Pesquisa operacional

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PESQUISA
OPERACIONAL 
PESQUISA OPERACIONAL 
Apresentação
Seja bem-vindo(a) à disciplina Pesquisa Operacional! Esta é uma área 
que estuda, desenvolve e aplica métodos analíticos avançados, com o 
uso de uma metodologia administrativa multidisciplinar, que agrega 
quatro ciências fundamentais – Economia, Matemática, Estatística 
e Informática –, no processo de preparação, análise e tomada de 
decisão.
Mediante esse embasamento, esta disciplina tem como objetivo 
preparar o profissional para a tomada de decisão, por meio da 
aplicabilidade gerencial, métodos estatísticos e matemáticos para 
solucionar problemas do dia a dia, e construção de modelos e 
simulações computacionais.
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Introdução 
Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a) à primeira unidade desta 
disciplina. Nela, você aprenderá sobre como foi o início da utilização 
e da exploração da Pesquisa Operacional (PO) e sua evolução em 
diversas áreas de conhecimento. Também compreenderá como 
funciona o processo de modelagem e tomada de decisão nas áreas 
gerenciais.
Como a PO tem flexibilidade de aplicações e interação multidisciplinar, 
é utilizada e reconhecida em diversas áreas de conhecimento, por 
exemplo: problemas de transporte aéreo, supply chains, esportes, 
governo, fábricas de manufatura e educação. Nesse contexto, o 
profissional de PO é preparado para assimilar problemas e resolvê-
los com o uso dos métodos analíticos e foco no resultado final.
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Histórico e evolução da Pesquisa 
Operacional e o processo de modelagem
A utilização da Pesquisa Operacional teve início durante a Segunda Guerra Mundial, 
quando uma equipe multidisciplinar de pesquisadores (matemáticos, físicos, engenheiros 
e cientistas sociais) decidiu se reunir para resolver problemas relacionados às operações 
militares (ANDRADE, 2009). 
Essa equipe de pesquisadores conseguiu alinhar detalhes de natureza complexa, como: 
logística, tática, balística, estratégia de ataque, entre outras, e aplicou o método científico 
aos problemas que lhes eram passados para solucionar.
Conforme os tais problemas chegavam, a equipe os transformava em modelos 
matemáticos, ou seja, procurava maximizar os poucos recursos disponíveis para as 
operações militares, em que conseguiam visualizar os dados e fatos, simulando (sem 
softwares e aplicativos) uma estratégia real, com dados hipotéticos. Assim, os soldados 
eram enviados ao campo de batalha com algumas estratégias e decisões a serem 
seguidas.
Com o sucesso da aplicação de Pesquisa Operacional na Segunda Guerra Mundial, após o 
seu término, os pesquisadores perceberam que as técnicas poderiam ser utilizadas tanto 
no mundo acadêmico como no mundo empresarial.
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Por volta do ano 2000, a PO teve seu impulsionamento com a popularização dos 
computadores, pois alguns cálculos, que eram difíceis e demorados de serem feitos à mão, 
foram resolvidos, tendo em vista que os problemas poderiam ser modelados e simulados 
computacionalmente.
Perante a multidisciplinaridade, atualmente, a Pesquisa Operacional (PO) tem 
aplicabilidade em todos os ramos da atividade diária. Como exemplos de aplicações reais 
da PO temos: decisões do tipo fazer ou comprar, escolha de carteira de investimento, 
escala de funcionários, problema da mistura, problema de produção e estoque, fluxo de 
caixa multiperíodo, roteirização etc.
De acordo com Andrade (2009), um trabalho de pesquisa operacional, em geral, deve 
seguir algumas fases. Conheça-as na figura a seguir. 
Porém, o autor afirma que essa sequência de passos não precisa ser engessada e indica 
quais seriam aqueles a seguir para a tomada de decisão e modelagem do problema. 
Acompanhe a breve descrição das fases, apresentada a seguir.
Percepção ou
 demanda por solução
Definição do problema
Experiência
Validação do modelo
Implementação 
do modelo
Avaliação
Solução do modelo
Construção do modelo
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Definição do problema 
Nesse passo, é preciso identificar claramente o objetivo do estudo em questão, determinar 
as alternativas de decisão preexistentes e inerentes ao problema, e reconhecer as restrições 
e limitações do problema propriamente dito.
A identificação do objetivo será uma das atividades mais importantes dentro do estudo, 
pois, a partir da sua definição, o modelo será construído.
Construção do modelo
Trata-se de representação dos objetivos em modelos matemáticos. Essa fase exigirá mais 
criatividade do analista, pois, quanto mais próximo da realidade conseguir chegar, melhor 
será o resultado obtido. Para a construção, há alguns modelos pré-estabelecidos, que são 
seguidos e adaptados, de acordo com o esperado. Esses modelos serão representados 
mais adiante.
Solução do modelo
A solução será obtida a partir do modelo criado na fase anterior, mediante um algoritmo 
e a sua simulação. Nessa fase, agilidade e conhecimento das técnicas de PO são 
fundamentais. 
Validação do modelo
O processo de validação é realizado, analisando-se a solução encontrada no sistema, ou 
seja, uma variável aderente ao sistema, e verificando se a solução é aceitável. É importante 
observar que, quando se trata de um sistema inexistente, precisa-se inicialmente fazer 
uma verificação de correspondência entre os resultados e o comportamento pretendido.
Implementação da solução
É importante que essa implementação seja feita por uma equipe devidamente treinada, 
para identificar possíveis falhas rapidamente, de modo que o sistema não seja muito 
afetado, caso o problema precise ser reformulado no todo ou em algumas partes.
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Avaliação final
A avaliação precisa ser realizada em todas as fases do processo, porém, a certificação de 
que os resultados estão de acordo com o esperado e que o modelo poderá ser aplicado 
constitui a avaliação final. 
Experiência
A experiência da equipe de tomada de decisão será primordial em todas as etapas do 
processo, pois não se pode esquecer de que o modelo é uma representação simplificada 
do processo e não absorve todas as características inerentes ao sistema. Portanto, a 
visão crítica e a experiência do profissional serão fundamentais para a aplicação e o 
alinhamento do modelo.
Caro(a) estudante, você chegou ao fim desta aula, parabéns! Nela, foi apresentado o 
mundo da Pesquisa Operacional e você pôde aprender sobre seu histórico e evolução, no 
sentido de compreender como funciona o processo de modelagem. Para complementar 
seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham esta aula. Até a 
próxima!
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Introdução 
Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a) a mais uma unidade. Nela, 
você aprenderá a analisar e entender a importância de tomar 
decisões durante o processo de modelagem. Compreenderá que 
a Pesquisa Operacional facilita muito o processo de decisão, pois 
podemos utilizar modelos mediante a abordagem inerente à área 
de conhecimento.
Assim, após a modelagem definida, pode-se fazer uma 
experimentação: avaliar e testar antes de a implementação ser 
realizada. Saiba que, com o uso de softwares de simulação, a Pesquisa 
Operacional desenvolve modelos versáteis, rápidos e interativos, 
permitindo, assim, melhor participação do homem na modelagem 
dos problemas e na tomada de decisão. 
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A tomada de decisão e o processo de 
modelagem
Quando os gestores se veem no meio de uma situação em que precisam tomar uma 
decisão entre uma série de alternativas, podem fazê-lo apenas por intuição ou realizar 
uma análise, por meio de uma modelagem.
Com a crescente quantidade de informações disponíveis nos últimos anos, ficou impossível 
montar modelos com todas essas informações, portanto, antes da modelagem, é 
necessário separar as informações relevantes das irrelevantes.
Além disso, mesmo com a infinidade de informações e modelos, a intuição dos tomadores 
de decisão ainda é muito importante, pois alguma variável pode estar sendo esquecida. 
Sendo assim, tanto a modelagem como a intuiçãosão importantes no momento da 
tomada de decisão, conforme é possível observar na figura a seguir.
Para entender melhor o processo de tomada de decisão, podemos defini-lo como sendo 
um processo de identificação do problema ou de uma oportunidade, assim como a 
seleção de uma ação a fim de resolvê-la.
Mundo Real
Gênero Modelo DecisãoResultado
Intuição
Mundo para modelar
Fonte: Adaptada de Lachtermacher (2007).
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Perceba que um problema acontece quando uma situação não está de acordo com o 
esperado; já a oportunidade surge quando existe a chance e a percepção de modificação 
no sistema, sendo possível alcançar objetivos melhores do que se espera.
Segundo Lachtermacher (2007), alguns fatores que podem afetar a tomada de decisão 
são:
 • tempo para a tomada de decisão: algumas decisões precisam ser tomadas 
imediatamente, porém, outras demandam um tempo maior, dependendo muito do 
ambiente e do tipo de processo sobre o qual se deve tomar a decisão;
 • importância da decisão: a tomada de decisão precisa ser feita de forma acertiva, pois 
o mínimo erro pode levar uma empresa à falência, então, o grau de importância vai 
depender do custo ou do prejuízo ocasionado por essa resolução;
 • ambiente: precisa-se respeitar os aspectos relacionados ao local onde será tomada a 
decisão, por exemplo, aspectos étnicos da região, clima ou economia;
 • certeza (incerteza) de risco: ter certeza de que o momento é ideal para a tomada de 
decisão, por exemplo, no caso de um país em crise financeira;
 • decisores: quanto maior for o grupo de pessoas envolvidas na tomada de decisão, 
melhor será o resultado obtido. Isso porque a tomada de decisão individual nem 
sempre será a ótima, pois, quanto mais cabeças pensantes envolvidas, melhor será o 
raciocínio para a deliberação;
 • conflito de interesses: a tomada de decisão não pode ser afetada por conflitos de 
interesses, visto que, quando ocorre um caso de divergência, pode ocorrer perda ou 
prejuízo. Portanto, o decisor final não pode se deixar afetar.
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Além disso, a tomada de decisão pode ser classificada de três formas: nível hierárquico, 
tipo de informação disponível e número de decisores.
Nível hierárquico da empresa: diferentes tipos de cargos por níveis operacionais em uma 
empresa.
 • Estratégico: composto pelo nível mais alto da empresa (diretores, acionistas, presidente, 
CEO etc.), é o nível em que são tomadas as decisões de grande impacto para a 
organização. Por exemplo: investimento para os próximos anos.
 • Gerencial: composto pelo nível intermediário da empresa (tomadores de decisão, 
coordenadores etc.), é o nível em que são tomadas as decisões de médio impacto para 
a organização. Por exemplo: estabelecimento financeiro para manter relacionamento 
comercial.
 • Operacional: composto pelo nível operacional da empresa (supervisores, funcionários 
etc.), é o nível em que são tomadas as decisões de baixo impacto para a empresa. Por 
exemplo: escala de funcionários.
Tipo de informação disponível: formas de definir as informações referentes ao processo, 
pois o sucesso no resultado dependerá das informações fornecidas de forma adequada. 
 • Estruturada: todas as variáveis relevantes ao processo são conhecidas.
 • Semiestruturada: algumas variáveis relevantes ao processo são conhecidas.
 • Não estruturada: nenhuma das variáveis relevantes ao processo é conhecida.
 • Número de decisores: quantidade de pessoas que fazem parte dos grupos 
multidisciplinares para a tomada de decisão (LACHTERMACHER, 2007).
 • Individual: a tomada de decisão é feita por apenas um agente. Não é uma opção ideal, 
pois será o ponto de vista de apenas uma pessoa.
 • Grupo: a tomada de decisão é feita por vários agentes. Aqui, teremos a visão de várias 
pessoas com pensamentes e formações diferentes e, nesse caso, a tomada de decisão 
abrangerá variáveis com visões diferentes.
As vantagens de quando o(s) agente(s) toma(m) a decisão pelo uso de modelagem são:
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 • os modelos precisam de uma boa definição dos objetivos, ou seja, isso força que os 
objetivos sejam explícitos;
 • os modelos identificam e armazenam as diferentes decisões, de acordo com os 
objetivos;
 • os modelos armazenam as diferentes decisões e as suas relações;
 • os modelos necessitam da identificação das variáveis que serão inclusas ao processo, 
além disso, precisa-se saber a qual termo elas serão quantificáveis;
 • os modelos necessitam das restrições, pois precisam saber até que ponto podem 
chegar, visto que os recursos nunca são infinitos. Portanto, precisam explicitar quais 
serão as restrições inerentes ao processo;
 • os modelos permitem adequações e entendimentos para a adaptação do processo e 
facilitação do trabalho.
Sendo assim, os modelos ou modelagem são excelentes ferramentas para a tomada de 
decisão, pois resultados consistentes podem ser avaliados e analisados, evitando-se ao 
máximo o erro em uma decisão intuitiva.
Caro(a) estudante, você chegou ao fim desta aula, parabéns! Nela, aprendeu a importância 
de tomar decisões durante o processo de modelagem e analisar a tomada de decisão. Para 
complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham 
esta aula. Até a próxima!
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Introdução 
Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a) a mais uma unidade. Nela, você 
identificará, no processo de tomada de decisão da empresa, quais 
são as questões que podem ser levantadas no procedimento de 
modelagem, simulação e análise dos resultados. Além disso, para o 
processo de modelagem, conhecerá os diferentes tipos de modelos, 
assim como as técnicas de resolução de um problema.
Nesta unidade, também será abordada a construção dos modelos 
matemáticos para a geração de informações com vistas a um cenário 
futuro, ou seja, à construção de modelos de avaliação das possíveis 
consequências futuras em uma tomada de decisão. Destaca-se 
que, com esse conhecimento, você terá mais chances de decidir 
acertadamente.
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Diferentes tipos de modelos e o processo de 
resolução de um problema
No mundo real, deparamo-nos com diversos tipos de situações, as quais precisamos 
analisar para tomar uma decisão. No processo de modelagem, são comuns essas mesmas 
ocorrências, e o analista precisa ter consciência delas para poder modelar, de acordo 
com o objetivo empresarial. Para saber mais, vejamos os diferentes tipos de modelos 
definidos por Andrade (2012): 
 • modelos conceituais: relacionam, de maneira sequencial e lógica, as informações e 
as fases do processo de decisão, de modo a permitir o desenvolvimento controlado e 
consistente com os objetivos; 
 • modelos simbólicos ou matemáticos: baseiam-se na definição de todas as informações 
e variáveis relevantes do problema de tomada de decisão, que podem ser quantificadas. 
Para representar o modelo, utilizaremos funções matemáticas e símbolos para 
descrever as ligações entre as restrições e suas limitações;
 • modelos heurísticos: são construídos quando a complexidade do problema é de tal 
ordem que a utilização de relações matemáticas se torna impraticável ou totalmente 
dispendiosa. São considerados modelos com grau de complexidade avançado.
A seguir, estudaremos detalhadamente os modelos matemáticos, pois são primordiais 
para os objetivos da Pesquisa Operacional. Os demais modelos serão abordados em 
momento oportuno. 
Modelos matemáticos
A Pesquisa Operacional consiste em uma metodologia que é mais bem desenvolvida 
quando é possível formular o problema em modelos matemáticos. Esses problemas 
dependem de vários fatores, como: relação matemática entre as variáveis, objetivos do 
encarregado da decisão, extensão do controle sobre as variáveis de decisão e nível de 
incerteza associado à variável de decisão.
Por meio desses fatores, precisa-se definir qual é o tipo de modelagem que será utilizado, 
pois os modelos matemáticos podem ser divididos em modelos de simulação e modelos 
de otimização.Modelo de simulação: os modelos de simulação buscam informar o máximo possível 
de variáveis necessárias para que o sistema represente o mundo real; sendo assim, há 
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algumas soluções para que o analista consiga definir qual seria a melhor opção. Destaca-
se que, nesse modelo, há uma flexibilidade na escolha e na tomada de decisão.
Observe o formato do modelo de simulação na figura seguinte:
Modelo de otimização: esse modelo não permite flexibilidade, pois tem uma estruturação 
que possibilita chegar somente a uma única solução ótima, de acordo com critérios 
predefinidos pelo analista.
Construção dos modelos de simulação
Os modelos de simulação procuram oferecer uma representação do mundo real, com 
o objetivo de permitir a geração e a análise de alternativas, antes da implementação de 
qualquer uma delas. Nesse modelo, o analista tem total flexibilidade nas escolhas das 
alternativas e ações a serem tomadas, conforme a conveniência do ambiente.
 • Definição do problema: é preciso definir os objetivos a serem alcançados, fazer um 
fluxograma do problema para ter ideia do processo e do problema a ser solucionado.
 • Identificação das variáveis: com a etapa anterior definida, fica mais clara a definição 
das variáveis que serão relevantes ao processo. Destaca-se que o estabelecimento 
das variáveis é de extrema importância para a qualidade do modelo.
Hipóteses Soluções
Solução
EscolhidaProcesso de
escolha da melhor
solução
Modelo de
Simulação
Dados de 
Entradas no Sistema
Decisão
Solução
ótima
- Formulação do sistema
- Critério de seleção da alternativa
Modelo de Otimização
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• Formulação das equações do modelo: defi nidas as variáveis, é preciso organizá-las 
em formulações matemáticas, as quais podem ser defi nidas por meio da lógica do 
problema, de técnicas de estimação ou derivadas de outras variáveis por meio de 
relações algébricas.
• Implementação do modelo: essa fase deve ser realizada por especialistas, pois, 
geralmente, os modelos são complexos. Nos últimos anos, as planilhas eletrônicas 
estão sendo muito utilizadas nessa etapa.
• Teste do modelo: nessa fase, todo cuidado é necessário, pois serão realizados testes 
para ajustar o modelo, sendo preciso, inclusive, criar alguns cases para testar o modelo.
• Aplicação do modelo: após a validação do modelo, já é possível utilizá-lo para gerar 
respostas.
Exemplo: vejamos um exemplo muito simples, com o objetivo de exemplifi car cada uma 
das etapas. Suponha que uma empresa está iniciando no mercado com apenas um 
produto e deseja simular o lucro máximo que pode obter, de acordo com os diversos 
preços para o produto.
a. Defi nindo o problema: para esse problema, precisamos relacionar preço com a receita, 
sabendo que preço e demanda têm uma relação inversamente proporcional e, como 
consequência, a receita também varia em função do preço.
b. Defi nindo as variáveis: inicialmente, são defi nidas quatro variáveis: preço, quantidade, 
receita e lucro, em que:
• preço: é o preço praticado na venda;
• quantidade: é a quantidade vendida;
• receita: é a receita total obtida com as vendas;
• lucro: é o lucro líquido obtido pela venda, ou seja: lucro = receita – custo.
c. Construindo o modelo: para a construção do modelo, precisa-se saber qual é a relação 
entre preço e demanda para poder simular o lucro em função do preço. Nesse 
momento, transformam-se os dados do problema em formulação matemática. Por 
exemplo:
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d. Aplicação do modelo: com a validação do modelo, o analista pode escolher o preço 
dentro dos valores obtidos com a solução.
Construção dos modelos de otimização
Os modelos de otimização procuram oferecer uma representação do mundo real, porém, 
com o objetivo de encontrar a sua utilização em problemas nos quais as variáveis podem 
assumir muitos valores ou variar em um grande intervalo. Nesse modelo, o analista não 
tem flexibilidade nas escolhas das alternativas, já que é estruturado para selecionar uma 
única alternativa, que será considerada a alternativa ótima.
 • Definição do problema: reconhecer o problema, para o qual será feita a otimização da 
melhor solução.
 • Identificação das variáveis: a definição das variáveis é muito importante, pois, quanto 
mais variáveis que demonstrem a realidade, melhor será o modelo de otimização.
 • Formulação da função-objetivo: determina o critério de otimização das variáveis de 
decisão, escrita em formulação matemática.
 • Formulação das restrições: restringe as variáveis a determinadas situações, as quais 
devem ser escritas em formulação matemática.
 • Definição do método matemático: escolha do método matemático adequado para a 
solução do problema. 
 • Aplicação do método de solução: resolução das formulações matemáticas com o 
método para conhecer a solução.
 • Avaliação da solução: após a solução, esta deve ser avaliada por meio da experiência 
do administrador. Portanto, é necessária uma análise de sensibilidade pós-otimização.
Exemplo: vamos supor que a empresa do exemplo de simulação queira estudar sua forma 
de estocagem de modo a otimizar sua operação, reduzindo o custo.
a. Definição do problema (etapa 1): o gerente da empresa observou que o preço para 
armazenar um produto por um ano no estoque é de R$ 50. Esse custo foi levantado 
verificando-se a proporção em relação às variáveis para manter o produto no estoque. 
Consideraremos que o número de produtos no estoque será de 1.000 unidades.
b. Identificação das variáveis (etapa 2): definem-se as seguintes variáveis:
 • A: quantidade anual de produto comercializado;
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• S: custo de manutenção do estoque, por unidade, por ano;
• P: custo fi xo de colocação da encomenda, por pedido;
• Q: quantidade ordenada ao atacadista para suprimento.
c. Construindo o modelo (etapas 3, 4 e 5): nesse exemplo, teremos um modelo de 
minimização, pois a empresa deseja reduzir os custos de estocagem, assim, a função- 
objetivo poderia ser modelada da seguinte forma:
em que:
Sendo assim, o modelo será:
Derivando a equção CT em relação a Q, igualando a zero, teremos o ponto mínimo, ou seja, 
o mínimo de encomendas necessário para o custo anual total (etapa 6). No entanto, como 
no modelo de otimização não é preciso fazer as contas manuais, o problema chegará à 
solução do ponto mínimo.
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Vejamos como seria calculado:
Resolvendo:
Sendo assim, o modelo identifi cou que a encomenda que minimizaria o custo total da 
operação do estoque seria de 200 unidades por vez.
Perceba, portanto, que, se defi nirmos a restrição de que o fornecedor poderá entregar no 
máximo 180 unidades, a encomenda mais econômica será a de 180 unidades.
Observe, na próxima fi gura, o processo de minimização sobre as restrições defi nidas 
anteriormente (etapa 7):
Custo total
Custo de 
manutenção
Custo de
colocação
Quantidade
Q • = 200
Q ≤ 180
$
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Os modelos computacionais simulam todas as operações, tanto no 
estágio atual quanto sua possível evolução futura, correlacionando seu 
desenvolvimento com os diversos fatores ambientais a que a empresa 
está submetida, produzindo relatórios de lucros, perdas, fluxo de caixa 
e balanços completos que serão analisados para avaliar hipóteses. A 
integração desses modelos com o processo de planejamento de uma 
empresa é um dos fatores mais importantes para a sua eficácia como 
instrumento de análise e simulação dos resultados. (ANDRADE, 2012, p. 20).
Caro(a) estudante, você chegou ao fim desta aula, parabéns! Nela, você aprendeu os 
métodos de tomada de decisão e como definir os passos para a modelagem. Para 
complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham 
esta aula. Até a próxima!
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Introdução 
Nesta unidade, você aprenderá que, ao nos depararmos com 
situações em que é necessária a tomada de decisão e temos uma 
série de opções, um dos caminhos possíveis a ser escolhido para a 
modelagem matemáticaé utilizar planilhas eletrônicas. Isto porque 
essas planilhas nos fornecem condições de realizar simulações de 
forma fácil e prática, alterando as variáveis do problema com o 
objetivo de encontrar a solução ótima. 
Você entenderá também que o processo de criação de um modelo 
matemático ajuda no entendimento do problema e resulta em uma 
melhor tomada de decisão. O objetivo desta unidade é, portanto, 
evidenciar a utilização de planilhas eletrônicas no processo de tomada 
de decisão.
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Modelagem com planilhas eletrônicas
De acordo com Lachtermacher (2007, p. 4), “[...] uma má definição do problema nos levará 
certamente a nada, além de perda de tempo e esforço”. Sobre esse assunto, saiba que há 
várias formas de modelagem para a resolução de problemas em uma planilha eletrônica, 
e as mais utilizadas são: Modelo Caixa Preta e Diagrama de Blocos. 
Modelo Caixa Preta: todas as informações listadas ao lado esquerdo serão as variáveis e 
parâmetros de entrada e, ao lado direto, será listado o resultado final, ou seja, a saída do 
modelo.
Diagrama de Bloco: destaca a existência de relações entre as diversas variáveis do 
modelo e mostra como, a partir das variáveis externas e dos parâmetros destacados, 
chegamos às variáveis de medida de performance.
PerformanceVariáveis de Decisão
Parâmetros Consequências
MODELO
Identificação 
do problema 
Formulação do modelo
Interpretação dos resultados
Implementação e
 monitoramento
Análise dos cenários
Fonte: Lachtermacher (2007, p. 5).
Fonte: Lachtermacher (2007, p. 4).
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Os modelos apresentados são úteis na organização do problema e auxiliam na etapa 
inicial do levantamento das premissas do modelo a ser utilizado. 
Equações matemáticas
As equações matemáticas definem as relações existentes entre as variáveis do problema 
a ser resolvido. 
Por exemplo: suponha uma indústria que tem como objetivo desenvolver um modelo de 
previsão do lucro operacional mensal. Inicialmente, deve deduzir as equações que regem 
o lucro da empresa, transformando as relações entre todas as variáveis em equações 
matemáticas.
Assim, a demanda de produtos se comportará de acordo com a equação: Quantidade 
Demandada de Produto = 15.000 - (5.000 X Preço do Produto) + (5.000 X Preço Médio do 
Produto Praticado pela Concorrência).
Representação de equações no Excel
A modelagem na planilha eletrônica nos auxilia no comparativo gráfico dos resultados 
que o modelo apresenta utilizando os dados reais que foram inseridos como dados de 
entrada na planilha. Dessa forma, podemos avaliar a eficácia do modelo adotado e se há 
ou não a necessidade de substituí-lo por outro. 
PESQUISA OPERACIONAL
Observe o exemplo: uma auditoria realizada em determinada indústria identifi cou, por 
meio de dados contábeis, que o custo unitário do processo varia de acordo com a produção 
de determinado produto, ou seja, comporta-se de forma diferente da que o modelo havia 
previsto. Essa informação mostra uma falha no modelo inicial, pois um dos parâmetros do 
problema não está sendo representado adequadamente. 
Então, para tornar o nosso modelo de lucros mensais adequado, é necessário criar uma 
equação que representa, da melhor forma possível, o comportamento do custo unitário 
de processo em relação ao número de materiais produzidos. Podemos descobrir essa 
equação, pelo Excel, criando uma tabela e inserindo todos os dados contábeis coletados 
pela auditoria para, assim, poder compará-los.
 A etapa seguinte é a criação de um gráfi co de dispersão no Excel a fi m de comparar os 
resultados obtidos. Dessa forma, podemos visualizar o erro do modelo para a previsão 
dos custos de processo.
y = 7,8682x – 63727
Custo de Processo Real
Linear (Custo de Processo Real)
Custo de Processo Modelo
Custo de Processo (Real x Modelo)
400.000
200.000
0
5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000
fabricados
Fonte: Elaborada pelo autor (2019)
Fonte: Elaborada pelo autor (2019)
PESQUISA OPERACIONAL
Verificamos, primeiramente, o ajuste de um traço de tendência linear (gráfico de dispersão). 
Nesse sentido, substituindo a fórmula anterior (custo de processo = produtos produzidos X 
R$ 40,00) pela equação do traço de tendência linear (custo de processo = 0,7682 x número 
de produtos produzidos - 63727), temos um modelo final de lucros mensais mais real.
Modelos de programação matemática
De acordo com Goldbarg e Luna (2005, p. 11), “[a] Programação Matemática, na prática, é 
fortemente direcionada ao apoio da tomada de decisão no gerenciamento de sistemas de 
grande porte, especialmente no que diz respeito ao tratamento de variáveis quantificadas”. 
Andrade (2009, p. 22) complementa postulando que: “[...] em geral os recursos disponíveis 
não são suficientes para que todas as atividades sejam executadas no nível mais elevado 
que se possa desejar”. Assim sendo, o que se procura, nesses casos, é encontrar a melhor 
distribuição possível dos recursos entre as diversas tarefas ou atividades, de modo a 
atingir um valor ótimo do objetivo estabelecido. Essa relação entre as variáveis é descrita 
como equações e/ou inequações matemáticas. 
Destaca-se também que os modelos de programação matemática são os mais utilizados 
em questões gerenciais. Nessas questões, as grandezas representam as variáveis de 
decisão, e suas relações são definidas em expressões matemáticas, portanto, necessitando 
de informações quantificáveis a fim de atingir um objetivo. 
Esses modelos matemáticos podem ser classificados quanto ao nível de incerteza existente 
entre as relações das variáveis. Nesse contexto, uma interpretação feita de forma errônea, 
certamente, levará a uma perda de tempo e de esforço na resolução de determinado 
problema.
Nesta unidade, você aprendeu sobre a importância da utilização de planilhas eletrônicas 
na modelagem de situações cotidianas. Entendeu que, para utilizar tal ferramenta, 
é necessário conhecer as variáveis de entrada do problema a ser solucionado para 
que a resposta seja rápida e acertiva na tomada de decisão. Para complementar seu 
aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham esta aula. 
PESQUISA OPERACIONAL 
Introdução 
Nesta unidade, você estudará sobre como encontrar graficamente 
uma solução para o problema de otimização com duas variáveis de 
decisão.
Também vai entender que, para a resolução de tais problemas, 
devem ser identificados os objetivos, condições e restrições sob as 
quais se deve operar. Saberá como empregar métodos matemáticos 
para otimizar sistemas numéricos resultantes de dados inseridos na 
modelagem da decisão (ANDRADE, 2009).
PESQUISA OPERACIONAL
Problemas de programação linear com 
resolução gráfi ca e analítica
A estrutura relacional dos sistemas modelados pode ser representada por desenhos ou 
símbolos. Nesse contexto, o comportamento funcional pode ser representado por funções 
de desempenho em que as possíveis entradas nos subsistemas são associadas às saídas 
geradas por ele (GOLDBARG; LUNA, 2005, p. 5). 
Dessa forma, quando temos um problema que envolve apenas duas variáveis de decisão, 
a respectiva solução ótima de programação linear pode ser encontrada grafi camente. 
Observe o seguinte problema de programação linear:
No modelo apresentado, há duas variáveis básicas: X1 e X2. Vamos representá-las agora 
em um gráfi co bidirecional, tanto as restrições como a função-objetivo. 
Consideremos, inicialmente, a restrição da inequação X1 + 2 X2 ≤ 40. Além disso, temos a 
equação correspondente: X1 + 2 X2 = 40, em cujo gráfi co mostramos apenas o primeiro 
diedro, pois as variáveis somente podem receber valores positivos.
Equação: X1+2X2=40
X1+2X2=40
10 20 30 5040
Equação: X1+2X2 ≤ 40
X1
X2
5
0
0
15
10
20
25
X1+2X2 ≤ 40
10 20 30 5040
X1
X2
5
0
0
15
10
20
25
Fonte: Elaborada pelo autor (2019)
PESQUISA OPERACIONAL
Considerando o conceito utilizado em Geometria Analítica, vamos representar um ponto 
de gráfico por (X, Y), sendo que cada pontodo segmento de reta traçado representa um 
par de variavéis (X1, X2), cujo produto será 40. Como a inequação prevê que podemos 
utilizar até 40 pontos, concluímos que os pontos, ou as variáveis (X1, X2), estão na região 
positiva, abaixo do segmento de reta que foi traçado e que atendem à inequação. 
Perceba que, nos gráficos apresentados, está o resultado dessa conclusão, incluindo-se 
também o gráfico utilizado para as restrições. Utilizando o mesmo raciocínio, mostramos 
os gráficos a seguir para as restrições X1 ≤ 24 e X2 ≤ 16.
A região de soluções possíveis
Adicionando as restrições em um único gráfico, teremos o formato apresentado a seguir, 
em que a interseção entre todas essas restrições produzirá a região Simplex. Ademais, 
seus pontos representam as variavéis (X1, X2), que atenderão todas as restrições, porém, 
qualquer ponto que esteja fora dessa regão não atenderá todas essas restrições. Sendo 
assim, nosso problema se baseia em como encontrar o ponto da região que será o maior 
valor para Z.
A Restrição X1 < 24
X1 < 24
X1 = 24
05 10 15 3025
A Restrição X2 < 16
X1
X2
5
0
0
15
10
20
25
X2 < 16
X2 = 16
10 20 30 5040
X1
X2
5
0
0
15
10
20
25
Região Simplex
05 10 15 3025
X1
X2
5
0
0
15
10
20
25
Fonte: Elaborada pelo autor (2019)
Fonte: Elaborada pelo autor (2019)
PESQUISA OPERACIONAL
Plotando a função-objetivo
A função-objetivo Z=30X1+40X2 será transformada em: 
No diedro formado (X1, X2), a equação representa uma série de retas com parâmetro 
Z/40, ou seja, para cada valor atribuído a Z, teremos uma reta diferente. Destaca-se que 
todas as retas são paralelas entre si, por possuírem o mesmo coefi ciente angular (-3/4). 
Cada uma das retas do gráfi co seguinte foi criada a partir de um valor atribuído a Z, e 
qualquer ponto de uma mesma reta possui pontos ou pares de variáveis (X1, X2) que 
fornecem o mesmo valor atribuído à variável Z. Esse conjunto de retas é conhecido como 
iso-lucro.
Podemos observar que, quanto mais distante a reta está da origem, maior será o valor de 
Z correspondente. Analisando a equação:
05 10 15 3025
X1
Z = 1.200
Z = 1.040
Z = 800
X2
5
0
0
15
10
20
25
Solução Ótima
X1 = 24
X2 = 8
Z = 1.040
Fonte: Elaborada pelo autor (2019)
PESQUISA OPERACIONAL
percebemos que é semelhante à equação da reta y = ax + b, em que: a = -3/4 (coeficiente 
angular) e b = Z/40 (coeficiente linear).
O termo b representará o ponto de interseção da reta com o eixo y. Estando as retas 
paralelas entre si, quanto mais distante da origem a interseção está, maior o valor de Z e 
mais distante estará a reta da origem.
PESQUISA OPERACIONAL
Tabulação e teoremas na programação 
linear
Ao resolvermos uma programação linear manualmente, utilizamos a forma tubular do 
Método Simplex. Para tanto, devemos usar o quadro Simplex para fazer o registro apenas 
das informações básicas, que são: coefi cientes das variáveis, constantes das restrições e 
variáveis básicas e não básicas.
Dado o problema a seguir, incluindo a introdução das variáveis, temos: as variáveis 
originais do problema são as não básicas; as variáveis de folga são as básicas (lado 
esquerdo das equações). 
Para a obtenção do quadro inicial, é necessário modifi cá-lo, de modo que obtenhamos o 
quadro Simplex. Assim, temos o dicionário inicial modifi cado a partir do problema proposto 
anteriormente.
X1 + X3 = 3
X2 + X4 = 4
X1 + 2X2 + X5 = 9
Z – 5X1 – 2X2 = 0
Dessa forma, substituímos de lado as variáveis da equação que representam a função-
objetivo, ou seja, para que o valor de Z seja aumentado, devemos encontrar as variáveis 
Forma-padrão Dicionário Inicial
Fonte: Elaborada pelo autor (2019)
PESQUISA OPERACIONAL
de coefi ciente positivo da equação. Então, como as variáveis agora estão com os lados 
trocados, devemos encontrar as que possuem sinal negativo. A parada ocorrerá, portanto, 
quando todos os coefi cientes possuírem sinal positivo ou zero.
Observe o quadro do problema: 
Perceba que as variáveis básicas são apresentadas na primeira coluna e seu respectivo 
valor está na mesma linha, na coluna fi nal. Por sua vez, as variáveis que não estão na 
primeira coluna possuem valor igual a zero.
Observe que a solução encontrada foi idêntica ao método do dicionário, mas sem a 
necessidade de escrever qualquer equação. Então, temos como solução viável básica 
inicial (0,0,3,4,9) e Z = 0.
Com a solução encontrada, podemos identifi car a solução ótima, conforme os sinais dos 
coefi cientes das variáveis X1 a X5, na linha Z.
Como há coefi cientes negativos, podemos afi rmar que não atingimos a solução ótima. 
Isso porque a linha zero representa a função-objetivo, sendo assim, precisamos encontrar 
todas as variáveis que estão fora da base e que contêm o coefi ciente mais negativo, o que 
pode ser uma opção para encontrar a solução ótima.
Nesta unidade, você aprendeu que a correta formulação do problema permite a 
visualização entre as relações que são importantes entre as variáveis de decisão, 
indicando a relevância que esses dados apresentam. Dessa forma, pôde avaliar quais 
são as variáveis de maior relevância, possibilitando realizar diversas tentativas sem que o 
sistema estudado seja interrompido.
Você pôde entender também que, devido à complexidade dos problemas, a compreensão 
pode criar distorções quando da realização do modelo. Esse fato acarretará soluções 
diferentes da realidade, por isso, é necessário defi nir uma sistemática para testar o modelo 
e, consequentemente, a sua solução.
Fonte: Elaborada pelo autor (2019)
PESQUISA OPERACIONAL 
Introdução 
Nesta unidade, você aprenderá a identificar os diferentes tipos de 
restrições para problemas de forma não padrão, pois nem todos 
eles se encontram na forma-padrão (maximização com restrições ≤). 
Quando esse formato foge do padrão, precisamos empregar alguns 
métodos antes da utilização do Simplex. Assim, faremos a utilização 
do Solver do Excel para implementação de alguns casos.
Aplicaremos também a programação linear ao mundo real, explorando 
uma série de exemplos com o uso do Solver do Excel, afinal, como 
sabemos, problemas do mundo real são definidos a partir de diversas 
variáveis, fato que tornaria inviável resolvê-los no formato gráfico.
PESQUISA OPERACIONAL
Diferentes restrições de problemas de 
forma não padrão (restrições de maior ou 
igual; restrições de igualdade e outros tipos) 
Conforme afirmamos na introdução, nem todos os problemas de programação linear 
seguem a forma-padrão. Portanto, no decorrer desta unidade, veremos como é o processo 
de resolução desse problema da forma não padrão. Antes, porém, vamos entender como 
seria utilizar essa mudança em um Problema de Maximização Simples.
Primeiramente, vamos lembrar de que Min (Z)=Max (-Z), quando tivermos uma solução 
ótima. Considere o exemplo a seguir para melhor ilustrar a ideia de Maximização Simples.
Para resolver esse problema, inicialmente, teríamos que introduzir a variável de folga. 
Neste caso, vamos inserir a variável nas duas primeiras equações.
Se aplicarmos a variável de folga na terceira equação (cuja equação se encontra com o 
≥), a diferença seria negativa. Considerando que para o método Simplex funcionar todas 
as variáveis precisam ser maiores ou iguais a zero, essa aplicação não seria resolvida, e a 
equação ficaria da seguinte forma:
PESQUISA OPERACIONAL
Contudo, quando organizamos todas as variáveis como uma formulação, temos a seguinte 
situação:
Perceba que o valor de X5 não condiz com a restrição do problema, a qual precisa ser 
maior ou igual a zero, portanto, esse problema não seria viável (LACHTERMACHER, 2009).
Vejamos alguns casos de restrições de maior ou igual, restrições com igualdade e 
problemas com todos os tipos de restrições e como devemos utilizar os métodos para 
tornar o problema viável.
Para iniciar o estudo dos métodos, vamos reorganizar a equação apresentada como 
ponto de partida.
Problemas com restrições de maior ou igual (≥)
Nesse tipo de problema,utiliza-se o procedimento para a função-objetivo artificial, ou 
seja, é preciso introduzir uma variável de excesso (-1) e uma variável artificial (+1), ao lado 
esquerdo da restrição. Observe o exemplo:
PESQUISA OPERACIONAL
Após a inserção da variável artificial, deve-se resolver o problema, a fim de verificar se 
existe uma solução ótima. Por meio da resolução do problema exposto, explicaremos o 
processo utilizando o método Simplex para resolução.
Saiba que, para montarmos o quadro apresentado a seguir, precisaremos modificar a 
função-objetivo. Nesse caso, teremos apenas uma variável artificial, então, nosso objetivo 
será o de minimizar o valor dessa variável. Assim, teremos: Min W=A1⟷Max-W=A1⟶-
W+A
1
=0. Se a solução ótima tiver o valor de W=0, atingiremos o objetivo de encontrar 
uma solução viável; caso contrário, chegaremos à conclusão de que o problema não tem 
uma solução viável.
Ao observar o quadro, notamos que existe uma inconsistência na função-objetivo 
(equação 1), pois, nas variáveis A1 e -W, o número 1 aparece nas duas colunas, sendo que 
o correto é aparecer apenas uma vez. Para eliminar essa inconsistência, devemos efetuar 
uma transformação linear, na equação 1. Para isso, faremos: 
PESQUISA OPERACIONAL
Como o X5 não é variável para resposta, não teremos problema com a nova linha 1. A 
partir de agora, podemos utilizar o método Simplex para a solução.
No próximo quadro, definiremos a sua menor coluna analisando a função-objetivo (linha 
1) e decidiremos a linha com o menor coeficiente (Constante (Coluna definida)):
O resultado é o apresentado no seguinte quadro:
PESQUISA OPERACIONAL
Ele se transforma, por sua vez, em:
Como na linha 1 não temos mais qualquer número negativo, significa que atingimos a 
solução ótima para o problema. Podemos observar também que, tanto a função-objetivo 
como a variável artificial, assumiram o valor 0. Portanto, a partir deste último quadro, 
podemos chegar à solução do sistema, ou seja, encontrar a solução ótima para o problema. 
Para iniciar os cálculos, precisamos apenas substituir a linha 1 na equação Z-3X
1
+5X
2
=0. 
Também retiraremos a coluna da variável artificial.
Ao substituir a função-objetivo, obteremos inconsistências no quadro, pois as variáveis X1 
e X2 estão com valores diferentes de zero. Para iniciarmos o Simplex, precisamos retirar 
essa inconsistência.
PESQUISA OPERACIONAL
Após essa alteração, poderemos utilizar o método Simplex para encontrar a solução ótima.
Problemas com restrições de igualdade (=)
O método da função artificial deve ser utilizado quando temos restrições de igualdade. A 
metodologia é a mesma para o caso de quando temos restrições do tipo maior ou igual. 
Precisa-se introduzir uma variável artificial para cada restrição de igualdade e, em seguida, 
substituir a função-objetivo pela função do somatório das variáveis artificiais. Vejamos 
um exemplo.
Inicialmente, deve-se introduzir a variável de folga na primeira restrição, e as variáveis 
artificiais na segunda e terceira restrições de igualdade. 
Em seguida, altera-se a função-objetivo: Min W=A
1
+A
2
↔Max-W=-A
1
-A
2
⟶-W+A
1
+A
2
=0 
PESQUISA OPERACIONAL
O próximo passo será montar o quadro inicial para resolver o problema e encontrar W=0, 
tornando-a uma solução viável.
O problema, a partir desse passo, segue de forma semelhante ao anterior. Sendo assim, 
chegaremos ao seguinte quadro final:
Como não existem mais variáveis negativas, significa que atingimos a solução ótima para 
o problema que foi alterado. Agora, deve-se gerar um novo quadro para encontrar a 
solução ótima, ou seja, inserir a função-objetivo.
O problema, a partir desse passo, segue de forma semelhante ao anterior. Sendo assim, 
chegaremos ao seguinte quadro final: 
PESQUISA OPERACIONAL
Como não existem mais variáveis negativas, significa que atingimos a solução ótima para 
o problema que foi alterado. Agora, deve-se gerar um novo quadro para encontrar a 
solução ótima, ou seja, inserir a função-objetivo. 
A partir deste ponto, o problema segue de forma similar ao anterior. Então, chegaremos 
ao seguinte quadro final, com o resultado da solução ótima:
Problemas com todos os tipos de restrições
Os problemas do cotidiano, geralmente, apresentam todos os tipos de restrições. Para 
solucioná-los, devemos utilizar o método da função artificial e as variáveis de folga, de 
excesso e artificiais. Observe, a seguir, um resumo para esses casos.
PESQUISA OPERACIONAL
Resumo das operações por restrição
Tipo de problema Operação necessária
Função-objetivo para minimização Transformar a minimização em maximização.
Restrições de menor ou igual Inserir a variável de folga.
Restrições de maior ou igual Inserir uma variável de excesso e outra artificial.
Restrição de igualdade Inserir uma variável artificial.
Constante negativa Multiplicar por (-1) a restrição.
PESQUISA OPERACIONAL
Aplicação de programação linear 
A programação linear é aplicada no dia a dia das empresas, pois facilita o resultado das 
soluções ótimas, mediante planilhas eletrônicas, tornando possível chegar a uma tomada 
de decisão mais rapidamente.
Nesta seção, mostraremos quais seriam as possíveis aplicações.
 • Aplicações nas decisões do tipo “fazer ou comprar”: são utilizadas nos casos em que a 
empresa decidirá se deve, ela mesma, fazer o serviço ou terceirizar.
 • Aplicações na escolha de carteira de investimentos: dizem respeito a decidir qual o 
percentual do total investido que deve ser aplicado em cada tipo de título.
 • Escala de funcionários: relaciona-se à definição de quantas pessoas devem trabalhar 
em cada dia; quantas pessoas devem ser contratadas ou quantas precisam ser 
demitidas.
 • Problema da mistura: determina qual é a proporção ideal para um produto que será 
produzido a partir de várias matérias-primas.
 • Problema de produção e estoque: tem a ver com a definição de quantos produtos a 
empresa precisa comprar e vender em cada mês, trimestre, semestre etc.
 • Fluxo de caixa multiperíodo: determina qual é o montante que deve ser aplicado em 
cada investimento disponível.
Esses são alguns exemplos de aplicação da programação linear. Todos devem ser 
resolvidos pelo Solver do Excel, sobre o qual iremos estudar na próxima seção.
PESQUISA OPERACIONAL
Solução ótima, utilizando o Solver do Excel 
Como os casos reais admitem muitas variáveis, fica inviável fazer as análises 
manualmente, portanto, a partir de agora, mostraremos uma ferramenta importantíssima 
e aliada da gerência na tomada de decisão: o Solver do Excel. Essa ferramenta é utilizada 
para que seja possível encontrar a solução ótima e analisar os resultados.
Para iniciar, tomaremos como ponto de partida o exemplo de maximização com o modelo 
já predefinido:
 • na célula A1, digite X1
 • na célula B1, digite 0
 • na célula A2, digite X2
 • na célula B2, digite 0
As células A2 e B2 guardarão os resultados das variáveis X1 e X2. Em seguida, deve-se 
definir a função-objetivo: 
 • na célula A4, digite função-objetivo
 • na célula B4, digite =11*B1+12*B2
Lembre-se de que, na célula B4, será calculado o valor da função-objetivo, automaticamente, 
a partir da definição da função. Qualquer modificação nas células B1 ou B2 fará com que 
o valor da função-objetivo seja modificado. Agora, definiremos, então, as restrições do 
problema:
 • na célula A6, digite Restrições
 • na célula B6, digite = B1+4*B2
PESQUISA OPERACIONAL
 • na célula C6, digite <=
 • na célula D6, digite 10000
 • na célula B7, digite = 5*B1+2*B2
 • na célula C7, digite <=
 • na célula D7, digite 30000
 • na célula B8, digite = B1
 • na célula C8, digite >=
 • na célula D8, digite 0
 • na célula B9, digite = B2
 • na célula C9, digite >=
 • na célula D9, digite 0
A planilha final ficará conforme está demonstrado na imagem apresentada a seguir.
PESQUISA OPERACIONAL
Com a planilha formulada, iniciaremos a utilização do Solver do Excel. Na aba “Dados”, 
clicaremos no aplicativo Solver, conformea imagem seguinte.
A partir desse momento, podemos definir os valores relacionados aos que estão 
formulados na tabela. Estabeleceremos, então, onde está cada uma das formulações na 
planilha. Na caixa “Definir Objetivo”, informaremos em qual célula está a formulação da 
função-objetivo, ou seja, em B4. Também será definido que teremos uma maximização, 
clicando em “Max”.
Na caixa “Alterando Células Variáveis”, devem ser inseridas as células que serão ajustadas, 
ou seja, B1 e B2, lembrando que essas células apresentarão o resultado para X1 e X2.
PESQUISA OPERACIONAL
Na caixa “Sujeito às Restrições”, devem ser informadas as restrições do problema. Para 
adicionar esses dados, devemos clicar no botão “Adicionar” e estabelecer qual é a posição 
na planilha para cada restrição. Também precisamos definir se teremos restrições com ≥, 
≤ ou =, sendo que esses passos devem ser repetidos até que as restrições acabem.
PESQUISA OPERACIONAL
Na etapa de definir um método de solução, selecione “Simplex”; depois, é só clicar no 
botão “Resolver”. Se tudo estiver correto, aparecerá a seguinte imagem:
Se você clicar em “OK”, a imagem será fechada e aparecerá a planilha do Excel com os 
resultados encontrados para o problema.
PESQUISA OPERACIONAL
Veja que, para esse problema, a resposta foi X1 = 5555,55, X2 = 1111,11 e Z = 74444,44.
A utilização de planilhas eletrônicas facilita significativamente os cálculos para encontrar 
a solução ótima de um problema. Faça sempre uso dessas ferramentas!
Nesta unidade, você aprendeu como lidar com problemas de ≥ e = nas restrições e utilizar 
o Solver do Excel, que é uma ferramenta de extrema importância para a otimização. Para 
complementar seu aprendizado, não deixe de realizar as atividades que acompanham 
esta aula. 
PESQUISA OPERACIONAL 
Introdução 
Nesta unidade, você aprenderá a ler um relatório de resposta do 
software Solver, do Excel; saberá verificar onde está definida cada 
variável e a função-objetivo, assim como relacionar uma variável de 
folga ou de excesso.; também entenderá como utilizar o Solver para a 
implementação de alguns casos.
Ainda nesta unidade, você aprenderá a aplicar a programação linear 
ao mundo real, na tomada de decisão em organizações financeiras; 
conhecerá problemas dos tipos decisões de comprar ou vender, 
carteira de investimentos, escala de funcionários e problemas da 
mistura. Por fim, estudará sobre problemas de controle de produção, 
estoque e fluxo de caixa multiperíodo. 
PESQUISA OPERACIONAL
Relatórios do Solver e suas aplicações 
O Solver do Excel é um simulador que nos auxilia a encontrar o resultado da solução ótima 
mais rapidamente. Juntamente com a solução, há a opção de gerar o relatório de resposta, 
sensibilidade e limites. Nesta unidade, estudaremos somente o relatório de resposta, e, 
para melhor entender e interpretar esses relatórios, vamos utilizar o modelo apresentado 
a seguir. 
Vamos, inicialmente, interpretar o relatório de respostas para o problema defi nido.
PESQUISA OPERACIONAL
Saiba que, no início do relatório, devemos inserir algumas informações a respeito da 
simulação. Por exemplo, podemos ver que o Solver utilizou a metodologia Simplex para 
a resolução e que chegou à solução após quatro iterações, levando um tempo de 0,141 
segundos. Essa informação pode ser observada nas linhas quatro e cinco do relatório. 
Além disso, o relatório mostra três planilhas: a primeira planilha tem relação com a função-
objetivo; a segunda, com as variáveis de decisão; e a terceira, com as restrições.
Na primeira coluna de cada tabela, inserimos o nome da célula que representa essa 
informação, ou seja, a função-objetivo está na célula B4. Já a segunda coluna apresenta 
o nome que foi definido para essa variável ou função. 
Na terceira coluna, para a tabela de função-objetivo e variáveis, inserimos o valor inicial 
de cada uma das variáveis e função-objetivo (nesse caso, todas elas iniciam sendo zero). 
Na quarta coluna, temos o valor para cada uma das variáveis e função-objetivo.
É importante mencionar que, na terceira planilha, relativa às restrições, cada linha se refere 
a uma restrição. A primeira coluna, como as demais, mostra qual célula está alocada à 
restrição. Na terceira coluna, temos a limitação da restrição, ou seja, o valor que está ao 
lado direito da equação. Na quarta coluna, temos a fórmula da restrição. 
Na quinta coluna, podemos ter duas respostas: “associação” ou “não associação”. 
Associação significa que a restrição está restringindo a variável e definindo a solução, e 
a não associação não restringe a variável; neste caso, é a condição de não negatividade. 
A sexta coluna, por fim, representa as variáveis de folga ou excesso para tornar a 
desigualdade uma igualdade. Essas variáveis medem a diferença entre o lado esquerdo 
e o direito das restrições. Se a diferença for positiva, devemos introduzir uma folga; se a 
diferença for negativa, devemos introduzir um excesso (ANDRADE, 2009).
PESQUISA OPERACIONAL
Decisões para organização financeira, 
incluindo compras, investimentos, escala de 
funcionários e problemas de mistura 
Neste tópico, veremos alguns modelos utilizados na tomada de decisão em organizações 
financeiras. Vale ressaltar que cada gestor organiza seus dados de acordo com 
o seu conhecimento, portanto, temos diversas formas de organização no Solver 
(LACHTERMACHER, 2014). Vejamos o primeiro caso.
Decisões do tipo fazer ou comprar
Uma fábrica de móveis de madeira maciça recebeu recentemente R$ 1.000.000,00 em 
pedidos de três tipos de móveis (mesa, aparador e cristaleira). Cada móvel precisa de 
determinado número de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A 
tabela apresentada na sequência resume esses dados. 
Móveis
Modelo Mesa Aparador Cristaleira Total
Demanda 200 unid. 250 unid. 150 unid. 600 unid.
Montagem 3 h/unid. 2,5 h/unid. 1,5 h/unid. 480 h
Acabamento 4 h/unid. 2 h/unid. 3 h/unid. 480 h
Custo de 
produção R$ 150,00 R$ 120,00 R$ 220,00
Terceirizado R$ 165,00 R$ 152,00 R$ 270,00
PESQUISA OPERACIONAL
A fábrica deseja determinar quantos móveis deve produzir internamente, e quantos 
devem ser fabricados de forma terceirizada para atender a demanda dos pedidos.
Resolução: o gestor precisa decidir qual é a melhor maneira de fazer as suas entregas, ou 
seja, maximizar o lucro de forma que consiga entregar seus produtos em tempo ótimo. 
Como estamos falando de receita, podemos usar tanto a função de maximização como 
a de minimização. Por exemplo, se utilizarmos a maximização:
E se for minimização:
O modelo será:
PESQUISA OPERACIONAL
A estrutura do Excel será detalhada conforme está demonstrado na fi gura a seguir.
O Solver será defi nido conforme a fi gura apresentada na sequência.
PESQUISA OPERACIONAL
Chegando à seguinte solução:
Isso signifi ca que a empresa precisará produzir 15 aparadores e 150 cristaleiras, além de 
terceirizar 200 mesas e 235 aparadores, gerando uma receita de R$ 896.480,00.
Escolha de carteira de investimento
Uma fi nanceira investe no mercado de ações para seus clientes e tem como regra os 
seguintes dados: não se deve investir mais do que 30% do total aplicado em um único 
investimento; acima de 45% da aplicação total deverá ser investido em títulos defi nidos 
como de maturidade (maiores do que oito anos). 
Somente podem ser feitas aplicações de alto risco de, no máximo, 45% do total investido. 
Os dados relacionados à porcentagem de retorno e riscos são apresentados na tabela 
seguinte.
PESQUISA OPERACIONAL
Retorno 
anual
Anos para 
vencimento Risco
Título 1 6,7% 12 1 – Muito baixo
Título 2 8,2% 15 3 – Regular
Título 3 10,3% 9 4 – Alto
Título 4 8,1% 5 2 – Baixo
Título 5 11,0% 9 4 – Alto
Título 6 17,7% 6 5 – Muito alto
Resolução: para esse problema, devemos determinar qual é o percentual do total investido 
que deve ser aplicado em cada um dos títulos. Além disso, o ideal é que o cliente tenha o 
melhor retorno possível.
O modelo será:
PESQUISA OPERACIONALO Solver será defi nido conforme é apresentado a seguir.
Chegando à seguinte solução:
Ou seja, a fi nanceira deverá investir: 30% no título 2; 25% no título 4; 15% no título 5; 30% no 
título 6. Esse investimento trará um retorno de 11,445%.
PESQUISA OPERACIONAL
Escala de funcionários
Uma confecção de jeans deseja determinar o número de funcionários que deverá 
contratar para o início das atividades. O gestor que está auxiliando nesse processo definiu 
um número ideal para cada dia da semana. Observe na tabela.
Dia da 
semana
N° de 
funcionários
Domingo 7
Segunda-feira 18
Terça-feira 15
Quarta-feira 14
Quinta-feira 20
Sexta-feira 17
Sábado 9
Por lei, os empregados precisam ter dois dias de folga após cinco dias consecutivos de 
trabalho. Então, vamos formular o problema para determinar o número de funcionários 
que a confecção deve contratar.
Resolução: para esse problema, devemos determinar qual é o número total de funcionários 
que deve ser contratado.
PESQUISA OPERACIONAL
O modelo será:
O Solver será defi nido conforme está apresentado.
PESQUISA OPERACIONAL
Chegando à seguinte solução:
Esse resultado indica que a confecção deverá contratar 21 funcionários, no total.
Problema de mistura
Uma empresa de cosméticos produz dois tipos de alisamento: alisa muito (AM) e liso 
extremo (LE). Os produtos são produzidos a partir de óleo de coco e óleo de copaíba. Para 
o produto fi nal ser entregue, são necessários dois insumos: Mistura A e Mistura B, que são 
vendidas separadamente ou com a mistura dos dois insumos: Mistura A com 70% de óleo 
de coco e 30% de óleo de copaíba, e mistura B, que contém 20% de óleo de coco e 80% 
de óleo de copaíba.
O preço de venda da Mistura A é de R$ 0,80 litro, e o do tipo B é de R$ 0,95 o litro, enquanto 
o óleo de coco e o óleo de copaíba, isoladamente, custam R$ 1,20 e R$ 1,75 o litro. Cada 
litro de AM requer, no mínimo, 30% de óleo de coco e 60% de óleo de copaíba, e cada litro 
de LE requer, no mínimo, 40% de óleo de coco e, no máximo, 40% de óleo de copaíba. 
Com base nesses dados, vamos formular o problema de programação linear para 
determinar a quantidade de litros ideal que deverá ser comprada para produzir exatamente 
150 litros de alisa muito (AM) e 350 litros de liso extremo (LE). 
Resolução: para esse problema, devemos determinar a quantidade de cada um dos 
produtos que serão utilizados na obtenção dos produtos fi nais AM e LE, de modo a ser 
alcançado um custo mínimo.
PESQUISA OPERACIONAL
O modelo será:
O Solver será defi nido conforme está apresentado na fi gura seguinte.
PESQUISA OPERACIONAL
Chegando à seguinte solução:
Signifi ca que a empresa de cosméticos deverá fabricar o produto Alisa Mais com 60 litros 
da solução A e 90 litros da solução B; e o produto Liso Extremo com 350 litros da solução 
A, tendo um custo de R$ 413,50.
PESQUISA OPERACIONAL
A produção e o estoque de fluxo do caixa 
multiperíodo 
O fluxo de caixa multiperíodo deseja minimizar o total a ser alocado na data zero para o 
pagamento de um investimento, analisando as opções de aplicações e retornos para, por 
exemplo, realizar o pagamento de um imóvel. 
Uma empresa está comprando uma nova sede, no valor de R$ 700.000,00, a ser pago 
à construtora em duas parcelas de R$ 200.000,00, ao fim do segundo e do quinto mês; 
e uma parcela de R$ 300.000,00, ao término da construção, no fim do sétimo mês. A 
empresa precisa gerar caixa para pagar essa compra, sendo assim, fez uma pesquisa 
de quais tipos de investimento deveria realizar para poder gerar esse caixa. O resultado 
da pesquisa está demonstrado na tabela seguinte. Então, vamos modelar o problema de 
programação linear e determinar quanto e quais investimentos deverão ser feitos a fim 
de minimizar o total de recursos alocados no íníco da construção. 
Investimento
Aplicação 
disponível 
no início 
dos meses
Meses de 
duração 
da 
aplicação
Retorno 
ao fim do 
investimento
Tipo A 1,2,3,4,5,6,7 1 2,5%
Tipo B 1,3,5 2 3,5%
Tipo C 1,4 3 4,1%
Tipo D 1 7 8,0%
Resolução: para esse problema, vamos determinar qual investimento devemos fazer, de 
modo a gerar recursos para o pagamento da nova sede, e qual é o total de recursos que 
devem ser investidos para que a empresa consiga pagar os R$ 700.000,00.
PESQUISA OPERACIONAL
O modelo será:
O Solver será defi nido conforme a fi gura a seguir.
PESQUISA OPERACIONAL
Chegando à seguinte solução:
Ou seja, a empresa precisará investir R$ 639.370,00 para pagar a compra de R$ 700.000,00. 
Deverá ainda investir nos títulos A5, A7, B1, B3 e B5.
Nesta aula, você aprendeu a utilizar o Solver para construir modelos reais na tomada 
de decisão em organizações fi nanceiras, bem como entendeu como ler um relatório de 
respostas do Solver do Excel. Para complementar seu aprendizado, não deixe de realizar 
as atividades que acompanham esta unidade.
PESQUISA OPERACIONAL 
O problema dual 
Introdução
Que tal aprender a identificar o problema dual e transformá-lo para 
encontrar a solução ótima? Por meio do problema dual e sua solução 
ótima, você analisará a sensibilidade dos problemas de programação 
linear e entenderá quais são as implicações econômicas das variáveis 
duais.
Nestes estudos, serão utilizados o Solver do Excel para análise de 
resultados e tomada de decisão, bem como será analisado o relatório 
de sensibilidade gerado pelo Solver. Assim, será possível constatar 
que existem diversos softwares de otimização de programação linear 
no mercado e mostraremos os mais utilizados.
Bons estudos! 
PESQUISA OPERACIONAL 
Problema dual e análise de sensibilidade 
(problemas da administração, alterações de 
variáveis, alterações de lucros e análise de 
relatórios)
O problema de programação linear, que é chamado de primal, traz consigo um segundo 
problema, chamado dual. Ambos estão completamente inter-relacionados, de tal maneira 
que a solução ótima de um fornece informações completas sobre o outro (ANDRADE, 
2009).
Assim, montando o problema dual, é possível observar o seguinte problema de 
programação linear, na forma algébrica.
O dual desse problema poderá ser:
Para problemas em que há as restrições de menor ou igual (≤), o problema primal é 
construído a partir dos seguintes passos:
 • cada restrição do problema corresponde a uma variável no outro;
 • os elementos do lado direito das restrições são os coeficientes da função-objetivo do 
outro;
 • se a função-objetivo de um é maximizar, a do outro será minimizar;
PESQUISA OPERACIONAL 
 • o problema de maximização tem restrições (≤), já o problema de minimização tem 
restrições (≥);
 • as variáveis de ambos os problemas precisam seguir a regra de não negatividade.
Dessa forma, analise um exemplo em que o problema dual tem o seguinte modelo:
A cada restrição, será associada uma variável dual, e não será necessário utilizar a 
restrição de não negatividade. Portanto, o problema dual seria:
Para problemas nos quais há as restrições de igualdade (=), o problema primal é construído, 
transformando a restrição de igualdade em duas restrições com (≥) e (≤). Nesse sentido, 
analise o seguinte problema de programação linear na forma algébrica.
A restrição com igualdade seria equivalente a outras duas restrições, como segue:
PESQUISA OPERACIONAL 
Assim, o modelo ficaria:
Reescrevendo o modelo na forma dual, é possível encontrar:
Como existe uma repetição do termo Y1 - Y’1, em todas as restrições e na função-objetivo, 
é possível chamá-lo apenas de Y1, simplificando o problema dual para:
Sendo assim, sempre que o modelo apresentar uma restrição de igualdade, a variável 
dual será irrestrita (Y1) (GOLDBARG; LUNA, 2005).
Após definido o modelo dual, é necessário avaliar a interpretação econômica que conduz 
ao cálculo marginal de recursos. Para melhor compreensão, será utilizado um exemplo 
como base de estudos e explicações. Observe o enunciado do problema a seguir.
Uma indústria dispõe de três recursos (A, B, C), em quantidades limitadas. Com esses 
recursos, aindústria pretende fabricar dois produtos, que chamaremos de Prod1 e Prod2. A 
tabela seguinte apresenta a utilização unitária de cada recurso em cada um dos produtos, 
assim como a disponibilidade dos recursos.
PESQUISA OPERACIONAL 
Utilização unitária e disponibilidade dos recursos
Recurso Disponibilidade Recursos gastos para fazer uma unidade de 
Prod1 Prod2
A 14 1 2
B 9 1 1
C 56 7 4
A indústria sabe que, para cada unidade produzida do Prod1, terá uma margem de lucro 
unitária de $ 5; e para cada unidade produzida do Prod2, terá uma margem de lucro de 
$ 6. O problema de programação da produção da empresa é determinar a quantidade 
a ser produzida do Prod1 e do Prod2, de modo a maximizar a margem de lucro total 
(ANDRADE, 2009).
Portanto, montando o problema inicial:
Partindo do exposto, suponha que a indústria possa vender os recursos A, B e C, em vez 
de utilizá-los na produção dos produtos Prod1 e Prod2. Sendo assim, haverá um outro 
problema, que será o de encontar o valor de cada unidade dos recursos. Dessa forma, 
será encontrada, então, uma nova variável, a qual será chamada de Y.
 • Y1 - valor do recurso A por unidade.
 • Y2 -valor do recurso B por unidade.
 • Y3 - valor do recurso C por unidade.
PESQUISA OPERACIONAL 
Assim, você encontrará o segundo problema de minimização:
O problema inicial (maximização) será chamado de problema primal, e o segundo 
(minimização), de dual. Nesse sentido, é possível interpretar, portanto, as variáveis do 
problema dual como sendo as avaliações unitárias dos recursos, relativas a quanto cada 
uma contribuiria para a obtenção de lucro total. Isso significa que, ao resolver o problema, 
as variáveis duais indicam qual variação será encontrada na função-objetivo do primal 
para cada variação unitária nos recursos.
Para resolver os dois problemas, vale ressaltar a relação entre a função-objetivo do 
problema primal e a do problema dual.
Sendo Z o valor da função-objetivo do problema primal e z do problema dual, duas 
propriedades ocorrem durante a solução:
a. para quaisquer duas soluções viáveis do primal e do dual, é possível afirmar que Z ≤ z;
b. as soluções ótimas de ambos os problemas guardam entre si a relação Max Z = min z.
Resolução do problema primal: serão colocados os valores dos coeficientes em uma 
tabela inicial que será a primeira iteração do problema.
1ª iteração
X1 X2 X3 X4 X5 b
1 2 1 0 0 14
1 1 0 1 0 9
7 4 0 0 1 56
-5 -6 0 0 0 0
Utiliza-se o método de resolução do simplex para as iterações com tabelas.
PESQUISA OPERACIONAL 
2ª iteração
X1 X2 X3 X4 X5 b
½ 1 ½ 0 0 7
½ 0 -½ 1 0 92
5 0 -2 0 1 28
-2 0 3 0 0 42
3ª iteração
X1 X2 X3 X4 X5 b
0 1 1 -1 0 5
1 0 -1 2 0 4
0 0 3 -10 1 8
0 0 1 4 0 50
A solução ótima é Z = 50, X1 = 4, X2 = 5, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 8
Resolução do problema dual: serão colocados os valores dos coeficientes em uma tabela 
inicial que será a primeira iteração do problema. Nesse caso, tornam-se necessárias duas 
fases para resolução e, após a primeira fase, encontra-se a tabela:
PESQUISA OPERACIONAL 
1ª iteração
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 b
0 1/10 1 -2/10 1/10 4/10
1 3/10 0 4/10 -7/10 22/10
0 -8/10 0 56/10 42/10 532/10
2ª iteração
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 b
0 1 10 -2 1 4
1 0 -3 1 -1 1
0 0 8 4 5 50
A solução ótima é z = 50, Y1 = 1, Y2 = 4, Y3 = 0, Y4 = 0, Y5 = 0. Conclui-se, com a resolução, 
que Z = z = 50.
Os valores das variáveis duais podem ser obtidos pela solução do problema primal, 
tomando-se os negativos dos coeficientes da última linha do quadro de variáveis básicas 
iniciais: Y1 = 1, Y2 = 4, Y3 = 0.
Propriedades primal-dual
Nos problemas do tipo primal-dual, pode-se utilizar as propriedades que podem nos 
auxiliar de alguma forma para construir o problema mais rapidamente ou até para poder 
simplificar etapas. Veja, a seguir, as principais propriedades.
Propriedade 1: em qualquer iteração do Método Simplex, no problema primal ou no 
dual, a matriz que aparece sob as variáveis básicas utilizadas na solução inicial (folga 
ou artificial) pode ser usada para gerar as contribuições unitárias no valor da função-
objetivo das variáveis da solução inicial. A operacionalização dessas propriedades pode 
ser realizada em três passos:
PESQUISA OPERACIONAL 
1. identificar os coeficientes originais da função-objetivo, correspondentes às variáveis 
básicas na atual iteração, e escrevê-los em um vetor linha, na mesma ordem das 
respectivas linhas do quadro Simplex;
2. multiplicar o vetor resultante pela matriz que aparece sob as variáveis iniciais, na sua 
respectiva iteração;
3. subtrair os coeficientes originais da função-objetivo, correspondentes às variáveis 
básicas da solução inicial, dos respectivos coeficientes obtidos no passo 2.
Propriedade 2: em qualquer iteração do primal ou do dual, os valores das variáveis na 
base podem ser obtidos pela multiplicação da matriz, definida na Propriedade 1, pelo 
vetor coluna contendo os valores originais dos recusos (vetor dos termos independentes).
Propriedade 3: em qualquer iteração do primal ou do dual, os coeficientes de qualquer 
variável nas restrições podem ser obtidos pela multiplicação da matriz, definida na 
Propriedade 1, pelo vetor coluna contendo os coeficientes originais da mesma variável 
nas restrições.
Propriedade 4: em qualquer iteração do Método Simplex, a substituição das variáveis 
duais pelos seus respectivos multiplicadores do Simplex, relativos às variáveis básicas 
da solução inicial, permite a obtenção dos coeficientes da equação Z transformada 
pela diferença entre os lados esquerdo e direito das restrições correspondentes do dual 
(ANDRADE, 2009).
Análise de sensibilidade
A análise de sensibilidade tem por objetivo verificar a validade da solução mesmo com 
as variações inseridas nos coeficientes. Para verificar os tipos de casos, será utilizado o 
problema anterior como exemplo (GOLDBARG; LUNA, 2005).
1. Variações nas quantidades de recursos
Considere a mudança da matriz bi de para e, em seguida, analise como
 afetaria os valores da solução ótima, conforme definido na propriedade 2.
PESQUISA OPERACIONAL 
Como todas as variáveis continuam positivas, a atual solução permanece viável, com 
nova solução Z = 52, X1 = 2, X2 = 7, X5 = 14.
 Considere a mudança da matriz bi de para e, em seguida, analise como 
afetaria os valores da solução ótima, conforme definido na propriedade 2.
Como a variável X1 se tornou negativa, a atual solução não é viável e, por isso, uma nova 
solução ótima deve ser procurada. 
2. Variações nos coeficientes da função-objetivo
Essas variações afetam os valores da função-objetivo (Z). Além disso, tais coeficientes 
não afetam os multiplicadores do Simplex, e os multiplicadores podem ser usados para 
conferir a otimização ao problema.
3. Variações nos coeficientes das atividades
Essas variações afetam os valores da função-objetivo (Z). Esses coeficientes afetam os 
multiplicadores do Simplex, que devem ser alterados antes de se conferir a otimização do 
problema de forma imediata.
4. Acréscimo de uma nova variável
Esse caso pode ser tomado como variações simultâneas nos coeficientes da função-objetivo 
e nos coeficientes do vetor atividade correspondentes à nova variação, e que não é básica. 
Tudo se passa como se uma nova atividade tivesse, anteriormente, coeficientes nulos.
5. Acréscimo de uma nova restrição
Uma nova restrição pode alterar a viabilidade da solução, se não for reduntante. O 
procedimento para essa análise é o seguinte:
 • testar se a nova restrição é satisfeira para a atual solução ótima. Em caso afirmativo, 
a nova restrição é reduntante;
 • se não for satisfeita, deve ser introduzida no sistema, e novos cálculos são necessários.
Para consolidar suas aprendizagens, resolva os exercícios propostos. Bons estudos!
PESQUISA OPERACIONAL 
Análise de sensibilidade 
(aplicação do Solver) 
O Solver realiza um tipo de análise de sensibilidade que considera apenas na alteração do 
coeficiente das variáveis da função-objetivo ou da constante de umarestrição de cada 
vez. Dessa forma, considere o seguinte problema: 
Após criar a planilha do Excel e adicionar o problema no Solver, você terá a seguinte 
tabela dos resultados:
Clique em “Relatório de sensibilidade” e, depois, clique em “OK”. Você constatará que o 
relatório aparecerá automaticamente em uma aba da planilha.
PESQUISA OPERACIONAL 
A figura apresenta o relatório de sensibilidade. A primeira tabela (Células Variáveis) está 
relacionado com as mudanças que podem ocorrer nos coeficientes das variáveis de 
decisão da função-objetivo. A segunda tabela (Restrições) mostra as possíveis alterações 
que as constantes das restrições podem sofrer. Na coluna B, são apresentadas as células 
que revelam as variáveis de decisão e o lado direito das restrições, enquanto na coluna 
D são apresentados os valores após o resultado da otimização. A coluna E representa os 
valores das variáveis de decisão e de folga/excesso do problema dual. 
Para consolidar suas aprendizagens, resolva os exercícios propostos. Bons estudos! 
PESQUISA OPERACIONAL 
Principais softwares de programação 
matemática 
Você estudará os principais softwares utilizados para a programação linear. O momento 
atual é considerado um tempo em que a tecnologia se faz cada vez mais presente em 
nossas vidas e na vida das empresas, por isso, investir em sistemas de otimizações torna 
o trabalho mais eficiente (LACHTERMACHER, 2007).
Cada software citado tem suas particularidades e facilidades, sendo que todos eles têm 
uma linguagem fácil e intuitiva. Para utilizá-los, pesquise mais detalhes na página do 
fabricante, que geralmente disponibiliza tutoriais gratuitos.
 • LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optimizer) utiliza solvers lineares, não lineares, 
inteiros, estocásticos e globais. É uma poderosa ferramenta e tem sido utilizada por milhares 
de empresas ao redor do mundo para maximizar lucro e minimizar custos em decisões, 
envolvendo planejamento de produção, transporte, finanças, alocação de portfólio, 
orçamento de capital, combinação, programação, inventário de alocação e muito mais. É 
utilizada para resolver problemas de programação linear, inteira e quadrátiva.
 • GAMS (General Algebraic Modeling System) é um sistema de modelagem de alto 
nível para programação e otimização matemática. Consiste em um compilador de 
linguagem em tabelas de integração de alto desempenho. Além disso, é personalizado 
para aplicações complexas de modelagem em grande escala e permite a construção 
de grandes modelos de manutenção, que podem ser adaptados rapidamente a novas 
situações. É projetado especificamente para modelar problemas de otimização de 
inteiros lineares, não lineares e mistos.
 • LINGO (Language for Intective General Optimizer) é um software de modelagem e 
resolução de problemas lineares, não lineares, quadrático, quadraticamente restrito 
e estocástico. O LINGO fornece um pacote completamente integrado, que inclui uma 
linguagem poderosa para expressar modelos de otimização, um ambiente completo para 
problemas de construção e edição e um conjunto de solucionadores rápidos integrados.
 • SOLVER é um suplemento do Microsoft Excel que você pode usar para teste de 
hipóteses. Portanto, o Solver pode ser utilizado para encontrar um valor ideal (máximo 
ou mínimo) para uma fórmula em uma célula – conforme restrições, ou limites, sobre 
os valores de outras células de fórmula em uma planilha. O Solver trabalha com um 
grupo de células, que são chamadas variáveis de decisão ou simplesmente de células 
variáveis, usadas no cálculo das fórmulas nas células de objetivo e de restrição. O 
Solver ajusta os valores nas células variáveis de decisão para satisfazer os limites sobre 
células de restrição e produzir o resultado que você deseja para a célula objetiva. Em 
PESQUISA OPERACIONAL 
resumo, você pode usar o Solver para determinar o valor máximo ou mínimo de uma 
célula alterando outras células. Por exemplo, pode alterar a quantia do seu orçamento 
publicitário projetado e analisar o efeito sobre a quantia de lucro projetado.
 • What’sBest! é um suplemento do Excel que permite criar modelos de otimização em 
grande escala em um layout de formulário livre em uma planilha. What’sBest! combina 
o poder comprovado da otimização linear, não linear (convexo e não convexo/Global), 
quadrático, quadraticamente restrito, estocástico e integral com o Microsoft Excel – o 
ambiente de modelagem de negócios mais popular e flexível em uso atualmente. 
 Você estudou sobre como lidar com problemas do tipo primal (maximização) e dual 
(minimização), bem como a analisar o relatório de sensibilidade do Solver do Excel, 
que o auxiliará a dar uma margem para a tomada de decisão. Para complementar seu 
aprendizado, não deixe de resolver os exerc´cios propostos. Bons estudos!
PESQUISA OPERACIONAL 
Problemas de redes, soluções e 
Teoria das Filas
Introdução 
Nesta unidade, você aprenderá a resolver problemas que apresentam 
múltiplas soluções e soluções degeneradas, por meio dos relatórios do 
Solver. Além disso, você estudará sobre problemas de redes, ou seja, 
de logística e transportes, utilizando a metologia de grafos; terá uma 
breve introdução sobre a Teoria de Filas, uma área muito importante 
para o desenvolvimento da empresa, de modo que os processos 
tenham um custo menor.
PESQUISA OPERACIONAL
Soluções ótimas múltiplas e soluções 
degeneradas
Alguns problemas de programação linear apresentam múltiplas soluções, ou seja, se 
houver uma solução degenerada, esse fato gerará uma solução múltipla. Como o Solver 
somente encontra uma solução por vez, seguiremos alguns passos para resolver um 
problema de soluções múltiplas (ANDRADE, 2009):
I. adicionar uma restrição ao problema que mantenha a função-objetivo no valor 
máximo;
II. trocar a função-objetivo para a maximização ou minimização de uma das variáveis 
que apresentem o acréscimo permissível e/ou o decréscimo permissível do coefi ciente 
igual a zero.
Vamos supor um exemplo, após alterarmos o coefi ciente da variável X1 da função-objetivo 
de 5 para 8.
A fi gura a seguir mostra, no relatório de respostas, a solução ótima para os dois problemas 
(problema original e problema modifi cado).
Solução ótima 
original
Solução ótima 
modificada
Célula do objetivo (máx.)
Célula Nome Valor Original Valor Final
$4$B F.O 20 20
Célula do objetivo (máx.)
Célula Nome Valor Original Valor Final
$4$B F.O 0 15,28571429
Conting.
Células variáveis
Célula Nome Valor Original Valor Final Numero Inteiro
$B$1 X1 1,571428571 2,5
Conting.$B$2 X2 3,714285714 0
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Status Margem de Atraso
$B$6 R1 10 0Associação$B$6<=$D$6
$B$7 R2 2,5 0Não-Associação$B$7<=$D$7
Conting.
Células variáveis
Célula Nome Valor Original Valor Final Numero Inteiro
$B$1 X1 0 2,5
Conting.$B$2 X2 0 0
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Status Margem de Atraso
$B$6 R1 10 0Associação$B$6<=$D$6
$B$7 R2 9 0Associação$B$7<=$D$7
PESQUISA OPERACIONAL
Podemos observar nos relatórios de respostas que, ao mudar a variável X1, a resposta é 
alterada. Precisamos verificar por que isso aconteceu, pois não ultrapassamos os limites. 
Para isso, o relatório de sensibilidade, apresentado na figura seguinte, mostra o problema 
alterado, no qual podemos notar que a margem de atraso no relatório original é 0, pois 
essa característica nos informa que o problema pode ter múltiplas soluções.
Como podemos observar, no relatório de sensibilidade, a variável X1 tem um decréscimo 
(permitido reduzir) igual a zero, resultado que nos indica várias soluções. Agora, vamos 
percorrer os passos seguintes para encontrar uma solução alternativa.
Para isso, devemos incluir uma restrição adicional, sendo que a função-objetivo ficará 
da mesma forma; porém, a variável que apresenta o limite de variação igual a zero deve 
ser minimizada ou maximizada. Como, nesse caso, a variável X2 apresenta acréscimo 
permissível zero, vamos maximizar essa variável. Vejamos essas