Apostila Alpha Astronomia

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Introdução 
 
O movimento dos corpos celestes sempre provocou a curiosidade humana. O Universo é infinito? O Universo 
sempre existiu? Ele sempre existirá? Existe vida em outros corpos celestes? Certamente essas são perguntas que a 
humanidade já fez e ainda continua fazendo. Do ponto de vista científico, provavelmente, esses são alguns dos 
questionamentos mais antigos e ainda não estão totalmente explicados. Várias teorias, também chamados modelos, já 
foram apresentadas na busca de uma explicação sobre o Universo. 
Modelo geocêntrico 
 
 Baseando-se nas ideias do filósofo grego Aristóteles, seu conterrâneo Claudius 
Ptolomeu escreveu o texto Almagesto, no século II, que se tornou a base da Astronomia até 
o século XVI. No modelo geocêntrico de Ptolomeu, a Terra é o centro do Universo e todos os 
corpos celestes giram ao seu redor em órbitas circulares. O movimento aparente dos astros, 
a não existência de aparelhos ópticos de observação e a concordância com as ideias 
religiosas da época garantiram o sucesso desse modelo por vários séculos. 
Modelo heliocêntrico 
 
Muitos questionamentos sobre o modelo geocêntrico foram sufocados durante a 
Idade Média. No século XVI, o modelo heliocêntrico de Nicolau Copérnico provoca uma 
revolução científica ao colocar o Sol na posição central, com os planetas girando ao seu 
redor em órbitas circulares; a visão sobre o Universo sofre uma profunda mudança. 
Retomando conceitos antigos dos pitagóricos e analisando os diferentes períodos orbitais 
dos planetas, o modelo heliocêntrico propunha uma nova ordem geométrica e harmoniosa 
para o Universo. Muitas foram as contribuições feitas para o modelo inicialmente proposto 
por Copérnico, como as Leis de Kepler, as observações astronômicas de Galileu Galilei e a 
Lei da Gravitação Universal de Newton. 
 
Fig.01 Claudius Ptolomeu 
 
Fig.02 Nicolau Copérnico 
 
Apostila Alfa 
Prof. Thiago Paulin Caraviello 
Olimpíada de Astronomia e Astrofísica Apostila Alfa - Noções básicas de Mecânica Celeste 
 
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Tycho Brahe 
 
Três anos após a morte de Copérnico, nasceu o dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), o último grande 
astrônomo observacional antes da invenção do telescópio. Usando instrumentos fabricados por ele mesmo, Tycho fez 
extensivas observações das posições de planetas e estrelas, com uma precisão em muitos casos melhor do que 1 minuto 
de arco (1/30 do diâmetro aparente do Sol). 
O excelente trabalho de Tycho como observador lhe propiciou o patrocínio do rei da Dinamarca, Frederic II (1534-
1588), e assim Tycho pode construiu seu próprio observatório na pequena ilha báltica de Hveen (entre a Dinamarca e a 
Suécia). 
Após a morte do rei, entretanto, seu sucessor se desentendeu com Tycho e retirou seus privilégios. Assim, em 
1597 Tycho foi forçado a deixar a Dinamarca, e foi trabalhar como astrônomo da corte para o imperador da Bohemia, em 
Praga. 
Tycho Brahe não acreditava na hipótese heliocêntrica de Copérnico, mas foram suas observações dos planetas 
que levaram às leis de Kepler do movimento planetário. 
Em 1600, um ano antes de sua morte, Tycho contratou para ajudá-lo na análise dos dados sobre os planetas, 
colhidos durante 20 anos, um jovem e hábil matemático alemão chamado Johannes Kepler. 
 
Johannes Kepler 
 
Johannes Kepler (1571-1630) estudou inicialmente para seguir carreira 
teológica. Na Universidade ele leu sobre os princípios de Copérnico e logo se tornou 
um entusiástico defensor do heliocentrismo. Em 1594 conseguiu um posto de 
professor de Matemática e Astronomia em uma escola secundária em Graz, na 
Áustria, mas poucos anos depois, por pressões da Igreja Católica (Kepler era 
protestante), foi exilado, e foi então para Praga trabalhar com Tycho Brahe. 
Quando Tycho morreu, Kepler "herdou" seu posto e seus dados, a cujo 
estudo se dedicou pelos 20 anos seguintes. 
O planeta para o qual havia o maior número de dados era Marte. Kepler 
conseguiu determinar as diferentes posições da Terra após cada período sideral de 
Marte, ou seja, o período de translação deste planeta em torno do Sol em relação a 
uma estrela fixa, e assim conseguiu traçar a órbita da Terra. 
 Encontrou que essa órbita era muito bem ajustada por um círculo 
excêntrico, isto é, com o Sol um pouco afastado do centro. 
Kepler conseguiu também determinar a órbita de Marte, mas ao tentar 
ajustá-la com um círculo não teve sucesso. Ele continuou insistindo nessa tentativa 
por vários anos, e em certo ponto encontrou uma órbita circular que concordava com 
as observações com um erro de 8 minutos de arco. Mas sabendo que as observações 
de Tycho não poderiam ter um erro desse tamanho, apesar de significar um erro de 
apenas 1/4 do tamanho do Sol, Kepler descartou essa possibilidade. 
Finalmente, passou à tentativa de representar a órbita de Marte com uma oval, e rapidamente descobriu que uma 
elipse ajustava muito bem os dados. A posição do Sol coincidia com um dos focos da elipse. Kepler percebeu que esta 
cônica (Apêndice A) também descrevia a órbita da Terra e dos outros planetas. 
 
Fig.03 Embora as órbitas dos 
planetas sejam elipses, as 
excentricidades são tão 
pequenas que elas se 
parecem com círculos. Nesta 
figura mostramos a elipse que 
descreve a órbita da Terra 
(linha azul) em torno do Sol, na 
forma correta. A posição do 
Sol, no foco, está marcada 
por um pequeno círculo. 
 
 
 
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As Leis de Kepler 
 
1a Lei de Kepler: “Órbitas elípticas” 
(Astronomia Nova, 1609): A órbita de cada 
planeta é uma elipse com o Sol em um dos 
focos. 
Como consequência das órbitas serem 
elípticas, a distância do Sol ao planeta varia ao 
longo de sua órbita. O ponto em que o 
planeta está mais próximo do Sol, chama-se 
periélio e o ponto mais afastado, afélio. A 
Fig.04 está fora de escala. 
A elipse 
 
 Uma elipse é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos, chamados 
de focos F1 e F2 , é constante (2a). 
 
 
a2ctePFPF 21 ==+ 
 
 
 
 Na Fig.05, temos: 
 - O segmento AB é o eixo maior da elipse e sua medida é 2a. A medida a é chamada de semieixo maior. 
 - O segmento CD é o eixo menor da elipse e sua medida é 2b. A medida b é chamada de semieixo menor. 
 - O centro O é ponto médio entre os eixos da elipse. 
 - F1 e F2 são os focos da elipse cuja distância é chamada de distância focal (2c). 
 - Define-se excentricidade da elipse (e) pela razão entre as medidas c e a. Quanto mais próxima de zero for a 
excentricidade da elipse, mais próxima de uma circunferência ela será. 
a
c
e = , 10  e 
 
 - Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas a, b e c: 
 
222 cba += 
 
Fig.04 Órbitas elípticas 
 
 Fig.05 A elipse 
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Note: 
 Sendo e a excentricidade orbital, quando um planeta está no periélio, sua distância (q) ao Sol é dada por: 
 
 Quando um planeta está no afélio, sua distância (Q) ao Sol é dada por: 
 
 
 Chamamos de periastro e apoastro os pontos orbitais de maior aproximação e maior afastamento, respectivamente, 
entre dois astros quaisquer. Chama-se perigeu e apogeu os pontos de maior aproximação e maior afastamento, 
respectivamente, de um astro em relação a Terra. 
2ª Lei de Kepler: “Lei das áreas” (Astronomia Nova, 1609): A reta unindo 
o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. O significadofísico 
desta lei é que a velocidade escalar orbital não é uniforme, quanto mais 
distante o planeta está do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de 
outra maneira, esta lei estabelece que a velocidade areal é constante. 
 
3
3
2
2
1
1
areal
t
A
t
A
t
A
v

=== 
 
 Na Fig.06, se o tempo que o planeta leva para percorrer os arcos 
AB, CD e EF, forem iguais então as áreas A1, A2 e A3 serão iguais. 
 Usando os parâmetros da elipse, e sendo P o período orbital do astro, a velocidade areal pode ser estimada por: 
 
P
b.a.
t
A
vareal


== 
)e1(aqa.eaq
a.ec
cqa
−=−=
=
+=
 
)e1(aQa.eaQ
a.ec
caQ
+=+=
=
+=
 
 
Fig.06 Lei das áreas 
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3ª Lei de Kepler: “Lei harmônica”(Harmonices Mundi, 1618): O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente 
proporcional ao cubo dos semieixos maiores de suas órbitas elípticas. Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores 
se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a força entre o Sol e o planeta decresce com a 
distância ao Sol. 
Sendo P o período orbital do planeta, a o semieixo maior da órbita e k uma constante, podemos expressar a 3a lei 
como: 
32 a.kP = 
Se medirmos P em anos, e a em unidades astronômicas (distância média da Terra ao Sol), então k = 1, e podemos 
escrever a 3a Lei de Kepler como: 
32 aP = 
 Como veremos na Apostila gama, Astronomia de Posição, P é precisamente chamado período anomalístico; 
definido como intervalo de tempo entre duas passagens sucessivas de um planeta pelo periélio. 
Galileu Galilei 
 
Uma grande contribuição ao modelo heliocêntrico foi dada pelo italiano Galileu 
Galilei (1564 - 1642). Galileu foi o pai da moderna física experimental e da Astronomia 
telescópica. Seus experimentos em mecânica estabeleceram parte dos conceitos da inércia, 
e de que a aceleração de corpos em queda livre não depende de seu peso, que foram mais 
tarde incorporados às leis do movimento de Newton. 
Galileu começou suas observações telescópicas em 1609, usando um telescópio 
construído por ele mesmo. Não cabe, no entanto, a Galileu o crédito da invenção do 
telescópio. Lentes e óculos já eram conhecidos desde cerca de 1350. Galileu ouviu falar do 
telescópio construído pelo holandês Hans Lippershey (1570-1619) em 1608, e, sem ter visto 
o telescópio de Lippershey, construiu o seu próprio, com aumento de 3 vezes, em 1609. O 
melhor instrumento construído por Galileu tinha aumento de 30 vezes. Apontando o 
telescópio para o céu, fez várias descobertas importantes, entre elas: 
 
• descobriu que a Via Láctea era constituída por uma grande quantidade de estrelas; 
• descobriu que Júpiter tinha quatro satélites, ou luas, orbitando em torno dele, com períodos entre 2 e 17 dias. 
Esses satélites são chamados "galileanos", e, em ordem de distância a Júpiter, são: Io, Europa, Ganimedes e Calisto. 
Desde então, mais 60 satélites foram descobertos entorno deste planeta. Essa descoberta de Galileu foi 
particularmente importante porque mostrou que podia haver centros de movimento que por sua vez também 
estavam em movimento; portanto o fato da Lua girar em torno da Terra não implicava que a Terra estivesse 
parada; 
• descobriu que Vênus passa por um ciclo de fases, assim como a Lua. As fases de Vênus são os diferentes aspectos 
que a superfície do planeta Vênus apresenta a um observador na Terra devido a mudanças na iluminação dela 
pelo Sol. A ocorrência das fases é possível pois Vênus é um planeta inferior. 
 
Fig.07 Galileu Galilei 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwii_M-zm8PTAhUOlpAKHUPnCDEQjRwIBw&url=https://pt.wikipedia.org/wiki/Galileu_Galilei&psig=AFQjCNFPEkS4VsJ9kIXb9QFO-qOCNupEFw&ust=1493333580001495
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• descobriu a superfície em relevo da Lua, e as manchas do Sol. 
Ao ver que a Lua tem cavidades e elevações assim como a 
Terra, e que o Sol também não tem a superfície lisa, mas 
apresenta marcas, provou que os corpos celestes não são 
esferas perfeitas, mas sim têm irregularidades, assim como a 
Terra. Portanto, a Terra não é diferente dos outros corpos, e 
pode ser também um corpo celeste. 
 
As descobertas de Galileu proporcionaram grande quantidade de 
evidências em suporte ao sistema heliocêntrico. Por causa disso, ele foi 
chamado a depor ante a Inquisição Romana, sob acusação de heresia, 
e obrigado a se retratar. Apenas em 1980, o Papa João Paulo II [Karol 
Joseph Wojtyla (1920-2005)] ordenou um re-exame do processo contra Galileu, o que acabou por eliminar os últimos 
vestígios de resistência, por parte da igreja Católica, à revolução Copernicana. Galileu foi perdoado em 31 de outubro de 
1992. 
Isaac Newton 
 
Estudando o movimento dos corpos, Galileu Galilei (1564-1642) descobriu através de experimentos que "um 
corpo que se move, continuará em movimento a menos que uma força seja aplicada e que o force a parar." Galileu 
argumentou que o movimento é tão natural quanto o repouso, isto é, um corpo que está em repouso permanece em 
repouso a menos que seja submetido a uma força que o faça mover-se. Se um objeto já está se movimentando, ele 
continuará em movimento a menos que seja submetido a uma força que o faça parar. 
Galileu descobriu os satélites de Júpiter e comunicou seus dados a Johannes Kepler (1571-1630), que também os 
observou. O movimento dos satélites obedece às três leis de Kepler, porém com um valor da constante k diferente na 3a 
Lei. 
Sessenta anos depois, o inglês Isaac Newton (1643-1727) foi quem deu uma explicação completa ao movimento 
e à forma como as forças atuam. A descrição está contida nas suas 3 leis: 
1ª Lei de Newton: “Princípio da Inércia”. Na ausência de forças externas ( 0=R

), um objeto em repouso 
permanece em repouso, e um objeto em movimento retilíneo uniforme, permanece com velocidade constante ( ctev =

; 
módulo, direção e sentido). Esta propriedade do corpo em resistir à mudança da velocidade, chama-se inércia. A medida 
da inércia de um corpo é seu momentum ( p

). Newton definiu o momentum de um objeto como sendo proporcional à 
sua velocidade. A constante de proporcionalidade, que é a sua propriedade que resiste à mudança, é a sua massa: 
 
constante.0 === vmpR

 
 Perceba que o conceito de inércia foi inspirado nas ideias de Galileu, porém Galileu propôs a inércia circular. O 
movimento circular era considerado o movimento natural dos corpos. Um exemplo clássico que Galileu usa, em seu livro 
“Diálogo entre os Dois Principais Sistemas de Mundo”, é o seguinte: coloquemos uma esfera lisa sobre um plano liso e 
inclinado, e façamo-la se movimentar. Enquanto a esfera se move contra a inclinação do plano, subindo, ela desacelera, 
rolando cada vez mais devagar. Por outro lado, se invertermos a inclinação do plano, de forma que a esfera passe a descer, 
 
Fig.08 Esquema mostrando as fases de Vênus 
para um observador do poente. 
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então ela acelera, indo cada vez mais rápido. Portanto, deve haver uma inclinação intermediária (que podemos chamar 
de horizontal) em que a bolinha, ao se mover, não acelera nem desacelera, mas se mantém em movimento constante. 
 Galileu vai ainda mais longe: a Terra é esférica; então, se este plano for longo o suficiente, a bolinha continuaria 
rolando pela superfície terrestre, estável em seu movimento circulare constante. Da mesma forma, os planetas se movem 
em trajetórias circulares, estáveis, por sua própria inércia. 
 Embora as imagens que Galileu usou para explicar sua inércia ainda sejam muito úteis hoje para compreendermos 
esse princípio, a nossa inércia é diferente. É a inércia de Newton, que diz que o movimento natural é o movimento feito 
em linha reta. Assim, pensar em um plano na superfície da Terra é insuficiente; precisamos de uma imagem mais 
abstrata. Um corpo solto no espaço, livre de qualquer outra influência. Este corpo espera-se, uma vez tendo movimento, 
permanecerá neste movimento com a mesma velocidade e em linha reta, indefinidamente. Assim, o movimento dos 
planetas não é inercial, espontâneo. Se fossem deixados livres, eles se afastariam indefinidamente, vagando pelo universo, 
sempre à frente. Na Física de Newton, é preciso que algo “prenda” os planetas em suas órbitas fechadas, contrabalance 
sua tendência natural de permanecer em linha reta e se afastar. Esse algo foi o que Newton definiu como Força 
Gravitacional. 
2ª Lei de Newton: “Princípio fundamental da dinâmica”. Newton estabeleceu uma lei básica para a análise geral 
das causas dos movimentos. Relacionou a resultante das forças aplicadas ( R

), a variação do momentum de uma partícula. 
A segunda lei de Newton estabelece: 
dt
pd
R

= 
 A variação do momentum ao longo do tempo é proporcional à resultante das forças impressas, e tem a mesma 
direção da resultante. 
 Para um corpo de massa (m) constante, temos: 
 



.. mR
dt
vd
m
dt
pd
R === 
 Neste caso, dizemos que a resultante das forças produz uma aceleração ( 

) que tem mesma direção e mesmo 
sentido da resultante e suas intensidades são proporcionais. O enunciado anterior só é válido num referencial inercial. 
3ª Lei de Newton: “Ação e Reação". Estabelece que se o objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro 
exerce uma força igual e contrária. Isto é, as forças aparecem aos pares na natureza. 
Newton pôde explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, assumindo a hipótese de uma força dirigida ao 
Sol, que produz uma aceleração que força a velocidade do planeta a mudar de direção continuamente. 
 
Movimentos circulares 
 
No movimento circular uniforme (MCU), o módulo da velocidade linear é constante. No entanto, a direção e o 
sentido da velocidade mudam com o tempo. A aceleração que tem a função de alterar a direção e o sentido da velocidade 
é a aceleração normal ou centrípeta. 
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 A aceleração centrípeta aparece em todo movimento não retilíneos. No caso das 
órbitas circulares (movimentos circulares), o vetor aceleração centrípeta (acp) está 
direcionado para o centro da circunferência e é perpendicular ao vetor velocidade. Seu 
módulo é dado por: 
r
v
acp
2
= 
 Na expressão anterior, v é o módulo da velocidade linear do móvel e r é o raio da 
circunferência. A unidade da aceleração centrípeta é m/s2 no (SI). 
 Outro conceito importante para o MCU é o da velocidade angular (  ), que 
corresponde ao ângulo (  ), em radianos, percorrido pelo corpo em um intervalo de 
tempo ( t ). Para uma volta completa (  2= ), definimos: 
 
P
2
t



 == 
Onde de P é o período do movimento, ou seja, o intervalo de tempo para uma volta completa. A relação entre a 
velocidade linear (v) e angular ( ) é: 
 
r.
P
r.2
t
S
v 



=== 
 
O movimento dos planetas do Sistema Solar é uma boa aproximação de um MCU com a aceleração centrípeta 
direcionada para o Sol. Da 2a Lei de Newton, temos que resultante das forças ( R ) é diretamente proporcional a aceleração 
( ) com a mesma direção e sentido. Aplicando 2a Lei de Newton no MCU, definimos a resultante centrípeta ( cpR ) como: 
rm
r
v
mRamRmR cpcpcp
2
2
...  ====

 
 
Período sideral e sinódico 
 
Define-se período sideral (do latim sidereum, em relação ao céu) de um planeta (P) como o intervalo de tempo 
real de translação em torno do Sol, em relação a uma estrela fixa. 
Já o período sinódico (S) é o intervalo de tempo entre duas configurações idênticas e sucessivas. É o período de 
revolução aparente de um planeta, em relação a Terra. Considere dois planetas A e B em órbitas circulares coplanares 
inicialmente alinhados com o Sol como mostra a Fig.10. 
 
Fig.09 Um corpo m, em órbita 
circular de raio r, está sujeito 
a aceleração centrípeta acp 
que aponta para o centro 
da circunferência; é 
perpendicular ao vetor 
velocidade. 
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Para que ocorra um novo alinhamento entre os astros (primeiro encontro, Fig.11), a condição válida para os 
deslocamentos angulares de A e B é: 
 2BA += 
 Como os planetas realizam MCU, também podemos afirmar que: 
t.AA  = e t.BB  = 
Sejam PA e PB o período sideral de A e B, respectivamente, temos: 
 
BABA
BA
P
1
P
1
t
1
t
t
.2t.
P
2
t.
P
2
2t.t. −=+=+=






 
 Definimos que o intervalo de tempo t para que ocorra o primeiro alinhamento entre os astros é o período 
sinódico S, ou seja, t = S, portanto: 
BA P
1
P
1
S
1
−= 
 Atenção: A equação acima é válida para astros revolucionando um ponto no mesmo sentido, onde PA é o período 
sideral do astro de menor raio orbital e PB é o período sideral do astro de maior raio orbital. 
Lei da Gravitação Universal 
 
Analisando as Leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam ao longo da órbita em módulo, 
direção e sentido. Como a variação de direção e sentido é devida a ação de forças radiais, Newton concluiu que os planetas 
e o Sol interagem à distância, com forças chamadas gravitacionais ( GF

), do latim gravis, massa. Tendo uma grande 
 
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capacidade de generalização e um conhecimento profundo de matemática, Newton descobriu que a força gravitacional é 
funções do inverso do quadrado da distância e dependem da massa de cada um dos planetas. 
 Seja M e m as massas dos corpos envolvidos e r a distância entre os centros de massa, a intensidade da força 
gravitacional é definida como: 
 
 
 
 
 
Observações: 
• A força gravitacional é sempre de atração. 
• A força gravitacional, não depende do meio onde os corpos se encontram imersos. 
• A constante da gravitação universal G teve seu valor comprovado experimentalmente por Henry Cavendish por meio 
de um instrumento chamado balança de torção; seu valor, aproximado, é: 
2
2
11
kg
m.N
10.67,6G −= 
 Junto com suas três Leis da, a Lei da Gravitação Universal, diz que os planetas se movem em torno do Sol pelo 
mesmo motivo que as coisas caem na Terra, a atração entre os corpos. Essa atração só depende das massas dos corpos e 
da distância entre eles. Repare que depender só da distância significa que a força será a mesma para qualquer direção, 
este fato ajuda a entender porque grandes concentrações de massa tendem a ser esféricas. 
Aceleração gravitacional 
 
 A partir da Lei da Gravitação Universal, pode-se escrever a equação da força gravitacional com que a Terra, suposta 
homogênea, de massa M e raio R , atrai um corpo de massa m de dimensões desprezíveis situado em sua superfície 
como: 
2
..
R
mMG
FG = 
Igualando a expressão anterior à 2ª Lei de Newton, tem-se: 
22
.
.
..
R
MG
m
R
mMG
==  
Essa aceleração radial (  ) é geralmente representada pela letra ge é chamada de aceleração da gravidade. Com 
os dados da Terra, obtemos o seu valor: 
2m/s 9,8g ==
−
26
2411
2 )10.37,6(
10.98,5.10.67,6.
R
MG
g 
 
2
..
r
mMG
FG = 
 
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 A uma altitude h , a aceleração da gravidade é menor que na superfície: 
2)(
.
hR
MG
gh
+
= 
 Note: Sendo h pequeno em comparação a R )( Rh  , temos que ggh  . 
Corpos em órbita 
 
 Considere um planeta homogêneo de raio R e massa M . Seja m
a massa de um satélite em órbita circular em torno do planeta à altitude h
, medido em relação a sua superfície. 
 A força gravitacional entre M e m é radial para o centro da 
órbita, portanto na mesma direção da aceleração centrípeta cpa . Note que 
essa aceleração é a própria aceleração gravitacional à altitude h , ou seja, 
hcp ga = . 
 A partir dessa igualdade podemos escrever a equação da 
velocidade orbital, no caso particular de órbitas circulares, assim como a 
equação do período do movimento. 
 
- Velocidade orbital (órbita circular): 
 
 
hR
MG
r
MG
v
r
MG
r
v
ga
r
MG
g
r
v
a
hcp
h
cp
+
====
=
=
...
.
2
2
2
2
 
 
- Período: 
 
3
2
23
2
2 ).(
4
.
4..2
.
.2
hR
GM
Pr
GM
P
r
MG
P
r
r
MG
v
P
r
t
S
v
+===
=
=


=


 
 
 
A expressão do período é a própria 3ª Lei de Kepler para um sistema planetário com mM  . No Sistema Solar 
M é a massa do Sol e a constante 
GM
k
24
= é comum para todos os planetas independente de suas massas. 
 
Fig.13 Órbitas circulares 
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Problema dos dois corpos 
 
 Suponha dois corpos de massas 
1m e 2m , com velocidades angulares 1 e 2 , em órbitas circulares em torno do 
centro de massa (CM), cuja distância a esta posição é r1 e r2 , respectivamente, como mostra a Fig.14. A intensidade da 
atração gravitacional entre os corpos é dada por: 
2
21
21
)(
..
rr
mmG
FG
+
= 
 Como a força gravitacional aponta para o centro de massa do sistema, 
ela atuará como resultante centrípeta, logo para o corpo de massa 
1m , temos: 
12
2
2
21
2
12
2
12
21
21
1
2
11cp
1cpG
r.
P
4
)rr(
m.G
r.
P
4
.m
)rr(
m.m.G
P
2
r..mR
RF



 =
+
=
+

=
=
=
 (Eq.1) 
Analogamente para 2m : 
22
2
2
21
1
22
2
22
21
21
2
2
22cp
2cpG
r.
P
4
)rr(
m.G
r.
P
4
.m
)rr(
m.m.G
P
2
r..mR
RF



 =
+
=
+

=
=
=
 (Eq.2) 
Somando as equações (Eq.1) e (Eq.2), o período do sistema é: 
 321
21
2
2
212
2
212
21
)(
).(
4
).(
4
).(
)(
rr
mmG
Prr
P
mm
rr
G
+
+
=+=+
+

 
 Comparando a equação anterior com a 3a Lei de Kepler )a.kP( 32 = , verificamos que a constante kepleriana k 
é dada por: 
)mm.(G
4
k
21
2
+
=

 
 
 
 
 
Fg.14 Problema dos dois corpos 
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Página 13 
 
Energia 
 
 De todos os conceitos da ciência, talvez o mais central seja o de energia. A combinação de energia com matéria 
forma o universo: matéria é substância, energia é o que move a substância. A ideia de matéria é fácil de compreender. A 
matéria é o conteúdo do que podemos ver, cheirar e tocar. Ela possui massa e ocupa espaço. A energia, por outro lado, é 
abstrata. Não podemos ver, cheirar ou tocar a maioria das formas de energia. Embora o termo nos seja familiar, é difícil 
defini-la, pois ela não é apenas uma “coisa”, mas uma “coisa e um processo” juntos, como se fosse um substantivo e um 
verbo simultaneamente. Pessoas, lugares e coisas possuem energia, mas geralmente observamos a energia apenas 
quando ela está sendo transferida ou transformada. Ela chega até nós na forma de ondas eletromagnéticas vindas do Sol 
e a sentimos como energia térmica; ela é capturada pelas plantas e mantém juntas as moléculas da matéria; ela está nos 
alimentos que comemos e nós a recebemos através da digestão. A matéria em si mesma é uma cápsula de energia 
condensada, como estabelecido pela famosa equação de Einstein, 2.cmE = , à qual retornaremos nas próximas apostilas. 
Por ora, vamos descrever dois tipos de energia que estão disponíveis para qualquer objeto; são elas a energia cinética e a 
energia potencial. 
- Energia cinética (K): 
A energia cinética está relacionada com o estado de movimento de um corpo. Para um corpo de massa m 
animado de velocidade v , em um certo instante relativamente a um referencial, a energia cinética ( K ) é definida como: 
 
2
v.m
K
2
= 
 No SI a unidade de energia é o J (joule) = N.m (newton vezes metro). 
- Energia potencial (U): 
 Representa a quantidade de energia disponível para um objeto como resultado de sua localização no espaço. Por 
exemplo, se você mantém um lápis acima do solo, o lápis tem energia potencial que pode ser convertida em energia 
cinética pela força gravitacional da Terra. Como esta conversão é feita? Basta deixar o lápis cair. 
 Existem vário tipos de energia potencial, tais como a estocada em uma mola comprimida ou esticada, ou a 
armazenada em uma bateria elétrica. 
 Focaremos nossa atenção na energia potencial gravitacional (U ). De forma aplicada, podemos entendê-la como 
a energia necessária para vencer a atração gravitacional entre dois corpos. 
 Considere dois corpos de massa M e m , cujos centros de massa estão separados por uma distância r , isolados 
de objetos massivos como: estrelas, buracos negros, etc. A energia potencial gravitacional é definida como: 
 
r
GMm
U −= 
 Onde 
2
2
11
kg
m.N
10.67,6G −= é a constante gravitacional. O sinal negativo pode ser interpretado como a energia 
que o sistema deve “perder” para vencer a atração gravitacional a partir da distância r , isto é, separar os corpos à 
distância infinita. 
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 Próximo a superfície da Terra essa equação se simplifica para: hgmU ..= , onde 2/ 8,9 smg = , e h é a altura 
do objeto de massa m acima da superfície da terrestre. Quando o objeto está subindo 0U , quando está descendo 
0U . 
 
Lei da Conservação da Energia 
 
“A energia não pode ser criada ou destruída; pode apenas ser transformada, com sua quantidade total 
permanecendo constante.” 
Define-se como energia total ou mecânica ( E ) de um sistema, a soma das energias cinética e potencial. Para um 
corpo de massa m orbitando um astro M sob ação exclusiva da força gravitacional, da Lei da Conservação da Energia, a 
equação da energia mecânica é: 
 
cte
r
GMm
2
mv
EUKE
2
=−=+= 
 
Estudo das órbitas 
 
- Órbitas circulares 
 
 Classificada como uma órbita fechada. Para que isso aconteça, módulo da energia 
potencial gravitacional deve ser maior que o da energia cinética KU  ; 
consequentemente, a energia mecânica é negativa )0( E . 
 
 Relações válidas para as órbitas circulares: 
 
r2
GMm
K
r
GM
v
2
v.m
K
2
=
=
=
 KU
r
GMm
U
r
GMm
K
2
2
−=
−=
=
 
r
GMm
KE
KU
UKE
22
−=−=
−=
+=
 
- Órbitas elípticas 
Assim como as órbitas circulares, as órbitas elíticas também são 
fechadas. Para que isso aconteça, módulo da energia potencial gravitacional 
deve ser maior que o da energia cinética KU  ; consequentemente, a 
energia mecânica também será negativa )0( E . 
 
 
 
 
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 Em órbitas elípticas, de semieixo maior a , demonstra-se que a energia mecânica é: 
 
2a
GMm
E −= 
 Já a velocidade orbital é dada por: 
GM
a
1
r
2
.v
a
1
r
2
.GMv
a
GM
r
GM
2v
r
GMm
2
mv
a2
GMm
a2
GMm
E
r
GMm
2
mv
E
22
2
2
2
=





−=





−=
−=−=−
−=
−=
 :onde , 
 
 Para um astro orbitando o Sol, vale: 
 2
2
3
2
41
4
][
][


==== Sol
Sol
GM
GMUAa
anosP
 
 
- Órbitas parabólicas 
 
 Órbitas parabólicas devem ser associadas a situação em que a energia cinética é igual em módulo a energia 
potencial gravitacional UK = . Esta igualdade é condição suficiente para garantir que o astro “escape” da órbita e que, 
portanto, torne-se aberta. A energia mecânica em uma órbita parabólica é igual a zero )0( =E . 
A velocidade de escape escv está associada a velocidade tangencial mínima necessária para o corpo escapar da 
órbita fechada, portanto: 
 
r
GM
v
r
GMmvm
r
GMmvm
esc
escesc
2
2
.
0
2
. 22
=
==−
 
 
 Comparando com a velocidade em órbitas circulares ( cirv ), 
temos: 
 
2.
2
ciresc
esc
cir
vv
r
GM
v
r
GM
v
=
=
=
 
 
 
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- Órbitas hiperbólicas 
 
Nas órbitas hiperbólicas, a energia cinética é maior que o módulo da energia potencial gravitacional UK  o 
que faz a órbita ser aberta. Neste caso a energia mecânica é positiva )0( E . 
 
Resumo 
 
 
Apêndice A: Momento angular 
 
As coisas que giram, seja um disco preso a um eixo, um cilindro que rola rampa 
abaixo ou um acrobata que executa uma cambalhota, permanecem girando até que 
alguma coisa as detenha. Um objeto em rotação possui uma inércia de rotação, ou inércia 
rotacional. Na 1ª Lei de Newton, vimos que os objetos possuem inércia de movimento 
ou momentum dado pelo produto da sua massa pela velocidade ( vmp

.= ). Esse tipo de 
momentum é também chamado de momento linear. Analogamente, a inércia de rotação 
de um objeto em rotação chama-se momento angular ( L

). 
 Um planeta que orbita o Sol, uma pedra girando presa à extremidade de um 
barbante e os minúsculos elétrons girando em torno dos núcleos atômicos, todos 
possuem momento angular. 
O momento angular pode ser expresso como o valor do momento linear 
multiplicado pela distância radial ( r

). Em notação sintética, temos: 
 
 rvmrpL

== . 
 Da mesma maneira que é necessário haver uma força externa atuante para alterar o momento linear de um 
objeto, é necessário haver um torque externo para alterar o momento angular de um objeto. O torque ( ) é o equivalente 
 
Fig.18 Um objeto pequeno de 
massa m em rotação numa 
trajetória circular de raio r, 
com velocidade v, tem um 
momento angular mvrL = . 
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rotacional da força, o torque tende a fazer girar ou alterar o estado de rotação de um corpo. É definido como o produto 
entre a força e o braço da alavanca ( bF.= ). Pode-se enunciar a versão rotacional da 1ª lei de Newton como: 
“Um objeto ou sistema de objetos manterá seu momento angular constante a menos que um torque externo atue 
sobre ele.” 
Apêndice B: Secções cônicas 
 
 As curvas cônicas são obtidas pela interseção de um plano com um cone circular reto de duas folhas. Fazendo a 
interseção de um plano com um cone circular reto de duas folhas podemos obter: um ponto, uma reta, um par de retas 
ou as curvas cônicas: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. 
A circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são obtidas como secções de cones circulares retos com planos 
perpendiculares a um dos elementos do cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso). 
 
 
 
 
 
 
 
Circunferência: 
 Curva plana fechada que se obtém da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo a sua base. 
Lugar geométrico dos pontos de um plano, cuja distância a um ponto fixo é constante. 
- Elipse: 
 É uma curva plana fechada que se obtém da interseção de um cone circular reto com um plano oblíquo a base do 
cone. O ângulo do plano é menor que o ângulo que a geratriz forma com a base. 
 Lugar geométrico dos pontos de um plano, cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano (focos) têm uma 
soma constante e igual ao seu eixo maior. 
- Parábola: 
 Curva plana aberta que se obtém da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo à sua geratriz. 
Lugar geométrico cujos pontos distam igualmente de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz). 
 
 
Fig.19 Secções cônicas 
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- Hipérbole: 
 É uma curva plana aberta, com dois ramos, que se obtêm da interseção de um cone circular reto com um plano 
oblíquo ou perpendicular à sua base. O ângulo do plano é maior que o ângulo que a geratriz forma com a base. 
 Lugar geométrico em que a diferença das distâncias de um dos seus pontos a dois pontos fixos (focos) é 
constante. 
Reconhecimento do céu 
 
 Constelações são agrupamentos aparentes de estrelas, em uma região do 
céu, os quais os astrônomos da antiguidade imaginaram formar figuras de pessoas, 
animais ou objetos. Em 1929 a união astronômica Internacional adotou 88 
constelações oficiais, de modo que cada estrela do céu faz parte de uma 
constelação. Todas as estrelas que estiverem dentro da mesma região (lote), 
pertencem a uma mesma constelação. 
 Asterismos pequenos conjuntos mnemônicos geralmente menores que as 
constelações. Trata-se de um desenho que suas estrelas formam no céu, um 
desenho mnemônico pode ir desde um alinhamento de três estrelas (Três Marias) 
até um bule de chá (Sagitário). Compare na Fig.20 a constelação e o asterismo de 
Gêmeos. 
• Região próxima ao Polo Celeste Sul: Cruzeiro do Sul, Centauro, Quilha e Vela. 
 
Fig.20 Constelação e asterismo de Gêmeos 
 
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• Céu característico do Verão: Órion, Cão Maior, Cão Menor e Gêmeos. 
 
• Céu característico do Inverno: Escorpião e Sagitário. 
 
 
 
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• Touro, Cocheiro, Câncer e Perseu. 
 
• Leão, Hidra fêmea, Taça, Corvo, Virgem, Boieiro, Libra e Coroa boreal. 
 
 
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Orientações: 
• Estude a Apostila Delta e Épsilon (disponível em: www.astro1.webnode.com). Observe as 88 constelações. 
Memorize os 88 asterismos, ou seja, as linhas que ligam as estrelas principais dentro da constelação. Compare os 
asterismos da carta celeste com os que aparecem no Guia Zahar de Astronomia e no Stellarium. Guarde o que 
você achar mais confortável! 
• Aprenda o maior número possível de nomes de estrelas. Comece com os nomes que aparecem nos mapas. Por 
exemplo: Na constelação da Ursa Marjor (Ursa Maior) as estrelas importantes são: Dubhe,Merak, Phecda, Megrez, 
Alioth, Mizar e Alcor (sistema binário) e Alkaid. Constelações menos brilhantes, como o Monoceros (Unicórnio), 
não possuem estrelas de grande destaque. Compare os nomes que aparecem na carta com o Guia Zahar e no 
Stellarium. Construa uma tabela com as informações. 
• Em 1603, o astrônomo alemão Johannes Bayer idealizou uma nomenclatura para estrelas pertencentes a uma 
dada constelação. À estrela mais brilhante da constelação atribuiu o nome da primeira letra do alfabeto grego 
alfa; à segunda em brilho beta; à terceira, gama, à quarta delta e assim sucessivamente; o que é conhecido como 
nomenclatura de Bayer. Aprenda o alfabeto grego. 
• Observe o céu natural regularmente. Localize planetas, estrelas e constelações. Usando as ferramentas já citadas, 
aprenda os nomes das estrelas que você vê no céu. Os aplicativos Sky Map (Android) ou Star Chart (IOS) poderem 
tornar o estudo mais dinâmico. 
• Acompanhe o movimento aparente da Lua em relação às estrelas. 
Atividade: 
• Localize o maior número possível de constelações nos mapas 1 e 2. Sugestão: Marque os asterismos usando lápis. 
Não aperte o lápis, fica mais fácil apagar caso você erre! 
• Os dois círculos mais importantes da esfera celeste são: a eclíptica, definido como o caminho aparente do Sol na 
esfera celeste ao longo do ano; e o equador celeste, projeção do equador terrestre na esfera celeste. Estes círculos 
cruzam sempre as mesmas constelações nos mesmos lugares. Com ajuda da carta e do Stellarium, trace a 
eclíptica e o equador celeste nos mapas 1 e 2. Invente referências para ajudá-lo a guardar a posição dos círculos. 
 
 
 
 
 
 
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Mapa 1 
Data: 10 de julho de 2017 Hora local: 20:00 Latitude: 23,54o S Longitude: 46,63oW 
 
 
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Mapa 2 
Data: 10 de janeiro de 2018 Hora local: 21:00 Latitude: 23,54o S Longitude: 46,63o W 
(Fonte: www.havens-above.com) 
 
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Exercícios 
Quando necessário consulte a tabela de constantes. 
1) (seletiva) Um asteroide tem seu periélio e seu afélio às distâncias de 2,0 U.A. e 4,0 U.A., respectivamente. Calcule o 
semieixo maior da sua órbita (a), sua excentricidade (e) e seu período orbital (T). 
2) (seletiva) Em relação a órbita de um satélite natural em torno de um planeta, temos que a posição do perigeu é três 
vezes menor que a posição do apogeu. Se aumentarmos três vezes a posição do apogeu sem alterar o perigeu, o período 
do satélite: 
a) reduzirá aproximadamente 9 vezes; d) reduzirá aproximadamente 4 vezes; 
b) permanece constante. e) aumentará aproximadamente 9 vezes; 
c) aumentará aproximadamente 4 vezes; 
 
3) Determine o valor do semieixo maior (a) e a excentricidade (e) da órbita da sonda Magalhães, em torno de Vênus cujo 
raio é de aproximadamente 6000 km. Considere a sonda em uma órbita elíptica cuja altitude mínima (periastro) era de 
294 km e a máxima (apoastro), 8543 km. 
 
4) (VII IOAA) Um cometa periódico orbita o Sol com máximo afastamento igual a 31,5 UA e máxima aproximação igual a 
0,5 UA. Determine o valor da sua velocidade areal em UA2/ano. 
 
5) (seletiva) A figura abaixo mostra a órbita elíptica de um cometa em torno do Sol. O Sol ocupa a posição focal S e os 
parâmetros da órbita aparecem no quadro ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo P o período orbital deste cometa em torno do Sol, pode-se afirmar que o intervalo de tempo t necessário 
para que ele percorra o arco ABC é: 
 a) 
2
P
t = b) P.
2
3
t



+
= c) P.
4
32
t



+
= d) P.
34
2
t
+
=


 
 
Parâmetros orbitais: 
a = semieixo maior = 2 U.A. 
b = semieixo menor = 1 U.A. 
c = 3 U.A. 
 
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6) (seletiva) Considere um satélite de período orbital P e semieixo maior a. Assinale a alternativa que expressa 
corretamente de quanto foi o acréscimo P (P << 1, lê-se P muito menor que 1) no período orbital após uma manobra 
que produziu um pequeno acréscimo a (a << 1) em seu semieixo maior. 
 
a) a b) Pa/a c) 2Pa/(3a) d) 3Pa/(2a) 
 
7) (seletiva) Considere dois planetas A e B orbitando, no mesmo 
sentido, uma estrela E, de massa igual ao Sol, como mostra a figura 
abaixo. O raio orbital médio dos planetas A e B são, 
respectivamente, 1 UA e 2 UA. Podemos afirmar que o intervalo de 
tempo entre duas oposições consecutivas entre A e B vale: 
 
a) 1 ano d) 
2
122 −
anos 
b) 22 anos e) 
24
22
−
anos 
c) 
24
4
−
 anos 
 
8) (seletiva) Um planeta hipotético tem período sideral igual ao seu período sinódico com respeito à Terra. Assinale a 
alternativa que, corretamente, contém o valor do período sideral deste planeta. 
 
a) 0,5 ano b) 1,0 ano c) 1,5 ano d) 2,0 anos 
 
9) (seletiva) No Sistema Solar, diz-se que um planeta está em oposição quando ele é observado na direção diametralmente 
oposta à direção do Sol. Sabendo que Marte se encontra a 1,52 UA do Sol, determinar a cada quantos dias Marte pode 
ser observado em oposição à Terra. Suponha todas as órbitas circulares e coplanares. 
 
a) 783,2 dias b) 365,2422 dias c) 684,47 dias d) 780,00 dias 
 
10) (seletiva) Em relação à Terra e ao Sol, o período sinódico de Vênus é de 583,92 dias e o de Júpiter 398,89 dias. Para 
facilitar as contas, assuma que esses valores são, respectivamente, 584 e 399 dias. De quanto em quanto tempo Júpiter é 
visto em oposição ao Sol a partir de Vênus? Ou seja, qual o período sinódico, aproximadamente, de Júpiter tendo Vênus 
e o Sol como referências? 
 
a) 224 dias b) 237 dias c) 365 dias d) 1260 dias e) 4037 dias 
 
11) Prove que o período sinódico (S) de dois planetas hipotéticos A e B orbitando em sentidos opostos o Sol é dado por: 
BA PPS
111
+= , onde PA e PB são, respectivamente, os períodos siderais da A e B. 
 
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12) (seletiva) Se a distância entre dois asteroides dobra, a força gravitacional exercida mutuamente será: 
a) também o dobro. b) metade da inicial. c) um quarto da inicial. 
d) quatro vezes maior. 
13) (seletiva) Considere dois astros A e B de massas mA e mB, onde mA = 2 mB, em órbitas circulares em torno de uma 
estrela E. Sabe-se que, em relação à estrela E, o período orbital de A é duas vezes menor que de B. Assinale a alternativa 
que mostra o valor da razão entre a força gravitacional entre a estrela E e o astro A (FGA) e a força gravitacional entre a 
estrela E e o astro B (FGB). 
a) 3 24 b) 3 2 c) 
3 2
1
 d) 
3 24
1
 
14) (seletiva) Num hipotético planetoide, a aceleração da gravidade cai de 2,50 m/s2 (superficial) para 1,98 m/s2 quando 
se sobe 10 km. Qual é o raio aproximado deste planetoide? 
a) 12 kmb) 57 km c) 81 km d) 103 km 
15) A massa da Terra é de 81 vezes a da Lua. A distância da Terra a Lua é de 380 000 km. A que distância do centro da 
Terra se situa o ponto onde o campo gravitacional é nulo? 
16) Um satélite geoestacionário move-se numa órbita circular, a 300 km acima da superfície da Terra. Calcule a velocidade 
do satélite em m/s. (OBS: Consulte a tabela de constantes.) 
17) (Fuvest) Um anel de Saturno é constituído por partículas girando em torno do planeta em órbitas circulares. 
a) Em função da massa M do planeta, da constante universal da gravitação G e do raio r, calcule a velocidade orbital de 
uma partícula do anel. 
b) Sejam Ri o raio interno e Re o raio externo do anel. Qual a razão entre as velocidades angulares i e e das duas partículas, 
uma na borda interna e outra na borda externa do anel? 
18) (seletiva) Quando tivermos uma colônia permanentemente ocupada na Lua, será preciso o uso de satélites 
estacionários em relação à superfície lunar para serem usados em monitoramentos e comunicações. A cerca de que altura 
h da superfície da Lua ficarão estes satélites selenoestacionários? Dados: Dia solar da Lua TLua = 29 dias, 12 h, 44 min e 3 
s; MLua = 7,3.1022 kg; rLua = 1738 km. 
a) cerca de 18 mil km b) cerca de 36 mil km 
c) cerca de 72 mil km d) cerca de 91 mil km 
19) (seletiva) A terceira Lei de Kepler pode ser escrita na forma de P2 =Ca3/M, onde C é uma constante universal e M a 
massa do objeto central. A Lua orbita a Terra com um período de P = 27,32 dias a uma distância de a = 3,78 .108 m. 
a) Calcule o valor da constante C no Sistema Internacional de unidades (SI); 
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b) A massa de Saturno é 95 vezes a massa da Terra. Se uma das luas de Saturno gira ao redor do planeta com um período 
de 234,01 dias, encontre o raio de sua órbita; 
c) Calcule qual seria o período orbital da Lua se a massa da Terra fosse o triplo do seu valor real. Considere a Lua na mesma 
distância média atual. 
20) (seletiva) Deimos, o menor dos dois satélites de Marte, tem período sideral de 1,262 dias e uma distância média ao 
centro de Marte de 23 500 km. Qual a massa de Marte? 
21) (OLAA) Estima-se que o período de translação do Sol ao redor do centro da Via Láctea, considerando uma órbita 
circular, é de 250 milhões de anos a uma distância de 25000 a.l. do seu centro. A partir destes dados, estime a massa da 
Via Láctea em massas solares. 
22) (OLAA) Calcule a densidade de um planeta, supostamente esférico e homogêneo, que tem um satélite artificial girando 
ao seu redor em uma órbita circular de período T = 6 h. A altura do satélite é igual à metade do raio do planeta. 
23) A figura a seguir representa a órbita elíptica de um 
planeta em torno de uma estrela de massa 
SolMM .2= . Os pontos A e P indicam, 
respectivamente, a posição de apoastro e periastro 
nesta órbita de cento X. Considere que cada divisão, no 
quadriculado abaixo, corresponda a 1 UA. 
Determine: 
a) A excentricidade orbital do planeta. 
b) A distância, em unidades astronômicas, entre a 
estrela e o ponto A. 
c) O período orbital, em anos, do planeta. Considere a 
massa da estrela muito maior que a do planeta. 
24) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa 
seus motores para assumir uma nova órbita circular a 
uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita: 
a) a aceleração centrípeta é menor. d) a energia cinética é menor. 
b) a energia potencial gravitacional é maior. e) a energia mecânica ou total é maior. 
c) a velocidade tangencial é maior. 
25) Determine a velocidade mínima que deve ser dada a um corpo de massa m na superfície da Terra para que este corpo 
se livre da atração gravitacional terrestre, isto é, chegue ao “infinito” com velocidade nula? 
 
Figura da questão 23 
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26) Considere uma estrela dupla constituída por duas estrelas de mesma massa, cujos centros de massa distam d, 
descrevendo movimentos circulares e uniformes em torno do centro de massa do conjunto. Sendo m a massa de cada 
estrela e G a constante de gravitação universal, encontre a expressão da energia cinética de cada estrela, em relação a um 
referencial no centro de massa em função de d, m e G. 
27) (seletiva) Em sua máxima aproximação ao Sol, o módulo da energia potencial gravitacional de um cometa é menor 
que o módulo da sua energia cinética. Podemos afirmar que a órbita deste cometa em torno do Sol é: 
a) Elíptica, pois a energia mecânica é maior que zero. 
b) Elíptica, pois a energia mecânica é menor que zero. 
c) Parabólica, pois a energia mecânica é sempre igual a zero. 
d) Hiperbólica, pois a energia mecânica é maior que zero. 
28) (seletiva) No dia 18 de fevereiro de 2014 um asteroide com 270 metros de largura passou próximo da Terra. Mesmo 
sendo considerada potencialmente perigosa, a rocha espacial, conhecida como 2000 EM26, não representou ameaça. A 
distância mais próxima da Terra a que ela chegou foi de 3,4 milhões de km, o equivalente a 8,8 vezes a distância entre 
nosso planeta e a Lua. Sua velocidade foi estimada em 47 mil km/h. 
Sabendo destas informações, determine: 
a) o tipo de órbita do asteroide (se elíptica, parabólica ou hiperbólica), supondo interação apenas com o Sol, e 
considerando que no momento de maior aproximação à Terra, ocorreu um alinhamento Sol-Asteroide-Terra. 
b) o tipo de órbita do asteroide (se elíptica, parabólica ou hiperbólica), supondo interação apenas com a Terra. 
29) O cometa Austin se move em uma órbita parabólica. Qual foi a sua velocidade em 8 de outubro de 1982 quando estava 
a 1,1 UA do Sol? 
Dica: G. MSol = 1,32.1020 N.m2.kg-1. 
 
30) Sabe-se que o semieixo maior da órbita do planetoide 1982RA é 1,568 UA. Qual a sua velocidade, em UA/ano, em 8 
de outubro de 1982 quando estava a 1,17 UA do Sol? 
31) Qual o raio de um buraco negro de massa igual à massa do Sol? Sabe-se que a velocidade de escape em um buraco 
negro é igual a c, ou seja, a velocidade da luz no vácuo. O raio determinado é conhecido como Raio de Schwarzschild, ou 
raio do horizonte de eventos. 
32) Uma sonda lançada a Marte tem periélio e afélio sobre as órbitas da Terra e Marte respectivamente. Esse tipo de 
órbita é denominada órbita de mínima energia, ou órbita de transferência de Hohmann. A sonda parte da órbita terrestre 
(RT = 1 UA) e alcança Marte (RM = 1,52 UA) quando Marte chega a seu afélio. 
a) Qual o tempo de viagem, seguindo a órbita de mínima energia, da Terra a Marte? 
b) Neste caso, qual a velocidade de lançamento da nave em relação à superfície terrestre? 
 
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33) (seletiva) Considere que os planetas Mercúrio e Terra orbitam em sentido anti-horário e em um mesmo plano ao redor 
do Sol com raios orbitais RM e RT, respectivamente. Da Terra, deseja-se lançar uma nave de tal forma que, movendo-se 
através de uma órbita 
elíptica apenas por atração gravitacional, a nave atinja o planeta Mercúrio. Em um sistema conservativo, além da energia, 
o momento angular ( L ), definido como rv.mL = , também é 
conservado. 
Em função dos raios orbitais RM e RT, da massa solar MS e da 
constante gravitacional G, pode-se afirmar que a velocidade inicial v0 de 
lançamento da nave, nesta trajetória, pode ser expressa por: 
a) 
)(
2
0
TMT
MSRRR
RGM
v
+
= b) 
)(
0
TMM
MS
RRR
RGM
v
+
= 
c) 
)(2
0
TMM
MS
RRR
RGM
v
+
= d) 
)2(
2
0
TMM
TS
RRR
RGM
v
+
= 
34) Acredita-se que a colisão de um grande asteroide com a Terra 
tenha causado a extinção dos dinossauros. Para se ter uma ideia de um impacto dessa ordem, considere um asteroide 
esférico de ferro, com 2 km de diâmetro, que se encontra em repouso quase no infinito, estando sujeito somente à ação 
da gravidade terrestre. Desprezando as forças de atrito atmosférico, estime a energia liberada no impacto, medida em 
número aproximado de bombas de hidrogênio de 10 megatons de TNT. Adote: 1 ton de TNT = 4.109 J; densidade do ferro 
= 8.103 kg/m3. 
Tabelas e constantes 
Alfabeto grego 
Distâncias 
 
 
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Constantes físicas 
 
 
 Dados da Lua Constantes matemáticas 
 
 
 
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Página 31 
 
 Dados dos do Sol (☉) Dados da Terra () 
 
 Dados aproximados do Sistema Solar 
 
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Gabarito 
 
1) a = 3 UA; e = 1/3; T = 5,2 anos. 2) C 3) a = 10418,5 km ; e = 0,39 
 
4) 3,11 UA2/ano 5) B 6) D 7) C 8) D 9) A 10) B 
 
11) Ver resolução em aula. 12) C 13) A 14) C 15) 3,42 .105 km 16) 7746 m/s 
 17) a) 
r
GM
v = b) 
3
iR
eR








 18) D 
19) a) 6,19.1011 s2.kg.m-3 b)7,22.109 m c)15,77 dias 20) 6,45.1023 kg 
 
21) 6,35.1010 MSol 22) 1021,6 kg/m3 23) a) 0,515 b)10,605 UA c) 13,09 anos 
 
24) C 25)11,2 km/s 26) Gm2/(4d) 27) D 
 
28) a) Elíptica (Emec < 0) b) Hiperbólica (Emec > 0) 29) 40 km/s 30)6,5 UA/ano 
 
31) 3 km 32) a) 0,71 ano b) 120 m/s 33) A 34) 5.104 bombas.