Livro cinematica dos s II

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Unidade II
Unidade II
5 MOVIMENTO PLANO 
Neste tópico estudaremos a definição, a identificação e as propriedades do movimento plano. 
5.1 Definição 
“Um sólido descreve movimento plano quando todos os seus pontos movimentam-se em um mesmo 
plano ou em planos paralelos.”
5.2 Interpretação física e verificação do movimento plano
O movimento plano pode ser interpretado como a superposição simultânea de dois movimentos: 
um de translação e outro de rotação do ponto P estudado em torno de um eixo imaginário (não fixo) 
passando por outro ponto O do sólido, conforme ilustrado na Figura 68.
Figura 68 – Interpretação física do movimento plano
A definição e a interpretação deixam bem clara a condição do movimento plano que discutiremos 
com mais detalhes nos casos a seguir.
A figura a seguir, modificada da Figura 2 já apresentada no Tópico 2, representa na verdade um 
movimento plano. Verifique que os pontos P e Q movimentam-se em um mesmo plano. O sólido possui 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
velocidade angular (ω), e os vetores AP
 
 e AO
 
 possuem uma direção diferente em cada um dos três 
instantes. O sólido desenvolve concomitantemente translação e rotação, resultando na observação do 
movimento plano. 
Figura 69 – Ilustração genérica do movimento plano
Voltando ao caso da roda do carro tratado no Tópico 3, que permanece ainda sem explicação final, 
observe na próxima figura o movimento de rolamento da roda de um carro que se movimenta em linha 
reta em uma condição normal. Verifique que os pontos O e P movimentam-se em um mesmo plano, e 
o vetor OP
 
 possui em cada um dos três instantes uma direção. A roda translada e rotaciona ao mesmo 
tempo. Dessa forma, concluímos que a roda nessa condição desenvolve um movimento plano. 
Figura 70 – Movimento plano desenvolvido pela roda de um veículo que rola no piso
Observe agora o caso da figura a seguir, que mostra o esquema de um motor de combustão interna 
monocilíndrico. O motor é composto por três sólidos móveis: pistão, manivela (ou virabrequim) e biela. 
Cada um dos três sólidos desenvolve um movimento diferente. Analisando cada um, temos:
Figura 71 – Movimento dos sólidos de um motor monocilíndrico
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Unidade II
Cada um dos três sólidos desenvolve um movimento diferente. Ao analisá-los, temos:
• Pistão: o movimento de translação retilínea do pistão já foi discutido e esmiuçado no Tópico 2 (Figura 5).
• Manivela: desenvolve rotação em torno de eixo fixo, como mostrado na próxima figura.
Figura 72 – Movimento de rotação em torno de eixo fixo da manivela do motor
• Biela: o movimento da biela do motor pode ser observado na figura a seguir. Observe o 
comportamento do vetor OP
 
 indicado. 
Figura 73 – Movimento plano da biela do motor
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
6 MOVIMENTO PLANO – CÁLCULO DE VELOCIDADES PELO MÉTODO 
GEOMÉTRICO
Existem duas formas de cálculo de velocidades no estudo do movimento plano.
A primeira, que iremos tratar neste tópico, é a forma geométrica, que utiliza o conceito do Centro 
Instantâneo de Rotação (CIR) usado para calcular, de forma geométrica, velocidades lineares de pontos 
(v) e velocidades angulares de barras (ω). O Método Geométrico (ou forma geométrica) possui uma 
limitação e não permite calcular acelerações de pontos (a) e acelerações angulares de barras (a).
A segunda forma é a vetorial, que permite calcular todas as grandezas cinemáticas associadas ao 
movimento plano. Será desenvolvida nos Tópicos 7 e 8. 
6.1 O Centro Instantâneo de Rotação (CIR)
A definição de Centro Instantâneo de Rotação (CIR) é: 
“Se num determinado instante um ponto do sólido que desenvolve movimento plano possuir 
velocidade nula (v = 0), este ponto será denominado Centro Instantâneo de Rotação (CIR) do sólido.” 
Dessa forma, fica estabelecida a principal propriedade do CIR. Para que um ponto seja CIR, 
obrigatoriamente a sua velocidade deve ser nula (v=0).
6.2 Interpretação simplificada do movimento plano utilizando o CIR
Pela utilização do conceito de CIR, o movimento plano que inicialmente era observado como 
translação + rotação passa a ser interpretado como um movimento exclusivo de rotação, de qualquer 
ponto P do sólido em torno de um eixo imaginário e que passa pelo CIR no instante de estudo.
O leitor deverá ficar muito atento à palavra instante nesse estudo. O CIR é um ponto que possui 
propriedade instantânea, e como veremos em exemplos, esse ponto ocupará uma posição diferente em 
cada instante. O próprio nome revela essa propriedade de instante: Centro Instantâneo de Rotação.
Observe o mecanismo de três barras ilustrado na figura que segue e a posição que o CIR ocupa em 
cada instante.
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Unidade II
Figura 74 – Posição do CIR em diferentes instantes em um sistema
Seja o CIR, obrigatoriamente, sua velocidade deve ser nula (v = 0).
 Lembrete
O CIR possui velocidade nula (vCIR = 0) e ocupa uma posição a cada 
instante, por isso o nome: Centro Instantâneo de Rotação.
6.3 Métodos geométricos para a determinação do CIR
Se num determinado instante um sistema possuir o CIR, ele será determinado por uma das quatro 
situações a seguir: 
 Observação
Nos equacionamentos e nos exercícios utilizaremos a letra I para nos 
referirmos ao CIR.
• Primeira situação: conhecidas as direções das velocidades (não paralelas) de dois pontos do 
sólido (próxima figura).
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
vA = vI + ω . AI
mas como a velocidade do CIR, vI = 0
vA = ω . AI
vB = vI + ω . BI
mas como a velocidade do CIR, vI = 0
vB = ω . BI
Figura 75 – Posição do CIR no caso de conhecidas as direções não paralelas das velocidades de dois pontos
• Segunda situação: conhecidas as direções das velocidades paralelas e de mesmo sentido de dois 
pontos do sólido (figura a seguir).
Resolvendo por semelhança de triângulos:
V
AI
V
BI
A B=
Figura 76 – Posição do CIR no caso de conhecidas as direções paralelas das velocidades de dois pontos
• Terceira situação: conhecidas as direções das velocidades paralelas e de sentidos opostos de dois 
pontos do sólido (próxima figura).
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Unidade II
Resolvendo por semelhança de triângulos:
V
AI
V
BI
A B=
Figura 77 – Posição do CIR no caso de conhecidas as direções paralelas das velocidades de dois pontos
• Quarta situação: conhecidas as direções das velocidades paralelas e de sentidos opostos de dois 
pontos do sólido (figura a seguir).
Figura 78 – Caso particular do movimento plano – Ato translatório
Nesta quarta situação, o CIR encontra-se no infinito. Este é um caso particular do movimento 
plano chamado de ato translatório. Neste instante, e somente neste instante, o sólido está 
desenvolvendo unicamente translação. Assim, neste instante, não há rotação, e a velocidade 
angular do sólido (ω) é zero. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Como o sólido está desenvolvendo unicamente translação, lembramos a primeira propriedade 
cinemática da translação, segundo a qual, no sólido em translação, todos os pontos possuem a mesma 
velocidade. Então: vA= vB = vqualquer ponto do sólido.
Temos a equação da velocidade de um ponto P para um sólido que desenvolvemovimento plano 
utilizando o conceito do CIR.
vP = vI + ω . PI
Onde:
• P é o ponto de interesse. 
• I é o CIR do sólido. 
• ω é a velocidade angular do sólido ao qual o ponto P pertence. 
• PI é a distância entre o ponto de interesse e o CIR.
Como a velocidade do CIR é zero (vI = 0), podemos simplificar a equação assim:
v v PI v PIP I P= + =ω ω. .
Finalmente, o entendimento que o leitor deve ter sobre o CIR é o seguinte:
“No instante de estudo, qualquer ponto do sólido está girando em torno de um eixo instantâneo e 
imaginário que passa pelo CIR.”
Essa é a grande simplificação gerada pelo método geométrico do CIR. O movimento plano passa 
a ser interpretado como um movimento exclusivo de rotação, porém com propriedades que valem 
somente para o instante observado.
Exemplo de aplicação
No mecanismo ilustrado na figura a seguir a manivela AB gira no sentido horário e transmite o 
movimento à biela BC, que, por sua vez, movimenta o cursor C. Ao cursor C só é permitido movimento 
horizontal. Determinar a posição do CIR da biela BC. 
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Unidade II
Figura 79 – Mecanismo de transmissão de movimento
Para iniciar o exercício, devemos interpretar o mecanismo e entender que a figura anterior representa 
um instante do ciclo desenvolvido pelo mecanismo. O leitor deve ter a habilidade de imaginar esse 
mecanismo desenvolvendo um ciclo completo, que está ilustrado na figura a seguir. 
Figura 80 – Visualização de diversos instantes do movimento do mecanismo
Agora vamos analisar o movimento de cada um dos sólidos separadamente:
• Manivela AB: desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo, pois o ponto A é por onde 
passa o eixo fixo de rotação. O ponto B sempre se movimentará em torno de A com raio constante 
equivalente ao comprimento da manivela AB.
• Cursor C: conforme explicita o enunciado, “ao cursor C só é permitido movimento horizontal”. 
Dessa forma, concluímos que o cursor C desenvolve um movimento de translação retilínea.
• Biela BC: desenvolve um movimento plano. Para melhor entendimento, imagine o mecanismo em 
movimento, conforme exposto na figura anterior. Identificado o movimento da biela BC, vamos 
agora desenhar os vetores velocidade dos pontos B e C, que são os pontos de interesse no sólido 
(próxima figura).
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 81 – Observação do vetor velocidade do ponto B
Lembrando que:
• A velocidade do ponto B (girante) é sempre tangente à trajetória circular descrita pelo ponto e 
que a tangência em relação a esta gera a consequente perpendicularidade em relação à linha que 
define o raio de giro do ponto (RB). Como a manivela AB é um sólido reto, sua própria estrutura 
representa o raio de giro do ponto B.
• Ao cursor C só é permitido movimento horizontal, em virtude da barra-guia. Dessa forma, 
observando o conjunto e o sentido de vB, deduzimos o sentido de vC.
O próximo passo é identificar em qual das quatro situações, citadas na teoria, este caso se enquadra. 
Observando que as velocidades vB e vC não são paralelas, facilmente concluímos que estamos na 
primeira situação. 
Vamos ao método para determinar a posição do CIR.
Desenhamos uma reta perpendicular a cada um dos respectivos vetores velocidade dos pontos, 
passando por estes. O cruzamento das duas retas perpendiculares nos indica a posição do CIR da biela 
BC (próxima figura). Assim:
Figura 82 – Localização do CIR da biela BC
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Unidade II
A interpretação do CIR deve ser: no instante ilustrado, qualquer ponto da biela BC está girando em 
torno do eixo imaginário e instantâneo que passa pelo CIR. Dessa forma, o movimento plano (translação 
+ rotação) desenvolvido pela biela BC foi simplificado em um movimento exclusivo de rotação de 
qualquer ponto do sólido em torno do eixo que passa pelo CIR. 
Devemos lembrar, porém, que a posição do CIR é válida somente para o instante ilustrado.
Exemplo de aplicação
Imagine agora o mesmo mecanismo do exemplo anterior em um outro instante, no qual a disposição 
dos corpos é diferente, conforme a figura que segue. Determinar a posição do centro instantâneo de 
rotação da biela BC para esse novo instante.
Figura 83 – Mecanismo de transmissão de movimento
Os movimentos de cada um dos corpos permanecem inalterados e foram explicados no exemplo 
anterior.
Vamos desenhar os vetores velocidade dos pontos B e C, lembrando as explicações detalhadas no 
exemplo anterior (figura a seguir). Temos: 
Figura 84 – Observação dos vetores velocidade
Identificando em qual das quatro situações este caso se enquadra e observando que as velocidades 
vB e vC não são paralelas, concluímos que estamos na primeira situação. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Passamos ao método de determinação da posição do CIR. Como explicado no exemplo anterior, o 
cruzamento das duas retas perpendiculares aos vetores velocidade de cada um dos pontos nos indica a 
posição do CIR da biela BC (figura a seguir). Assim: 
Figura 85 – Localização do CIR da biela BC
O leitor deve estar muito atento ao conceito cinemático envolvido no CIR. No instante ilustrado na 
próxima figura, todo e qualquer ponto da biela BC, não somente B e C, está girando em torno do eixo 
imaginário e instantâneo que passa pelo CIR. Cada ponto possui um raio de giro e, em consequência, 
uma velocidade diferente. 
Figura 86 – Vetores velocidade dos pontos da biela BC
 Lembrete
Uma vez observado o CIR de um sólido, o significado deste ponto é: no 
instante de visualização, qualquer ponto do sólido está girando em torno 
de um eixo imaginário que passa pelo CIR.
 Saiba mais
Acesse a Minha Biblioteca e consulte os livros: 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para 
engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. Cap. 15. p. 950. 
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Unidade II
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: dinâmica. 6. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. Cap. 5. p. 268. 
Exemplo de aplicação
Imagine agora o mesmo mecanismo em um outro instante (figura a seguir). Determinar a posição 
do centro instantâneo de rotação da biela BC para esse novo instante. 
Figura 87 – Mecanismo de transmissão de movimento
Na mesma sequência dos exemplos anteriores, temos:
Figura 88 – Observação dos vetores velocidade
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Passando ao método de determinação da posição do CIR, temos:
Figura 89 – Localização do CIR da biela BC
Observamos que o CIR nessa condição está no infinito. Concluímos que nesse instante a 
biela BC está desenvolvendo ato translatório. Assim, a velocidade angular do sólido (ω) é zero, e 
vB= vC = vqualquer ponto da biela BC.
Exemplo de aplicação
A barra AB ilustrada na figura a seguir tem comprimento 0,8 m e se desloca com as extremidades 
apoiadas em duas superfícies, conforme ilustrado. O extremo A da barra se desloca para a direita, com 
velocidade constante vA = 3,5 m/s. Para o instante ilustrado, quando o ângulo entre a barra e o plano 
horizontal é θ = 30o, calcular a velocidade do ponto B. 
Figura 90 – Sólido desenvolvendo movimento plano
Observados os dois vetores velocidade dos pontos A e B, traçamos as retas perpendiculares aos 
vetores velocidade, passando por cada um dos pontos. O cruzamento das duas retas nos dá a posição 
do CIR (próxima figura). 
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Unidade II
Figura 91 – Localização do CIR da barra AB
Observamos agora os ângulos necessários para a resolução do exercício de forma geométrica (figura 
a seguir).
Figura 92 – Observação dos ângulos necessários para a resolução
Equacionando o exercício, temos:
Ponto A: vA = vI + ωAB . AIAB mas como vI = 0, temos: vA = ωAB . AIAB
Ponto B: vB = vI + ωAB . BIAB mas como vI = 0, temos: vB = ωAB . BIAB
Os segmentos AIAB e BIAB são lados de um triângulo equilátero: 
AIAB = 0,8 m BIAB = 0,8 m
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Então:
vA = ωAB . AIAB 3,5 = ωAB . 0,8 ωAB = 4,38
rad
s
vB = ωAB . BIAB vB = 4,38 . 0,8 vB = 3,51
m
s
Exemplo de aplicação
As barras AB, BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado na próxima figura. Pelas articulações 
A e D, passam eixos fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade angular ωAB = 10 rad/s, 
no sentido anti-horário. Determinar: 
a) A velocidade angular da barra BC (ωBC). 
b) A velocidade angular da barra CD (ωCD).
Figura 93 – Mecanismos de três barras
Neste exemplo de aplicação é apresentada uma forma de resolução em que o sistema é desmontado, 
cada um dos sólidos é observado separadamente e, depois, volta-se ao sistema montado. Observe o 
leitor que essa é uma forma um pouco mais detalhada que facilita o entendimento. 
Inicialmente analisamos que tipo de movimento cada uma das barras está desenvolvendo: 
• Barra AB: desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo, pois o ponto A é por onde 
passa o eixo fixo de rotação. O ponto B sempre se movimentará em torno de A com raio constante 
equivalente ao comprimento da barra AB. 
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Unidade II
Desmontando o sistema e observando somente a barra AB (figura a seguir), temos:
Figura 94 – Barra AB isolada do sistema
• Barra CD: também desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo, pois o ponto D é por 
onde passa o eixo fixo de rotação. O ponto C sempre se movimentará em torno de D com raio 
constante equivalente ao comprimento da barra CD. 
Desmontando o sistema e observando somente a barra CD (próxima figura), temos:
Figura 95 – Barra CD isolada do sistema
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
 Observação
O vetor velocidade do ponto C foi deduzido observando-se o conjunto 
montado. Como o ponto B possui velocidade horizontal para a direita, 
estará empurrando o ponto C para baixo.
• Barra BC: desenvolve movimento plano.
Desmontando o sistema, observando somente a barra BC e os vetores velocidade dos pontos B e C 
já obtidos pela análise das barras AB e CD separadamente (figura a seguir), temos:
Figura 96 – Barra CD isolada do sistema
Identificando em qual das quatro situações este caso se enquadra e observando que as velocidades 
vB e vC não são paralelas, concluímos que estamos na primeira situação. 
Vamos ao método de determinação da posição do CIR. O cruzamento das duas retas perpendiculares 
aos vetores velocidade de cada um dos pontos nos indica a posição do CIR da barra BC (figura a 
seguir). Assim:
Figura 97 – Determinação do CIR da barra BC
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Unidade II
Voltando ao conjunto montado (figura a seguir), temos:
Figura 98 – Posição do CIR da barra BC no conjunto montado
Vamos à resolução matemática do exercício, em que o equacionamento dos três corpos fica: 
• Barra AB (rotação em torno de eixo fixo) 
Para a barra AB podemos calcular a velocidade do ponto B que gira em torno de A. Partindo de 
v = ω . R e substituindo os valores, temos:
vB = ωAB . AB vB = 10 . 0,35 vB = 3,5
m
s
• Barra BC (movimento plano)
Para a barra BC podemos calcular as velocidades dos pontos B e C que giram em torno do CIR. 
Partindo de: vP = vI + ωsólido . PI
Ponto B: vB = vI + ωBC . BIBC mas como vI = 0, temos: vB = ωBC . BIBC
Substituindo o valor de vB já obtido e observando no enunciado que o segmento BIBC vale 0,1 m, 
temos a resposta do item a): 
3,5 = ωBC . 0,1 ωBC = 35
rad
s
Ponto C: vC = vI + ωBC . CIBC mas como vI = 0, temos: vC = ωBC . CIBC 
Substituindo o valor de ωBC já obtido e observando no enunciado que o segmento CIBC vale 
0,12 m, temos:
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
vC = 35 . 0,12 vC = 4,2
m
s
• Barra CD (rotação em torno de eixo fixo)
Para a barra CD podemos calcular a velocidade angular, pois já temos a velocidade do ponto C. 
Partindo de v = ω . R e substituindo os valores, temos a resposta do item b): 
vC = ωCD . CD 4,2 = ωCD . 0,25 ωCD = 16,8
rad
s
Exemplo de aplicação
A roda ilustrada na figura que segue possui raio R = 0,2 m e gira com velocidade angular ω π=
2
rad
s
 
 
no sentido horário. Seu centro se desloca com velocidade vC = 0,2 m/s para a direita. Determinar: 
a) O CIR da roda. 
b) Se a roda escorrega ou não. 
c) A velocidade do ponto da roda (P) em contato com o piso.
Figura 99 – Roda desenvolvendo movimento plano
A roda em questão pode desenvolver o movimento de rolamento, que é um movimento plano, de 
duas formas: escorregando ou sem escorregar. Como não sabemos se a roda está ou não escorregando, 
vamos partir de uma hipótese inicial para a resolução do exercício e posteriormente vamos testar a 
hipótese para ver se está ou não correta.
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Unidade II
Hipótese inicial: a roda rola sem escorregar.
Partindo da hipótese de que a roda rola sem escorregar, lembramos que a condição cinemática para 
que isso ocorra é a de que o ponto de contato da roda com o piso (P) deve ter a mesma velocidade do 
piso. Como o piso está parado, sua velocidade é zero. Então, temos: vP = Vpiso = 0.
Continuando o raciocínio que partiu da hipótese inicial, se a velocidade do ponto P for zero, ele será 
o CIR da roda (próxima figura). Lembramos que a condição para que um ponto seja o CIR de um sólido 
é que tenha velocidade nula.
Então, temos: 
Figura 100 – Posição do CIR segundo a hipótese
Neste momento devemos testar a hipótese. Um ponto de teste da hipótese pode ser o cálculo 
da velocidade do ponto P que supostamente é o CIR. Se a velocidade resultar zero, a hipótese estará 
correta. Se a velocidade for diferente de zero, a hipótese estará errada. 
Vamos ao cálculo para o teste da hipótese: 
vC = vP + ω . CP
A velocidade do ponto P será mantida como incógnita. Observando que o segmento CP é o próprio 
raio (R) da roda, temos:
vC = vP + ω . R
Substituindo os valores:
0,2 = vP + 
π
2
 . 0,2 vP = - 0,114
m
s
107
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o:
 N
om
e 
do
 re
vi
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ão
: N
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am
ad
or
 -
 d
at
a
CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
A velocidade do ponto P resultou um valor diferente de zero. Conclusões:
• O ponto P não é o CIR da roda. 
• A hipótese inicial está errada. A roda está escorregando – resposta do item b).
• A velocidade do ponto P tem intensidade de 0,114 m/s e aponta para a esquerda – resposta do 
item c).
Assim, temos: 
Figura 101 – Velocidade do ponto P que está escorregando
Observamos que esse cenário se encaixa na terceira situação. Iniciamos o método para determinação 
do CIR. 
Traçando uma reta perpendicular ao vetor velocidade do ponto C, passando por esse ponto (figura 
a seguir), temos: 
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Unidade II
Figura 102 – Processo de determinação do CIR da roda
Traçando a segunda reta, que toca as pontas dos vetores vC e vP, temos alocalização do CIR no 
cruzamento das duas retas (próxima figura) – resposta do item a). 
Figura 103 – Processo de determinação do CIR da roda
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Falta saber a localização exata do CIR na roda.
Voltando ao equacionamento, já sabendo que P não é o CIR, temos a resposta do item a): 
vC = vI + ω . CI 0,2 = vI +
π
2
. CI CI = 0,127 m
O CIR está localizado a 0,127 metros em relação ao centro da roda, ou a 0,073 m em relação ao piso. 
Exemplo de aplicação
No sistema de três barras ilustrado na figura a seguir, a barra CD possui velocidade angular ωCD = 6 rad/s 
no sentido anti-horário. Determinar para o instante ilustrado, utilizando o método geométrico:
a) A velocidade do ponto E. 
b) A velocidade angular da barra AB.
Figura 104 – Mecanismo de três barras 
Inicialmente devemos observar que tipo de movimento que cada uma das barras descreve:
• Barra AB: desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo, que está em A.
• Barra BC: desenvolve movimento plano.
• Barra CD: desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo, que está em D. 
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Unidade II
Observando os vetores velocidade dos pontos B e C (próxima figura), temos:
Figura 105 – Vetores velocidade dos pontos B e C 
Os vetores velocidade dos pontos B e C possuem direções distintas. Logo, estamos na primeira 
situação.
O cruzamento das duas retas perpendiculares aos vetores velocidade de cada um dos pontos nos 
indica a posição do CIR da barra BC (figura a seguir). Assim:
Figura 106 – Determinação do CIR da barra BC
Devemos agora desenhar o vetor velocidade do ponto E, que é uma das incógnitas. Lembrando o 
conceito do CIR, entendemos que no instante ilustrado todo e qualquer ponto da barra BC, inclusive 
o ponto E, está girando em torno de um eixo imaginário e instantâneo que passa pelo CIR. Assim, 
definindo o raio de giro do ponto E, conseguimos visualizar seu vetor velocidade que tem direção 
perpendicular à linha que define o raio de giro do ponto E (figura a seguir).
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 107 – Determinação do vetor velocidade do ponto E
Vamos à resolução matemática do exercício, em que o equacionamento dos três corpos fica: 
• Barra CD (rotação em torno de eixo fixo)
Para a barra CD podemos calcular a velocidade do ponto C, que gira em torno de D. Partindo de 
v = ω . R e substituindo os valores, temos:
vC = ωCD . CD vC = 6 . 0,6 vC = 3,6
m
s
• Barra BC (movimento plano)
Para a barra BC podemos calcular as velocidades dos pontos B, C e E que giram em torno do CIR. 
Partindo de vP = vI + ωsólido . PI: 
Ponto B: vB = vI + ωBC . BIBC mas como vI = 0, temos: vB = ωBC . BIBC
Ponto C: vC = vI + ωBC . CIBC mas como vI = 0, temos: vC = ωBC . CIBC
Ponto E: vE = vI + ωBC . EIBC mas como vI = 0, temos: vE = ωBC . EIBC 
Para o cálculo dos segmentos BIBC , CIBC e EIBC devemos fazer algumas observações trigonométricas, 
conforme mostrado nas duas próximas figuras. 
Figura 108 – Observação dos triângulos para o cálculo dos segmentos faltantes
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Unidade II
Figura 109 – Observação dos triângulos e dos segmentos faltantes
Utilizando a relação trigonométrica tangente no triângulo retângulo, calculamos o segmento CIBC .
tg
cat op
cat adj
CIBC30
0 6
º
. .
. . ,
= = CIBC = 0,346 m 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, calculamos os segmentos BIBC e EIBC . Assim: 
BI BI m
EI EI m
BC BC
BC BC
= + =
= + =
0 6 0 346 0 692
0 3 0 346 0 458
2 2
2 2
, , ,
, , ,
Voltamos agora ao equacionamento das velocidades de cada um dos pontos e calculamos as 
incógnitas: 
Ponto C: vC = ωBC . CIBC 3,6 = ωBC . 0,346 ωBC = 10,4
rad
s2
Ponto E: vE = ωBC . EIBC vE = 10,4 . 0,458
Resposta do item a): 
vE = 4,76
m
s
Para o cálculo da velocidade angular da barra AB, precisamos da velocidade do ponto B. 
Ponto B: vB = ωBC . BIBC vB = 10,4 . 0,692 vB = 7,2
m
s
Equacionando a barra AB, que desenvolve rotação em torno de eixo fixo, partindo de v = ω . R, 
temos:
vB = ωAB . AB
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Para o cálculo do segmento AB, aplicamos a relação trigonométrica seno ao triângulo ilustrado 
(figura a seguir).
Figura 110 – Visualização do triângulo retângulo para o cálculo do segmento AB
sen
cat op
hip AB
30
0 6
º
. .
.
,= = AB = 12 m
Voltando ao equacionamento da barra AB, temos a resposta do item b): 
vB = ωAB . AB 7,2 = ωAB . 1,2 ωAB = 6
rad
s
Exemplo de aplicação
No instante ilustrado na figura a seguir, a barra AB possui velocidade angular de 3 rad/s, que cresce 
à taxa de 2 rad/s2. Para o instante ilustrado, calcular:
a) A velocidade angular da barra BC. 
b) A velocidade do bloco deslizante C. 
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Unidade II
Figura 111 – Sistema de transmissão de movimento
Vamos resolver este exercício pelo método geométrico.
Inicialmente devemos observar que tipo de movimento cada um dos sólidos descreve.
• Barra AB: a barra AB desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo, onde o eixo fixo 
está em A.
• Barra BC: a barra BC desenvolve movimento plano.
• Bloco C: o bloco C desenvolve movimento de translação retilínea.
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Observando os vetores velocidade dos pontos B e C (figura a seguir), temos:
Figura 112 – Visualização dos vetores velocidade dos pontos B e C
Os vetores velocidade dos pontos B e C possuem direções distintas. Logo, estamos na primeira 
situação.
O cruzamento das duas retas perpendiculares aos vetores velocidade de cada um dos pontos nos 
indica a posição do CIR da barra BC (figura a seguir). Assim: 
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Unidade II
Figura 113 – Localização do CIR da barra BC
Lembrando o conceito do CIR: no instante ilustrado, qualquer ponto da barra BC está girando em 
torno de um eixo imaginário e instantâneo que passa pelo ponto IBC. Dessa forma, ocorre a simplificação 
do movimento plano em um movimento exclusivamente de rotação, porém com propriedades 
instantâneas.
O leitor deve observar que o método geométrico, em algumas situações, pode representar uma 
forma de resolução não tão simples. Neste exemplo, o CIR localiza-se em uma posição mais complexa, 
sendo necessária a aplicação de ferramentas geométricas um pouco mais elaboradas, além da 
visualização dos ângulos. 
Vamos ao equacionamento do exercício para definição das incógnitas.
• Barra AB (rotação em torno de eixo fixo)
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Para a barra AB podemos calcular a velocidade do ponto B que gira em torno de B. Partindo de: 
v = ω . R, temos:
vB = ωAB . AB
• Barra BC (movimento plano)
Para a barra BC podemos calcular as velocidades dos pontos B e C que giram em torno do CIR. 
Partindo de: vP = vI + ωsólido . PI
Ponto B: vB = vI + ωBC . BIBC mas como vI = 0, temos: vB = ωBC . BIBC
Ponto C: vC = vI + ωBC . CIBC mas como vI = 0, temos: vC = ωBC . CIBC
As incógnitas são os segmentos BIBC e CIBC . Para determinação desses segmentos, devemos fazer 
algumas observações trigonométricas. Vamos à observação dos ângulos. 
O triângulo 3, 4, 5 indicado no enunciado (próxima figura) nosfornece, por meio de cálculos, o 
ângulo de inclinação da velocidade do bloco C em relação à horizontal. Assim: 
Figura 114 – Determinação do ângulo θ
tgθ = 3
4
 θ = atg 3
4
 θ = 36,87º
Então, podemos observar outros ângulos no triângulo formado pela figura a seguir.
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Unidade II
Figura 115 – Observação dos ângulos do triângulo obtusângulo
Calculando os ângulos faltantes, temos: 
tgβ = 0 7 0 5
0 5
, ,
,
+ β = atg 12
0 5
,
,
 β = 67,38º
δ + β + 90º = 180º δ + 67,38º + 90º = 180º δ = 22,62º
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo obtusângulo formado (figura a seguir), temos:
Figura 116 – Aplicação da Lei dos Senos
sen
BC
sen
BI
sen
CIBC BC
36 87 120 51 22 62, , ,° = ° = °
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
BC2 = 1,22 + 0,52 BC = 1,3 m
Voltando à Lei dos Senos:
sen sen
BI
sen
CI
BI
BC BC
BC
36 87
13
120 51 22 62
0 6
13
0 861
,
,
, ,
,
,
,
° = ° = °
= = 00 385,
CIBC
Calculamos os segmentos BIBC e CIBC , assim:
BIBC = 1,865 m CIBC = 0,834 m
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Unidade II
Voltando ao equacionamento das barras AB e BC, temos:
vB = ωAB . AB
vB = 3 . 0,7 = 2,1
m
s
vB = ωBC . BIBC
2,1 = ωBC . 1,865
Resposta do item a): 
ωBC = 1,12
rad
s
vC = ωBC . CIBC
vC = 1,12 . 0,834
Resposta do item b): 
vC = 0,934
m
s
 Saiba mais
Acesse a Minha Biblioteca e consulte os livros: 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para 
engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. Cap. 15. p. 936. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: dinâmica. 6. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. Cap. 5. p. 268. 
 Resumo
Nesta unidade, vimos que movimento plano = translação + rotação. 
Utilizando-se o conceito do CIR, o movimento plano simplifica-se em 
somente de rotação em torno de eixo fixo, porém, valendo apenas para o 
instante de observação.
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Aprendemos ainda que vCIR = zero. 
Vimos também que todo e qualquer ponto do sólido está girando em 
torno de um eixo instantâneo e imaginário que passa pelo CIR no instante 
de estudo. Então, o cálculo das velocidades resume-se ao mesmo cálculo 
feito para a velocidade de um ponto girante:
vP = ω . PI