Integrais Trigonométricas de Recorrência Resultados e Cálculos

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Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Autor: Gabriel F. Ferrari
Área: Matemática, Cálculo I-II
Disciplina: Integrais na Reta
Integrais Trigonométricas de Recorrência
Resultados e Desenvolvimentos
1 Apresentação
Olá caro estudante, Meu nome é Gabriel F. Ferrari Melo e produzo conteúdo voltado para
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2 Resultados das Integrais Trigonométricas de Recorrências

∫
sinn(x)dx = − 1
n
sinn−1(x) cos(x) +
(n− 1)
n
∫
sinn−2(x)dx
∫
cosn(x)dx =
1
n
sin(x) cosn−1(x) +
n− 1
n
∫
cosn−2(x)dx
∫
tann(x)dx =
tann−1(x)
n− 1
−
∫
tann−2(x)dx
∫
secn(x)dx =
1
n− 1
tan(x) secn−2(x) +
n− 2
n− 1
∫
secn−2(x)dx
∫
cscn(x)dx = − 1
n− 1
cot(x) cscn−2(x) +
n− 2
n− 1
∫
cscn−2(x)dx
∫
cotn(x)dx = −cot(x)
n−1
n− 1
−
∫
cotn−2(x)dx
3 Função: sinn(x)
Consideremos a primitiva : ∫
sinn(x)dx (1)
1
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Autor: Gabriel F. Ferrari https://www.passeidireto.com/perfil/18881884/
Lembrando que: cos2(x) = 1− sin2(x) temos o seguinte desenvolvimento,∫
sinn(x)dx =
∫
sinn−1(x) sin(x)dx
= − sinn−1(x) cos(x) + (n− 1)
∫
sinn−2(x) cos2(x)dx
= − sinn−1(x) cos(x) + (n− 1)
∫
sinn−2(x)(1− sin2(x))dx
= − sinn−1(x) cos(x) + (n− 1)
∫
sinn−2(x)dx− (n− 1)
∫
sinn(x))dx
= − 1
n
sinn−1(x) cos(x) +
(n− 1)
n
∫
sinn−2(x)dx
4 Função: cosn(x)
Consideremos a primitiva: ∫
cosn(x)dx (2)
Lembrando que: sin2(x) = 1− cos2(x) temos o seguinte desenvolvimento,∫
cosn(x)dx =
∫
cosn−1(x) cos(x)dx
= sin(x) cosn−1(x) + (n− 1)
∫
cosn−2(x) sin2(x)dx
= sin(x) cosn−1(x) + (n− 1)
∫
cosn−2(x)(1− cos2(x))dx
= sin(x) cosn−1(x) + (n− 1)
∫
cosn−2(x)dx− (n− 1)
∫
cosn(x)dx
=
1
n
sin(x) cosn−1+
n− 1
n
∫
cosn−2(x)dx
5 Função: tann(x)
Consideremos a primitiva: ∫
tann(x)dx (3)
Lembrando que: tan2(x) = sec2(x)− 1 temos o seguinte desenvolvimento,∫
tann(x)dx =
∫
tann−2(x)(sec2(x)− 1)dx
=
∫
tann−2(x) sec2(x)dx−
∫
tann−2(x)dx
=
∫
un−2 sec2(x)
du
sec2(x)
−
∫
tann−2(x)dx
=
tann−1
n− 1
−
∫
tann−2(x)dx
2
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6 Função: secn(x)
Consideremos a primitiva: ∫
secn(x)dx (4)
Lembrando que: tan2(x) = sec2(x)− 1 temos o seguinte desenvolvimento,∫
secn(x)dx =
∫
secn−2(x) sec2(x)dx
= tan(x) secn−2(x)− (n− 2)
∫
secn−3(x) sec(x) tan2(x)dx
= tan(x) secn−2(x)− (n− 2)
∫
secn−2(x) tan2(x)dx
= tan(x) secn−2(x)− (n− 2)
∫
secn−2(x)(sec2(x)− 1)dx
= tan(x) secn−2(x)− (n− 2)
∫
secn(x)dx+ (n− 2)
∫
secn−2 dx
=
1
n− 1
tan(x) secn−2(x) +
n− 2
n− 1
∫
secn−2 dx
7 Função: cscn(x)
Consideremos a primitiva: ∫
csc2(x)dx (5)
Lembrando que: cot2(x) = csc2(x)− 1 temos o seguinte desenvolvimento,
∫
csc2(x)dx =
∫
cscn−2(x) csc2(x)dx
= − cot(x) cscn−2(x)− (n− 2)
∫
cscn−3 csc(x) cot(x) cot(x)dx
= − cot(x) cscn−2(x)− (n− 2)
∫
cscn−2 cot2(x)dx
= − cot(x) cscn−2(x)− (n− 2)
∫
cscn−2(csc2(x)− 1)dx
= − cot(x) cscn−2(x)− (n− 2)
∫
cscn dx+ (n− 2)
∫
cscn−2 dx
= − 1
n− 1
cot(x) cscn−2(x) +
n− 2
n− 1
∫
cscn−2 dx
8 Função: cot2(x)
Consideremos a primitiva: ∫
cot2(x)dx (6)
Lembrando que:cot2(x) = csc2(x)− 1 temos o seguinte desenvolvimento,
3
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∫
cot2(x)dx =
∫
cotn−2(x) cot2(x)dx
=
∫
cotn−2(x)(csc2(x)− 1)dx
=
∫
cotn−2(x) csc2(x)dx−
∫
cotn−2(x)dx
=
∫
un−2(x) csc2(x)
du
− csc2(x)
−
∫
cotn−2(x)dx
=
∫
−un−2(x)du−
∫
cotn−2(x)dx
= − u
n−1
n− 1
−
∫
cotn−2(x)dx
= −cot(x)
n−1
n− 1
−
∫
cotn−2(x)dx
4
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	1 Apresentação
	2 Resultados das Integrais Trigonométricas de Recorrências
	3 Função: sinn(x)
	4 Função: cosn(x)
	5 Função: tann(x)
	6 Função: secn(x)
	7 Função: cscn(x)
	8 Função: cot2(x)