Prova Final Algebra Linear

Prévia do material em texto

AV2 Prova Álgebra Linear - Univeritas Eng Civil 
 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/0,6 
Sendo os vetores v= (2, 1) e u= (1, 1), mostre a combinação que gera o R², caso eles 
sejam linearmente independentes. Depois, marque a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
(y)(2, 1) + (-x)(1, 1) = (x, y) 
2. 
(x-2y)(2, 1) + (-x+2y)(1, 1) = (x, y) 
3. 
(-x-y)(2, 1) + (x+2y)(1, 1) = (x, y) 
4. 
(2x-y)(2, 1) + (-x+2y)(1, 1) = (x, y) 
5. 
(x-y)(2, 1) + (-x+2y)(1, 1) = (x, y) 
Resposta correta 
2. Pergunta 2 
/0,6 
Determine o subespaço gerado pelo conjunto, A={(-1,3,2),(2,-2,1)}. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
S= { (x,y,z) є R³ / x= -2y e z= y} 
2. 
S= { (x,y,z) є R³ / x -y-z=0} 
3. 
S= { (x,y,z) є R³ / 7x+5y-4z=0} 
Resposta correta 
4. 
S= { (x,y,z) є R³ / x= -2y e z= -3y} 
5. 
S= { (x,y,z) є R³ / x= y e z= y} 
3. Pergunta 3 
/0,6 
Seja V um espaço de dimensão finita e T: V → W uma transformação linear, então, a 
dim N(T) + dim Im(T) = dim V. Sendo assim, determine a dimensão da imagem do 
operador linear T: R³ → R², T (x, y, z) = . Em seguida, assinale a alternativa 
correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
Im(T)= 4. 
2. 
Im(T)= 0. 
3. 
Im(T)= 2. 
Resposta correta 
4. 
Im(T)= 3. 
5. 
Im(T)= 1. 
4. Pergunta 4 
/0,6 
Dada a matriz simétrica A= , que representa o operador linear da transformação 
T: R² → R², e k² - k - 156, o polinômio característico, cujas raízes determinam os 
valores próprios, determine as raízes desse polinômio. Em seguida, assinale a 
alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
11 e 12. 
2. 
6 e 7. 
3. Incorreta: 
12 e 13. 
4. 
-12 e 13. Correta 
Resposta correta 
5. 
10 e 12. 
5. Pergunta 5 
/0,6 
Sabendo que T é o operador linear no R³, de forma que T(1, 0, 0)= (0, 2, 0), T(0, 1, 0)= 
(0,0,-2) e T(0, 0,1)= (-1, 0, 3), determine o vetor v ϵ R³, tal que T(v)= (5, 4, -9). 
 Assinale a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
(2, -3, -5) 
Resposta correta 
2. 
(-2, -3, -5) 
3. Incorreta: 
(-1, -3, -4) 
4. 
(0, -2, -3) 
5. 
(-5, -3, -2) 
6. Pergunta 6 
/0,6 
Um engenheiro apresentou os vetores que representam as forças sobre uma 
determinada estrutura através da combinação linear dos vetores u= (1, 0, -1), v= (1, 2, 
1) e t= (0,-1, 0) do R³. Marque a combinação que demonstra que B={(u, v, t) } é uma 
base do R³, ou seja, as coordenadas da combinação que descreve todos os vetores 
força. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a=x-z, b= x+z, c=(2X- 2Y-2Z)/2 
2. 
a=z/2 e b=( x+z)/2, c=(2X- 2Y-2Z)/2 
3. 
a=x/2 , b= (x+z)/2, c =(2X+ 2Y+2Z) 
4. 
a=(x-z)/2, b=(x+z)/2, c=(2X- 2Y+2Z)/2 
Resposta correta 
5. 
a= (2X+ 2Y+2Z), b=(x-z)/2, c= (x+z)/2 
 
7. Pergunta 7 
/0,6 
Nas aulas de física é comum o professor resolver problemas de decomposição de 
forças utilizando vetores. Em uma das aulas, o professor escreveu o mesmo vetor 
algebricamente em dois espaços vetoriais diferentes. Sendo v= (5,4,2) o vetor utilizado 
pelo professor, e os vetores da base do R³ B={ a=(1,2,3), b=(0,1,2),c=(0,0,1)}. 
Represente a combinação do vetor utilizado, no espaço vetorial R³ em relação à base B 
e marque a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
5a + 12b + -6c 
2. 
5a – 6b -c 
Resposta correta 
3. 
a + 26b + 9c 
4. 
-7 a + 5b+ -6c 
5. 
2 a + -6b + 9c 
8. Pergunta 8 
/0,6 
Dados os vetores do Espaço Vetorial R³, apresente as coordenadas da combinação 
linear, para que o vetor v= (2, -3, 4) seja combinação linear dos vetores v1= (1, 0,0) e 
v2= (0, 1, 0) e v3= (1,-1,1). 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a= x+y , b= y , c= z 
2. 
a= -2, b=1, c= 4 
Resposta correta 
3. 
a= y, b= -x, c=z 
4. 
a= 3, b=4, c= -6 
5. 
a=5, b=14, c= 3 
9. Pergunta 9 
/0,6 
Assinale a alternativa, que não corresponde a representação do subespaço vetorial do 
R4. 
W = {(x, y, z, t) → R4 | 2x + y – t = 0 e z = 0}. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
W= {(-x, -y, 0, 2x+y) 
2. 
W= {(x, t-2x,t , t) 
Resposta correta 
3. 
W= {(x, t-2x, 0, t) 
4. 
W= {(x, y, 0, 2x+y) 
5. 
W= {( ,y , 0, t)} 
10. Pergunta 10 
/0,6 
 Sejam . 
Sendo v1 e v2 autovetores de A associados respectivamente aos autovalores λ1 e λ2. 
Determine estes autovalores. 
Os autovalores λ1 e λ2 são respectivamente: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1 e 4 
Resposta correta 
2. 
4 
3. 
-1 e 2 
4. 
2 e -1 
5. 
3 e 2 
 
 
 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/0,6 
Sejam as transformações lineares e , 
determine: 2 . Depois, marque a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
(3x, 3x-4y, -2x) 
2. Incorreta: 
(4x-3y, 5x-5y, -4x+y) 
3. 
(2y, 3x-2y, -2x+y) 
4. 
(x-2y, x-2y, -2x+y) 
5. 
(-y, 3x+5y, -4x-y) 
Resposta correta 
2. Pergunta 2 
/0,6 
Vetorial e v = (– 4, – 1. Considere um espaço 8, 7) um vetor neste espaço. Assinale 
abaixo a alternativa correspondente a combinação linear dos vetores v1 e v2 com o 
vetor v. Dados: v1 = (1,-3,2) e v2 = (2,4-1): 
Ocultar opções de resposta 
1. 
v1 - v2 
2. Incorreta: 
v1v2 
3. 
v1 - 2v2 
4. 
v1 + 2v2 
5. 
2v1 - 3v2 
Resposta correta 
3. Pergunta 3 
/0,6 
Os sistemas de equações lineares caracterizam-se pelo número de equações, variáveis 
e soluções. Sendo assim, analise as proposições a seguir: 
 
I- Um sistema que apresenta uma única solução é um sistema possível e determinado. 
II- Um sistema que apresenta um conjunto com infinitas soluções é um sistema 
impossível. 
III- Um sistema que apresenta o número de equações menor que o número de 
variáveis é um sistema possível, mas indeterminado. 
 
Assinale a opção correta para as afirmações sobre os sistemas de equações lineares. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
2. Incorreta: 
I, apenas. 
3. 
I e III. 
Resposta correta 
4. 
III, apenas. 
5. 
II, apenas. 
4. Pergunta 4 
/0,6 
 Sejam . 
Sendo v1 e v2 autovetores de A associados respectivamente aos autovalores λ1 e λ2. 
Determine estes autovalores. 
Os autovalores λ1 e λ2 são respectivamente: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
3 e 2 
2. Incorreta: 
-1 e 2 
3. 
4 
4. 
1 e 4 
Resposta correta 
5. 
2 e -1 
5. Pergunta 5 
/0,6 
Seja a matriz A de ordem 2. Calcule o determinante de A. 
Sendo . 
Ocultar opções de resposta 
1. 
28 
2. Incorreta: 
90 
3. 
18 
Resposta correta 
4. 
-60 
5. 
-10 
6. Pergunta 6 
/0,6 
Dados os vetores do Espaço Vetorial R³, apresente as coordenadas da combinação 
linear, para que o vetor v= (2, -3, 4) seja combinação linear dos vetores v1= (1, 0,0) e 
v2= (0, 1, 0) e v3= (1,-1,1). 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a= 3, b=4, c= -6 
2. 
a=5, b=14, c= 3 
3. Incorreta: 
a= y, b= -x, c=z 
4. 
a= x+y , b= y , c= z 
5. 
a= -2, b=1, c= 4 
Resposta correta 
7. Pergunta 7 
/0,6 
Seja a matriz , calcule o valor de x para que a seguinte expressão seja 
verdadeira: det A= 120. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
0 
Resposta correta 
2. 
-1 
3. Incorreta: 
2 
4. 
-2 
5. 
1 
8. Pergunta 8 
/0,6 
Sejam as transformações lineares e , 
determine: . Depois, marque a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
(x-2y, x-2y, -2x+y) 
2. Incorreta: 
(3x-2y, 3x-2y, -x+y) 
3. 
(3x, 3x-4y, -2x) 
4. 
(2y, 3x-2y, -2x+y) 
5. 
(3x-2y, 3x-2y, -2x+y) 
Resposta correta 
9. Pergunta 9 
/0,6 
Seja o operador T(x,y,z) = (2x + z , 2z , 3y ). T é uma Transformação Linear? 
Qual é a matriz transformação linear associada a ‘T’? 
Assinale a alternativa que responde respectivamente a cada pergunta anterior. 
Mostrar opções de resposta 
10. Pergunta 10 
/0,6 
Se A é uma matriz simétrica (parte superior é uma reflexão da inferior em relação à 
diagonal principal), que tipo de matriz é A- A’ (A menos sua transposta)? 
Mostrar opções de resposta 
 
Pergunta 9 
0.6 pontos 
Seja o operador T(x,y,z) = (2x + z , 2z , 3y ). T é uma Transformação Linear? 
Qual é a matriz transformaçãolinear associada a ‘T’? 
Assinale a alternativa que responde respectivamente a cada pergunta anterior. 
1. 
 Sim; 
2. 
Sim; (Correta) 
3. 
Não; Não apresenta matriz de transformação linear. 
4. 
Não; 
5. 
 Sim; 
2. 
Pergunta 10 
0.6 pontos 
Se A é uma matriz simétrica (parte superior é uma reflexão da inferior em relação à 
diagonal principal), que tipo de matriz é A- A’ (A menos sua transposta)? 
1. 
Matriz Diagonal. 
2. 
Matriz Identidade. 
3. 
Triangular Inferior. 
4. 
Triangular Superior. 
5. 
Matriz Nula. (Correta)