espelhos-esfericos

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ESPELHOS ESFÉRICOS
ESPELHOS ESFÉRICOS (USANDO 
APROXIMAÇÃO DE GAUSS)
Existem dois tipos de espelhos esféricos: côncavos e convexos. 
O que os diferencia é que o primeiro tem a parte espelhada voltada 
para dentro enquanto o convexo tem a parte espelhada para fora, 
conforme as figuras abaixo:
Algumas nomenclaturas são importantes para o nosso estudo.
EIXO PRINCIPAL (E.P.)
É a reta horizontal traçada nas figuras acima. Divide o espelho em 
duas metades.
VÉRTICE (V)
É o ponto do espelho que toca o E.P.
CENTRO (C)
Se completarmos mentalmente o espelho até formarmos 
uma esfera, podemos perceber que o ponto C nas figuras acima 
representam o centro geométrico dessa esfera formada. Sendo 
assim, a distância do ponto C ao vértice é equivalente ao raio do 
espelho esférico.
FOCO (F)
Perceba, pelas figuras, que os R.L. que são paralelos ao E.P., após 
refletirem no espelho, tocam o E.P. em um ponto. Esse ponto é o 
foco do espelho. Se pegarmos infinitos R.L. paralelos ao E.P., o mesmo 
aconteceria com todos eles. Todo raio que se aproxima do espelho 
paralelamente ao E.P., será refletido e passará pelo foco.
VF FC
ˆ ˆi r
=
=
Observação
A geometria nos diz também que toda reta que passa no centro e 
toca na superfície da esfera é uma reta normal à reta tangente à esfera 
nesse ponto. Sendo assim, imaginando que estamos falando de uma 
superfície espelhada, o ângulo de incidência é zero e, portanto, o de 
reflexão também será zero. Ou seja, todo R.L. que passa pelo centro, 
após ser refletido pelo espelho, voltará pelo centro.
Agora nós sabemos exatamente o que acontece com os R.L. 
quando se aproximam de espelho esférico, ou passando pelo centro 
ou se propagando paralelamente ao E.P. Sabendo isso podemos prever 
onde esses raios se encontrarão, formando a imagem do objeto.
Começaremos pelo côncavo. Esse espelho, diferentemente do 
plano, forma imagens diferentes dependendo da distância do objeto 
até o espelho. São cinco imagens com características diferentes. Cada 
uma representada abaixo:
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ESPELHOS ESFÉRICOS
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Através das figuras acima, no caso do espelho côncavo, podemos 
ver que se o objeto estiver:
• antes do centro, a imagem será real, invertida e menor;
• no centro, a imagem será real, invertida e igual;
• entre o centro e o foco, a imagem será real, invertida e maior;
• no foco, não haverá imagem;
• entre o foco e o vértice, a imagem será virtual, direita e maior.
Já no espelho convexo, a formação da imagem é bem mais simples. 
Só há uma possibilidade, não importando a posição do objeto:
A imagem será virtual, direita e menor.
Observação
Na figura abaixo temos uma fonte distante. Perceba como se 
dá a reflexão no caso dos espelhos esféricos. O importante é 
analisarmos, em especial, o que ocorre no espelho convexo. 
Perceba que esse tipo de espelho proporciona um grande campo 
visual e, por causa disso, é usado em ônibus, portarias de prédios, 
nos automóveis e etc.
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS 
ESPELHOS ESFÉRICOS
Vamos chamar a distância do objeto ao espelho de p e a distância 
da imagem ao espelho de p’. As relações métricas importantes para os 
nossos estudos virão a seguir:
EQUAÇÃO DO FOCO 
(COM APROXIMAÇÃO DE GAUSS)
Não dedicaremos espaço aqui para a dedução da equação. Caso 
seja de interesse de leitor, procure o livro Curso de Física Básica – 
Volume IV, do professor Moysés. Lá encontrará muito mais que as 
deduções das equações. 
Veja as figuras abaixo:
Parecem que são duas figuras diferentes, mas na verdade usam 
o mesmo princípio. Na 1ª figura, um RL está em cima da reta normal 
(reta que passa pelo centro, conforme vimos na Observação). Já na 2ª 
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ESPELHOS ESFÉRICOS
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figura, pegamos outro RL cujo ângulo com a normal (que, nesse caso, 
é o EP – note que o EP é também normal, já que passa pelo centro) vale 
α. Sendo assim, seguindo o princípio da reflexão, o ângulo refletido 
também será α, formando a mesma imagem da figura anterior. 
Na verdade os dois métodos se equivalem porque estamos usando 
a aproximação de Gauss. Essa aproximação leva em conta um baixo 
ângulo de abertura θ, de modo que poderemos fazer senθ ≈ tanθ ≈ θ, 
medido em radianos. A mesma aproximação valerá para os outros 
ângulos destacados. 
Usando essas aproximações acima, lei dos senos e um pouco de 
geometria, conseguiremos chegar à equação do foco de Gauss:
1 1 1 pp'
ou f
f p p' p p'
= + =
+
Lembrando que p é a distância do objeto ao espelho e p’ a 
distância da imagem ao espelho.
Com a mesma matemática, é possível encontrarmos a relação 
abaixo também:
c R
f
2 2
= +
A distância do espelho ao foco é a metade da distância do espelho 
ao centro, que representa o raio do espelho esférico. 
Perceba também que, usando semelhança de triângulos, 
conseguimos chegar a mais uma importante relação:
p' i
A
p o
= =
Onde A é o aumento linear (tamanho da imagem em relação ao 
do objeto). Se 0 < A < 1, a imagem é menor que o objeto.
Observação
Importante percebermos que a relação acima é puramente 
geométrica. Trata-se apenas de distâncias, logo, valores positivos. 
É muito comum usarmos a equação acima para encontrarmos p 
ou p’ e substituirmos na equação de Gauss, para descobrir o foco 
do espelho. Antes de substituir veja se há a necessidade de trocar 
o sinal de p’, por exemplo. Um erro em algum sinal pode ser fatal 
nesse tipo de problema. Para entender melhor, veja o exemplo 
abaixo, assim como a tabela dos sinais.
Exercício Resolvido
01. Um objeto encontra-se na frente de um espelho esférico de 
raio 12 cm. A imagem formada é direita e tem apenas 60% do 
tamanho do objeto. Qual a distância do objeto ao espelho?
Resolução:
Se a imagem é menor que o objeto e é direita, sabemos que se 
trata de um espelho convexo e que a imagem é virtual, direita e 
menor (o espelho côncavo não produz imagem direita e menor).
Aí fica o alerta → Se a imagem é virtual, p’ é negativo (a imagem 
se forma atrás do espelho – sendo assim, pensando em eixos, p’ 
estaria na parte negativa)e, sendo um espelho convexo, a sua parte 
espelhada fica para fora, então o foco aparece também atrás do 
espelho → espelho convexo tem foco negativo. Nesse caso, -6 cm 
(lembre-se que o foco é a metade do raio).
Aplicando a relação de semelhança:
p' i
0,6 p' 0,6p
p o
= = → =
Se usássemos essa relação na equação de Gauss, erraríamos o 
problema. A relação acima é geométrica. Corrigindo o sinal (porque 
temos uma imagem virtual), p’ = –0,6p. Agora sim, substituindo na 
equação De Gauss:
( )
20,6p p
6 10 p 4cm
p 0,6p 0,4
−
− = ∴ = ∴ =
+ −
Observação
Fique sempre atento aos sinais. Tanto do p’ quanto do f.
TABELA DOS SINAIS
O I P P’ F
o > 0 → 
objeto 
direito
i > 0 → 
imagem 
direita
p > 0 → o 
objeto está 
na frente 
do espelho
p’ > 0 → 
imagem 
formada na 
frente do 
espelho
f > 0 → 
espelho 
côncavo
o < 0 → 
objeto 
invertido
i < 0 → 
imagem 
invertida
p < 0 → o 
objeto está 
atrás do 
espelho
p’ < 0 → 
imagem 
formada 
atrás do 
espelho
f < 0 → 
espelho 
convexo
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. Um objeto real, de 2 cm de altura, encontra-se a 20 cm de um 
espelho. Considerando que o meio onde o objeto e o espelho se 
encontram é o ar, assinale o que for correto.
01) Se o espelho for plano, de espessura desprezível, a distância entre 
o objeto e a sua imagem é de 40 cm.
02) Se o espelho for um espelho esférico côncavo, com uma distância 
focal de 15 cm, o tamanho da imagem formada é de 6 cm.
04) Se a ampliação da imagem for igual a ¼, pode-se concluir que se 
trata de um espelho esférico convexo.
08) Se o objeto se aproximar do espelho plano, com uma velocidade 
constante, a imagem do objeto irá se afastar do espelho também 
com velocidade constante.
02. Como atividade extraclasse, um aluno do IFCE resolveu gravar 
um vídeo no qual utilizou-se de um espelho para representar suas 
emoções. Num trecho específico do vídeo ele dizia que se sentia 
grande, com o dobro de seu tamanho. Em outro momento ele 
afirmava que suavida estava ao contrário do que devia ser e mostrava 
uma imagem invertida. Por fim, dizia que na situação atual do país ele 
não tinha nenhuma referência política para se espelhar e, colocava-se 
a uma posição tal do espelho que sua imagem se situava no ‘infinito’.
De acordo com o enunciado, é correto afirmar-se que:
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ESPELHOS ESFÉRICOS
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a) o espelho usado pelo aluno era convexo.
b) não é possível saber que tipo de espelho o aluno usava, podendo 
ser côncavo ou convexo.
c) o espelho usado pelo aluno era côncavo.
d) não restam dúvidas de que o espelho era plano.
e) não é possível que um único espelho produza todas as imagens 
mencionadas no texto.
03.
O espelho bucal, utilizado por dentistas, é um instrumento que pode 
ser feito com um espelho plano ou esférico.
Um dentista, a fim de obter uma imagem ampliada de um dente 
específico, deve utilizar um espelho bucal:
a) côncavo, sendo colocado a uma distância do dente menor que a 
distância focal.
b) côncavo, sendo colocado a uma distância do dente entre o foco e 
o centro de curvatura.
c) convexo, sendo colocado a uma distância do dente entre o foco e 
o centro de curvatura.
d) plano.
e) convexo, sendo colocado a uma distância do dente menor que a 
distância focal.
04. Uma pessoa vai até um museu de ciências e numa sala de efeitos 
luminosos se posiciona frente a diferentes tipos de espelhos (côncavo, 
convexo e plano). Qual situação a seguir representa a correta imagem 
(i) que é possível essa pessoa obter de si própria?
a) 
b) 
c) 
d) 
05. Ao posicionar a mão à frente de um espelho esférico, Alice 
verificou a imagem da sua mão conforme a figura a seguir:
O tipo de imagem formada da mão e o espelho utilizado são, 
respectivamente:
a) Virtual e côncavo.
b) Virtual e convexo.
c) Real e convexo.
d) Real e côncavo.
06. A figura apresenta a obra de litogravura “Mão com esfera refletora” 
(1935), do artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher (1898–1972), 
que se representou por uma imagem refletida em uma esfera.
Sendo o artista o objeto refletido na superfície dessa esfera, podemos 
afirmar corretamente, sobre essa imagem formada, que se:
a) assemelha à classificação exata de uma imagem observada em 
uma lente delgada convergente.
b) assemelha à classificação exata de uma imagem observada em um 
espelho côncavo.
c) classifica em menor, direita e real.
d) posiciona entre o foco e o vértice da face refletora.
e) posiciona entre o raio de curvatura e o vértice da face refletora.
07. Em um parque de diversões existem dois grandes espelhos 
dispostos verticalmente, um de frente para o outro, a 10 m de 
distância um do outro. Um deles é plano, o outro é esférico convexo. 
Uma criança se posiciona, em repouso, a 4 m do espelho esférico e 
vê as duas primeiras imagens que esses espelhos formam dela: PI , 
formada pelo espelho plano, e CI , formada pelo espelho esférico, 
conforme representado na figura.
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ESPELHOS ESFÉRICOS
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Calcule:
a) a distância, em metros, entre PI e CI .
b) a que distância do espelho esférico, em metros, a criança deveria se 
posicionar para que sua imagem CI tivesse um terço de sua altura.
08. Um objeto é colocado em frente a um espelho, e a imagem 
formada é virtual. Considere as afirmações abaixo.
I. O espelho é necessariamente plano ou convexo.
II. A imagem formada é de tamanho maior que o objeto, caso o 
espelho seja convexo.
III. A imagem não pode estar invertida, independentemente do tipo 
de espelho.
É correto SOMENTE o que se afirma em:
a) II
b) III
c) I e II
d) I e III
e) II e III
09. A figura representa um espelho esférico gaussiano (E), seu centro 
de curvatura (C), seu foco principal (F) e seu vértice (V). A figura também 
mostra quatro regiões (I, II, III e IV) identificadas por cores diferentes.
Se um objeto pontual for colocado sucessivamente nos pontos 1 e 2, 
as imagens conjugadas pelo espelho se formarão, respectivamente, 
nas regiões:
a) II e IV
b) III e I
c) III e IV
d) II e III
e) II e I
10. Um objeto luminoso encontra-se a 40 cm de uma parede e a 
20 cm de um espelho côncavo, que projeta na parede uma imagem 
nítida do objeto, como mostra a figura.
Considerando que o espelho obedece às condições de nitidez de 
Gauss, a sua distância focal é:
a) 15 cm
b) 20 cm
c) 30 cm
d) 25 cm
e) 35 cm
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. O “Método de Pierre Lucie” ou “Método Gráfico das 
Coordenadas (MGC)” é um interessante processo gráfico para obter 
a abscissa associada à posição da imagem de um objeto formada por 
um espelho ou uma lente esféricos. O método consiste em construir 
um par de eixos coordenados. Sobre o eixo das ordenadas, marcar 
um ponto referente à posição do objeto P(0,p) e depois um ponto 
cujas coordenadas sejam a distância focal do espelho ou da lente, 
F(f,f). Traçar uma reta passando por P e F. O ponto P’(p’,0) onde a reta 
intercepta o eixo das abscissa será a posição da imagem.
Usando o MGC,
a) obtenha a equação de Gauss;
b) determine a posição e natureza da imagem de um objeto que se 
encontra a 2 cm do vértice de um espelho côncavo de distância 
focal de 3 cm.
Na questão a seguir, quando necessário, use:
- densidade da água: d = 1·10³ km/m³
- aceleração da gravidade: g = 10 m/s²
- 
3
cos 30 sen 60
2
° = ° =
- 
1
cos 60 sen 30
2
° = ° =
- 
2
cos 45 sen 45
2
° = ° =
02. Um objeto pontual luminoso que oscila verticalmente em 
movimento harmônico simples, cuja equação da posição é y = A 
cos(ωt), é disposto paralelamente a um espelho esférico gaussiano 
côncavo (E) de raio de curvatura igual a 8A, e a uma distância 3A 
desse espelho (figura 1).
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ESPELHOS ESFÉRICOS
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Um observador visualiza a imagem desse objeto conjugada pelo 
espelho e mede a amplitude 1A e a frequência de oscilação do 
movimento dessa imagem.
Trocando-se apenas o espelho por uma lente esférica convergente 
delgada (L) de distância focal A e índice de refração n = 2 (figura 2), o 
mesmo observador visualiza uma imagem projetada do objeto oscilante 
e mede a amplitude 2A e a frequência do movimento da imagem.
Considere que o eixo óptico dos dispositivos usados passe pelo ponto 
de equilíbrio estável do corpo que oscila e que as observações foram 
realizadas em um meio perfeitamente transparente e homogêneo de 
índice de refração igual a 1.
Nessas condições, a razão entre as amplitudes 2A e 1A , 2
1
A
,
A
 de 
oscilação das imagens conjugadas pela lente e pelo espelho é:
a) 
1
8
b) 
5
4
c) 
3
2
d) 
1
2
03. Uma árvore de natal de 50 cm de altura foi colocada sobre o eixo 
principal de um espelho côncavo, a uma distância de 25 cm de seu 
vértice. Sabendo-se que o espelho possui um raio de curvatura de 25 cm, 
com relação a imagem formada, pode-se afirmar corretamente que:
a) É direita e maior do que o objeto, estando a 20 cm do vértice do 
espelho.
b) É direita e maior do que o objeto, estando a 25 cm do vértice do 
espelho.
c) É invertida e maior do que o objeto, estando a 25 cm do vértice 
do espelho.
d) É invertida e do mesmo tamanho do objeto, estando a 25 cm do 
vértice do espelho.
04. O espelho retrovisor de um carro e o espelho em portas de elevador 
são, geralmente, espelhos esféricos convexos. Para um objeto real, um 
espelho convexo gaussiano forma uma imagem:
a) real e menor
b) virtual e menor.
c) real e maior.
d) virtual e invertida.
e) real e direita.
05. Um corpo luminoso de massa 1 kg é acoplado a uma mola ideal 
de constante elástica 100 N/m e colocado à meia distância entre uma 
lente esférica delgada convergente L e um espelho esférico côncavo 
gaussiano E, de distâncias focais respectivamente iguais a 10 cm e 60 
cm, como mostra a figura abaixo.
Considere que o corpo luminoso seja puxado verticalmente para baixo 
1 cm a partir da posição em que ele se encontra em equilíbrio sobre 
o eixo óptico do sistema e, então, abandonado, passa a oscilar em 
movimento harmônico simples exclusivamente na vertical. A distância 
entre o centro de curvaturado espelho e o centro óptico da lente é 40 
cm. Dessa forma, o corpo luminoso serve de objeto real para a lente 
e para o espelho que conjugam, cada um, apenas uma única imagem 
desse objeto luminoso oscilante.
Nessas condições, as funções horárias, no Sistema Internacional de 
Unidades (SI), que melhor descrevem os movimentos das imagens 
do corpo luminoso, respectivamente, conjugadas pela lente L e pelo 
espelho E, são:
a) 2cos(10t+π) e 1,5cos(10t+π)
b) 1cos(10t+π) e 1cos(10t)
c) 1cos(10t) e 1,5(10t+π)
d) 0,010·cos(10t) e 0,015·cos(10t+π)
06. Como atividade extraclasse, um aluno do IFCE resolveu gravar 
um vídeo no qual utilizou-se de um espelho para representar suas 
emoções. Num trecho específico do vídeo ele dizia que se sentia 
grande, com o dobro de seu tamanho. Em outro momento ele 
afirmava que sua vida estava ao contrário do que devia ser e mostrava 
uma imagem invertida. Por fim, dizia que na situação atual do país ele 
não tinha nenhuma referência política para se espelhar e, colocava-se 
a uma posição tal do espelho que sua imagem se situava no ‘infinito’.
De acordo com o enunciado, é correto afirmar-se que:
a) o espelho usado pelo aluno era convexo.
b) não é possível saber que tipo de espelho o aluno usava, podendo 
ser côncavo ou convexo.
c) o espelho usado pelo aluno era côncavo.
d) não restam dúvidas de que o espelho era plano.
e) não é possível que um único espelho produza todas as imagens 
mencionadas no texto.
07. Um objeto real linear é colocado a 60 cm de um espelho esférico, 
perpendicularmente ao eixo principal. A altura da imagem fornecida 
pelo espelho é 4 vezes maior que o objeto e é virtual. Com base nisso, 
é correto afirmar que esse espelho e a medida do seu raio de curvatura 
são, respectivamente,
a) convexo e 160 cm
b) côncavo e 80 cm
c) convexo e 80 cm
d) côncavo e 160 cm
08. Um objeto real de 10 cm de altura é posicionado a 30 cm do 
centro óptico de uma lente biconvexa, perpendicularmente ao seu eixo 
principal. A imagem conjugada tem 2,5 cm de altura. Para produzirmos 
uma imagem desse mesmo objeto e com as mesmas características, 
utilizando, porém, um espelho esférico, cujo raio de curvatura é igual 
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ESPELHOS ESFÉRICOS
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a 20 cm, a que distância do vértice, em cm, da superfície refletora do 
espelho ele deverá ser posicionado, perpendicularmente ao seu eixo 
principal?
a) 20 b) 25 c) 50 d) 75
Quando necessário, adote estes valores, na questão a seguir:
- módulo da aceleração da gravidade: 10 m·s-²
- calor latente de vaporização da água: 540 cal·g-¹
- calor específico da água: 1,0 cal·g-¹·ºC-¹
- densidade da água: 1 g·cm-³
- calor específico do cobre: 0,094 cal·g-¹·ºC-¹
- calor latente de fusão do cobre: 49 cal·g-¹
- temperatura de fusão do cobre: 1.083 ºC
- 1 cal = 4,0 J
- π = 3
- sen 30º = 0,5
- cos 30º = 0,8
09. Considere dois espelhos esféricos, um côncavo e outro convexo, 
que obedeçam às condições de nitidez de Gauss. Esses espelhos 
possuem, em módulo, a mesma distância focal. De um objeto situado 
a uma distância 1P da superfície refletora do espelho convexo, é 
conjugada uma imagem cujo aumento linear transversal é igual a ¾.
Determine o módulo da relação 2 1P P , para que, quando esse mesmo 
objeto estiver distante 2P da superfície refletora do espelho côncavo, 
seja obtido o mesmo aumento linear em módulo.
a) 1 b) 3 c) 4 d) 7
10. A figura 1 mostra a boneca Mônica de altura h a ser colocada 
em frente a um dispositivo óptico. A figura 2 mostra a imagem desta 
boneca vista através do dispositivo, com altura 3h.
Sobre essa situação, pode-se afirmar que:
a) O dispositivo fornece uma imagem real da boneca.
b) O dispositivo pode ser uma lente divergente ou um espelho convexo.
c) A distância da boneca até o dispositivo óptico é três meios de sua 
distância focal.
d) A distância da imagem da boneca até o dispositivo é o dobro de 
sua distância focal.
11. Um objeto foi colocado em duas posições à frente de um espelho 
côncavo de 10 cm de foco. A imagem do objeto, conjugada pelo 
espelho, quando colocado na primeira posição foi invertida, com 
ampliação de 0,2 e, quando colocado na segunda posição, foi direita 
com ampliação de 5.
Considerando o exposto, e utilizando o referencial e equações de Gauss, 
assinale a alternativa correta que completa as lacunas da frase a seguir.
A imagem conjugada do objeto na primeira posição é __________ 
e __________ que o objeto. A imagem conjugada do objeto na 
segunda posição é __________ e __________ que o objeto.
a) real – menor – virtual – maior
b) real – menor – real – maio
c) virtual – maior – real – menor
d) virtual – maior – virtual – menor
12. Sobre espelhos esféricos, julgue as afirmativas a seguir:
1. Independente da posição que um objeto esteja de um espelho 
convexo, sua imagem será sempre ampliada e virtual.
2. Um feixe de luz que passa pelo centro de curvatura tem sua 
trajetória inalterada após ser refletido por um espelho esférico.
3. Os espelhos côncavos não apresentam imagens invertidas (de 
cabeça para baixo), pois essa é uma característica dos espelhos 
convexos.
4. A imagem produzida por um espelho côncavo pode ser ampliada 
ou reduzida em função da distância que o objeto esteja do 
espelho.
Marque a alternativa que julga corretamente em Verdadeiro (V) ou 
Falso (F) os itens acima:
a) 1-V, 2-V, 3-F, 4-F.
b) 1-F, 2-V, 3-V, 4-V.
c) 1-V, 2-V, 3-F, 4-V.
d) 1-F, 2-F, 3-F, 4-V.
13. Um objeto real é colocado perpendicularmente ao eixo principal 
de um espelho esférico convexo. Nota-se que, nesse caso, a altura da 
imagem virtual é 1i . Em seguida, o mesmo objeto é aproximado do 
espelho, formando uma nova imagem com altura 2i .
Quando se traz para mais perto o objeto, a imagem se:
a) aproxima do espelho, sendo 1 2i i .<
b) aproxima do espelho, sendo 1 2i i .>
c) afasta do espelho sendo 1 2i i .=
d) afasta do espelho sendo 1 2i i .<
14. Com relação aos espelhos esféricos, assinale o que for correto.
01) Todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal do 
espelho produz um raio refletido que passa pelo centro do espelho.
02) No espelho côncavo, para um objeto situado a uma distância 
maior que o raio de curvatura, a imagem conjugada pelo espelho 
é real, invertida e maior que o objeto.
04) Todo raio de luz que incide passando pelo centro de curvatura do 
espelho retorna sobre si mesmo.
08) O foco principal é real nos espelhos convexos e virtual nos espelhos 
côncavos.
16) Todo raio de luz que incide no vértice do espelho produz um raio 
refletido que é simétrico do incidente em relação ao eixo principal.
15. No Natal de 2011, João, fantasiado de Papai Noel, após descer 
por uma chaminé, verificou se sua barba estava suja de fuligem, 
olhando para sua imagem refletida em um enfeite prateado brilhante 
da árvore de Natal situado a uma distância de 0,50 m. O diâmetro do 
enfeite era de 8,0 cm. Sabendo que a altura de João é de 1,82 m, qual 
foi a altura da imagem refletida dele?
a) 2,6 cm
b) 5,0 cm
c) 6,6 cm
d) 7,0 cm
e) 8,0 cm
16. Observe a figura abaixo.
Na figura, E representa um espelho esférico côncavo com distância 
focal de 20 cm, e O, um objeto extenso colocado a 60 cm do vértice 
do espelho.
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas do 
enunciado abaixo, na ordem em que aparecem.
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ESPELHOS ESFÉRICOS
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A imagem do objeto formada pelo espelho é __________, 
__________ e situa-se a __________ do vértice do espelho.
a) real – direita – 15 cm
b) real – invertida – 30 cm
c) virtual – direita – 15 cm
d) virtual – invertida – 30 cm
e) virtual – direita – 40 cm
17. Na entrada de uma loja de conveniência de um posto de 
combustível, há um espelho convexo utilizado para monitorar a região 
externa da loja, como representado na figura. A distância focal desse 
espelho tem módulo igual a 0,6 m e, na figura, pode-se ver a imagem 
de dois veículos que estão estacionados paralelamente e em frente à 
loja, aproximadamente a 3 m de distância do vértice do espelho.Considerando que esse espelho obedece às condições de nitidez de 
Gauss, calcule:
a) a distância, em metros, da imagem dos veículos ao espelho.
b) a relação entre o comprimento do diâmetro da imagem do pneu 
de um dos carros, indicada por d na figura, e o comprimento real 
do diâmetro desse pneu.
18. O espelho principal de um dos maiores telescópios refletores 
do mundo, localizado nas Ilhas Canárias, tem 10 m de diâmetro e 
distância focal de 15 m. Supondo que, inadvertidamente, o espelho 
seja apontado diretamente para o Sol, determine:
a) o diâmetro D da imagem do Sol;
b) a densidade S de potência no plano da imagem, em W/m²;
c) a variação ∆T da temperatura de um disco de alumínio de massa 
0,6 kg colocado no plano da imagem, considerando que ele tenha 
absorvido toda a energia incidente durante 4 s.
Note e adote:
- π = 3
- O espelho deve ser considerado esférico.
- Distância Terra – Sol = 1,5 × 1011 m.
- Diâmetro do Sol = 1,5 × 109 m.
- Calor específico de Al = 1 J/(gK) Calor específico do Al = 1 J/(g K).
- Densidade de potência solar incidindo sobre o espelho principal do 
telescópio = 1kW/m².
- O diâmetro do disco de alumínio é igual ao da imagem do Sol.
- Desconsidere perdas de calor pelo disco de alumínio.
19. Uma pessoa projeta em uma tela a imagem de uma lâmpada, 
porém, em um tamanho quatro vezes maior do que seu tamanho 
original. Para isso, ela dispõe de um espelho esférico e coloca a 
lâmpada a 60 cm de seu vértice.
A partir da situação descrita, responda:
a) Que tipo de espelho foi usado e permitiu esse resultado? Justifique 
matematicamente sua resposta.
b) Se um outro objeto for colocado a 10 cm do vértice desse mesmo 
espelho, a que distância dele a imagem será formada?
20. Dispõe-se de um espelho convexo de Gauss, de raio de curvatura 
R. Um pequeno objeto colocado diante desse espelho, sobre seu 
eixo principal, a uma distância R de seu vértice V, terá uma imagem 
conjugada situada no ponto P desse eixo. O comprimento do 
segmento VP é:
a) R/4
b) R/3
c) R/2
d) R
e) 2R
21. O sistema óptico encontrado no farol de um automóvel é 
constituído por um espelho côncavo e uma lâmpada posicionada sobre 
o seu eixo de simetria. Considerando-se que o feixe de luz proveniente 
desse farol seja divergente, a posição da lâmpada deve ser:
a) sobre a posição focal.
b) entre o vértice e a posição focal.
c) entre a posição focal e o centro de curvatura.
d) após o centro de curvatura.
e) sobre a posição do centro de curvatura.
22. Em relação aos espelhos esféricos, analise as proposições que 
se seguem:
(1) A reta definida pelo centro de curvatura e pelo vértice do espelho 
é denominada de eixo secundário.
(3) O ponto de encontro dos raios refletidos ou de seus 
prolongamentos, devido aos raios incidentes paralelos ao eixo 
principal, é denominado de foco principal.
(5) O espelho côncavo tem foco virtual, e o espelho convexo, foco real.
(7) Todo raio de luz que incide passando pelo foco, ao atingir o 
espelho, é refletido paralelo ao eixo principal.
(9) Quando o objeto é posicionado entre o centro de curvatura 
e o foco do espelho côncavo, conclui-se que a imagem é real, 
invertida e maior do que o objeto.
A soma dos números entre parênteses que correspondem aos itens 
corretos é igual a:
a) 25
b) 18
c) 19
d) 10
e) 9
23. Um objeto real, direito, de 5 cm de altura, está localizado entre dois 
espelhos esféricos, um côncavo (R = 10 cm) e um convexo (R = 30 cm), 
sobre o eixo principal desses espelhos. O objeto está a uma distância de 
30 cm do espelho convexo e de 10 cm do espelho côncavo.
Com relação às características das imagens formadas nos dois 
espelhos e ao aumento linear transversal, analise as alternativas abaixo 
e assinale o que for correto.
01) A imagem formada no espelho convexo é virtual, direita e menor 
que o objeto.
02) As distâncias focais dos espelhos côncavo e convexo são, 
respectivamente, 5 cm e -15 cm.
04) O aumento linear transversal da imagem formada no espelho 
convexo é 0,5 x.
08) O aumento linear transversal da imagem formada no espelho 
côncavo é 4 x.
16) A imagem formada no espelho côncavo é real, invertida e igual 
ao objeto.
24. Um espelho esférico côncavo tem distância focal (f) igual a 20 cm. 
Um objeto de 5 cm de altura é colocado de frente para a superfície 
refletora desse espelho, sobre o eixo principal, formando uma imagem 
real invertida e com 4 cm de altura. A distância, em centímetros, entre 
o objeto e a imagem é de:
a) 9
b) 12
c) 25
d) 45
e) 75
151
ESPELHOS ESFÉRICOS
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25. No esquema a seguir, 1E é um espelho plano, e 2E é um espelho 
esférico côncavo cujo raio de curvatura é 60cm. Considere relativo 
ao espelho 2E , C como sendo o centro de curvatura, F, o foco e V, o 
vértice. Em F, é colocada uma fonte pontual de luz.
Considere que a luz sofre dupla reflexão, primeiramente no espelho 
1E e, posteriormente, no espelho 2E .
Analise as afirmações a seguir e conclua.
( ) A distância focal do espelho esférico é de 30 cm.
( ) Considerando a primeira reflexão, pode-se afirmar que a distância 
da imagem ao vértice do espelho 2E é de 90 cm.
( ) Após a segunda reflexão, pode-se afirmar que a nova imagem 
está a uma distância em relação à primeira imagem igual a 30 cm.
( ) Após a segunda reflexão, pode-se afirmar que a distância da fonte 
pontual de luz à sua imagem é igual a 15 cm.
( )Após a segunda reflexão, observa-se que a imagem formada no 
espelho 2E é virtual e está posicionada a 45 cm à direita do vértice.
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (MACKENZIE 2014) Dispõe-se de um espelho convexo de Gauss, 
de raio de curvatura R. Um pequeno objeto colocado diante desse 
espelho, sobre seu eixo principal, a uma distância R de seu vértice 
V, terá uma imagem conjugada situada no ponto P desse eixo. O 
comprimento do segmento VP é:
a) R/4
b) R/3
c) R/2
d) R
e) 2R
02. (IFSUL 2017) A óptica geométrica estuda basicamente as trajetórias 
da luz na sua propagação. Dentre os fenômenos que podem ocorrer 
nessa trajetória está a reflexão, que consiste no fato de a luz voltar 
a se propagar no meio de origem, quando incidir na superfície de 
separação deste meio com outro.
Em relação ao estudo da reflexão da luz nos espelhos esféricos, analise 
as seguintes afirmativas:
I. Todo raio luminoso que incide no vértice do espelho esférico gera, 
relativamente ao eixo principal, um raio refletido simétrico.
II. Todo raio luminoso que incide paralelamente ao eixo principal, 
reflete-se em uma direção que passa pelo centro de curvatura.
III. Um espelho convexo conjuga uma imagem real, invertida e menor 
que o objeto.
Está(ão) correta(s) afirmativa(s):
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) I, II e III.
d) I e II, apenas.
03. (PUC-CAMPINAS 2016) Uma vela acesa foi colocada a uma 
distância p do vértice de um espelho esférico côncavo de 1,0 m de 
distância focal. Verificou-se que o espelho projetava em uma parede 
uma imagem da chama desta vela, ampliada 5 vezes.
O valor de p, em cm, é:
a) 60
b) 90
c) 100
d) 120
e) 140
04. (EsPCEx (Aman) 2018) O espelho retrovisor de um carro e o 
espelho em portas de elevador são, geralmente, espelhos esféricos 
convexos. Para um objeto real, um espelho convexo gaussiano forma 
uma imagem:
a) real e menor.
b) virtual e menor.
c) real e maior.
d) virtual e invertida.
e) real e direita.
05. (UEPG 2017) Em relação às imagens formadas por um espelho 
côncavo, assinale o que for correto.
01) Se o objeto estiver entre o foco e o vértice, a imagem é real, 
invertida e maior que o objeto.
02) Se o objeto estiver localizado além do centro de curvatura, a 
imagem é real, invertida e menor que o objeto.
04) Se o objeto estiver sobre o centro de curvatura, a imagem formada 
é real, direita e de mesmo tamanho que o objeto. 
08) Se o objeto estiver entre o centro de curvatura e o foco, a imagem 
é virtual, direita e maior que o objeto.
16) Se o objeto está localizado no plano focal, a imagem é imprópria.
06. (FAMEMA 2017) Na figura, O é um ponto objetovirtual, vértice 
de um pincel de luz cônico convergente que incide sobre um espelho 
esférico côncavo E de distância focal f. Depois de refletidos no espelho, 
os raios desse pincel convergem para o ponto I sobre o eixo principal 
do espelho, a uma distância f/4 de seu vértice.
Considerando válidas as condições de nitidez de Gauss, é correto 
afirmar que a distância focal desse espelho é igual a:
a) 150 cm
b) 160 cm
c) 120 cm
d) 180 cm
e) 200 cm
152
ESPELHOS ESFÉRICOS
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07. (ITA 2018) Dois espelhos esféricos interdistantes de 50 cm, um 
côncavo, E1, e outro convexo, E2, são dispostos coaxialmente tendo 
a mesma distância focal de 16 cm. Uma vela é colocada diante dos 
espelhos perpendicularmente ao eixo principal, de modo que suas 
primeiras imagens conjugadas por E1 e E2 tenham o mesmo tamanho. 
Assinale a opção com as respectivas distâncias, em cm, da vela aos 
espelhos E1 e E2.
a) 25 e 25
b) 35 e 15
c) 41 e 9
d) 40 e 10
e) 34 e 16
08. (UPE-SSA 2 2016) Uma barra delgada está em uma temperatura 
na qual o seu comprimento é igual L0 = 100 cm. A barra, de coeficiente 
de dilatação linear 8,0 x 10-5 °C-1, é, então, colocada a uma distância d 
= 0,8 m do vértice de um espelho curvo. O espelho possui um raio de 
curvatura de 160 cm. Para se fazer a imagem crescer meio centímetro, 
pode-se:
a) aproximar a barra em 15 cm.
b) afastar a barra em 10 cm.
c) aquecer a barra em 40 °C.
d) esfriar a barra em 10 °C.
e) aquecer a barra em 125 °C.
09. (PUC-RS 2017) Na figura abaixo, ilustra-se um espelho esférico 
côncavo E e seus respectivos centro de curvatura (C), foco (F) e vértice 
(V). Um dos infinitos raios luminosos que incidem no espelho tem 
sua trajetória representada por r. As trajetórias de 1 a 5 se referem a 
possíveis caminhos seguidos pelo raio luminoso refletido no espelho.
Considere o campo gravitacional uniforme.
O número que melhor representa a trajetória percorrida pelo raio r 
após refletir no espelho E, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. (FAMERP 2018) Um objeto luminoso encontra-se a 40 cm de uma 
parede e a 20 cm de um espelho côncavo, que projeta na parede uma 
imagem nítida do objeto, como mostra a figura.
Considerando que o espelho obedece às condições de nitidez de 
Gauss, a sua distância focal é:
a) 15 cm
b) 25 cm
c) 20 cm
d) 35 cm
e) 30 cm
DESAFIO PRO
1 imagem de um objeto formada por um espelho côncavo mede metade do tamanho do objeto.
Se este é deslocado de uma distância de 15 cm em direção 
ao espelho, o tamanho da imagem terá o dobro do tamanho 
do objeto. Estime a distância focal do espelho e assinale a 
alternativa correspondente.
a) 40 cm
b) 30 cm
c) 20 cm
d) 10 cm
e) 5 cm
Quando precisar use os seguintes valores para as constantes, 
para a seguinte questão:
Aceleração da gravidade g = 10 m/s², permeabilidade 
magnética do vácuo −µ = π× 7 20 4 100 N A , massa molar do 
neônio =NeM 20 g mol e massa molar do nitrogênio gasoso 
=
2N
M 28 g mol.
2 Um espelho côncavo de distância focal 12 cm reflete a imagem de um objeto puntiforme situado no seu eixo 
principal a 30 cm de distância. O objeto, então, inicia um 
movimento com velocidade 

0v de módulo 9,0 m/s. Determine 
o módulo e o sentido do vetor velocidade inicial da imagem, 

iv , 
nos seguintes casos:
a) o objeto desloca-se ao longo do eixo principal do espelho.
b) o objeto desloca-se perpendicularmente ao eixo principal 
do espelho.
153
ESPELHOS ESFÉRICOS
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Dado: −+ ≈ −1(1 x) 1 x, para | x | 1.
3 Dois espelhos esféricos interdistantes de 50 cm, um côncavo, 1E , e outro convexo, 2E , são dispostos coaxialmente tendo 
a mesma distância focal de 16 cm. Uma vela é colocada diante 
dos espelhos perpendicularmente ao eixo principal, de modo 
que suas primeiras imagens conjugadas por 1E e 2E tenham o 
mesmo tamanho. Assinale a opção com as respectivas distâncias, 
em cm, da vela aos espelhos 1E e 2E . 
a) 25 e 25
b) 41 e 9
c) 34 e 16
d) 35 e 15
e) 40 e 10
Se precisar, utilize os valores das constantes aqui relacionadas, 
na questão seguinte.
- Constante dos gases: R = 8 J/(mol·K).
- Pressão atmosférica ao nível do mar: P0 = 100 kPa.
- Massa molecular do CO2 = 44 u.
- Calor latente do gelo: 80 cal/g.
- Calor específico do gelo: 0,5 cal/(g·K).
- 1 cal = 4 × 107 erg.
- Aceleração da gravidade: g = 10,0 m/s².
4 
Uma partícula eletricamente carregada move-se num meio de 
índice de refração n com uma velocidade v = βc, em que β > 1 e 
c é a velocidade da luz. A cada instante, a posição da partícula 
se constitui no vértice de uma frente de onda cônica de luz por 
ela produzida que se propaga numa direção α em relação à da 
trajetória da partícula, incidindo em um espelho esférico de raio 
R, como mostra a figura. Após se refletirem no espelho, as ondas 
convergem para um mesmo anel no plano focal do espelho em 
F. Calcule o ângulo α e a velocidade v da partícula em função 
de c, r, R e n.
5 
O concentrador solar refletivo, mostrado na figura, é formado 
por uma calha cilíndrica de comprimento L com seção transversal 
em forma de semicírculo de raio R, centrado em O. Considere 
que o sol está a pino em relação ao concentrador. Acerca dos 
raios refletidos pelo sistema, assinale a alternativa CORRETA.
a) Atravessam o eixo principal num plano entre o foco e o 
vértice do espelho.
b) Focalizam em um único ponto do espaço.
c) Passam por um plano entre a linha O e o foco.
d) Os raios refletidos perto das bordas do espelho passam 
pelo foco.
e) O coletor focaliza os raios solares ao longo da linha O.
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. SOMA:01
02. C
03. A
04. A
05. A
06. D
07. a) 18m 
b) 8m
08. B
09. A
10. A
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. a) 
1 1 1
f p p'
= + 
b) 
p'
A 6 0 direita
p
−
= = > → e
p' 3
p' 6,0cm virtual
2 1
−
= → = − →
02. A
03. D
04. B
05. D
06. C
07. D
08. C
09. D
10. D
11. A
12. C
13. A
14. SOMA:20
15. E
16. B
17. a) 0,5m 
b) 1/6
18. a) 0,15m 
b) 4,44×106W//m² 
c) 500K
19. a) Côncavo, f>0 
b) 12,6cm
20. B
21. B
22. C
23. SOMA:19
24. A
25. V-V-F-V-F
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. B
02. A
03. D
04. B
05. DISCURSIVA
06. C
07. B
08. E
09. D
10. A
DESAFIO PRO
01. D
02. a) iv 4 m s,=

 com sentido oposto ao movimento do objeto. 
b) iv 6 m s,=

 com sentido oposto ao movimento do objeto.
03. B
04. 
2 2
2 2
c c c
cos v 
Rv cos
R 4r
c R 4r
v .
R
α = ⇒ = ⇒ ⇒
α
+
+
=
05. A
154
ESPELHOS ESFÉRICOS
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ANOTAÇÕES