Bases e Conversão de bases

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
UNIDADE NOVA AMÉRICA – RIO DE JANEIRO, RJ 
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO 
GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
TRABALHO DISCIPLINAR 
BASES DE NUMERAÇÃO: 
CONVERSÕES EM MÚLTIPLAS BASES E OPERAÇÕES COM DIFERENTES BASES 
 
 
ARQUITETURA E ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES (ARA0039) - TURMA 3001 
 
 
 
 
 
 
Fabio Pinto Xavier 
202103057225 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2021 
Bases Numéricas 
É simplesmente um conjunto de símbolos ou algarismos que usamos para representar uma certa 
quantidade ou número, tendo um número como referência, como base, para definir os demais. 
Historicamente, existiram vários sistemas de numeração com bases diferentes, como por exem-
plo, os babilônios, que adotavam um sistema de numeração cuja base é 60, usado até hoje para medir ângu-
los e tempo. Acredita-se que o primeiro sistema de numeração foi o decimal (base dez), baseado na quanti-
dade total dos dedos da mão. 
Base decimal 
O sistema decimal é o mais utilizado, em praticamente todas as formas de medição. É formado 
por dez algarismos a partir do 0 (zero), um para cada casa numérica. Assim, a contagem da base decimal 
pode ser expressa pela sequência de números abaixo: 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
O 9 é o algarismo de maior valor numérico dessa base; para poder representar um número maior 
do que 9, adicionamos um dígito ao número original, e esse dígito deve ter o mesmo peso do número repre-
sentado até então, somando mais um. No caso da base decimal, se o último número representado foi 9, 
então o peso do próximo dígito é 9 + 1 = 10. Fazendo a sequência, temos: 
 
10 11 12 13 … 97 98 99 
 
As possibilidades esgotaram-se novamente, e todos os dígitos do número já apresentam o alga-
rismo de maior valor numérico. Novamente então adicionamos um dígito extra ao número, sendo o seu peso 
igual a 99 + 1 = 100, gerando então: 
 
100 101 … 
 
A sequência se repete indefinidamente, gerando o padrão de representação dos números na 
base decimal. Deduzimos então, para a base decimal, que o peso de um dígito qualquer N, sendo N a posição 
do dígito da direita para a esquerda iniciando pelo zero, é 10N ou, de forma mais genérica, baseN. Vejamos 
abaixo: 
Dígito 4 3 2 1 0 
Peso 10000 = 104 1000 = 103 100 = 102 10 = 101 1 = 100 
Como o foco deste trabalho é a área da computação, veremos outras bases numéricas, como 
as bases binária, octal e hexadecimal, também utilizadas na área da eletrônica. Assim, conforme a demanda 
e utilização de equipamentos eletrônicos aumenta, entender o funcionamento destas bases se torna ainda 
mais importante. 
Base binária 
Uma das bases mais utilizadas pelos programadores, onde apenas os números 0 e 1 assumem 
as casas numéricas, pois são utilizados para controlar o funcionamento (1) ou o desligamento (0) dos com-
ponentes. Cada um deles representa 1 bit. A nomenclatura é diferente da decimal, por exemplo, 10 não é 
“dez”, mas sim “Um – Zero”, 100 é “Um – Zero – Zero”, e assim por diante. 
A conversão do sistema decimal para o sistema binário se dá da seguinte forma: 
A conversão numérica de números decimais para números bi-
nários é feita através de divisões consecutivas, onde dividimos o número 
da base decimal por 2 até que não seja mais divisível. Ao final, o número 
binário é o resultado da última divisão com os restos das demais divisões, 
"de baixo para cima". Vejamos na prática, convertendo o número 45 da 
base decimal para a base binária: 
45(10) = 1 0 1 1 0 1 (2) 
Base octal 
O sistema octal possui estrutura semelhante ao decimal, porém, a base é o 8, ou seja, utiliza 8 
algarismos para representar quantidade. No ocidente, os algarismos do sistema octal são os algarismos ará-
bicos. São posicionados da seguinte forma: 
0 1 2 3 4 5 6 7 
Na área da computação, o sistema octal foi utilizado como uma alternativa mais compacta ao 
sistema binário, pois a cada 3 dígitos binários, temos 1 dígito octal. 
A conversão da base decimal para a base octal se dá 
da mesma forma como para a binária, porém o divisor passa a ser 
o algarismo 8. Vejamos na prática: 
 4562(10) = 1 0 7 2 2 (8) 
 
 
Base hexadecimal 
Sistema muito utilizado em aplicações de computadores e microprocessadores programação, 
impressão e displays), principalmente equipamentos de estudo e sistemas desenvolvimento. Sua organiza-
ção é um pouco diferente, pois necessita de 16 símbolos. Como o sistema decimal possui apenas 10 símbolos 
(0 até 9), os campos restantes são preenchidos por caracteres, que possuem valor numérico, conforme 
abaixo: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (10 11 12 13 14 15) 
A cada 4 bits do sistema binário, temos 1 dígito hexadecimal, o que deixa muito mais compacto 
em relação ao binário. 
A conversão da base decimal para a base hexadecimal se-
gue o mesmo padrão de para a binária ou octal, mas com o divisor 16. 
Vejamos na prática: 
15882(10) = 3 14 0 10 (16) 
 = 3 E 0 A (16) 
Representação das Bases Numéricas 
Em resumo, A base numérica representa a quantidade de símbolos possíveis para representar 
um determinado número. Na tabela abaixo, vemos quais símbolos podem ser utilizados em cada sistema de 
numeração. 
45 2 
1 22 2 
 0 11 2 
 1 5 2 
 1 2 2 
 0 1 
 
4562 8 
2 570 8 
 2 71 8 
 7 8 8 
 0 1 
 
15882 16 
10 992 16 
 0 62 16 
 14 3 
 
 
Analisando a tabela, fica mais 
simples perceber, que na contagem, ao 
chegarmos no último símbolo, precisamos 
incrementar o número da esquerda para 
representar o próximo. Por exemplo, ao 
contarmos na base decimal, quando che-
gamos no 9, precisamos do símbolo 1 para 
formar o próximo número 10. O mesmo 
vale para as outras bases numéricas. Por exemplo, no octal, quando chegamos no 7, o próximo número é 10, 
ao chegar no 17, o próximo é 20 e assim sucessivamente. No binário, contamos assim: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 
110, 111, 1000, 1001, 1010, ... 
Quando falamos de números da base decimal, geralmente não representamos a base numérica; 
quando há um número qualquer sem base numérica, classificamos como sendo da base decimal. Porém, para 
outras bases, é necessário informar explicitamente a base numérica, que é representada por um número 
sobescrito após o número. Por exemplo: 
• 1010001011(2) 
• 453234(8) 
• 23AF6D(16) 
• 1024(10) ou 1024 
Outras conversões 
Base binária para base decimal 
A conversão de números binários para números decimais é realizada através da soma dos alga-
rismos binários da direita pra a esquerda, onde cada termo da somatória é multiplicado por 2 elevado a um 
número sequencial iniciado em 0. Exemplo: 100010(2) para a base decimal. 
1. Somamos cada número, multiplicando por 2 elevado a um número sequencial iniciado em 0, come-
çando da direita para a esquerda. 
1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 
2. Eliminamos os termos multiplicados por 0, pois o resultado será 0: 
1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 
1 * 25 + 1 * 2 1 
32 + 2 = 34(10) 
Base octal para base decimal 
A conversão de números da base octal para a base decimal é semelhante à binário-decimal, po-
rém utilizamos 8 no lugar do número 2. Vamos converter o número 5422(8) para a base decimal. 
1. Somamos cada número, multiplicando por 8 elevado a um número sequencial iniciado em 0. 
5 * 8 3 + 4 * 8 2 + 2 * 8 1 + 2 * 8 0 
2. Fazemos o cálculo do expoente e obtemos os termos da soma. 
5 * 512 + 4 * 64 + 2 * 8 + 2 * 1 
2560 + 256 + 16 + 2 = 2834(10) 
B ase N uméric a S ímbolos 
Decimal0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 
Binário 0 e 1 
Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 
Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F 
Base hexadecimal para base decimal 
Mesmo procedimento que a binário-decimal e a octal-decimal, só que agora utilizando base 16, 
mas lembre-se: é necessário substituir as letras A, B, C, D, E e F por 10, 11, 12, 13, 14 e 15. Vamos converter 
o número B12(16) para a base decimal. 
1. Somamos cada número, multiplicando por 16 elevado a um número sequencial iniciado em 0. 
B * 16 2 + 1 * 16 1 + 2 * 16 0 
2. Substituímos B pelo valor correspondente, nesse caso, 11. Fazemos o cálculo do expoente e obtemos 
os termos da soma. 
11 * 16 2 + 1 * 16 1 + 2 * 16 0 
11 * 256 + 1 * 16 + 2 * 1 
2816 + 16 + 2 = 2834(10) 
Base binária para a base octal 
A conversão de números da base binária para a base octal é parecida com a conversão binário-
decimal, porém precisamos antes separar os dígitos binários de 3 em 3, da direita para a esquerda, já que 
vimos que para cada dígito da base octal, há 3 dígitos binários. Exemplo, vamos converter o número 
10011011101(2) para octal. 
1. Separamos os dígitos binários de 3 em 3 da direita para a esquerda. 
10 | 011 | 011 | 101 
2. Realizamos a conversão binário-decimal para cada grupo separadamente, conforme a conversão bi-
nário-decimal. 
2 | 3 | 3 | 5 
3. Unimos novamente os dígitos e temos o número na base octal. 
2335(8) 
Base octal para base binária 
Exatamente o contrário da conversão binário-octal. Convertemos cada dígito do número oc-
tal para a base binária separadamente. Vamos converter o número 2335(8) para a base binária. 
1. Separamos os dígitos do número octal. 
2 | 3 | 3 | 5 
2. Realizamos a conversão de cada dígito separadamente para binário, como se fosse um número da 
base decimal, conforme conversão decimal-binária 
010 | 011 | 011 | 101 
3. Unimos novamente os dígitos, eliminando todos os zeros à esquerda, e temos o número na base bi-
nária. 
 0 10011011101 
10011011101(2) 
 
Base binária para base hexadecimal 
A conversão de números da base binária para a base hexadecimal é praticamente idêntica à an-
terior, só que agora separamos os dígitos binários de 4 em 4, da direita para a esquerda, pois cada dígito 
hexadecimal corresponde a 4 dígitos binários. Antes de unir os dígitos ao final, substituímos os números 10, 
11, 12, 13, 14 e 15 por A, B, C, D, E e F. Como exemplo, vamos converter o número 10011011101(2) para he-
xadecimal. 
1. Separamos os dígitos binários de 4 em 4, da direita para a esquerda. 
100 | 1101 | 1101 
2. Realizamos a conversão binário-decimal para cada grupo separadamente, conforme os anteriores. 
4 | 13 | 13 
3. Substituímos os números maiores que 9 pelos símbolos correspondentes. 
4 | D | D 
4. Unimos novamente os dígitos e temos o número na base hexadecimal. 
4DD(16) 
Base hexadecimal para base binária 
O contrário da conversão binário-hexadecimal. Convertemos cada dígito do número hexadeci-
mal para a base binária separadamente. Vamos converter o número 4DD(16) para a base binária. 
1. Separamos os dígitos do número hexadecimal. 
4 | D | D 
2. Convertemos os símbolos para o número correspondente, seguindo aquela ordem já mencionada. 
4 | 13 | 13 
3. Realizamos a conversão de cada dígito separadamente para binário, como se fosse um número da 
base decimal, conforme conversão decimal-binária. 
0100 | 1101 | 1101 
4. Unimos novamente os dígitos, eliminando todos os zeros à esquerda, e temos o número na base bi-
nária. 
 0 10011011101 
10011011101(2) 
Base octal para base hexadecimal 
Para esta conversão, é necessário realizar 2 procedimentos: 
1. Convertemos o número da base octal para a base binária. 
2. Em seguida, convertemos o número obtido na base binária para a base hexadecimal. 
Base hexadecimal para base octal 
Para esta conversão, é necessário realizar 2 procedimentos: 
1. Convertemos o número da base hexadecimal para a base binária. 
2. Em seguida, convertemos o número obtido na base binária para a base octal. 
 
Referências bibliográficas 
• https://dicasdeprogramacao.com.br/as-10-conversoes-numericas-mais-utilizadas-na-computacao/ 
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Convers%C3%A3o_de_base_num%C3%A9rica 
• https://pessoal.dainf.ct.utfpr.edu.br/linhares/prof/aulas/common/bases.htm 
• https://infoenem.com.br/aprenda-a-conversao-de-bases-numericas/ 
• http://www.if.ufrgs.br/fis01069/bases_numericas.html 
• https://miltonrocha.eng.br/wp-content/uploads/2018/02/AOC-01-introducao-bases-numericas.pdf 
• http://www.inf.ufes.br/~zegonc/material/Introducao_a_Computacao/Aula_Zegonc_Sistemas_Nu-
meracao.pdf 
• https://www.youtube.com/watch?v=BLMTW2MTiD4