CÁLCULO PARA TECNOLOGIA

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1) As funções são usadas para melhor compreendermos as mudanças em todos os tipos de contexto. Podemos citar cinco representações para padrões crescentes. Sobre essas representações, pode-se afirmar que:
a) As representações contextualizadas de funções nem sempre possuem um contexto no mundo real.
RESPOSTA CORRETA
Ainda que nem toda função possua um contexto no mundo real, é útil colocar funções em contextos que façam sentido aos estudantes.
2) No 6º e 7º ano do Ensino Fundamental, os alunos podem e devem começar a explorar o conceito de função em uma variedade de situações do mundo real, bem como em outras áreas do currículo. Sobre as explorações com relações funcionais, marque a alternativa INCORRETA:
c) Nas explorações com relações funcionais em situações contextualizadas, os professores devem procurar usar números mais fáceis de calcular.
RESPOSTA CORRETA
Os professores, ao procurarem usar números mais fáceis de calcular, tiram o realismo da situação.
3) Dois em cada três alunos que comem na lanchonete bebem um quarto de litro de leite. Se 450 estudantes comem na lanchonete, quantos litros de leite são consumidos?
Considerando o trabalho que pode ser desenvolvido em sala de aula com os alunos, a partir do problema acima, marque a alternativa CORRETA:
a) Para a maneira como o problema foi expresso, existe uma resposta única. É esperado que os alunos estabeleçam uma proposição e determinem o valor desconhecido.
RESPOSTA CORRETA
Existe um número fixo de estudantes (450), logo existe uma resposta única para o problema. Assim, é esperado que os alunos estabeleçam uma proposição e determinem o valor desconhecido.
4) Generalizações sobre funções é um conteúdo que deve ser abordado no ensino de funções. Sobre esse conteúdo, pode-se afirmar que:
d) É divertido e proveitoso interpretar e construir gráficos relacionados a situações reais, mas sem usar quaisquer dados específicos, equações ou números.
RESPOSTA CORRETA
A vantagem de atividades desse tipo é se concentrar em como um gráfico pode expressar as relações envolvidas.
5) Um importante passo no ensino de funções é o aluno conseguir conectar diferentes representações. Sobre a conexão das diferentes representações de funções, pode-se afirmar que:
e) A ideia mais importante é perceber que, para uma dada função, cada representação ilustra a mesma relação.
RESPOSTA CORRETA
Cada representação ilustra a mesma relação. A linguagem ajuda a expressar a relação de uma maneira significativa e útil.
1) Os números primos são muito úteis no estudo do mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. Considerando esse tema da Matemática, a alternativa que apresenta a definição CORRETA e alguns exemplos de números primos é:
b) Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
RESPOSTA CORRETA
Número primo é todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
2) Ana está estudando sobre múltiplos de um número para aprender, depois, sobre mínimo múltiplo comum. Ajude a Ana a definir o CONJUNTO dos múltiplos do número 6:
a) M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,...}
RESPOSTA CORRETA
O conjunto dos múltiplos de um número n é obtido ao multiplicarmos esse número n pela sequência dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } de forma que o conjunto dos múltiplos de um número n será um conjunto infinito.
Assim, o conjunto dos múltiplos de 6 é obtido produto de 6 pela sequência dos naturais, ou seja, M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,... }.
3) Carlos tem 50 canetas e deseja dividi-las em grupos, de maneira que não sobre nenhuma. Assim, ele precisa encontrar os divisores do número 50 que são:
e) D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }
RESPOSTA CORRETA
O conjunto dos divisores de um número n é dado pelos números que ao dividirmos o número n por eles, obtemos resto zero. Assim, podemos concluir que esse conjunto é finito, sempre começa com 1 e termina com o número n. Para o número 50, o conjunto dos divisores é formado pelos números que ao dividirmos 50 por eles, obtemos como resto 0. Logo, D(50) = { 1,2,5,10,25,50 } .
4) Beatriz pinta seu cabelo de 45 em 45 dias e Sofia pinta de 105 em 105 dias. Hoje, as duas se encontraram no salão, pois têm a mesma cabeleireira. Daqui a quantos dias, Beatriz e Sofia se encontrarão no mesmo salão?
b) 315 dias.
RESPOSTA CORRETA
O número 105 não é múltiplo de 45. Deve-se encontrar o mínimo múltiplo comum de 45 e 105.
Beatriz e Sofia se encontrarão no mesmo salão daqui a 315 dias.
5) Os múltiplos e divisores de um número são aplicados no estudo do máximo divisor comum (MDC) e mínimo múltiplo comum (MMC). O MDC e MMC facilitam resoluções de problemas cotidianos de Matemática e suas aplicações. Considerando esses quatros tópicos, todas as afirmações a seguir estão corretas, EXCETO:
e) O conjunto dos divisores de um número é finito, e o zero é o divisor de todos os números.
RESPOSTA CORRETA
O conjunto dos divisores de um número é finito, mas o 0 não é considerado divisor de algum número.
1) Fatore a expressão 8x3– 12x:
b) 4x(2x2 - 3).
RESPOSTA CORRETA
Solução: 8x3 – 12x = 4x(2x2 – 3) O 4x é o fator monômio comum da expressão.
2) Fatore a expressão 3x(x2 + 5) – 5(x2+ 5):
d) (x2 + 5)(3x - 5).
RESPOSTA CORRETA
3x(x2+ 5) – 5(x2+ 5) = (x2 + 5)(3x - 5).
 A fatoração por agrupamento é feita de forma que os fatores comuns (frequentemente fatores binômios) possam ser removidos.
3) Considerando a expressão 4x2 + 9, é correto dizer que:
d) A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada.
RESPOSTA CORRETA
A expressão 4x2 + 9 não pode ser fatorada. De fato, somas de quadrados não podem ser fatoradas.
4) Considerando a expressão x2– x + 12, é correto dizer que:
d) Não é possível fatorar x2– x + 12.
RESPOSTA CORRETA
A equação x2 – x + 12 não pode ser fatorada. Não podemos encontrar dois números cujo produto é +12 e cuja soma é –1.
5) Fatore completamente a equação 16x2 – 64y2:
d) 16(x + 2y)(x – 2y).
RESPOSTA CORRETA
16x2 – 64y2 = 16(x2 – 4y2) = 16(x + 2y)(x – 2y)
Fatorar imediatamente a diferença dos dois quadrados nos daria (4x + 8y)(4x – 8y), o que não está completamente fatorado, porque podemos ainda fatorar 4 de 4x + 8y e 4 de 4x – 8y.
1) Para todas as funções, podem ser definidos os conjuntos: domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (Im). Para o gráfico da função f(x) a seguir, determine seu domínio e imagem:
a) D = [-3,6]
Im = [-3,3]
RESPOSTA CORRETA
Para o domínio, devem ser observados os valores em x, e para a imagem, os valores em y. Logo, tem-se o seguinte:
D = [-3,6]
Im = [-3,3]
2) Calcular o limite de uma função é analisar o seu comportamento quando se aproxima de alguns valores, relacionando a varável dependente e a independente. Sabendo disso, encontre:
lim 3x+2
x→2 
a) 8.
RESPOSTA CORRETA
Pode-se resolver este exercício por substituição:
lim 3x+2=3.2+2=6+2=8
 x→2
3) O limite de uma função quando a variável tende a um valor é investigado utilizando-se métodos diversificados, de acordo com a característica da função. Sendo assim, investigue: 
b) 2/3
RESPOSTA CORRETA
Nesse caso, a resolução por substituição gera uma indeterminação; portanto, é necessário simplificar a expressão:
4) A análise da continuidade das funções é feita a partir de critérios específicos, envolvendo o valor da função no ponto definido e o limite dessa função. Sendo assim, investigue a continuidade da função:
c) É descontínua, pois não existe limite f(x) quando x tende a 0.
RESPOSTA CORRETA
5) A seguir, estão representadas três relações entre o conjunto domínio A e o conjunto contradomínio B. Indique quais dessas relações são funções:
e) a e c.
RESPOSTA CORRETA
a e c são funções. Somente a relação b não é função, pois existe elemento no conjunto A que não tem correspondente no conjunto B.
1) Para todas as funções, podem ser definidos os conjuntos: domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (Im). Para o gráfico da função f(x) a seguir, determine seu domínio e imagem:
a) D= [-3,6]
Im = [-3,3]
RESPOSTA CORRETA
Para o domínio, devem ser observados os valores em x, e para a imagem, os valores em y. Logo, tem-se o seguinte:
D = [-3,6]
Im = [-3,3]
2) Calcular o limite de uma função é analisar o seu comportamento quando se aproxima de alguns valores, relacionando a varável dependente e a independente. Sabendo disso, encontre:
lim 3x+2
x→2 
a)8.
RESPOSTA CORRETA
Pode-se resolver este exercício por substituição:
lim 3x+2=3.2+2=6+2=8
 x→2
3) O limite de uma função quando a variável tende a um valor é investigado utilizando-se métodos diversificados, de acordo com a característica da função. Sendo assim, investigue: 
b) 2/3
RESPOSTA CORRETA
Nesse caso, a resolução por substituição gera uma indeterminação; portanto, é necessário simplificar a expressão:
4) A análise da continuidade das funções é feita a partir de critérios específicos, envolvendo o valor da função no ponto definido e o limite dessa função. Sendo assim, investigue a continuidade da função:
c) É descontínua, pois não existe limite f(x) quando x tende a 0.
RESPOSTA CORRETA
5) A seguir, estão representadas três relações entre o conjunto domínio A e o conjunto contradomínio B. Indique quais dessas relações são funções:
e) a e c.
RESPOSTA CORRETA
a e c são funções. Somente a relação b não é função, pois existe elemento no conjunto A que não tem correspondente no conjunto B.
1) Marque a opção em que a expressão não é número real:
b)
 
RESPOSTA CORRETA
Somente as raízes pares de números negativos não são números reais.
2) A resposta correta para a expressão 82⁄3 é:
c) 4.
RESPOSTA CORRETA
3) A resposta correta para a expressão (-8)(2⁄3) é:
c) 4.
RESPOSTA CORRETA
d) x.
RESPOSTA CORRETA
Deve-se dividir 7 (expoente da base x) pelo radical 7 = 7/7 = 1. Logo, a resposta é x.
5) Assinale a alternativa correspondente à simplificação de:
c) (x2+1)2.
RESPOSTA CORRETA
b)
RESPOSTA CORRETA
Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 25.
Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma base:
3) Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa recebe após aplicar um capital (C) a uma taxa (i) durante um tempo (t). No regime de capitalização composto, a expressão do montante é dada por M = C(1+i)t.
Suponha que um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a uma taxa mensal de 1% ao mês. Qual é o montante após 6 meses?
a) R$ 21.230,40
RESPOSTA CORRETA
Vamos utilizar a fórmula do montante, substituindo t por 6, i por 0,01 (pois 1% = 1/100) e C por 20000. Lembre que antes de calcular a potência é preciso calcular a expressão de dentro dos parêntesis. Assim:
M = C(1+i)t = 20000(1+0,01)6 = 20000(1,01)6= R$ 21.230,40
4) O proprietário de uma indústria estimou que ao inaugurar uma nova filial, a produção mensal, em toneladas é dada pela expressão P = 200 – 180.9–0,05t, onde t é o número de meses contados a partir da inauguração da nova filial. Após dez meses da inauguração, qual será a produção atingida?
c) 140 toneladas
RESPOSTA CORRETA
Queremos saber qual a produção após 10 meses. Então vamos substituir t por 10 e calcular a expressão numérica, utilizando as propriedades de expoente negativo e fracionário.
5) Alguns equipamentos podem sofrer perda de valor a medida que o tempo passa, esse fenômeno é chamado depreciação. Imagine que uma máquina sofre depreciação exponencial de modo que seu valor, em reais, após t anos de uso é dado pela expressão V = 10000 – 80000.(2)– t. Qual o valor dessa máquina após 5 anos de uso?
d) R$ 7.500,00
RESPOSTA CORRETA
Queremos saber qual o valor da máquina após 5 anos de uso. Então basta substituir t por 5 e calcular a expressão numérica. Vamos utilizar a propriedade do expoente negativo: 
1) Calcule: log5625
b) 4
RESPOSTA CORRETA
Log5625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:
log5625 = x | 5x = 625
Como 625 são 54, logo: 5x = 54
Então x = 4
2) Quando a equação y = logax representa a mesma função que a equação x = ay?
b) Quando a > 0 e a diferente de 1.
RESPOSTA CORRETA
Para a > 0 e a diferente de 1, que satisfazem a relação da questão.
3) Marque a opção incorreta sobre os gráficos da função logarítmica:
e) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (0,1).
RESPOSTA CORRETA
Errado. O gráfico da função logarítmica sempre corta o eixo x igual a 1 (1,0) e nunca corta o eixo y.
4)
Simplifique:
c) x
RESPOSTA CORRETA
Utilizando a propriedade II do logaritmo, a resposta é x.
5)
Simplifique:
d) 3
RESPOSTA CORRETA
Utilizando a propriedade I do logaritmo, a resposta é 3.
1) Encontre todos os x para que f(x) = 27 na função f(x)=35x.
a) 3/5.
RESPOSTA CORRETA
Primeiro, transformamos 27 em potência: 27 = 3³. Desejamos todos os valores de x para que 3^5x seja igual a 3³. Como as bases são iguais, basta então igualarmos os expoentes: 5x = 3 x = 3/5.
2) A solução correta para a equação exponencial é: 23x-1=32
b) 2.
RESPOSTA CORRETA
3) A solução correta para a equação exponencial é:
112x+5 = 1
e) -(5/2).
RESPOSTA CORRETA
4) Analisando os gráficos de funções de crescimento e decaimento exponenciais, pode-se afirmar que:
c) Os gráficos nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x).
RESPOSTA CORRETA
Os gráficos têm resultados que se aproximam, mas nunca interceptam o eixo horizontal (eixo x); logo a função não tem raízes.
5) O aparelho de ar-condicionado de um escritório estragou. A função que descreve a temperatura ambiente (em graus Celsius) em função de t, o tempo transcorrido em horas, desde a quebra do ar-condicionado, é:
Considere que To é a temperatura interna do escritório enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (suponha constante). E sabendo que To = 21°C e Text = 30°C, calcule a temperatura no interior do escritório transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado.
1) O teorema de Pitágoras é um caso especial de qual relação trigonométrica?
a) Lei dos cossenos.
RESPOSTA CORRETA
Ao se estudar as relações trigonométricas, são estabelecidas razões entre os lados dos triângulos inscritos no arco trigonométrico, que denomina-se leis, como as leis do seno e do cosseno. Já o teorema de Pitágoras estabelece que, em um triângulo retângulo, se elevar à segunda potência o valor dos lados denominados catetos e os somar, o resultado será igual ao valor da hipotenusa também elevado ao quadrado.
2) Quando se está trabalhando com funções trigonométricas, é fundamental que se conheça o arco trigonométrico e como ele está dividido. Sobre o segundo quadrante, é correto dizer que:
b) contêm os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos entre 90° e 180°.
RESPOSTA CORRETA
Ao trabalhar com as funções trigonométricas, é fundamental que você se familiarize com seus quadrantes, suas unidades de medida e a forma como eles mesmos são representados. Assim, é importante observar que o arco trigonométrico é dividido em quatro quadrantes, cada um formando uma abertura, ou melhor, um ângulo de 90º, e com leitura no sentido anti-horário.
3) Por ter aplicações importantes na área da saúde, como a formação de imagens para diagnósticos e representação gráfica dos batimentos cardíacos, é importante saber distinguir as razões trigonométricas. Assim, por definição, o seno é a razão entre:
c) cateto oposto e hipotenusa (nesta ordem).
RESPOSTA CORRETA
As razões trigonométricas são as relações entre os lados do triângulo retângulo inscrito no arco trigonométrico. Há três razões comuns: seno (cateto oposto sobre hipotenusa); cosseno (cateto adjacente sobre a hipotenusa) e tangente (cateto oposto sobre cateto adjacente). Cada uma dessas razões apresenta uma representação gráfica distinta.
4) Um ponto importante ao desenvolver modelagens matemáticas com o uso das funções trigonométricas, para a área da saúde, é perceber os sinais de cada uma das funções trigonométricas, dentro de cada quadrante do arco. Assim, observando o arco trigonométrico, é correto dizer que:
a) o primeiro quadrante, em seno, é positivo.
RESPOSTA CORRETA
Oarco trigonométrico é dividido em quatro quadrantes, e a leitura de seu sinal está relacionada com o domínio e a imagem de cada uma das funções trigonométricas.
5) A relação entre a pressão sanguínea de um indivíduo e o tempo de sua medição é estabelecida (e representada graficamente) pela função P(t)=100-20((cos8pi/3).t). Sobre a função cosseno, podemos dizer que sua leitura será sempre:
d) positiva no 1º e 4º quadrante.
RESPOSTA CORRETA
O arco trigonométrico é dividido em quatro quadrantes, e a leitura de seu sinal está relacionada com o domínio e a imagem de cada uma das funções trigonométricas.
1) Considerando a função f(x) = 2 + sen(x), x ϵ IR, o intervalo real que representa o conjunto imagem da função f é:
b) [1,3].
RESPOSTA CORRETA
Como o sen(x) assume dois valores: -1, 1, logo:
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1
f(x) = 2 + sen(x) = 2 + (1) = 2 + 1 = 3
Imagem: [1,3]
2) Encontre, com x real, o menor valor de f(x) = 1/(2 - cos x).
b) 1/3.
RESPOSTA CORRETA
Sabemos que cos x pode assumir no mínimo (-1) e no máximo (+1). Portanto:
Se cos x = -1, então:
1/(2 - (-1)) = 1/(2 + 1) = 1/3
Se cos x = +1, então:
1/(2 - (+1)) = 1/(2 - 1) = 1
O menor valor de f(x) = 1/(2 - cos x) será 1/3.
3) Determine o valor máximo da função y = 8 + 5 cos 10x.
d) 13.
RESPOSTA CORRETA
O valor máximo da função é encontrado quando o fator cos 10x é máximo, ou seja, quando cos 10x = 1.
Sendo y = 8 + 5 cos 10x e substituindo cos 10x por 1, logo, o valor máximo da função será:
y = 8+ 5 .1 = 13.
4) Encontre os valores de a para que se tenha simultaneamente sen x = a +1 e cos x = a.
d) a = 0, a = -1.
RESPOSTA CORRETA
1. Sabe-se pela relação trigonométrica fundamental que:
sen² x + cos² x = 1.
Substituindo, temos que:
(a + 1)² + (a)² = 1.
2. Desenvolvendo o produto notável (a + 1)², tem-se:
a² + 2.a.1 + (1)² = a² + 2a + 1
3. Retomando a relação fundamental (a + 1)² + (a)² = 1, logo:
a² + 2a + 1 + a² = 1
a² + 2a + 1 + a² - 1 = 0
2a² + 2a = 0
2a(a + 1) = 0
4. Separando os fatores e igualando a zero, tem-se:
2a = 0
a = 0
e
a + 1 = 0
a = -1
5) As funções seno e cosseno são exemplos de funções trigonométricas que estão presentes em variadas situações, como cálculo de distâncias, estudo de fenômenos periódicos como as marés, frequência cardíaca, variação da temperatura em determinado local, entre outros. Conhecer suas características e saber lidar com essas funções é fundamental para o processo de resolução de problemas aplicados. Sendo assim, marque a alternativa que expressa corretamente uma característica dessas funções.
d) Se conhecermos o valor de cos t, então podemos encontrar o valor de sen t.
RESPOSTA CORRETA
Utilizando a relação trigonométrica sen2t + cos2t = 1 e sabendo que um número t representa um único ponto ( cos t, sen t ) no ciclo trigonométrico, conhecendo o valor de cos t é possível encontrar o valor de sen t e vice versa.
2) Encontre o valor de cos(acrtg(-).
4) Calcule o valor de ƒ(x) = arctg(
5) Sabe-se que os gráficos representam o comportamento de uma função. Por se tratar de uma função periódica, espera-se, por definição, que a função se repita a cada período. A função representada por este gráfico
possui sua inversa representada por qual gráfico a seguir?
e)
RESPOSTA CORRETA
Trata-se de uma interpretação gráfica. As funções trigonométricas não são injetoras. Portanto, para definir suas inversas, restringimos seus domínios para que as funções resultantes sejam invertíveis.
1) As integrais triplas podem ser resolvidas usando integrais iteradas.
Encontre a integral tripla ∭x y dV em B, em que B é uma caixa retangular dada por B = {(x,y,z) | −2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}, e assinale a alternativa correta.
b) −3/2.
2) As integrais triplas têm propriedades como, por exemplo, sobre a integral da soma.
Encontre a integral tripla ∭(x z + y2) dV em B, em que B é uma caixa retangular dada por B = {(x,y,z) | −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1}, e assinale a alternativa correta.
c) 117/4.
3) As regiões no espaço, onde será efetuada a integral tripla, podem ser do tipo I, II ou III.
Dada a região Q mostrada na figura a seguir, encontre a integral tripla ∭sen (y2) dV em 
Q , e assinale a alternativa correta.
e) 1.
4) Além das regiões sólidas terem tipos diferentes, as projeções do sólido em algum plano também podem ser do tipo I ou do tipo II.
Encontre a integral ∭(x + y + z) dV em Q, cuja região Q é definida por 0 ≤ z ≤ 1, x ≤ y ≤ x2 e 0 ≤ x ≤ 1, e assinale a alternativa correta.
a) -7/30.
5) Dentre as aplicações de integrais triplas, uma delas é o cálculo de volumes. Diante disso, analise a figura a seguir e encontre seu volume usando integrais triplas.
b) 1/2.