GRA1594 CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110 ead-14901 01

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Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-14901.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 05/03/21 14:51
Enviado 05/03/21 15:19
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 28 minutos
Resultados
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Pergunta 1
Resposta
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da resposta:
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de
aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um
ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de
uma placa retangular é determinada por meio da função . 
 
 Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no
ponto na direção do vetor .
 
 
 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93
unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93
unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu
vetor gradiente são: , e . Assim,
dado o ponto (3,4), temos . O vetor é unitário, então
a derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada: 
.
Pergunta 2
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal
a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular
à curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de
um plano tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor
gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente
pode ser escrita como . 
 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação
do plano tangente à função no ponto P(1,-1).
 
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Comentário
da resposta:
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função 
 são: e . Calculando o valor da função e suas
derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: , e
. Assim, trocando essas informações na equação do plano
 obtemos 
 
.
Pergunta 3
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Comentário
da resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são
funções da variável , isto é, e . A derivada da função com
relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por 
 . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das
derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das
derivadas das funções e com relação à variável . 
 
 A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da
função com relação à variável , sabendo que e
 . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas:
, , e . Aplicando a regra da
cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada:
. Trocando as
expressões de e temos
.
Pergunta 4
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma
função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente
pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo:
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da resposta:
Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o
ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. 
 
 
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e
seu vetor gradiente são: , e
. Assim, . Temos ainda que
vetor unitário na direção de é o vetor . Portanto, a
derivada direcional é .
Pergunta 5
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Comentário
da resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três
variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de
componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam,
nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte
situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é
expresso pela função . 
 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a
maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto .
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial
elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P,
isto é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é
 e sua norma é
, temos que a direção
procurada é .
Pergunta 6
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um
software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro
recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento
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Comentário
da resposta:
da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas
variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma
representação geométrica da função no plano recorremos ao uso das curvas
de nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um
subconjunto do plano .
Pergunta 7
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Comentário
da resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto
é, dada a função o vetor gradiente é o vetor .
Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por
meio da seguinte expressão . 
 
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função
 no ponto .
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as
derivadas parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante):
 
 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
. 
 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e
. Logo, o vetor gradiente é .
Pergunta 8
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando
fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é
possível, também, determinar a derivada da função com relação a
qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde
que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. 
 
 
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Comentário
da resposta:
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser
expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à
derivada direcional da função no ponto na direção do vetor
 .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função 
 são: e , que implicam que o vetor gradiente seja
. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que
. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome . Logo, a derivada
direcional procurada é .
Pergunta 9
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Comentário
da resposta:
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada
etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da
cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as
variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente.
Sabemos que podemos escrever . Se e 
 e .
 
 
 Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das
variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das
variáveis e e essas últimasnão possuem dependência de nenhuma outra
variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis
independentes.
Pergunta 10
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os pares pertencentes
ao domínio de tais que , onde é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível
para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
 Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
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Quinta-feira, 20 de Maio de 2021 10h34min25s BRT
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da resposta:
A equação é uma curva de nível para a função
 para .
A equação é uma curva de nível para a função 
 para .
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de nível,
temos que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que
. Portanto, a curva de nível
da função para é dada pela equação
.