BIOESTATÍTICA-

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SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 4 
2 DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA .................................................................. 5 
3 DEFINIÇÃO DE BIOESTATÍSTICA ............................................................ 6 
4 VARIÁVEL BIOLÓGICA .............................................................................. 7 
4.1 Análise descritiva ................................................................................. 7 
4.2 Análise inferencial ................................................................................ 7 
4.3 Planejamento experimental .................................................................. 8 
5 TIPOS DE VARIÁVEL ................................................................................. 8 
6 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES E SUAS DISTRIBUIÇÕES ........... 10 
6.1 Probabilidades .................................................................................... 10 
6.2 Definições de probabilidade ............................................................... 10 
6.3 Probabilidade condicional ................................................................... 11 
6.4 Teorema de Bayes ............................................................................. 12 
6.5 Algumas aplicações das probabilidades............................................. 13 
6.6 Epidemiologia ..................................................................................... 15 
6.7 Teste de diagnóstico .......................................................................... 15 
7 PORQUE ESTUDAR ESTATÍSTICA ........................................................ 21 
8 ESTATÍSTICA E BIOESTATÍSTICA ......................................................... 22 
8.1 Populações e amostras ...................................................................... 23 
8.2 Parâmetros estatísticos ...................................................................... 24 
9 ESTATÍSTICA DESCRITIVA .................................................................... 25 
9.1 Escalas de Medidas e Tipos de Variáveis .......................................... 25 
9.2 Conceitos fundamentais: Somatório ................................................... 28 
9.3 Métodos de Numeração ..................................................................... 30 
9.4 Distribuição de frequências de uma variável ...................................... 33 
 
3 
9.5 Intervalos de classes desiguais .......................................................... 43 
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO 
Prezado aluno! 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - 
um aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta , para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum 
é que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas 
poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em 
tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa 
disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das 
avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que 
lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser 
seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA 
 
Fonte: guiadoestudante.abril.com.br 
A Estatística constitui-se em uma ciência destinada a: 
Decidir o melhor plano (experimental ou observacional) para a execução de 
uma pesquisa - metodologia científica. 
 Organizar e resumir dados de contagem, mensuração e classificação - 
raciocínio dedutivo. 
 Inferir sobre populações de unidades (indivíduos, animais, objetos) quando 
uma parte (amostra) é considerada - raciocínio indutivo. (VELARDE, 2010, p. 
41). 
A doutrina sobre o chegar a termo do tempo e da história da estatística 
matemática (escatologia) é tão complicada como a de qualquer religião, ou mais. Além 
disso, as conclusões da estatística matemática não são apenas verdadeiras, como, 
ao contrário das verdades da religião, podem ser provadas. 
Os métodos da estatística matemática são universais (ubíquos), e o estatístico, 
assim como o especialista em modelagem matemática, é capaz de colaborar em, 
praticamente, qualquer área de conhecimento e atividade profissional. 
Uma igualdade que pode sintetizar as considerações descritas anteriormente 
pode ser expressa como: 
ESTATÍSTICA = CIÊNCIA + TECNOLOGIA + ARTE 
 
6 
3 DEFINIÇÃO DE BIOESTATÍSTICA 
 
Fonte: queconceito.com.br 
É a metodologia estatística aplicada às ciências biológicas, com a finalidade 
planejar, coletar, organizar, resumir, analisar e interpretar os dados, permitindo tirar 
conclusões biológicas sobre populações a partir do estudo de amostras (Louis é 
considerado o pai da bioestatística). Em 1829, Pierre Charles Alexandre Louis (1787-
1872), afirmou: 
“Eu sei que a verdade está nos fatos e não na mente que os julga, e quanto 
menos eu introduzir da minha opinião nas conclusões, mais próximo estarei 
da verdade” (LOUIS, 1787, apud Padovani, 2012, p. 16). 
Considera-se que o olho humano é capaz de enxergar padrões em números 
puramente aleatórios, até que ponto um padrão aparente realmente significa alguma 
coisa? 
John W. Tukey (1915-2000), nascido em New Bedford, Massachusetts afirmou: 
“É melhor ter uma resposta aproximada à pergunta certa do que ter a resposta exata 
à pergunta errada”. 
A força da estatística aplicada às diversas áreas do conhecimento está em sua 
capacidade de persuadir os pesquisadores a formular perguntas; de considerar se 
estas questões podem ser respondidas com as ferramentas disponíveis para o 
experimentador; de ajudá-lo a estabelecer hipóteses (nulas – H0) adequadas; de 
 
7 
aplicar rígidas disciplinas de planejamento aos experimentos. De mesma forma, 
podem-se expressar os sentimentos descritos na igualdade: 
BIOESTATÍSTICA = VIDA + ESTATÍSTICA 
4 VARIÁVEL BIOLÓGICA 
Quando se estuda uma variável biológica, o maior interesse do pesquisador é 
conhecer o comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de suas possíveis 
realizações. 
O resultado de medições de variáveis biológicas encontra-se, geralmente, 
dentro de intervalos determinados e bem definidos, mas não sujeitos à repetição 
exata. Uma variável biológica pode ser entendida como uma classificação, uma 
qualidade, ou como medida quantificada por magnitude, intensidade, traço, entre 
outras designações que varia tanto intra como interindivíduos. 
O estudo de bioestatística compreende o planejamento e a análise estatística 
(estatística descritiva e inferencial), mas voltado às informações biológicas contidas 
nas variáveis em consideração, transformadas em dados coletados para a 
operacionalização dos métodos estatísticos. 
4.1 Análise descritiva 
Organização dos dados coletados por meio de classificação, contagem ou 
mensuração. Os dados devem ser apresentados de forma clara por meio tabelas, 
gráficos e medidas resumo (posição e variabilidade), não permitindo, no entanto, 
conclusões analíticas. 
4.2 Análise inferencial 
Permite realizar inferências (conclusões e analíticas) a respeito de populações 
a partir de amostras pela aplicação de testes de hipóteses e/ou construção de 
intervalos de confiança. Deve ser considerado que está utilizando-se amostras para 
inferir aos dados reais da população(parâmetros), portanto existindo nestas 
 
8 
estatísticas (dados obtidos de amostras) uma margem de erro. A exceção é o censo, 
quando toda a população é pesquisada. 
4.3 Planejamento experimental 
Consiste em estabelecer o desenho amostral com poder adequado para os 
testes de hipóteses e estimações sem vieses (distorções). Deve ser considerado o 
cálculo do tamanho da amostra (tamanho ético e estatístico) e a definição da forma 
de coleta de dados (técnicas de amostragem). 
5 TIPOS DE VARIÁVEL 
 
Fonte:researchgate.net 
Variáveis são características que podem assumir valores diferentes de um 
indivíduo para outro ou no mesmo indivíduo ao longo do tempo. Em relação à 
participação no estudo, as variáveis podem ser classificadas em: 
Independente, explicativa ou preditora: permite predizer uma resposta 
(causas). 
Dependente ou resposta: evento ou característica que se pretende estudar 
(efeitos). I 
Variável de controle: deseja-se que esteja homogeneamente distribuí da nos 
grupos, pois poderia interferir nos resultados (atuando, por exemplo, como 
uma variável de confusão). Não tem interesse para estudo. (VELARDE, 2010, 
p. 41). 
Observações: 
 
9 
I. Dependo do objetivo do estudo, uma mesma variável pode ser preditora, 
resposta ou de controle. 
II. As variáveis preditoras, resposta e de controle devem ser indicadas pelo 
pesquisador (biologia), nunca pelo estatístico. 
III. O número excessivo de variáveis dificulta a análise estatística e torna 
menor o poder da amostra. 
IV. O estatístico é capaz de coordenar o planejamento de uma pesquisa e 
realizar a análise. 
Escala de Variáveis: 
Quanto à escala utilizada, têm-se variáveis: 
1. Categóricas (Qualitativas) 
Nominal (classificação sem ordem definida) 
Ordinal (classificação com ordem definida) 
2. Numéricas (Quantititivas ou Intervalar) 
Discreta (contagem, correspondendo a números inteiros) 
Contínua (mensuração, correspondendo a números reais) 
Observações: 
I. A unidade de medida mostra a diferença entre as numéricas discreta 
e contínua. 
II. Escore não é contagem (não confundir variáveis categóricas nominais 
expressas por números com variáveis discretas). 
III. Pode-se transformar uma variável numérica em categórica (lembrar 
que há perda de informações). 
IV. Para variáveis categóricas a análise estatística é limitada. Se as 
variáveis dependentes e independentes forem todas categóricas, só 
será possível utilizar testes não paramétricos, que apresentam menor 
poder. 
V. Eric Temple Bell (matemático norte-americano) afirmou: “Números 
não mentem, mas têm a propensão de dizer a verdade com intenção 
 
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6 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES E SUAS DISTRIBUIÇÕES 
 
Fonte: slideshare.net 
6.1 Probabilidades 
O estudo das probabilidades se faz necessário em situações em que se 
conhece os desfechos possíveis de alguma situação, porém não se conhece 
qual deles irá acontecer; nas áreas biomédicas isto acontece 
constantemente. Alguns conceitos precisam ser apresentados para facilitar a 
definição e entendimento das probabilidades. Um experimento aleatório é 
qualquer experimento em que é possível definir todos os resultados deste 
sem conhecer qual deles será observado. O espaço amostral é o conjunto de 
todos os valores possíveis de um experimento aleatório. Um evento é 
qualquer subconjunto de um espaço amostral. (VELARDE, 2010, p. 41). 
6.2 Definições de probabilidade 
De acordo com velardes (2010): 
 Definição clássica: A probabilidade de um evento é a divisão do número de 
resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis. 
 Definição frequentista: A probabilidade de um evento A, P(A), está dada por: 
 
Onde m é o número de vezes que é observado A e n é o número de 
repetições do experimento. 
Definição subjetivista: A probabilidade de um evento A, P(A),é a medida dada 
por alguém sobre o grau de crença do acontecimento de A. 
 
11 
Alguns resultados básicos para dois eventos A e B são enumerados a seguir: 
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
2. Se o espaço amostral é denotado por Ω, então P(Ω)=1. 
3. P(A_B) = P(A) + P(B) − P(A_B). 
4. Dois eventos são exclusivos se possuem interseção vazia. 
5. Para dois eventos exclusivos, A e B, a probabilidade deles acontecerem 
simultaneamente é nula. Isto é P(A_B)=0. 
6. Se um espaço amostral está formado pelos eventos exclusivos A1, ..., An 
então P(A1) + ··· + P(An)=1. 
7. Seja A’ o evento complementar de A então P(A’ )=1 − P(A). 
6.3 Probabilidade condicional 
Em algumas situações, o acontecimento de certos eventos influencia outros 
através de suas probabilidades. Como por exemplo, a probabilidade de uma 
pessoa ser hipertensa varia segundo o estado nutricional dela. Os obesos 
têm maior probabilidade de hipertensão comparados com os eutróficos. 
(VELARDE, 2010, p. 41). 
Para dois eventos, A e B, a probabilidade condicional de A, dado B, é definida 
pela relação: 
 
Exemplo: A tabela a seguir mostra a relação entre dois sintomas que 
costumam aparecer em pessoas com uma determinada doença. A amostra está 
formada por 266 pessoas com a doença. 
 
A probabilidade de um paciente ter o sintoma A está dada por: 
 
A probabilidade de um paciente, que tem o sintoma B, ter o sintoma A é 
calculada como: 
 
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6.4 Teorema de Bayes 
 
Fonte: wikipedia.org 
Velardes (2010), diz que o teorema de Bayes permite rever a informação 
probabilística sobre um determinado evento quando existe informação sobre outro 
evento relacionado ao de interesse. Assim ele pode ser usado para conhecer o risco 
de se ter uma determinada doença à luz da informação fornecida pelo resultado de 
um determinado teste de diagnóstico, tendo disponível o risco populacional. 
 O teorema de Bayes diz que, para dois eventos A e B, a probabilidade de A 
condicional a B é dada por: 
 
A relação que aparece no denominador do Teorema de Bayes, P(B) = 
P(B|A)P(A) +P(B|A’)P(A’) é conhecida como Regra da Probabilidade Total e permite 
calcular a probabilidade incondicional de um evento. 
Exemplo: Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeição: salada 
completa ou um prato a base de carne. Vinte por cento dos fregueses do sexo 
 
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masculino preferem salada; trinta por cento das mulheres escolhem carne; setenta e 
cinco por cento dos fregueses são homens. Num certo dia o primeiro freguês a sair 
do restaurante escolheu a salada completa. Qual é a probabilidade de o freguês ser 
do sexo feminino? 
Definindo os eventos S: o freguês escolhe salada completa e H: o freguês é do 
sexo masculino são obtidas as seguintes probabilidades: 
 
A probabilidade solicitada é P (H0 |S) que, através do Teorema de Bayes, será: 
 
Deve ser observado que este resultado é mais do que o dobro da probabilidade 
inicial de um freguês ser do sexo feminino. 
6.5 Algumas aplicações das probabilidades 
Comparação de riscos e risco relativo: 
O risco é uma quantificação do grau de certeza de algum evento, geralmente 
um fator negativo ou nocivo para a saúde. Portanto, pode ser visto como uma 
probabilidade. 
Em determinadas situações o interesse está em comparar o risco de acontecer 
algum evento em dois grupos independentes. 
Em estudos prospectivos, grupos de indivíduos com características diferentes 
são acompanhados para estudar a ocorrência de um resultado particular. 
Nestes ensaios é fácil calcular a proporção de indivíduos com a característica 
de interesse em cada grupo, e a razão destas duas proporções é uma medida 
comparativa dos riscos de um grupo contra o outro. Esta razão é conhecida 
como risco relativo. (VELARDE, 2010, p. 44). 
 
De forma geral, a tabela 3.2.1 mostra o resultado de um estudo prospectivo: 
 
14 
 
VELARDE, 2010, p. 44 
Tabela 3.1: Representação geral dos resultados de um estudo prospectivo. 
 Os riscos de aparecer a característica de interesse em cada grupo são: 
 
O risco relativo é: 
 
Um valor de RR = 1 significaria que o risco em ambos grupos é igual.Exemplo: A tabela 3.2.1 mostra o resultado do estudo de 107 bebês com peso 
no nascimento inferior ao percentil 5% para seu tempo de gestação, segundo padrões 
publicados. O retardo do crescimento dos bebês foi classificado como simétrico ou 
assimétrico segundo o resultado de um exame de ultrasom, e esta classificação é 
mostrada em relação ao escore Apgar. 
Para bebês com classificação simétrico ou assimétrico, o risco de um escore 
Apgar menor a 7 é: 
 
 
 
VELARDE, 2010, p. 45 
Tabela 3.2: Relação entre o escore Apgar < 7 e classificação do retardo de 
crescimento fetal. 
 
15 
 
e o risco relativo: 
 
O que significa que o risco de ter um escore Apgar menor a 7 no grupo simétrico 
é aproximadamente 35% do risco no grupo assimétrico. 
6.6 Epidemiologia 
As probabilidades são amplamente utilizadas em epidemiologia. Diversas taxas 
e indicadores são casos especiais de aplicações das probabilidades, destacando-se 
a prevalência e a incidência. 
Prevalência: A prevalência de uma doença é a proporção, ou probabilidade, 
de uma doença numa determinada população. 
Incidência: A incidência de uma doença é a proporção, ou probabilidade, de 
casos novos de uma doença em um determinado período. 
Para o gráfico 3.1, a prevalência no período 0 a 18 está relacionada com os 10 
casos existentes no mesmo, enquanto que a incidência para o mesmo período é 
proporcional aos 7 casos que começaram dentro dele. 
Em ambos casos se considera como denominador o tamanho da população 
exposta à doença. 
6.7 Teste de diagnóstico 
Diagnóstico é parte essencial na prática clínica, e muitas pesquisas médicas 
têm por objetivo melhorar os métodos de diagnóstico. A questão de interesse 
é quão bom um particular teste de diagnóstico pode ser. Isto pode ser 
avaliado estudando os conceitos de sensibilidade, especificidade, valor 
preditivo positivo e valor preditivo negativo de um teste. Para formalizar as 
definições serão usados os eventos A: o paciente está doente e B: o paciente 
tem resultado positivo no teste de diagnóstico. (VELARDE, 2010, p. 46). 
Sensibilidade: A sensibilidade de um teste é a proporção de resultados 
positivos identificados, entre todos os doentes. Em termos de probabilidades: 
Sensibilidade = P(B|A) 
 
16 
Especificidade A especificidade de um teste é a proporção de resultados 
negativos, entre os não doentes. Usando nomenclatura de probabilidades se tem: 
Especificidade = P(B’ |A’ ) 
Onde A’ indica o evento o paciente não está doente e B’ o evento o paciente 
tem resultado negativo no teste. 
Valor preditivo positivo (VPP): O valor preditivo positivo de um teste é a 
proporção dos pacientes que têm a doença entre os que apresentam resultado 
positivo no teste. Formalmente: 
VPP = P(A|B) 
Valor preditivo negativo (VPN) O valor preditivo negativo de um teste é a 
proporção dos pacientes que não têm a doença entre os que apresentam resultado 
negativo no teste. Ou: 
VPN = P(A’ |B’ ) 
Exemplo: Um novo teste clínico é usado para diagnosticar uma doença. Os 
resultados do estudo de 344 indivíduos estão resumidos na tabela 3.2.3. e para estes 
dados podem ser calculadas a sensibilidade, a especificidade, o VPP e o VPN: 
 
 
Tabela 3.3: Resultados de um teste clínico segundo o estado real dos indivíduos. (VELARDE, 2010, 
p. 46). 
Distribuições de probabilidades: 
Como já foi dito, as probabilidades são úteis quando uma variável é 
observada em um experimento aleatório. O comportamento probabilístico 
desta variável chamada de aleatória é representado através da distribuição 
de probabilidades. Isto significa que seria necessário achar a referida 
 
17 
distribuição para cada problema/variável em estudo, porém, algumas 
situações padrões podem ser identificadas, gerando os chamados modelos 
probabilísticos de variáveis aleatórias. Os mais usados na área biomédica 
serão apresentados nas seguintes subseções, porém, não será usado 
nenhum formalismo que um estudo detalhado dos mesmos requer. 
(VELARDE, 2010, p. 47). 
Distribuição Binomial: 
É um modelo probabilístico usado para dados discretos. É um dos modelos 
mais simples. Ele considera que um experimento tem dois possíveis 
resultados que podem ser chamados de sucesso e fracasso. Para cada um 
destes resultados existe uma probabilidade associada de forma que a soma 
destas sempre será igual a 1. (VELARDE, 2010, p. 47). 
O interesse neste modelo é descrever o comportamento probabilístico do 
número de sucessos em n repetições do experimento. 
Por exemplo, se o interesse é o fenômeno obesidade mórbida, através deste 
modelo binomial será possível descrever a variável número de obesos mórbidos em 
uma população e, através dele, estimar a prevalência de obesidade mórbida como 
sendo a probabilidade de um indivíduo dessa população ser obeso mórbido. 
Distribuição Poisson: 
 De acordo com Velarde (2010), este modelo é utilizado quando a variável de 
estudo é o número de ocorrências de um evento em intervalos de medição fixos. Para 
isto é necessário supor que os eventos de interesse ocorrem ao longo do tempo, ou 
espaço, segundo uma taxa média fixa. 
Exemplos de variáveis que podem ser modeladas com a distribuição Poisson 
são o número diário de casos novos de câncer de mama, o número de células 
anormais numa área fixa de slides histológicos, entre outras. 
Distribuição Exponencial: 
A distribuição Exponencial está ligada à distribuição Poisson. Enquanto que a 
Poisson estuda o número de ocorrências em intervalos de medição fixos, a 
Exponencial estuda o tamanho dos intervalos entre duas ocorrências consecutivas. 
Dada a relação existente entre modelos Poisson e Exponencial os exemplos 
da Poisson serão adaptados: o tempo decorrido entre dois casos novos de câncer de 
mama, distância entre duas células anormais em slides histológicos. 
Distribuição Normal: 
A distribuição Normal, também chamada Gaussiana, é a mais usada devido às 
propriedades matemáticas que a tornam a base de grande parte da teoria de 
 
18 
inferência. Ela é muito usada quando a variável de estudo apresenta valores 
concentrados em torno de um valor, como mostrado no polígono da figura 3.2. 
A distribuição Normal fica definida por dois parâmetros, a média µ e a variância 
σ². O primeiro parâmetro define a posição da distribuição em torno do qual se 
encontram os demais valores e o segundo a dispersão dos valores em torno da 
posição central. 
A distribuição Normal com média 0 e variância 1 é chamada distribuição Normal 
padrão e as probabilidades acumuladas para esta distribuição encontram-se em 
tabelas que aparecem num apêndice. 
 Um resultado teórico permite converter/reduzir qualquer distribuição Normal 
para uma Normal padrão, este resultado é comumente chamado padronização. Outro 
resultado teórico permite usar a distribuição Normal padrão desde que o tamanho de 
amostra seja suficientemente grande, independente da distribuição original dos dados. 
Para uma variável com distribuição Normal é fácil calcular qualquer 
probabilidade acumulada usando a padronização. Como por exemplo, seja X a 
variável que caracteriza a pressão arterial sistólica, que tem média 120 e variância 25. 
Achar a probabilidade de ter um paciente com no máximo 129 de PAS. 
 
 
 
 
19 
Figura~3.1: Acompanhamento de pacientes com uma determinada doença. Os 
pacientes representados por linhas terminadas em círculos cheios são aqueles que 
tiveram alta da doença, os outros são observações censuradas. Velarde (2010, p.49). 
 
Figura~3.2: Polígono de frequências de uma variável com distribuição Normal 
de média 3. Velarde (2010, p.49). 
Sabe-se que P(Z ≤ 0) = 0, 5 pelas propriedades da distribuição Normal padrão 
e pelas tabelas nos apêndices temos que P(0 ≤ Z ≤ 1, 8) = 0, 46407. 
Achar também a probabilidade de encontrar um paciente com PAS menor ou 
igual a 111. Velarde (2010, p.49). 
 
Distribuições amostrais 
Quando é selecionada uma amostra a partir de uma populaçãode interesse 
não existe total certeza de que esta seja representativa, só se sabe que esta foi 
coletada sob critérios de aleatoriedade. 
A partir desta amostra pode ser calculada, por exemplo, a média amostral. 
Porém, se outras amostras são coletadas da mesma população não existe a 
garantia de que as médias calculadas com estas amostras sejam todas iguais 
à primeira. VELARDE, 2010, p. 47). 
Contudo, qualquer que seja a amostra, o objetivo é usá-la para fazer inferência 
sobre os parâmetros da população, como representado no diagrama da figura 3.3. 
 
20 
Na prática só é coletada uma amostra, por isso, antes de obter a média o seu 
valor é uma variável aleatória. Da mesma forma, outras estatísticas podem ser 
tratadas como variáveis aleatórias. 
Sendo assim, uma distribuição amostral é definida como a distribuição de 
probabilidades de uma estatística. 
Alguns resultados úteis sobre distribuições amostrais são apresentados a 
seguir. 
Para a média de uma amostra, se os dados originais têm distribuição Normal 
com média populacional µ e variância σ2, então a média da amostra terá 
distribuição Normal com a mesma média, µ, e variância menor, σ²/n. 
(VELARDE, 2010, p. 48). 
Para a proporção de indivíduos com uma característica, se os dados têm 
distribuição Binomial/Bernoulli, então para n suficientemente grande, a proporção de 
indivíduos com a característica de interesse na amostra, pb, tem distribuição que se 
aproxima da Normal quando n cresce, com média igual à proporção da população, p, 
e variância igual a p(1−p)/n. 
Distribuição t de Student 
A média de uma amostra tem uma distribuição similar, mas não igual à Normal 
quando a variância original é desconhecida: a distribuição t de Student, que depende 
de um parâmetro adicional chamado grau de liberdade. Valores de probabilidades 
acumuladas para esta distribuição são encontrados em tabelas nos apêncides. Esta 
distribuição será usada sempre que for necessário fazer inferência sobre médias 
quando as variâncias das populações. 
 
21 
7 PORQUE ESTUDAR ESTATÍSTICA 
 
Fonte: psicoativo.com 
O nome, estatística, é derivado da palavra latina "status". Originalmente essa 
palavra significava "informações úteis ao Estado" (para fins de taxação, 
conhecimentos dos recursos do país, da composição da população entre outros). 
Posteriormente, a palavra passou a significar dados quantitativos que apresentavam 
tendência de flutuarem de uma forma mais ou menos imprevisível, significado esse 
que permanece até hoje quando se falam em estatísticas de, por exemplo, acidentes 
de trabalho, do número de nascimentos ou mortes, etc. 
Mais recentemente, a palavra passou a significar a ciência que diz respeito à 
coleta, organização e análise dos dados quantitativos de tal forma que seja possível 
efetuar julgamentos racionais sobre os mesmos. 
A estatística tem também a função de auxiliar do método científico, 
especialmente no planejamento experimental, na coleta de dados, na 
interpretação analítica dos experimentos (análise dos dados experimentais) 
e na estimação dos parâmetros da população. (PANOSSO, 2015, p. 1). 
É necessário trabalhar os dados para transformá-los em informações, para 
compará-los com outros resultados, ou ainda para julgar a adequação de alguma 
teoria ou hipótese. De modo bem geral, podemos dizer que a essência da Ciência é a 
observação e que o seu objetivo básico é a inferência. 
Além disso, o uso de técnicas computacionais pode parecer um problema para 
o pesquisador ou estudante cujo treino e interesse não envolvam a matemática, 
 
22 
entretanto, a estatística é uma realidade na literatura científica e especializada. Então, 
julgamos razoável que o profissional das áreas de biológicas e agrárias adquira um 
mínimo de conhecimento técnico sobre estatística. Panosso (2015). 
8 ESTATÍSTICA E BIOESTATÍSTICA 
 De acordo com Panosso (2015), os pesquisadores de disciplinas relacionadas 
às ciências biológicas, agrárias e à saúde utilizam uma grande variedade de 
ferramentas para entende os fenômenos estudados por eles. Uma das mais 
importantes é a bioestatística/estatística, pois esta desempenha um papel 
fundamental na análise de dados coletados no contesto de testes químicos e ensaios 
biológicos, bem como em estudos de outras áreas como epidemiologia, política 
sanitária, saúde pública e familiar entre outras. A Bioestatística é um ramo mais amplo 
da área Estatística. 
A Estatística é fundamental na análise de dados provenientes de quaisquer 
processos onde exista variabilidade, estando assim, interessada nos 
métodos e processos quantitativos que servem para a coleta, organização, 
resumo, apresentação e análise desses dados, bem como na obtenção de 
conclusões válidas e na tomada de decisões a partir de tais análises. 
(PANOSSO, 2015, p. 2). 
Assim, de maneira geral, a estatística pode ser dividida em três áreas: 
A Estatística Descritiva: geralmente utilizada nas etapas inicias dos trabalhos, 
se refere à maneira de representar dados em tabelas e gráficos, resumi-los por meio 
de algumas medidas sem, contudo, tirar quaisquer informações sobre um grupo maior. 
Portanto, informações e conclusões a respeito do fenômeno estudado são tiradas de 
modo informal e direto, restritas àquele particular conjunto de valores. 
A Probabilidade: é a teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza 
oriunda de fenômenos de caráter aleatório. Seu estudo é fundamental na 
bioestatística/estatística, tem sua origem ligada aos jogos de azar. Esses jogos 
implicam em ações como girar uma roleta, lançar um dado ou uma moeda, tendo como 
característica a incerteza de ocorrer determinado acontecimento (como a face cara de 
uma moeda, ou o às de ouro em um set de baralho) em determinada tentativa, e a 
regularidade em longo prazo, que permite prever o número de vezes que ocorrerá 
determinado acontecimento em uma série de tentativas conduzidas de maneira 
uniforme Panosso (2015) 
 
23 
A Inferência Estatística: ao contrário da estatística descritiva, é o estudo de 
técnicas que possibilitem a extrapolação das informações e conclusões obtidas a 
partir de subconjuntos de dados, a um grande número de dados, ou seja, procura 
estabelecer conclusões para toda uma população, quando apenas se observou uma 
parte desta (denominada mostra). 
De maneira geral a Bioestatística é a Estatística aplicada a dados biológicos e 
de ciências agrárias, como tal, está interessada na coleta, organização, resumo, 
apresentação e análise de tais dados. 
8.1 Populações e amostras 
Na terminologia estatística, o grande conjunto de dados que contém a 
característica que temos interesse recebe o nome de População. Esse termo refere-
se não semente a uma coleção de indivíduos, mas também ao alvo sobre o qual reside 
o nosso interesse. Assim, nossa população pode ser tanto todo o conjunto de cervos 
em uma área de proteção, todas as árvores de uma determinada espécie na floresta 
amazônica, todas as lâmpadas produzidas em uma fábrica em um determinado 
período de tempo. Dentro dessa definição de população, poderemos, ainda, fazer uma 
distinção entre os tipos de população: 
Populações Comuns: "Uma população é um conjunto de pessoas (ou coisas) 
que possuem uma característica observável comum" – este é o conceito mais 
amplo de população, e temos como exemplos: população de pessoas que 
moram na Região Sudeste do Brasil que apresentam resultado positivo para 
hepatite C, a população de plantas de uma variedade de soja plantada na 
região sul do Brasil, a população de bovinos de corte do estado do Mato 
Grosso do Sul. 
Populações Estatísticas: "a população estatística se refere a dados 
(informação), e não às pessoas, indivíduos ou objetos" nessa abordagem, a 
população é composta de características das pessoas (ou objetos de estudo). 
Tomando o exemplo anterior, na população comum de pessoas que moram 
na Região Sudeste do Brasil que apresentam positivo parahepatite C, 
teríamos como populações estatísticas um parâmetro que indicasse se todas 
as pessoas necessitaram de transfusão sanguínea em algum momento de 
suas vidas, por exemplo. No caso da população de uma variedade específica 
de soja teríamos como população estatística, a sua produtividade. Portanto, 
a população estatística consiste em características de pessoas ou objetos de 
estudo, independente de terem sido medidas ou não. 
Amostra: Na maioria dos casos, não conseguimos acessar toda uma 
população para estudar as características de interesse, isso devido às razões 
econômicas, éticas e dificuldades de outra natureza. Assim, tomaremos 
alguns elementos dessa população para formar um grupo a ser estudado. 
Este subconjunto da população, em geral com menores dimensões, é 
denominado amostra, ou seja, qualquer subconjunto da população. 
 
24 
Dado: esse termo se refere ao registro das medições de características de 
interesse. Assim, as características tipo sanguíneo e altura de alguns, ou 
todos, os elementos de uma população são avaliadas e registradas. Os 
resultados desses processos são obtidos na forma de dados. Assim, em um 
ensaio experimental ou levantamento, o pesquisador terá medido, ou 
observado, as características que compõe a amostra e as terão registradas 
em forma de dados. Entretanto, o mesmo não será verdade no caso da 
população. Tomemos como exemplo um experimento no qual temos por 
objetivos realizar um teste clínico para aferição da pressão sanguínea dos 
alunos de uma determinada universidade. Nesse caso, será impraticável 
medir a pressão sanguínea de todos os alunos, mas é bastante razoável fazer 
medições em uma amostra de 50 dessas pressões sanguíneas. 
Variável: Uma característica que pode diferir de uma entidade biológica para 
outra é denominada variável. É a característica de estudo do pesquisador. As 
informações a respeito das variáveis de interesse são armazenadas na forma 
de dados. (PANOSSO, 2015, p. 3). 
8.2 Parâmetros estatísticos 
 De acordo com Panosso (2015) os conceitos de parâmetros e estatísticas se 
relacionam fortemente aos conceitos de população e amostra. Um parâmetro é 
definido como qualquer resumo dos elementos de uma população, enquanto o resumo 
provável de elementos de uma amostra é chamado de estatística (medida, métrica) 
(não confundir com o nome da disciplina Estatística). Assim, a pressão sanguínea 
média de todos os alunos de uma universidade seria um parâmetro enquanto que a 
pressão sanguínea média dos alunos de uma determina turma (amostra) dessa 
universidade seria uma estatística. Os valores dos parâmetros de uma população não 
são, normalmente, disponíveis ao pesquisador. Por outro lado, os valores das 
estatísticas estão prontamente disponíveis. 
 
 
25 
Fonte: Panosso, 2015, p. 4. 
Observe que os parâmetros são representados por letras gregas, 
enquanto as estatísticas são representadas pelo alfabeto romano ou por uma 
forma dele. Por exemplo, a média de uma população é representada pela letra 
grega  (pronuncia-se "mi") enquanto o mesmo resumo de dados de uma 
amostra é representado por (pronuncia-se "xis barra"). 
 
Fonte: Panosso, 2015, p. 5. 
9 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
Fonte: grupoescolar.com 
9.1 Escalas de Medidas e Tipos de Variáveis 
 De acordo com Panosso (2015), a palavra medir significa atribuir números, 
letras, palavras ou outro símbolo a pessoas ou coisas com o objetivo de transmitir a 
informação sobre as variáveis que são medidas: exemplos: atribuímos 220 mL dL-1 
 
26 
para indicar o nível de colesterol de uma pessoa; 1,80 m para indicar a altura desse 
mesmo indivíduo; "F" ou "M" para representar o gênero desse indivíduo. Nesse 
contexto, as escalas de medidas podem ser concebidas em 4 níveis diferentes, 
nominal, ordinal, intervalar e razões. 
Escala Nominal: é a menos sofisticada das quatro escalas. Produz 
classificações com base em uma avaliação qualitativa da característica sem nenhuma 
informação referente à quantidade ou valor. Ou seja, não existem os conceitos de 
"maior" ou "menor", portanto, a comparação entre os dados deve ser feita com base 
em "semelhante" ou "divergente". 
Escala Ordinal: Semelhante à Nominal, ela classifica as pessoas ou coisas, 
porém tais classificações incorporam os atributos "maior que" e "menor que". Esse 
sistema, apesar de ordenar, não permite a indicação em termos de quanto mais ou 
menos. A partir dessas duas primeiras escalas de medidas, podemos definir o primeiro 
tipo de variável: 
Variável Qualitativa: ou seja, é aquela que apresenta como possíveis 
realizações uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado, podendo ser: 
a) Nominal: é aquela para a qual não existe ordenação alguma das 
possíveis realizações. Exemplos: sexo, grupo sanguíneo, tipo de doença, 
causa da morte, cor. 
b) Ordinal: é aquela para a qual existe certa ordem nos possíveis resultados. 
Exemplos: avaliação ao nascer de animais, estágio de uma doença, 
aparência, classe social, grau de instrução, gestão de dor (nenhuma, 
leve, moderada, forte). (PANOSSO, 2015, p. 5). 
Continuando a definição das escalas de medidas temos: 
Escala Intervalar: Nessa escala acrescenta-se o atributo "quanto mais" e 
"quanto menos". A temperatura é um exemplo clássico. Uma leitura de 70 medida em 
unidades iguais a partir de um termômetro de Célsius, representa 5 unidades em graus 
a mais que a leitura de 65. O mesmo acontece para as leituras de 100 e 95. Essa 
escala tem como deficiência a falta de um ponto zero verdadeiro. Ou seja, o ponto 
zero na escala não representa ausência da característica. Podemos ter uma leitura de 
0 oC, e não significa que não houve temperatura, pois poderíamos ter uma leitura de 
-10 oC no dia seguinte. Ou seja, essa escala não permite a formação de razões 
(quocientes) significativas, ou seja, não podemos afirmar de maneira incontestável 
que uma leitura de 40 oC é o dobro daquela de 20 oC. Outros exemplos, Altitude 
 
27 
(elevação acima do nível do mar), tempo, o potencial elétrico, as direções em um plano 
medidas por ângulos que tem a direção zero arbitrária, Panosso (2015). 
Escalas de proporcionalidade ou razões: É semelhante à escala intervalar, 
exceto por possuir um ponto zero verdadeiro. Considere o peso de um corpo. Não 
necessitamos estabelecer um ponto zero arbitrário. O peso Zero é quase um ponto de 
referência natural. Por esta razão, faz sentido dizermos que um animal pesa duas 
vezes mais que um outro, ou que seu peso aumentou 2%. O quociente entre dois 
valores de peso tem significado verdadeiro, por isso, chamamos está escala de escala 
das razões ou de proporcionalidade, Panosso (2015). 
Dados Contínuos e Discretos: Existem características cujos dados podem 
assumir, qualquer valor em uma escala especificada. Por exemplo, uma pessoa pode 
pesar 70 kg e outra 71 kg. Mas é possível encontrarmos pesos entre esses dois, como 
70,5 kg. Assim como é possível encontrarmos peso entre 70 e 70,5 kg, que seria 70,25 
kg. Portanto, a precisão da medida dependerá da sensibilidade do instrumento 
utilizado para realiza-la. Esses dados são chamados de contínuos. Por outro lado, 
temos os dados discretos, cujos valores não existem em uma série contínua. A partir 
das definições de escalas de medidas (intervalar e das razões) e dos tipos de dados 
(contínuos e discretos), podemos definir o segundo tipo de variável existente na 
estatística: 
Variável Quantitativa é aquela que apresenta como possíveis realizações 
(valores) números resultantes de uma contagem ou mensuração, podendo ser: 
a) Discreta: é aquela cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou 
enumerável de números e que resultam, frequentemente, de uma contagem 
e não de mensurações em uma escala contínua. Exemplos: número de filhos, 
número de células, número de ovos, número de ácaros ou insetos em uma 
planta. 
 b) Contínua: é aquela cujos possíveis valores formam um intervalo de 
números reais eque resultam, normalmente, de uma mensuração. Exemplos: 
peso, altura, produção de leite, pressão arterial, teor de nitrogênio no solo ou 
na planta. (PANOSSO, 2015, p. 5). 
 
 Em resumo, as variáveis são classificadas, em estatística/bioestatística, como: 
 
28 
 
Fonte: Panosso, 2015, p. 5. 
9.2 Conceitos fundamentais: Somatório 
Apesar de existir vários tipos de variáveis, é muito comum em Estatística 
trabalhar-se com variáveis quantitativas, que são simbolizadas por letras maiúsculas 
como X, Y, Z, etc. As observações ou dados, por sua vez, são representadas pelas 
mesmas letras minúsculas, como x, y, z, etc. Em adição, os dados são identificados 
por um índice, ou um contador (geralmente utilizamos as letras i, j, k, l) para indicar 
tratar da 1ª observação, 2ª observação e assim por diante. Portanto, o símbolo x1 
representa a 1ª observação do conjunto de dados referente à variável quantitativa X. 
Para Panosso (2015), durante os mais variados procedimentos estatísticos, é 
muito comum o cálculo de somas de termos, ou somas de termos ao quadrado, cálculo 
de médias, entre outras, então, é usual representarmos somas por um operador 
chamado somatório que é representado pela letra grega "sigma" maiúscula Σ. Assim, 
por exemplo, a soma de 4 elementos: 
 
É representa em notação de somatório da seguinte forma: 
 
Ou seja, corresponde à soma dos termos xi onde o contador i varia de 1 a 4. O 
número de elementos é dado por n, nesse caso, n=4. Portanto, podemos representar 
a soma de todos os elementos de uma variável como: 
 
 
29 
Em função de sua própria definição, o operador somatório possui algumas 
regras, dadas a seguir: 
1. Se k é uma constante, e n é número de elementos, então: 
 
2. Se k é uma constante e xi valores de uma variável quantitativa, então: 
 
3. O somatório de uma soma de variáveis é igual à soma dos somatórios de cada 
variável. 
 
4. Em consequências das regras 1, 2, e 3, se a e b são constantes, então: 
 
Exemplos: 
A. Expresse as seguintes somas usando a notação de somatório: 
 
A. Sabendo que: 
 
Determine o valor numérico das expressões: 
 
30 
 
Lembrando que: 
 
9.3 Métodos de Numeração 
Antes de iniciarmos os estudos de estatística, faz-se necessário uma pausa 
para relembrarmos como enumerar, ou seja, devemos estudar os procedimentos 
sistemáticos de contagem ou enumeração. 
Regra da Multiplicação: Suponha-se que um procedimento denominado 1 
possa ser executado de maneiras. Admita-se que um segundo procedimento, 
denominado 2, possa ser executado de maneiras. Suponhamos, também, que 
cada maneira de executar 1 possa ser seguida por qualquer daquelas para executar 
2. Então, um procedimento formado por 1 seguido de 2 poderá ser executado de: 
maneiras. 
Exemplo: Muitos programas de melhoramento adotam o uso de escores de 
avaliação visual para estimar a composição da carcaça dos animais e a rapidez com 
que esses chegarão ao abate, um animal que será avaliado quanto à sua 
Conformação, Precocidade e Musculatura, poderá receber 3 classificações para 
Conformação, enquanto que para Precocidade e Musculatura, esse poderá receber 4 
classificações, consequentemente existem 3 . 4 . 4 = 48 maneiras que o animal pode 
ser classificado. 
Regra da Adição: Suponha-se que um procedimento denominado 1 possa ser 
executado de maneiras. Admita-se que um segundo procedimento, denominado 
 
31 
2, possa ser executado de maneiras. Além disso, suponha-se que não seja 
possível que ambos os procedimentos 1 e 2 sejam realizados em conjunto. Então, o 
número de maneiras pelas quais podemos realizar ou 1 ou 2 será: maneiras 
Exemplo: suponha-se que estejamos planejando uma visita técnica ao um 
produtor e devemos escolher entre o transporte por ônibus, ou por trem. Só existem 3 
rodovias e duas ferrovias, então existem 3 + 2 = 5 caminhos disponíveis para a 
viagem. 
Permutações: Suponha-se que nós temos n objetos diferentes. De quantas 
maneiras nPn poderemos dispor (permutar) esses objetos? Por exemplo, se tivermos 
os objetos a, b, c, poderemos permutá-los como: 
abc, acb, bac, bca, cab, cba 
Ou seja, de 6 maneiras diferentes. Considera-se, em geral, o seguinte 
esquema: Permutar os n objetos equivale a coloca-los dentro de uma caixa com n 
compartimentos, em alguma ordenação. Dentro das caixas, apresentam-se as 
opções para disposição de objetos Panosso (2015). 
 
 
O primeiro compartimento pode ser ocupado por qualquer uma das n maneiras, 
o segundo compartimento por qualquer uma das (n - 1) maneiras, ..., e o último 
compartimento apenas por 1 maneira. Portanto, aplicando-se a regra da multiplicação, 
verificamos que a caixa poderá ser carregada de n(n-1).(n-2) ... 1 maneiras. Esse 
número aparece tão frequentemente em Matemática que se adotam um nome e um 
símbolo para ele Panosso (2015). 
Definição: Sendo n um número inteiro positivo, definimos como n! = (n)(n-1)(n-
2) ... 1 e o denominamos fatorial de n. Também definimos 0! = 1. Assim, o número de 
permutação de n objetos diferentes é dado por: nPn = n! 
Arranjos: Considerando-se novamente o n objetos diferentes. Agora desejamos 
escolher r desses objetos, 0 ≤ r ≤ n e permutar os r objetos escolhidos (ou seja, 
considerando a sua ordem). Denotaremos o número de maneiras de se fazer isso 
(arranjos) por nPr. Recorremos novamente ao esquema anterior, de encher uma caixa 
 
32 
com n compartimentos. Desta vez, simplesmente paramos depois que o 
compartimento r tenha sido ocupado. 
 
Assim, o primeiro compartimento pode ser ocupado por n maneiras, o segundo 
por (n – 1) maneiras... e o de ordem r de n – (r – 1) maneiras. Portanto, o procedimento 
poderá ser executado aplicando-se a regra da multiplicação: 
n(n-1)(n-2) ... (n-r+1) 
Observe que as maneiras de preenchimento da caixa após a posição r, não nos 
interessam, então, temos que descontar do total de maneiras de ser permitas n 
objetos, n – r maneiras de permita-los. 
 
Fonte: Panosso, 2015, p. 10. 
Combinações: Considerando, novamente, n objetos diferentes. Agora 
trataremos da contagem do número de maneiras de escolher r dentre esses n objetos 
sem considerar a sua ordem. Por exemplo, temos os objetos a, b, c, d, para r =2; 
desejamos contar ab, ac, ad, bc, bd, cd; por outras palavras, não contaremos ab e ba, 
pois os mesmos objetos são incluídos e somente a ordem é diversa. 
Para obtermos o resultado geral, recordaremos a fórmula deduzida acima: o 
número de maneira de escolher r objetos dentre n e permutar os r objetos é n!/(n-r)!. 
Assim, para definirmos a combinação desse r objetos, sem considerar a ordem, vamos 
defini-la como nCr. Observe que uma vez que r objetos tenham sido escolhidos, 
 
33 
existirão r! maneiras de permutá-los. Consequentemente, aplicando-se a regra da 
multiplicação, temos que: 
 
Este número surge em muitas passagens na Matemática e, por isso, um 
símbolo especial é empregado para ele. Escrevemos: 
 
sendo definido para n inteiro e positivo e r inteiro tal que 0 ≤ r ≤ n. 
Exemplos: 
a) dentre 8 pessoas, quantas comissões de 3 membros podem ser escolhidas? 
Desde que duas comissões sejam a mesma comissão se forem construídas pelas 
mesmas pessoas (a ordem não importa) teremos: 
 
b) Com bandeiras diferentes, quantos sinais feitos com 3 bandeiras se podem 
obter? Apesar desse problema parecer-se muito com o anterior, a ordem de 
escolhas das bandeiras acarreta diferença e, por isso, temos: 
 
c) Um grupo de 8 pessoas é formado de 5 homens e 3 mulheres. Quantas 
comissões de três pessoas podem ser constituídas, incluindo exatamente dois 
homens? Aquim devemos primeiramente escolhe 2 homens entre 5 e uma 
mulher entre 3. Aplicando-se a regra da multiplicação Panosso (2015). 
 
9.4 Distribuição de frequências de uma variável 
De acordo com Panosso (2015), quando se estuda uma variável, deve-se 
conhecer a distribuição de frequência dessa variável por meio das possíveisrealizações (dados) da mesma. Ver-se-á aqui uma maneira de disposição de um 
 
34 
conjunto de valores, de modo a termos uma ideia global sobre estes valores, ou seja, 
de sua distribuição. 
 
Fonte: Panosso, 2015, p. 10. 
EXEMPLO: Um pesquisador está interessado em fazer um levantamento sobre 
alguns aspectos zootécnicos dos animais da Fazenda Z, ele elaborou a Tabela 1. De 
um modo geral, para cada elemento investigado, tem-se associado um resultado, 
correspondendo à realização de uma variável. Para a variável sexo, por exemplo, 
cada animal está associado à realização "macho" ou "fêmea". Observa-se que o 
pesquisador colheu informações sobre seis variáveis: Pai, Sexo, Peso ao Nascer 
(PN), Peso aos 12 Meses de Idade (P12), Escores (Nota) de conformação (C), 
precocidade (P) e musculatura (M) aos 12 meses de idade (os escores foram obtidos 
utilizando-se uma escala de um a dez, sendo que as notas mais altas indicam a 
presença mais marcante da característica) e Avaliação ao nascer (R para PN ≤ 24 kg; 
M para 25 ≤ PN ≤ 29 kg; E para PN ≥ 30 kg). 
A Tabela 2 é uma Tabela de Frequência para a variável quantitativa discreta 
Nota. As classes são representadas pelos diferentes valores que a variável assume 
(5, 7 e 10). No caso de uma variável qualitativa, o procedimento é o mesmo. 
A Frequência Absoluta (ni) é definida como o número de realizações no 
conjunto de dados pertencentes à classe em questão, no nosso exemplo, 
ocorreram 8 realizações da Nota 5; 32 realizações da Nota 7 e, 10 realizações 
da Nota 10. A Frequência Relativa ou proporção (fi) é definida como a 
 
35 
proporção de cada realização em relação ao Total de observações. 
(PANOSSO, 2015, p.10). 
 
Tabela 1. Informações sobre o número (Nº), pai, sexo, peso ao nascer (PN), 
peso aos 12 meses (P12), Nota (escore) aos 12 meses de idade e Avaliação ao nascer 
de 50 animais da Fazenda Z (dados hipotéticos). 
 
1 A macho 22 212 5 R 
2 A fêmea 24 226 5 R 
3 A fêmea 24 196 5 R 
4 A macho 29 219 7 M 
5 A macho 27 211 7 M 
6 A macho 26 210 7 M 
7 B fêmea 20 190 5 R 
8 C macho 32 262 10 E 
9 C fêmea 27 218 7 M 
10 A macho 28 218 7 M 
11 C fêmea 28 202 7 M 
12 C fêmea 33 198 10 E 
13 A fêmea 23 138 5 R 
14 C fêmea 29 194 7 M 
15 A fêmea 21 184 5 R 
16 C fêmea 28 190 7 M 
17 C fêmea 34 215 10 E 
18 C macho 28 228 7 M 
19 C macho 28 250 7 M 
20 A macho 24 255 7 R 
21 C fêmea 31 247 10 E 
22 A fêmea 26 215 7 M 
23 C fêmea 30 244 10 E 
24 B fêmea 25 162 7 M 
25 B fêmea 27 170 7 M 
26 B fêmea 26 198 7 M 
 
36 
27 B macho 30 177 10 E 
28 B fêmea 27 188 7 M 
29 B fêmea 27 136 7 M 
30 C fêmea 35 195 10 E 
31 B macho 29 246 7 M 
32 C fêmea 24 164 5 R 
33 B macho 25 192 7 M 
34 A fêmea 25 192 7 M 
35 C fêmea 25 175 7 M 
36 C macho 30 230 10 E 
37 C fêmea 27 174 7 M 
38 C fêmea 25 150 7 M 
39 C macho 27 185 7 M 
40 B macho 24 200 7 R 
41 C macho 29 183 7 M 
42 C fêmea 20 150 5 R 
43 B fêmea 26 133 7 M 
44 C fêmea 25 141 7 M 
45 C fêmea 28 162 7 M 
46 C macho 34 210 10 E 
47 C macho 28 201 7 M 
48 B fêmea 28 172 7 M 
49 B macho 35 196 10 E 
50 B macho 27 184 7 M 
Tabela 2. Distribuição de frequências dos animais da Fazenda Z, segundo a Nota 
(escore) de C, P ou M aos 12 meses de idade. 
 
 
37 
A Tabela 3 é a tabela de frequência para uma variável quantitativa contínua 
P12 e, nesse caso, as classes são intervalos reais (k). Inicialmente, devemos fixar o 
número de intervalos, a regra geral em diz que: uma boa representação apresenta 
um número de intervalos nunca inferiores a 5 ou superiores a 15, pois com um 
pequeno númerode classes, perde-se informação, e com um grande número de 
classes, o objetivo de resumir os dados fica prejudicado. Para exemplificar, vamos 
fixar o número de intervalos em 5 (k = 5) Panosso (2015). 
Tais intervalos são subintervalos da Amplitude Total (∆) dos dados, ou seja, 
diferença entre a maior e a menor observação, correspondendo o intervalo de 
valores numéricos que contém todos os dados observados. 
Tabela 3. Distribuição de frequências dos animais da Fazenda Z, por classe de 
P12 (pesos aos 12 meses - kg). 
 
Fonte : Tabela 1; Ni = frequência acumulada até a i-ésima classe; Fi = 
frequência acumulada relativa; 100 × Fi = porcentagem acumulada. 
Amplitude Total (∆): Para a variável Peso aos 12 meses (P12), temos: 
∆ = Máximo---Mínimo 
∆ = 262---133 
∆ = 129 
A Amplitude de classe (subintervalo, denominado ∆i) é determinado dividindo-
se a Amplitude Total em um número conveniente de subintervalos que tenham a 
mesma amplitude. Isto é feito dividindo-se a amplitude total pelo número de classes 
desejável (k=5 no nosso exemplo). Pode-se arredondar esse quociente para um 
número exato de subintervalos, acrescentando-se ao conjunto de dados, valores 
com frequência nula. 
 
38 
 
OBS: Uma forma de determinação de um número razoável, k de classes 
consiste em aplicar a fórmula de Sturges, que sugere o cálculo de k mediante a 
expressão: 
 
Em caso de uma quantidade muito grande de dados quantitativos discretos, ou 
seja, de valores que a variável assume, é conveniente construir a tabela de 
frequências do mesmo modo que é feito para uma variável contínua, isto é, 
considerando classes como subintervalos. 
Como visto, a amplitude do intervalo de classe (∆i) na Tabela 3 foi determinada 
dividindo-se a amplitude total (∆) pelo número de classes desejável (k = 5). Observe 
que o limite superior da última classe foi o valor 263, com frequência nula no nosso 
conjunto de dados, ou seja, o valor 263 não foi observado. Tal procedimento garante 
que o valor máximo do conjunto de dados seja incluído na última classe. Portanto, o 
símbolo adotado ( |---- ), significa que o extremo inferior da classe está incluído nela e 
o extremo superior excluído. Assim, o valor 159, por exemplo, está incluído na 
segunda classe. Pode-se usar também nas classes a notação [ ; ), cujo significado é 
o mesmo do anterior, ou seja, fechado à esquerda e aberto à direita. 
Procedendo-se como na Tabela 3, ao resumir os dados referentes a uma 
variável quantitativa contínua, perde-se alguma informação. Por exemplo, não se tem 
informação de como se distribuem os 6 pesos na primeira classe, a não ser que se 
investigue os dados originais (Tabela 1). Sem perda de muita precisão, pode-se supor 
 
39 
que todos os pesos de uma determinada classe sejam iguais ao ponto médio dessa 
classe (pmci), isto é, no caso da primeira, 146 kg. 
Ponto médio da classe i (pmci): é definido como o valor médio entre os limites 
superiores e inferiores de uma determinada classe (i) 
 
Densidade de frequência ou simplesmente densidade (di): definida como o 
quociente entre a área pela amplitude de classe, utilizada na construção do gráfico 
histograma, que faz com que esse não fique distorcido quando se utiliza amplitude de 
classes diferentes. Para que a área do retângulo de uma respectiva classe no 
histograma se proporcional à fi, a sua altura deve ser proporcional a fi /∆i, que é 
denominada densidade de frequência da iésima classe. 
 
Representação gráfica da distribuição de frequências Gráfico é uma 
apresentação de dados estatísticos na forma visual. Sua importância é consagrada 
em todas as ciências, pois é a maneira mais simples de resumir e apresentar a 
informação. Os principais tipos de gráficos usados na representação estatística são: 
Gráfico em barras: é um tipo de gráfico que se obtém locando os valores no 
eixo horizontal e traçando-se em cada um deles um segmento vertical de 
altura proporcional à respectiva frequência (relativa ou absoluta). Esse tipo 
de gráfico se adapta melhor às variáveis quantitativas discretas ou 
qualitativas ordinais. (PANOSSO, 2015, p. 16). 
 
40 
Panosso, 2015, p. 17 
Gráfico 1. Duas representações de gráficos de barras dos dados da Tabela 2 
 
Histograma: é um conjunto de retângulos, com bases sobre um eixo horizontal, 
divididos de acordo com os tamanhos das classes (∆i), com centros nos pontos 
médios das classes (pmci) e áreas proporcionais às frequências (fi ou ni). Em certos 
casos, é interessante que a área total da figura seja igual a 1, correspondendo à soma 
total das proporções (fi). Então, para construção do histograma, sugere-se usar no 
eixo das ordenadas os valores de fi /∆i (densidade de frequência), ou seja, da medida 
que indica qual a concentração por unidade da variável. 
 
 
 
PANOSSO, 2015, p. 17 
 
41 
Gráfico 2. Histograma do variável peso aos 12 meses (Tabela 3), utilizando a 
frequência absoluta ou relativa 
 
PANOSSO, 2015, p. 17 
Gráfico 3. Histograma do variável peso aos 12 meses (Tabela 3), utilizando a 
densidade de proporção. 
 Polígono de frequências: é um gráfico que se obtém unindo por uma poligonal 
os pontos correspondentes às frequências, das diversas classes, centradas nos 
respectivos pontos médios. Para se obter as interseções do polígono com o eixo 
horizontal, cria-se em cada extremo do histograma uma classe com frequência nula. 
 
 
PANOSSO, 2015, p. 18 
 
42 
Gráfico 4. Polígono de frequência para os dados da Tabela 3. Note que ao 
construir o polígono de frequência foram acrescentados os segmentos PQ e RS, que 
vão ter ao ponto médio imediatamente inferior e superior e cujas frequências são 
nulas. Nesse caso, a soma das áreas dos retângulos do histograma é igual área total 
limitada pelo polígono de frequência e o eixo horizontal. 
Polígono de frequências acumuladas percentuais (ou ogiva percentual): é um 
gráfico poligonal ascendente que representa a frequência acumulada abaixo de 
qualquer limite superior de classe. No eixo horizontal colocam-se as extremidades de 
classe, e no eixo vertical, as frequências acumuladas percentuais. 
 
PANOSSO, 2015, p. 19 
Gráfico 5. Polígono de frequência acumulada percentual (ou ogiva percentual) 
dos dados da Tabela 3. 
Gráfico em linha: é um dos mais importantes gráficos; representa observações 
feitas ao longo do tempo, em intervalos iguais ou não, traduzindo o comportamento 
de um fenômeno em certo intervalo de tempo. É bastante utilizado para mostrar 
tendência. 
Gráfico em setores: aplicável quando as categorias (classes) básicas são 
quantificáveis. Toma-se um círculo (360 graus), que se divide em setores com áreas 
proporcionais às frequências das diversas categorias. Esse tipo de gráfico se adapta 
muito bem às variáveis qualitativas nominais. 
Exemplo. Considerando seguintes participações no mercado da venda de 
sêmen das raças leiteiras nacionais: 
 
43 
 Holandês 50% (180 graus) 
 Gir leiteiro 29% (104 graus) 
 Jersey 10% ( 36 graus) 
 Suíça 7% ( 25 graus) 
 Outras 4% ( 15 graus) 
Observe-se que 180 graus representam precisamente 50% de 360 graus, e 
assim por diante. Solução: 
 
Gráfico 6. Gráfico em setores do exemplo. (PANOSSO, 2015, p. 20). 
 
 
9.5 Intervalos de classes desiguais 
Como mencionado anteriormente, quando os comprimentos ∆i das classes são 
diferentes, deve-se usar para a construção do histograma fi/∆i no eixo vertical, cujos 
valores são muito mais informativos para compreender a distribuição, do que as 
frequências simplesmente. É o caso do exemplo a seguir (Tabela 4). Uma outra 
vantagem diz respeito à relação entre histograma e gráfico da função densidade de 
probabilidade, que será visto mais adiante. 
Tabela 4. Distribuição de frequências dos animais da Fazenda Z, por classe de 
pesos ao nascer (kg). 
 
44 
 
Fonte: tabela 1. (PANOSSO, 2015, p. 21). 
fi /∆i = densidade de frequência da classe i 
 
Gráfico 7. Histogramado variável peso ao nascer (Tabela 4) (PANOSSO, 2015, p. 21). 
Histograma para variável discreta. Do mesmo modo que usamos um artifício 
para representar a variável contínua como discreta, podemos usar um artifício para 
construir um histograma para variáveis discretas. O Gráfico 6 é um exemplo de como 
fica o histograma da variável nota de C, P ou M aos 12 meses de idade, segundo 
dados da Tabela 2. 
 
45 
 
 PANOSSO, 2015, p. 21 
Gráfico 8. Histograma ajustado para a variável nota de C, P ou M (Tabela 2). 
Note que ao construir o histograma, os centros dos retângulos foram determinados 
pelos valores das notas, tal que a largura de cada retângulo seja igual a um (1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BERQUÓ E. S; SOUZA J. M. P; GOTLIEB S. L. D. Bioestatística. EPU, São Paulo, 
1981. 
BHATTACHARYYA, G. K.; JOHNSON, R. A. Statistical concepts and methods. 
New York: John Wiley & Sons, Inc., 1977. 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2003. 
CAMPANA, A. O.; PADOVANI, C. R.; TIMO-IARA, C.; FREITAS, C. B. D.; PAIVA, S. 
A. R.; HOSSNE, W. S. Investigação científica na área médica. São Paulo: Editora 
Manole, 2001. 
BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2003. 
CALDAS E. D, SILVA S. C, OLIVEIRA J. N. Aflatoxinas e ocratoxina A em 
alimentos e riscos para a saúde humana. Rev. Saúde Pública, 2002;36(3):319-23. 
CAMPBELL, J. M.; CAMPBELL, J. B. Matemática de laboratório – Aplicações 
médicas e biológicas. 3. ed. São Paulo: Editora Roca, 1993. DAWSON, B.; TRAPP, 
R. G. Bioestatística básica e clínica. 3. ed. Rio de Janeiro: Editora McGraw-Hill 
Interamericana do Brasil, 2003. 
CARVALHO A.T, COSTA M. J. C, FERREIRA L. O. C, BATISTA FILHO M et al. 
Cartografia do retardo estatural em escolares do estado da Paraíba. Brasil. Rev 
Saúde Pública 2000; 34(1):3-8. 
CHAMBERS J. M, CLEVELAND W. S, KLEINER B, TUKEY P. A. Graphical methods 
for data analysis. 
CORRÊA FILHO H. R; VIEIRA J. B. F; SILVA Y. S; COELHO G. E; CAVALCANTE F. 
A. C; PEREIRA M. P. Inquérito sobre a prevalência de bócio endêmico no Brasil 
em escolares de 6 a 14 anos: 1994 a 1996. Rev Panam Salud Pública 2002; 
12(5):317-325. 
DALY F; HAND D. J; JONES, M. C; LUNN AD, MCCONWAY K. J. Elements of 
Statistics, 1999. 
 
47 
DIXON W. J E MASSEY F. J. Introduction to Statistical Analysis. 2nd edit. The 
Maple Press Company, York, 1957. 
ELANDT-JOHNSON, R.C. Probability models and statistical methods in Genetics. 
New York: John Wiley & Sons, Inc., 1971. 
ESCOSTEGUY C. C; MEDRONHO R. A; MADRUGA R. et al. Vigilância 
epidemiológica e avaliação da assistência às meningites. Rev. Saúde Pública, 
2004;38(5):657-63. 
FORNES I. S; MARTINS I. S; VELASQUES-MELENDEZ G et al. Escores de 
consumo alimentar e níveis lipêmicos em população de São Paulo, Brasil. Rev. 
Saúde Pública, 2002;36(1):12-8. Hand DJ et al. A handbook of small data sets. 
Chapman&Hall, 1994. 
HOLLAND W. W; BAILEY, R; BLAND, J. M. Long-term consequences of 
respiratory disease in infancy. Journal of Epidemiology and Community Health 
1978; 32: 256-9. 
KUMMER, S. C; GIUGLIANI, E. R. J; SUSIEN, L. O et al. Evolução do padrão de 
aleitamento materno. Rev. de Saúde Pública, 2000;34(2):143-8. 
LERARIO, D.G; GIMENO, S. G; FRANCO, L. J et al. Excesso de peso e gordura 
abdominal para a síndrome metabólica em nipo-brasileiros. Rev. Saúde Pública, 
2002;36(1):4-11. 
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. São 
Paulo: Edusp, 2002. 
MEYER, P. L. Probabilidade Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: Ao Livro 
Técnico S.A, 1974. 
MLODINOW, L. O andar do bêbado. Como o acaso determina nossas vidas. Rio 
de Janeiro: Zahar, 2009. 
MONTEIRO, C. A; BENICIO M. H. D. A; ORTIZ L. P. Tendência secular do peso ao 
nascer na cidade de São Paulo (1976- 1998) Rev. Saúde Pública; 2000:34(6, 
supl):26-40. 
MOORE, D. A estatística básica e sua prática. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2000. 
 
48 
MURTEIRA, B. J. F.; BLACK, G. H. J. Estatística descritiva. Lisboa: Editora McGraw-
Hill de Portugal, 1983. 
 NORMAN, G. R.; STREINER, D. L. Biostatistics – The bare essentials. 3rd ed. St. 
Louis: Mosby-Year Book, 2008. 
PADOVANI, C. R. Exercícios de estatística básica e experimental. Departamento 
de Bioestatística, IB/UNESP, 2002. 
PAGANO, M.; GAUVREAU, K. Princípios de bioestatística. São Paulo: Editora 
Thompson, 2004. 
PANOSSO, A. R.; FARIA, G. A.; LOPES, M. L. M. Estatística e Bioestatística. São 
Paulo. SP.2015. 
PETRIE, A.; WATSON, P. Estatística em ciência animal e veterinária. São Paulo: 
Editora Roca Ltda, 2009. 
RAO, P.V. Statistical research methods in the life sciences. Pacific Grove: 
Brooks/Cole Publishing Company, 1998. 
SALSBURG, D. Uma senhora toma chá.... Como a estatística revolucionou a 
ciência no século XX. Rio de Janeiro: Zahar, 2009. 
SIEGEL, S.; CASTELLAN JR, N.J. Nonparametric statistics for the behavioral 
sciences. 2.ed. New York: McGraw-Hill, 1988. 
SOARES, J.F; SIQUEIRA A.L. Introdução à Estatística Médica, COOPMED, 2002. 
SOARES, J.F.; FARIAS, A.A.; CESAR, C.C. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: 
Guanabara Koogan S.A., 1991. 
THOMPSON, S.K. Sampling. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 
VELARDE, L. G. C. Noções de Bioestatística. 2010. 
VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier Editora, 2008. 
Elementos de estatística. 5. ed. São Paulo: Editora Atlas, 2003. 145p. 
ZAR, J. H. Biostatistical analysis. 5. Ed. New Jersey: Prentice-Hall, 2009.