Math [Conjuntos]

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Pró-Técnico 2015 
Matemática 
 
 
Teoria Elementar dos Conjuntos 
 
A noção matemática de conjunto é um conceito primitivo, ou seja, ela é tão básica que é aceita 
intuitivamente. Ela foi utilizada primeiramente por George Cantor (1845-1918), matemático nascido 
em São Petersburgo, mas que passou a maior parte de sua vida na Alemanha. Segundo Cantor, a noção 
de conjunto designa uma coleção de termos bem definidos, chamados elementos do conjunto. 
 
Ex: Considere o conjunto V das vogais do alfabeto brasileiro. 
 Temos que as letras a, e, i, o e u são os elementos desse conjunto. 
 Representamos esse conjunto por V = { a, e, i, o, u }. 
 
Ex: Considere o conjunto N dos naipes das cartas de um baralho. 
 Temos que os símbolos ♥, ♦, ♣ e ♠ são os elementos desse conjunto. 
 Representamos esse conjunto por N = { ♥, ♦, ♣, ♠ }. 
 
Relação de Pertinência 
 
É possível relacionar um elemento e um conjunto ao indicar se esse elemento pertence ou não 
a esse conjunto. Para expressar essa relação, utilizamos os sinais de ∈ (pertence) e ∉ (não pertence). 
 
 Ex: Considere os conjuntos V = { a, e, i, o, u } e N = { ♥, ♦, ♣, ♠ } dos exemplos anteriores. 
 Temos que a ∈ V e t ∉ V . 
 Ainda, temos que ♥ ∈ N e ♧ ∉ N. 
 
Símbolos Lógicos 
 
Formas de Representar um Conjunto 
 
Existem três formas de representar um conjunto. 
Para tomarmos um exemplo, considere C sendo o 
conjunto dos pontos cardeais. 
 
o Enumeração: C = { norte, sul, leste, oeste } 
o Propriedade: C = { x / x é um ponto cardeal } 
o Por um Diagrama: 
 
 
 
Conjuntos Especiais 
 
o Conjunto Unitário: é aquele que possui apenas um elemento. Ex: A = { Allan } 
o Conjunto Vazio: é aquele que não possui nenhum elemento. Ex: B = { x / x² = -1 } = ∄ 
o Conjunto Universo: é aquele que possui todos os elementos considerados. Ex: C = ℝ 
 
Símbolo Leitura 
∂ x existe pelo menos um x 
∃ x não existe x algum 
∀ x para todo x 
⇒ implica 
 equivalente 
/ tal que 
Número de Elementos de um Conjunto 
 
É a quantidade de elementos que um dado conjunto possui. 
Para um conjunto A, o número de elementos desse conjunto é indicado por n(A) ou #A. 
 
Ex: Seja X = { -1, 2, 3, 6} e Y = { 0, 5, 10, 5, 0, 5}. 
Temos n(X) = 4 e n(Y) = 3. 
 
Igualdade de Conjuntos 
 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, 
todo elemento de B pertence a A. De modo simples, dois conjuntos são iguais se eles possuem os 
mesmos elementos, não importando se esses elementos são repetidos ou não. 
 
A = B  ∀ x ∈ A  x ∈ B 
 
Ex: Sejam A = { x / x é uma letra da palavra “iracema” } 
 B = { x / x é uma letra da palavra “américa” }. 
 Temos A = { i, r, a, c, e, m } e B = { a, m, e, r, i, c } ⇒ A = B. 
 
Observação: Quando dois conjuntos são iguais, eles têm a mesma quantidade de elementos. 
 
Subconjuntos 
 
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto (ou uma parte) do conjunto B se todo 
elemento de A também for elemento de B. Indica-se por A ⊂ B (lê-se A está contido em B). 
 
A ⊂ B  ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B 
 
Ex: Sejam X = { a, b, c, d, e, f } e Y = { b, d, e }. 
 Temos Y ⊂ X . 
 Um esquema da representação dos conjuntos através de diagramas: 
 
Sendo A um subconjunto de B, dizemos que há uma relação de inclusão entre esses conjuntos. 
Alguns variantes são: 
o B ⊃ A é indicado por “B contém A”. 
o A ⊄ B é indicado por “A não está contido em B”. 
o B ⊅ A é indicado por “B não contém A”. 
 
Propriedades 
o Conjunto Vazio: ∀ A ⇒ ∄ ⊂ A 
o Reflexiva: A ⊂ A 
o Transitiva: Se A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C 
o Antissimétrica: Se A ⊂ B e B ⊂ A  A = B 
 
 
Conjunto das Partes 
 
Dado um conjunto A, podemos formar um conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos 
de A. Esse conjunto é chamado de conjunto das partes de A, e é indicado por P(A). 
 
P(A) = { X / X ⊂ A } 
 
 Ex: Seja A = { 2 }, temos que P(A) = { ∄ , {2} } 
 Se B = { 0, 1 }, temos que P(B) = { ∄ , {0} , {1}, {0, 1} } 
 Se C = { 1, 2, 3 }, temos que P(C) = { ∄ , {1}, {2}, {3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } 
 
Se um conjunto A tem x elementos, o número de elementos do conjunto das partes é 2x. 
 
n(A) = x ⇒ n(P(A)) = 𝟐𝐱 
 
 
Operações com Conjuntos 
 
A partir de dois conjuntos A e B podemos construir novos conjuntos cujos elementos devem 
obedecer a condições preestabelecidas. Assim, realizamos operações com esses conjuntos, a saber: 
união, intersecção, diferença e complementar. 
 
União (ou Reunião) 
 
A união de dois conjuntos agrupa todos os elementos dos dois conjuntos em um único 
conjunto. É indicada pelo símbolo ∪ (união). 
 
A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B } 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Considere os conjuntos: 
 X = { -5, -2, 0, 1} e Y = { -2, 1, 2, 7}. 
 Temos que X ∪ Y = { -5, -2, 0, 1, 2, 7 } 
 
 
Intersecção 
 
A intersecção de dois conjuntos determina os elementos que são comuns aos dois conjuntos, 
ou seja, cria um novo conjunto com os elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos. É 
indicada pelo símbolo ∩ (inter). 
 
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B } 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Considere os conjuntos: 
 X = { -5, -2, 0, 1} , Y = { -2, 1, 2, 7} e Z = {-1, 0, 3}. 
 Temos que X ∩ Y = { -2, 1} e Z ∩ Y = ∄ 
 
Obs: Quando a intersecção entre dois conjuntos é vazia, dizemos que esses conjuntos são 
disjuntos. No exemplo que vimos, Y e Z são dois conjuntos disjuntos. 
 
 
Diferença 
 
O conjunto diferença entre dois A e B é o conjunto formado pelos elementos que são 
exclusivos ao primeiro conjunto, ou seja, todos os elementos do primeiro conjunto que não 
pertencem ao segundo. É indicado por – (menos). 
 
A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B } 
 
 
 
 
 
 
Ex: Considere os conjuntos X = { -5, -2, 0, 1} e Y = { -2, 1, 2, 7}. 
 Temos que X - Y = { -5, 0 } e Y - X = { 2, 7 }. 
 
 
Complementar 
 
 A operação complementar é um caso particular de diferença de conjuntos. Ela acontece 
quando o segundo conjunto é um subconjunto do primeiro. Para dois conjuntos A e B, com B ⊂ A, o 
complementar de A em relação a B é a diferença A – B. É indicado por ∁AB. 
 
∁𝐀𝐁 = A – B , se B ⊂ A 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Considere os conjuntos: X = { -2, 1, 2, 7 } e Z = { 1, 2 }. 
 Temos que ∁XZ = X – Z = { -2, 7 }. 
 
Número de Elementos do Conjunto União 
 
 
n( A ∪ B ) = n( A ) + n( B ) – n( A ∩ B ) 
 
 
 
Conjuntos Numéricos 
 
Símbolo Conjunto Representação 
ℕ Números naturais ℕ = { 0, 1, 2, 3, ... } 
ℕ* Números naturais não-nulos ℕ* = { 1, 2, 3, ... } 
ℤ Números inteiros ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 
ℤ* Números inteiros não-nulos ℤ* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } 
ℤ+ Números inteiros não-negativos ℤ+ = { 0, 1, 2, 3, ... } 
ℤ- Números inteiros não-positivos ℤ - = { 0, -1, -2, -3, ... } 
ℚ Números racionais ℚ = { x / x = 
 a 
b
 , com a ∈ ℤ e b ∈ ℤ* } 
𝕀 Números irracionais 𝕀 = { x / x ∉ ℚ } 
ℝ Números reais ℝ = ℚ ∪ 𝕀 
 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalos Reais 
 
Fechado: 
[ a, b ] = { x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b } 
 
Aberto: 
] a, b [ = { x ∈ ℝ / a < x < b } 
 
Semi-Aberto: 
[ a, b [ = { x ∈ ℝ / a ≤ x < b } 
 
] a, b ] = { x ∈ ℝ / a < x ≤ b } 
 
 Infinitos: 
[ a, +∞ [ = { x ∈ ℝ / x ≥ a } 
 
] a, +∞ [ = { x ∈ ℝ / x > a } 
 
] -∞ , a ] = { x ∈ ℝ / x ≤ a } 
 
] -∞ , a [ = { x ∈ ℝ / x < a }