AD2-CIII-2004-1-Gabarito

Prévia do material em texto

CEDERJ
Curso de Licenciatura em Matemática - UFF/CEDERJ
Gabarito da Avaliação a Distância 2 Cálculo III
I / 2004
1) [2,0 pontos] Dada a função
f(x, y) =



x4 − y2
x2 − y se x
2 6= y
g(y) se x2 = y.
Encontre a função g para que a função f seja cont́ınua em R2.
Solução:
lim
(x,y)→(t,t2)
f(x, y) = lim
(x,y)→(t,t2)
x4 − y2
x2 − y = lim(x,y)→(t,t2)
(x2 − y) (x2 + y)
x2 − y =
= lim
(x,y)→(t,t2)
(x2 + y) = 2 t2.
Assim, g(y) = 2y para que a função f seja cont́ınua em R2.
2) [2,0 pontos] Mostre que
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0, onde f(x, y) = ln
√
x2 + y2.
Solução:
∂ f
∂ x
f(x, y) =
x√
x2 + y2√
x2 + y2
=
x
x2 + y2
.
∂ f
∂ y
f(x, y) =
y√
x2 + y2√
x2 + y2
=
y
x2 + y2
.
∂2 f
∂ x2
(x, y) =
1 (x2 + y2)− 2x(x)
(x2 + y2)2
=
x2 + y2 − 2x2
(x2 + y2)2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
.
∂2 f
∂ y2
(x, y) =
1 (x2 + y2)− 2y(y)
(x2 + y2)2
=
x2 + y2 − 2y2
(x2 + y2)2
=
x2 − y2
(x2 + y2)2
.
Assim,
1
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
+
x2 − y2
(x2 + y2)2
=
y2 − x2 + x2 − y2
(x2 + y2)2
= 0.
3) [2,0 pontos] Esboce o conjunto do ńıvel indicado em cada um dos casos a seguir.
(a) f(x, y) = (x2 − y2, x2 + y2), no ńıvel (0, 1);
O conjunto de ńıvel é o conjunto solução do sistema
{
x2 − y2 = 0
x2 + y2 = 1
Da primeira equação obtemos x2 = y2. Assim, 2x2 = 1 ⇔ x = ±
√
2
2
.
Portanto, o conjunto de ńıvel consiste de quatro pontos:
f−1 (0, 1) = {(√2/2, √2/2), (−√2/2, √2/2), (√2/2, −√2/2), (−√2/2, −√2/2)}.
Geometricamente, esses pontos são os pontos de interseção das retas x = y e x = −y
com o ćırculo de raio 1 e centro na origem.
(b) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2, x2 + y2 + 2y), no ńıvel (4, 0).
O conjunto de ńıvel é o conjunto solução do sistema
{
x2 + y2 + z2 = 4
x2 + y2 + 2y = 0
A primeira equação define uma esfera de raio 2. A segunda equação define, no plano xy,
um ćırculo de centro em (0,−1) e raio 1:
x2 + y2 + 2y = 0 ⇔ x2 + (y + 1)2 = 1
Como estamos considerando pontos em R3, esta equação define o cilindro sobre este
ćırculo. O conjunto de ńıvel f−1 (4, 0) é a interseção destas duas superf́ıcies.
Vamos parametrizar estas curvas. Podemos usar as coordenadas polares para parametrizar
o ćırculo do plano que define o cilindro. Fazendo x = cos t e y +1 = sen t temos x = cos t
e y = − 1 + sen t.
Agora precisamos encontrar a parametrização da variável z.
2
Da segunda equação temos x2 + y2 = − 2y. Substituindo na primeira equação obtemos
z2 = 4− x2 − y2
z2 = 4 + 2y
Portanto, as duas curvas são
α1(t) = (cos t, 1− sen t,
√
6− 2 sen t)
α2(t) = (cos t, 1− sen t, −
√
6− 2 sen t).
4) [4,0 pontos] Seja f(x, y) =


x ln y
y ln x
exy

 , uma função vetorial representada matricial-
mente.
(a) Determine o domı́nio de f ;
Podemos escrever essa função da forma
f(x, y) = (x ln y, y ln x, exy) = (u, v, w).
Suas funções coordenadas são
u(x, y) = f1(x, y) = x ln y
v(x, y) = f2(x, y) = y ln x
w(x, y) = f3(x, y) = e
xy.
O domı́nio de f é a interseção dos domı́nios das funções coordenadas:
Dom(f) = Dom(f1)
⋂
Dom(f2)
⋂
Dom(f3).
Como Dom(f1) = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0}
Dom(f2) = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0} e
Dom(f3) = R2,
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 e y > 0}.
(b) Determine as funções coordenadas de f ;
As funções coordenadas de f são:
f1(x, y) = x ln y,
3
f2(x, y) = y ln x,
f3(x, y) = e
xy.
(c) Calcule as derivadas parciais vetoriais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y).
∂f
∂x
(x, y) =


∂f1
∂x
(x, y)
∂f2
∂x
(x, y)
∂f3
∂x
(x, y)


=


ln y
y
x
y exy


∂f
∂y
(x, y)) =


∂f1
∂y
(x, y)
∂f2
∂y
(x, y)
∂f3
∂y
(x, y)


=


x
y
ln x
x exy


(d) Calcule a matriz jacobiana de f .
J(f)(x, y) = f
′
(x, y) =


∂f1
∂x
(x, y)
∂f1
∂y
(x, y)
∂f2
∂x
(x, y)
∂f2
∂y
(x, y)
∂f3
∂x
(x, y)
∂f3
∂y
(x, y)


=


ln y
x
y
y
x
ln x
y exy x exy


4