grupo de lie

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Grupos de Lie
Luiz A. B. San Martin
15 de Agosto de 2011
2
Conteúdo
1 Introdução 9
1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Grupos topológicos 17
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Vizinhanças do elemento neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Grupos Metrizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Ações de grupos e espaços quocientes . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 Descrição algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.2 Ações contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3 Grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Grupos compactos e conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Grupos de Lie e suas álgebras de Lie 51
3.1 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Álgebra de Lie de um grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Campos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Homomor�smos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2 Representações adjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Equações diferenciais ordinárias invariantes . . . . . . . . . . . 78
3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.7 Subgrupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.8 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.9 Subálgebras e subgrupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3
4 CONTEÚDO
3.10 Ideais e subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.11 Limites de produtos de exponenciais . . . . . . . . . . . . . . 93
3.12 Subgrupos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.13 Subgrupos conexos por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.14 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 Grupos de transformações 107
4.1 Espaços homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Ações de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3 Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.1 Fibrados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.2 Fibrados associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4 Espaços homogêneos e �brados . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5 Homomor�smos e Recobrimentos 141
5.1 Homomor�smos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.1 Imersões e submersões . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.2 Grá�cos e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1.3 Extensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Recobrimento universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3 Existência (terceiro teorema de Lie) . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4 Grupos analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6 Grupos de Automor�smos 163
6.1 Automor�smos de grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2 Grupo A�m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3 Produto semi-direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.5 Resultados adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7 Expansões em séries 179
7.1 Série de Taylor e álgebra envelopante . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 Diferencial da aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3 Fórmula de Campbell-Hausdor¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
CONTEÚDO 5
8 Geometria invariante 191
8.1 Tensores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.1.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.1.2 Tensores invariantes em espaços homogêneos . . . . . . 191
8.1.3 Tensores bi-invariantes em grupos de Lie . . . . . . . . 192
8.2 Formas-volume e integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.1 Medidas de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.2 Apêndice: Medidas de Borel e formas-volume . . . . . 198
8.2.3 Espaços homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3 Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.4 Grupos de Lie complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.4.1 Varieades complexas e pseudo-complexas . . . . . . . . 201
8.4.2 Grupos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5 Variedades simpléticas e órbitas co-adjuntas . . . . . . . . . . 204
8.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9 Grupos nilpotentes e solúveis 209
9.1 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.1.1 Álgebras de Lie solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.1.2 Grupos solúveis simplesmente conexos . . . . . . . . . 210
9.2 Grupos nilpotentes simplesmente conexos . . . . . . . . . . . . 211
9.2.1 Álgebras de Lie nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.2.2 exp é difeomor�smo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.4 Sobras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10 Grupos compactos 223
10.1 Exemplos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.2 Álgebra de Lie de um grupo compacto . . . . . . . . . . . . . 225
10.3 Álgebras semi-simples compactas . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.3.1 Componentes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.3.2 Construção de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.3.3 Subálgebras de Cartan e elementos regulares . . . . . . 230
10.4 Grupo fundamental de Aut (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6 CONTEÚDO
A Variedades diferenciáveis 235
A.0.1 Medidas de Borel e formas-volume . . . . . . . . . . . 235
A.1 Campos de vetores e colchetes de Lie . . . . . . . . . . . . . . 239
A.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
B Integrabilidade de distribuições 247
B.1 Imersões e subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
B.2 Distribuições características e teorema de Frobenius . . . . . . 251
B.3 Unicidade e variedades integrais maximais . . . . . . . . . . . 258
B.4 Cartas adaptadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
B.5 Variedades integrais são quase-regulares . . . . . . . . . . . . . 263
B.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
� Grupos semi-simples e decomposições de Cartan e Iwasawa.� var-
iedades �ag; grupos de Weyl como normalizadores. Métrica de Borel e cam-
pos gradientes. Decomposição de Jordan de g 2 G.
� introdução aos grupos algébricos
� representações (já aparece um começo no cap. homomor�smos); rep-
resentações de grupos compactos.
� semigrupos
� espaços simétricos (compactos, não-compactos...)
� pontos �xos de automor�smos (grupos de Vinberg).
� Linearização local de ações (grupos compactos (Cartan) e grupos semi-
simples).
� �ags.
� métricas invariantes e bi-invariantes, suas conexões e geodésicas.
� teorema de Palais, representação in�nitesimal e global (local).
� existem apenas três grupos de Lie (dim <1) (ou melhor álgebras de
Lie de campos de vetores) agindo em dim = 1 (R).
Prefácio
Os grupos aos quais esses métodos se aplicam diretamente são os denomina-
dos grupos de Lie,
este tipo de coisa vai pra prefácio
� segunda parte: teoria que precisa de álgebra de Lie.
7
8 CONTEÚDO
Capítulo 1
IntroduçãoEste capítulo introdutório tem um carácter informal. Seu objetivo é propiciar
ao leitor uma visão geral da teoria, discutindo alguns dos resultados principais
através de exemplos, que são ao mesmo tempo concretos e ilustrativos, por
isso mesmo são centrais dentro da teoria.
A de�nição formal de um grupo de Lie será feita adiante no capítulo 3.
Para todos efeitos, um grupo de Lie consiste num grupo G cujo produto
(g; h) 2 G�G 7�! gh 2 G
é uma aplicação diferenciável. Um exemplo rico o bastante para cobrir boa
parte da teoria e ao qual deve-se recorrer sempre como guia, é o grupo linear
geralGl (n;R). Os elementos deste grupo são as matrizes n�n inversíveis com
entradas reais, ou, o que é essencialmente a mesma coisa, as transformações
lineares inversíveis de um espaço vetorial real de dimensão �nita.
A seguir serão discutidos alguns aspectos do grupo Gl (n;R). A primeira
observação é que este conjunto é um aberto do espaço vetorial das matrizes
n � n, isto é, de Rn2. Ele é formado por duas componentes conexas, deter-
minadas pelo sinal do determinante. Uma delas é
Gl+ (n;R) = fg 2 Gl (n;R) : det g > 0g;
que é um subgrupo de Gl (n;R). A outra componente conexa é formada pelas
matrizes com determinante < 0 e não é um subgrupo.
A estrutura de grupo em Gl (n;R) é dada pelo produto usual de matrizes.
Se X = (xij) e Y 2 (yij) são matrizes n � n, então Z = XY = (zij) é dado
9
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
por
zij =
nX
k=1
xikykj;
que é uma aplicação polinômial de grau dois nas variáveis xij; yij. Portanto,
o produto é uma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl (n;R) é um grupo
de Lie.
A grande força da teoria dos grupos de Lie está baseada na existência
das álgebras de Lie associadas aos grupos. As álgebras de Lie possibilitam
transportar métodos da álgebra linear ao estudo de objetos não lineares,
como são os grupos de Lie. Uma álgebra de Lie é de�nida como sendo um
espaço vetorial g munido de um produto (colchete) [�; �] : g � g ! g que
satisfaz as seguintes propriedades.
1. Bilinearidade, isto é, [�; �] é linear em cada uma das variáveis.
2. Anti-simetria, isto é, [A;B] = �[B;A], para A;B 2 g.
3. Identidade de Jacobi: para A;B;C 2 g,
[A; [B;C]] = [[A;B]; C] + [B; [A;C]]:
Os elementos da álgebra de Lie de um grupo de Lie são equações diferenci-
ais ordinárias (campos de vetores) no grupo, que satisfazem uma propriedade
de simetria proveniente da estrutura multiplicativa do grupo (campos de ve-
tores invariantes por translações, veja o capítulo 3). Enquanto que os ele-
mentos do grupo são obtidos através das soluções dessas equações, como
elementos de seus �uxos.
Em outras palavras, a álgebra de Lie é um objeto linear que aproxima o
grupo: para se obter os elementos da álgebra de Lie deve-se derivar curvas no
grupo. O procedimento contrário consiste em resolver equações diferenciais.
Por isso, nos primeiros decenios do desenvolvimento da teoria era empregado
o termo grupo in�nitesimal , ao invés de álgebra de Lie.
No caso de Gl (n;R), sua álgebra de Lie é o espaço vetorial das matrizes
n� n, munido do colchete dado pelo comutador de matrizes1
[A;B] = BA� AB:
1A ordem inversa que aparece neste comutador deve-se à escolha dos campos invariantes
à direita a ser feita logo mais.
11
Essa álgebra de Lie será denotada por gl (n;R). Para estabelecer a relação
entre a álgebra e o grupo, considere, para cada matriz A 2 gl (n;R), o campo
de vetores
g 7! Ag
no espaço da matrizes. Este campo induz a equação diferencial linear
dg
dt
= Ag: (1.1)
Esta equação é nada mais nada menos que o sistema linear
dx
dt
= Ax, x 2
Rn, repetido n vezes, uma vez para cada coluna da matriz g. A solução
fundamental do sistema linear em Rn é dada por
exp (tA) =
X
n�0
1
n!
(tA)n ;
o que garante que a solução da equação (1.1) com condição inicial g (0) = 1
(onde 1 denota a matriz identidade n � n) é g (t) = exp (tA). Esta solução
está inteiramente contida em Gl (n;R), pois as exponenciais são matrizes
inversíveis. Além do mais, a curva
g : R! Gl (n;R)
é um homomor�smo quando se considera a estrutura aditiva de grupo em R,
já que vale a fórmula exp ((t+ s)A) = exp (tA) exp (sA). A imagem desse
homomor�smo é o que se denomina de grupo a 1-parâmetro do grupo de Lie.
Em suma, existe uma construção natural que associa para cada elemento
da álgebra de Lie um subgrupo do grupo de Lie. Essa é a construção básica
para o desenvolvimento da teoria, pois é a aplicação exponencial que esta-
belece o vinculo entre o colchete na álgebra de Lie e o produto no grupo,
determinando (quase que) completamente a estrutura do grupo de Lie a par-
tir da álgebra de Lie. Esse vinculo é realizado através fórmulas que envolvem
[�; �], exp e o produto no grupo.
A mais geral delas é a Fórmula de Campbell-Hausdor¤ . Essa fórmula se
escreve, para A e B na álgebra de Lie, como
exp (A) exp (B) = exp (S (A;B))
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
onde S (A;B) é uma série (similar a uma série de Taylor), que envolve apenas
A e B e seus colchetes sucessivos. Os primeiros termos dessa série são
S (A;B) = A+B +
1
2
[A;B] +
1
12
[[A;B]; B]� 1
12
[[A;B]; A] + � � � (1.2)
e os demais termos envolvem colchetes com quatro ou mais elementos.
A série S (A;B) converge se A e B su�cientemente pequenos, mostrando
que para esses valores de A e B, o produto exp (A) exp (B) é completamente
determinado pela álgebra de Lie, isto é, pelos colchetes entre seus elementos.
Este tipo de relação entre o colchete e o produto, pode ser propagado (via
prolongamento analítico) a todo grupo permitindo mostrar que, a menos de
propriedades topológicas globais (como o grupo ser conexo e simplesmente
conexo), existe um único grupo de Lie associado a uma álgebra de Lie dada.
Apesar da fórmula de Campbell-Hausdor¤ mostrar como obter o grupo
de Lie a partir de sua álgebra, sua expressão apenas não indica todas as
razões pelas quais existe essa relação estreita entre essas duas estruturas.
A seguir serão discutidas outras fórmulas, cujas deduções permitem en-
trever a álgebra de Lie, seus elementos e o colchete entre eles, como objeto
in�nitesimal associado ao grupo de Lie.
Considere novamente o grupo Gl (n;R). Por ser um aberto do espaço
vetorial das matrizes n � n, o espaço tangente a cada um de seus pontos
se identi�ca com o espaço vetorial das matrizes n � n. Em particular, uma
matriz qualquer pode ser vista como um vetor tangente à matriz identidade
1. Agora, sejam A;B 2 gl (n;R). O comutador
� (t) = exp (tB) exp (tA) exp (�tB) exp (�tA)
é uma curva em Gl (n;R), que passa pela identidade quando t = 0. Usando
reiteradamente a expressão
d
dt
(exp (tA)) = A exp (tA) = exp (tA)A;
veri�ca-se que �0 (0) = 0 e
�00 (0) = [A;B]:
Isto signi�ca que a expansão de Taylor de � é da forma
� (t) = 1 +
t2
2
[A;B] + � � �
13
cujo termo relevante é [A;B]. Isso apresenta o colchete como o objeto in�ni-
tesimal associado ao comutador no grupo. Derivadas deste tipo se estendem
a campos de vetores em geral. Foi essa expansão de Taylor que levou ao
conceito de colchete de Lie de campos de vetores, como se conhece hoje em
dia. Esse conceito foi introduzido por Sophus Lie, o que fez com que toda
teoria levasse o seu nome.
Outras fórmulas relevantes envolvem conjugações no grupo e o colchete
de Lie na álgebra. Por exemplo, no caso do grupo linear, pode-se escrever
eXY e�X =
X
k�0
1
k!
[X; [X; [� � � ; [X; Y ] � � � ] (1.3)
com X aparecendo k vezes em cada somando.
Outros exemplos de grupos de Lie com suas respectivas álgebras de Lie
são os seguintes:
1. Se G é um grupo é abeliano então sua álgebra de Lie é abeliana, isto
é, o colchete [�; �] é identicamente nulo ( e vice-versa no caso de grupos
conexos, veja a fórmula de Campbell-Hausdor¤). Os grupos de Lie
abelianos conexos serão descritos no capítulo 5, seção 5.2.
2. Seja
G = O(n) = fg 2 Gl (n;R) : ggT = gTg = 1g
o grupo das matrizes ortogonais. Sua álgebra de Lie é a subálgebra de
matrizes anti-simétricas:
so (n) = fA 2 gl (n;R) : A+ AT = 0g:
O colchete em so (n) é o comutador de matrizes. A razão para issoé que A é uma matriz anti-simétrica se, e só se, exp tA é uma matriz
ortogonal para todo t 2 R.
3. O grupo Gl (n;C) das matrizes complexas n�n inversíveis é um grupo
de Lie pela mesma razão que Gl (n;R) o é. A álgebra de Lie Gl (n;C)
é a álgebra de Lie gl (n;C) das matrizes complexas n� n.
O programa da teoria de Lie consiste em estudar os grupos de Lie através
de suas álgebras de Lie. Isso signi�ca deve-se classi�car e descrever as pro-
priedades estruturais dos grupos de Lie reduzindo-os às propriedades corres-
pondentes das álgebras de Lie.
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
No caso da classi�cação dos grupos de Lie a redução é feita da seguinte
forma: se G1 e G2 são grupos de Lie com mesma álgebra de Lie (isto é,
com álgebras de Lie isomorfas) então os grupos são localmente isomorfos.
Isso signi�ca que existe um difeomor�smo entre vizinhanças dos elementos
neutros de G1 e G2, respectivamente, que respeita o produto nos grupos
(compare com a fórmula de Campbell-Hausdor¤ (1.2) e veja o capítulo 5,
para mais detalhes). Esse isomor�smo pode não ser global. A globalização
do isomor�smo depende de propriedades dos espaços topológicos subjacentes
aos grupos (na verdade de seus grupos fundamentais, apenas). O que se pode
provar é que se G1 e G2 (ou melhor, os espaços topológicos subjacentes) são
conexos e simplesmente conexos então eles são isomorfos se suas álgebras de
Lie são isomorfas.
De forma complementar, se g é uma álgebra de Lie (sobre o corpo R e de
dimensão �nita) então existe um grupo de Lie G simplesmente conexo cuja
álgebra de Lie é isomorfa a g. Dessa forma, a classi�cação das álgebras de
Lie fornece a classi�cação dos grupos de Lie conexos e simplesmente conexos:
dada uma álgebra de Lie existe um, e apenas um (a menos de isomor�smo),
grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com a álgebra de Lie dada.
Os demais grupos de Lie conexos (não necessariamente simplesmente
conexos) são da forma G = eG=D com eG simplesmente conexo e D um sub-
grupo discreto contido no centro de eG. Nesse caso D coincide (ou melhor é
isomorfo) com o grupo fundamental de G, o que signi�ca que a álgebra de Lie
e o grupo fundamental determinam completamente um grupo de Lie conexo.
Um situação típica do que foi descrito acima é o caso dos grupos abelianos
R (grupo aditivo da reta real) e S1 (grupo dos números complexos z com
jzj = 1, ou seja, o grupo quociente R=Z dos números reais com a soma módulo
1). Esses grupos têm a mesma álgebra de Lie, são localmente isomorfos, mas
obviamente não são globalmente isomorfos. Aliás, a menos de isomor�smo,
R e S1 são os únicos grupos de Lie conexos de dimensão 1. A razão disso
é que quaisquer duas álgebras de Lie de dimensão 1 são isomorfas, pois elas
são abelianas (isto é, [�; �] � 0). Além do mais, R é simplesmente conexo
e pode-se mostrar que um subgrupo discreto D � R é isomorfo a Z o que
acarreta que R=D � R=Z.
Em geral a classi�cação dos grupos de Lie conexos consta de três passos:
1) a classi�cação das álgebras de Lie reais; 2) determinar, para cada álgebra
de Lie real g (ou melhor, para sua classe de isomor�smo de álgebras de
Lie), um grupo de Lie simplesmente conexo eG cuja álgebra de Lie seja g; 3)
1.1. EXERCÍCIOS 15
encontrar o centro Z
� eG� de eG e os subgrupos discretos D � Z � eG�.
Deve-se observar que essa classi�cação funciona bem para grupos conexos,
uma vez que são esses os grupos que podem ser acessados pelas álgebras de
Lie, através de soluções de equações diferenciais.
Outros resultados que ilustram o poder das álgebras de Lie no estudo dos
grupos de Lie são os seguintes:
1. Se G é um grupo de Lie com álgebra de Lie g então os subgrupos de G
são descritos pelas subálgebras de Lie de g. Aqui não deve-se considerar
todos os subgrupos, mas apenas a classe dos chamados subgrupos de
Lie e, novamente, a relação funciona bem para os subgrupos conexos.
Alguns exemplos desses subgrupos foram apresentados acima.
2. Os homomor�smos entre grupos de Lie são obtidos através dos homo-
mor�smos entre as respectivas álgebras Lie. Esses últimos são apli-
cações lineares, ao contrário dos primeiros.
Decomposição de Levi
Grupos Simples Clássicos, complexos e reais. complexi�cações????
� Compactos
O(n), SO (n), U(n), SU (n), Sp (n),
� Não compactos
Sl (n;R), Sl (n;C), Sl (n;H) = SU� (2n), Sp (n;R), Sp (n;C), O(p; q),
SO (p; q), U(p; q), SU (p; q)
1.1 Exercícios
1. Demonstre a fórmula de Campbell-Hausdor¤ (1.2) e a fórmula 1.3 para
o grupo linear Gl (n;R). (Sugestão: tome exponenciais do tipo exp tA,
exp tB e coloque em evidência os termos tk.)
2. Seja A uma matriz n� n. Se expA =
P
k�0
1
k!
Ak mostre que A é anti-
simétrica (A+AT = 0) se, e só se, exp tA é uma matriz ortogonal para
todo t 2 R. (Sugestão: considere a curva � (t) = exp tA (exp tA)T .)
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
3. Seja Sl (n;R) = fg 2 Gl (n;R) : det g = 1g o grupo das matrizes
unimodulares. Assuma que Sl (n;R) é um subgrupo de Lie e veri�que,
usando exponenciais, que sua álgebra de Lie é
sl (n;R) = fA 2Mn�n (R) : trA = 0g:
4. Seja SU (2) o grupo das matrizes unitárias 2� 2, isto é,
SU (2) = fg 2M2�2 (C) : gTg = ggT = id; det g = 1g:
Assuma que SU (2) é um subgrupo de Lie de matrizes inversíveis e
veri�que, usando exponenciais, que sua álgebra de Lie é o espaço das
matrizes anti-hermitianas
su (2) = fA 2M2�2 (C) : A+ A
T
= 0; trA = 0g:
Veri�que que su (2) é uma álgebra de Lie real com dim su (2) = 3
(onde o colchete de Lie é dado pelo comutador de matrizes). Veri�que
também que su (2) é isomorfa às seguintes álgebras de Lie: 1) so (3) =
fA 2 M3�3 (R) : A + AT = 0g (com o comutador); 2) R3 munido do
produto vetorial ^.
5. Seja H = fa + bi + cj + dk : a; b; c; d 2 Rg a álgebra do quatérnions.
Escreva � = a + ib + jc + kd como � = (a+ ib) + j (c� id), isto é,
� = z + jw com z; w 2 C. A multiplicação à esquerda por � pode
ser vista como uma aplicação linear de C2. Calcule a matriz dessa
aplicação na base f1; jg e mostre que a aplicação
� : a+ bi+ cj + dk = z + jw 7�!
�
z �w
w z
�
2M2�2 (C)
é um homomor�smo injetor. Mostre também que a restrição de � à
esfera f� 2 H : j�j = 1g é uma bijeção sobre SU (2) e conclua que SU (2)
é conexo e simplesmente conexo. Determine o centro de SU (2) e todos
os grupos de Lie conexos com álgebra de Lie su (2) � so (3) � (R3;^).
Capítulo 2
Grupos topológicos
Diversas propriedades dos grupos de Lie dependem apenas de sua topolo-
gia e não da estrutura de variedade diferenciável. Essas propriedades valem
para grupos topológicos gerais, conforme serão estudados neste capítulo. O
objetivo aqui não é proporcionar um estudo exaustivo da teoria dos gru-
pos topológicos, mas apenas estabelecer uma linguagem e demonstrar alguns
resultados úteis para os grupos de Lie.
O elemento neutro de um grupo G será denotado por 1. Se A � X é um
subconjunto de um espaço topológico se denota por A�, A e @A o interior,
fecho e fronteira de A, respectivamente.
2.1 Introdução
Um grupo topológico é um grupo cujo conjunto subjacente está munido de
uma topologia compatível com o produto no grupo, no sentido em que
1. o produto p : G � G ! G, p (g; h) = gh, é uma aplicação contínua,
quando se considera G�G com a topologia produto e
2. a aplicação � : G! G, � (g) = g�1, é contínua (e, portanto, um home-
omor�smo, já que ��1 = �).
Essas duas propriedades podem ser condensadas tomando a aplicação
q : G � G ! G, de�nida por q (g; h) ! gh�1. De fato, q é contínua se p e
� são contínuas e, reciprocamente, se q é contínua então g ! (1; g) ! g�1 é
contínua e, portanto, p (g; h) = q (g; h�1) é contínua.
17
18 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
Cada elemento g de um grupo G de�ne, naturalmente, as seguintes apli-
cações:
� translação à esquerda Eg : G! G, Eg (h) = gh,
� translação à direita Dg : G! G, Dg (h) = hg e
� conjugação (ou automor�smo interno) Cg : G! G, Cg (h) = ghg�1.
Segue das de�nições que Eg � Eg�1 = Dg � Dg�1 = id. Além do mais,
Cg = Eg � Dg�1 portanto todas essas aplicações são bijeções de G. No caso
de grupos topológicos essas aplicações são contínuas pois Eg =p � sg;1 e
Dg = p � sg;2 onde sg;1 (h) = (g; h) e sg;2 (h) = (h; g) são aplicações contínuas
G ! G � G. A continuidade das translações e as fórmulas (Eg)�1 = Eg�1,
(Dg)
�1 = Dg�1 e (Cg)
�1 = Cg�1, mostram que essas aplicações são, na ver-
dade, homeomor�smos de G. As fórmulas a seguir relacionam as translações
com a inversa �.
� Dg � Eh = Eh �Dg.
� Eg � � = � �Dg�1 .
� Dg � � = � � Eg�1 .
Deve-se observar que a continuidade das translações e das conjugações
dependem de uma propriedade mais fraca que a continuidade de p, já que,
por exemplo Eg é contínua se, e só se, a �aplicação parcial� h 7! gh é
contínua. Em geral aplicações de�nidas em espaços produtos podem ser
contínuas em cada variável sem que seja contínua. Esse fenômeno leva à
de�nição de grupo semi-topológico, que é um grupo em que o produto é
parcialmente contínuo, isto é, todas as translações são contínuas. Exemplos
de grupos semi-topológicos e não topológicos serão apresentados abaixo.
Exemplos:
1. Subgrupos de Gl (n;R): Gl (n;C), O(n) Sl (n;R), Sl (n;C), Gl (n;H).
2. (Rn;+).
3. Qualquer grupo em que o conjunto subjacente é munido da topologia
caótica (em que todos os conjuntos são abertos).
2.1. INTRODUÇÃO 19
4. Num corpo ordenado (K;+; �;�) pode-se de�nir a topologia da ordem,
que é gerada pelos intervalos abertos. Em relação a essa topologia a
operação + de�ne um grupo topológico, enquanto que o produto de�ne
um grupo topológico em K� = K n f0g.
5. O círculo S1 tem uma estrutura de grupo natural que é dada pelo
produto de números complexos de módulo 1: S1 = fz 2 C : jzj =
1g. Com a topologia canônica S1 é um grupo topológico. De forma
alternativa, o produto em S1 é dado pelo quociente S1 = R=Z, em que
o produto é dado pela soma módulo 1 de números reais.
6. Exemplos mais gerais que o anterior são dados pelos cilindros Tk�Rm =
Rm+k=Zk =
�
Rk=Zk
�
� Rm, com topologias canônicas. (Veja abaixo
produtos e quocientes de grupos topológicos.)
7. Seja (C n f0g; �) munido da topologia gerada pela base de abertos, que
é formada pelos intervalos abertos das retas verticais ra = fa + ix 2
C : x 2 Rg. Esse grupo não é topológico em relação a essa topologia.
De fato, a translação à esquerda Eei� é uma rotação de ângulo � 2 R.
A imagem do aberto ra = fa + ix 2 C : x 2 Rg não é aberto se, por
exemplo, � = ��=2.
8. Sejam G um grupo topológico e X um espaço topológico. Denote por
A (X;G) o conjunto das aplicações contínuas f : X ! G. Este con-
junto tem uma estrutura de grupo com o produto (fg) (x) = f (x) g (x).
Introduza em A (X;G) a topologia compacto-aberto, que tem como
base de abertos os conjuntos do tipo
AK;U = ff 2 A (X;G) : f (K) � Ug
onde K � X é compacto e U � G é aberto. Com essas estruturas
A (X;G) é um grupo topológico. De fato, o produto em A (X;G) �
A (X;G) é homeomorfo a A (X;G�G) por (f; g) 7! h onde h (x) =
(f (x) ; g (x)), com a topologia compacto-aberta em A (X;G�G). Seja
qA (f; g) = fg
�1. Através da identi�cação entre esses espaços, q�1A (AK;U)
é o conjunto das funções h : X ! G�G tais que h (K) � q�1 (U). Isto
é,
q�1A (AK;U) = AK;q�1(U)
onde a vizinhança do segundo membro é vista em A (X;G�G). Por-
tanto, o grupo é topológico.
20 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
9. Como caso particular do exemplo anterior, seja fGigi2I uma família de
grupos indexada pelo conjunto I. O produto cartesiano G =
Q
i2I Gi
é o conjunto formado pelas aplicações f : I !
S
i2I Gi tais que f (i) 2
Gi para todo i 2 I. O produto cartesiano admite uma estrutura de
grupo em que o produto é dado componente a componente: (fg) (i) =
f (i) g (i). A topologia produto em
Q
i2I Gi é gerada por abertos do
tipo
Q
i2I Ai com Ai � Gi abertos, i 2 I e Ai = Gi a menos de um
número �nito de índices (topologia compacto-aberta em que I tem a
topologia discreta). Como o produto é feito componente a componente
e cada Gi é um grupo topológico, G é grupo topológico com a topologia
produto.
Em particular, se I é um conjunto �nito,
Q
i2I Gi = G1�� � ��Gn, seus
elementos são n-uplas g = (g1; : : : ; gn), gi 2 Gi, a multiplicação é dada
por
gh = (g1h1; : : : ; gnhn)
com a topologia produto, gerada por subconjuntos do tipo A1�� � ��An
com Ai � Gi aberto.
10. Este exemplo ilustra um grupo com uma topologia em que o produto
é uma aplicação contínua, mas � (g) = g�1 não é contínua. Considere o
grupo aditivo (R;+) com R munido da topologia (topologia de Sorgen-
frey) gerada pela base dada pelos intervalos [a; b), a < b. O produto é
uma aplicação contínua pois se x + y 2 [a; b) então para algum " > 0,
x+ y+ " < b, o que garante que [a; b) contém [x; x+ "=2)+ [y; y+ "=2)
(= fz + w : z 2 [x; x + "=2) e w 2 [x; x + "=2)g). Isso signi�ca que o
aberto [x; x + "=2) � [y; y + "=2) está contido em p�1[a; b), mostrando
que p é contínua. Por outro lado, � (x) = �x não é contínua pois, por
exemplo, (�2;�1] = ��1[1; 2) não é aberto.
11. Este exemplo ilustra o caso de um grupo G em que a inversa � (g) = g�1
é contínua e p é parcialmente contínua (isto é, G é semi-topológico), mas
não contínua. Tome o grupo aditivo (R2;+) com R2 munido da topolo-
gia gerada pelas bolas siamesas, que são de�nidas da seguinte forma:
tome duas bolas de mesmo raio com centros numa mesma reta vertical
e que se tangenciam. A bola siamesa correspondente é a união do in-
terior das bolas juntamente com o ponto de tangência. O conjunto das
bolas siamesas forma uma base para topologia. Munido dessa topologia
a inversa em R2 é contínua (por simetria em relação à origem), assim
2.1. INTRODUÇÃO 21
como as translações. No entanto, o produto p = + não é contínuo. De
fato, (1; 0) + (�1; 0) = (0; 0). Tome uma bola siamesa B com tangên-
cia em (0; 0) e sejam B1 e B2 bolas siamesas com pontos de tangência
em (1; 0) e (�1; 0), respectivamente. Então, B1 + B2 não está con-
tida B, como pode ser veri�cado geometricamente. Isso signi�ca que
B1�B2 não está contido em p�1 (B). Como B, B1 e B2 são elementos
arbitrários da base para a topologia, segue que p não é contínua em
((1; 0) ; (�1; 0)).
2
Se A é um subconjunto de G e g 2 G a translação Eg (A) é denotada
simplesmente por gA = fgx : x 2 Ag. O fato de que as translações são
homeomor�smos implica que gA é aberto ou fechado seA é aberto ou fechado,
respectivamente. A mesma observação vale para as translações à direita Ag.
De forma mais geral, seja B � G e escreva
A �B = AB = fxy 2 G : x 2 A; y 2 Bg:
Por de�niçãoAB =
S
x2B Ax =
S
x2A xB. Dessa forma, seA (ouB) é aberto,
então AB é aberto por ser união de abertos. Deve-se observar, no entanto,
que AB pode não ser fechado, mesmo que ambos os conjuntos sejam fechados
(por exemplo, em (R2;+) tome os ramos de hipérboles: A = f
�
x;
1
x
�
: x >
0g, B = f
�
�x; 1
x
�
: x > 0g. A soma A + B está contida no semi-plano
y > 0 e, no entanto, (0; 0) está no fecho de A+B).
Juntamente com a notação AB, surgem naturalmente as notações A2 =
A � A, A3 = A2 � A = A � A2, etc.
Para A � G é usada a notação A�1 = fx�1 2 G : x 2 Ag. Como
� (g) = g�1 é um homeomor�smo, A�1 = � (A) é aberto ou fechado se, e só
se, A é aberto ou fechado, respectivamente.
Uma vizinhança U da identidade é dita simétrica se U = U�1. Não é
difícil construir vizinhanças simétricas. De fato, se V é uma vizinhança qual-
quer de 1 então V �1 também é uma vizinhança e V \ V �1 é uma vizinhança
simétrica.
22 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
2.2 Vizinhanças do elemento neutro
Seja U � G um aberto não vazio e tome g 2 U . Então, g�1U e Ug�1
são vizinhanças do elemento neutro de G. Reciprocamente, se V é uma
vizinhança de 1 então, dado g 2 G, gV e V g são vizinhanças de g. Essas
observações têm como consequência que toda informação sobre a topologia de
G está concentrada no conjunto das vizinhanças abertas do elemento neutro.
O conjunto dessas vizinhanças é denotado por V (1) ou simplesmente V.
A proposição a seguir lista algumas propriedades de V, que serão usadas
posteriormente para descrever a topologia de G.
Proposição 2.1 Seja G um grupo topológico e denote por V o conjunto das
vizinhanças abertas do elemento neutro 1. Então,valem as seguintes pro-
priedades:
T1) O elemento neutro 1 pertence a todos os subconjuntos U 2 V.
T2) Dados dois conjuntos U; V em V, U \ V está em V.
GT1) Para todo U 2 V, existe V 2 V tal que V 2 � U
GT2) Dado U 2 V, U�1 2 V.
GT3) Para todo g 2 G e U 2 V, gUg�1 2 V.
Demonstração: As propriedades (T1) e (T2) valem para as vizinhanças
de um ponto num espaço topológico qualquer. A propriedade (GT1) é
equivalente ao produto ser contínuo em 1. De fato, p�1 (U) � G � G
é um aberto contendo (1; 1). Portanto existe um aberto V de G, com
(1; 1) 2 V � V � p�1 (U). Isso signi�ca que V 2 = p (V � V ) � U . Já a
propriedade (GT2) foi comentada acima e é equivalente à continuidade em
1 da aplicação �. Por �m (GT3) segue de que g1g�1 = 1 e Cg (x) = gxg�1 é
contínua. 2
As propriedades enunciadas nesta proposição caracterizam completamente
o conjunto das vizinhanças da identidade.
De�nição 2.2 Um sistema de vizinhanças da identidade (ou elemento neu-
tro) em um grupo G é uma família de conjuntos V satisfazendo as pro-
priedades da proposição anterior.
2.2. VIZINHANÇAS DO ELEMENTO NEUTRO 23
Será mostrado abaixo que um sistema de vizinhanças da identidade de�ne
de forma única a topologia de um grupo topológico. Para isso será necessário
um lema que garante a continuidade de aplicações a partir da continuidade
em um único ponto. Resultados análogos a esse lema são utilizados constan-
temente na teoria.
Uma topologia T num grupoG é dita invariante à esquerda se gA é aberto
de T para todo g 2 G e A 2 T . Uma topologia é invariante à esquerda se, e
só se, as translações à esquerda são contínuas (e, portanto, homeomor�smos).
Da mesma forma se de�nem as topologias invariantes à direita.
Se T é uma topologia invariante à esquerda em G então a topologia
produto em G�G é invariante à esquerda pois (g; h) (A�B) = (gA)� (hB)
se A;B � G e (g; h) 2 G � G. Da mesma forma, a topologia produto é
invariante à direita em G�G se for invariante à direita em G.
Lema 2.3 Seja G é munido de uma topologia T invariante à esquerda e à
direita. Então, G é um grupo topológico se, e somente se,
1. p é contínua em (1; 1) e
2. � : G! G, � (g) = g�1, é contínua em 1.
Demonstração: É claro que as condições são necessárias. A demonstração
da su�ciência requer as seguintes igualdades, cujas demonstrações são ime-
diatas.
1. Dado (g; h) 2 G � G sejam E(g;h) e D(g;h) a translação à esquerda
e à direita em G � G, respectivamente. Então p � E(g;1) = Eg � p e
p �D(1;g) = Dg � p.
2. Dado g 2 G, � � Eg = Dg�1 � �.
Agora, tome (g; h) 2 G � G. Então p � E(g;1) � D(1;h) = Eg � Dh � p. O
segundo membro dessa igualdade é uma aplicação contínua em (1; 1) pois
Eg �Dh é homeomor�smo. Portanto, p � E(g;1) �D(1;h) é contínua em (1; 1).
Mas E(g;1) � D(1;h) é um homeomor�smo, daí que p é contínua em (g; h) =
E(g;1) �D(1;h) (1; 1).
Por outro lado, Dg�1 � � é contínua em 1, portanto, � � Eg é contínua em
1 e daí que � é contínua em g = Eg (1). 2
24 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
Para caracterizar a topologia de G a partir dos sistemas de vizinhanças
da identidade deve-se lembrar que um sistema fundamental de vizinhanças
de um ponto x num espaço topológico X é uma família F de abertos de X
tal que cada elemento de F contém x e se A � X é um aberto com x 2 A
então existe B 2 F tal que B � A.
Proposição 2.4 Seja G um grupo e suponha que V é um sistema de vizin-
hanças da identidade em G. Então, existe uma única topologia T que torna
G um grupo topológico de tal forma que V é um sistema fundamental de
vizinhanças do elemento neutro em relação a T .
Demonstração: De�na T como sendo a família dos subconjuntos A � G
tais que para todo g 2 A, existe U 2 V tal que gU � A. É claro que os
conjuntos ; e G são elementos de T . Para ver que T é uma topologia tome
A;B 2 T e x 2 A\B. Então, existem U; V 2 V tais que xU � A e xV � B.
Pela propriedade (T2), U \ V 2 V. Mas,
x (U \ V ) = xU \ xV � A \B;
mostrando que A\B 2 T . A de�nição de T mostra que uma união qualquer
de conjuntos em T é um elemento de T .
Agora as vizinhanças abertas de 1 em relação a T são os elementos de
V. De fato, a própria de�nição de T mostra que os elementos de V são
vizinhanças de 1. Por outro lado, seja U uma vizinhança de 1 em relação
a T . Então, existe V 2 V tal que 1 � V � U . Portanto, V é um sistema
fundamental de vizinhanças de 1 em relação a T .
A de�nição de T e a propriedade (GT3) garantem que T é invariante
à direita e à esquerda. De fato, uma translação à esquerda gU , u 2 V, é
também uma translação à direita da forma gU = (gUg�1) g. Por (GT3) se
U 2 V então gUg�1 2 V. Portanto, pelo lema anterior para garantir que
G munido de T é grupo topológico, basta veri�car que p e � são contínuas
em (1; 1) e 1, respectivamente. Mas essas continuidades são equivalentes às
propriedades (GT1) e (GT2), respectivamente, concluindo a demonstração
de que G é grupo topológico com a topologia T .
Por �m, suponha que T 0 é outra topologia satisfazendo as mesmas con-
dições. Então, V é um sistema fundamental de vizinhanças de 1 em relação
a T 0. Realizando translações à esquerda, vê-se que gV , com V variando em
V é um sistema fundamental de vizinhanças de g 2 G. Portanto, para todo
A 2 T 0 e g 2 A, existe V 2 V tal que gV � A. Daí que todo aberto de
2.2. VIZINHANÇAS DO ELEMENTO NEUTRO 25
T 0 é aberto de T , isto é, T 0 � T . Alterando o papéis de T e T 0, segue que
T = T 0, concluindo a demonstração. 2
Exemplo: Uma situação ilustrativa da construção feita acima é quando os
elementos de V são subgrupos de G. Nesse caso, as condições para V se re-
duzem a (T2) e (GT3) pois se V é um subgrupo então 1 2 V e V 2 = V �1 = V .
Um exemplo de um sistema V desse tipo é construido no grupo Z. Dado um
número primo p > 0 seja Vp a família de subgrupos Vn = pnZ, n � 1. Como
Z é abeliano, a condição (GT3) é automaticamente satisfeita. Já a condição
(T2) vale pois pnZ \ pmZ = pmaxfn;mgZ. Portanto, V de�ne uma topologia
em Z tornando-o um grupo topológico. Essa é a chamada topologia p-ádica
em Z. 2
A descrição feita da topologia em termos das vizinhanças da identidade
estabelece o princípio de que toda descrição topológica em G de ver feita
através dessas vizinhanças. A proposição abaixo segue esse principio ao dar
um critério para que a topologia seja de Hausdor¤em termos das vizinhanças
da identidade.
Proposição 2.5 Seja G um grupo topológico. Então, as seguintes condições
são equivalentes:
1. A topologia de G é Hausdor¤.
2. f1g é um conjunto fechado.
3.
T
U2V(1) U = f1g.
Demonstração: Numa topologia Hausdor¤ todo conjunto unitário é fe-
chado, em particular f1g é fechado. Suponha que f1g seja fechado. Para
mostrar que a interseção das vizinhanças se reduz ao elemento neutro deve-
se mostrar que para todo x 6= 1, existe U 2 V tal que x =2 U . Como f1g é
fechado, existe tal V 2 V tal que 1 =2 x�1V , isto é, x =2 V . Por �m, assuma
que a interseção se reduz a f1g e tome x 6= 1. Então existe U 2 V tal que
x =2 U . Por (GT1) existe V 2 V tal que V 2 � U . Então, V \ xV �1 = ;,
pois z 2 V \ xV �1 deve satisfazer z = u = xv�1, u; v 2 V , e daí que
x = uv 2 V 2 � U , contradizendo a escolha de U . Consequentemente, os
abertos V e xV �1 separam 1 de x. Tome agora y 6= z arbitrários. Então,
26 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
existem abertos U1 e U2 com y�1z 2 U1 e 1 2 U2 e U1 \U2 = ;. Portanto, os
abertos yU1 e yU2 separam z de y. 2
Seguindo ainda o princípio de que a topologia de G é descrita pelas viz-
inhanças da identidade e as translações, a proposição a seguir diz respeito à
continuidade de homomor�smos.
Proposição 2.6 Sejam G1 e G2 grupos topológicos e � : G1 ! G2 um homo-
mor�smo. Então, � é contínuo se, e somente se, � for contínuo no elemento
neutro 1 2 G1.
Demonstração: Basta mostrar que a continuidade em 1 acarreta a con-
tinuidade em todos os pontos. Como � é homomor�smo, � � Eg = E�(g) � �
para todo g 2 G. O segundo membro é contínuo em 1. Portanto, � � Eg
é contínuo em 1 e como Eg é homeomor�smo, segue que � é contínuo em
g = Eg (1). 2
2.3 Grupos Metrizáveis
Uma distânciad : G�G! R+ num grupo G é dita invariante à esquerda se
d (gx; gy) = d (x; y) para todo g; x; y 2 G. Em outras palavras, d é invariante
à esquerda caso as translações à esquerda Eg são isometrias. As distâncias
invariantes à direita são de�nidas de maneira análoga. Uma distância é bi-
invariante se ela é ao mesmo tempo invariante à esquerda e à direita.
Uma condição necessária para que um espaço topológico seja metrizável é
que todo ponto admita um sistema fundamental de vizinhanças enumerável.
No caso de grupos topológicos essa condição também é su�ciente e, como
antes, basta veri�cá-la no elemento neutro.
Teorema 2.7 Seja G um grupo topológico e suponha que exista um sistema
de vizinhanças da identidade que seja enumerável. Então, existem dE e dD
distâncias invariantes à direita e à esquerda, respectivamente, que são com-
patíveis com a topologia de G.
Este teorema não será demonstrado aqui. No caso em que G é um grupo
de Lie a condição de enumerabilidade é satisfeita pois localmente G é home-
omorfo a Rn. Portanto, grupos de Lie são metrizáveis. No entanto, para
2.4. SUBGRUPOS 27
grupos de Lie, em particular, existe uma construção mais simples que a
da demonstração geral do teorema 2.7, utilizando métricas Riemannianas
em variedades diferenciáveis. Essa demonstração será apresentada posterior-
mente.
Em todo caso, vale a pena ressaltar que o teorema garante a existên-
cia tanto de uma distância invariante à direita quanto de uma invariante à
esquerda. Porém, pode não existir uma distância bi-invariante num grupo
metrizável.
Exemplos: Alguns exemplos de distâncias invariantes são:
1. Seja j�j uma norma qualquer em Rn e d (x; y) = jx� yj. Então d é uma
distância bi-invariante em (Rn;+).
Observe que uma distância de�nida por uma norma no espaço de ma-
trizes n� n não é necessariamente invariante quando restrita ao grupo
Gl (n;R).
2. Seja G um grupo compacto metrizável por uma distância d0. De�na
d (g; h) = sup
x2G
d0 (gx; gy) :
Então d é uma distância invariante à esquerda em G, compatível com
sua topologia. A distância d pode ser vista também da seguinte maneira:
denote por Hom (G) o grupo dos homeomor�smos de G e seja � : G!
Hom (G) a aplicação � (g) = Eg. Então d é a restrição a � (G) da dis-
tância em Hom (G) que de�ne a convergência uniforme em relação a
d0.
2
2.4 Subgrupos
Seja G um grupo topológico e H um subgrupo de G. Como H é subconjunto
de G ele pode ser munido com a topologia induzida, cujos abertos são da
forma A \H com A aberto em G. Então, H torna-se um grupo topológico.
De fato, denote por pH : H �H ! H o produto em H, que é a restrição a
H do produto p de G. Para todo subconjunto A � G vale p�1H (A \H) =
28 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
p�1 (A)\(H �H). Em particular, se A é aberto, p�1H (A \H) é um aberto da
topologia induzida em H�H pela topologia produto em G�G. No entanto,
essa topologia induzida coincide com a topologia produto de H. Daí que pH
é contínua. Da mesma forma se mostra que �H (h) = h�1 é contínua em H.
Um subgrupoH � G com a topologia induzida é denominado de subgrupo
topológico de G.
A seguir serão apresentados alguns resultados envolvendo propriedades
topológicas dos subgrupos deG. Em algumas demonstrações se usa o seguinte
lema de caráter geral. A
Lema 2.8 Seja X um espaço topológico e � : X ! X um homeomor�smo.
Suponha que A � X é um subconjunto invariante por �, isto é, � (A) � A.
Então A, A� e @A também são invariantes. Além do mais, se � (A) � A
então �
�
A
�
� A.
Demonstração: Tome x 2 A e U uma vizinhança de � (x). Então ��1 (U) é
uma vizinhança de x. Portanto, existe y 2 A\��1 (U) e como A é invariante,
e � (y) 2 A \ U , mostrando que A é invariante.
Seja x 2 A� e tome um aberto U com x 2 U � A. Então � (x) 2 � (U) �
A, pois A é invariante. Como � é homeomor�smo, � (U) é aberto, e, portanto
� (x) 2 A�.
Como A é invariante, o seu complementar em X também é invariante.
Daí que a @A = A \ Ac é invariante.
Suponha que � (A) � A. Como � é homeomor�smo, � (A) = �
�
A
�
. Por-
tanto, �
�
A
�
�
�
A
��
= A. 2
Proposição 2.9 Seja H � G um subgrupo. Então seu fecho H também é
subgrupo. Além do mais, se H é normal o mesmo ocorre com H.
Demonstração: Deve-se mostrar que xy 2 H se x; y 2 H. Para isso
suponha em primeiro lugar que x 2 H. Então, Ex deixa H invariante e
o lema acima garante que Ex
�
H
�
� H. Mas, isso signi�ca que se y 2 H
então xy 2 H. Portanto, dados x 2 H e y 2 H, xy 2 H. Esta frase pode
ser interpretada dizendo que Dy (H) � H para todo y 2 H. Mas, Dy é
homeomor�smo, portanto Dy
�
H
�
� H, para todo y 2 H, o que signi�ca que
xy 2 H se x; y 2 H.
2.4. SUBGRUPOS 29
Por um argumento semelhante, a inversa � deixa invariante H, mostrando
que H é subgrupo.
Por �m, dizer que H é normal é o mesmo que dizer que H é invariante
pelas conjugações Cg, g 2 G. Pelo lema 2.8 segue que H também é invariante
por Cg, isto é, H é normal. 2
Os subgrupos fechados desempenham um papel central no estudo das
ações dos grupos topológicos (e de Lie), pois no caso de ações contínuas, os
subgrupos que �xam um ponto (subgrupos de isotropia) são fechados. A
proposição 2.9 mostra a existência de uma grande quantidade de subgrupos
fechados. Por outro lado, a situação com o interior H� de um subgrupo H é
ainda mais simples, já que ou o interior é vazio ou é o próprio H, isto é, H
é aberto e nesse caso fechado, como mostram as proposições a seguir.
Proposição 2.10 Seja H � G um subgrupo e suponha que H� 6= ;. Então,
H é aberto.
Demonstração: Suponha que exista x 2 H� . Então para todo y 2 H,
o conjunto yx�1 (H�) é aberto, contém y e está contido em H. Isso mostra
que y 2 H� e, portanto, H � H�, isto é, H = H�. 2
Proposição 2.11 Suponha que H é um subgrupo aberto de G. Então, H é
fechado.
Demonstração: Uma classe lateral gH de H é obtida de H por uma
translação à esquerda. Portanto, se H é aberto, o mesmo ocorre com gH.
Mas o grupo G é a união de H com as classes laterais gH, g =2 H. Isso
signi�ca que o complementar de H em G é uma união de abertos, e daí que
H é fechado. 2
Um subconjunto A de um espaço topológico X que é ao mesmo tempo
aberto e fechado é união de componentes conexas de X, isto é, se uma com-
ponente conexa C � X satisfaz C \ A 6= ; então C � A. Esta observação
juntamente com a proposição 2.11 mostra que os subgrupos abertos de G são
uniões de componentes conexas de G. Em particular, se o grupo é conexo ele
é o único de seus subgrupos abertos.
30 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
Em todo caso, as componentes conexas de G estão relacionadas com os
grupos abertos. Essas componentes são descritas a seguir a partir da com-
ponente conexa G0 que contém o elemento neutro 1 2 G. Essa componente
conexa é denominada componente da identidade (ou do elemento neutro).
Proposição 2.12 Denote por G0 a componente conexa do elemento neutro.
Então G0 é um subgrupo fechado e normal de G. Qualquer outra componente
conexa é uma classe lateral gG0 = G0g de G0. Reciprocamente, toda classe
lateral gG0 = G0g é uma componente conexa de G.
Demonstração: Uma translação à esquerda Eg, g 2 G, é um home-
omor�smo, portanto Eg leva componentes conexas de G em componentes
conexas. Em particular, se g 2 G0, então Eg (G0) está contido em uma com-
ponente conexa de G. Porém, 1 2 G0 e Eg (1) = g 2 G0. Isso implica que
Eg (G0) � G0. Tomando, então g; h 2 G0, vê-se que gh 2 G0. Analogamente,
� (G0) deve estar contido em uma componente conexa de G que só pode ser
G0 pois � (1) = 1. Isso mostra que G0 é subgrupo. Para ver que é normal,
basta repetir o mesmo argumento com as conjugações Cg, g 2 G, levando em
conta que Cg (1) = 1. Por �m, por ser componente conexa, G0 é fechado.
Como G0 é normal, gG0 = G0g para todo g 2 G. É claro que gG0 =
Eg (G0) é conexo e, portanto, gG0 � C onde C é uma componente conexa
G. Suponha por absurdo que gG0 6= C. Então, G0 = Eg�1 (gG0) 6= g�1C e
G0 � C, contradizendo o fato de que G0 é componente conexa, já que g�1C
é conexo. 2
Em geral a componente da identidade não é um subgrupo aberto. Por
exemplo, em (R;+) considere o subgrupoQ � R munido da topologia in-
duzida. Então, a componente da identidade se reduz a f0g, que não é aberto
induzido.
Uma condição para que a componente da identidade G0 seja um aberto é
que o grupo seja localmente conexo, no sentido em que todo ponto tem uma
vizinhança aberta conexa. Os grupos de Lie por serem localmente homeo-
morfos a Rn são localmente conexos, assim a proposição a seguir assegura
que as componentes conexas desses grupos são abertas.
Proposição 2.13 Suponha que G é localmente conexo. Então, G0 é um
subgrupo aberto.
2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 31
Demonstração: Como G é localmente conexo, existe uma vizinhança
conexa U do elemento neutro. É claro que U � G0. Portanto, G0 tem inte-
rior não vazio, e daí que é aberto. 2
Por �m, será mostrado o seguinte resultado sobre a forma de gerar grupos,
que é bastante útil no estudo dos grupos de Lie.
Proposição 2.14 Suponha G conexo e tome uma vizinhança U do elemento
neutro. Então, G =
S
n�1 U
n.
Demonstração: Seja V = U \ U�1 uma vizinhança simétrica contida
em U . Como
S
n�1 V
n �
S
n�1 U
n basta mostrar que G =
S
n�1 V
n. A
união
S
n�1 V
n é fechada por produtos. Além do mais, como V é simétrico,
(V n)�1 = V n. Isso implica que
S
n�1 V
n é um subgrupo de G, que tem inte-
rior não vazio pois V �
S
n�1 V
n. Portanto,
S
n�1 V
n é um subgrupo aberto.
Como G é conexo, G =
S
n�1 V
n. 2
2.5 Ações de grupos e espaços quocientes
2.5.1 Descrição algébrica
Uma ação à esquerda de um grupo G num conjunto X é uma função que
associa a g 2 G uma aplicação a (g) : X ! X e que satisfaz as propriedades:
1. a (1) = idX , isto é, a (1) (x) = x, para todo x 2 X e
2. a (gh) = a (g) � a (h).
Essas propriedades garantem que cada a (g) é uma bijeção, já que
a
�
g�1
�
a (g) = a (1) = a (g) a
�
g�1
�
= idX :
Visto de outra maneira, uma ação à esquerda é um homomor�smo a : G !
B (X), onde B (X) é o grupo das bijeções de X, com o produto dado pela
composta de duas aplicações.
Uma ação à direita é de�nida de maneira análoga substituindo a segunda
propriedade por a (gh) = a (h) � a (g).
32 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
De forma alternativa, uma ação à esquerda é de�nida como sendo uma
aplicação � : G�X ! X satisfazendo � (1; x) = x e � (gh; x) = � (g; � (h; x)),
g; h 2 G e x 2 X. A relação entre � e a é a óbvia: � (g; x) = a (g) (x), isto
é, a (g) é a aplicação parcial �g de � quando a primeira coordenada é �xada:
�g (x) = � (g; x).
A outra aplicação parcial associada a � é obtida �xando x 2 X: �x :
G! X, �x (g) = � (g; x) = a (g) (x).
Normalmente, os símbolos a ou � são suprimidos na notação para ações
de grupos. Assim uma ação à esquerda escreve-se apenas g (x), g � x ou gx
ao invés de a (g) (x). Para ações à direita é mais conveniente escrever o valor
de a (g) em x como (x) a (g) aparecendo então a notações (x) g, x � g ou xg.
Com essas notações uma ação à esquerda satisfaz 1x = x e g (hx) = (gh)x,
já uma ação à direita satisfaz x1 = x e (xg)h = x (gh).
Se a é uma ação à esquerda de G em X então a aplicação a0 de�nida por
a0 (g) = a (g�1) é uma ação à direita e vice-versa. No que segue serão tratadas
apenas a ações à esquerda. As propriedades enunciadas são automaticamente
transferidas para as ações à direita substituindo a (g) por a (g�1).
Dado x 2 X, sua órbita por G denotada por G � x ou Gx é de�nida como
sendo o conjunto
G � x = fgx 2 X : g 2 Gg:
Mais geralmente, se A � G então Ax = fgx : g 2 Ag. Em outras palavras,
Ax = �x (A). Cada órbita é uma classe de equivalência da relação de equiv-
alência x � y se existe g 2 G tal que y = gx. Por isso, é claro que duas
órbitas ou são disjuntas ou coincidem.
Um subconjunto B � X é G-invariante se gB � B para todo g 2 G. Um
conjunto invariante é união de órbitas de G. Se B é um conjunto invariante
então a restrição da ação a G�B de�ne uma ação G�B ! B de G em B.
Em particular o grupo G age em suas órbitas.
O conjunto Gx dos elementos de G que �xam x é denominado de subgrupo
de isotropia ou estabilizador de x:
Gx = fg 2 G : gx = xg:
O subgrupo de isotropia é de fato um subgrupo de G, pois (gh)x = g (hx),
portanto gh �xa x se gx = hx = x. Além do mais, g�1x = x se gx = x, pois
a (g�1) = a (g)�1.
Os subgrupos de isotropia são obtidos um dos outros pela seguinte relação:
2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 33
Proposição 2.15 Dados x; y 2 X, suponha que y = gx com g 2 G. Então,
Gy = gGxg
�1, onde Gx e Gy denotam os subgrupos de isotropia.
Demonstração: Por de�nição h 2 Gy se, e só se, h (gx) = gx. Aplicando
g�1 a esta igualdade segue que (g�1hg)x = x, isto é, g�1hg 2 Gx. Portanto,
h 2 Gy se, e só se, h 2 gGxg�1. 2
As ações de um grupo G são distinguidas em classes de acôrdo com as
propriedades de suas órbitas e grupos de isotropia.
De�nição 2.16 Seja a uma ação de G em X.
1. A ação é dita efetiva se ker a = fg 2 G : a (g) = idXg = f1g.
2. A ação é dita livre se os subgrupos de isotropia se reduzem ao elemento
neutro de G, isto é, se gx = x para algum x 2 X, então g = 1.
3. A ação é dita transitiva se X é uma órbita de G, isto é, para todo par
de elementos x; y 2 X existe g 2 G tal que gx = y.
É claro, a partir das de�nições, que ações livres são efetivas, no entanto
nem toda ação efetiva é livre. Em termos do homomor�smo a : G! B (X),
uma ação é efetiva se, e só se, ker a = f1g, isto é, se a é injetora. Portanto,
numa ação efetiva, G é isomorfo à sua imagem a (G) por a. Por essa razão,
uma ação efetiva é também denominada de ação �el .
Deve-se observar que a restrição da ação a uma órbita é uma ação tran-
sitiva. Portanto, toda a�rmação sobre ações transitivas se aplica à restrição
da ação a uma órbita.
Um caso particular de ação de grupo se dá nos espaços quocientes. Seja
H � G um subgrupo e denote por G=H o conjunto das classes laterais
gH, g 2 G. Então a aplicação (g; g1H) 7! g (g1H) = (gg1)H de�ne uma
ação à esquerda natural de G em G=H. Denotando por � : G ! G=H a
aplicação sobrejetora (projeção) canônica � (g) = gH essa ação �ca escrita
como g� (g1) = � (gg1).
Evidentemente a ação de G em G=H é transitiva. Por outro lado toda
ação transitiva se identi�ca (ou melhor, está em bijeção) com um espaço
quociente de G.
34 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
Proposição 2.17 Suponha que a ação de G em X é transitiva e tome x 2
X. Então, aplicação �x : gGx 2 G=Gx 7! gx 2 X é uma bijeção entre
G=Gx e X. A aplicação �x é equivariante no sentido em que g�x (g1H) =
�x ((gg1)H), g; g1 2 G, isto é, �x comuta com as ações de G em G=H e X,
respectivamente. Além do mais, se y = gx então �y = �x �Dg.
Demonstração: Em primeiro lugar, a aplicação é bem de�nida pois se g1
e g2 estão na mesma classe lateral, isto é, g1Gx = g2Gx então g�12 g1 2 Gx, o
que signi�ca que g�12 g1x = x, isto é, g1x = g2x. Por de�nição a aplicação é
sobrejetora se, e só se, a ação é transitiva. Agora, suponha que g1x = g2x.
Então g�12 g1x = x, isto é, g
�1
2 g1 2 Gx e daí que g1Gx = g2Gx, mostrando a
injetividade da aplicação.
Seja y = � (g1H). Então y = g1x, e, portanto, gy = g (g1x) = (gg1)x.
Daí que g� (g1H) = � ((gg1)H).
Por �m, se y = gx então �y (h) = h (gx) = (hg)x = �x (hg), mostrando
que �y = �x �Dg. 2
A aplicação �x da proposição acima está relacionada com a aplicação
parcial �x através do seguinte diagrama comutativo
G
�x�! X
# � %
�x
G=H
Em virtude dessa identi�cação, um quociente G=H é também chamado
de espaço homogêneo, como são chamados normalmente os conjuntos onde os
grupos agem transitivamente. O ponto x escolhido para estabelecer a iden-
ti�cação entre X e G=Gx é denominado de origem ou base do espaço ho-
mogêneo X. A identi�cação de X com G=Gx depende da escolha da origem.
No entanto, alterando x não muda substancialmente o espaço quociente, pois
numa ação transitiva os subgrupos de isotropia são conjugados entre si, como
mostra a proposição 2.15. De fato, se H � G é um subgrupo então para todo
g 2 G a aplicação
hH 7�! g (hH) g�1 =
�
ghg�1
� �
gHg�1
�
estabelece uma bijeção entre G=H e G=gHg�1.
2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 35
Os fatos descritosacima sobre ações transitivas se aplicam de imediato às
órbitas de uma ação qualquer G �X ! X. Nesse caso, a restrição da ação
sobre uma órbita G �x é transitiva o que permite identi�car G �x com G=Gx.
Toda a discussão acima se estende de forma análoga a ações à direita,
onde os espaços homogêneos são os quocientes H nG, formados pelas classes
laterais Hg, g 2 G.
Num espaço homogêneo G=H, isto é, na presença de uma ação transitiva,
as ações livres são aquelas em que o subgrupo de isotropia H se reduz a f1g.
Nesse caso, o espaço homogêneo se identi�ca a G. Já as ações transitivas e
efetivas são descritas a seguir pelos subgrupos normais contidos no grupo de
isotropia.
Proposição 2.18 Seja G uma ação transitiva em X = G=H. Então, a ação
é efetiva se, e somente se, H não contém subgrupos normais de G, além de
f1g.
Demonstração: Suponha que N � H é um subgrupo normal de G, isto
é, gNg�1 � N para todo g 2 G. É claro que H é o grupo de isotropia da
origem. Mas, pela proposição 2.15, os subgrupos de isotropia são conjugados
entre si. Portanto, qualquer h 2 N está contido em todos os subgrupos de
isotropia. Mas isso signi�ca que hy = y, para todo y 2 X, isto é, h = idX .
Portanto, se a ação é efetiva, N = f1g.
Reciprocamente, o subgrupo normal ker a = fg 2 G : 8y 2 X; gy = yg
está contido em H. Portanto, se H não contém subgrupos normais, além do
trivial, então ker a = f1g e a ação é efetiva. 2
2.5.2 Ações contínuas
No contexto topológico deve-se considerar ações contínuas no seguinte sen-
tido.
De�nição 2.19 Seja G um grupo topológico e X um espaço topológico. Uma
ação de G em X é contínua se a aplicação � : G�X ! X, � (g; x) = gx, é
contínua.
Se H � G é um subgrupo, a restrição a H da ação de G em X é uma
ação de H. Tomando em H a topologia induzida, a restrição de uma ação
contínua é contínua.
36 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
No caso de uma ação contínua, os objetos introduzidos anteriormente
admitem boas propriedades topológicas.
De fato, se � é contínua então as aplicações parciais �x : G ! X, x 2
X, e �g : X ! X, g 2 G, são também contínuas. Além do mais, como
a (g) = �g e a (g)
�1 = a (g�1) segue que para cada g 2 G, a (g) : X ! X é
homeomor�smo de X.
A proposição a seguir aborda os grupos de isotropia das ações contínuas.
Proposição 2.20 Suponha que a ação de G em X seja contínua e que X
seja espaço de Hausdor¤. Então, qualquer subgrupo de isotropia Gx, x 2 X,
é fechado.
Demonstração: Em termos da aplicação �, o subgrupo de isotropia é dado
por
Gx = fg 2 G : � (g; x) = xg = ��1x fxg:
Como X é Hausdor¤, segue que Gx é fechado. 2
O objetivo agora é olhar a bijeção da proposição 2.17 no caso de ações
contínuas. Para isso é necessário introduzir uma topologia em G=H. Essa
deve ser a topologia quociente, que é de�nida em geral para relações de
equivalência em espaços topológicos da seguinte maneira:
De�nição 2.21 Seja Y um espaço topológico e � uma relação de equivalên-
cia em Y . Denote por Y= � o conjunto das classes de equivalência de �
e por � : Y ! Y= � a aplicação sobrejetora canônica, que a cada y 2 Y
associa sua classe de equivalência. A topologia quociente em Y= � é aquela
em que um subconjunto A � Y= � aberto se, e só se, ��1 (A) é aberto em
Y . De forma equivalente, F � Y= � é fechado se, e só se, ��1 (F ) é fechado
em Y .
A topologia quociente é a mais �na (que contém a maior quantidade
de abertos possível) que torna a projeção canônica � : Y ! Y= � uma
aplicação contínua. A continuidade, em relação à topologia quociente, de
funções de�nidas em Y= � é veri�cada através da seguinte propriedade.
Proposição 2.22 Sejam Y e Z espaços topológicos em que Y é munido da
relação de equivalência �. Então, uma aplicação f : Y= �! Z é contínua
2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 37
se, e somente se, f � � : Y ! Z é contínua:
Y
� # &
Y= � �! Z
Demonstração: Se f é contínua então f � � é contínua, pois � é contínua.
Reciprocamente, suponha que f � � é contínua e seja A � Z um aberto. En-
tão (f � �)�1 (A) = ��1 (f�1 (A)) é aberto em Y . Pela de�nição da topologia
quociente, segue que f�1 (A) é aberto em Y= �, concluindo a demonstração.
2
No caso em que G é um grupo e H � G um subgrupo, o quociente G=H
é o conjunto das classes de equivalência da relação de equivalência em G
em que x � y se, e só se, xH = yH. Portanto, G=H pode ser munido da
topologia quociente por essa relação de equivalência, quando G é um grupo
topológico.
No caso particular de um conjunto de classes laterais G=H a aplicação
canônica � : G ! G=H é uma aplicação aberta. De fato, para um subcon-
junto A � G vale
��1 (� (A)) = AH:
Se A é aberto então AH =
S
h2H Ah é aberto em G e daí que � (A) é aberto
na topologia quociente. Deve-se observar também que, em geral a projeção
não é uma aplicação fechada (por exemplo, tome G = R2, H = f0g � R e
F � G o grá�co f(x; y) 2 R2 : �� < x < � e y = tgxg. O conjunto � (F )
não é fechado).
A topologia quociente tem um bom comportamento em relação ao pro-
duto cartesiano de grupos. Sejam G1 e G2 grupos topológicos e H1 � G1,
H2 � G2 subgrupos. O produto H1�H2 é um subgrupo de G1�G2 e o quo-
ciente (G1 �G2) = (H1 �H2) se identi�ca com (G1=H1) � (G2=H2) através
da bijeção
� : (g1; g2) (H1 �H2) 7�! (g1H1; g2H2) :
Essa bijeção é um homeomor�smo em relação às topologias quocientes nos es-
paços homogêneos. Isso pode ser visto facilmente pela de�nição de topologia
quociente e o seguinte diagrama comutativo:
G1 �G2
id�! G1 �G2
# #
(G1 �G2) = (H1 �H2)
��! (G1=H1)� (G2=H2)
38 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
Proposição 2.23 A topologia quociente em G=H é de Hausdor¤ se, e so-
mente se, H é fechado.
Demonstração: A aplicação � : G! G=H é contínua e H = ��1fxg se x
denota a origem de G=H. Portanto, se G=H é Hausdor¤, H é fechado.
Reciprocamente, suponha que H é fechado. A propriedade de Hausdor¤
é equivalente à diagonal
� = f(x; x) 2 G=H �G=H : x 2 G=Hg
ser um conjunto fechado em relação à topologia produto emG=H�G=H, que
coincide com a topologia quociente em (G�G) = (H �H). Deve-se mostrar
que ��12 (�) é um conjunto fechado em G�G onde �2 : G�G! G=H�G=H
é a projeção canônica. Mas, �2 (g; h) 2 � se e só se gH = hH, isto é, se
h�1g 2 H. Em outras palavras,
��12 (�) = q
�1 (H)
onde q é a aplicação contínua q (x; y) = x�1y. Portanto, se H é fechado,
��12 (�) é fechado. 2
Proposição 2.24 A ação de G em G=H é contínua em relação à topologia
quociente.
Demonstração: A aplicação � : G � G=H ! G=H que de�ne a ação faz
parte do seguinte diagrama comutativo
G�G p�! G
id ## � # �
G�G=H ��! G=H
SejaA � G=H um aberto. Então, p�1��1 (A) é aberto e daí que (id� �)�1 (A)
é um aberto em G�G. Mas, isso signi�ca que ��1 (A) é aberto em G�G=H,
pela de�nição da topologia quociente. 2
Voltando agora a uma ação geral G�X ! X cada órbita G � x está em
bijeção com o quociente G=Gx. Por intermédio dessa bijeção pode-se colocar
uma topologia na órbita G � x declarando que um subconjunto A � G � x é
2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 39
aberto se o conjunto correspondente em G=Gx for um aberto da topologia
quociente.
No entanto, se a ação G � X ! X for contínua, então a órbita G �
x � X admite também a topologia induzida de X. A discussão a seguir
tem por objetivo comparar essas topologias, analisando a propriedade de
homeomor�smo da aplicação �x. Para isso é su�ciente considerar o caso de
ações transitivas pois se uma ação é contínua G�X ! X é contínua então
sua restrição à uma órbita G � x também é contínua em relação à topologia
induzida.
Proposição 2.25 Seja G � X ! X uma a ação contínua e transitiva de
G em X. Fixe x 2 X e considere a bijeção �x : G=Gx ! X dada por
�x (gGx) = gx. Então, �x é contínua em relação à topologia quociente em
G=Gx.
Demonstração: Pela proposição 2.22 basta mostrar que �x � � é contínua.
Agora, �x �� (g) = �x (gH) = gx, isto é, �x �� = �x que é contínua se a ação
é contínua. 2
A situação ideal seria poder identi�car, como espaços topológicos, o es-
paço X onde se dá uma ação transitiva com o quociente G=Gx. Em geral
isso não é possível, poisa aplicação �x não é homeomor�smo por não ser
aplicação aberta. Um exemplo disso é apresentado a seguir.
Exemplo: Se G é um grupo a aplicação g 2 G 7! Eg de�ne uma ação
(à esquerda) de G em si mesmo por translações à esquerda. Essa ação é
claramente transitiva em que o subgrupo de isotropia Gg = f1g para todo
g 2 G. Portanto, para cada g 2 G existe um diagrama
G
�g�! G
# � %
�g
G=f1g = G
onde �g (h) = hg. Em particular, �1 (h) = h é a aplicação identidade. Dessa
forma, para exibir um exemplo de uma ação contínua em que �x não é uma
aplicação aberta basta mostrar a existência de um grupo munido de duas
topologias T1 e T2 com T2 �
6=
T1. Nesse caso
�1 = id : (G; T1) �! (G; T2)
40 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
é contínua, mas não aberta. Se ambas topologias tornam G um grupo
topológico então a ação à esquerda de G em G é contínua.
Um exemplo de um grupo desses é dado pela reta real (R;+). Tome T1
como sendo a topologia usual. Quanto a T2, considere um �uxo irracional no
toro T2, isto é, a imagem em R2=Z2 de uma reta r � R2, com inclinação irra-
cional. Esse conjunto é um subgrupo de T2 isomorfo a R, porém a topologia
induzida sobre a imagem é uma topologia T2 em R estritamente contida na
topologia a usual. Em ambas topologias R é um grupo topológico, pois a
topologia T2 é a que torna R um subgrupo topológico de T2. 2
A seguir será apresentado um resultado de caráter geral garantindo que
�x é uma aplicação aberta, dentro do contexto do teorema das categorias de
Baire. Antes disso é conveniente reduzir o problema a um único ponto.
Lema 2.26 Suponha que exista x0 2 X tal que para toda vizinhança aberta
U 2 V (1), o conjunto U � x0 = �x0 (U) contém x0 em seu interior. Então, �x
é uma aplicação aberta para todo x 2 X e, portanto, é um homeomor�smo.
Demonstração: Considere em primeiro lugar �x0. Neste caso, dado um
aberto V � G deve-se mostrar que V � x0 é um aberto, isto é, se g 2 V então
gx0 é ponto interior de V �x0. Por hipótese, se g 2 V então U = g�1V 2 V (1)
é tal que U �x0 é uma vizinhança de x0. Isso implica que V �x0 = (gU) �x0 =
g (U � x0) é uma vizinhança de gx0, já que g é um homeomor�smo. Isso
mostra que �x0 é aplicação aberta.
Agora, se x = hx0 então �x = �x0 � Dh. Portanto, se �x0 é aplicação
aberta, o mesmo ocorre com �x. 2
O resultado geral a seguir sobre o homeomor�smo G=Gx ! X vale
quando X é um espaço de Baire, isto é, a união enumerável de conjuntos
de interior vazio ainda tem interior vazio. Exemplos de espaços de Baire são
os espaços métricos completos ou os espaços topológicos que são de Hausdor¤
e localmente compactos.
Lema 2.27 Sejam G um grupo topológico, D � G um subconjunto denso e
U 2 V (1) uma vizinhança da identidade. Então,
G =
[
g2D
gU:
2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 41
Demonstração: Tome uma vizinhança simétrica W � U . Então, dado
x 2 G existe g 2 D tal que g 2 xW , isto é, x�1g 2 W . A simetria de W
garante que g�1x 2 W , o que signi�ca que x 2 gW � gU , concluíndo a
demonstração. 2
Proposição 2.28 Seja G�X ! X uma ação contínua e transitiva. Supo-
nha que G seja separável (isto é, admite um conjunto enumerável denso) e
que X seja um espaço de Baire. Então, as aplicações �x : G=Gx ! X são
homeomor�smos.
Demonstração: Tome x0 2 X, U 2 V (1) uma vizinhança aberta eW uma
vizinhança simétrica tal que W 2 � U . Pelo lema 2.26 é su�ciente mostrar
que U �x0 é vizinhança de x0. Seja gn uma sequência densa em G. Pelo lema
anterior, os conjuntos gnW cobrem G e, portanto, os conjuntos gnW � x0
cobrem X. No entanto, X é um espaço de Baire, o que garante que para
algum n0, gn0W � x0 tem interior não vazio, isto é, contém gn0g � x0 em seu
interior para algum g 2 W . Como gn0g é homeomor�smo, segue que x0 é
ponto interior de g�1g�1n0 (gn0W � x0). Mas,
g�1g�1n0 (gn0W � x0) = g
�1W � x0 � U � x0;
concluindo a demonstração. 2
Por �m deve-se observar que no caso de ações diferenciáveis grupos de
Lie será mostrado posteriormente, com o auxílio do cálculo diferencial, que
as aplicações �x são homeomor�smos (na verdade difeomor�smos).
2.5.3 Grupos quocientes
Uma situação especial dos quocientes considerados acima acontece quando o
subgrupo H é normal em G. Nesse caso o quociente G=H tem uma estrutura
de grupo, de�nida por (gH) (hH) = (gh)H e a projeção canônica � : G !
G=H é um homomor�smo. Com a topologia quociente esse grupo passa a
ser um grupo topológico. Para ver isso basta recorrer à proposição 2.22 e
escrever o diagrama
G�G p�! G
� ## � # �
G=H �G=H ��! G=H
42 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
onde � denota o produto emG=H. Então, da mesma forma que na proposição
2.24 mostra-se que � é contínua. Por outro lado, a continuidade da inversa
em G=H provém da comutatividade do diagrama
G
��! G
# � # �
G=H
��! G=H
juntamente com a proposição 2.22.
Em relação à topologia quociente, a projeção � : G! G=H é um homo-
mor�smo contínuo e uma aplicação aberta.
2.6 Grupos compactos e conexos
Nesta seção serão demonstrados dois resultados que são bastante utilizados
para veri�car, via espaços quocientes, que certos grupos topológicos são com-
pactos ou conexos.
Teorema 2.29 Seja G um grupo topológico e H � G um subgrupo. Se H e
G=H são compactos então G é compacto.
Demonstração: Para a demonstração será utilizada a propriedade de
interseção �nita, que caracteriza os espaços compactos: um espaço topológico
K é compacto se, e só se, para uma família F de fechados vale
T
F2F F 6= ; se
ela satis�zer a propriedade de interseção �nita, isto é, se toda interseção �nita
F1 \ � � � \Fk elementos de F for não vazia. Nesse caso pode-se assumir, sem
perda de generalidade, que F é completa, isto é, fechada por interseção �nita
de seus elementos, pois a família de todas as interseções �nitas de elementos
de F também satisfaz a propriedade da inteseção �nita.
Seja então F uma família de fechados em G satisfazendo a propriedade
da interseção �nita. As projeções � (F ), F 2 F , não são necessariamente
conjuntos fechados emG=H, mas a família f� (F )gF2F satisfaz a propriedade
de interseção �nita, já que
� (F1 \ � � � \ Fk) � � (F1) \ � � � \ � (Fk) :
Portanto, os fechos � (F ), F 2 F , formam uma família de fechados em G=H
satisfazendo a propriedade da interseção �nita. Como G=H é compacto,
2.6. GRUPOS COMPACTOS E CONEXOS 43
existe g 2 G tal que
gH 2
\
F2F
� (F ):
Isto é, gH 2 � (F ) para todo F 2 F .
Seja U 2 V (1) uma vizinhança da identidade em G. Então, Ug é um
aberto que contém g e como � é uma aplicação aberta, segue que � (Ug) é
aberto que contém gH. Como gH 2 � (F ) conclui-se que para todo F 2 F
vale � (Ug) \ � (F ) 6= ;, isto é, UgH \ F 6= ;. Em resumo, para todo
U 2 V (1) e todo F 2 F , vale UgH \ F 6= ;, isto é, gH \ U�1F 6= ;. Em
particular,
(F1 \ � � � \ Fs) \ UgH 6= ; (2.1)
para todo em U 2 V (1) e F1; : : : ; Fs 2 F , pois F é uma família completa.
Agora será usada a compacidade de H (ou melhor de gH) para mostrar
a existência de h 2 H tal que para toda vizinhança U 2 V (1), o aberto Ugh
intercepta todos os fechados Fi. Considere a família dos subconjuntos de gH
que são da forma E = U�1F \ gH com F 2 F e U 2 V (1). Essa família
satisfaz a propriedade da interseção �nita. De fato, dado um número �nito
de elementos nessa família, tem-se�
U�11 F1 \ gH
�
\ � � � \
�
U�1s Fs \ gH
�
=
�
U�11 F1 \ � � � \ U�1s Fs
�
\ gH: (2.2)
De�na W =
Ts
i=1 U
�1
i 2 V (1). Então, o segundo membro de (2.2) contém o
conjunto
(WF1 \ � � � \WFs) \ gH
que por sua vez contém o conjunto (W (F1 \ � � � \ Fs)) \ gH. Mas, este
conjunto é não vazio por (2.1). Portanto, a família de fechados (U�1F \ gH)�
em gH satisfaz a propriedade de interseção �nita. Como gH é compacto (pois
H é compacto) conclui-se que\
U2V(1);F2F
�
U�1F \ gH
�� 6= ;:
Por �m tome h 2 H tal que gh pertence a esta interseção. Para este h
pode-se mostrar que gh 2
T
F2F F .
De fato, �xe F 2 F , tome U 2 V (1) e escolha V 2 V (1) tal que V 2 � U .
Então, V gh é uma vizinhança de gh e, portanto,
V gh \
�
V �1F \ gH
�
6= ;:
44 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
Em particular, V gh \ V�1F 6= ; o que implica que ; 6= (V 2gh) \ F �
(Ugh) \ F . Como U é arbitrário isso garante que gh 2 F = F , concluindo a
demonstração. 2
É claro que se G é compacto então G=H também é compacto, uma vez
que a projeção canônica � : G ! G=H é contínua e sobrejetora. Por outro
lado, se H é fechado e G compacto então H também é compacto. Portanto,
a recíproca ao teorema acima é verdadeira com a hipótese adicional de que
H é fechado.
Proposição 2.30 Suponha que H e G=H são conexos. Então, G é conexo.
Demonstração: Suponha por absurdo que A;B � G são abertos não
vazios, disjuntos e tais que A[B = G. Então, � (A) e � (B) são abertos não
vazios tais que � (A)[� (B) = G=H. Como G=H é conexo, � (A)\� (B) 6= ;.
Isso signi�ca que existe uma classe lateral gH que intercepta ambos os con-
juntos A e B. Então, A \ gH e B \ gH são abertos disjuntos, não vazios e
tais que � (A)[� (B) = gH, contradizendo o fato de que H é conexo, já que
gH é homeomorfo a H. 2
Quanto à reciproca da proposição anterior, é claro que G=H é conexo
se G for conexo. No entanto, pode ocorrer que tanto G quanto G=H sejam
conexos, mas H não seja conexo.
Os dois resultados desta seção fornecem um método útil para descrever a
topologia de diversos grupos conhecidos, como mostram os exemplos a seguir.
Exemplos:
1. O grupo G = Gl (n;R) age em Rn de maneira canônica: � (g; x) = gx,
g 2 Gl (n;R), x 2 Rn. Essa ação é contínua pois � é restrição de
uma aplicação polinômial (de grau 2) Mn (R) � Rn ! Rn. Existem
exatamente duas órbitas, a origem f0g e o seu complementar Rn n f0g.
É evidente que a origem é uma órbita. Para ver que o seu comple-
mentar também é uma órbita, tome e1 = (1; 0; : : : ; 0) 2 Rn n f0g e
x = (x1; : : : ; xn) 6= 0. Então existe uma matriz g 2 Gl (n;R) tal que
ge1 = x. De fato, é possível estender x a uma base fx; v2; : : : ; vn�1g de
Rn. Denote por fe1; : : : ; eng a base canônica de Rn. Então, g de�nida
por ge1 = x e gei = vi, i = 2; : : : ; n é um elemento de Gl (n;R) que
satisfaz o desejado.
2.6. GRUPOS COMPACTOS E CONEXOS 45
O subgrupo de isotropia em 0 é todo Gl (n;R). Já o subgrupo de
isotropiaGe1 em e1 é formado pelas matrizes (em relação à base canônica)
da forma �
1 b
0 C
�
(2.3)
com b uma matriz linha 1� (n� 1) e C 2 Gl (n� 1;R). Os grupos de
isotropia em x 6= 0 são conjugados de Ge1. Em todo caso, o quociente
Gl (n;R) =Ge1 é homeomorfo ao cilindro Rn n f0g.
A ação de canônica Gl (n;R) em Rn induz, por restrição, ações de seus
subgrupos. Essas ações são todas contínuas, no entanto a estrutura das
órbitas varia de acôrdo com o subgrupo. Eis alguns exemplos:
(a) Seja O(n) � Gl (n;R). As órbitas são as esferas
Sr = fx 2 Rn : jxj = rg r � 0:
(A norma j�j utilizada aqui é a proveniente do produto interno
canônico, lembrando que esse produto interno está implícito na
de�nição de O(n).) O argumento para mostrar que as esferas são
as órbitas é semelhante ao utilizado acima, estendendo vetores
não nulos a bases, tomando o cuidado agora de escolher bases
ortogonais. O subgrupo de isotropia em e1 (ou em �e1, � 6= 0) é
formado pelas matrizes ortogonais que têm a forma de (2.3), isto
é, pelas matrizes da forma �
1 0
0 C
�
com C 2 O(n� 1). Esse grupo é isomorfo a O(n� 1). Portanto,
o quociente O(n) =O(n) é homeomorfo à esfera de dimensão n�1.
(b) Os mesmos argumentos do item anterior permitem mostrar que as
órbitas de SO (n) = fg 2 O(n) : det g = 1g também são as esferas.
Nesse caso o grupo de isotropia em e1 é isomorfo a SO (n� 1).
(c) O grupo Sl (n;R) = fg 2 Gl (n;R) : det g = 1g age transitiva-
mente em Rn n f0g, como pode ser veri�cado através do argu-
mento de construção de bases. Assim, Sl (n;R) tem exatamente
duas órbitas em sua ação canônica em Rn.
46 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
2. Novamente, seja G = Gl (n;R) e seja X = Pn�1 o espaço projetivo
dos subespaços de dimensão um de Rn. Se V 2 Pn�1 e g 2 Gl (n;R)
gV = fgx : x 2 V g é um subespaço de Rn de dimensão 1, e daí que
gV 2 Pn�1. A aplicação V 7! gV de�ne uma ação de Gl (n;R) ém
Pn�1. Esta ação é contínua em relação à seguinte topologia quociente
em Pn�1. Dado v 2 Rn, denote por [v] o subespaço gerado por v. Se
v 6= 0, [v] 2 Pn�1. Existe portanto uma aplicação sobrejetora � : v 2
Rn n f0g 7! [v] 2 Pn�1. Os abertos de Pn�1 são os conjuntos A � Pn�1
tais que ��1 (A) é aberto, isto é, a topologia em Pn�1 é a topologia
quociente pela relação de equivalência v � w se v = aw, a 6= 0, em
Rn nf0g. Com essa topologia a ação de Gl (n;R) é contínua. Essa ação
é transitiva e a isotropia em [e1] é o subgrupo formado pelas matrizes
do tipo �
a b
0 C
�
com a 2 R, b uma matriz linha (n� 1) � (n� 1) e C 2 Gl (n� 1;R).
A projeção � é equivariante em relação às ações de G em Rn n f0g e
Pn�1. Como no caso da ação em Rn, essa ação induz ações de todos
os grupos lineares, isto é, dos subgrupos de Gl (n;R). Essas ações são
denominadas de ações projetivas.
3. Analogamente às ações projetivas, o grupo Gl (n;R) age na Grassman-
niana Grk (n), formada pelos subespaços de Rn de dimensão k. A ação
é dada por (g; V ) 7! gV onde gV é a imagem do subespaço V pela apli-
cação linear g. Essa ação de Gl (n;R) também é transitiva e é contínua
em relação à seguinte topologia em Grk (n): denote por Bk (n) o con-
junto das matrizes n�k de posto k, munido da topologia induzida pela
topologia do espaço vetorial de todas as matrizes n � k. Existe uma
aplicação sobrejetora � : Bk (n) ! Grk (n) que associa a uma matriz
p 2 Bk (n) o espaço vetorial gerado pelas colunas de p. De�nindo em
Bk (n) a relação de equivalência p � q se existe a 2 Gl (k;R) tal que
p = qa. Então, Grk (n) se identi�ca ao conjunto das classes de equiv-
alência Bk (n) = � e � : Bk (n) ! Grk (n) com a projeção canônica
Bk (n)! Bk (n) = �. Isso de�ne a topologia quociente em Grk (n) cu-
jos abertos são os conjuntos A � Grk (n) tais que ��1 (A) é aberto em
Bk (n).
Seja V0 2 Grk (n) o subespaço gerado pelos primeiros k vetores da
base canônica. Então o subgrupo de isotropia em V0 é formado pelas
2.7. EXERCÍCIOS 47
matrizes do tipo �
P Q
0 R
�
com P 2 Gl (k;R) e Q 2 Gl (n� k;R).
4. Seja Z um campo de vetores em uma variedade diferenciável M de
classe C1 e suponha que Z seja completo, isto é, as soluções maximais
de Z se estendem ao intervalo (�1;+1). O �uxo de Z denotado Zt,
t 2 R, é de�nido a partir das trajetórias t 7! Zt (x) é a trajetória de Z
que em t = 0 passa por x. O �uxo satisfaz as propriedades Z0 (x) = x
e Zt+s (x) = Zt (Zs (x)). Portanto, (t; x) 7! Zt (x) de�ne uma ação
de R em M . Os teoremas de dependência de soluções em relação às
condições iniciais garantem que essa ação é contínua. As órbitas dessa
ação são as trajetórias do campo. Já os subgrupos de isotropia em x
são descritos como: 1) Gx = R se x é uma singularidade do campo de
vetores, isto é, Z (x) = 0; 2) Gx = f0g se a trajetória x não é uma
curva fechada e 3) Gx = !Z se a trajetória que passa por x é periódica
de período !.
2
O teorema 2.29 e a proposição 2.30 são úteis para mostrar que deter-
minados grupos topológicos são compactos ou conexos. As ações descritas
acima ilustram bem essa aplicações. Tome, por exemplo, o caso da ação
transitiva de O(n) na esfera Sn com grupo de isotropia SO (n� 1). Se n = 1
então Sn�1 = f�1g e SO (n� 1) é trivial. Isso signi�ca que tanto o quociente
O(1) =SO (0) quanto o subgrupo de isotropia são compactos. Portanto, o teo-
rema 2.29 garante que O(1) é compacto. Procedendo por indução e usando o
fato de que as esferas são compactas, se veri�ca que os grupos O(n) são com-
pactos. Da mesma forma, pode-se aplicar sucessivamente a proposição 2.30
para veri�car que os grupos SO (n), Sl (n;R), Gl+ (n;R), etc. são conexos.
2.7 Exercícios
1. Seja G�X ! X uma ação contínua do grupo topológico G no espaço
topológico X. Seja A � X um subconjunto G-invariante. Mostre que a
restrição G�A! A da ação a A também é contínua, com a topologia
induzida em A.
48 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS
2. Mostre que num grupo topológico o fecho de um subgrupo abeliano é
abeliano.
3. Seja H � G um subgrupo e denote por N(H) = fg