Projetos de Máquinas - UNIDADE 3 - Engrenagens - Análise de Forças

Prévia do material em texto

Unidade 3 
Engrenagens 
 Análise de Forças 
Projetos 
de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Nomenclatura 
 Engrenagens 
→ números 
→ 𝟐, 𝟑, 𝟒, … 
 
 Eixos 
→ letras minúsculas 
→ 𝒂, 𝒃, 𝒄, … 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
2 
4 
5 
3 
b 
c 
a 
Nomenclatura 
 Forças exercidas: 
 
𝑭𝟐𝟑 → Força que a engrenagem 𝟐 
 exerce sobre a engrenagem 𝟑 
 
𝑭𝟑𝟐 → Força que a engrenagem 𝟑 
 exerce sobre a engrenagem 𝟐 
 
𝑭𝟐𝒂 → Força que a engrenagem 𝟐 
 exerce sobre o eixo 𝒂 
 
𝑭𝒂𝟐 → Força que o eixo 𝒂 exerce 
 sobre a engrenagem 𝟐 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Nomenclatura 
 Tipo de Forças 
→ letras minúsculas sobrescritas 
 𝒙, 𝒚, 𝒛 direção 
 𝒕 tangencial 
 𝒓 radial 
 𝒂 axial 
 
 Exemplo: 
 
𝑭𝟒𝟑
𝒕 → Força tangencial que a engrenagem 𝟒 
exerce sobre a engrenagem 𝟑 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 A figura ao lado mostra um 
𝒑𝒊𝒏𝒉ã𝒐 𝟐 montado sobre o 
𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒂 , rodando, em sentido 
horário, a 𝒏𝟐 [𝒓𝒑𝒎] enquanto 
aciona uma 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂 (𝟑) sobre o 
𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒃 a 𝒏𝟑 [𝒓𝒑𝒎]. 
 
 As reações entre dentes 
engrenados ocorre ao longo 
da linha de pressão 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Pinhão 𝟐 
𝒂 
𝒏𝟐 
Coroa 𝟑 
𝒏𝟑 
𝒃 
𝝓 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Diagrama de Corpo Livre 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Coroa 𝟑 
𝑻𝒃𝟑 
𝒃 
𝝓 
𝝓 
𝑭𝒃𝟑 
𝑭𝟐𝟑 
Pinhão 𝟐 
𝒂 
𝑻𝒂𝟐 
𝝓 
𝝓 
𝑭𝒂𝟐 
𝑭𝟑𝟐 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Diagrama de Corpo Livre 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Pinhão 𝟐 
𝒂 
𝑻𝒂𝟐 
𝝓 
𝝓 
𝑭𝒂𝟐 
𝑭𝟑𝟐 
 𝑭𝟑𝟐 é a força exercida 
pela coroa (𝟑) contra o 
pinhão (𝟐) 
 
 𝑭𝒂𝟐 é a força exercida 
pelo eixo (𝒂) contra o 
pinhão (𝟐) 
 
 𝑻𝒂𝟐 é o torque exercido 
pelo eixo (𝒂) contra o 
pinhão (𝟐) 
 
 
 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Diagrama de Corpo Livre 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Coroa 𝟑 
𝑻𝒃𝟑 
𝒃 
𝝓 
𝝓 
𝑭𝒃𝟑 
𝑭𝟐𝟑 
 𝑭𝟐𝟑 é a força exercida 
pelo pinhão (𝟐) contra a 
coroa (𝟑) 
 
 𝑭𝒃𝟑 é a força exercida 
pelo eixo (𝒃) contra a 
coroa (𝟑) 
 
 𝑻𝒃𝟑 é o torque exercido 
pelo eixo (𝒃) contra a 
coroa (𝟑) 
 
 
 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Diagrama de Corpo Livre 
As forças atuantes nas engrenagens podem ser 
decompostas nas direções radiais e tangenciais: 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Pinhão 𝟐 
𝒂 
𝑻𝒂𝟐 
𝝓 
𝝓 
𝑭𝒂𝟐 
𝑭𝟑𝟐 
𝒏𝟐 
𝑭𝟑𝟐
𝒕 
𝑭𝟑𝟐
𝒓 
𝑭𝒂𝟐
𝒕 
𝑭𝒂𝟐
𝒓 
𝒅𝟐 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Define-se então que: 
 
 
𝑊𝑡 = 𝐹32
𝑡 
 
 
 onde: 
𝑾𝒕 → carga transmitida [𝒌𝑵] ou [𝑵] 
 
 
***** Essa carga tangencial é realmente a componente 
útil, uma vez que a componente radial 𝐹32
𝑟 não serve 
a propósito algum, não transmite potência ***** 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 O torque transmitido pelas engrenagens pode ser 
calculado por: 
 
 
𝑇 =
𝑑
2
∙ 𝑊𝑡 
 
 
 onde: 
𝑻 = 𝑻𝒂𝟐 → torque no eixo [𝑵. 𝒎] 
𝒅 = 𝒅𝟐 → diâmetro primitivo do pinhão [𝒎] 
𝑾𝒕 → carga transmitida [𝑵] 
 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 A potência transmitida pode ser calculada pela 
expressão: 
 
 
𝐻 = 𝑇 ∙ 𝜔 
 
 
 onde: 
𝑯 → potência transmitida [𝑾] 
𝑻 → torque no eixo [𝑵. 𝒎] 
𝝎 → velocidade angular da engrenagem [𝒓𝒂𝒅/𝒔] 
 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Sabendo que: 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
𝐻 = 𝑇 ∙ 𝜔 𝑇 =
𝑑
2
∙ 𝑊𝑡 
𝑣 =
𝑑
2
∙ 𝜔 𝜔 =
2 ∙ 𝑣
𝑑
 
𝐻 =
𝑑
2
∙ 𝑊𝑡 ∙
2 ∙ 𝑣
𝑑
 
𝐻 = 𝑊𝑡 ∙ 𝑣 
 onde: 
𝑻 → [𝑵. 𝒎] 
𝒅 → [𝒎] 
𝑾𝒕 → [𝑵] 
 
 
 
 
 
𝒗 → [𝒎/𝒔] 
𝝎 → [𝒓𝒂𝒅/𝒔] 
 
 
 
 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Portanto, a potência transmitida pode ser calculada 
pela expressão: 
 
 
𝐻 = 𝑊𝑡 ∙ 𝑣 
 
 
 onde: 
𝑯 → potência transmitida [𝑾] 
𝑾𝒕 → carga transmitida [𝑵] 
𝒗 → velocidade tangencial da engrenagem [𝒎/𝒔] 
 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Sabendo que: 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
𝑣 =
𝑑
2
∙ 𝜔 
𝜔 =
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛
60
 
𝑣 =
𝑑
2
∙
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛
60
 𝑣 =
𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
60
 
 onde: 
𝒗 → velocidade tangencial da engrenagem [𝒎/𝒔] 
𝒅 → diâmetro da engrenagem [𝒎] 
𝒏 → rotação da engrenagem [𝒓𝒑𝒎] 
 
 
 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Portanto, para utilizar 𝑑 em 𝑚𝑚 , temos: 
 
𝑣 =
𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
60 103
 
 
 onde: 
𝒗 → velocidade tangencial da engrenagem [𝒎/𝒔] 
𝒅 → diâmetro primitivo da engrenagem [𝒎𝒎] 
𝒏 → rotação da engrenagem [𝒓𝒑𝒎] 
 
 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Retos 
 Portanto, a potência transmitida pode ser calculada 
por: 
 
𝐻 =
𝑊𝑡 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛
60 103
 
 
 onde: 
𝑯 → potência transmitida [𝑾] 
𝑾𝒕 → carga transmitida [𝑵] 
𝒅 → diâmetro primitivo da engrenagem [𝒎𝒎] 
𝒏 → rotação da engrenagem [𝒓𝒑𝒎] 
 
 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
 O pinhão (𝟐) na figura abaixo, roda a 𝟏𝟕𝟓𝟎 𝒓𝒑𝒎 e 
transmite 𝟐, 𝟓 𝒌𝑾 à engrenagem intermediária (𝟑) 
 
 Os dentes são cortados segundo o sistema de 𝟐𝟎° de 
profundidade completa e têm um módulo de 𝟐, 𝟓 𝒎𝒎 
Exercícios - 1 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
 Desenhe um diagrama de 
corpo livre da engrenagem 
(𝟑) e mostre todas as forças 
que atuam sobre a mesma. 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
 Exercícios – 1 
 Resposta 
 DCL da Engrenagem intermediária (3) 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Helicoidais 
 A figura ao lado consiste em 
uma visão tridimensional 
das forças atuantes contra 
um dente de uma 
engrenagem helicoidal. 
 
 O ponto de aplicação 
dessas forças localiza-se no 
plano de passo primitivo e 
no centro da face da 
engrenagem. 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
𝑾 
𝑾𝒂 
𝑾𝒕 
𝑾𝒓 
𝝍 
𝝓𝒏 
𝝓𝒕 
𝝍 
𝒙 
𝒚 
𝒛 
Dente 
Circulo 
Primitivo 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Helicoidais 
 A partir da geometria da 
figura, temos: 
𝑊𝑟 = 𝑊 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜙𝑛 
𝑊𝑡 = 𝑊 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜙𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜓 
𝑊𝑎 = 𝑊 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜙𝑛 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜓 
 Componente radial 
 Componente tangencial 
 (força transmitida) 
 Componente axial 
 (carga de empuxo) 
*** 𝑊 → Força total *** 
𝑾 
𝑾𝒂 
𝑾𝒕 
𝑾𝒓 
𝝍 
𝝓𝒏 
𝝓𝒕 
𝝍 
𝒙 
𝒚 
𝒛 
Dente 
Circulo 
Primitivo 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ E.C. Dentes Helicoidais 
 Normalmente, 𝑾𝒕 é 
dada e as demais 
forças são requeridas. 
 
 Nesse caso, temos: 
𝑊𝑟 = 𝑊𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝜙𝑡 
𝑊𝑎 = 𝑊𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝜓 
 Componente radial 
 Componente axial 
 (carga de empuxo) 
𝑾 
𝑾𝒂 
𝑾𝒕 
𝑾𝒓 
𝝍 
𝝓𝒏 
𝝓𝒕 
𝝍 
𝒙 
𝒚 
𝒛 
Dente 
Circulo 
Primitivo 
 Força total 
𝑊 =
𝑊𝑡
cos 𝜙𝑛 ∙ cos 𝜓
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
 Na figura a seguir, um motor elétrico de 𝟎, 𝟕𝟓 𝒌𝑾 roda a 
𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎 em sentido horário, como é visto a partir do 
lado positivo do 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒙. 
 
 Fixado ao eixo do motor por meio de chaveta, há um 
pinhão helicoidal de 𝟏𝟖 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 com ângulo de pressão 
normal de 𝟐𝟎°,ângulo de hélice de 30° e módulo de 
𝟐, 𝟓 𝒎𝒎. 
 
 A mão de hélice é mostrada na figura. 
 
 Faça um esboço tridimensional do eixo do motor e do 
pinhão e mostre as forças atuantes nesse último, bem 
como as reações de mancais em 𝑨 e 𝑩. O esforço axial 
deve ser suportado em 𝑨. 
Exercícios - 2 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Exercícios - 2 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
𝟑𝟔 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 
𝟏𝟖 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 
𝒎 = 𝟐, 𝟓 [𝒎𝒎] 𝑯 = 𝟎, 𝟕𝟓 [𝒌𝑾] 
𝒏 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎 𝝓𝒏 = 𝟐𝟎° 
𝝍 = 𝟑𝟎° 
𝟐𝟓𝟎 
𝟕𝟓 
[𝒎𝒎] 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
 Exercícios – 2 
 Resposta 
 DCL do eixo do motor 
+ 
+ 
+ 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
𝑾 
𝑾𝒂 
𝑾𝒕 
𝑾𝒓 
𝝓𝒕 
𝜸 
𝒙 
𝒚 
𝒛 
Análise de Forças 
→ Engrenagens Cônicas 
 A figura ao lado 
consiste em uma 
visão tridimensional 
das forças atuantes 
contra um dente de 
uma engrenagem 
cônica 
 
 Considera-se que as 
forças estão atuando 
no ponto central do 
dente 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
𝒓𝒑 
 onde: 
 
 𝑻 → Torque [𝒌𝑵 ∙ 𝒎𝒎] 
 𝒓𝒑 → raio primitivo [𝒎𝒎] 
𝑾 
𝑾𝒂 
𝑾𝒕 
𝑾𝒓 
𝝓𝒕 
𝜸 
𝒙 
𝒚 
𝒛 
𝒓𝒑 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ Engrenagens Cônicas 
 A carga transmitida 
(força transversal) 
𝑾𝒕 [𝒌𝑵] é obtida 
através da seguinte 
relação: 
𝑊𝑡 =
𝑇
𝑟𝑝
 
𝑾 
𝑾𝒂 
𝑾𝒕 
𝑾𝒓 
𝝓𝒕 
𝜸 
𝒙 
𝒚 
𝒛 
𝒓𝒑 
 onde: 
 
 𝑯 → Potência Transmitida [𝒌𝑾] 
 𝒅𝒑 → diâmetro primitivo [𝒎𝒎] 
 𝒏 → rotação [𝑹𝑷𝑴] 
 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ Engrenagens Cônicas 
 A carga transmitida 
(força transversal) 
𝑾𝒕 [𝒌𝑵] é obtida 
também por: 
𝑊𝑡 =
𝐻 ∙ 60 103
𝜋 ∙ 𝑑𝑝 ∙ 𝑛
 
𝑾 
𝑾𝒂 
𝑾𝒕 
𝑾𝒓 
𝝓𝒕 
𝜸 
𝒙 
𝒚 
𝒛 
𝒓𝒑 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ Engrenagens Cônicas 
 A partir da geometria da 
figura, temos: 
𝑊𝑟 = 𝑊𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝜙𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛾 
 Componente radial 
𝑊𝑎 = 𝑊𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝜙𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛾 
 Componente axial 
 onde: 
 
 𝝓𝒕 → ângulo de pressão 
 transversal 
 
 𝜸 → ângulo primitivo 
𝑾 
𝑾𝒂 
𝑾𝒕 
𝑾𝒓 
𝝓𝒕 
𝜸 
𝒙 
𝒚 
𝒛 
𝒓𝒑 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Análise de Forças 
→ Engrenagens Cônicas 
𝑊 = 𝑊𝑡
2 + 𝑊𝑟
2 + 𝑊𝑎
2 
*** Força Total *** 
 Através de relações 
geométricas, temos: 
 O pinhão cônico na figura a seguir roda a 𝟔𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎, na 
direção indicada, e transmite 𝟑, 𝟕𝟓 𝒌𝑾 à engrenagem. 
 
 As distâncias de montagem, a localização de todos os 
mancais são exibidos na figura. 
 
 As engrenagens são construídas com ângulo de 
pressão (transversal) de 𝟐𝟎° e módulo de 𝟓, 𝟎 𝒎𝒎. 
 
 Por simplicidade, os dentes foram substituídos pelos 
cones primitivos. Os mancais A e C devem escorar os 
esforços axiais. 
 
 Encontre as forças atuantes e desenhe o 𝑫𝑪𝑳 da coroa 
Exercícios - 3 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
𝒎 = 𝟓, 𝟎 [𝒎𝒎] 
𝑯 = 𝟑, 𝟕𝟓 [𝒌𝑾] 
𝒏 = 𝟔𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎 
𝝓𝒕 = 𝟐𝟎° 
𝜸 
𝚪 
Pinhão de 𝟏𝟓 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 
Coroa de 
 𝟒𝟓 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 
𝒓𝒑𝟏 
𝟔𝟓 
𝟗𝟓 
𝑭 
𝒓𝒑𝟐 
𝟏𝟔𝟓 𝟕𝟓 
 Exercícios – 3 
𝒅𝒑𝟐 
𝒅𝒑𝟏 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
 Exercícios – 3 
 Resposta 
 DCL do eixo CD 
𝟔𝟓 
𝟗𝟓 
𝒓𝒑𝟏 
𝒓𝒑𝟐 
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso