Trabalho de Cálculo de uma variável AVA 1

Prévia do material em texto

UVA - UNIVERSIDADE VEIGA DE 
ALMEIDA 
 
 
 
 
 
Engenharia de Computação 
 
 
 
 
Pâmella da Silva Alves Batista – 
20202101942 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliação 1 - Trabalho da Disciplina 1 
[AVA 1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro, 2021 
 
 3 
Questão 1) Faça uma pesquisa sobre o tema DERIVADA e comente sobre 
suas aplicações na Física/Engenharia. Para ganhar o valor integral da questão, você 
deve citar duas aplicações. 
 
Questão 2) Leia o texto a seguir e resolva o problema proposto. 
 
 “As aplicações da derivada são variadas, onde ela está sempre relacionada a uma 
taxa de variação. Entendemos a derivada como o coeficiente angular da reta 
tangente, porém ela pode ser usada para indicar a taxa que o gráfico apresenta em 
uma curva que deve subir ou descer. Entre as numerosas aplicações da derivada 
podemos citar problemas relacionados à: tempo, temperatura, volume, custo, 
pressão, consumo de gasolina, ou seja, qualquer quantidade que possa ser 
representada por uma função. “ 
Texto retirado da Fonte: https://pt.slideshare.net/meirellles/aplicao-das-
derivadas 
 
Neste sentido, aplique o seu conhecimento adquirido nas aulas de derivada para 
resolver o seguinte problema: 
Questão Problema: O volume (em m³) de água em um pequeno reservatório durante 
o degelo da primavera é dado por V = 2.000(t²+2t + 1) para t em meses e 0 ≤ t ≤ 3. A 
taxa de variação do volume em relação ao tempo é a taxa de fluxo para o reservatório. 
Ache a taxa de fluxo no instante t = 1. 
 
Questão 3) Aqui você resolverá 2 problemas relacionados com o texto abaixo. Cada 
um vale 0,5 pt totalizando 1,0 pt da avaliação. Leia o texto abaixo e resolva os 
problemas propostos: 
 
“A derivada representa a taxa de variação de uma função em um ponto é dada pela 
derivada da função nesse ponto, a derivada se presta naturalmente para ser uma 
ferramenta na determinação dos intervalos em que uma função diferenciavel é 
crescente ou decrescente. De fato, a derivada de uma função em um ponto mede 
não só a declividade da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto, como 
também a taxa de variação da função no mesmo ponto. Na verdade, em um ponto 
em que a derivada é positiva, a declividade da reta tangente ao gráfico é positiva, e 
a função é crescente. Em um ponto em que a derivada é negativa, a declividade da 
reta tangente ao gráfico é negativa, e a função é decrescente. Um exemplo típico é a 
função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. 
Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Aplicação: 
Engenharia Civil: O projeto de estruturas na construção civil usa as equações 
https://pt.slideshare.net/meirellles/aplicao-das-derivadas
https://pt.slideshare.net/meirellles/aplicao-das-derivadas
 
 4 
derivadas da teoria da elasticidade para dimensionar as colunas, lajes e 
deflexão máxima das vigas. De acordo com o peso que esses elementos vão 
suportar, além de seu peso próprio, e dos materiais utilizados (concreto ou aço), as 
máximas tensões calculadas não podem exceder o seu limite de escoamento.” 
 
Texto retirado da fonte: https://idoc.pub/documents/derivadas-na-engenharia-
1-2nv869xzo0lk 
 
Usando seus conhecimentos adquiridos nas aulas de Cálculo, analise e resolva as 
seguintes questões: 
 
Problema 1: (valor 0,5 pt) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x³-
x²+3 no ponto P=(1,3) 
 
Problema 2: (valor 0,5 pt) Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de 
modo que sua distância s(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de vôo é dada 
por s(t) =5 + 3t + 2t² , na qual s(t) é contada em metros e t em segundos. Determine 
a velocidade do balão quando em t=3 seg. 
 
Questão 4) Todos os problemas acima só puderam ser resolvidos porque você 
aprendeu conceitos, analisou problemas e aplicou as regras de derivação. Agora, 
para terminar sua avaliação, pratique mais um pouco seus cálculos de derivada e 
DERIVE as seguintes funções, indicando as regras usadas. 
 
a) (1,0 pt) 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 + 3(𝑠𝑒𝑛𝑥)² − 5 
b) (1,0 pt) 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑒^x 
 
 
https://idoc.pub/documents/derivadas-na-engenharia-1-2nv869xzo0lk
https://idoc.pub/documents/derivadas-na-engenharia-1-2nv869xzo0lk
 
 5 
 
 Respostas das questões: 
Questão 1) 
A derivada é a inclinação da tangente em uma determinada curva. Além disso, 
podemos usar a derivada na física porque é também a taxa de variação, como a 
velocidade. 
A derivada de uma função f em um número a, denotada por f´(a), é: 
 
se o limite existir. 
Como surgiu o conceito de derivadas? 
O conceito de derivada foi proposto por Pierre Fermat no século XVII. Por meio do 
estudo da função, sua definição de tangente estagnou. Ele percebeu que algumas 
das funções estudadas não correspondiam à definição de tangente no tempo. 
Este é o chamado “problema da tangente”, e ele resolveu o problema da seguinte 
forma: determine uma reta tangente à curva no ponto P, ele definiu outro ponto Q 
na curva e considerou a reta PQ. Portanto, ele aproxima o ponto Q do ponto P, 
obtendo assim uma reta PQ que se aproxima da reta t, que Fermat chama de 
tangente ao ponto P. 
Esses são os conceitos “embrionários” do conceito de derivados. No entanto, 
Fermat não tinha ferramentas necessárias, como o conceito de limites, porque não 
era conhecido na época. Apenas Leibniz e Newton tornaram o cálculo possível e 
também é importante para a ciência. 
 
 
Regras de derivação 
A regra de derivação é uma forma de generalizar a derivação de certas funções. 
Por exemplo, ao resolver exercícios, podemos determinar a forma de expressão, 
eles são muito úteis. Por exemplo: uma função pode ser o resultado da soma de 
dois outros resultados ou o produto de causas. 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicação das derivadas 
 Uma vez que a derivada de uma função pode se adaptar a qualquer taxa de 
mudança, a derivada de uma função tem umas aplicações, então entendemos a 
derivada como o coeficiente angular da tangente, mas pode ser usada para mostrar 
a posição no gráfico. No âmbito das curvas e da engenharia, o cálculo derivado 
pode ser utilizado para várias atividades: cálculo de área, volume, carga, centro de 
gravidade, momento de inércia e deformação e solução de estruturas sólidas 
(equações elásticas). Um dos usos da construção derivada é no projeto estrutural, 
que usa as equações derivadas da teoria elástica para determinar as dimensões de 
cilindros, vigas e placas. 
 
Exemplos: 
 
1. Seja f(x)= 2x^2.4x, a sua derivada será: f´(x) = (2x^2)’.4x + 2x^2. (4x)’ = 
4x.4x+2x^2.4. Isso quer dizer que f’(x)= 16x^2+8x^2=24x^2 
 
2. Calcule a derivada da função: h(x) = 5x^3–2x+4: 
 
h’(x)=3*5x^3-1-2+0 h’(x)=15x^2-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
Questão 3) 
 
 
 
 
 
 8 
Questão 4) 
Letra a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3 sin(𝑥)2 − 5 
𝑓′(𝑥) = 
𝑑
𝑑𝑥
 (𝑥2 + 3 sin(𝑥)2 − 5 
𝑓′(𝑥) = 
𝑑
𝑑𝑥
 (𝑥2) + 
𝑑
𝑑𝑥
 (3 sin(𝑥)2) − 
𝑑
𝑑𝑥
 (5) 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 
𝑑
𝑑𝑥
 (3 sin(𝑥)2) − 
𝑑
𝑑𝑥
 (5) 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3 .2 sin(𝑥) cos(𝑥) − 
𝑑
𝑑𝑥
 (5) 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3.2 sin(𝑥) cos(𝑥) − 0 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3 sin(2𝑥) 
Letra b) 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 . cos(𝑥) + 3 𝑒𝑥 
𝑓′(𝑥) = 
𝑑
𝑑𝑥
 (𝑥3 . cos(𝑥) + 3𝑒𝑥 
𝑓′(𝑥) = 
𝑑
𝑑𝑥
 (𝑥3 . cos(𝑥)) + 
𝑑
𝑑𝑥
 (3𝑒𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 . cos(𝑥) + 𝑥3 . (− sin(𝑥)) + 
𝑑
𝑑𝑥
 (3 𝑒𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 . cos(𝑥) + 𝑥3 . (− sin(𝑥)) + 3𝑒𝑥 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 . cos(𝑥) + 𝑥3 . (− sin(𝑥)) + 
𝑑
𝑑𝑥
 (3𝑒𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 . cos(𝑥) − 𝑥3 . sin(𝑥) + 3𝑒𝑥 
 
 
Foi usada a regra da derivação 
Foi usada a regra da derivação 
 
 9 
 
Referências 
 
• https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/regras-derivacao.htm 
• SANTANA, Guilherme. Derivadas. Todo Estudo. Disponível em: 
https://www.todoestudo.com.br/matematica/derivadas.Acesso 
em: 06 de Maio de 2021. 
• http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2016/anais/arquivos/RE_0230_004
7_01 
• https://www.dicasdecalculo.com.br/possuem-diversas-aplicacoes/ 
• https://cdnqa.mesalva.com/uploads/medium/attachment/cmVzZW5nLWR
lcml2YWRhcy1wZGYxMjA3MjAxN1QxNjU5.pdf 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/regras-derivacao.htm
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2016/anais/arquivos/RE_0230_0047_01
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2016/anais/arquivos/RE_0230_0047_01
https://www.dicasdecalculo.com.br/possuem-diversas-aplicacoes/
https://cdnqa.mesalva.com/uploads/medium/attachment/cmVzZW5nLWRlcml2YWRhcy1wZGYxMjA3MjAxN1QxNjU5.pdf
https://cdnqa.mesalva.com/uploads/medium/attachment/cmVzZW5nLWRlcml2YWRhcy1wZGYxMjA3MjAxN1QxNjU5.pdf