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CIRCUITOS ELÉTRICOS IICIRCUITOS ELÉTRICOS II 
UNIDADE 4 – POTÊNCIAUNIDADE 4 – POTÊNCIA
COMPLEXACOMPLEXA 
Autor: Guilherme SchnirmannAutor: Guilherme Schnirmann 
Revisora: Sofia Maria Amorim Falco RodriguesRevisora: Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues 
I N I C I A R
Introdução
Caro(a) estudante, 
Nas unidades anteriores, nosso estudo foi concentrado nas ferramentas matemáticas para
diversas análises em circuitos de corrente alternada. Estudamos técnicas para simplificar e
alterar o modo que enxergamos os circuitos para encontrar elementos de interesse com mais
facilidade, calculamos informações essenciais para utilização, geração e distribuição de
energia, ou seja, informações de potência e, de modo geral, nos familiarizamos com os circuitos
de corrente alternada (CA) em diversas configurações e situações. Estudamos as
configurações delta-estrela, os circuitos com transformadores e as principais características
relacionadas. No entanto, todo esse estudo foi feito para circuitos monofásicos. Agora, nosso
objetivo é aplicar os conhecimentos de análise de circuitos CA em circuitos trifásicos. 

4.1 Circuitos monofásicos e trifásicos
Quando falamos de transmissão de energia corrente alternada (CA), um sistema monofásico
consiste em um gerador conectado a uma carga por uma linha de transmissão bifilar (par de
fios). Na prática, muitas vezes temos um sistema trifilar (três fios) com duas fontes idênticas
(mesma magnitude e fase) que são conectadas a duas cargas por dois fios externos e o neutro
(ALEXANDER; SADIKU, 2013). Os dois sistemas descritos, por operarem na mesma fase, são
sistemas monofásicos, sendo o segundo muito utilizado no sistema doméstico comum,
possibilitando a conexão de aparelhos para 127 e 220 V, por exemplo. A Figura 1 ilustra esses
dois sistemas monofásicos. 
Figura 1 – Sistemas monofásicos (a) bifilar e (b) trifilar. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 446. (Adaptada).
Agora, começaremos o estudo dos circuitos trifásicos, em que as fontes operam na mesma
frequência, entretanto, em três fases diferentes. Assim, um sistema trifásico é composto por um
gerador formado por três fontes de mesma amplitude e frequência, mas com uma diferença de
Bons estudos!
Autor:
Guilherme Schnirmann
Revisora:
Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues
CIRCUITOS ELÉTRICOS II
UNIDADE 4. POTÊNCIA COMPLEXA
INTRODUÇÃO 01
4.1 CIRCUITOS MONOFÁSICOS E TRIFÁSICOS 02
4.2 CIRCUITO TRIFÁSICO EQUILIBRADO 04
4.3 ANÁLISE POR FASE 10
4.4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS: TEOREMAS E ANÁLISE 22
SÍNTESE 25
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 27
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 1
4.1 Circuitos monofásicos e trifásicos
Quando falamos de transmissão de energia corrente alternada (CA), um sistema monofásico
consiste em um gerador conectado a uma carga por uma linha de transmissão bifilar (par de
fios). Na prática, muitas vezes temos um sistema trifilar (três fios) com duas fontes idênticas
(mesma magnitude e fase) que são conectadas a duas cargas por dois fios externos e o neutro
(ALEXANDER; SADIKU, 2013). Os dois sistemas descritos, por operarem na mesma fase, são
sistemas monofásicos, sendo o segundo muito utilizado no sistema doméstico comum,
possibilitando a conexão de aparelhos para 127 e 220 V, por exemplo. A Figura 1 ilustra esses
dois sistemas monofásicos. 
Figura 1 – Sistemas monofásicos (a) bifilar e (b) trifilar. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 446. (Adaptada).
Agora, começaremos o estudo dos circuitos trifásicos, em que as fontes operam na mesma
frequência, entretanto, em três fases diferentes. Assim, um sistema trifásico é composto por um
gerador formado por três fontes de mesma amplitude e frequência, mas com uma diferença de
Bons estudos!
fase entre si por 120°. Portanto, tratamos de uma fase adiantada em 120° e outra atrasada em
120°. As abas, a seguir, apresentam a importância do sistema trifásico. 
Importância do sistema trifásico
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
As associações de impedância delta e estrela podem ser aplicadas na análise dos circuitos
trifásicos equilibrados. Ao todo são quatro configurações que estudaremos. A Figura 2 ilustra
um sistema trifásico base, em que temos cada fonte defasada em 120° ligada à respectiva
carga e ao neutro. 
Geração de energia elétrica
Versatilidade (sistemas monofásicos e polifásicos)
Mundialmente, a maior parte da energia elétrica é gerada e distribuída em três fases. A
frequência de operação, no Brasil, é de 60 Hz, assim como nos Estados Unidos, entreta
em alguns países a frequência é de 50 Hz.
Potência instantânea constante Mais econômico
Por conta da quantidade de fios necessária no sistema trifásico em relação ao monofás
ele é mais econômico.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 2
fase entre si por 120°. Portanto, tratamos de uma fase adiantada em 120° e outra atrasada em
120°. As abas, a seguir, apresentam a importância do sistema trifásico. 
Importância do sistema trifásico
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
As associações de impedância delta e estrela podem ser aplicadas na análise dos circuitos
trifásicos equilibrados. Ao todo são quatro configurações que estudaremos. A Figura 2 ilustra
um sistema trifásico base, em que temos cada fonte defasada em 120° ligada à respectiva
carga e ao neutro. 
Geração de energia elétrica
Versatilidade (sistemas monofásicos e polifásicos)
Mundialmente, a maior parte da energia elétrica é gerada e distribuída em três fases. A
frequência de operação, no Brasil, é de 60 Hz, assim como nos Estados Unidos, entreta
em alguns países a frequência é de 50 Hz.
Potência instantânea constante Mais econômico
Por conta da quantidade de fios necessária no sistema trifásico em relação ao monofás
ele é mais econômico.
fase entre si por 120°. Portanto, tratamos de uma fase adiantada em 120° e outra atrasada em
120°. As abas, a seguir, apresentam a importância do sistema trifásico. 
Importância do sistema trifásico
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
As associações de impedância delta e estrela podem ser aplicadas na análise dos circuitos
trifásicos equilibrados. Ao todo são quatro configurações que estudaremos. A Figura 2 ilustra
um sistema trifásico base, em que temos cada fonte defasada em 120° ligada à respectiva
carga e ao neutro. 
Geração de energia elétrica
Versatilidade (sistemas monofásicos e polifásicos)
Mundialmente, a maior parte da energia elétrica é gerada e distribuída em três fases. A
frequência de operação, no Brasil, é de 60 Hz, assim como nos Estados Unidos, entreta
em alguns países a frequência é de 50 Hz.
Potência instantânea constante Mais econômico
Por conta da quantidade de fios necessária no sistema trifásico em relação ao monofás
ele é mais econômico.
Figura 2 – Sistema trifásico. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 447. (Adaptada).
4.2 Circuito trifásico equilibrado
O sistema trifásico é utilizado pela maioria dos geradores elétricos comerciais. O gerador
trifásico utiliza três enrolamentos posicionados a 120° um do outro em torno do estator. Os
enrolamentos possuem o mesmo número de espiras e giram na mesma velocidade angular,
sendo assim, a amplitude da tensão induzida em cada enrolamento é a mesma, bem como a
forma de onda e a frequência. Portanto, as tensões induzidas nos enrolamentos são geradas de
forma igual e simultaneamente. De modo simplificado, temos um rotor que é um imã rotativo
envolto pelo estator (enrolamento fixo) e os três enrolamentos independentes em torno desse
estator. Quando o rotor gira, o fluxo magnético gerado induz as tensões em cada enrolamento.
A Figura 3 ilustra o gerador trifásico com os terminais de cada fase e o neutro que é ponto
comum entre elas.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 3
Mundialmente, a maior parte da energia elétrica é 
gerada e distribuída em três fases. A frequência de 
operação, no Brasil, é de 60 Hz, assim como nos 
Estados Unidos, entretanto, em alguns países a 
frequência é de 50 Hz.
GERAÇÃO DE 
ENERGIA ELÉTRICA
Em casos que se faz necessário a utilização de 
entradas monofásicas, elas podem ser extraídasdos sistemas trifásicos. Do mesmo modo, em 
aplicações que são necessárias mais fases,
pode-se extrair do sistema base trifásico.
VERSATILIDADE 
(SISTEMAS MONOFÁSICOS 
E POLIFÁSICOS)
A potência instantânea de um sistema trifásico pode 
ser constante, resultando em uma transmissão de 
energia uniforme.
POTÊNCIA INSTANTÂNEA 
CONSTANTE
Por conta da quantidade de fios necessária no 
sistema trifásico em relação ao monofásico, ele é 
mais econômico.
MAIS ECONÔMICO
Figura 2 – Sistema trifásico. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 447. (Adaptada).
4.2 Circuito trifásico equilibrado
O sistema trifásico é utilizado pela maioria dos geradores elétricos comerciais. O gerador
trifásico utiliza três enrolamentos posicionados a 120° um do outro em torno do estator. Os
enrolamentos possuem o mesmo número de espiras e giram na mesma velocidade angular,
sendo assim, a amplitude da tensão induzida em cada enrolamento é a mesma, bem como a
forma de onda e a frequência. Portanto, as tensões induzidas nos enrolamentos são geradas de
forma igual e simultaneamente. De modo simplificado, temos um rotor que é um imã rotativo
envolto pelo estator (enrolamento fixo) e os três enrolamentos independentes em torno desse
estator. Quando o rotor gira, o fluxo magnético gerado induz as tensões em cada enrolamento.
A Figura 3 ilustra o gerador trifásico com os terminais de cada fase e o neutro que é ponto
comum entre elas.
Figura 3 – (a) Gerador trifásico e (b) a disposição dos enrolamentos em torno do estator. 
Fonte: BOYLESTAD, 2012, p. 837. (Adaptada).
O Gráfico 1 ilustra as fases com as formas de onda em cada enrolamento referente à Figura 3,
defasadas em 120° geradas por um gerador trifásico.
Gráfico 1 – Diagrama de fases: tensões geradas por gerador trifásico
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 448. (Adaptado).
Como estudado, os enrolamentos têm uma tensão induzida de mesma amplitude e frequência,
portanto, pode-se considerar cada um deles um gerador monofásico independente, sendo
assim, um sistema trifásico é equivalente a três circuitos monofásicos. Começaremos
estudando as fontes de tensão trifásicas ligadas com quatro fios em formato de estrela,
conforme a Figura 4.
Figura 3 – (a) Gerador trifásico e (b) a disposição dos enrolamentos em torno do estator. 
Fonte: BOYLESTAD, 2012, p. 837. (Adaptada).
O Gráfico 1 ilustra as fases com as formas de onda em cada enrolamento referente à Figura 3,
defasadas em 120° geradas por um gerador trifásico.
Gráfico 1 – Diagrama de fases: tensões geradas por gerador trifásico
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 448. (Adaptado).
Como estudado, os enrolamentos têm uma tensão induzida de mesma amplitude e frequência,
portanto, pode-se considerar cada um deles um gerador monofásico independente, sendo
assim, um sistema trifásico é equivalente a três circuitos monofásicos. Começaremos
estudando as fontes de tensão trifásicas ligadas com quatro fios em formato de estrela,
conforme a Figura 4.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 4
Figura 3 – (a) Gerador trifásico e (b) a disposição dos enrolamentos em torno do estator. 
Fonte: BOYLESTAD, 2012, p. 837. (Adaptada).
O Gráfico 1 ilustra as fases com as formas de onda em cada enrolamento referente à Figura 3,
defasadas em 120° geradas por um gerador trifásico.
Gráfico 1 – Diagrama de fases: tensões geradas por gerador trifásico
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 448. (Adaptado).
Como estudado, os enrolamentos têm uma tensão induzida de mesma amplitude e frequência,
portanto, pode-se considerar cada um deles um gerador monofásico independente, sendo
assim, um sistema trifásico é equivalente a três circuitos monofásicos. Começaremos
estudando as fontes de tensão trifásicas ligadas com quatro fios em formato de estrela,
conforme a Figura 4.
Figura 4 – Sistema trifásico em estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 448. (Adaptada).
O ponto em que as fontes se encontram (parte negativa) chamamos de neutro (n) e as tensões
V , V , V (#PraCegoVer: V a n é igual à V b n que é igual à V c n) são as tensões de fase.
Com as fontes de tensão com mesma amplitude e frequência e defasadas em 120° chegamos
ao conceito de tensões equilibradas (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Portanto:
Com essa diferença de fase entre as fontes e a relação com a disposição dos enrolamentos do
gerador fazemos o estudo da sequência de fases, conforme os cards a seguir.
Sequência de fases
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
an bn cn
Definição Sequência positiva ou abc
Sequência de fases negativa ou acb
Sequência de fases é a ordem cronológica na qual as tensões passam por meio dos seus
valores máximos.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 5
Definição
Sequência de fases é a ordem cronológica na qual as tensões passam por meio dos 
seus valores máximos.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 6
Na sequência de fases positiva temos os fasores girando no sentido anti-horário e passando 
pelo eixo horizontal em uma sequência abcabca.
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 448. (Adaptada).
Sequência positiva ou abc
Na sequência de fases negativa, temos os fasores girando no sentido anti-horário e passando 
pelo eixo horizontal em uma sequência acbacba.
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 448. (Adaptada).
Sequência de fases negativa ou acb
Assim, temos o rotor girando com frequência angular ω (#PraCegoVer: ômega) e dependendo
da sequência em que os fasores atingem o valor de pico no diagrama de fases (como o
apresentado no Gráfico 1) temos a sequência de fases positiva ou negativa, que é uma
característica importante nos sistemas de distribuição de energia trifásicos, determinando, por
exemplo, o sentido de rotação de um motor ligado a uma fonte de energia elétrica
(ALEXANDER; SADIKU, 2013). Ainda sobre a sequência de fases, podemos equacionar os
casos vistos, conforme apresentado nas abas as seguir.
Equacionamento da sequência de fases (os valores de tensão e corrente nesse capítulo
são valores RMS)
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
O conceito-base de toda análise de sistema trifásico depende, portanto, de entender e saber a
sequência de fases utilizada. Com isso, ao realizar a análise da carga, pode-se fazer a conexão
na associação estrela (como estudado na unidade 2), conforme a Figura 5.
(A) Sequência positiva ou abc (B) Sequência de fases negativa ou acb
Assim, V está adiantada em relação a V (#PraCegoVer: V c n)que está adiantada
em relação a V (#PraCegoVer: V b n).
an cn
bn
Assim, temos o rotor girando com frequência angular ω (#PraCegoVer: ômega) e dependendo
da sequência em que os fasores atingem o valor de pico no diagrama de fases (como o
apresentado no Gráfico 1) temos a sequência de fases positiva ou negativa, que é uma
característica importante nos sistemas de distribuição de energia trifásicos, determinando, por
exemplo, o sentido de rotação de um motor ligado a uma fonte de energia elétrica
(ALEXANDER; SADIKU, 2013). Ainda sobre a sequência de fases, podemos equacionar os
casos vistos, conforme apresentado nas abas as seguir.
Equacionamento da sequência de fases (os valores de tensão e corrente nesse capítulo
são valores RMS)
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
O conceito-base de toda análise de sistema trifásico depende, portanto, de entender e saber a
sequência de fases utilizada. Com isso, ao realizar a análise da carga, pode-se fazer a conexão
na associação estrela (como estudado na unidade 2), conforme a Figura 5.
(A) Sequência positiva ou abc (B) Sequência de fases negativa ou acb
Assim, V está adiantada em relação a V (#PraCegoVer: V c n)que está adiantada
em relação a V (#PraCegoVer: V b n).
an cn
bn
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 7
Assim, Van (#PraCegoVer: V a n) está adiantada em relação a Vbn (#PraCegoVer: V b n) que 
está adiantada em relação a Vcn (#PraCegoVer: V c n).
Assim, Van (#PraCegoVer: V a n) está adiantada em relação a Vcn (#PraCegoVer: V c n) que 
está adiantada em relação a Vbn (#PraCegoVer: V b n).
(A) Sequência positiva ou abc
(B) Sequência de fases negativa ou acb
Figura5 – Sistema de três cargas. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 449. (Adaptada).
A carga estará equilibrada quando as impedâncias forem iguais em todas as fases. Repare que
temos as três impedâncias conectadas ao nó neutro. Entretanto faremos o estudo para a carga
conectada em delta, em que não há o ponto de conexão neutro. Nesse caso, temos também a
configuração em delta para as fontes, conforme a Figura 6.
Figura 6 – Configuração delta para as fontes. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 448. (Adaptada).
E assim, temos a configuração em delta para a carga, como ilustrado pela Figura 7. Como pode
se perceber, em toda análise de sistemas trifásicos, estudamos as configurações tanto para as
fontes como para as cargas. Portanto, agora, ilustra-se a representação das cargas em delta.
Figura 7 – Configuração em delta para a carga. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 449. (Adaptada).
Para cargas em equilíbrio (impedâncias em cada fase iguais) conhecemos as relações de
transformação estrela-delta e delta estrela:
Em que:
Portanto, podemos transformar a configuração da carga equilibrada em delta para estrela e
vice-versa. Desse modo, tanto a fonte trifásica como a carga têm a forma delta-estrela. Sendo
que há quatro configurações possíveis: estrela-estrela, estrela-delta, delta-delta, delta-
estrela. Essas configurações serão nossos objetos de estudo a partir de agora.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 8
fontes como para as cargas. Portanto, agora, ilustra-se a representação das cargas em delta.
Figura 7 – Configuração em delta para a carga. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 449. (Adaptada).
Para cargas em equilíbrio (impedâncias em cada fase iguais) conhecemos as relações de
transformação estrela-delta e delta estrela:
Em que:
Portanto, podemos transformar a configuração da carga equilibrada em delta para estrela e
vice-versa. Desse modo, tanto a fonte trifásica como a carga têm a forma delta-estrela. Sendo
que há quatro configurações possíveis: estrela-estrela, estrela-delta, delta-delta, delta-
estrela. Essas configurações serão nossos objetos de estudo a partir de agora.
fontes como para as cargas. Portanto, agora, ilustra-se a representação das cargas em delta.
Figura 7 – Configuração em delta para a carga. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 449. (Adaptada).
Para cargas em equilíbrio (impedâncias em cada fase iguais) conhecemos as relações de
transformação estrela-delta e delta estrela:
Em que:
Portanto, podemos transformar a configuração da carga equilibrada em delta para estrela e
vice-versa. Desse modo, tanto a fonte trifásica como a carga têm a forma delta-estrela. Sendo
que há quatro configurações possíveis: estrela-estrela, estrela-delta, delta-delta, delta-
estrela. Essas configurações serão nossos objetos de estudo a partir de agora.
VAMOS PRATICAR? 
Caro(a) estudante,Vamos colocar em prática o conceito de sequência de fases. Para
o conjunto de tensões, a seguir, determine a sequência de fases:
4.3 Análise por fase
A partir de agora, estudaremos cada configuração dos circuitos trifásicos. Começaremos com a
conexão estrela-estrela equilibrada, pois qualquer sistema trifásico pode ser reduzido a um
sistema estrela-estrela equivalente (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Assim, esse sistema será a
base de resolução para as outras configurações.
4.3.1 Conexão estrela-estrela
Nesse sistema, temos uma fonte conectada em estrela equilibrada e uma carga conectada em
estrela equilibrada, conforme ilustrado pela Figura 8.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 9
Van = 50 ∠ 30°
Vbn = 50 ∠ -210°
Vcn = 50 ∠ -90°
VAMOS PRATICAR? 
Caro(a) estudante,Vamos colocar em prática o conceito de sequência de fases. Para
o conjunto de tensões, a seguir, determine a sequência de fases:
4.3 Análise por fase
A partir de agora, estudaremos cada configuração dos circuitos trifásicos. Começaremos com a
conexão estrela-estrela equilibrada, pois qualquer sistema trifásico pode ser reduzido a um
sistema estrela-estrela equivalente (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Assim, esse sistema será a
base de resolução para as outras configurações.
4.3.1 Conexão estrela-estrela
Nesse sistema, temos uma fonte conectada em estrela equilibrada e uma carga conectada em
estrela equilibrada, conforme ilustrado pela Figura 8.
Figura 8 – Conexão estrela-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 551. (Adaptada).
Note que a impedância por cada fase Z (#PraCegoVer: Z Y) (são iguais, visto que o sistema é
equilibrado), nesse caso, é a soma das impedâncias da fonte Z , da linha Z (#PraCegoVer: Z l
minúsculo) e da carga Z (#PraCegoVer: Z L maiúsculo). Portanto:
Em que:
Z = impedância interna do enrolamento de fase do gerador 
Z = impedância da linha que conecta a carga 
Z = impedância de cada fase da carga
Ainda no circuito, é representada a impedância da linha neutra Z . Podemos simplificar o
sistema, pois Z e Z são muito pequenas comparadas a Z , fazemos, assim, Z = Z
(#PraCegoVer: Z Y é igual a Z L). A configuração simplificada fica:
Y
S l
L
S
l
L
N
S l L Y L
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 10
Figura 8 – Conexão estrela-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 551. (Adaptada).
Note que a impedância por cada fase Z (#PraCegoVer: Z Y) (são iguais, visto que o sistema é
equilibrado), nesse caso, é a soma das impedâncias da fonte Z , da linha Z (#PraCegoVer: Z l
minúsculo) e da carga Z (#PraCegoVer: Z L maiúsculo). Portanto:
Em que:
Z = impedância interna do enrolamento de fase do gerador 
Z = impedância da linha que conecta a carga 
Z = impedância de cada fase da carga
Ainda no circuito, é representada a impedância da linha neutra Z . Podemos simplificar o
sistema, pois Z e Z são muito pequenas comparadas a Z , fazemos, assim, Z = Z
(#PraCegoVer: Z Y é igual a Z L). A configuração simplificada fica:
Y
S l
L
S
l
L
N
S l L Y L
Figura 9 – Conexão estrela-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 451. (Adaptada).
Vamos considerar a sequência de fases positiva para definirmos as tensões entre linha e
neutro, que chamaremos de tensão de fase, e as tensões entre linhas (a-b, b-c e c-a). Assim,
as tensões de fase:
Para a tensão entre a e b, temos:
Passando para a forma retangular:
Voltando para a forma polar:
Realizando a mesma análise, temos:
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 11
Figura 9 – Conexão estrela-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 451. (Adaptada).
Vamos considerar a sequência de fases positiva para definirmos as tensões entre linha e
neutro, que chamaremos de tensão de fase, e as tensões entre linhas (a-b, b-c e c-a). Assim,
as tensões de fase:
Para a tensão entre a e b, temos:
Passando para a forma retangular:
Voltando para a forma polar:
Realizando a mesma análise, temos:
Assim, chamaremos de V a tensão de linha que é √3 (#PraCegoVer: raiz quadrada de três)
vezes o módulo das tensões de fase V . É importante percebermos que as tensões de linha
estão 30° adiantadas em relação as tensões de fase e entre elas há uma diferença de 120°,
como ilustrado na Figura 10.
Figura 10 – Diagrama fasorial das tensões de linha e fase. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 452. (Adaptada).
As correntes de linha são encontradas analisando as malhas da Figura 9. Começamos
calculando I :
L
p
a
Assim, chamaremos de V a tensão de linha que é √3 (#PraCegoVer: raiz quadrada de três)
vezes o módulo das tensões de fase V . É importante percebermos que as tensões de linha
estão 30° adiantadas em relação as tensões de fase e entre elas há uma diferença de 120°,
como ilustrado na Figura 10.
Figura 10 – Diagrama fasorial das tensões de linha e fase. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 452. (Adaptada).
As correntes de linha são encontradas analisando as malhas da Figura 9. Começamos
calculando I :
L
p
a
Calculamos I , e como sabemos a relação de fase entre as tensões de fase, deixamos em
função de I .
Na mesma lógica:
Portanto, a soma das correntes de linha é zero e relacionando com a corrente que passa pela
linha neutra:
Como a corrente na linha neutra é zero, concluímos que a tensãode neutro é zero. Ainda, é
importante ressaltar que, nessa configuração, a corrente de linha é a mesma que a corrente de
fase. 
Uma ferramenta que pode simplificar a análise desses circuitos é a análise por fase, em que
analisamos o circuito monofásico equivalente e encontramos a corrente de linha I e, a partir da
sequência de fases, encontramos as outras correntes de linha. Portanto, podemos analisar
separadamente fase por fase.
b
a
a
VOCÊ QUER LER?
Nosso estudo é sobre sistemas trifásicos com carga equilibradas em suas diferentes
ligações. Para um estudo aprofundado desses sistemas e dos sistemas com cargas
desequilibradas, sugerimos a leitura do livro Introdução a sistemas elétricos de potência,
de Carlos César Barioni de Oliveira, Hernán Pietro Schmidt, Neslon Kagan e Ernesto
João Robba. Disponível na Biblioteca Virtual de Laureate. 
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 12
Calculamos I , e como sabemos a relação de fase entre as tensões de fase, deixamos em
função de I .
Na mesma lógica:
Portanto, a soma das correntes de linha é zero e relacionando com a corrente que passa pela
linha neutra:
Como a corrente na linha neutra é zero, concluímos que a tensão de neutro é zero. Ainda, é
importante ressaltar que, nessa configuração, a corrente de linha é a mesma que a corrente de
fase. 
Uma ferramenta que pode simplificar a análise desses circuitos é a análise por fase, em que
analisamos o circuito monofásico equivalente e encontramos a corrente de linha I e, a partir da
sequência de fases, encontramos as outras correntes de linha. Portanto, podemos analisar
separadamente fase por fase.
b
a
a
VOCÊ QUER LER?
Nosso estudo é sobre sistemas trifásicos com carga equilibradas em suas diferentes
ligações. Para um estudo aprofundado desses sistemas e dos sistemas com cargas
desequilibradas, sugerimos a leitura do livro Introdução a sistemas elétricos de potência,
de Carlos César Barioni de Oliveira, Hernán Pietro Schmidt, Neslon Kagan e Ernesto
João Robba. Disponível na Biblioteca Virtual de Laureate. 
Calculamos I , e como sabemos a relação de fase entre as tensões de fase, deixamos em
função de I .
Na mesma lógica:
Portanto, a soma das correntes de linha é zero e relacionando com a corrente que passa pela
linha neutra:
Como a corrente na linha neutra é zero, concluímos que a tensão de neutro é zero. Ainda, é
importante ressaltar que, nessa configuração, a corrente de linha é a mesma que a corrente de
fase. 
Uma ferramenta que pode simplificar a análise desses circuitos é a análise por fase, em que
analisamos o circuito monofásico equivalente e encontramos a corrente de linha I e, a partir da
sequência de fases, encontramos as outras correntes de linha. Portanto, podemos analisar
separadamente fase por fase.
b
a
a
VOCÊ QUER LER?
Nosso estudo é sobre sistemas trifásicos com carga equilibradas em suas diferentes
ligações. Para um estudo aprofundado desses sistemas e dos sistemas com cargas
desequilibradas, sugerimos a leitura do livro Introdução a sistemas elétricos de potência,
de Carlos César Barioni de Oliveira, Hernán Pietro Schmidt, Neslon Kagan e Ernesto
João Robba. Disponível na Biblioteca Virtual de Laureate. 
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 13
Estudamos o sistema base dos circuitos trifásicos (estrela-estrela), em que a fonte conectada
em estrela equilibrada alimenta uma carga conectada em estrela equilibrada. Agora,
abordaremos o sistema estrela-delta, ou seja, veremos fases e cargas equilibradas, entretanto,
a ligação da fonte é em estrela enquanto a ligação da carga é em delta. 
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VO LTA R
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4.3.2 Conexão estrela-delta 
Esse sistema é talvez o sistema trifásico mais utilizado na prática, ou seja, normalmente as
fontes trifásicas são conectadas em estrela, enquanto as cargas em delta (ALEXANDER;
SADIKU, 2013). Nesse sistema, não temos o fio neutro da fonte para a carga e utilizaremos a
sequência positiva para as tensões de fase. O cálculo das tensões de linha é feito do mesmo
modo que foi feito para a conexão estrela e estrela, ou seja, analisamos as malhas do circuito
(Figura 11). 
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 14
Leia o trecho e analise o circuito a seguir:
“Na prática, se uma fábrica, por exemplo, tivesse apenas cargas trifásicas equilibradas, 
a ausência do fio neutro não teria efeito, pois, idealmente, o sistema estaria sempre 
em equilíbrio. Entretanto, os circuitos de iluminação e os circuitos que alimentam 
equipamentos elétricos de pequeno porte utilizam apenas uma fase e, mesmo que 
essas cargas estejam distribuídas uniformemente pelas três fases, é impossível 
manter constantemente um equilíbrio perfeito entre as fases, já que as lâmpadas e os 
equipamentos são ligados e desligados de maneira independente perturbando a situação 
de equilíbrio. O fio neutro é, portanto, necessário para transportar a corrente resultante de 
volta para o gerador conectado em Y”.
Fonte: BOYLESTAD, R. I. Introdução a análise de circuitos. São Paulo: Pearson, 2012.
O trecho se refere ao fio neutro nos sistemas conectados em Y nas situações de equilíbrio. 
Assim, considerando os conteúdos estudados e o sistema Y-Y (sequência de fase positiva) 
conforme a figura apresentada, analise as afirmativas a seguir.
Fonte: BOYLESTAD, R. I. Introdução análise de circuitos. São Paulo: Pearson, 2012, p. 842. (Adaptada).
Análise de conexão estrela-estrela
Teste seus conhecimentos
Estudamos o sistema base dos circuitos trifásicos (estrela-estrela), em que a fonte conectada
em estrela equilibrada alimenta uma carga conectada em estrela equilibrada. Agora,
abordaremos o sistema estrela-delta, ou seja, veremos fases e cargas equilibradas, entretanto,
a ligação da fonte é em estrela enquanto a ligação da carga é em delta. 
Página não encontrada
VO LTA R
A página que você está procurando não existe, ou foi movida.
4.3.2 Conexão estrela-delta 
Esse sistema é talvez o sistema trifásico mais utilizado na prática, ou seja, normalmente as
fontes trifásicas são conectadas em estrela, enquanto as cargas em delta (ALEXANDER;
SADIKU, 2013). Nesse sistema, não temos o fio neutro da fonte para a carga e utilizaremos a
sequência positiva para as tensões de fase. O cálculo das tensões de linha é feito do mesmo
modo que foi feito para a conexão estrela e estrela, ou seja, analisamos as malhas do circuito
(Figura 11). 
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 15
I. O ângulo de fase θ2 (#PraCegoVer: theta dois) vale −120° (#PraCegoVer: menos cento 
e vinte graus);
II. O ângulo de fase θ3 (#PraCegoVer: theta três) vale +120° (#PraCegoVer: cento e 
vinte graus);
III. O módulo das tensões de linha vale 220 V (o módulo das tensões de linha vale
220 volts);
IV. A corrente de linha Ia vale 24 ∠ −53,13° A (#PraCegoVer: vinte e quatro com fase em 
menos cinquenta e três inteiros e treze centésimos graus em ampères);
V. A corrente de linha Ia vale 24 ∠ −123,13° A (#PraCegoVer: vinte e quatro com fase em 
menos cento e vinte e três inteiros e treze centésimos graus em ampères).
Está correto o que se afirma em:
I e III.a
II e III.c
I, II e IV.b
I, II, IV e V.d
IV e V.e
Gabarito na página 28.
Atividade não pontuada
Figura 11 – Conexão estrela-delta. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 454. (Adaptada).
Temos as seguintes tensões de fase: 
Analisando o circuito, percebemos que as tensões de linha são iguais às tensões de carga
(estão em paralelo): 
E as correntes de fase tem o mesmo módulo e estão defasadas em 120°: 
E os módulos das correntes de linha são √3 vezes o módulo das correntes de fase: 
As correntes de linha estão atrasadas em relação às correntes de fase em 30°. Por fim,
podemos simplificar a análise transformando o circuito da carga que está em delta para estrela
e fazer a análise do circuito monofásico, como mostrado na Figura 12. 
Figura 12 – Circuito monofásico após transformação da carga delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 455. (Adaptada).
Assim, calculamos somente as correntes de linha, pois as correntesde fase são obtidas usando
a relação I = √3 I (#PraCegoVer: I L é igual a raiz quadrada de três vezes I p) e do conceito
de que cada uma das correntes de fase está adiantada 30° da respectiva linha. 
4.3.3 Conexão delta-delta 
Estudaremos, agora, o sistema em que a fonte e a carga estão conectadas em delta
equilibradas. A Figura 13 ilustra o referido sistema. 
Figura 13 – Conexão delta-delta. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 456. (Adaptada).
Para a sequência de fase positiva, temos as tensões de fase: 
As tensões de linha são iguais as tensões de fase: 
L p
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 16
e fazer a análise do circuito monofásico, como mostrado na Figura 12. 
Figura 12 – Circuito monofásico após transformação da carga delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 455. (Adaptada).
Assim, calculamos somente as correntes de linha, pois as correntes de fase são obtidas usando
a relação I = √3 I (#PraCegoVer: I L é igual a raiz quadrada de três vezes I p) e do conceito
de que cada uma das correntes de fase está adiantada 30° da respectiva linha. 
4.3.3 Conexão delta-delta 
Estudaremos, agora, o sistema em que a fonte e a carga estão conectadas em delta
equilibradas. A Figura 13 ilustra o referido sistema. 
Figura 13 – Conexão delta-delta. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 456. (Adaptada).
Para a sequência de fase positiva, temos as tensões de fase: 
As tensões de linha são iguais as tensões de fase: 
L p
e fazer a análise do circuito monofásico, como mostrado na Figura 12. 
Figura 12 – Circuito monofásico após transformação da carga delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 455. (Adaptada).
Assim, calculamos somente as correntes de linha, pois as correntes de fase são obtidas usando
a relação I = √3 I (#PraCegoVer: I L é igual a raiz quadrada de três vezes I p) e do conceito
de que cada uma das correntes de fase está adiantada 30° da respectiva linha. 
4.3.3 Conexão delta-delta 
Estudaremos, agora, o sistema em que a fonte e a carga estão conectadas em delta
equilibradas. A Figura 13 ilustra o referido sistema. 
Figura 13 – Conexão delta-delta. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 456. (Adaptada).
Para a sequência de fase positiva, temos as tensões de fase: 
As tensões de linha são iguais as tensões de fase: 
L p
e fazer a análise do circuito monofásico, como mostrado na Figura 12. 
Figura 12 – Circuito monofásico após transformação da carga delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 455. (Adaptada).
Assim, calculamos somente as correntes de linha, pois as correntes de fase são obtidas usando
a relação I = √3 I (#PraCegoVer: I L é igual a raiz quadrada de três vezes I p) e do conceito
de que cada uma das correntes de fase está adiantada 30° da respectiva linha. 
4.3.3 Conexão delta-delta 
Estudaremos, agora, o sistema em que a fonte e a carga estão conectadas em delta
equilibradas. A Figura 13 ilustra o referido sistema. 
Figura 13 – Conexão delta-delta. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 456. (Adaptada).
Para a sequência de fase positiva, temos as tensões de fase: 
As tensões de linha são iguais as tensões de fase: 
L p
As correntes de fase estão atrasadas em 30° em relação às correntes de linha e são calculadas
do seguinte modo: 
E a relação entre o módulo da corrente de linha e da corrente de fase é: 
4.3.4 Conexão delta-estrela 
Faremos a mesma análise dos itens anteriores e encontraremos as correntes de fase e linha
para o sistema em que a fonte está conectada em delta e a carga em estrela (ambas
equilibradas). Assim, temos as mesmas tensões de fase para a sequência positiva: 
Analisando a malha aANBba, temos a seguinte equação para investigarmos as correntes de
fase e as correntes de linha (são iguais): 
Simplificando: 
Assim chegamos à relação: 
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 17
As correntes de fase estão atrasadas em 30° em relação às correntes de linha e são calculadas
do seguinte modo: 
E a relação entre o módulo da corrente de linha e da corrente de fase é: 
4.3.4 Conexão delta-estrela 
Faremos a mesma análise dos itens anteriores e encontraremos as correntes de fase e linha
para o sistema em que a fonte está conectada em delta e a carga em estrela (ambas
equilibradas). Assim, temos as mesmas tensões de fase para a sequência positiva: 
Analisando a malha aANBba, temos a seguinte equação para investigarmos as correntes de
fase e as correntes de linha (são iguais): 
Simplificando: 
Assim chegamos à relação: 
Sabemos, também, que I está atrasada em relação a I por 120° (sequência de fase positiva): 
Portanto, colocando I em evidência: 
Passando para a forma retangular e simplificando: 
E as outras correntes de linha: 
Figura 14 – Conexão delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 458. (Adaptada).
Ainda, podemos fazer a conversão das fontes conectadas em delta para estrela e chegarmos
na conexão base estrela-estrela. Para isso, dividimos cada tensão de fase em delta por √3
(#PraCegoVer: raiz quadrada de três) e deslocamos a fase em -30° (#PraCegoVer: menos
trinta graus) e chegamos as seguintes tensões de fase: 
b a
aUNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 18
Sabemos, também, que I está atrasada em relação a I por 120° (sequência de fase positiva): 
Portanto, colocando I em evidência: 
Passando para a forma retangular e simplificando: 
E as outras correntes de linha: 
Figura 14 – Conexão delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 458. (Adaptada).
Ainda, podemos fazer a conversão das fontes conectadas em delta para estrela e chegarmos
na conexão base estrela-estrela. Para isso, dividimos cada tensão de fase em delta por √3
(#PraCegoVer: raiz quadrada de três) e deslocamos a fase em -30° (#PraCegoVer: menos
trinta graus) e chegamos as seguintes tensões de fase: 
b a
a
Sabemos, também, que I está atrasada em relação a I por 120° (sequência de fase positiva): 
Portanto, colocando I em evidência: 
Passando para a forma retangular e simplificando: 
E as outras correntes de linha: 
Figura 14 – Conexão delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 458. (Adaptada).
Ainda, podemos fazer a conversão das fontes conectadas em delta para estrela e chegarmos
na conexão base estrela-estrela. Para isso, dividimos cada tensão de fase em delta por √3
(#PraCegoVer: raiz quadrada de três) e deslocamos a fase em -30° (#PraCegoVer: menos
trinta graus) e chegamos as seguintes tensões de fase: 
b a
a
Assim, chegamos no sistema estrela-estrela base e podemos utilizar o sistema monofásico para
simplificar a análise, como ilustrado na Figura 15. 
Figura 15 – Circuito equivalente monofásico após conversão de conexão da fonte delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 458. (Adaptada).
Facilmente chegamos na mesma expressão de corrente de linha: 
Estudamos quatro conexões diferentes para os sistemas trifásicos e são muitas equações para
cada caso. Assim, as abas a seguir resumem as equações para cada tipo de conexão entre
fonte e carga para sequência de fase positiva. 
Conexões dos sistemas trifásicos equilibrados
Conexão Correntes/tensões 
de fase
Correntes/tensões 
de linha
Correntes idênticas às
correntes de linha.
Estrela-estrela
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 19
Assim, chegamos no sistema estrela-estrela base e podemos utilizar o sistema monofásico para
simplificar a análise, como ilustrado na Figura 15. 
Figura 15 – Circuito equivalente monofásico após conversão de conexão da fonte delta-estrela. 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 458. (Adaptada).
Facilmente chegamos na mesma expressão de corrente de linha: 
Estudamos quatro conexões diferentes para os sistemas trifásicos e são muitas equações para
cada caso. Assim, as abas a seguir resumem as equações para cada tipo de conexão entre
fonte e carga para sequência de fase positiva. 
Conexões dos sistemas trifásicos equilibrados
Conexão Correntes/tensões 
de fase
Correntes/tensões 
de linha
Correntes idênticas às
correntes de linha.
Estrela-estrela
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 20
Conexão Correntes/tensõesde fase
Correntes/tensõesde linha
Estrela-estrela
Correntes idênticas às 
correntes de linha.
Estrela-delta
Delta-delta
Tensões idênticas às
tensões de fase:
Triângulo-estrela
Correntes idênticas às
correntes de linha.
Tensões idênticas às
tensões de fase:
Embora as configurações dos sistemas trifásicos possam parecer muito complexas pela
quantidade de elementos e conceitos no próprio circuito, repare que a análise pode ser muito
simplificada a partir do momento que você entende a diferença dos elementos de fase e de
linha em cada configuração.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 21
Estrela-delta
Delta-delta
Tensões idênticas às 
tensões de fase:
Triângulo-estrela
Correntes idênticas às 
correntes de linha.
Tensões idênticas às 
tensões de fase:
Agora que estudamos as formas dos circuitos trifásicos e suas diferentes configurações e
equacionamentos, entenderemos como é realizado o cálculo de potência nesses circuitos.
4.4 Circuitos trifásicos: teoremas e análise
Agora, vamos nos concentrar em fazer a análise de potência nos circuitos trifásicos. Partiremos
do conceito que a potência instantânea total em um sistema trifásico equilibrado é constante, ou
seja, ela não muda com o tempo à medida que a potência em cada fase muda tanto para a
carga em estrela como em delta (ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
Assim, a potência instantânea total não é dependente do tempo e chamaremos a potência
média por fase de P que representa a potência total sobre três. Logo, temos que:
A potência reativa por fase é:
A potência aparente por fase é:
VOCÊ SABIA?
No Brasil, a maior parte da iluminação e dos aparelhos domésticos opera com 127 V ou 220 V,
60 Hz (#PraCegoVer: cento e vinte e sete volts ou duzentos e vinte volts, sessenta hertz),
corrente alternada monofásica. A concessionária de energia elétrica local alimenta a casa com
um sistema CA trifilar. Normalmente, a tensão de linha de, por exemplo, 12.000 V
(#PraCegoVer: doze mil volts) é reduzida para 127/220 V (#PraCegoVer: cento e vinte e sete,
barra, duzentos e vinte) com um transformador. Os três fios provenientes do transformador são,
normalmente, coloridos: vermelho, preto e branco (tensão, tensão, neutro). Sendo a linha
vermelha e preta opostas em fase e a branca a neutra. Uma vez que a maioria dos
eletrodomésticos é projetada para operar com 127 V(#PraCegoVer: cento e vinte e sete volts),
a iluminação e os aparelhos são ligados a linhas de 120 V (#PraCegoVer: cento e vinte volts)
em paralelo. Eletrodomésticos potentes que consomem grandes correntes, como ar-
condicionado, máquinas de lavar louça e roupa e fornos, são ligados a linhas de 220 V
(#PraCegoVer: duzentos e vinte volts) (ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
p
Estrela-delta
Delta-delta
Tensões idênticas às
tensões de fase:
Triângulo-estrela
Correntes idênticas às
correntes de linha.
Tensões idênticas às
tensões de fase:
Embora as configurações dos sistemas trifásicos possam parecer muito complexas pela
quantidade de elementos e conceitos no próprio circuito, repare que a análise pode ser muito
simplificada a partir do momento que você entende a diferença dos elementos de fase e de
linha em cada configuração.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 22
E a potência complexa é:
Note que em negrito temos Sp que é a potência complexa por fase e V e I representando a
tensão e a corrente de fase, respectivamente, com módulos V e I . Desse modo, somamos as
potências médias nas fases para obter a potência média total:
Essa equação pode ser expressa assim tanto para cargas conectadas em estrela como delta,
pois no primeiro caso I = I (#PraCegoVer: I L é igual a I P), mas V = √3 V (#PraCegoVer:
V L é igual à raiz quadrada de três vezes V p), enquanto no segundo caso I = √3 I
(#PraCegoVer: I L é igual à raiz quadrada de três vezes I p) e V = V (#PraCegoVer: V L é
igual a V p). Desse modo, a equação sempre é compensada no termo √3 (#PraCegoVer: raiz
quadrada de três) para ambos os casos. A potência complexa total fica:
Sendo que Z é a impedância de carga por fase Z = Z ∠θ (#ParaCegoVer: Z p é igual a Z p
com fase theta). Assim, podemos escrever a potência complexa na forma retangular e polar do
seguinte modo:
Lembrando que θ (#PraCegoVer: theta) é o ângulo de fase da impedância da carga ou o
ângulo entre a tensão de fase e a corrente de fase. Ainda, os valores de tensão e corrente são
os valores RMS. 
Para finalizarmos a nossa abordagem sobre os circuitos trifásicos, é importante entendermos
que tanto as ligações de fonte em delta como em estrela têm aplicações práticas fundamentais.
A conexão estrela equilibrada é utilizada para transmissão de energia elétrica a longas
distâncias, em que as perdas de potência devem ser mínimas. Nesse caso, a tensão em linha é
√3 (#PraCegoVer: raízes quadrada de três) vezes maior do que a conexão em delta. Quando
falamos de tensão elétrica residencial, precisamos de potências monofásicas, assim, utilizamos
p P
p p
L p L p
L p
L p
p p p
Agora que estudamos as formas dos circuitos trifásicos e suas diferentes configurações e
equacionamentos, entenderemos como é realizado o cálculo de potência nesses circuitos.
4.4 Circuitos trifásicos: teoremas e análise
Agora, vamos nos concentrar em fazer a análise de potência nos circuitos trifásicos. Partiremos
do conceito que a potência instantânea total em um sistema trifásico equilibrado é constante, ou
seja, ela não muda com o tempo à medida que a potência em cada fase muda tanto para a
carga em estrela como em delta (ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
Assim, a potência instantânea total não é dependente do tempo e chamaremos a potência
média por fase de P que representa a potência total sobre três. Logo, temos que:
A potência reativa por fase é:
A potência aparente por fase é:
VOCÊ SABIA?
No Brasil, a maior parte da iluminação e dos aparelhos domésticos opera com 127 V ou 220 V,
60 Hz (#PraCegoVer: cento e vinte e sete volts ou duzentos e vinte volts, sessenta hertz),
corrente alternada monofásica. A concessionária de energia elétrica local alimenta a casa com
um sistema CA trifilar. Normalmente, a tensão de linha de, por exemplo, 12.000 V
(#PraCegoVer: doze mil volts) é reduzida para 127/220 V (#PraCegoVer: cento e vinte e sete,
barra, duzentos e vinte) com um transformador. Os três fios provenientes do transformador são,
normalmente, coloridos: vermelho, preto e branco (tensão, tensão, neutro). Sendo a linha
vermelha e preta opostas em fase e a branca a neutra. Uma vez que a maioria dos
eletrodomésticos é projetada para operar com 127 V(#PraCegoVer: cento e vinte e sete volts),
a iluminação e os aparelhos são ligados a linhas de 120 V (#PraCegoVer: cento e vinte volts)
em paralelo. Eletrodomésticos potentes que consomem grandes correntes, como ar-
condicionado, máquinas de lavar louça e roupa e fornos, são ligados a linhas de 220 V
(#PraCegoVer: duzentos e vinte volts) (ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
p
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 23
a conexão delta para obtermos circuitos monofásicos a partir da fonte trifásica. Já no caso
industrial, em que se faz necessário potências elevadíssimas, o uso de fontes trifásicas é
essencial.
Página não encontrada
VO LTA R
A página que você está procurando não existe, ou foi movida.
Síntese
Nesta unidade, abordamos os circuitos trifásicos. Vimos a diferença entre circuitos monofásicos
e trifásicos e a forma em que ambos são ligados, bem como a quantidade de fios e disposições
de cada um. Entendemos como funciona um gerador trifásico e o que representa o equilíbrio
nesse sistema. Estudamos a sequência de fases que é a ordem na qual ocorrem as tensões de
fase no referido gerador. Na sequência positiva (abc) V está adiantada em 120° em relação a
V que está adiantada em 120° em relação a V . Na sequência negativa (acb) V está
adiantada em 120° em relação a V que está adiantada 120° em relação a V . Analisamos
as diferentes configurações de fonte trifásica e carga (estrela-estrela; estrela-delta; delta-
estrela; delta-delta) e concluímos que o modo mais simples é transformar no equivalente basean
bn cn an
cn bn
E a potência complexa é:
Note que em negrito temos Sp que é a potência complexa por fase e V e I representando a
tensão e a corrente de fase, respectivamente, com módulos V e I . Desse modo, somamos as
potências médias nas fases para obter a potência média total:
Essa equação pode ser expressa assim tanto para cargas conectadas em estrela como delta,
pois no primeiro caso I = I (#PraCegoVer: I L é igual a I P), mas V = √3 V (#PraCegoVer:
V L é igual à raiz quadrada de três vezes V p), enquanto no segundo caso I = √3 I
(#PraCegoVer: I L é igual à raiz quadrada de três vezes I p) e V = V (#PraCegoVer: V L é
igual a V p). Desse modo, a equação sempre é compensada no termo √3 (#PraCegoVer: raiz
quadrada de três) para ambos os casos. A potência complexa total fica:
Sendo que Z é a impedância de carga por fase Z = Z ∠θ (#ParaCegoVer: Z p é igual a Z p
com fase theta). Assim, podemos escrever a potência complexa na forma retangular e polar do
seguinte modo:
Lembrando que θ (#PraCegoVer: theta) é o ângulo de fase da impedância da carga ou o
ângulo entre a tensão de fase e a corrente de fase. Ainda, os valores de tensão e corrente são
os valores RMS. 
Para finalizarmos a nossa abordagem sobre os circuitos trifásicos, é importante entendermos
que tanto as ligações de fonte em delta como em estrela têm aplicações práticas fundamentais.
A conexão estrela equilibrada é utilizada para transmissão de energia elétrica a longas
distâncias, em que as perdas de potência devem ser mínimas. Nesse caso, a tensão em linha é
√3 (#PraCegoVer: raízes quadrada de três) vezes maior do que a conexão em delta. Quando
falamos de tensão elétrica residencial, precisamos de potências monofásicas, assim, utilizamos
p P
p p
L p L p
L p
L p
p p p
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 24
Utilizamos da sequência de fases para os sistemas trifásicos equilibrados para obter 
as correntes de linha a partir de uma fase analisada. Assim, em muitos casos, inclusive 
para os cálculos de potência precisamos analisar apenas uma fase do circuito. O mesmo 
conceito é válido para sistemas trifilares, mesmo sem o fio neutro como o circuito a seguir:
Considerando o circuito apresentado e os conteúdos estudados, analise as afirmativas a 
seguir.
I. A corrente Ia vale 6,81 ∠ −21,8° A (#PraCegoVer: seis inteiros e oitenta e um centésimos 
com fase em menos vinte e um inteiros e oito décimos em ampères);
II. As correntes Ib e Ic são respectivamente 6,81 ∠ −141,8° A (#PraCegoVer: seis inteiros 
e oitenta e um centésimos com fase em menos cento e quarenta e um inteiros e oito 
décimos em ampères) e 6,81 ∠ −261,8° A (#PraCegoVer: seis inteiros e oitenta e um 
centésimos com fase em menos duzentos e sessenta e um inteiros e oito décimos em 
ampères);
III. A potência complexa SS na fonte é −(2087 + j834,6) V A (#PraCegoVer: menos a soma 
entre dois mil e oitenta e sete com oitocentos e trinta e quatro inteiros e seis décimos 
imaginário em volt-ampères);
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 453. (Adaptada).
Análise de circuito trifásico
Teste seus conhecimentos
a conexão delta para obtermos circuitos monofásicos a partir da fonte trifásica. Já no caso
industrial, em que se faz necessário potências elevadíssimas, o uso de fontes trifásicas é
essencial.
Página não encontrada
VO LTA R
A página que você está procurando não existe, ou foi movida.
Síntese
Nesta unidade, abordamos os circuitos trifásicos. Vimos a diferença entre circuitos monofásicos
e trifásicos e a forma em que ambos são ligados, bem como a quantidade de fios e disposições
de cada um. Entendemos como funciona um gerador trifásico e o que representa o equilíbrio
nesse sistema. Estudamos a sequência de fases que é a ordem na qual ocorrem as tensões de
fase no referido gerador. Na sequência positiva (abc) V está adiantada em 120° em relação a
V que está adiantada em 120° em relação a V . Na sequência negativa (acb) V está
adiantada em 120° em relação a V que está adiantada 120° em relação a V . Analisamos
as diferentes configurações de fonte trifásica e carga (estrela-estrela; estrela-delta; delta-
estrela; delta-delta) e concluímos que o modo mais simples é transformar no equivalente base
an
bn cn an
cn bn
(estrela-estrela) e a análise fase por fase. Analisamos encontrando a corrente de linha (gerador
para carga) e a tensão de linha (par de linha), a corrente de fases (fase para carga) e a tensão
de fases. Por fim, fizemos a análise de potência nos circuitos trifásicos.
SAIBA MAIS
Título: Introdução a análise de circuitos 
Autor: Robert L. Boylestad 
Editor: Pearson 
Ano: 2012 
Comentário: Sugerimos a leitura do capítulo 23 para estudar de modo
aprofundado a demonstração do equacionamento dos sistemas trifásicos e a
generalização dos sistemas polifásicos. 
Onde encontrar: Biblioteca Virtual da Laureate 
Título: Introdução a sistemas elétricos de Potência 
Autores(as): Carlos Cesar Barioni de Oliveira, Hernán Prietro Schmidt, Nelson
Kagan e Ernesto Jõao Robba Favarin 
Editor: Blucher 
Ano: 2000 
Comentário: Sugerimos a leitura da unidade 1.6 para uma análise aprofundada
da potência em circuitos trifásicos. 
Onde encontrar: Biblioteca Virtual da Laureate
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 25
IV. A potência real absorvida na carga é 2.191,7 W (#PraCegoVer: dois mil cento e 
noventa e um inteiros e sete décimos watts);
V. A potência reativa absorvida na carga é 831,4 VAR (#PraCegoVer: oitocentos e trinta e 
um inteiros e quatro décimos volt-ampère reativo).
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.a
II e III.c
I, II e III.b
IV e V.d
I, III e IV.e
Gabarito na página 30.
Atividade não pontuada
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 26
SAIBA MAIS
Título: Introdução a análise de circuitos
Autor: Robert L. Boylestad
Editor: Pearson
Ano: 2012
Comentário: Sugerimos a leitura do capítulo 23 para estudar de modo aprofundado a demonstração 
do equacionamento dos sistemas trifásicos e a generalização dos sistemas polifásicos.
Onde encontrar: Biblioteca Virtual da Laureate
Título: Introdução a sistemas elétricos de Potência
Autores(as): Carlos Cesar Barioni de Oliveira, Hernán Prietro Schmidt, Nelson Kagan e Ernesto Jõao 
Robba Favarin
Editor: Blucher
Ano: 2000
Comentário: Sugerimos a leitura da unidade 1.6 para uma análise aprofundada da potência em 
circuitos trifásicos.
Onde encontrar: Biblioteca Virtual da Laureate
Título: Dimensão da crise e a explosão das tarifas de energia elétrica
Autores(as): Carlos Augusto Ramos Kirchner
Ano: 2015
Comentário: A partir da leitura desse artigo, é possível relacionar o conteúdo estudado com a parte 
econômica do setor energético.
Onde encontrar: <http://www.revistas.usp.br/revusp/article/view/106756>.
Referências bibliográficas 
Título: Dimensão da crise e a explosão das tarifas de energia elétrica 
Autores(as): Carlos Augusto Ramos Kirchner 
Ano: 2015 
Comentário: A partir da leitura desse artigo, é possível relacionar o conteúdo
estudado com a parte econômica do setor energético. 
Onde encontrar? <http://www.revistas.usp.br/revusp/article/view/106756>.
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. São
Paulo: Editora Bookman, 2013. 
BARRETO, G. et al. Circuitos de corrente alternada: fundamentos e prática. São Paulo:
Oficina de Textos, 2012. 
BOYLESTAD, R. I. Introdução a análise de circuitos. São Paulo: Pearson, 2012. 
GÓES, A. R. T.; GÓES, H. C. Números complexos e equações algébricas. Curitiba:
Intersaberes, 2015. 
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Makron Books, 2000. 
KIRCHNER, C. A. R. Dimensão da crise e a explosão das tarifas de energia elétrica. Revista
USP, São Paulo, n. 104, p. 91-102, 2015. Disponível em:
<http://www.revistas.usp.br/revusp/article/view/106756>. Acesso em: 27 out. 2020. 
OLIVEIRA, C. C. et al. Introdução a sistemas elétricos de potência. 2. ed. São Paulo:
Blucher, 2000. 
RASHID, M, H. Eletrônica de Potência. São Paulo: Editora Pearson, 2014.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 27
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 28
Análisede conexão estrela-estrela
Gabarito
Leia o trecho e analise o circuito a seguir:
“Na prática, se uma fábrica, por exemplo, tivesse apenas cargas trifásicas equilibradas, 
a ausência do fio neutro não teria efeito, pois, idealmente, o sistema estaria sempre 
em equilíbrio. Entretanto, os circuitos de iluminação e os circuitos que alimentam 
equipamentos elétricos de pequeno porte utilizam apenas uma fase e, mesmo que 
essas cargas estejam distribuídas uniformemente pelas três fases, é impossível 
manter constantemente um equilíbrio perfeito entre as fases, já que as lâmpadas e os 
equipamentos são ligados e desligados de maneira independente perturbando a situação 
de equilíbrio. O fio neutro é, portanto, necessário para transportar a corrente resultante de 
volta para o gerador conectado em Y”.
Fonte: BOYLESTAD, R. I. Introdução a análise de circuitos. São Paulo: Pearson, 2012.
O trecho se refere ao fio neutro nos sistemas conectados em Y nas situações de equilíbrio. 
Assim, considerando os conteúdos estudados e o sistema Y-Y (sequência de fase positiva) 
conforme a figura apresentada, analise as afirmativas a seguir.
I. O ângulo de fase θ2 (#PraCegoVer: theta dois) vale −120° (#PraCegoVer: menos cento 
e vinte graus);
II. O ângulo de fase θ3 (#PraCegoVer: theta três) vale +120° (#PraCegoVer: cento e 
vinte graus);
III. O módulo das tensões de linha vale 220 V (o módulo das tensões de linha vale
220 volts);
IV. A corrente de linha Ia vale 24 ∠ −53,13° A (#PraCegoVer: vinte e quatro com fase em 
menos cinquenta e três inteiros e treze centésimos graus em ampères);
Fonte: BOYLESTAD, R. I. Introdução análise de circuitos. São Paulo: Pearson, 2012, p. 842. (Adaptada).
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 29
V. A corrente de linha Ia vale 24 ∠ −123,13° A (#PraCegoVer: vinte e quatro com fase em 
menos cento e vinte e três inteiros e treze centésimos graus em ampères).
Está correto o que se afirma em:
I, II, IV e V.d
Como a sequência de fase é positiva (abc) temos:
θ2 = −120°
θ3 = +120°
#PraCegoVer: Theta dois é igual a menos cento e vinte graus e theta três é igual a cento e 
vinte graus.
O módulo é calculado da seguinte forma:
VL = √3Vp
VL = √3 ∙ 120 = 280 V
#PraCegoVer: V L é igual à raiz quadrada de três vezes V p. Assim, V L é igual à raiz 
quadrada de três vezes cento de vinte, que resulta em duzentos e oito volts.
E temos Van = 120 ∠ 0° V (#PraCegoVer: V a n é igual a cento e vinte com fase em zero 
grau em volts), portanto, a corrente de linha Ia fica:
Ia = = = = 24 ∠ −53,16° A
Van
ZY
120 ∠ 0°
3 + j4
120 ∠ 0°
5 ∠ 53,13°
Ib = 24 ∠ −173,13° A
#PraCegoVer: I a é igual a V a n sobre Z Y, que é igual a cento e vinte com fase em zero 
grau, sobre três mais quatro imaginário, que é igual a cento e vinte com fase em zero grau 
sobre cinco com fase em cinquenta e três inteiros e treze centésimos graus, que é igual a 
vinte e quatro com fase em menos cinquenta e três inteiros e treze centésimos graus em 
ampères. I b é igual a vinte e quatro com fase em menos cento e setenta e três inteiros e 
treze centésimos graus em ampères.
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 30
Análise de circuito trifásico
Utilizamos da sequência de fases para os sistemas trifásicos equilibrados para obter 
as correntes de linha a partir de uma fase analisada. Assim, em muitos casos, inclusive 
para os cálculos de potência precisamos analisar apenas uma fase do circuito. O mesmo 
conceito é válido para sistemas trifilares, mesmo sem o fio neutro como o circuito a seguir:
Considerando o circuito apresentado e os conteúdos estudados, analise as afirmativas a 
seguir.
I. A corrente Ia vale 6,81 ∠ −21,8° A (#PraCegoVer: seis inteiros e oitenta e um centésimos 
com fase em menos vinte e um inteiros e oito décimos em ampères);
II. As correntes Ib e Ic são respectivamente 6,81 ∠ −141,8° A (#PraCegoVer: seis inteiros 
e oitenta e um centésimos com fase em menos cento e quarenta e um inteiros e oito 
décimos em ampères) e 6,81 ∠ −261,8° A (#PraCegoVer: seis inteiros e oitenta e um 
centésimos com fase em menos duzentos e sessenta e um inteiros e oito décimos em 
ampères);
III. A potência complexa SS na fonte é −(2087 + j834,6) V A (#PraCegoVer: menos a soma 
entre dois mil e oitenta e sete com oitocentos e trinta e quatro inteiros e seis décimos 
imaginário em volt-ampères);
IV. A potência real absorvida na carga é 2.191,7 W (#PraCegoVer: dois mil cento e 
noventa e um inteiros e sete décimos watts);
V. A potência reativa absorvida na carga é 831,4 VAR (#PraCegoVer: oitocentos e trinta e 
um inteiros e quatro décimos volt-ampère reativo).
Está correto apenas o que se afirma em:
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 453. (Adaptada).
 I, II e III.b
UNIDADE 1. NOME DA UNIDADE 31
Obtemos Ia a partir da análise monofásica:
#PraCegoVer: I a é igual à V a n sobre Z Y, que é igual a cento e dez com fase zero grau 
sobre dezesseis inteiros e cento e cinquenta e cinco milésimos com fase em vinte e um 
inteiros e oito décimos graus, que é igual a seis inteiros e oitenta e um centésimos com 
fase em menos vinte e um inteiros e oito décimos ampères.
Como temos a sequência positiva:
Ib = 6,81 ∠ −141,8° A
#PraCegoVer: I b é igual a seis inteiros e oitenta e um centésimos com fase em menos 
cento e quarenta e um inteiros e oito décimos ampères.
Ic = 6,81 ∠ −261,8° A
#PraCegoVer: I c é igual a seis inteiros e oitenta e um centésimos com fase em menos 
duzentos e sessenta e um inteiros e oito décimos ampères.
A potência complexa absorvida na fonte:
SS = −3VpIp* = −3(110 ∠ 0°)(6,81 ∠ 21,8°) = −2247 ∠ 21,8° = −(2087 + j834,6) V A
#PraCegoVer: S s é igual a menos três vezes V p vezes I p conjugado, que é igual a 
menos três vezes cento e dez com fase zero graus vezes seis inteiros e oitenta e um 
centésimos com fase em menos vinte e um inteiros e oito décimos graus, que é igual a 
menos dois mil duzentos e quarenta e sete com fase vinte e um inteiros e oito décimos 
graus, que é igual a menos a somatória de dois mil e oitenta e sete com oitocentos e trinta 
e quatro inteiros e seis décimos imaginário em volt-ampère.
E temos que na carga a potência complexa absorvida é:
SL = 3|Ip|2Zp
SL = 3(6,81)
212,81 ∠ 38,66° = (1392 + j1113) V A
#PraCegoVer: S L é igual a três vezes o módulo de I P ao quadrado vezes Z p, sendo 
que S L é igual a três vezes seis inteiros e oitenta e um centésimos ao quadrado vezes 
dozes inteiros e oitenta e um centésimos com fase trinta e oito inteiros e sessenta e seis 
centésimos graus, que é igual à soma de mil trezentos e noventa e dois e mil cento e treze 
imaginário em volt-ampère.
Assim, a potência real absorvida é 1392 W (PraCegoVer: mil trezentos e noventa e dois 
watts) e a reativa 1113 VAR (PraCegoVer: mil cento e treze volt-ampere reativo).
Ia = = = 61,8 ∠ −21,8° A
Van
ZY
110 ∠ 0°
16,155 ∠ 21,8°