Eletromagnetismo A3 TASK123492

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ELETROMAGNETISMO I
UNIDADE 3 – FORÇA ELÉTRICA E FORÇA 
MAGNÉTICA
Autoria: Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues – Revisão técnica: Alexandre de 
Moraes Araújo
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Introdução
Olá, caro aluno.
As relações eletromagnéticas podem ser compreendidas, sem
sombra de dúvidas, a partir da expressão das forças elétricas,
estabelecidas dada a existência de campo elétrico em uma
situação prática, da força magnética a partir de um campo
magnético ou da presença de ambos os campos e do estudo de
como eles se relacionam. Nesta unidade, estudaremos os
principais pressupostos teóricos e práticos para a definição,
cálculo e entendimento de forças elétricas e magnéticas, sozinhas ou em conjunto.
Primeiramente, revisitaremos as principais premissas para a realização do experimento de Joseph John
Thomson, de forma que consigamos entender o que foi feito na ocasião e qual a importância dessa experiência
para o eletromagnetismo em geral, visto que ela foi responsável pela descoberta dos elétrons e, mais adiante,
permitiu que Thomson desenvolvesse um novo modelo atômico. Em seguida, estudaremos mais detalhes a
respeito das forças elétricas isoladamente – em um primeiro momento, a força magnética –; depois, veremos a
correlação entre esses dois importantes tipos de forças, incluindo estudos da atração e repulsão de fios, cálculo
do torque e momento magnético.
Nesta unidade, também analisaremos detalhes dos trabalhos de Ampère. Sabemos que a Lei de Ampère é uma
das principais bases dos estudos eletromagnéticos – seja na sua forma geral ou diferencial –, desenvolvida para
diversas situações práticas. Finalmente, entenderemos o cálculo do rotacional da densidade de fluxo magnético.
Bons estudos!
3.1 Experimento de Thomson
O físico britânico Joseph John Thomson (1856-1940) realizou uma série de experimentos no fim do século XIX
que permitiram, inclusive, delinear um novo modelo atômico, conhecido popularmente como o modelo do
“pudim de passas”. Ele serviu de base para outros modelos atômicos de grande importância e mais completos,
como o modelo de Rutherford-Bohr.
Neste tópico, veremos mais detalhes dos feitos de Thomson, com o experimento a partir do uso de um tubo de
raios catódicos e como era estabelecido o modelo do pudim de passas. Acompanhe o conteúdo!
3.1.1 Experimento e descoberta do elétron
No ano de 1897, Joseph Thomson foi responsável pela descoberta dos elétrons, o que revolucionou a forma como
o homem compreendia até então os átomos. Isso permitiu também entender diversos conceitos importantes,
como o próprio estabelecimento da energia elétrica. Por esse feito, no ano de 1906, o pesquisador recebeu o
prêmio Nobel de Física.
Assim, foi em 1897, na cidade de Cambridge, na Inglaterra (mais precisamente, no laboratório Cavendish, da
Universidade de Cambridge), que um dispositivo com raios catódicos (que posteriormente foi denominado como
“dispositivo de Thomson”) buscou medir a razão entre a carga obtida e a massa do elétron (YOUNG; FREEDMAN,
2009). Na figura a seguir, é possível observar uma imagem desse objeto, lembrando que tubos de raios catódicos
são, basicamente, tubos de vidro lacrados que não possuem ar em seu interior (ou a maior parte dele é retirada).
Nessa estrutura de vidro, a partir de dois eletrodos em uma das extremidades, aplica-se um valor
consideravelmente elevado de tensão, que fará com que seja gerado um fluxo de partículas, estabelecido do
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consideravelmente elevado de tensão, que fará com que seja gerado um fluxo de partículas, estabelecido do
catodo (eletrodo negativo) para o anodo (eletrodo positivo). Dessa forma, visto que os “raios” originam-se do
terminal catodo, podemos entender a denominação desse tipo de dispositivo. Além disso, para que o raio possa
ser visualizado facilmente, utilizam-se substâncias químicas como o fósforo, que é capaz de emitir centelhas (luz)
a partir da relação descrita.
Figura 1 - Experimento de Thomson
Fonte: Adaptada de Young e Freedman, 2009, p. 215.
#PraCegoVer: a imagem ilustra um tubo de vidro comprido, com duas partes arredondadas nas extremidades
superior e inferior, visto de frente com as extremidades lado a lado. No lado esquerdo, há a aplicação da tensão
V, contínua; trata-se do catodo, que está a uma distância de dois anodos, A e A’, através dos quais já se estabelece
o feixe de elétrons. Mais adiante, na metade do tubo, aparecem duas placas iguais, P e P’, através das quais são
estabelecidos um campo magnético de fora para dentro e um campo elétrico de cima para baixo. Na extremidade
direita, há a tela, através da qual o feixe incide.
Agora, entenderemos detalhes do funcionamento do experimento. Sabendo-se que há um vácuo bastante
considerável, como já informado anteriormente, todos os comportamentos estabelecidos no sistema devem
considerar esse fato. Os elétrons são provenientes do catodo; logo em seguida. acelerados e agrupados, de
maneira a formarem um feixe a partir da diferença de potencial estabelecida também entre os anodos (YOUNG;
FREEDMAN, 2009). Os elétrons atingem uma dada velocidade (v), diretamente dependente do potencial
aplicado, de maneira que, considerando ainda a carga elementar do elétron e a relação de energia cinética, é
possível delinearmos a seguinte expressão matemática:
Também é possível escrever que:
Os elétrons passarão, em seguida, entre as placas P e P’ e colidirão com a tela, que está coberta com um material
apropriado para que esse feixe possa ser visto (YOUNG; FREEDMAN, 2009). Sabe-se que a trajetória apresentada
por esses elétrons é retilínea, caso a equação adiante seja satisfeita:
Com essa equação combinada à anterior, tem-se:
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Ou:
Note que, tanto o campo elétrico quanto o magnético podem, de fato, ser medidos. É essa possibilidade que
permite estabelecer conclusões importantes acerca dos elétrons; mais especificamente, a respeito da razão e/m,
sendo que corresponde à massa do elétron e é a carga, como já mencionado. De forma resumida, podemosm e
concluir que o raio catódico é composto por partículas de carga negativa (são partículas subatômicas), e a massa
pode ser comparada com a do átomo de hidrogênio, por exemplo.
Para compreender o porquê de os elétrons terem sido descobertos nesse momento do experimento, é
fundamental notar que Thomson encontrou um único valor para , que não dependia do material utilizadoe/m
para o catodo ou do gás residual do tubo – na verdade, de nenhum parâmetro do experimento. Foi essa
independência que mostrou que as partículas presentes no feixe (elétrons) são uma componente comum das
matérias (YOUNG; FREEDMAN, 2009). Outro fato de grande importância é que a velocidade desenvolvida nesse
caso é de cerca de, tipicamente, 10% da velocidade da luz, algo significativamente superior. A razão geralmente
utilizada para é de aproximadamente C/kg, e a massa, por si só, é adotada como aproximadamente e/m
 kg.
A seguir, veremos mais detalhes a respeito do modelo atômico desenvolvido a partir dessa “descoberta” dos
elétrons e entenderemos como esse importante modelo possibilitou refutar relações válidas até então, como o
modelo de Dalton, que basicamente estabelecia que os átomos eram indivisíveis.
3.1.2 Modelo atômico de Thomson
Até o momento, Thomson tinha o conhecimento de que o átomo possuía uma carga total neutra. Com a
descoberta dos elétrons, ficou claro que existia, em conjunto com o modelo até então conhecido, cargas positivas
que “balanceavam” as cargas negativas dos elétrons. Assim, Thomson chegou à conclusão de que os átomos
poderiam ser representados a partir de partículas negativas, flutuando em um local repleto de cargas positivas
difusas. Na ocasião, o modelo passou a ser conhecido como “pudim de passas”, referência a uma popular
sobremesa da Inglaterra. Observe a figura a seguir, que ilustra, de forma simplificada, essa proposição.
Você sabia?
O experimento realizado por Thomson pode ser replicado para a medição de massas
atômicas e moleculares, o que também inclui a massa de íons. Um exemplo disso é o
espectrômetro de massa,de Aston, feito por volta de 1920.
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Figura 2 - Comparações do que se estabeleceu no modelo atômico de Thomson
Fonte: Adaptada de Flowers ., 2015.et al
#PraCegoVer: do lado esquerdo, sobre um prato vermelho, há uma foto do pudim de passas inglês. É uma
espécie de bolo do qual foi retirada uma fatia para mostrar seu interior cheio de passas. Do lado direito, há o
desenho de uma fatia do pudim colorida de marrom. Há vários círculos disformes de cor marrom escuro, as
passas, em que aparecem sinais de menos; ao redor desses círculos, há sinais de mais. Uma seta aponta para o
interior do pudim com a informação “matéria carregada positivamente”; embaixo, uma seta aponta para o
desenho de uma passa, que representa o elétron.
Mais adiante, outros pesquisadores e cientistas testaram a veracidade do modelo proposto por Thomson e
propuseram modelos mais completos, como o de Rutherford (1871-1937), com proposições importantes e
válidas até hoje, como o fato de que as cargas positivas estão em um menor volume dentro da estrutura atômica,
por exemplo.
3.2 Relação entre os campos elétrico e magnético
Para entendermos as principais relações que são estabelecidas entre o e o ,campo magnético campo elétrico
estudaremos as ligações entre as forças elétrica e magnética. Em seguida, verificaremos as relações de atração
/repulsão que podem ocorrer entre fios devido à condução elétrica. Além disso, veremos mais detalhes a
respeito do conceito de torque para as espiras e, por fim, definiremos o que é o momento magnético.
Vamos Praticar!
O experimento realizado por Thomson foi, sem dúvidas, um grande marco para
entendermos as diversas relações que envolvem magnetismo e eletricidade. Agora,
reflita e responda: qual foi a motivação desse pesquisador e o que permitiu que ele
afirmasse que os elétrons poderiam ser encontrados em quaisquer tipos de
elementos?
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3.2.1 Força elétrica
Primeiramente, devemos relembrar o que é a . Sabe-se que a força elétrica possui relação diretaforça elétrica
com o campo elétrico estabelecido ou pode ser definida pela Lei de Coulomb, por exemplo, considerando duas
cargas distintas. Nesse caso, tendo como base duas cargas elétricas pontuais, de módulos Q1 e Q2, colocadas no
vácuo ou em um espaço livre qualquer, define-se matematicamente que a força elétrica na carga 2 devido a 1 é:
Nesse cálculo, é a permissividade do meio (caso seja o vácuo, tem-se ϵ0), é a distância entre essas duas cargasϵ R
e é o vetor de posição da carga com relação a . O valor geralmente adotado para a permissividade noR12 1 2
vácuo é de 8,85 pF/m; para outros tipos de ambientes, esse número pode ser consultado ou experimentado. A
situação formulada pode ser representada da seguinte forma:
Figura 3 - Representação da Lei de Coulomb
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 20.
#PraCegoVer: o desenho mostra cargas Q1 e Q2 (são círculos de cor laranja) posicionadas no vácuo
(permissividade ϵ0), a uma distância R, com R12 apontando da carga 1 para a 2; a força elétrica sai da carga 2 e
aponta para fora desta, na direção R12.
Em função do campo elétrico, por outro lado, torna-se possível também definir a força elétrica produzida com
relação à carga de prova utilizada no ponto avaliado (carga q), tal que:
Ou seja, as características vetoriais serão adquiridas a partir do campo e podem existir diversas contribuições, a
serem computadas em um mesmo ponto, não só de cargas elétricas, como da presença de um campo magnético,
por exemplo. Com isso, adiante retomaremos o que é, de fato, a força magnética.
3.2.2 Força magnética
De modo similar ao que acontece entre a força elétrica e o campo elétrico, o campo magnético e a força
magnética também possuem relação direta, de forma que podemos definir essa força em função da velocidade de
movimentação (v) de uma carga de prova (Qp) e o vetor densidade de fluxo magnético (B).
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Supondo-se agora uma partícula que esteja carregada, em movimento, imersa em um campo magnético, sabe-se
que há a ação de uma força perpendicular à velocidade, que tem módulo proporcional à carga elétrica, à
velocidade e também é proporcional à densidade de fluxo magnético (EDMINISTER; NAHVI-DEKHORDI, 2013).
Dessa forma, obtemos a seguinte relação para o cálculo da força magnética:
Analise então a figura simples a seguir, que representa basicamente a força magnética estabelecida entre duas
cargas pontuais, que estão se movimentando no vácuo, a uma distância R uma da outra, e novamente com a
direção R12 para orientação do sentido:
Figura 4 - Representação da força magnética entre duas cargas pontuais
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 142.
#PraCegoVer: trata-se de uma ilustração que mostra uma carga Q1 e uma carga Q2 a uma distância R, sendo que
o vetor R12 dá a direção da carga 1 para a 2, apontando para esta última. A carga Q1 possui velocidade v1, para a
mesma direção da carga 2, porém acima desta; a velocidade da 2 possui menor intensidade. O meio é o vácuo,
sendo a permeabilidade igual a µ0; a carga 1 exerce na 2 uma força magnética Fm12, divergente à carga 2,
apontando com um ângulo fechado em relação a R e para baixo.
Considerando a permeabilidade no vácuo igual a , tem-se a seguinte relação para a força magnética
entre as cargas:
Devemos lembrar que, nesse caso, a densidade do fluxo magnético é:
Você quer ver?
Para ter uma ideia inicial, mas bastante importante, de como é estabelecida a força
magnética diretamente relacionada à presença de corrente elétrica, assista a uma
explicação acerca da força magnética sobre cargas. Clique no ícone e aproveite.
Acesse
https://www.youtube.com/watch?v=N0Hhmj4s5-k
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Considerando, por fim, que o campo magnético seja uniforme em uma dada região analisada e que a carga possui
velocidade inicial perpendicular ao campo, sabe-se que a trajetória apresentada pela carga é circular, definida
por um círculo de raio r. Pela Segunda Lei de Newton, podemos estabelecer a seguinte relação:
Também podemos dizer que:
Nessa equação, é uma medida indireta do momento linear dessa partícula, que é igual à massa pela velocidader
(mv). Além disso, sabe-se que a força magnética, diferentemente da elétrica, não realiza trabalho e, por isso, não
altera a energia cinética da partícula.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
A presença de campo elétrico e campo magnético em um mesmo local de análise é algo comum. A seguir,
veremos as principais relações entre a eletricidade e o magnetismo por meio da força magnética e da força
elétrica combinadas.
3.2.3 Relação entre forças elétrica e magnética
Para entendermos como o campo magnético e o campo elétrico estão correlacionados, considere a presença
desses dois tipos de campos em uma dada região na qual há uma partícula. Essa partícula, que também está
carregada, está sujeita à seguinte força:
Trata-se da , a partir da qual, em conjunto com as condições iniciais às quais a partícula estejaForça de Lorentz
sujeita, podemos determinar a trajetória com a superposição das forças elétrica e magnética (EDMINISTER;
NAHVI-DEKHORDI, 2013). Para entender como essa relação ocorre na prática, considere uma região com campo
magnético e campo elétrico , no qual inserimos um próton com massa de
aproximadamente 1,67.10-27 kg e carga elétrica com o mesmo módulo de um elétron. A entrada desse próton
ocorre na origem, sendo que a velocidade inicial é de 2,5.105 m/s na direção de x. Suponha que você deseje
descrever o movimento do próton considerando a realização de três voltas completas (lembre-se que, nesse
caso, a trajetória será circular). O módulo da força inicial, considerando a equação anterior, é dado por:
Por outro lado, é importante ter em mente que a componente da força, na direção z, está associada ao campo
elétrico e ao campo magnético, visto que ambos estão na direção de z. Logo, utilizando a equação do movimento
(lembre-se de conceitos da física mecânica), é possível definir para o campo elétrico que:
Já a outra componente em z, com relação ao campo B, pode ser definida como:
- -9Note que, nesse caso, utilizamos a direção , o que permite concluir que esta última componente em é quear z
define a trajetória circular desenvolvida pelo próton na região. Cada revolução demora um certo tempo, definido
pelo período, que, no exemplo, é:
Entretanto, é importante ressaltar que, na visão tridimensional, o movimento desenvolvido pela partícula será,
na verdade, helicoidal. Além disso, considerando-se que, mesmo após ocorrerem três revoluções, não há nada
nas direções x e y, então, conforme mostrado pela componente z, podemos ainda apresentar que a posição
atingida pelo próton é, a partir da direção z:
Então, P (0, 0, 37).
Agora, veremos detalhes básicos das relações de atração e repulsão entre fios, com a visualização de alguns
pontos importantes acerca do que ocorre com as interações entre correntes elétricas.
3.2.4 Atração e repulsão entre fios
Antes de mais nada, é necessário compreender qual é a força magnética sobre um elemento capaz de conduzir
corrente elétrica. Assim, considere a existência de um dado elemento de corrente elétrica, imerso em uma região
de campo magnético. Considerando o cálculo diferencial da corrente (I = dQ/dt), analogamente tem-se que:
Na equação anterior, dl é o elemento diferencial linear, acerca do comprimento do elemento de corrente, que
possui a mesma direção convencional desta. Mais ainda, sabe-se que, se o condutor é retilíneo, o campo é
constante ao longo de toda a extensão desse condutor (EDMINISTER; NAHVI-DEKHORDI, 2013). Portanto, é
possível definir a relação para a força estabelecida adiante, sendo que essa força agirá nos elétrons que formam a
corrente elétrica:
Trata-se da força exercida a partir de uma distribuição linear de carga, por exemplo, na qual a variável L
representa o comprimento desse condutor e theta é o ângulo formado entre a velocidade e B. Agora, vamos
considerar uma análise mais completa, para entender as possíveis relações entre condutores. Então, imagine que
existam dois condutores em movimento, imersos em campos estacionários. Você sabe como definir a força
magnética entre eles? Clique no ícone e descubra como!
• A força magnética, nesse caso, pode ser definida como visto anteriormente, tal que:
• Agora, também precisamos definir outro parâmetro importante, o , por meiocampo elétrico mocional
de sua intensidade, tal que temos:
Caso o condutor que atravessa o campo B possua uma grande quantidade de cargas livres, sabe-se que o campo
elétrico criado (Em) gerará uma diferença de potencial entre os dois terminais desse condutor, e o valor
dependerá desse campo (EDMINISTER; NAHVI-DEKHORDI, 2013). Considerando dois terminais distintos, a e b,
descubra a seguir como calcular a diferença de potencial.
Temos a seguinte diferença de potencial:
•
•
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Temos a seguinte diferença de potencial:
Se a velocidade forma um ângulo reto com o campo, com o condutor normal a eles, tem-se:
Devemos considerar que l é o comprimento desse condutor. Em um circuito fechado, define-se:
Caso somente parte do circuito fechado esteja em movimento, Em será nulo para qualquer outro ponto a ser
considerado na análise e a integração ocorrerá somente com relação à parcela não nula (EDMINISTER; NAHVI-
DEKHORDI, 2013). A força total entre dois circuitos filamentares 1 e 2, a partir das relações anteriores, estando
os dois posicionados a uma dada distância qualquer (d), será:
Essa relação pode parecer difícil; entretanto, algumas considerações práticas permitem simplificá-la, supondo
ainda que existam dois condutores imersos em um campo magnético e que, devido às correntes estabelecidas e à
correlação com o campo, estes poderão se mover na mesma direção ou em direção oposta, por exemplo,
conforme demandado por suas velocidades. Ademais, caso os campos sejam variáveis ao longo do tempo, tem-se:
Essa relação, estabelecida a partir das proposições apresentadas por Faraday, pode ser adotada para casos como
um circuito condutor fechado em movimento. Mais adiante, exploraremos melhor essa e outras considerações.
3.2.5 Torque
O – ou , como também é conhecido – expressa uma importante relação na físicatorque momento de uma força
e no eletromagnetismo. Ele pode ser definido matematicamente como o produto vetorial entre o vetor “braço
potente” com a força em questão. O , por sua vez, é definido por e dirige-se do ponto no qual obraço potente r
torque é obtido até o ponto no qual a força é aplicada (EDMINISTER; NAHVI-DEKHORDI, 2013). Considere então
que seja aplicada uma dada força a um cilindro, capaz de exercer livremente a rotação, tal como mostra o
diagrama aproximado a seguir:
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Figura 5 - Dedução da relação de torque
Fonte: Adaptada de Chapman, 2013, p. 6.
#PraCegoVer: trata-se de um desenho que apresenta um círculo maior, representando a visão frontal do
cilindro, com um círculo menor preto no centro representando o eixo. O raio é r e o vetor r, apontando do centro
do cilindro até o ponto no qual aplica-se a força F é representado, sendo que esse vetor r faz um ângulo com a
normal de 180 graus menos theta, com theta igual ao ângulo da normal com o prolongamento de r, para fora do
cilindro. A força F é representada por um vetor apontando para dentro do cilindro, na parte externa, também no
eixo normal. A distância do centro até a normal é r vezes seno de 180 graus menos theta, que é igual a r vezes
seno de theta.
O torque (ou conjugado) ( ) é dado então pela força aplicada em função da distância perpendicular, o que
permite seu cálculo, considerando o exemplo anterior, do cilindro em rotação, sujeito a uma dada força F (que
poderia ser uma força magnética, por exemplo):
Ou, ainda, na forma vetorial:
A unidade de medida nesse caso é N.m (Newton vezes metro). Além disso, podemos perceber, com o auxílio da
figura anterior, que o torque possuirá sentido horário, caso a força exercida faça com que a rotação do cilindro
também seja no sentido horário. Esse é um dos princípios básicos para a compreensão do funcionamento das
máquinas elétricas, considerando a “capacidade de movimentação” de uma dada carga associada a um motor,
por exemplo, por meio do torque.
3.2.6 Momento magnético
Imaginemos agora a movimentação de uma espira plana, considerando ainda que ela esteja presente em uma
região de campo magnético uniforme e que esteja sujeita a um torque, tal como é apresentado na figura a seguir:
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Figura 6 - Espira diferencial de corrente em uma região de campo magnético
Fonte: Adaptada de Hayt Jr. e Buck, 2013, p. 255.
#PraCegoVer: o desenho mostra o eixo xy, com uma espira quadrada e plana centrada na origem O, sendo que
nela circula a corrente I no sentido anti-horário. Sua largura é dx (no sentido x) e sua altura é dy (no sentido y).
Há a marcação de quatro pontos distintos, com o ponto 1 no eixo y na parte negativa, o 2 no eixo x na positiva, o
3 no eixo y na positiva e o 4 no eixo x na parte negativa, todos no contorno dessa espira. A espira está imersa em
uma região de campo magnético, B, com linhas de campo atravessando a espira de baixo para cima, da esquerda
para a direita.
Agora, acompanhe alguns cálculos. Clique nos ícones e observe com atenção.
• O torque, nesse caso, pode ser dado na forma diferencial, tal que:
• Agora, definiremos de fato as contribuições de cada um dos lados. Assim, o vetor força no lado 1 é:
• O torque é dado por:
• No lado 3, temos as mesmas contribuições, de forma que a seguinte relação é válida:
• Analogamente, para os lados 2 e 4, temos:
• Isso permite concluir que:
Nesse cálculo, dS é a área diferencial da espira.
•
•
•
•
•
•
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Nesse cálculo, dS é a área diferencial da espira.
• O momento magnético diferencial (dm), por sua vez, é definido a partir da relação anterior como:
dm = I dS
• A partir do torque, é possível estabelecer que:
• Fora da forma diferencial, com o momento correspondente a m, temos:
O torque na espira de corrente sempre tenderá a girá-la, de forma que a espira se alinhe com o campo magnético.
Dessa maneira, temos uma forma fácil de determinarparâmetros importantes, como a direção e o sentido do
torque (HAYT; BUCK, 2013).
No próximo tópico, você verá mais detalhes da Lei de Ampère, outra proposição fundamental, base para os
estudos eletromagnéticos.
3.3 Lei de Ampère
Agora, teremos o auxílio da Lei de Ampère para a avaliação do campo magnético que é produzido a partir de
distribuições de correntes simétricas em um dado espaço. Basicamente, tem-se a relação apresentada na figura a
seguir, considerando um dado espaço, formado por um contorno arbitrário, em uma região de campo
magnetostático:
•
•
•
Vamos Praticar!
Considere a espira apresentada e as demais relações mencionadas, válidas para os
efeitos da inserção da espira em um dado campo magnético. Sabe-se, adicionalmente,
que é possível expressar relações semelhantes de torque e dipolo para o caso de um
campo elétrico. Como isso é possível, na prática? Dica: considere as relações
anteriores.
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Figura 7 - Contorno em um campo magnetostático
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 134.
#PraCegoVer: o desenho mostra um contorno arbitrário com área S no vácuo (permeabilidade µ0), com área
elementar dS na qual analisa-se o campo. Tem-se ainda dl o vetor elemento linear apontando para fora do
contorno, que encontra em seu início com o vetor B; n é o vetor normal à superfície formada pelo contorno. No
elemento de área, tem-se o vetor de densidade de corrente J, normal a esse elemento de área, e o próprio vetor
dS, transversal a J. Embaixo, aparece o desenho de uma mão direita, com a palma virada para a frente, fazendo o
sinal de “joia”, demonstrando as relações entre o campo e a corrente.
A Lei de Ampère estabelece que a integral de linha (integral de circulação) do vetor densidade do fluxo
magnético ao redor de um dado contorno C, no vácuo, por exemplo, será µ0 vezes a corrente total que está nesse
contorno (Ic) (NOTAROS, 2012). Assim, tem-se matematicamente, basicamente que:
Além disso, sabe-se que a direção que é a referência do fluxo está relacionada à de referência do contorno por
meio da regra da mão direita. Como visto na figura anterior, a corrente é estabelecida na direção dada pelo
posicionamento do polegar da mão direita, e os demais dedos apontarão para a direção do contorno analisado. É
importante notarmos também que a Lei de Ampère é derivada de outra importante lei do eletromagnetismo: a
Lei de Biot-Savart.
Considerando, por outro lado, a corrente volumétrica (J), temos a expressão da Lei de Ampère descrita a seguir.
Nesse caso, S é, da mesma forma que definimos anteriormente, uma superfície arbitrária delimitada por um dado
contorno:
Você o conhece?
O francês André-Marie Ampère (1775-1836), físico, matemático, filósofo e cientista, é
considerado um dos pais do eletromagnetismo devido a suas diversas contribuições.
Algumas das principais delas, sem dúvidas, são as primeiras observações das
propriedades magnéticas da corrente elétrica, realizadas na Academia de Ciências de
Paris, e a obra . Para conhecerTeorias matemáticas dos fenômenos eletrodinâmicos
mais detalhes da vida e da obra desse importante pesquisador, clique no ícone.
Acesse
https://www.ebiografia.com/andre_marie_ampere/#:~:text=Andr%C3%A9%2DMarie%20Amp%C3%A8re%20(1775%2D,recebeu%20seu%20nome%20%2D%20o%20ampere
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Logicamente, assim como na formulação matemática anterior, utilizamos como base um espaço livre no vácuo;
entretanto, caso tenhamos um outro tipo de espaço, estabeleceremos outro valor de permeabilidade, de acordo
com o material predominante, por exemplo.
Ademais, é comum nos depararmos com algumas outras situações práticas, além do cálculo da corrente elétrica
algébrica total. Assim, veremos como formular a Lei de Ampère para alguns exemplos de aplicação, além da
forma diferencial dessa importante lei. Por fim, formularemos sua forma generalizada.
3.3.1 Aplicações
Como um primeiro exemplo, considere que você deseja estabelecer o campo magnético em um condutor
cilíndrico de cobre, infinitamente longo, algo bastante próximo da realidade quando estudamos condutores de
linhas de distribuição e de transmissão de energia, por exemplo. Esse condutor está sujeito à circulação de uma
corrente contínua I, no ar, e deseja-se saber qual é a densidade do fluxo magnético internamente e fora dele. Na
figura a seguir, do lado esquerdo, veja a aplicação da Lei de Ampère e, do lado direito, a prova de que as linhas do
campo magnético possuem a forma circular, algo que ficará mais claro ao longo de nossos estudos neste
subtópico:
Figura 8 - Seção transversal de um condutor cilíndrico de raio a
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 134.
Caso
O contorno pode ser estabelecido em várias situações, como dentro de um cabo condutor de uma linha
de transmissão, por exemplo. Assim, suponha que se tenha, na prática, o contorno dentro de um dado
condutor cilíndrico conduzindo uma corrente I, cujo comprimento pode ser considerado como um
dado valor ou muito longo (nesse último caso, para boa parte das análises, de comprimento
aproximadamente infinito). Você consegue imaginar como se estabelecerá o fluxo magnético ao longo
desse contorno? Bem, conforme a Lei de Ampère, temos a seguinte relação , considerando a
permeabilidade do vácuo. Outro ponto importante a ser lembrado é que essa relação é válida porque a
corrente total é a mesma que circulará internamente no condutor.
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#PraCegoVer: a ilustração mostra duas seções transversais do condutor do exemplo. Do lado esquerdo, tem-se a
permeabilidade do meio (mi zero), válida tanto dentro quanto fora do condutor, que está centrado em z, saindo
do plano, assim como a corrente I e dS. O contorno C é circular, anti-horário, e a corrente volumétrica J é definida
em volta deste, saindo do plano, a partir da região entre um dado ponto P distante em r do eixo z, até (o raio).a
Nesse mesmo ponto P, temos os vetores phi, B e dl, todos apontando para cima e formando ângulos retos com
esse ponto, porém com dimensões diferentes. No lado direito, a seção transversal tem, no mesmo ponto P, a
correlação deste (geométrica) com dois componentes, J’dv e J’’dv, simétricos e que formam, em seu ponto médio,
um ângulo reto até o eixo z. Além disso, no ponto P, aparecem os vetores dB’’, dB’ + dB’’ e dB’.
Considerando que a corrente é distribuída de forma uniforme, em todo o corte transversal feito no condutor, é
possível definirmos a densidade J a partir da seguinte relação, lembrando-se que é o raio do condutor:a
Pela simetria, as linhas do campo magnético a partir da corrente no condutor serão círculos com centro no eixo
deste. Para demonstrar que isso é válido, podemos considerar a direção do vetor de densidade do fluxo
magnético (B) em um dado ponto P, dentro e fora do condutor (NOTAROS, 2012). Agora, reveja na figura
anterior a seção da direita. Nela, a distância do ponto até o eixo é e os elementos diferenciais dB’ e dB”r
representam, respectivamente, os campos no ponto P gerados pelos elementos simétricos de corrente J’dv e J”dv.
A partir da Lei de Biot-Savart, estudada anteriormente, tem-se o campo tangencial ao contorno, representado na
intensidade pela soma entre os dois componentes diferenciais dB’ e dB”, algo que ocorreria para qualquer outro
par de pontos, representados pelos elementos simétricos de corrente. Dessa forma, pode-se concluir que o
campo resultante (representado por B) em um dado ponto P de análise será tangencial ao contorno C
estabelecido para estudo, de forma que a magnitude desse campo seja constante e dependa somente da
coordenada radial r. Assim, pela simetria e pelas relações constantes de campo e corrente, é possível definir
também que B, para sendo o vetor circular unitário, é dado como:
Similarmente, é possível definir a relação da circulação do campo, através de B, ao longo de todo o contorno, de
maneira que temos:
É importante considerar ainda que a corrente contida é:
Logo, temos as seguintes expressões para o cálculo do campo magnético (a partir de B), gerado por um condutor
cilíndrico de espessura não desprezível, no qual circulauma corrente contínua:
Ao analisarmos essas relações, podemos perceber que o campo magnético fora do condutor será o mesmo
daquele gerado por uma corrente de linha de mesma intensidade que tenha sido colocada ao longo do eixo desse
condutor (NOTAROS, 2012). Portanto, a corrente de linha – expressa em casos de condutores como fios finos – e
a corrente em um condutor como esse podem ser tomadas como fontes equivalentes, quando analisamos a
região externa desses condutores.
- -17
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Veja que, independentemente do tipo de situação, as possíveis análises são similares, partindo do pressuposto da
Lei de Ampère aplicada a um dado contorno.
A seguir, você verá como expressar a Lei de Ampère na forma diferencial e outra importante formulação: a
generalização dessa lei.
3.3.2 Forma diferencial e generalização da Lei de Ampère
Similarmente ao que estabelecemos para a Lei de Gauss, a Lei de Ampère também pode ser expressa na forma
, considerando inicialmente o caso unidimensional e que a densidade de corrente J só possuidiferencial
componente em z, por exemplo. Utilize como base também a relação apresentada na figura a seguir, para uma
espira determinada pelo contorno C:
Figura 9 - Derivação da Lei de Ampère em sua forma diferencial, unidimensional
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 138.
#PraCegoVer: a figura ilustra uma espira quadrada, de lado dx e altura l, definida por um contorno C. Ela está
posicionada no plano positivo xy, sendo que o eixo z está saindo do plano e a permeabilidade é mi zero. A
corrente, nesse caso, está representada pela densidade Jz em função de x, saindo do plano no centro da espira.
Temos os vetores nas laterais da espira: By em função de x e By em função de x mais dx, do lado esquerdo e
direito, respectivamente, apontando para cima.
Assim, tem-se:
Considerando agora a , é importante recordar que, no espaço tridimensional, a correntegeneralização
volumétrica é dada por:
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Tomando como base uma dada distribuição arbitrária de corrente, a relação expressa na figura anterior torna-se
então o que é apresentado adiante, com a espira no espaço tridimensional cartesiano, sendo esta de lados dados
por dy e dz:
Figura 10 - Relação para determinação tridimensional da forma diferencial
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 139.
#PraCegoVer: a figura ilustra uma espira no espaço xyz, de origem O, colocada no plano yz, de lados dy e dz
conforme seu contorno C. No centro da espira, aparece a corrente volumétrica, expressa pelas componentes Jx, Jy
e Jz nos mesmos sentidos do plano. Cada uma delas produz Bz em função de x, y e z apontando para cima no lado
esquerdo, Bz em função de x, y mais dy e z apontando para cima no lado direito; tem-se também By em função de
x, y e z no lado de baixo apontando para a direita e By em função de x, y e z mais dz no lado de cima, apontando
para a direita.
Temos, por fim, a seguinte relação diferencial:
Por outro lado, na forma genérica, a Lei de Ampère pode ser definida para o cálculo da densidade do fluxo
magnético, considerando situações práticas, como um sistema de materiais magnéticos e condutores, por
exemplo, como mostra a seguinte relação matemática:
Na equação anterior, Ic representa a corrente condutora total e Imc é a corrente de magnetização total, para um
dado contorno qualquer C. Podemos ainda, a partir dessa relação, e definindo-se M como o vetor de
magnetização, calcular a corrente Ic assim:
Isso permite, por fim, escrever a forma generalizada mais utilizada da Lei de Ampère:
O vetor intensidade do campo magnético pode, ainda, ser extraído da relação anterior, tal que ele vale ,
novamente utilizando o vetor de magnetização M.
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novamente utilizando o vetor de magnetização M.
3.4 Rotacional para campos magnéticos
Neste último tópico da unidade, o principal objetivo será fazer uso da definição de rotacional para a importante
tarefa prática, em diversas situações de análise possíveis, para verificar a existência de densidade de corrente
nesse meio avaliado. Acompanhe o conteúdo!
O rotacional do campo magnético, expresso em coordenadas cartesianas, pode ser dado por:
Essa mesma relação pode ser expressa ainda na forma vetorial e utilizada para o cálculo do rotacional do campo,
tal que a seguinte relação é válida para expressarmos a Lei de Ampère:
De maneira similar, o rotacional pode ser expresso em coordenadas esféricas ou cilíndricas, dependendo da
necessidade de análise. Também é possível fazer o cálculo a partir de um dado campo em função de uma relação
de limite, para uma dada superfície .
Vamos Praticar!
De maneira similar ao que foi definido anteriormente, a Lei de Ampère, também em
sua forma generalizada, pode ser convenientemente definida em termos da densidade
de corrente, conforme a necessidade prática da análise. Como isso pode ser feito?
Você quer ler?
Para relembrar aspectos importantes do rotacional – o que é de fato e como calculá-lo
–, você pode consultar o livro , de Quevedo e Quevedo-Lodi,Ondas eletromagnéticas
ou o volume 2 da obra , de Anton, Bivens e Davis.Cálculo
Vamos Praticar!
Tomando como exemplo esse último caso, de definição do rotacional do campo
magnético a partir do valor do rotacional de B em função do operador limite, cite uma
situação de análise na qual esse tipo de aproximação é válido e permite tirar
conclusões importantes.
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Conclusão
Para compreendermos as relações entre a força magnética e a força elétrica nas diversas possíveis situações
práticas, devemos adquirir uma série de conhecimentos; precisamos entender, por exemplo, a Lei de Ampère,
um dos conteúdos trabalhados ao longo de nossos estudos.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• compreender mais detalhes do experimento de Thomson;
• analisar as principais relações existentes entre os campos elétrico e magnético, incluindo exemplos 
práticos;
• conhecer a Lei de Ampère e suas principais aplicações;
• aprender como calcular o rotacional para campos magnéticos, em diversas situações de análise.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. . 10. ed. São Paulo: Bookman,Cálculo
2014. v. 2.
CHAPMAN, S. J. . Porto Alegre:Fundamentos de máquinas elétricas
AMGH Editora, 2013.
EDMINISTER, J. A.; NAHVI-DEKHORDI, M. . SãoEletromagnetismo
Paulo: Bookman, 2013.
FLOWERS, P. . Chemistry. , Houston, Texas, 11 mar.et al OpenStax
2015. Disponível em: https://openstax.org/books/chemistry/pages
. Acesso em: 30 dez. 2020./2-2-evolution-of-atomic-theory
FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS – Eletromagnetismo – Aula 3 – Prof. Marcelo Boaro. [ .], 11 jul. 2014.S. l.: s. n
1 vídeo (20 min). Publicado pelo canal Professor Boaro. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?
. Acesso em: 19 dez. 2020.v=N0Hhmj4s5-k
FRAZÃO, D. André-Marie Ampère. , [ .], 26 jul. 2019. Disponível em: E-biografia s. l https://www.ebiografia.com
/andre_marie_ampere/#:~:text=Andr%C3%A9%2DMarie%20Amp%C3%A8re%20(1775%2D,recebeu%
. Acesso em: 30 dez. 2020.20seu%20nome%20%2D%20o%20ampere
HAYT JR, W. H.; BUCK, J. A. . São Paulo: Bookman, 2013.Eletromagnetismo
NOTAROS, B. . São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.Eletromagnetismo
QUEVEDO, C. P.; QUEVEDO-LODI, C. . São Paulo: Pearson. 2009.Ondas eletromagnéticas
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. – eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Edusp, 2009.Física 3 
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https://openstax.org/books/chemistry/pages/2-2-evolution-of-atomic-theory
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https://www.youtube.com/watch?v=N0Hhmj4s5-k
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https://www.ebiografia.com/andre_marie_ampere/#:~:text=Andr%C3%A9%2DMarie%20Amp%C3%A8re%20(1775%2D,recebeu%20seu%20nome%20%2D%20o%20ampere
https://www.ebiografia.com/andre_marie_ampere/#:~:text=Andr%C3%A9%2DMarie%20Amp%C3%A8re%20(1775%2D,recebeu%20seu%20nome%20%2D%20o%20ampere
https://www.ebiografia.com/andre_marie_ampere/#:~:text=Andr%C3%A9%2DMarie%20Amp%C3%A8re%20(1775%2D,recebeu%20seu%20nome%20%2D%20o%20ampere
	Introdução
	3.1 Experimento de Thomson3.1.1 Experimento e descoberta do elétron
	Você sabia?
	3.1.2 Modelo atômico de Thomson
	Vamos Praticar!
	3.2 Relação entre os campos elétrico e magnético
	3.2.1 Força elétrica
	3.2.2 Força magnética
	Você quer ver?
	Teste seus conhecimentos
	3.2.3 Relação entre forças elétrica e magnética
	3.2.4 Atração e repulsão entre fios
	A força magnética, nesse caso, pode ser definida como visto anteriormente, tal que:
	Agora, também precisamos definir outro parâmetro importante, o campo elétrico mocional, por meio de sua intensidade, tal que temos:
	3.2.5 Torque
	3.2.6 Momento magnético
	O torque, nesse caso, pode ser dado na forma diferencial, tal que:
	Agora, definiremos de fato as contribuições de cada um dos lados. Assim, o vetor força no lado 1 é:
	O torque é dado por:
	No lado 3, temos as mesmas contribuições, de forma que a seguinte relação é válida:
	Analogamente, para os lados 2 e 4, temos:
	Isso permite concluir que:
	O momento magnético diferencial (dm), por sua vez, é definido a partir da relação anterior como:
	A partir do torque, é possível estabelecer que:
	Fora da forma diferencial, com o momento correspondente a m, temos:
	Vamos Praticar!
	3.3 Lei de Ampère
	Você o conhece?
	Caso
	3.3.1 Aplicações
	Teste seus conhecimentos
	3.3.2 Forma diferencial e generalização da Lei de Ampère
	Vamos Praticar!
	3.4 Rotacional para campos magnéticos
	Você quer ler?
	Vamos Praticar!
	Conclusão
	Referências