03 - Condução de Calor Permanente

Prévia do material em texto

ENGENHARIA 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
 
 
Ovandir Bazan 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Introdução 
– Na análise da transferência de calor, muitas vezes estamos interessados na taxa de 
transferência de calor através do meio sob condições e temperaturas superficiais 
permanentes. Os problemas podem ser resolvidos facilmente sem envolver equação 
diferencial, por meio da introdução do conceito de resistência térmica de forma 
análoga aos problemas de circuito elétrico. Nesse caso: 
• a resistência térmica corresponde à resistência elétrica, 
• a diferença de temperatura corresponde à tensão, e 
• a taxa de transferência de calor corresponde à corrente elétrica. 
– Começamos este capítulo com a condução de calor unidimensional permanente em 
parede plana, em cilindro e em esfera, e suas relações desenvolvidas para 
resistências térmicas. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Introdução 
– Desenvolveremos, também, relações da resistência térmica para condições de 
convecção e radiação nas fronteiras. 
– Aplicaremos esse conceito para problemas de condução de calor em múltiplas 
camadas de paredes planas e geometrias cilíndricas e esféricas e generalizaremos 
esse mesmo conceito para sistemas que envolvem a transferência de calor em duas 
ou três dimensões. 
– Discutiremos também a resistência térmica de contato e o coeficiente global de 
transferência de calor e desenvolveremos relações para o raio crítico de isolamento 
de cilindro e de esfera. 
– Por último, abordaremos a transferência de calor permanente em superfícies 
aletadas e algumas geometrias complexas comumente encontradas na prática por 
meio do uso de fatores de forma de condução. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Objetivos 
– Compreender o conceito de resistência térmica e suas limitações e desenvolver uma 
rede de resistência térmica para problemas práticos de condução de calor. 
– Resolver problemas de condução permanente envolvendo geometrias 
• retangulares, 
• cilíndricas, ou 
• esféricas. 
– Desenvolver uma compreensão intuitiva sobre a resistência térmica de contato e as 
circunstâncias em que ela pode ser significativa. 
– Identificar aplicações em que o isolamento pode realmente aumentar a 
transferência de calor. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
– Considere a condução de calor permanente através das paredes da 
casa durante um dia de inverno (Fig. 3-1). 
– Recorde que a transferência de calor em certa direção ocorre em 
decorrência do gradiente de temperatura nessa direção (sentido 
normal à superfície). 
– Medições da temperatura em vários locais da superfície interna ou 
externa da parede confirmarão que 
• a superfície da parede é quase isotérmica; 
• existe a considerável diferença de temperatura entre as 
superfícies interna e externa da parede, apenas; 
... Portanto, há transferência de calor significativa no sentido da 
superfície interna para externa. 
– A pequena espessura da parede faz com que o gradiente de 
temperatura nessa direção seja grande. Além disso, se as 
temperaturas do ar interno e externo da casa permanecem 
constantes, então a transferência de calor através da parede da casa 
pode ser modelada como permanente e unidimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
– A temperatura da parede, nesse caso, depende de única direção (por 
exemplo, direção 𝑥) e pode ser expressa como 𝑇(𝑥). Note que a 
transferência de calor é a única interação de energia envolvida nesse 
caso, c que não há geração de calor. Assim, o balanço de energia para a 
parede pode ser expresso como: 
 
 
 
ou 
 
 
– Mas 𝑑𝐸𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒/𝑑𝑡 = 0 para operação permanente, uma vez que não há 
nenhuma mudança na temperatura da parede com o tempo, em 
qualquer ponto. Assim, a taxa de transferência de calor para dentro da 
parede deve ser igual à taxa de transferência de calor para fora dela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
– Em outras palavras, a taxa de transferência de calor através da 
parede deve ser constante, 𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
– Considere a parede plana de espessura 𝐿 e condutividade 
térmica média 𝑘. As duas superfícies da parede são mantidas a 
temperaturas constantes 𝑇1 e 𝑇2. Para condução de calor 
unidimensional permanente através da parede, temos 𝑇(𝑥). 
Então, a lei de Fourier para condução de calor na parede pode 
ser expressa como 
 
 
onde a taxa de transferência de calor por condução 
𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 e a área da parede 𝐴 são constantes. 
– Assim, 𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, o que significa que a temperatura 
através da parede varia linearmente com 𝑥. Isto é, a distribuição 
da temperatura na parede sob condições permanentes é linha 
reta (Fig. 3-2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
– Separando as variáveis na equação anterior e integrando de 𝑥 = 0, onde 𝑇 0 = 𝑇1, 
a 𝑥 = 𝐿, onde 𝑇 𝐿 = 𝑇2, obtemos 
 
 
– Fazendo as integrações e reordenando, temos 
 
 
– Mais uma vez (a Eq. acima já foi vista no Cap. 1), a taxa de condução de calor através 
da parede plana é proporcional à condutividade térmica média, à área da parede e à 
diferença de temperatura, mas é inversamente proporcional à espessura da parede. 
Além disso, uma vez que a taxa de condução de calor é calculada, a temperatura 
𝑇(𝑥) em qualquer posição 𝑥 pode ser determinada substituindo 𝑇2 por 𝑇 e 𝐿 por 𝑥 
na Eq. acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Conceito de resistência térmica 
– A Eq. anterior pode ser reorganizada como 
onde 
 
 
é a resistência térmica da parede contra a condução de calor, ou simplesmente resistência de 
condução da parede. 
– Note que a resistência térmica do meio depende da geometria e das propriedades 
térmicas do meio. 
– A resistência térmica pode ser expressa como 𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = ∆𝑇/𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒, que é a 
razão da condução potencial ∆𝑇 para a correspondente taxa de transferência 
𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Conceito de resistência térmica 
– A equação para transferência de calor é análoga à 
relação de fluxo de corrente elétrica 𝐼, expressa como 
 
 
onde 𝑅𝑒 = 𝐿/𝜎𝑒𝐴 é a resistência elétrica e 𝑉1 − 𝑉2 é a 
diferença de tensão através da resistência (𝜎𝑒 é a 
condutividade elétrica). 
– Assim (Fig. 3-3): 
• taxa de transferência de calor ↔ corrente elétrica, 
• resistência térmica ↔ resistência elétrica e 
• diferença de temperatura ↔ diferença de tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Conceito de resistência térmica 
– Considere a transferência de calor por convecção a partir de 
superfície sólida da área𝐴𝑠, e temperatura 𝑇𝑠, para um fluido cuja 
temperatura suficientemente distante da superfície é 𝑇∞, com 
coeficiente de transferência de calor por convecção ℎ. A lei de 
Newton do resfriamento para taxa de transferência de calor por 
convecção 𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇∞) pode ser reorganizada como 
 
 , onde: 
é a é a resistência térmica da superfície de convecção contra 
o calor, ou simplesmente, a resistência de convecção da 
superfície (Fig. 3-4). 
– Note que, quando o coeficiente de convecção de transferência de 
calor é muito grande (ℎ → ∞), a resistência de convecção torna-se 
nula e 𝑇𝑠 ≈ 𝑇∞ (a superfície não oferece resistência à convecção). 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
A Eq. da resistência de convecção 
(𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣) é válida para superfícies de 
qualquer forma, desde que o 
pressuposto de ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 e 
uniforme seja razoável 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Conceito de resistência térmica 
– Quando a parede é cercada por gás, os efeitos da radiação que temos ignorado até agora 
podem ser significativos, devendo, portanto, ser considerados. A taxa de transferência de calor 
por radiação entre a superfície de emissividade 𝜀 e área 𝐴𝑠, na temperatura 𝑇𝑠, e as superfícies 
ao redor na temperatura média 𝑇𝑐𝑖𝑟 pode ser expressa como 
 
 
onde 
 
 
 é a resistência térmica da superfície contra a radiação ou a resistência de radiação, 
e ... 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Conceito de resistência térmica 
 
 
 
 é o coeficiente de transferência de calor por radiação. 
 
– Observe que tanto 𝑇𝑠 quanto 𝑇𝑐𝑖𝑟 devem estar em K na avaliação de ℎ𝑟𝑎𝑑. 
– A definição do coeficiente de transferência de calor por radiação nos permite 
expressar a radiação convenientemente de maneira análoga à convecção, na 
diferença de temperatura. Mas ℎ𝑟𝑎𝑑 depende fortemente da temperatura, enquanto 
ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣 geralmente não. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes 
planas 
Conceito de resistência térmica 
– Uma superfície exposta ao ar circundante envolve 
convecção e radiação simultaneamente; 
• a transferência de calor total na superfície é 
determinada por adição (ou subtração, se for no 
sentido oposto) dos componentes da radiação e da 
convecção. 
– As resistências à convecção e à radiação são paralelas 
entre si, como mostrado na Fig. 3-5, e podem causar 
alguma complicação na rede de resistências térmicas. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes 
planas 
Conceito de resistência térmica 
– Quando 𝑇𝑐𝑖𝑟 ≈ 𝑇∞, o efeito da radiação pode ser 
devidamente contabilizado, substituindo ℎ na relação da 
resistência de convecção 
 
onde ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏 é o coeficiente de transferência de calor 
combinado, abordado no Cap. 1. 
– Dessa forma, todas as complicações associadas com 
radiação são evitadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em 
paredes planas 
Rede de resistência térmica 
– Na Fig. 3-6 ocorre a transferência de calor 
unidimensional e permanente por uma 
parede plana exposta à convecção nos 2 
lados. 
– A temperatura varia linearmente na parede e 
de forma assintótica de 𝑇∞1 e 𝑇∞2 nos 
fluidos, à medida que nos afastamos da 
parede. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Rede de resistência térmica 
– Sob condições permanentes, temos: 
 
 
 
ou 
 
 
que podem ser reorganizados como 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Rede de resistência térmica 
por meio de uma identidade matemática útil (Fig. 3-7), temos 
 
 
 
onde 
 
 
 
– Note que as resistências térmicas estão em série e a 
resistência térmica equivalente é determinada pela simples 
adição das resistências individuais (// com as elétricas). 
– Resumindo, a taxa de transferência de calor permanente 
entre duas superfícies é igual à diferença de temperatura 
dividida pela resistência térmica total entre essas duas 
superfícies. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
Rede de resistência térmica 
– Às vezes, é conveniente expressar a transferência de calor 
através do meio de maneira análoga à lei de Newton do 
resfriamento, como 
 
onde 𝑈 é o coeficiente global de transferência de calor em 
𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾. O coeficiente global de transferência de calor é 
geralmente usado em cálculos de transferência de calor 
 - associada com trocadores de calor (Cap. 11), 
 - através das janelas (Cap. 9), 
 e comumente referido como “fator U”. 
– A comparação das 2 últimas Eqs. 
revela que 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Assim, para a unidade de 
área, o coeficiente global de 
transferência de calor é igual 
ao inverso da resistência 
térmica total. 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Rede de resistência térmica 
– Note que não precisamos conhecer as temperaturas da superfície da parede para 
avaliar sua taxa de transferência de calor permanente. 
• Tudo o que precisamos saber são coeficientes de transferência de calor por convecção e 
temperaturas do fluido em ambos os lados da parede. 
– A temperatura da superfície da parede pode ser determinada utilizando o conceito 
de resistência térmica, mas tomando a superfície em que a temperatura está para 
ser determinada corno um dos terminais de superfície. 
• Por exemplo, uma vez determinado o valor de 𝑄 , a temperatura superficial 𝑇1 pode ser 
determinada a partir de 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Paredes planas multicamadas 
– Na prática, muitas vezes encontramos paredes planas que consistem em várias 
camadas de materiais diferentes. 
– O conceito de resistência térmica (𝑄 = ∆𝑇/𝑅) ainda pode ser utilizado para 
determinar a taxa de transferência de calor permanente através dessas paredes 
compostas. 
• a resistência de condução de cada parede é 𝐿/𝑘𝐴; 
• ligadas em série, usa-se a analogia elétrica: dividindo a diferença de temperatura entre 
duas superfícies (temperaturas conhecidas) pela resistência térmica total entre elas. 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
Paredes planas multicamadas 
– Considere uma parede plana que 
consiste em duas camadas. 
– A taxa de transferência de calor 
permanente através dessas duas 
paredes pode ser expressa como 
(Fig. 3-9): 
 
onde 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 é a resistência térmica 
total, expressa comoOBS: as resistências estão em série 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor permanente em paredes planas 
Paredes planas multicamadas 
– Esse resultado pode ser estendido para paredes planas que consistem em três ou 
mais camadas, com uma resistência adicional para cada camada adicional. 
– Uma vez conhecido o valor de 𝑄 , a temperatura superficial 𝑇𝑗 de valor desconhecido 
em qualquer superfície ou interface 𝑗 pode ser determinada a partir de 
 
 
 
onde 𝑇𝑖 é a temperatura conhecida no local 𝑖 e 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑖→𝑗 é a resistência térmica 
total entre os locais 𝑖 e 𝑗. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor 
permanente em 
paredes planas 
Paredes planas multicamadas 
– Por exemplo, quando as temperaturas do fluido 𝑇∞1 e 𝑇∞2 
estão disponíveis para o caso de duas camadas e 𝑄 é 
calculado a partir de 𝑄 = 𝑇∞1 − 𝑇∞2 /𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 , a 
temperatura da interface 𝑇2 entre duas paredes pode ser 
determinada a partir de (Fig. 3-10): 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
∞ 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor 
permanente em 
paredes planas 
Paredes planas multicamadas 
– A queda da temperatura através da camada é facilmente 
determinada multiplicando 𝑄 pela resistência térmica da 
camada (∆𝑇 = 𝑄 𝑅). 
– O conceito de resistência térmica é amplamente utilizado 
na prática. Tem provado ser urna ferramenta poderosa 
para a solução de uma vasta gama de problemas de 
transferência de calor. 
– Contudo, sua utilização é limitada aos sistemas em que a 
taxa de transferência de calor 𝑄 se mantém constante, isto 
é, sistemas que envolvem transferência de calor 
permanente, sem geração de calor (como resistência de 
aquecimento ou reações químicas) dentro do meio. 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝒊𝒏𝒕 ex𝒕 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝒊𝒏𝒕 ex𝒕 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝒊𝒏𝒕 ex𝒕 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝒊𝒏𝒕 ex𝒕 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Resistência térmica de contato 
– Embora até agora adotamos 
"contato perfeito" na interface de 
duas camadas (superfícies 
perfeitamente lisas), na realidade 
elas são bastante rugosas (cf. a Fig. 
3-14), com inúmeros picos e vales. 
– Quando duas dessas superfícies são 
pressionadas uma contra a outra, 
os picos formam bom contato 
material, mas os vales formam 
vazios preenchidos com ar. 
– Como resultado, a interface contém 
inúmeras lacunas de ar de 
tamanhos variados que funcionam 
como isolamento, em virtude da 
baixa condutividade térmica do ar. 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Resistência térmica de contato 
– Assim, a interface oferece alguma 
resistência à transferência de calor, e essa resistência por 
unidade de área é chamada resistência térmica de 
contato, 𝑅𝑐. 
– O valor de 𝑅𝑐, é determinado experimentalmente (com 
grande dispersão dos dados, em virtude da dificuldade 
de caracterizar as superfícies) usando uma montagem 
similar à da Fig. 3-15. 
– A transferência de calor através da interface de duas 
barras é a soma da transferência de calor através dos 
pontos de contato sólido e das lacunas nas áreas em que 
não há contato e pode ser expressa como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Resistência térmica de contato 
– Também pode ser expressa em forma análoga à lei de Newton do resfriamento, 
como 
 
onde 𝐴 é a área aparente da interface (a mesma que a área transversal das barras) e 
∆𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 é a diferença efetiva de temperatura na interface. 
– A quantidade ℎ𝑐, que corresponde ao coeficiente de transferência de calor por 
convecção, é chamada condutância térmica de contato e é expressa como 
 
 , que está relacionada à resistência térmica de contato por 
 
 Ou seja, a resistência térmica de contato é o inverso 
 da condutância térmica de contato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Resistência térmica de contato 
– O valor da resistência térmica de contato depende 
• da rugosidade superficial, 
• das propriedades do material, 
• da temperatura, 
• da pressão na interface, e 
• do tipo de fluido aprisionado na interface. 
OBS: A situação torna-se mais complexa quando a pressão da interface não é uniforme (placas 
apertadas por parafusos ou rebites). A resistência térmica de contato, nesse caso, também 
depende da espessura da chapa, do raio do parafuso e do tamanho da zona de contato. 
– A resistência térmica de contato diminui com a diminuição da rugosidade da superfície e com 
o aumento da pressão da interface, como esperado. 
– A maioria dos valores de resistência térmica de contato determinados experimentalmente 
está entre 0,000005 e 0,0005 𝑚2 ∙ 𝐾/𝑊 (correspondente à faixa de condutância térmica de 
contato de 2.000 a 200.000 W/𝑚2 ∙ 𝐾). 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Resistência térmica de contato 
– Para saber se a resistência térmica de contato é significativa ou não, devemos 
comparar a magnitude da resistência térmica das camadas com os valores 
característicos da resistência térmica de contato. 
• Por exemplo, a resistência térmica da camada de material isolante com 1 cm de espessura 
por unidade de superfície é 
 
• enquanto, para a camada de cobre de 1 cm de espessura, é de 
 
 
• Comparando os valores acima com valores típicos da resistência térmica de contato, 
concluímos que a resistência térmica de contato é significativa e pode até mesmo dominar 
a transferência de calor para bons condutores de calor, como me tais, mas pode ser 
ignorada para condutores de calor pobres, corno isolamentos térmicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Resistência térmicade contato 
– A resistência térmica de contato pode ser minimizada por 
meio da 
• aplicação de um líquido termicamente condutor, 
chamado pasta térmica, como óleo de silício, sobre 
as superfícies antes que sejam pressionadas uma 
contra a outra. 
– Isso é comumente feito quando fixamos componentes 
eletrônicos, como transistores de potência, em 
dissipadores térmicos. 
• substituição do ar na interface por um melhor 
condutor, como gás hélio ou hidrogênio, conforme 
mostrado na Tab. 3-1. 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Resistência térmica 
de contato 
– Outra maneira de minimizar a resistência de 
contato é 
• inserir uma folha metálica macia, como estanho, 
prata, cobre, níquel ou alumínio, entre as duas 
superfícies. Estudos experimentais mostram que a 
resistência térmica de contato pode ser reduzida por 
um fator de até 7, colocando-se uma folha metálica 
na interface. Para máxima efetividade, as chapas 
devem ser muito finas. O efeito de revestimentos 
metálicos na condutância térmica de contato para 
várias superfícies metálicas é mostrado na Fig. 3-16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Resistência térmica de contato 
– Há considerável incerteza nos 
dados de condutância de contato 
relatados na literatura; deve-se 
tomar cuidado ao usá-los. 
– Na Tab. 3-2, são apresentados 
alguns resultados experimentais 
para condutância de contato entre 
superfícies metálicas similares e 
não similares (utilização nos 
cálculos preliminares do projeto). 
– Note que a condutância térmica de 
contato é mais elevada (e a 
resistência de contato é menor) p/ 
metais macios em superfícies lisas 
a uma alta pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝝁𝒎 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Redes generalizadas de resistência térmica 
– A analogia elétrica também pode ser usado para resolver 
problemas de transferência de calor permanente que envolve 
camadas paralelas ou arranjos em série e em paralelo. 
– Considere a parede mostrada na Fig. 3-19, composta de duas 
camadas paralelas. A rede de resistência térmica, que consiste de 
duas resistências em paralelo, pode ser representada como 
mostrado na figura. Observando que a transferência total de calor é 
a soma da transferência de calor através de cada camada, temos 
 
 
 
– Utilizando a analogia elétrica (resistências em paralelo), obtemos 
 
 , onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Redes generalizadas de resistência térmica 
– Consideremos a combinação série-paralela mostrada na 
Fig. 3-20. O valor total da taxa de transferência de calor, 
através desse sistema composto, pode ser expresso como 
𝑄 = (𝑇1 − 𝑇∞) 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 , onde 
 
 
e 
 
 
– Uma vez que as resistências térmicas individuais foram 
avaliadas, a resistência total e a taxa total de transferência 
de calor podem ser facilmente determinadas a partir das 
relações acima. O resultado obtido é algo aproximado, 
urna vez que a superfície da terceira camada 
provavelmente não é isotérmica, e deve ocorrer 
transferência de calor entre as duas primeiras camadas. 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Redes generalizadas de resistência térmica 
– Duas hipóteses comumente utilizadas na resolução de 
problemas multidimensionais complexos de transferência 
de calor, tratando-os como unidimensionais (digamos, na 
direção 𝑥), utilizando a rede de resistência térmica são: 
1. qualquer parede plana normal ao eixo 𝑥 é isotérmica 
(ou seja, considerar que a temperatura varia apenas na 
direção 𝑥), e 
2. qualquer plano paralelo ao eixo 𝑥 é adiabático (ou seja, 
assumir que a transferência de calor ocorre somente na 
direção 𝑥). 
– Essas duas suposições resultam em diferentes redes de 
resistência e, portanto, diferentes (mas normalmente 
próximos) valores para a resistência térmica total e para a 
transferência de calor. O resultado real situa-se entre esses 
dois valores. Em geometrias em que a transferência de 
calor ocorre predominantemente em uma direção, 
qualquer urna dessas abordagens traz resultados 
satisfatórios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
int. ext. 
𝒊 𝒆 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
int. ext. 
𝒊 𝒆 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
int. ext. 
𝒊 𝒆 
𝒆 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
int. ext. 
𝒊 𝒆 
𝒊 𝒆 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, 2012, Cap. 3) 
 
int. ext. 
𝒊 𝒆 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
– Considere a condução de calor através de um tubo de 
água quente (Fig. 3-23). 
• O calor é continuamente perdido para o exterior através da parede 
do tubo. 
• A transferência de calor é normal à direção da superfície do tubo e 
não ocorre transferência significativa no tubo em outras direções. 
• A parede do tubo, cuja espessura é bastante pequena, separa dois 
fluidos em diferentes temperaturas, portanto o gradiente de 
temperatura na direção radial é relativamente grande. 
• Além disso, se as temperaturas dos fluidos dentro e fora do tubo 
permanecem constantes, então a transferência de calor através do 
tubo será permanente. Assim, a transferência de calor através do 
tubo pode ser modelada como permanente e unidimensional. A 
temperatura do tubo, nesse caso, depende de uma única direção 
(direção radial 𝑟) e pode ser expressa como 𝑇 = 𝑇(𝑟). 
• A temperatura é independente do ângulo ou da distância axial. 
Essa situação é aproximada na prática para longos tubos (camadas 
cilíndricas) e para esferas (camadas esféricas). 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
– Na operação permanente, não há nenhuma mudança na 
temperatura do tubo com o tempo, em qualquer ponto. 
Por isso, a taxa de transferência de calor para dentro do 
tubo deve ser igual à taxa de transferência para fora dele. 
Em outras palavras, a transferência de calor através do 
tubo deve ser constante, 𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑑., 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
– Considere o comprimento de uma camada cilíndrica 
(como tubo circular) de raio interno 𝑟1, raio externo 𝑟2, 
comprimento 𝐿 e condutividade térmica média 𝑘 (Fig. 3-
24). As duas superfícies da camada cilíndrica são mantidas 
nas temperaturas constantes 𝑇1 e 𝑇2. Não existe nenhuma 
geração de calor na camada, e a condutividade térmica é 
constante. Para uma condução de calor unidimensional 
através da camada cilíndrica, temos 𝑇(𝑟). 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
– Então, a lei de Fourier da condução de calor para 
transferência de calor através da camada cilíndrica pode 
ser expressa como 
 
 
onde 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿é a área de transferência de calor na posição 𝑟. 
Note que A depende de 𝑟, portanto varia na direção da 
transferência de calor. 
– Separando as variáveis na equação acima e integrando 
de 𝑟 = 𝑟1, onde 𝑇(𝑟1) = 𝑇1, para 𝑟 = 𝑟2, onde 
𝑇(𝑟2) = 𝑇2, o resultado é 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
– Substituindo 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 e executando as integrações, tem-
se 
 
uma vez que 𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑑., 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. Essa equação pode 
ser rearranjada como 
 
 
onde: 
 
 
é a resistência térmica da camada cilíndrica contra a condução 
de calor ou simplesmente a resistência de condução da 
camada cilíndrica. 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
restrito à condução de calor 
permanente unidimensional, 
sem geração de calor. 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
– Podemos repetir a análise para uma camada esférica 
tomando 𝐴 = 4𝜋𝑟2 e, realizando as integrações como 
anteriormente, o resultado pode ser expresso como 
 
 
onde: 
 
 
 
é a resistência térmica da camada esférica contra a condução 
de calor ou, simplesmente, resistência de condução da camada 
esférica. 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
– Agora consideramos a transferência de calor 
unidimensional permanente através de uma camada 
cilíndrica ou esférica exposta à convecção em ambos os 
lados, para fluidos a temperaturas 𝑇∞1, e 𝑇∞2 com 
coeficientes de transferência de calor ℎ1 e ℎ2, 
respectivamente, como mostrado na Fig. 3-25. A rede de 
resistência térmica consiste, neste caso, de uma 
resistência de condução e duas resistências de convecção 
em série, como para parede plana. 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
– A taxa de transferência de calor sob condições 
permanentes pode ser expressa como 
 
 
onde 
 
 
 para camada cilíndrica, e 
 
 
 
 
 para camada esférica. 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
– Note que 𝐴 na relação da resistência de convecção 
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 = 1 ℎ𝐴 é a área da superfície onde ocorre 
convecção. 
• É igual a 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 para superfície cilíndrica, e 
• 𝐴 = 4𝜋𝑟2 para superfície esférica de raio 𝑟. 
 
– Observe também que as resistências térmicas estão em 
série, portanto a resistência térmica total é determinada 
pela simples adição das resistências individuais, como as 
resistências elétricas ligadas em série. 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
Cilindros e esferas multicamadas 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
– A transferência de calor permanente através de 
múltiplas cascas cilíndricas ou esféricas pode ser 
tratada da mesma forma como ocorre em 
múltiplas camadas em paredes planas, 
discutida anteriormente, 
simplesmente somando-se a 
resistência adicional em série 
para cada camada adicional. 
• Por exemplo, a taxa de 
transferência de calor 
permanente através de 
três camadas compostas 
do cilindro de compri- 
mento 𝐿 mostrado na Fig. 3-26, com 
convecção em ambos os lados... 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
Cilindros e esferas multicamadas 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
– ... pode ser expressa como 𝑄 = (𝑇∞1 − 𝑇∞2) 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 , onde 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 é a resistência térmica total, 
expressa como 
 
 
 
 
onde 𝐴1 = 2𝜋𝑟1𝐿 e 𝐴4 = 2𝜋𝑟4𝐿. 
 
– OBS: A Eq. de 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 acima também pode ser usada para três camadas esféricas por meio da 
substituição das resistências térmicas das camadas cilíndricas pelas esféricas correspondentes. 
Note, mais uma vez, a partir da rede de resistências térmicas, que elas estão em série, 
portanto a resistência térmica total é simplesmente a soma aritmética das diferentes 
resistências térmicas no caminho do fluxo de calor. 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
Cilindros e esferas multicamadas 
– Uma vez que o valor de 𝑄 é conhecido, podemos 
determinar qualquer temperatura intermediária 𝑇𝑗 por 
meio da aplicação da relação 𝑄 = (𝑇𝑖 − 𝑇𝑗) 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑖→𝑗 
através de qualquer camada, sendo 𝑇𝑖 a temperatura 
conhecida na posição 𝑖 e 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑖→𝑗 a resistência térmica 
total entre as posições 𝑖 e 𝑗 (Fig. 3-27). Por exemplo, uma 
 
 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
• Condução de calor em cilindros e esferas 
Cilindros e esferas multicamadas 
– Por exemplo, uma vez que 𝑄 é calculada, a temperatura 𝑇2 da interface entre a 
primeira e a segunda camada cilíndrica pode ser determinada a partir de 
 
 
– Podemos também calcular 𝑇2 a partir de 
 
 
– Embora ambas as relações forneçam o mesmo resultado, preferimos a primeira delas, 
por envolver o menor número de termos e, portanto, menos trabalho. O conceito de 
resistência térmica também pode ser usado para outras geometrias, desde que sejam 
utilizadas resistências de condução adequadas e superfícies corretas nas 
resistências de convecção. 
 
 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝑻𝟐 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝑻𝟐 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝑻𝟐 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝑻𝟐 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
𝑻𝟐 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Raio crítico de isolamento 
– Sabemos que acrescentar mais isolamento em uma parede 
ou um sótão sempre diminui a transferência de calor. 
Quanto mais espesso o isolamento, menor será a taxa de 
transferência de calor. Isso é esperado, uma vez que a área 𝐴 
da transferência de calor é constante, e que adicionar 
isolamento sempre aumenta a resistência térmica da parede 
sem aumentar a resistência de convecção. 
– A adição do isolamento em um tubo cilíndricoou em casca 
esférica, no entanto, é uma questão diferente. O isolamento 
adicional aumenta a resistência de condução da camada de 
isolamento, mas diminui a resistência de convecção da 
superfície em virtude do aumento da superfície externa para 
convecção. A transferência de calor a partir do tubo pode 
aumentar ou diminuir, dependendo do efeito dominante. 
– Considere um tubo cilíndrico de raio externo 𝑟1 cuja 
temperatura da superfície externa 𝑇1 é mantida constante 
(Fig. 3-30). 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Raio crítico de isolamento 
– Agora, o tubo é isolado com material cuja 
condutividade térmica é 𝑘 e o raio externo é 𝑟2. 
O calor é perdido a partir do tubo para o meio 
ambiente na temperatura 𝑇∞, com coeficiente 
de transferência de calor por convecção ℎ. A 
taxa de transferência de calor a partir do tubo 
isolado para o ar ao redor pode ser expressa 
como (Fig. 3-31). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Raio crítico de isolamento 
– A variação de 𝑄 com o raio externo do isolamento 𝑟2 é 
apresentada na Fig. 3-31. O valor de 𝑟2 em que 𝑄 atinge 
o máximo é determinado a partir da exigência de que 
𝑑𝑄 𝑑𝑟2 = 0 (inclinação zero). Fazendo a diferenciação 
e resolvendo para 𝑟2, obtemos o raio crítico de 
isolamento do corpo cilíndrico como sendo 
 
– Note que o raio crítico de isolamento depende da 
condutividade térmica do isolamento 𝑘 e do coeficiente 
externo de transferência de calor por convecção ℎ. A 
taxa de transferência de calor a partir do cilindro 
aumenta com a adição de isolamento para 𝑟2 < 𝑟𝑟𝑐, 
quando atinge o máximo 𝑟2 = 𝑟𝑟𝑐 e começa a diminuir 
para 𝑟2 > 𝑟𝑟𝑐. Assim, isolar um tubo pode realmente 
aumentar a taxa de transferência de calor a partir do 
tubo em vez de diminuí-la, quando 𝑟2 < 𝑟𝑟𝑐. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Raio crítico de isolamento 
– O valor do raio crítico 𝑟𝑟𝑐 é grande quando 𝑘 é 
grande e ℎ é pequeno. Observando que o menor 
valor de ℎ encontrado na prática é cerca de 
5 𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾 para o caso de convecção natural de 
gases e que a condutividade térmica de materiais 
isolantes comuns é cerca de 0,05 𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾, o 
maior valor do raio crítico que esperamos 
encontrar é 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Raio crítico de isolamento 
– Esse valor seria ainda menor se os efeitos da 
radiação fossem considerados. O raio crítico seria 
muito menor com convecção forçada, muitas vezes 
inferior a 1 𝑚𝑚, por causa dos valores de ℎ muito 
maiores associados à convecção forçada. Portanto, 
podemos isolar tubos de vapor ou de água quente 
livremente sem nos preocuparmos com a 
possibilidade de aumentar a transferência de calor 
ao isolar os tubos. 
– O raio de fios elétricos pode ser menor do que o raio 
crítico. Por isso, o isolamento elétrico com plástico 
pode realmente melhorar a transferência de calor a 
partir de fios elétricos para manter seu 
funcionamento permanente em níveis mais baixos 
de temperaturas e, portanto, mais seguros. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Raio crítico de isolamento 
– As discussões anteriores podem ser repetidas para uma esfera, e pode-se 
demonstrar, de forma semelhante, que o raio crítico de isolamento de uma casca 
esférica é 
 
 
onde 𝑘 é a condutividade térmica do isolamento e ℎ é o coeficiente de 
transferência de calor por convecção da superfície externa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
– A taxa de transferência de calor a partir de urna superfície a uma temperatura 𝑇𝑠, para o meio 
envolvente a 𝑇∞, é dada pela lei de Newton do resfriamento como 
 
 
onde 𝐴𝑠, é a área de transferência de calor e ℎ é o coeficiente de transferência de calor por 
convecção. 
– Quando as temperaturas 𝑇𝑠, e 𝑇∞ são fixadas por considerações de projeto, como ocorre 
frequentemente, existem duas formas de aumentar a taxa de transferência de calor: 
• aumentar o coeficiente de transferência de calor por convecção ℎ, que pode exigir a 
instalação de uma bomba ou um ventilador, ou a substituição do equipamento existente por 
um de maior dimensão (embora esta abordagem pode não ser prática); além disso, pode não 
ser suficiente; 
ou 
• aumentar a área da superfície 𝐴𝑠, anexando superfícies estendidas chamadas aletas, feitas de 
materiais altamente condutores, como o alumínio. 
Superfícies aletadas são fabricadas por extrusão, solda ou uma fixação de folha de metal 
fina sobre a superfície. As aletas aumentam a transferência de calor a partir da superfície, 
expondo uma superfície maior à convecção e à radiação. 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
– As superfícies aletadas são utilizadas na prática para 
aumentar a transferência de calor a partir da superfície. 
• O radiador do carro é um exemplo de superfície 
aletada. Várias folhas finas de metal colocadas nos 
tubos de água quente aumentam a superfície de 
convecção várias vezes e, assim, aumentam a taxa 
de transferência de calor por convecção dos tubos 
para o ar. 
• Há uma grande variedade de modelos inovadores 
de aletas disponível no mercado (cf. a Fig. 3-35). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
– Na análise das aletas, admitimos 
• uma operação permanente e sem geração de calor; 
• que a condutividade térmica do material 𝑘 se mantém constante; 
• que o coeficiente de transferência de calor por convecção ℎ seja constante e 
uniforme ao longo de toda a superfície da aleta. 
– Reconhecemos que ℎ em geral varia ao longo da aleta, assim como sua 
circunferência, e seu valor em um ponto é forte função do movimento de fluido 
nesse ponto. O valor de h normalmente é menor na base que na ponta da aleta, 
porque o fluido é cercado por superfícies sólidas perto da base, que podem 
perturbar seriamente seu movimento a ponto de "sufocá-lo", enquanto que o 
fluido próximo à ponta tem pouco contato com a superfície sólida e, portanto, 
encontra pouca resistência ao movimento. Dessa forma, acrescentar muitas aletas 
sobre uma superfície pode realmente diminuir a transferência de calor global 
quando a diminuição de ℎ supera qualquer ganho resultante do aumento da 
área da superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
– Considere um elemento de volume da aleta na 
localização 𝑥 tendo comprimento ∆𝑥, área transversal 
𝐴𝑐, e perímetro 𝑝, como mostrado na Fig. 3-36. Sob 
condições permanentes, obalanço de energia nesse 
elemento de volume pode ser expresso como 
 
 
ou 
 
 
 onde 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
– Substituindo e dividindo por ∆𝑥, obtemos 
 
 
– Tomando o limite quando ∆𝑥 → 0, tem-se 
 
 
– A partir da Lei de Fourier da condução de calor, temos 
 
 
onde 𝐴𝑐 é a área da seção transversal da aleta na posição 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
– E então obtemos a equação diferencial de transferência 
de calor em aletas: 
 
 
Em geral, a área transversal 𝐴𝑐, e o perímetro 𝑝 de uma 
aleta variam com 𝑥, o que torna esta equação 
diferencial difícil de resolver. 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
– No caso específico de seção transversal constante e 
condutividade térmica constante, a Eq. diferencial 
anterior reduz-se a 
 
 
que é uma equação diferencial de segunda ordem linear e 
homogênea, com coeficientes constantes, onde 
 
 
e 𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞ é o excesso de temperatura. Na base da aleta, 
temos 𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞. 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
 
 
– A teoria fundamental das equações diferenciais afirma que a 
equação acima (segunda ordem) tem duas soluções 
linearmente independentes, e sua solução geral é a 
combinação linear dessas duas soluções. Um exame 
cuidadoso da equação diferencial revela que a subtração de 
um múltiplo constante da solução da função 𝜃 da sua 
derivada segunda resulta em zero. Assim, concluímos que a 
função 𝜃 e suas derivadas segundas devem ser múltiplos 
constantes entre si. As únicas funções cujas derivadas são 
múltiplos constantes das próprias funções são as funções 
exponenciais (ou combinação linear de funções exponenciais, 
como as funções seno e cosseno hiperbólico). Por isso, as 
soluções da equação diferencial acima são funções 
exponenciais 𝑒−𝑚𝑥 ou 𝑒𝑚𝑥, ou múltiplos constantes delas. 
Isso pode ser verificado pela substituição direta. 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
– Por exemplo, a derivada segunda de 𝑒−𝑚𝑥 é 𝑚2𝑒−𝑚𝑥 e a 
sua substituição na Eq. diferencial tratada (slide anterior) 
retorna zero. Portanto, a sua solução geral é 
 
𝜃 𝑥 = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑚𝑥 
onde 𝐶1, e 𝐶2 são constantes arbitrárias cujos valores são 
determinados a partir das condições de contorno na base e na 
ponta da aleta. Note que precisamos de apenas duas 
condições para determinar exclusivamente 𝐶1, e 𝐶2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
– De antemão, a temperatura da placa na qual as 
aletas são fixadas é normalmente conhecida. Então, 
na base da aleta, temos condição de contorno de 
temperatura especificada, expressa por 
 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎: 
𝜃 0 = 𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ 
Na ponta da aleta temos várias possibilidades, incluindo 
temperatura especificada, perda de calor desprezível 
(idealizada como ponta adiabática), convecção e 
convecção e radiação combinadas (Fig. 3-37). 
A seguir, consideramos cada caso separadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
1. Aleta infinitamente comprida (𝑇𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑇∞) 
– Para uma aleta suficientemente comprida de secção transversal uniforme 
(𝐴𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒), sua temperatura na ponta aproxima-se da temperatura ambiente 
𝑇∞, e, portanto, 𝜃 aproxima-se de zero. Isto é, 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎: 𝜃 𝐿 = 𝑇 𝐿 − 𝑇∞ = 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐿 → ∞ 
– Essa condição é satisfeita pela função 𝑒−𝑚𝑥, mas não por outra solução da função 
prospectiva 𝑒𝑚𝑥, uma vez que tende ao infinito quando 𝑥 aumenta. Por isso, a 
solução geral, neste caso, será constituída por um múltiplo constante de 𝑒−𝑚𝑥. O 
valor do múltiplo constante é determinado a partir da exigência da base da aleta 
onde 𝑥 = 0, o valor de 𝜃 é 𝜃𝑏. Notando que 𝑒
−𝑚𝑥 = 𝑒0 = 1, o valor correto da 
constante é 𝜃𝑏, e a solução que estamos procurando é 𝜃 𝑥 = 𝜃𝑏𝑒
−𝑚𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
1. Aleta infinitamente comprida (𝑇𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑇∞) 
– Essa função satisfaz a equação diferencial, bem como os 
requisitos para que a se solução reduza para 𝜃𝑏 na base da 
aleta e se aproxime de zero na ponta para grandes valores 
de 𝑥. Observando que 𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞ e 𝑚 = ℎ𝑝 𝑘𝐴𝑐 , a 
variação de temperatura ao longo da aleta, neste caso, 
pode ser expressa como 
𝐴𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑑𝑎: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
1. Aleta infinitamente comprida (𝑇𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑇∞) 
– Note que a temperatura ao longo da aleta, neste caso, 
diminui exponencialmente a partir de 𝑇𝑏 até 𝑇∞, como 
mostrado na Fig. 3-38. A taxa de transferência de calor 
permanente de toda aleta pode ser determinada pela lei de 
Fourier da condução de calor 
𝐴𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑑𝑎: 
 
onde 𝑝 é perímetro, 𝐴𝑐 é área transversal da aleta e 𝑥 é distância 
da base. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
1. Aleta infinitamente comprida (𝑇𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑇∞) 
– Alternativamente, a taxa de transferência de calor a partir 
da aleta também poderia ser determinada considerando-se 
a transferência de calor a partir do elemento de volume 
diferencial da aleta e integrando-a ao longo de toda a 
superfície: 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
– As duas abordagens descritas são equivalentes e fornecem o mesmo resultado, uma vez 
que, sob condições permanentes, a transferência de calor a partir das superfícies expostas 
da aleta é igual à transferência de calor para a aleta na sua base (Fig. 3-39). 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
2. Perda de calor desprezível a partir da ponta da aleta (ponta da aleta adiabática, 
𝑄 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 0) 
– Supostamente, as aletas não são tão longas que a temperatura na ponta se aproxime 
da temperatura ambiente. A situação mais realista é a transferência de calor 
desprezível a partir da ponta da aleta. A transferênciade calor a partir da aleta é 
proporcional à área da sua superfície, e a superfície da ponta da aleta normalmente 
é uma fração desprezível da sua área total. Então, a ponta da aleta pode ser 
considerada adiabática, e a condição na ponta da aleta pode ser expressa como 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎: 
 
– A condição na base da aleta permanece sendo 𝜃 0 = 𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
2. Perda de calor desprezível a partir da ponta da aleta (ponta da aleta adiabática, 
𝑄 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 0) 
– A aplicação dessas duas últimas condições de contorno na solução geral 
(𝜃 𝑥 = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑚𝑥) requer que 𝜃 0 = 𝜃𝑏 = 𝐶1 + 𝐶2 e 
𝑚𝐶1𝑒
𝑚𝐿 −𝑚𝐶2𝑒
−𝑚𝐿 = 0, respectivamente. Resolvendo essas duas equações 
simultaneamente para 𝐶1 e 𝐶2, substituindo na solução geral e usando a definição 
da função do cosseno hiperbólico cosh 𝑥 = (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)/2, temos a relação 
desejada para a distribuição de temperatura: 
 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑎: 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
2. Perda de calor desprezível a partir da ponta da aleta (ponta da aleta adiabática, 
𝑄 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 0) 
– A taxa de transferência de calor a partir da aleta pode ser determinada a partir da lei 
de Fourier da condução de calor: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑎: 
 
onde a equação para função tangente hiperbólica é tanh 𝑥 = sinh 𝑥 cosh 𝑥 = (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥) (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) 
– Note que as relações para a transferência de calor para aletas muito longas e para 
aquelas com perda de calor desprezível na ponta diferem por fator tanh𝑚𝐿, que se 
aproxima de 1 quando 𝐿 se torna muito grande. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
3. Temperatura especificada (𝑇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 = 𝑇𝐿) 
– Neste caso, a temperatura na extremidade da aleta (ponta da aleta) é fixada na 
temperatura especificada 𝑇𝐿. Poderia ser considerado como generalização de aleta 
infinitamente longa, onde a temperatura na ponta da aleta foi fixada em 𝑇∞. A 
condição na ponta da aleta para este caso é 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎: 𝜃 𝐿 = 𝜃𝐿 = 𝑇𝐿 − 𝑇∞ 
– A condição de contorno na base da aleta continua sendo 𝜃 0 = 𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞. 
Aplicando-se essas duas condições de contorno na solução geral 
(𝜃 𝑥 = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑚𝑥) obtém-se, depois de algumas longas álgebras e usando a 
definição da função seno hiperbólica sinh 𝑥 = (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)/2, a distribuição da 
temperatura desejada... 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
3. Temperatura especificada (𝑇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 = 𝑇𝐿) 
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎: 
 
 
– Usando a lei de Fourier da condução de calor, a taxa de transferência de calor a 
partir da aleta é 
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎: 
 
 
 
 
– OBS: Note que as duas Eqs. acima reduzem-se às duas Eqs. vistas em 
 “1. Aletas infinitamente compridas” (𝐿 → ∞ ). 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
4. Convecção a partir da ponta da aleta 
– As pontas das aletas, na prática, estão expostas aos arredores, portanto a condição 
de contorno adequada para a ponta da aleta é a convecção, que também inclui os 
efeitos da radiação. Considere o caso de convecção apenas na ponta. A condição na 
ponta da aleta pode ser obtida a partir do seu balanço de energia (𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑄 𝑐𝑜𝑛𝑣), 
que é 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎: 
 
– A condição de contorno na base da aleta continua sendo 𝜃 0 = 𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
4. Convecção a partir da ponta da aleta 
– Aplicando-se essas duas condições de contorno na solução geral (𝜃 𝑥 = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑚𝑥), 
pode ser mostrado, após longas manipulações, que a distribuição de temperatura é 
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑡𝑒𝑖𝑎: 
 
– A taxa de transferência de calor da aleta pode ser encontrada substituindo-se o gradiente de 
temperatura na base da aleta, obtida a partir da Eq. acima, pela lei de Fourier da condução de 
calor. O resultado é 
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐çã𝑜 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎: 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Equação da aleta 
4. Convecção a partir da ponta da aleta 
– A solução para a equação geral da aleta para o caso de 
convecção a partir da ponta da aleta é bastante complexa. 
Uma forma prática de contabilizar a perda de calor a partir 
da ponta da aleta é substituir o comprimento da aleta 𝐿 na 
relação para o caso da ponta isolada pelo comprimento 
corrigido da aleta, definido como (Fig. 3-40) 
 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜: 
 
onde 𝐴𝑐 é a área transversal e 𝑝 é o perímetro da aleta na 
ponta. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
4. Convecção a partir da ponta da aleta 
– Multiplicando-se a relação dada pelo perímetro, temos 
𝐴𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 = 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 (𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙) + 𝐴𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎, que indica que a área da aleta obtida, 
utilizando-se o comprimento corrigido, é equivalente à soma da área lateral da aleta 
com a área de sua ponta. 
– A aproximação do comprimento corrigido traz resultados muito bons quando a 
variação de temperatura próxima da ponta da aleta é pequena (é o caso quando 
𝑚𝐿 ≥ 1) e o coeficiente de transferência de calor na ponta da aleta é quase o 
mesmo que em sua superfície lateral. Então, as aletas submetidas à convecção em 
suas pontas podem ser tratadas como aletas com pontas isoladas, substituindo o 
comprimento real da aleta pelo comprimento corrigido nas Eqs. da ponta de aleta 
adiabática (cfr. “2. Perda de calor desprezível a partir da ponta da aleta”). 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Equação da aleta 
4. Convecção a partir da ponta da aleta 
– Usando-se as relações adequadas para 𝐴𝑐 e 𝑝, os comprimentos corrigidos das 
aletas retangulares e cilíndricas são facilmente determinadas 
 
 
onde 𝑡 é a espessura das aletas retangulares e 𝐷 é o diâmetro das aletas cilíndricas. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Eficiência da aleta 
– Considere a superfície de uma parede plana na 
temperatura 𝑇𝑏exposta ao meio na temperatura 𝑇∞. O 
calor é perdido a partir da superfície para o meio 
circundante por convecção com coeficiente de 
transferência de calor ℎ. Desprezando-se a radiação ou 
contabilizando-se sua contribuição no coeficiente de 
convecção ℎ, a transferência de calor a partir da superfície 
𝐴𝑠 é expressa por 𝑄 = ℎ𝐴𝑠(𝑇𝑠—𝑇∞). 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Eficiência da aleta 
– Agora vamos considerar uma aleta de área transversal constante 
𝐴𝑐 = 𝐴𝑏 e comprimento 𝐿 fixada à superfície com perfeito 
contato (Fig. 3-41). Desta vez, o calor é transferido a partir da 
superfície para a aleta por condução e a partir da aleta para o 
meio circundante por convecção, com o mesmo coeficiente de 
transferência de calor ℎ. A temperatura da aleta é 𝑇𝑏 em sua 
base e diminui progressivamente em direção à ponta. A 
convecção a partir da superfície da aleta causa, em qualquer 
seção transversal, uma diminuição da temperatura a partir da 
linha de centro em direção à superfície externa. No entanto, as 
áreas transversais das aletas normalmente são muito pequenas, 
e, assim, a temperatura em qualquer seção transversal pode ser 
considerada uniforme. Além disso, a ponta da aleta, por 
conveniência e simplicidade, pode ser considerada como 
adiabática, usando-se o comprimento corrigido para a aleta em 
vez do comprimento real. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Eficiência da aleta 
– No caso-limite de resistência térmica zero ou 
condutividade térmica infinita (𝑘 → ∞), a temperatura da 
aleta é uniforme e igual ao seu valor na base 𝑇𝑏. A 
transferência de calor a partir da aleta é máxima, neste 
caso, pode ser expressa como 
 
 
– Na realidade, porém, a temperatura diminui ao longo da 
aleta, portanto a transferência de calor é menor por 
causa da diminuição da diferença de temperatura 
𝑇 𝑥 − 𝑇∞ em direção à ponta da aleta, como mostrado 
na Fig. 3-42. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies 
aletadas 
Eficiência da aleta 
– Para considerar o efeito da diminuição da temperatura na 
transferência de calor, definimos a eficiência da aleta 
como 
 
 
ou 
 
 
onde 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 é a área da superfície total da aleta. Essa relação 
nos permite determinar a transferência de calor a partir da 
aleta quando a sua eficiência é conhecida. 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficiência da aleta 
– Para os casos de secção transversal constante de aletas muito compridas e aletas 
com pontas adiabáticas, a eficiência da aleta pode ser expressa como 
 
 
e 
 
 
 
onde 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑝𝐿 para aletas com seção transversal constante. A última Eq. acima também 
pode ser utilizada para aletas submetidas à convecção, desde que o comprimento da aleta 𝐿 
seja substituído pelo comprimento corrigido 𝐿𝑐. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficiência da aleta 
– A Tab. 3-3 fornece as relações de eficiência de aleta com seção transversal uniforme 
e não uniforme. Para aletas com perfil não uniforme, devemos usar a equação 
diferencial geral que rege a transferência de calor em aletas de forma arbitrária (cf. 
slide 86). 
 
 
 
– Para esses casos, a solução não está mais na forma de simples funções exponenciais 
ou hiperbólicas. 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
(continuação) 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir 
de superfícies aletadas 
Eficiência da aleta 
– As funções matemáticas 𝐼 e 𝐾 que 
aparecem em algumas dessas 
relações são as 
𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠, 
e seus valores são apresentados na 
Tab. 3-4. 
– Na Fig. 3-43, são traçadas 
eficiências para aletas sobre 
superfície plana, e, na Fig. 3-44, 
para aletas circulares de espessura 
constante. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
(continuação) 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficiência da aleta 
– Para a maioria das aletas de espessura constante encontradas na prática, a espessura 𝑡 é 
muito pequena em relação ao comprimento 𝐿 da aleta e, assim, sua área de ponta é 
insignificante. 
– Note que aletas com perfis triangulares e parabólicos contêm menos material e são mais 
eficientes do que aletas com perfis retangulares, sendo mais adequadas para aplicações que 
exijam peso mínimo, como as aplicações espaciais. 
– Uma consideração importante no projeto de superfícies aletadas é a seleção correta do 
comprimento da aleta 𝐿. Normalmente, quanto mais comprida for a aleta, maior será a área 
de transferência de calor (e maior será a taxa de transferência de calor a partir dela). Mas, 
quanto maior for a aleta, maiores serão a massa, o preço e o atrito do fluido. Portanto, o 
aumento de 𝐿 além de certo valor não pode ser justificado, a menos que os benefícios 
adicionais superem o custo adicional. Além disso, a eficiência da aleta diminui com o aumento 
do comprimento, por causa da diminuição da temperatura dado seu comprimento. Aletas 
compridas que causam queda da eficiência em torno de 60% normalmente não podem ser 
economicamente justificadas e devem ser evitadas. A eficiência da maioria das aletas 
utilizadas na prática está acima de 90%. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficácia da aleta 
– As aletas são usadas para aumentar a transferência de calor. Sua 
utilização em uma superfície somente será recomendada se o 
aumento da transferência de calor justificar o aumento do custo e 
da complexidade associado com as aletas. Na verdade, não existe 
nenhuma garantia de que a inclusão das aletas na superfície 
aumentará a transferência de calor. O desempenho das aletas é 
avaliado com base no rendimento da transferência de calor em 
relação ao caso sem aleta. O desempenho da aleta é expresso por 
meio de sua efetividade 𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎, definida como (Fig. 3-45). 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficácia da aleta 
– Aqui, 𝐴𝑏 é a área transversal da aleta na base e 𝑄 𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 representa a taxa de 
transferência de calor dessa área se não houver aleta fixada na superfície. A 
efetividade da aleta 𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 1 indica que a adição de aletas na superfície não afeta 
a transferência de calor. Ou seja, o calor conduzido para a aleta através da área da 
base 𝐴𝑏 é igual ao calor transferido a partir da mesma área 𝐴𝑏 para o ambiente. A 
efetividade da aleta 𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 < 1 indica que a aleta, na verdade, funciona como um 
isolamento, diminuindo a transferência de calor a partir da superfície. Essa situação 
pode ocorrer quando são utilizadas aletas feitas de materiais de baixa condutividade 
térmica. Uma eficácia de aleta 𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 > 1 indica que as aletas estão aumentando a 
transferênciade calor a partir da superfície como deveriam. No entanto, a utilização 
das aletas não pode ser justificada a menos que amua seja suficientemente maior 
que 1. As superfícies afetadas são concebidas para maximizar a eficácia para 
determinado custo ou minimizar os custos para a eficácia desejada. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficácia da aleta 
– Note que tanto a eficiência da aleta, quanto sua eficácia estão relacionadas com o 
desempenho. Embora estejam em quantidades diferentes, estão relacionadas entre si por 
 
 
 
– Portanto, a eficácia da aleta pode ser facilmente determinada quando sua eficiência é 
conhecida, ou vice-versa. 
– A taxa de transferência de calor a partir de urna aleta suficientemente longa de seção 
transversal uniforme sob condições permanentes foi dada no slide 91 (cfr. “1. Aletas 
infinitamente compridas”). Substituindo essa relação na Eq. acima, a eficácia da aleta longa 
é 
 , desde que 𝐴𝑐 = 𝐴𝑏. 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficácia da aleta 
– Podemos tirar várias conclusões importantes a partir da relação da eficácia da aleta 
apresentada acima para apreciação no projeto e na seleção de aletas: 
• A condutividade térmica 𝑘 do material da aleta deve ser a mais alta possível. Assim, não 
é por acaso que aletas são feitas de metais como cobre, alumínio e ferro. Talvez as 
aletas mais utilizadas sejam feitas de alumínio, em virtude de seu baixo custo e peso e 
de sua resistência à corrosão. 
• A razão do perímetro pela área transversal da aleta 𝑝 𝐴𝑐 deve ser a mais alta possível. 
Esse critério é satisfeito cm aletas de chapas finas e delgadas na forma de pinos. 
• O uso de aletas é mais eficaz em aplicações que envolvem baixo coeficiente de 
transferência de calor por convecção. Assim, o uso de aletas é mais facilmente 
justificado quando o meio é gás, em vez de líquido, e a transferência do calor é por 
convecção natural em vez de convecção forçada. Portanto, não é por acaso que nos 
trocadores de calor líquido-gás, como o radiador de carro, as aletas são colocadas ao 
lado do gás. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficácia da aleta 
– Ao determinar a taxa de transferência de calor a partir de uma superfície aletada, 
temos de considerar a parte não aletada da superfície, bem como as aletas. Por 
isso, a taxa de transferência de calor para superfície contendo 𝑛 aletas pode ser 
expressa por 
 
 
 
 
– Também podemos definir a eficácia global para uma superfície aletada como a 
razão entre a transferência total de calor a partir da superfície aletada e a 
transferência de calor a partir da mesma superfície, se não houvesse aletas, 
conforme a seguir... 
 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Eficácia da aleta 
– ... 
 
 
 
 
onde 𝐴𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 é a área da superfície quando não há 
aletas, 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 é a superfície total de todas as aletas na 
superfície, e 𝐴𝑛ã𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑑𝑎 é a área da parte não aletada da 
superfície (Fig. 3-46). 
– Note que a eficácia global das aletas depende de sua 
densidade (número de aletas por unidade de 
comprimento), bem como de sua eficácia individual. A 
eficácia global é uma melhor medida do desempenho da 
superfície aletada do que a eficácia individual das aletas. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Comprimento adequado de aleta 
– Um passo importante no projeto da aleta é a determinação de 
seu comprimento adequado, após especificados seu material e 
a seção transversal. Você pode pensar que, quanto mais 
comprida for a aleta, maior será a área da superfície e, 
portanto, maior será a taxa de transferência de calor. Então, 
para o máximo de transferência de calor, a aleta deveria ser 
infinitamente comprida. No entanto, a temperatura diminui 
exponencialmente ao longo da aleta e atinge a temperatura 
ambiente para algum comprimento. A parte da aleta, além 
desse ponto, não contribui para a transferência de calor, por 
estar à temperatura ambiente, como mostrado na Fig. 3-47. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
alto 
baixo 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Comprimento adequado de aleta 
– Então, projetar uma aleta “extracomprida” está fora de 
questão, pois resulta em desperdício de material, excesso de 
peso, aumento de tamanho e, portanto, aumento dos custos 
sem nenhum benefício em troca (de fato, uma aleta tão 
comprida afetaria o desempenho ao suprimir o movimento 
do fluido, reduzindo o coeficiente de transferência de calor 
por convecção). 
• Aletas tão compridas a ponto de a temperatura 
aproximar-se da temperatura ambiente não podem ser 
recomendadas, pois um pequeno aumento na 
transferência de calor na região da ponta não justifica o 
aumento desproporcional em relação ao peso e ao custo. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
alto 
baixo 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Comprimento adequado de aleta 
– Para obter o senso de comprimento adequado da aleta, 
comparamos a transferência de calor a partir de uma aleta 
de comprimento finito com a transferência de calor a partir 
de uma infinitamente comprida, nas mesmas condições. A 
proporção dessas duas transferências de calor é 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟: 
 
 
 
– Usando uma calculadora de mão, os valores de tanh𝑚𝐿 são 
avaliados para alguns valores de 𝑚𝐿, e os resultados são 
apresentados na Tab. 3-5. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Comprimento adequado de aleta 
– Observamos pela Tab. que a transferência de calor a partir da 
aleta aumenta com 𝑚𝐿 linearmente no início, mas a curva 
atinge um patamar e chega ao valor (para aleta infinitamente 
comprida) de cerca de 𝑚𝐿 = 5. Por isso, uma aleta cujo 
comprimento é L = (1 5 )𝑚 pode ser considerada aleta 
infinitamente comprida. Também observamos que a redução 
do comprimento da aleta pela metade, nesse caso (de 𝑚𝐿 = 5 
a 𝑚𝐿 = 2,5), provoca queda de apenas 1% na transferência 
de calor. Certamente não hesitamos em sacrificar 1% no 
desempenho da transferência de calor em troca de 50% de 
redução no tamanho e, possivelmente, no custo da aleta. Na 
prática, um comprimento da aleta que corresponda a cerca de 
𝑚𝐿 = 1 transferirá 76,2% do calor que poderia ser transferido 
pela aleta infinitamente comprida, oferecendo uma boa 
relação entre o desempenho na transferência de calor e o 
tamanho da aleta. 
CONDUÇÃO DE CALOR PERMANENTE (Çengel e Ghajar, Transfer. de Calor e Massa, 2012, Cap. 3) 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
OVANDIR BAZAN 
• Transferência de calor a partir de superfícies aletadas 
Comprimento adequado de aleta 
– Uma aproximação comum utilizada na análise das aletas consiste em considerar 
que sua temperatura varia em uma única direção (ao longo do comprimento da 
aleta) e que a variação da temperatura ao longo das outras direções é desprezível. 
Talvez você esteja se perguntando