo é igual a zero: 
𝐴 × 𝐴 = 0 
 
Sistemas de Coordenadas Ortogonais: 
Além de o sistema de coordenadas cartesianas (x,y) e o sistema de coordenadas 
retangulares (x,y,z) que vimos na seção anterior, existem ainda outros tipos de sistemas 
de coordenadas, como o sistema de coordenadas polares (r,ϕ), o sistema de coordenadas 
cilíndricas (r,ϕ,z) e o sistema de coordenadas esféricas (r,θ,ϕ). 
Um sistema de coordenadas ortogonais é um sistema em que todas as suas 
componentes (coordenadas) são mutuamente perpendiculares (ortogonais). Por 
exemplo, no sistema de coordenadas retangulares, temos que as componentes x, y e z 
fazem um ângulo de 90o entre elas (ou seja, são ortogonais). 
Os sistemas de coordenadas bidimensionais (de duas dimensões) mais conhecidos 
são: 
 Sistema de coordenadas cartesianas; 
 Sistema de coordenadas polares. 
Enquanto os sistemas de coordenadas tridimensionais (de três dimensões) mais 
conhecidos são: 
 Sistema de coordenadas retangulares; 
 Sistema de coordenadas cilíndricas; 
 Sistema de coordenadas esféricas. 
 
Eletromagnetismo I 
 
45 
É importante observar que todas as operações com vetores que aprendemos (soma, 
subtração, módulo, vetor unitário, produto escalar e produto vetorial) continuam sendo 
resolvidas da mesma forma. Ou seja, as operações com vetores e suas soluções são as 
mesmas independente do sistema de coordenadas. A mudança no sistema de 
coordenadas só implica em uma mudança na orientação do vetor, devido à mudança na 
orientação das componentes. 
 
Já vimos que um vetor, no sistema de coordenadas cartesianas, é representado da 
seguinte forma: 
 
Em que: 
𝐴 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦) = 𝐴𝑥𝑥 + 𝐴𝑦�̂� 
Um ponto P(x,y) no sistema de coordenadas cartesianas tem o seguinte domínio: 
𝑥: (−∞,+∞) 
𝑦: (−∞,+∞) 
No sistema de coordenadas polares, um ponto é representado em termos de seu 
raio (r) e do ângulo com o eixo x (ϕ): 
Eletromagnetismo I 
 
46 
 
Considere um ponto P(x,y) em coordenadas cartesianas. Assim: 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
ϕ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑦
𝑥
) 
Ou seja, podemos representar um ponto P(x,y) como um ponto P(r, ϕ), em 
coordenadas polares. 
 
Problema 19: Considere o ponto 𝑃(4,6) em coordenadas cartesianas. Obtenha o ponto 
P em coordenadas polares. 
Solução: 
Temos: 
𝑥 = 4 
𝑦 = 6 
Assim: 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
𝑟 = √42 + 62 
𝑟 = 7,21 
ϕ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑦
𝑥
) 
ϕ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
6
4
) 
ϕ = 0,98 𝑟𝑎𝑑 
Resposta: 𝑃(7,21 , 0,98) em coordenadas polares. 
Eletromagnetismo I 
 
47 
 
A representação de um vetor no sistema de coordenadas polares é: 
𝐴 = (𝐴𝑟, 𝐴ϕ) = 𝐴𝑟�̂� + 𝐴ϕϕ̂ 
Um ponto P(r,ϕ) no sistema de coordenadas cartesianas tem o seguinte domínio: 
𝑟: (0,+∞) 
ϕ: (0,2𝜋) 
Ou seja, o raio pode assumir qualquer valor Real positivo, e o ângulo deve assumir 
um valor entre 0 e 2π (entre 0o e 360o). 
Para a transformação do sistema de coordenadas cartesianas para as coordenadas 
polares, devemos observar a transformação dos vetores unitários: 
�̂� = cos(ϕ) ∙ 𝑥 + sen(ϕ) ∙ �̂� = (cos(ϕ) , sen(ϕ)) 
ϕ̂ = −sen(ϕ) ∙ 𝑥 + cos(ϕ) ∙ �̂� = (−sen(ϕ) , cos(ϕ)) 
Assim: 
𝐴𝑟 = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛(ϕ) 
𝐴ϕ = −𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠(ϕ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
48 
 
Problema 20: Considere o ponto P(4,6) e o vetor 𝐴 = (3,2) em coordenadas cartesianas. 
Obtenha o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas polares. 
Solução: 
Do problema 19, temos P(7,21 , 0,98) em coordenadas polares. Ou seja: 
𝑟 = 7,21 
ϕ = 0,98 
Assim: 
𝐴𝑟 = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛(ϕ) 
𝐴𝑟 = 3 𝑐𝑜𝑠(0,98) + 2 𝑠𝑒𝑛(0,98) 
𝐴𝑟 = 3,33 
𝐴ϕ = −𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠(ϕ) 
𝐴ϕ = −3 𝑠𝑒𝑛(0,98) + 2 𝑐𝑜𝑠(0,98) 
𝐴ϕ = −1,33 𝑟𝑎𝑑 
Resposta: 𝐴 = (3,33 ,−1,33) no ponto P em coordenadas polares. 
Observe que o módulo do vetor 𝐴 = (3,2) em coordenadas cartesianas é igual ao 
módulo do vetor 𝐴 = (3,33 , −1,33) em coordenadas polares, uma vez que o vetor é o 
mesmo. 
 
Para a transformação do sistema de coordenadas polares para as coordenadas 
cartesianas, devemos observar que: 
Eletromagnetismo I 
 
49 
 
As componentes nas direções x e y são as projeções de r. Assim: 
𝑥 = 𝑟 ∙ cos(ϕ) 
𝑦 = 𝑟 ∙ sen(ϕ) 
Para a transformação do sistema de coordenadas polares para as coordenadas 
cartesianas, devemos observar a transformação dos vetores unitários: 
𝑥 = cos(ϕ) ∙ �̂� − sen(ϕ) ∙ ϕ̂ = (cos(ϕ) , − sen(ϕ)) 
ŷ = sen(ϕ) ∙ �̂� + cos(ϕ) ∙ ϕ̂ = (sen(ϕ) , cos(ϕ)) 
Assim: 
𝐴𝑥 = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠(ϕ) − 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛(ϕ) 
𝐴y = 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠(ϕ) 
 
Problema 21: Considere o ponto P(7,21 , 0,98) e o vetor 𝐴 = (3,33 , −1,33) em 
coordenadas polares. Obtenha o vetor 𝐴 em coordenadas cartesianas. 
Solução: 
𝐴𝑥 = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠(ϕ) − 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛(ϕ) = 3,33 𝑐𝑜𝑠(0,98) + 1,33 𝑠𝑒𝑛(0,98) = 3 
𝐴y = 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠(ϕ) = 3,33 𝑠𝑒𝑛(0,98) − 1,33 𝑐𝑜𝑠(0,98) = 2 
Resposta: 𝐴 = (3 , 2) em coordenadas cartesianas, que era o enunciado do problema 
anterior. 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
50 
 
Operações vetoriais no sistema de coordenadas bidimensionais: 
Considere os vetores: 
𝐴 = (𝐴𝑖 , 𝐴j) = 𝐴𝑖 �̂� + 𝐴jĵ 
�⃗⃗� = (𝐵𝑖 , 𝐵j) = 𝐵𝑖 �̂� + 𝐵jĵ 
Para o sistema de coordenadas cartesianas: 𝑖 = 𝑥 e 𝑗 = 𝑦 
E para o sistema de coordenadas polares: 𝑖 = 𝑟 e 𝑗 = ϕ 
1) Módulo: 
|𝐴| = √𝐴𝑖
2 + 𝐴j
2 
2) Unitário: 
�̂� =
𝐴
𝐴
 
3) Soma: 
𝐴 + �⃗⃗� = (𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 , 𝐴𝑗 + 𝐵𝑗) 
𝐴 + �⃗⃗� = (𝐴𝑖 + 𝐵𝑖)�̂� + (𝐴𝑗 + 𝐵𝑗)�̂� 
4) Subtração: 
𝐴 − �⃗⃗� = (𝐴𝑖 − 𝐵𝑖 , 𝐴𝑗 − 𝐵𝑗) 
𝐴 − �⃗⃗� = (𝐴𝑖 − 𝐵𝑖)�̂� + (𝐴𝑗 − 𝐵𝑗)�̂� 
5) Produto escalar: 
𝐴 ∙ �⃗⃗� = 𝐴𝑖 ∙ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑗 ∙ 𝐵𝑗 
6) Produto vetorial: 
𝐴 × �⃗⃗� = |
�̂� �̂� �̂�
𝐴𝑖 𝐴𝑗 0
𝐵𝑖 𝐵𝑗 0
| 
𝐴 × �⃗⃗� = (𝐴𝑖 ∙ 𝐵𝑗 − 𝐵𝑖 ∙ 𝐴𝑗)�̂� 
 
Eletromagnetismo I 
 
51 
Um sistema de coordenadas tridimensionais possui três eixos coordenados. Um 
ponto P será descrito em termos de (x,y,z) no sistema de coordenadas retangulares; em 
termos de (r,ϕ,z) no sistema de coordenadas cilíndricas; e em termos de (r,θ,ϕ) no 
sistema de coordenadas esféricas. 
O sistema de coordenadas retangulares (ou cartesianas tridimensional) é um 
sistema formado por dois sistemas do tipo cartesiano-cartesiano: 
 
Fonte: NAHVI-DEKHORDI e EDMINISTER, 2013. 
Temos que: 
𝐴 = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧) = 𝐴𝑥𝑥 + 𝐴𝑦�̂� + 𝐴𝑧�̂� 
Um ponto P(x,y,z) no sistema de coordenadas retangulares tem o seguinte 
domínio: 
𝑥: (−∞,+∞) 
𝑦: (−∞,+∞) 
𝑧: (−∞,+∞) 
O sistema de coordenadas cilíndricas é um sistema formado por dois sistemasdo 
tipo polar-cartesiano (observe que a base é um sistema de coordenadas polares, 
enquanto a altura é o próprio z): 
Eletromagnetismo I 
 
52 
 
Fonte: NAHVI-DEKHORDI e EDMINISTER, 2013. 
Temos que: 
𝐴 = (𝐴𝑟, 𝐴ϕ, 𝐴z) = 𝐴𝑟�̂� + 𝐴ϕϕ̂ + 𝐴𝑧�̂� 
Um ponto P(r, ϕ, z) no sistema de coordenadas cilíndricas tem o seguinte domínio: 
𝑟: (0,+∞) 
ϕ: (0,2𝜋) 
𝑧: (−∞,+∞) 
O sistema de coordenadas esféricas é um sistema formado por dois sistemas do 
tipo polar-polar (observe tanto a base quanto a altura são sistemas de coordenadas 
polares): 
 
Fonte: NAHVI-DEKHORDI e EDMINISTER, 2013. 
Eletromagnetismo I 
 
53 
 
Observe que ordem de se escrever as coordenadas é importante e deve ser 
cuidadosamente seguida. Por exemplo, Por exemplo, o ângulo ϕ é o mesmo tanto em 
coordenadas cilíndricas quanto em coordenadas esféricas. Porém, na ordem das 
coordenadas, ϕ aparece na segunda posição no sistema cilíndrico (r, ϕ, z) e na terceira 
posição no sistema esférico (r, θ, ϕ). 
 
Em coordenadas cilíndricas, r mede a distância ao eixo z, tomada no plano normal 
a este (no plano xy); enquanto, no sistema esférico, r mede a distância da origem ao 
ponto P. Por isso será conveniente escrevermos (R,θ,ϕ) para o sistema de coordenadas 
esféricas. A componente θ representa o ângulo entre o vetor e o eixo vertical (z). 
Temos que: 
𝐴 = (𝐴𝑅, 𝐴θ, 𝐴ϕ) = 𝐴𝑅�̂� + 𝐴θθ̂ + 𝐴ϕϕ̂ 
Um ponto P(R, θ, ϕ) no sistema de coordenadas esféricas tem o seguinte domínio: 
𝑅: (0,+∞) 
θ: (0, 𝜋) 
ϕ: (0,2𝜋) 
Os vetores unitários no sistema de coordenadas cilíndricas são mostrados a seguir: 
 
Fonte: ULABY, 2007. 
Eletromagnetismo I 
 
54 
Observe que o ponto P(r, ϕ, z) pertence a qualquer posição na casca cilíndrica. 
Os vetores unitários no sistema de coordenadas esféricas são mostrados a seguir: 
 
Fonte: ULABY, 2007. 
Observe que o ponto P(R, θ, ϕ) pertence a qualquer posição na casca esférica. 
A Tabela 4 resume as operações com vetores nos sistemas de coordenadas 
tridimensionais. 
Tabela 4: Resumo das operações com vetores. 
 
Fonte: ULABY, 2007. 
Eletromagnetismo I 
 
55 
 
Fórmula para o produto vetorial: 
Considere os vetores: 
𝐴 = (𝐴𝑖 , 𝐴𝑗, 𝐴𝑘) = 𝐴𝑖 �̂� + 𝐴𝑗 �̂� + 𝐴𝑘�̂� 
�⃗⃗� = (𝐵𝑖 , 𝐵j, 𝐵𝑘) = 𝐵𝑖 �̂� + 𝐵jĵ + 𝐵𝑘�̂� 
Para o sistema de coordenadas retangulares: 𝑖 = 𝑥, 𝑗 = 𝑦 e 𝑘 = 𝑧 
Para o sistema de coordenadas cilíndricas: 𝑖 = 𝑟 e 𝑗 = ϕ e 𝑘 = 𝑧 
E para o sistema de coordenadas esféricas: 𝑖 = 𝑅 e 𝑗 = θ e 𝑘 = ϕ 
O produto vetorial é dado por: 
𝐴 × �⃗⃗� = |
�̂� �̂� �̂�
𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝐴𝑘
𝐵𝑖 𝐵𝑗 𝐵𝑘
| 
𝐴 × �⃗⃗� = (𝐴𝑗𝐵𝑘 − 𝐴𝑘𝐵𝑗) �̂� + (𝐴𝑘𝐵𝑖 − 𝐴𝑖𝐵𝑘) �̂� + (𝐴𝑖𝐵𝑗 − 𝐴𝑗𝐵𝑖) �̂� 
𝐴 × �⃗⃗� = (𝐴𝑗𝐵𝑘 − 𝐴𝑘𝐵𝑗 , 𝐴𝑘𝐵𝑖 − 𝐴𝑖𝐵𝑘 , 𝐴𝑖𝐵𝑗 − 𝐴𝑗𝐵𝑖) 
 
A escolha do sistema de coordenada adequado depende da geometria do problema. 
Por exemplo, se estivermos calculando o campo elétrico gerado por um fio de cobre, 
que possui geometria cilíndrica, a adoção de um sistema de coordenadas cilíndricas 
pode ser mais adequada para representarmos o campo elétrico nesse problema. 
 
Na próxima seção, estudaremos as fórmulas para mudança de sistema de 
coordenadas. 
 
Transformações entre Sistemas de Coordenadas: 
Nessa seção estabeleceremos as relações entre os vetores nos sistemas de 
coordenadas retangulares (x,y,z), cilíndricas (r,ϕ,z) e esféricas (R,θ,ϕ). É importante 
observar que, para uma dada posição desse vetor no sistema de coordenadas, deve 
existir uma representação desse vetor para um desses três sistemas de coordenadas. 
Eletromagnetismo I 
 
56 
 
Transformações Coordenadas Retangular-Cilíndrica e vice-versa: 
Coordenadas do Ponto P 
P(r, ϕ, z): P(x,y,z): 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 𝑥 = 𝑟 ∙ cos(ϕ) 
ϕ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑦
𝑥
) 𝑦 = 𝑟 ∙ sen(ϕ) 
𝑧 = 𝑧 𝑧 = 𝑧 
Vetores Unitários 
�̂� = cos(ϕ) ∙ 𝑥 + sen(ϕ) ∙ �̂� 𝑥 = cos(ϕ) ∙ �̂� − sen(ϕ) ∙ ϕ̂ 
ϕ̂ = −sen(ϕ) ∙ 𝑥 + cos(ϕ) ∙ �̂� ŷ = sen(ϕ) ∙ �̂� + cos(ϕ) ∙ ϕ̂ 
ẑ = ẑ ẑ = ẑ 
Componentes Vetoriais 
𝐴 = (𝐴𝑟, 𝐴ϕ, 𝐴z) = 𝐴𝑟�̂� + 𝐴ϕϕ̂ + 𝐴𝑧�̂� 𝐴 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧) = 𝐴𝑥𝑥 + 𝐴𝑦�̂� + 𝐴𝑧�̂� 
𝐴𝑟 = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛(ϕ) 𝐴𝑥 = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠(ϕ) − 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛(ϕ) 
𝐴ϕ = −𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠(ϕ) 𝐴y = 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠(ϕ) 
𝐴z = 𝐴z 𝐴z = 𝐴z 
 
Problema 22: Considere o ponto P(3,-4,3) e o vetor 𝐴 = (2 ,− 3,4) em coordenadas 
retangulares. Obtenha o ponto P em coordenadas cilíndricas e o vetor 𝐴 no ponto P em 
coordenadas cilíndricas. 
Solução: 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √32 + (−4)2 = 5 
ϕ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑦
𝑥
) = 𝑡𝑎𝑛−1 (
−4
3
) = −0,93 
𝑧 = 𝑧 = 3 
Portanto, o ponto é P(5,-0,93,3) em coordenadas cilíndricas. 
Eletromagnetismo I 
 
57 
 
Temos que: 
𝐴𝑟 = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛(ϕ) = 2 𝑐𝑜𝑠(−0,93) − 3 𝑠𝑒𝑛(−0,93) = 3,6 
𝐴ϕ = −𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠(ϕ) = −2 𝑠𝑒𝑛(−0,93) − 3 𝑐𝑜𝑠(−0,93) = −0,19 
𝐴z = 𝐴z = 4 
Portanto, o vetor é 𝐴 = (3,6 , −0,19 ,4) no ponto P(5,-0,93,4) em coordenadas 
cilíndricas. 
 
Problema 23: Considere o ponto P(5,-0,93,3) e o vetor 𝐴 = (3,6 , −0,19 ,4) em 
coordenadas cilíndricas. Obtenha o ponto P em coordenadas retangulares e o vetor 𝐴 
no ponto P em coordenadas retangulares. 
Solução: 
𝑥 = 𝑟 ∙ cos(ϕ) = 5 ∙ cos(−0,93) = 3 
𝑦 = 𝑟 ∙ sen(ϕ) = 5 ∙ sen(−0,93) = −4 
𝑧 = 𝑧 = 3 
Portanto, o ponto é P(3,-4,3) em coordenadas retangulares. 
Temos que: 
𝐴𝑥 = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠(ϕ) − 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛(ϕ) = 3,6 𝑐𝑜𝑠(−0,93) + 0,19 𝑠𝑒𝑛(−0,93) = 2 
𝐴y = 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠(ϕ) = 3,6 𝑠𝑒𝑛(−0,93) − 0,19 𝑐𝑜𝑠(−0,93) = −3 
𝐴z = 𝐴z = 4 
Portanto, o vetor é 𝐴 = (2 ,−3 ,4) no ponto P(3,-4,3) em coordenadas retangulares. 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
58 
 
Transformações Coordenadas Retangular-Esférica e vice-versa: 
Coordenadas do Ponto P 
P(R, θ, ϕ): P(x,y,z): 
𝑅 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛(θ) ∙ cos(ϕ) 
θ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
√𝑥2 + 𝑦2
𝑧
) 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛(θ) ∙ sen(ϕ) 
ϕ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑦
𝑥
) 𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠(θ) 
Vetores Unitários 
�̂� = 𝑠𝑒𝑛(θ) cos(ϕ)𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛(θ)sen(ϕ) �̂�
+ 𝑐𝑜𝑠(θ)�̂� 
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(θ) cos(ϕ) �̂�
+ cos(θ) cos(ϕ) θ̂
− sen(ϕ) ϕ̂ 
θ̂ = 𝑐𝑜𝑠(θ) cos(ϕ) 𝑥
+ cos(θ) sen(ϕ) �̂�
− 𝑠𝑒𝑛(θ)�̂� 
ŷ = 𝑠𝑒𝑛(θ) sen(ϕ) �̂�
+ cos(θ) sen(ϕ) θ̂
+ cos(ϕ) ϕ̂ 
ϕ̂ = −sen(ϕ) ∙ 𝑥 + cos(ϕ) ∙ �̂� ẑ = cos(θ) �̂� − sen(θ) θ̂ 
Componentes Vetoriais 
𝐴 = (𝐴𝑅 , 𝐴θ, 𝐴ϕ) = 𝐴𝑅�̂� + 𝐴θθ̂ + 𝐴ϕϕ̂ 𝐴 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧) = 𝐴𝑥𝑥 + 𝐴𝑦�̂� + 𝐴𝑧�̂� 
𝐴𝑅
= 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛(θ)𝑐𝑜𝑠(ϕ)
+ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛(θ)𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠(θ) 
𝐴𝑥
= 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛(θ)𝑐𝑜𝑠(ϕ)
+ 𝐴θ𝑐𝑜𝑠(θ) 𝑐𝑜𝑠(ϕ) − 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛(ϕ) 
𝐴θ
= 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠(θ)𝑐𝑜𝑠(ϕ)
+ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠(θ)𝑠𝑒𝑛(ϕ) − 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛(θ) 
𝐴y
= 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛(θ)𝑠𝑒𝑛(ϕ)
+ 𝐴θ𝑐𝑜𝑠(θ) 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠(ϕ) 
𝐴ϕ = −𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴𝑦 cos(ϕ) 𝐴z = 𝐴𝑅𝑐𝑜𝑠(θ) − 𝐴θ𝑠𝑒𝑛(θ) 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
59 
 
Problema 24: Considere o ponto P(3,-5,1) e o vetor 𝐴 = (2 ,0 ,−1) em coordenadas 
retangulares. Obtenha o ponto P em coordenadas esféricas e o vetor 𝐴 no ponto P em 
coordenadas esféricas. 
Solução: 
𝑅 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = √32 + (−5)2 + 12 = 5,916 
θ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
√𝑥2 + 𝑦2
𝑧
) = 𝑡𝑎𝑛−1 (
√32 + (−5)2
1
) = 1,4 
ϕ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑦
𝑥
) = 𝑡𝑎𝑛−1 (
−5
3
) = −1,03 
Portanto, o ponto é P(5,916 , 1,4 , -1,03) em coordenadas esféricas. 
Temos que: 
𝐴𝑅 = 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛(θ)𝑐𝑜𝑠(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛(θ)𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠(θ) 
= 2 𝑠𝑒𝑛(1,4)𝑐𝑜𝑠(−1,03) + 0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(1,4)𝑠𝑒𝑛(−1,03) − 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠(1,4) = 0,845 
𝐴θ = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠(θ)𝑐𝑜𝑠(ϕ) + 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠(θ)𝑠𝑒𝑛(ϕ) − 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛(θ) 
= 2 𝑐𝑜𝑠(1,4)𝑐𝑜𝑠(−1,03) + 0 ∙ 𝑐𝑜𝑠(1,4)𝑠𝑒𝑛(−1,03) + 1 ∙ 𝑠𝑒𝑛(1,4) = 1,16 
𝐴ϕ = −𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴𝑦 cos(ϕ) 
= −2 𝑠𝑒𝑛(−1,03) + 0 ∙ cos(−1,03) = 1,715 
Portanto, o vetor é 𝐴 = (0,845 , 1,16 , 1,715) no ponto P(5,916 , 1,4 , -1,03) em 
coordenadas esféricas. 
 
Observe que o módulo do vetor 𝐴 não muda (é igual) para os dois sistemas de 
coordenadas. 
 
 
 
 
EletromagnetismoI 
 
60 
 
Problema 25: Considere o ponto P(5,916 , 1,4 , -1,03) e o vetor 𝐴 =
(0,845 , 1,16 , 1,715) em coordenadas esféricas. Obtenha o ponto P em coordenadas 
retangulares e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas retangulares. 
Solução: 
𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛(θ) ∙ cos(ϕ) = 5,916 𝑠𝑒𝑛(1,4) ∙ cos(−1,03) = 3 
y = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛(θ) ∙ sen(ϕ) = 5,916 𝑠𝑒𝑛(1,4) ∙ sen(−1,03) = −5 
z = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠(θ) = 5,916 𝑐𝑜𝑠(1,4) = 1 
Portanto, o ponto é P(3 , -5 , 1) em coordenadas retangulares. 
Temos que: 
𝐴𝑥 = 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛(θ)𝑐𝑜𝑠(ϕ) + 𝐴θ𝑐𝑜𝑠(θ) 𝑐𝑜𝑠(ϕ) − 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛(ϕ) 
= 0,845 𝑠𝑒𝑛(1,4)𝑐𝑜𝑠(−1,03) + 1,16 𝑐𝑜𝑠(1,4) 𝑐𝑜𝑠(−1,03) − 1,715 𝑠𝑒𝑛(−1,03)
= 2 
𝐴y = 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛(θ)𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴θ𝑐𝑜𝑠(θ) 𝑠𝑒𝑛(ϕ) + 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠(ϕ) 
= 0,845 𝑠𝑒𝑛(1,4)𝑠𝑒𝑛(−1,03) + 1,16 𝑐𝑜𝑠(1,4) 𝑠𝑒𝑛(−1,03) + 1,715 𝑐𝑜𝑠(−1,03)
= 0 
𝐴z = 𝐴z = 𝐴𝑅𝑐𝑜𝑠(θ) − 𝐴θ𝑠𝑒𝑛(θ) 
= 0,845 𝑐𝑜𝑠(1,4) − 1,16 𝑠𝑒𝑛(1,4) = −1 
Portanto, o vetor é 𝐴 = (2 , 0 , −1) no ponto P(3 , -5 , 1) em coordenadas retangulares, 
que é o enunciado do problema anterior. 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
61 
 
Transformações Coordenadas Cilíndrica-Esférica e vice-versa: 
Coordenadas do Ponto P 
P(R, θ, ϕ): P(r, ϕ, z): 
𝑅 = √𝑟2 + 𝑧2 𝑟 = 𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛(θ) 
θ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑟
𝑧
) ϕ = ϕ 
ϕ = ϕ 𝑧 = 𝑅 ∙ 𝑐𝑜𝑠(θ) 
Vetores Unitários 
�̂� = 𝑠𝑒𝑛(θ)�̂� + 𝑐𝑜𝑠(θ)�̂� �̂� = 𝑠𝑒𝑛(θ)�̂� + cos(θ) θ̂ 
θ̂ = 𝑐𝑜𝑠(θ) �̂� − 𝑠𝑒𝑛(θ)�̂� ϕ̂ = ϕ̂ 
ϕ̂ = ϕ̂ ẑ = cos(θ) �̂� − sen(θ) θ̂ 
Componentes Vetoriais 
𝐴 = (𝐴𝑅 , 𝐴θ, 𝐴ϕ) = 𝐴𝑅�̂� + 𝐴θθ̂
+ 𝐴ϕϕ̂ 
𝐴 = (𝐴𝑟, 𝐴ϕ, 𝐴𝑧) = 𝐴𝑟�̂� + 𝐴ϕϕ̂ + 𝐴𝑧�̂� 
𝐴𝑅 = 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛(θ) + 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠(θ) 𝐴𝑟 = 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛(θ) + 𝐴θ𝑐𝑜𝑠(θ) 
𝐴θ = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠(θ) − 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛(θ) 𝐴ϕ = 𝐴ϕ 
𝐴ϕ = 𝐴ϕ 𝐴z = 𝐴𝑅𝑐𝑜𝑠(θ) − 𝐴θ𝑠𝑒𝑛(θ) 
 
Problema 26: Considere o ponto P(1,2,3) e o vetor 𝐴 = (0 ,− 2,1) em coordenadas 
cilíndricas. Obtenha o ponto P em coordenadas esféricas e o vetor 𝐴 no ponto P em 
coordenadas esféricas. 
Solução: 
𝑅 = √𝑟2 + 𝑧2 = √12 + 32 = 3,16 
θ = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑟
𝑧
) = 𝑡𝑎𝑛−1 (
1
3
) = 0,322 
ϕ = ϕ = 2 
Eletromagnetismo I 
 
62 
Portanto, o ponto é P(3,16 , 0,322 , 2) em coordenadas esféricas. 
Temos que: 
𝐴𝑅 = 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛(θ) + 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠(θ) = 0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0,322) + 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠(0,322) = 0,95 
𝐴θ = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠(θ) − 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛(θ) = 0 ∙ 𝑐𝑜𝑠(0,322) − 1 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0,322) = −0,316 
𝐴ϕ = 𝐴ϕ = −2 
Portanto, o vetor é 𝐴 = (0,95 , −0,316 ,−2) no ponto P(3,16 , 0,322 , 2) em 
coordenadas esféricas. 
 
Problema 27: Considere o ponto P(3,16 , 0,322 , 2) e o vetor 𝐴 = (0,95 ,−0,316 , −2) 
em coordenadas esféricas. Obtenha o ponto P em coordenadas cilíndricas e o vetor 𝐴 
no ponto P em coordenadas cilíndricas. 
Solução: 
𝑟 = 𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛(θ) = 3,15 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0,322) = 1 
ϕ = ϕ = 2 
𝑧 = 𝑅 ∙ 𝑐𝑜𝑠(θ) = 3,15 ∙ 𝑐𝑜𝑠(0,322) = 3 
Portanto, o ponto é P(1,2,3) em coordenadas cilíndricas. 
Temos que: 
𝐴𝑟 = 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛(θ) + 𝐴θ𝑐𝑜𝑠(θ) = 0,95 𝑠𝑒𝑛(0,322) − 0,316 𝑐𝑜𝑠(0,322) = 0 
𝐴ϕ = 𝐴ϕ = −2 
𝐴z = 𝐴𝑅𝑐𝑜𝑠(θ) − 𝐴θ𝑠𝑒𝑛(θ) = 0,95 𝑐𝑜𝑠(0,322) + 0,316 𝑠𝑒𝑛(0,322) = 1 
Portanto, o vetor é 𝐴 = (0 ,−2 ,1) no ponto P(1,2,3) em coordenadas cilíndricas, que é 
o enunciado do problema anterior. 
 
Nessa Unidade, fizemos uma revisão de unidades de medida e de álgebra vetorial. 
Na próxima Unidade, vamos introduzir o estudo do cálculo diferencial e integral à 
álgebra vetorial, resultando no chamado Cálculo Vetorial. 
 
Eletromagnetismo I 
 
63 
 
Exercícios – Unidade 1 
 
1) Considere as seguintes afirmações sobre a Era Clássica do Eletromagnetismo: 
I- Thales de Mileto descreveu como a fricção do âmbar fazia o material 
“desenvolver” uma força que atraia objetos, como plumas. 
II- Gilbert formulou as equações matemáticas sobre a força elétrica entre duas 
cargas em termos de intensidade (magnitude) e polaridade (direção), em função da 
distância entre elas. 
III- Alexandre Volta inventou o para-raios e demonstrou que o relâmpago é um 
fenômeno elétrico. 
São corretas as afirmações: 
a) I, apenas. 
b) I e II, apenas. 
c) II e III, apenas. 
d) TODAS as afirmações estão CORRETAS. 
e) TODAS as afirmações estão INCORRETAS. 
 
2) Sabendo que a tensão elétrica pode ser obtida pela equação: V = i x R, e que i = 
35 mA e R = 55 MΩ, a tensão elétrica, em MV, será igual a: 
a) 325 MV. 
b) 1,925 MV. 
c) 16,5 MV. 
d) 0,25 MV. 
e) 144,88 MV. 
 
Eletromagnetismo I 
 
64 
3) Sabendo que a carga elétrica pode ser obtida pela equação: Q = i x t, e que i = 
30 A e t = 75 ms, a carga elétrica, em mC, será igual a: 
a) 75 mC. 
b) 2,25 mC. 
c) 225 mC. 
d) 2.250 mC. 
e) 22.500 mC. 
 
Considere os vetores �⃗⃗⃗� = (𝟑, 𝟒, −𝟓) e �⃗⃗⃗� = (𝟎, −𝟑, 𝟎) para as questões 4, 5, 6, 
7 e 8: 
 
4) O módulo de 𝐴 é: 
a) 0. 
b) 3. 
c) 7,07. 
d) 5. 
e) 6,45. 
 
5) O resultado da operação 𝐴 + �⃗⃗� é 
a) (8,0, −3). 
b) (3,1,−5). 
c) (3,7, −5). 
d) (0,−3,0). 
e) (3,0,0). 
 
Eletromagnetismo I 
 
65 
6) O vetor unitário �̂� (na direção de 𝐴) é: 
a) 7,07. 
b) (3, 1 , 5) 
c) (1, 0 , 0) 
d) (−0,24 , 0,12 , 0,96) 
e) (0,42 , 0,57 ,−0,71). 
 
7) O produto escalar 𝐴 ⋅ �⃗⃗� é: 
a) 7,07. 
b) –12. 
c) (3,7, −5). 
d) 2. 
e) 0. 
 
8) O produto vetorial 𝐴 × �⃗⃗� é: 
a) (3,7, −5). 
b) (15,−37, −21). 
c) (7,3, −5). 
d) (−15,0,9). 
e) (15,−5, −37). 
 
 
 
 
Alex
Sticky Note
O correto seria (-15 , 0, -9)
Eletromagnetismo I 
 
66 
Considere o ponto P(2,0,1) e o vetor �⃗⃗⃗� = (𝟑,−𝟐, 𝟐) em coordenadas 
retangulares, para os exercícios 9 e 10: 
 
9) Determine e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas cilíndricas. 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
 
10) Determine e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas esféricas. 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________ 
 
Eletromagnetismo I 
 
67 
 
2 Cálculo Vetorial 
Eletromagnetismo I 
 
68 
 
Nesta Unidade aprenderemos os fundamentos do Cálculo Vetorial que são a base 
matemática para o Eletromagnetismo. 
 
Objetivos da unidade: 
Conhecer os elementos diferenciais de volume, área e comprimento. 
Entender os operadores vetoriais, como o gradiente, o divergente e o rotacional. 
Ser capaz de desenvolver sucessivas aplicações dos operadores vetoriais. 
 
Plano da unidade: 
Elementos diferenciais. 
Operadores Vetoriais. 
 
 
Bons estudos! 
 
Eletromagnetismo I 
 
69 
Classificação dos materiais 
 
Elementos diferenciais 
 
Elementos diferenciais são muito utilizados em conjunto com as operações 
integrais para cálculo de comprimento, área e volume. Um elemento diferencial (por 
exemplo, “dx”) é uma diferença muito pequena (é um comprimento que “tende à zero”). 
A letra “d” é a sigla para “diferencial” (“dx”, lê-se “diferencial x”). As operações com 
elementos diferenciais são muito utilizadas em cálculos envolvendo materiais sólidos.Podemos representar um material sólido como sendo um somatório de infinitos 
elementos diferenciais de volume (como uma soma de “pequenos pedaços” de 
geometria retangular, cilíndrica ou esférica). Lembrando que o somatório de elementos 
diferenciais é o que chamamos de “integral”. 
 
Naturalmente, as representações dos elementos diferenciais de comprimento, área 
e volume dependem do sistema de coordenadas adotado (se é retangular, cilíndrica ou 
esférica). Ou seja, a representação dos elementos diferenciais depende do sistema de 
coordenadas. A figura a seguir ilustra o comprimento, a área e o volume diferenciais 
em coordenadas retangulares: 
 
Fonte: ULABY, 2007. 
Eletromagnetismo I 
 
70 
O comprimento diferencial em coordenadas retangulares é o vetor: 
𝑑𝑙 = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑𝑦 �̂� + 𝑑𝑧 �̂� = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) 
Já vimos que a área é formada pelo produto vetorial entre dois vetores. Assim, um 
elemento diferencial de área da superfície frente é dado por: 
𝑑𝑆𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑦 �̂� × 𝑑𝑧 �̂� = 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑥 
Os elementos diferenciais de área das superfícies lateral e topo são, 
respectivamente: 
𝑑𝑆𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑥 𝑑𝑧 �̂� 
𝑑𝑆𝑧⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 �̂� 
Observe que para cada elemento diferencial de área existe um vetor unitário 
perpendicular (normal) à área diferencial. 
O volume diferencial é o produto das três componentes diferenciais: 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
A figura a seguir ilustra o comprimento, a área e o volume diferenciais em 
coordenadas cilíndricas: 
 
Fonte: ULABY, 2007. 
Eletromagnetismo I 
 
71 
 
É importante observar que o arco de uma circunferência é igual ao produto entre o 
raio e o ângulo, portanto um elemento diferencial de arco é igual ao produto 𝑟𝑑𝜙. 
 
O comprimento diferencial em coordenadas cilíndricas é o vetor: 
𝑑𝑙 = 𝑑𝑟 �̂� + 𝑟𝑑𝜙 �̂� + 𝑑𝑧 �̂� = (𝑑𝑟, 𝑟𝑑𝜙, 𝑑𝑧) 
A área diferencial das superfícies frente, lateral e topo são dadas respectivamente 
pelos vetores: 
𝑑𝑆𝑟⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 �̂� 
𝑑𝑆𝜙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑑𝑟 𝑑𝑧 �̂� 
𝑑𝑆𝑧⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜙 �̂� = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 �̂� 
O volume diferencial em coordenadas cilíndricas é dado por: 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 
A figura a seguir ilustra o comprimento, a área e o volume diferenciais em 
coordenadas esféricas: 
 
Fonte: ULABY, 2007. 
Eletromagnetismo I 
 
72 
O comprimento diferencial em coordenadas esféricas é o vetor: 
𝑑𝑙 = 𝑑𝑅 �̂� + 𝑅𝑑𝜃 �̂� + 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 �̂� = (𝑑𝑅,𝑅𝑑𝜃, 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙) 
As áreas diferenciais das superfícies em coordenadas esféricas são dadas pelos 
vetores: 
𝑑𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅 𝑑𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 �̂� = 𝑅
2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 �̂� 
𝑑𝑆𝜃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑅 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 �̂� = 𝑅 𝑑𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 �̂� 
𝑑𝑆𝜙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑑𝑅 𝑅 𝑑𝜃 �̂� = 𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝜃 �̂� 
O volume diferencial em coordenadas esféricas é dado por: 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑅 𝑅 𝑑𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 = 𝑅2 𝑑𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 
A Tabela 5 resume os elementos diferenciais de comprimento, área e volume para 
os sistemas de coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. 
Tabela 5: Elementos diferenciais de comprimento, área e volume para os 
sistemas de coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. 
 
Fonte: ULABY, 2007. 
 
Operadores Vetoriais 
 
Um campo é a especificação de uma grandeza em função da posição em toda a 
região de interesse (também chamada de “região de observação”). Um campo pode ser 
tanto escalar quanto vetorial. 
Um campo escalar é aquele em que todos os pontos apresentam grandezas sem 
orientação (são isentas de direção e sentido, possuindo apenas uma magnitude). 
Eletromagnetismo I 
 
73 
Exemplos: distribuição de temperatura e potencial elétrico. Um campo escalar é 
também chamado de campo potencial. As superfícies em que o campo escalar é 
constante são chamadas de equipotenciais. 
 
Problema 1: Considere o campo escalar 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑧. Determine o valor 
desse campo no ponto P(1,-2,3). 
Solução: 
𝑉(1, −2,3) = 12 + (−2)2 − 2 ∙ 3 = −1 
Resposta: Temos o valor 𝑉 = −1 no ponto P(1,-2,3). 
 
Um campo vetorial é aquele em que cada ponto está associado a um vetor (possui 
um módulo, direção e sentido). Exemplos: distribuição da velocidade em um fluido e o 
campo elétrico. Como pode ser observado na figura a seguir, em um campo vetorial 
temos um vetor associado a cada ponto da região de interesse. 
 
Para mapear campos vetoriais utilizamos as linhas de fluxo, que são linhas 
tangenciais ao vetor em cada ponto do espaço. Uma maior concentração de linhas indica 
que o campo vetorial é mais intenso. 
Eletromagnetismo I 
 
74 
 
Problema 2: Considere o campo vetorial �⃗⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦2 , 𝑥 − 2𝑧 , 4𝑦). 
Determine o vetor desse campo no ponto P(1,-2,3). 
Solução: 
É importante observar que: 
�⃗⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦2 , 𝑥 − 2𝑧 , 4𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2) 𝑥 + (𝑥 − 2𝑧) �̂� + 4𝑦 �̂� 
No ponto P(1,-2,3): 
�⃗⃗�(1,−2,3) = (12 + (−2)2 , 1 − 2 ∙ 3 , 4 ∙ (−2)) = (5 , −5 ,−8) 
�⃗⃗�(1, −2,3) = 5 𝑥 − 5 �̂� − 8 �̂� 
Resposta: Temos o vetor �⃗⃗� = (5 ,−5 ,−8) no ponto P(1,-2,3). 
 
Logo, um campo escalar representa uma distribuição de valores (escalares) ao 
longo de uma região, enquanto um campo vetorial representa uma distribuição de 
vetores (com magnitude e orientação) ao longo de uma região. 
 
No estudo de Eletromagnetismo, precisamos de indicadores matemático para 
entendermos como um campo (seja escalar ou vetorial) varia no espaço. Nessa seção 
aprenderemos três operadores para tal propósito: 
1. Gradiente: operação sobre um campo escalar (equipotencial), que resulta em 
um vetor. Ele fornece uma medida (módulo e orientação) para a máxima taxa espacial 
de variação do campo escalar de determinado ponto. 
2. Divergente: operação sobre um campo vetorial (linhas de fluxo), que resulta 
em um escalar. Ele fornece uma medida de fluxo por unidade de volume (densidade de 
linhas de fluxo) que emana de determinado ponto. 
3. Rotacional: operação sobre um campo vetorial (linhas de fluxo), que resulta 
em um vetor. Ele fornece informações sobre a circulação do campo vetorial (das linhas 
de fluxo) no entorno de determinado ponto. 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
75 
Gradiente de um campo escalar: 
Ao trabalharmos com uma grandeza física escalar que é função de uma única 
variável, como a temperatura 𝑇(𝑥) em função do comprimento 𝑥, a taxa de variação de 
𝑇 com o comprimento pode ser descrita pela derivada 𝑑𝑇/𝑑𝑥. Entretanto, se a 
temperatura é função das três dimensões 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧), a sua taxa de variação espacial 
torna-se algo não tão simples de descrever. 
Considere um campo escalar 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) contínuo e diferenciável. As superfícies 
equipotenciais são definidas por: 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶 
Em que 𝐶 é uma constante. Observe a figura a seguir. 
 
Fonte: ULABY, 2007. 
 
Considere que a superfície lateral esquerda e direita sejam equipotenciais (𝑇1 = 𝐶1 
ao longo da superfície da esquerda e 𝑇2 = 𝐶2 ao longo da superfície da direita), e que a 
distância entre dois pontos dessas superfícies (P2 – P1) seja diferencial dada por: 
𝑑𝑙 = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑𝑦 �̂� + 𝑑𝑧 �̂� 
Tendo como base a fórmula da diferencial total, podemos calcular 𝑑𝑇 = 𝑇2 − 𝑇1, 
como: 
𝑑𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑑𝑥 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 𝑑𝑦 +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 𝑑𝑧 
Por definição: 
𝑑𝑥 = 𝑑𝑙 ∙ 𝑥 
Eletromagnetismo I 
 
76 
𝑑𝑦 = 𝑑𝑙 ∙ �̂� 
𝑑𝑧 = 𝑑𝑙 ∙ �̂� 
Substituindo: 
𝑑𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑥 ∙ 𝑑𝑙 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 �̂� ∙ 𝑑𝑙 +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 �̂� ∙ 𝑑𝑙 
𝑑𝑇 = [
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑥 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 �̂� +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 �̂�] ∙ 𝑑𝑙 
O vetor dentro dos colchetes define a variação do campo escalar (temperatura) ao 
longo de 𝑑𝑙. Esse vetor é denominado gradiente de T, representado simbolicamente por 
∇𝑇: 
∇𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑥 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 �̂� +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 �̂� 
Substituindo, temos então que: 
𝑑𝑇 = ∇𝑇 ∙ 𝑑𝑙 
Observe que a projeção do vetor gradiente ∇𝑇 na direção especificada por 𝑑𝑙 
corresponde à derivada direcional:𝑑𝑇 = ∇𝑇 ∙ 𝑑𝑙 𝑙 
𝑑𝑇
𝑑𝑙
= ∇𝑇 ∙ 𝑙 
Se 𝑑𝑙 for normal à superfície equipotencial (o que corresponde ao menor 
deslocamento), temos o valor máximo, que corresponde a: 
𝑑𝑇
𝑑𝑛
= ∇𝑇 
O gradiente de uma função potencial (como o potencial elétrico) é um campo 
vetorial que é normal às superfícies equipotenciais em todos os pontos. 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
77 
 
O símbolo ∇ é denominado del ou operador gradiente, sendo definido, em 
coordenadas retangulares, por: 
∇=
𝜕
𝜕𝑥
 𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
 �̂� +
𝜕
𝜕𝑧
 �̂� 
 
O campo vetorial ∇𝑇 é chamado de gradiente e representa a conversão de um 
campo escalar em um campo vetorial. O campo vetorial gradiente representa a máxima 
taxa de acréscimo do campo escalar 𝑇. 
MÁXIMA = Direção 
TAXA = Magnitude 
DE ACRÉSCIMO = Sentido 
 
Problema 3: Determine o gradiente do campo escalar 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑥𝑦2 − 2𝑧. Em 
seguida, determine o gradiente desse campo no ponto P(3,2,1). 
Solução: 
∇𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑥 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 �̂� +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 �̂� 
∇𝑇 = (2𝑥 + 𝑦2)𝑥 + 2𝑥𝑦 �̂� − 2 �̂� = (2𝑥 + 𝑦2 , 2𝑥𝑦 , −2) 
No ponto P(3,2,1): 
∇𝑇 = (2 ∙ 3 + 22)𝑥 + 2 ∙ 3 ∙ 2 �̂� − 2 �̂� = 10 𝑥 + 12 �̂� − 2 �̂� = (10 , 12, −2) 
O vetor (10 , 12 , -2) representa a máxima taxa de acréscimo de T no ponto P(3,2,1). 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
78 
 
Problema 4: Determine a derivada direcional de 𝑇 = 𝑥2 + 𝑦2𝑧 ao longo da direção de 
𝑙 = 2𝑥 + 3�̂� − 2�̂�, e a calcule para P(1,-1,2). 
Solução: 
Temos que: 
𝑑𝑇
𝑑𝑙
= ∇𝑇 ∙ 𝑙 
Ou seja, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de 𝑇 e o vetor 
unitário na direção de 𝑙. O gradiente de 𝑇 é dado por: 
∇𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑥 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 �̂� +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 �̂� 
∇𝑇 = 2𝑥 𝑥 + 2𝑦𝑧 �̂� + 𝑦2 �̂� = (2𝑥 , 2𝑦𝑧 , 𝑦2) 
O vetor unitário na direção de 𝑙 é dado por: 
𝑙 =
𝑙
|𝑙|
=
2𝑥 + 3�̂� − 2�̂�
√22 + 32 + (−2)2
=
2𝑥 + 3�̂� − 2�̂�
4,12
= 0,485𝑥 + 0,73�̂� − 0,485�̂� 
𝑙 = (0,485 , 0,73 ,−0,485) 
Resultando em: 
𝑑𝑇
𝑑𝑙
= ∇𝑇 ∙ 𝑙 = (2𝑥 , 2𝑦𝑧 , 𝑦2) ∙ (0,485 , 0,73 , −0,485) 
𝑑𝑇
𝑑𝑙
= 0,97𝑥 + 1,46𝑦𝑧 − 0,485𝑦2 
No ponto P(1,-1,2): 
𝑑𝑇
𝑑𝑙
(1,−1,2) = 0,97 ∙ 1 + 1,46 ∙ (−1) ∙ 2 − 0,485 ∙ (−1)2 
𝑑𝑇
𝑑𝑙
(1,−1,2) = −2,435 
 
A expressão do gradiente deve ser igualmente válida para qualquer sistema de 
coordenadas ortogonais. A equação para o gradiente em coordenadas cilíndricas e 
esféricas é obtido diretamente daquela em coordenadas cartesianas, por meio de uma 
transformação do sistema de coordenadas. 
Eletromagnetismo I 
 
79 
O operador gradiente em coordenadas cilíndricas pode ser definido como: 
∇=
𝜕
𝜕𝑟
 �̂� +
1
𝑟
𝜕
𝜕ϕ
 ϕ̂ +
𝜕
𝜕𝑧
 �̂� 
O gradiente do campo escalar 𝑇, em coordenadas cilíndricas, é dado por: 
∇𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑟
 �̂� +
1
𝑟
𝜕𝑇
𝜕ϕ
 ϕ̂ +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 �̂� 
 
Problema 5: Determine o gradiente do campo escalar 𝑉(𝑟,ϕ, 𝑧) = 2𝑒−2𝑟𝑠𝑒𝑛(3ϕ). Em 
seguida, determine o gradiente desse campo no ponto P(1,π/2,3), em coordenadas 
cilíndricas. 
Solução: 
∇𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑟
 �̂� +
1
𝑟
𝜕𝑉
𝜕ϕ
 ϕ̂ +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 �̂� 
∇𝑉 = 2 ∙ (−2)𝑒−2𝑟𝑠𝑒𝑛(3ϕ)�̂� +
1
𝑟
∙ 2𝑒−2𝑟 ∙ 3𝑐𝑜𝑠(3ϕ)ϕ̂ + 0 �̂� 
∇𝑉 = −4𝑒−2𝑟𝑠𝑒𝑛(3ϕ)�̂� +
6𝑒−2𝑟𝑐𝑜𝑠(3ϕ)
𝑟
ϕ̂ 
No ponto P(1,π/2,3): 
∇𝑉 = −4𝑒−2∙1𝑠𝑒𝑛(3π/2)�̂� +
6𝑒−2∙1𝑐𝑜𝑠(3π/2)
1
ϕ̂ 
∇𝑉 = 0,54�̂� 
 
O operador gradiente em coordenadas esféricas pode ser definido como: 
∇=
𝜕
𝜕𝑅
 �̂� +
1
𝑅
𝜕
𝜕θ
 θ̂ +
1
𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕
𝜕ϕ
 ϕ̂ 
O gradiente do campo escalar 𝑇, em coordenadas esféricas, é dado por: 
∇𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑅
 �̂� +
1
𝑅
𝜕𝑇
𝜕θ
 θ̂ +
1
𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕𝑇
𝜕ϕ
 ϕ̂ 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
80 
 
Problema 6: Determine o gradiente do campo escalar 𝑉(𝑅, θ,ϕ) = (𝑎2/𝑅2)𝑐𝑜𝑠(2θ). 
Em seguida, determine o gradiente desse campo no ponto P(a,0,π), em coordenadas 
esféricas. 
Solução: 
∇𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑅
 �̂� +
1
𝑅
𝜕𝑉
𝜕θ
 θ̂ +
1
𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕𝑉
𝜕ϕ
 ϕ̂ 
∇𝑉 = −2
𝑎2
𝑅3
𝑐𝑜𝑠(2θ)�̂� +
1
𝑅
 
𝑎2
𝑅2
(−2𝑠𝑒𝑛(2θ))θ̂ + 0 ϕ̂ 
∇𝑉 =
−2𝑎2
𝑅3
𝑐𝑜𝑠(2θ)�̂� −
2𝑎2
𝑅3
𝑠𝑒𝑛(2θ)θ̂ 
No ponto P(a,0,π): 
∇𝑉 =
−2𝑎2
𝑎3
𝑐𝑜𝑠(2 ∙ 0)�̂� −
2𝑎2
𝑎3
𝑠𝑒𝑛(2 ∙ 0)θ̂ 
∇𝑉 = −
2
𝑎
 �̂� 
 
Operador gradiente para os sistemas de coordenadas: 
Retangulares: 
∇𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 𝑥 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 �̂� +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 �̂� 
Cilíndricas: 
∇𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑟
 �̂� +
1
𝑟
𝜕𝑇
𝜕ϕ
 ϕ̂ +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 �̂� 
Esféricas: 
∇𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑅
 �̂� +
1
𝑅
𝜕𝑇
𝜕θ
 θ̂ +
1
𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕𝑇
𝜕ϕ
 ϕ̂ 
 
 
 
Eletromagnetismo I 
 
81 
 
Propriedades do operador gradiente: 
As relações a seguir se aplicam para quaisquer duas funções escalares 𝑇 e 𝑈: 
∇(𝑇 + 𝑈) = ∇𝑇 + ∇𝑈 
∇(𝑇 𝑈) = 𝑇 ∇𝑈 + 𝑈 ∇𝑇 
∇𝑇𝑛 = 𝑛𝑇𝑛−1∇𝑇 
Observe que essas regras são as mesmas da derivada. Isso ocorre uma vez que o 
gradiente é uma derivada direcional (ou seja, é uma derivada). 
 
Divergente de um campo vetorial: 
Alguns campos vetoriais, ao considerarmos uma região fechada, tendem a possuir 
um fluxo de saída igual ao fluxo de entrada. Em teoria Eletromagnética, apenas os 
campos Magnetostáticos (ditos solenoidais) possuem esse comportamento. Entretanto, 
alguns campos vetoriais podem criar linhas de fluxo, caso exista uma fonte de campo 
dentro da região de interesse. Um exemplo é a presença de uma carga elétrica pontual. 
O divergente de um campo vetorial resulta em um escalar e tem semelhança com uma 
operação de derivada sobre uma função escalar. 
 
Imagine o fluxo de água través de um cano. Em geral, o fluxo de entrada deve ser 
igual ao fluxo de saída. Entretanto, caso exista uma fonte de campo (uma nova entrada 
de água por esse cano), o fluxo de saída será maior do que o de entrada. E, caso exista 
um sumidouro (ou sorvedouro) de campo (um furo por onde sai água desse cano), o 
fluxo de saída será menor do que o de entrada. Portanto, se o fluxo de saída for diferente 
do fluxo de entrada, então existe fonte (ou sumidouro) na região de interesse. 
 
Graficamente, um campo vetorial é representado por linhas de fluxo, em que as 
setas indicam a direção e sentido do campo no ponto onde a linha de campo é 
desenhada, enquanto o comprimento da linha (ou a densidade de linhas) representa a 
intensidade do campo: 
Eletromagnetismo I 
 
82 
Fluxo de entrada Região Fechada Fluxo de saída 
 
Por convenção, o fluxo será considerado positivo quando as linhas de fluxo saem 
da superfície, e negativo, quando elas entram. Na figura anterior, o fluxo que penetra 
pela face da esquerda da superfície fechada é negativo; o que sai pela face direita é 
positivo. Assim: 
1. Caso não exista fonte ou sumidouro, o somatório do fluxo através de 
todas as superfícies da região fechada deve ser igual a 0. 
2. Caso exista fonte de campo vetorial, o somatório do fluxo através de 
todas as superfícies da região fechada deve ser igual à intensidade (magnitude) da 
fonte de campo vetorial. 
O nosso objetivo é calcular a intensidade (magnitude) da fonte de campo vetorial. 
A figura a seguir apresenta uma carga elétrica (fonte de campo elétrico) no interior 
de uma região fechada (superfície esférica imaginária): 
 
Apesar de o campo elétrico da carga +q não se mover, consideramos a sua presença 
como o fluxo que flui através do espaço e nos referimos a suas linhas como linhas de 
fluxo. 
Eletromagnetismo I 
 
83 
Na fronteira de uma superfície, definimos a densidade de fluxo como a quantidade 
de fluxo que atravessa a superfície dS (elemento diferencial de área da superfície). O 
fluxo total que atravessa a superfície fechada S (como a esfera imaginária) é dado por: 
Fluxo Total = Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑆
𝑆
 
Em que �⃗� representa a fonte de campo vetorial. É importante observar que a 
direção de 𝑑𝑆 é sempre normal à superfície da região fechada. Portanto, só contribuirão 
para o fluxo total, a componente de �⃗� que seja normal à superfície. 
Considere o campo vetorial �⃗� no sistema de coordenadas retangulares: