UC04 Matemática Básica e Financeira (2ª edição)

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Matemática Básica e Financeira
Matemática Básica e 
Financeira
2ª Edição
Curso Técnico em Agronegócio
FORMAÇÃO
TÉCNICA
SENAR - Brasília, 2016
S474c SENAR – Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. 
 
	 											Curso	técnico	em	agronegócio:	matemática	básica	e	financeira	/	Serviço				
 Nacional de Aprendizagem Rural ; Programa Nacional de Acesso ao Ensino 
 Técnico e Emprego, Rede e-Tec Brasil, SENAR (Organizadores). – 2. ed. . _ 
 Brasília : SENAR, 2016.
 130 p. : il. (SENAR Formação Técnica)
 
 ISBN: 978-85-7664-109-4
 
											Inclui	bibliografia.
 1. Finanças. 2. Agroindústria - ensino. I. Programa Nacional de Acesso ao 
 Ensino Técnico e Emprego. II. Rede e-Tec Brasil. III. Título. IV. Série. 
CDU: 336
Sumário
Introdução à Unidade Curricular  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
Tema 1: Matemática Básica  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 09
Tópico 1: Conjuntos numéricos  �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 11
Tópico 2: Operações fundamentais �����������������������������������������������������������������������������������������������������  15
Tópico 3: Frações �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 32
Tópico 4: Equações de primeiro grau  ������������������������������������������������������������������������������������������������  37
Tópico 5: Proporcionalidade ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 39
Tópico 6: Potências  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 46
Tópico 7: Raízes  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 52
Tópico 8: Medidas agrárias  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 56
Encerramento do tema  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 58
Tema 2: Matemática Financeira  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 59
Tópico 1: Juros simples  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 62
Tópico 2: Desconto simples  �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 70
Tópico 3: Juros compostos  ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  77
Tópico 4: Desconto composto  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 82
Tópico 5: Séries de pagamentos   ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 87
Tópico 6: Sistemas de amortização  ���������������������������������������������������������������������������������������������������� 92
Tópico 7: Análises de investimentos  �������������������������������������������������������������������������������������������������  98
Encerramento do tema   ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  105
Tema 3: Estatística e probabilidade ��������������������������������������������� 106
Tópico 1: Noções de estatística ����������������������������������������������107
Tópico 2: Noções de probabilidade ������������������������������������������� 118
Encerramento do tema   ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 125
Encerramento da unidade curricular ���������������������������������������������126
Referências �������������������������������������������������������������������� 127
Gabarito ����������������������������������������������������������������������128
Introdução à Unidade 
Curricular
Introdução à Unidade Curricular
Conhecimentos básicos de matemática são essenciais para um técnico em agronegócio, 
principalmente nos momentos em que é preciso tomar decisões em um negócio rural. 
Nesta unidade curricular de Matemática Básica e Financeira, você estudará diferentes 
assuntos, entre eles os apresentados no quadro a seguir.
Matemática 
básica
Hoje os computadores, os softwares específicos e as calculadoras nos 
ajudam muito nos cálculos, porém é muito importante saber interpretar 
e julgar se os dados correspondem à realidade. Por isso, o objetivo de 
estudar a matemática básica é ter uma boa base de somas, produtos, 
divisões, frações e operações com potências e raízes.
Razão e proporção
Este conceito é importante para regra de três simples, que é 
comumente usada em diversas situações do cotidiano de um técnico 
em agronegócio, por exemplo, para calcular a proporção adequada de 
fertilizante.
Matemática 
financeira
É importante saber verificar todos os dados apresentados pelo 
gerente de um banco, por exemplo, para acompanhar e opinar 
ativamente em todo o processo de um financiamento. Por isso, 
cabe ao técnico em agronegócio saber calcular juros simples, juros 
compostos, amortização etc.
Estatística básica
Conceitos de estatística são vitais para profissionais do agronegócio 
que oferecem consultoria, vendem insumos, pesquisam plantas e 
novas estratégias de agricultura ou administram uma empresa rural.
Noções de 
probabilidade
Sabendo calcular a probabilidade, podemos determinar as chances de 
uma ação apresentar o resultado esperado ou não de acordo com um 
grau de aceitabilidade pré-estabelecido ou, ainda, analisar resultados 
de pesquisas de forma mais eficiente.
Espera-se que você possa utilizar esses conhecimentos de matemática básica e financeira 
para solucionar questões relacionadas ao cotidiano do Técnico em Agronegócio. Nesse 
sentido, lembre-se de assistir às videoaulas, acessar o AVA e consultar os materiais extras e os 
exercícios resolvidos disponíveis na biblioteca do AVA.
a
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta unidade curricular, você deverá ser capaz de:
• Revisar os conceitos fundamentais da matemática básica.
• Aplicar os conhecimentos matemáticos em situações concretas da 
administração rural.
• Desenvolver o raciocínio lógico.
• Conhecer as definições básicas e os principais elementos da estatística.
• Compreender a estatística descritiva aplicada à pesquisa em agronegócio.
Antes de começar, saiba que, mesmo sozinho, você pode aprender matemática básica rápido 
e com facilidade. Para isso, confira algumas dicas que podem otimizar os seus estudos:
Crie uma rotina de estudos. Mesmo que 
não disponha de muito tempo, se esforce 
para dedicar um mínimo de trinta minutos 
por dia, desta forma o conteúdo estará 
sempre “fresco” em sua memória.
Tire suas dúvidas! Procure a 
ajuda de colegas de classe e 
dos tutores da unidade, evite 
acumular dúvidas, pois isto 
gera insegurança e prejudica 
seu desempenho. No AVA 
você pode compartilhar 
dúvidas e buscar auxílio.
Escolha um local tranquilo, venti-
lado e bem iluminado, sem 
interferência de aparelhos de 
televisão ou outros elementos 
que possam tirar a sua atenção.
Leia atentamente o material de 
maneira crítica e interrogativa 
antes de praticar os exercícios. 
Refaça os exercícios resolvidos e 
elabore um resumo com suas 
anotações.
Tente resolver o maior número 
de exercícios possíveis. Somente 
assim vocêcolocará em prática 
os conceitos estudados e conse-
guirá compreendê-los da melhor 
forma.
Ao resolver os exercícios, primeiramente entenda o enunciado da questão e saiba qual é o seu 
objetivo. O português e a interpretação de textos também são muito importantes. Sempre se 
pergunte: o que o exercício quer? Se possível, leia o enunciado em voz alta, pois assim você 
pode perceber melhor o sentido do exercício. Antes de partir para a solução, resgate os seus 
conhecimentos matemáticos para identificar qual deles será mais efetivo na resolução do 
problema. Divida a resolução em várias etapas e resolva cada uma em separado e com total 
atenção.
 
Não tenha medo de errar. Quando erramos e tentamos compreender 
o motivo, exercitamos mais do que quando chegamos ao resultado 
correto rapidamente.
'
Dica
Você já ouvir falar no “teste da folha em branco”? Essa estratégia é útil quando 
nos aproximamos das avaliações. É bem simples, basta pegar uma folha em 
branco e escrever tudo o que você sabe do conteúdo, sem consulta e sem auxílio. 
Depois compare com o material da apostila e refaça até você estar seguro sobre 
sua compreensão do conteúdo.
Que esta unidade sobre matemática básica e financeira se torne prazerosa e que você possa 
tirar dela o maior proveito possível, levando os conceitos não só para seu dia a dia como 
Técnico em Agronegócio como também para sua vida pessoal.
Bons estudos!
Matemática Básica
01
Curso Técnico em Agronegócio
10
Tema 1: Matemática Básica
Esse tema inicial serve como introdução aos conceitos matemáticos. Nele você verá conteúdos 
fundamentais da matemática, tais como: conjuntos numéricos, operações entre números, 
regra de sinais, frações, razões e proporções, potências, raízes e unidades de medidas agrárias 
mais utilizadas. 
O objetivo é relembrar matérias do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, fortalecendo 
os fundamentos matemáticos para os próximos temas. Ao final deste primeiro tema, você 
deverá ter competência para:
• Conhecer os conjuntos numéricos e as operações numéricas com números inteiros e 
decimais, entendendo as regras de sinais.
• Diferenciar as operações fundamentais com frações, encontrando o m.m.c. e o m.d.c.
• Resolver equações.
• Compreender razões e usar regras de três direta e inversamente proporcionais.
• Realizar operações com potências e raízes e identificar raízes por expoentes fracionários.
• Conhecer as medidas agrárias mais utilizadas.
Matemática Básica e Financeira
11
Fonte: Shutterstock
Tópico 1: Conjuntos numéricos
Quando ouvimos falar sobre matemática ou nos recordamos de nossas aulas do Ensino 
Fundamental ou Médio, a primeira lembrança que nos vem à cabeça são os números. 
Um dos conceitos mais básicos que temos é o de número. A construção dos conjuntos nu-
méricos se inicia com os números naturais, usados apenas para contar, e chega até os núme-
ros complexos, que possuem aplicação nas engenharias elétricas, nas produções químicas, 
entre outras áreas.
 Conjuntos numéricos
Compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números ou elementos com 
características semelhantes. Assim, os conjuntos numéricos são os conjuntos dos números que 
possuem características semelhantes.
Existem os seguintes conjuntos numéricos: 
• Conjunto dos números naturais (ℕ) – números positivos.
• Conjunto dos números inteiros (ℤ) – números positivos e negativos.
• Conjunto dos números racionais (ℚ) � frações irredutíveis e dízimas periódicas.
• Conjunto dos números irracionais (𝕀) – todos os números que não podem ser escritos 
da forma
 p
q
 
em que p e q são inteiros, ou seja, todos os números que não são racionais. 
Esses números, representados na forma decimal, possuem infinitas casas decimais que 
não se repetem.
• Conjunto dos números reais (ℝ) � reunião de todos os conjuntos anteriores.
Curso Técnico em Agronegócio
12
Esses conjuntos respeitam uma hierarquia, como mostrado na imagem abaixo.
ℝℚℤℕ
𝕀𝕀
 
Isso representa que o conjunto dos números reais é formado pela união de todos os conjuntos 
anteriores. Veja, a seguir, cada um desses conjuntos em detalhes.
1. Números naturais
Os números naturais são os números positivos que utilizamos para contagem e mais o número 
zero. Podemos escrever o conjunto dos naturais da seguinte forma:
ℕ = {0, 1, 2, 3,...}
As reticências indicam que nunca paramos de contar, isto é, o conjunto dos números naturais 
é formado por uma infinidade de números positivos e o número zero.
2. Números inteiros 
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e seus opostos 
negativos. Temos então:
ℤ = {...,-2, -1, 0, 1, 2,...}
Usamos os números inteiros para indicar dívidas, por exemplo, ou quando queremos subtrair 
valores.
3. Números racionais e irracionais
Os conjuntos de números naturais e inteiros são formados apenas por números “redondos”, 
isto é, sem vírgulas ou casas decimais. Entretanto, existem situações em que precisamos de 
números compreendidos entre outros. Por exemplo, podemos comprar um litro de água ou 
podemos comprar um litro e meio. Perceba que um litro e meio é uma quantidade compreen-
dida entre um litro e dois litros.
Matemática Básica e Financeira
13
Essa noção de números com vírgulas ou frações define o conjunto dos números racionais. 
Esse conjunto é formado por todos os números naturais, todos os números inteiros e todos 
os números na forma decimal exata ou periódica na forma de frações. 
Para compreender forma decimal exata ou periódica na forma de frações, veja os seguintes 
exemplos:
2,5
5
2
=
3,333...
10
3
=
No segundo exemplo, queremos dividir o número 10 em três parcelas 
iguais, entretanto esse valor não é exato. Obtemos como resultado 
três parcelas iguais de valor 3,333..., em que as reticências indicam que 
devemos repetir o número 3 sem parar nunca. Esse número é uma 
dízima periódica. Outros exemplos de dízimas: 0,777..., 1,234234234... 
etc. Dízimas periódicas são números que, em sua representação decimal, 
apresentam uma repetição infinita de termos.
O conjunto dos números racionais pode ser representado por:
ℚ = {todo número do tipo , em que a e b são números inteiros e b não pode ser zero}
Além das formas decimais exatas e das dízimas, temos números como:
π=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510… 
Esse número é chamado de pi e possui infinitas casas decimais sem repetição. Dessa forma 
ele não se enquadra no conjunto dos números racionais.
g
O número pi representa a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma 
circunferência. Acesse o AVA e veja uma animação que explica esse número.
O conjunto que agrupa os números que, na forma decimal, possuem infinitas casas decimais 
que não se repetem é chamado de conjunto dos números irracionais, geralmente representado 
pela letra 𝕀. Outro exemplo de número irracional é a raiz quadrada de 2. Veja:
√2= 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694…
a
b
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Observe que o conjunto dos números irracionais é formado apenas por números que não 
podem ser escritos como frações exatas ou como dízimas periódicas.
,√3 ,√7 e π.
6
-√2
4. Números reais
O conjunto dos números reais é formado pela reunião de todos os conjuntos de números 
anteriormente citados. Desse modo, o conjunto dos números reais é constituído pela reunião 
de todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais
ℝ = {todos os números dos conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀}
Atividade 1: Conjuntos numéricos
Considerando os conjuntos estudados nos itens anteriores, indique, para cada número, a 
quais conjuntos numéricos ele pertence.
a) 0
b) 
,√3 ,√7 e π.
6
-√2
c) 
d) 
e) -π
f) 
g) 
h) 
i) 0,47474747…
j) ,√3 ,√7 e π.
6
-√2
6
1
3
10
1
3
1000
27
7
2
Matemática Básica e Financeira
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Tópico 2: Operações fundamentais
Você viu no tópico anterior que o conjunto dos números reais é formado pelos números 
naturais, inteiros, racionais e irracionais. A partir de agora, você estudará a adição,subtração, 
multiplicação e divisão entre números reais, assim como verá as expressões e regras de 
sinais. Neste tópico trataremos apenas os casos de números com casas decimais exatas. As 
operações para frações serão estudas em outro tópico.
1. Adição, subtração, multiplicação e divisão
1.1. Adição
A adição combina dois números, chamados parcelas, em um único número, a soma ou total, 
isto é:
parcela + parcela = soma ou total
• Quando uma das parcelas da soma é o número zero, o total será o 
valor da outra parcela.
• Na soma não importa a ordem das parcelas.
Exemplos:
1) 0 + 15 = 15
2) 29 + 0 = 29
3) 1 + 4 = 5
4) Por exemplo, para efetuarmos a soma 573 + 238, podemos separar cada número em suas 
unidades, dezenas e centenas, ou seja:
573 = 500 + 70 + 3 e 238 = 200 + 30 + 8
Logo:
573 + 238 = 500 + 70 + 3 + 200 + 30 + 8 =
573 + 238 = (500 + 200) + (70 + 30) + (3 + 8)
= (500 + 200) + (70 + 30) + 11
= (500 + 200) + (70 + 30) + 10 + 1
= (500 + 200) + (70 + 30 + 10) + 1
= (500 + 200) + 110 + 1
= (500 + 200) + 100 + 10 + 1
= (500 + 200 + 100) + 10 + 1
= 800 + 10 + 1 = 811
Curso Técnico em Agronegócio
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Ou equivalentemente:
811
 ¹5¹73
+ 238
Note que, quando somamos 3 com 8, obtemos 11, logo “vai 1” para ser somado às dezenas 
(no caso, o 7). Isso ocorre novamente quando somamos as dezenas e “vai 1” para as 
centenas.
5) 3,12 + 6,637 = 9,757
Para resolver esse exemplo com casas decimais, montamos a conta da seguinte forma:
 9,757
 3,120
+ 6,637
Devemos alinhar as parcelas pelas vírgulas, não importa quantas parcelas estivermos 
somando. Para facilitar, completamos com o número zero as casas decimais “vazias”.
6) 4,12 + 3,1 + 2,358 = 9,578
 4,120
9,578
 3,100
+ 2,358
1.2. Subtração 
Na operação de subtração, de um valor numérico (minuendo) é removido outro valor 
(subtraendo). O resultado dessa operação é chamado diferença. Temos, assim: 
minuendo – subtraendo = diferença
Na subtração devemos respeitar a ordem em que fazemos a operação.
Exemplos:
1) 7 – 2 = 5
2) 2 – 7 = -5
Observe nos exemplos 1 e 2 como a inversão na ordem da operação de subtração alterou 
o resultado. No exemplo 2, como o subtraendo é um número maior que o minuendo, a 
diferença será um número negativo.
Matemática Básica e Financeira
17
Assim como na soma, caso um dos termos seja o número zero, a diferença será o outro 
número (respeitando o sinal).
3) 0 – 15 = -15
4) 29 – 0 = 29
5) Para efetuarmos 531 – 245, podemos separar cada número em suas unidades, dezenas e 
centenas, assim como feito na soma, isto é:
531 – 245 = 500 + 30 + 1 – (200 + 40 + 5) =
= 500 + 30 + 1 – 200 – 40 – 5 =
= (500 – 200) + (30 – 40) + (1 - 5) =
= (500 - 200) + (20 + 10 - 40) + (1 - 5) =
= (500 - 200) + (20 - 40) + (10 + 1 - 5) =
= (500 - 200) + (20 - 40) + (11 - 5) =
= (500 - 200) + (20 - 40) + 6 =
= (400 + 100 - 200) + (20 - 40) + 6 =
= (400 - 200) + (100 + 20 - 40) + 6 =
= (400 - 200) + (120 - 40) + 6 =
= (400 - 200) + 80 + 6
= 200 + 80 + 6 = 286
Podemos também realizar a mesma conta da seguinte forma
2 8 6
 45²3¹1
- 2 4 5
Observe que não podemos subtrair 5 do número 1. Dessa forma “pedimos 1 emprestado” 
para a casa das dezenas, logo o 1 se torna 11 e podemos subtrair 5. O 3 (a dezena) que 
“emprestou 1” vira 2. Por um raciocínio parecido, “pedimos 1 emprestado” da centena.
6) 6,637 - 3,12 = 3,517
Assim como na soma, para montar a conta de subtração com casas decimais devemos 
alinhar os números por suas vírgulas e é muito importante respeitar a ordem dos 
números. Assim, temos:
3,517
 6,637
- 3,120
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7) 4,12 - 3,1 - 1 = 0,02
Quando houver mais de dois termos na subtração, para evitar erros de sinais, a melhor 
estratégia de resolução é fazer a conta em etapas, ou seja, faremos duas contas respeitando 
a ordem. São elas:
a) 4,12 - 3,1 = resultado parcial
b) resultado parcial - 1 = diferença
Temos então:
1,02
 4,12
- 3,10
Assim, vemos que o resultado parcial é 1,02. Vamos realizar agora a última etapa da 
operação, isto é, faremos 1,02 - 1.
0,02
 1,02
- 1,00
1.3. Multiplicação 
Os números numa multiplicação são chamados de fatores; e o resultado da operação, de 
produto. Temos então que:
fator x fator = produto
• Quando um dos fatores é o número 0, o produto será 0. Isso significa 
que qualquer número multiplicado por 0 fornece como resultado 0. 
Por exemplo: 17 * 0 = 0 e 0 * 17 = 0.
• Caso um dos fatores seja o número 1, o produto será o outro fator. 
Isso quer dizer que qualquer produto de um número vezes 1 resulta no 
próprio número. Por exemplo: 47 * 1 = 47.
• Podemos representar a operação de multiplicação por três símbolos 
diferentes: x, * ou apenas um ponto entre os números. Por exemplo: 
3 * 2 = 6, ou 3 x 2 = 6, ou 3 · 2 = 6.
• Na multiplicação não importa a ordem dos números. Por exemplo: 
3 * 2 = 2 * 3 = 6.
Matemática Básica e Financeira
19
d
Comentário do Autor
Se os números possuírem casas decimais, somamos a quantidade de casas 
decimais após a multiplicação, no sentido da direita para a esquerda. Você 
entenderá melhor essa lógica quando realizar as contas utilizando frações. Como 
veremos a seguir, e , logo as duas contas seguintes são 
iguais:
0,1*0,1=0,01 e * =10
1
10
1
100
1
Mais adiante você verá expressões numéricas que envolvem parênteses. Quando multiplica-
mos um número de fora dos parênteses pelos que estão dentro, cada número deve ser mul-
tiplicado. Por exemplo: 2 * (2 + 3) = 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10. Veremos também equações de 
primeiro grau, em que são comuns contas do tipo: 3 * (5 + x) = 3 * 5 + 3 * x = 15 + 3x.
Para entender melhor esse assunto, confira alguns exemplos. Lembre-se de que para a 
multiplicação você deve saber a tabuada de todos os números.
Exemplos:
1) 6,637 * 3,12 = 20,70744
Uma forma de realizar essa conta é separando um dos números em unidades, dezenas e 
centenas. Escolhendo o número 3,12 para decompor, temos que:
6,637 * 3,12 = 6,637 * (3 + 0,1+ 0,02) =
 =6,637 * 3 + 6,637 * 0,1 + 6,637 * 0,02 =
 = 6,637 * 3 + 6,637 * 0,1+ 6,637 * 0,02 =
 = 19,911 + 0,6637 + 0,13274 = 20,70744
Outra forma de realizar a mesma conta é a seguinte. (Observe que a maneira apresentada 
aqui é apenas mais rápida, mas chega no mesmo resultado.)
13274
 6,637
x 3,12
20,70744
 6637+
19911++
Efetuamos a multiplicação como se não houvesse vírgulas. Ao final do processo, somamos 
cada parcela referente às multiplicações por dois, um e três e acrescentamos a vírgula.
2) 149 * 1,3 * 3 = 581,1
Quando multiplicamos mais de dois números, fazemos cada multiplicação em separado. 
Dessa forma, faremos:
a) 149 * 1,3 = resultado parcial
10
1 0,1=
100
1 0,01=
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20
b) resultado parcial * 3 = produto
Efetuando cada conta, temos:
 149 +
447
 149
x 1,3
193,7
Assim, o resultado parcial é 193,7. Por fim efetuamos a segunda multiplicação:
581,1
193,7
x 3
1.4. Divisão 
Na divisão, o número que está sendo dividido é chamado dividendo e o número que divide é 
o divisor. O resultado da divisão é denominado quociente. Assim temos:
dividendo ÷ divisor = quociente
Por exemplo, 6 ÷ 2 = 3. Nesse caso 6 é o dividendo, 2 o divisor e 3 o quociente.
Embora a divisão seja um processo para conseguir grupos iguais, nem todos os números são 
divididos uniformemente. Damos o nome de resto ao número que sobra depois de dividir 
um número não divisível exatamente. Por exemplo, suponha que queremos dividir uma pizza 
com 12 fatias entre 5 pessoas. Quantas fatias inteiras cada pessoa recebe? Note que essa 
operação corresponde a 12 ÷ 5. Para resolvermos essa divisão, buscamos na tabuada de 5 o 
valor que mais se aproxima de 12, no caso o número 2 (pois 5 * 2 = 10). E a diferença entre 
esses dois números é 12 - 10 = 2. Como 2 é um número menor que 5, não podemos dividi-lo 
mais sem obtermos um número com vírgula. Então, como queremos apenas fatias inteiras da 
pizza, concluímos que cada uma das 5 pessoas receberá 2 fatias e restarão2 fatias.
• O dividendo pode ser o número 0, resultando em 0 como quociente.
• O divisor nunca poderá ser o número 0, isto é, não podemos dividir 
nenhum número por 0.
• Caso o divisor seja o número 1, o resultado será o dividendo.
• A ordem em que a operação é feita é importante, pois, se trocarmos o 
dividendo pelo divisor, obteremos outro resultado.
• A divisão pode ser denotada pelo símbolo ÷, pela barra (/) e também 
por dois-pontos (:).
Para entender melhor esses casos, observe os exemplos. Novamente, é preciso lembrar as 
tabuadas para efetuarmos divisões.
Matemática Básica e Financeira
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Exemplos:
1) 10 ÷ 5 = 2, ou podemos escrever , ou ainda 10 : 2 = 5.
2) Observe que 10 ÷ 5 = 2, mas 5 ÷ 10 = 0,5.
3) 0 ÷ 5 = 0
4) Não existe a operação 5 ÷ 0 ou qualquer outro número dividido por 0.
5) 31 ÷ 1 = 31
Agora, vamos resolver algumas divisões cujos resultados serão números com vírgulas e 
algumas divisões entre números com vírgulas:
6) 225 ÷ 50
Se multiplicarmos 4 por 50, obteremos 200 e, assim, a divisão terá resto 25. Não existe 
um número natural que multiplicado por 50 resulte em 25, então qualquer valor que 
acrescentarmos ao quociente será menor do que 1. Portanto, para prosseguirmos, 
teremos de acrescentar uma vírgula ao quociente e um zero ao resto. Procuramos 
agora um número que multiplicado por 50 resulte em 250. Esse número é o 5. Portanto, 
225 ÷ 50 = 4,5.
225
200
25
_-
__ 50
4 ___
225
200_-
__ 50
4,5
250
250
0
_
É interessante observar que se um “0” é acrescido, o resultado da divisão irá para a casa 
do décimo. Agora, se é necessário acrescentar outro “0”, o resultado irá para a casa do 
centésimo, e assim por diante.
7) 30 ÷ 2,5
Para realizar essa divisão, vamos escrever o número 30 na forma 30,0. Agora que tanto 
5
10 = 2
Curso Técnico em Agronegócio
22
o dividendo quanto o divisor têm um número após a vírgula, podemos desconsiderar as 
vírgulas e realizar a divisão entre 300 e 25, obtendo como resultado o quociente 12, como 
mostra a figura a seguir.
30
-
__ 2,5__ _
300
25_-
__ 25
12
50
50
0
_
30,0 __ 2,5
300 __ 25
__ _
___
_
-
8) 31,775 ÷ 15,5
Nesse caso, precisamos acrescentar dois zeros ao divisor para que ambos tenham três 
algarismos após a vírgula. Feito isso, nós desconsideramos as vírgulas e realizamos a 
divisão de 31775 por 15500, obtendo como quociente o número 2,05. É importante ter 
em mente que 10 ÷ 50 é a mesma coisa que 100 ÷ 500. Desse modo, podemos multiplicar 
quantas vezes desejarmos o divisor e o dividendo sem interferir na conta. Ora, se queremos 
operar “sem vírgulas”, vamos multiplicar quantas vezes forem necessárias para as vírgulas 
“sumirem”. Como temos até três casas após a vírgula, precisaremos multiplicar ambos os 
números por mil. Veja a seguir o passo a passo dessa divisão:
31,775
-
__ 15,5__ _ _-
7750
0_31,775
__15,500
31775 __15500
__ _
___
_
-
31775
31000
__15500
2,05
77500
77500
0
_-
Matemática Básica e Financeira
23
2. Soma algébrica, regra de sinais e expressões numéricas 
Agora que você relembrou como realizar as operações de soma, subtração, multiplicação e 
divisão para números reais, incluindo números decimais (com vírgulas), vamos estudar as 
somas com números que possuem sinais diferentes. Você verá também as regras de sinais e, 
por fim, juntaremos esses conceitos em expressões numéricas.
2.1 Soma algébrica
Considere a seguinte situação comum em nosso dia a dia. Digamos que você tem um crédito 
na vendinha da esquina. Quanto mais comprar, menor ficará o crédito e, se esgotar o crédito 
e ainda continuar comprando, terá uma dívida ao invés de um crédito, certo? Se mesmo em 
débito continuar comprando, a dívida só irá aumentar. Por outro lado, se começar a pagar 
essa dívida, ela irá diminuir até um ponto em que voltará a ter crédito. 
Por exemplo, se você tem 
crédito de R$ 100,00 e realiza 
uma compra de R$ 75,00, 
então seu saldo passará a 
ser 100 – 75 = 25. Agora, se 
efetuar mais uma compra de 
R$ 50,00, seu saldo passará 
a ser 25 – 50 = –25. Caso faça 
outra compra de R$ 25,00, o 
saldo ficará –25 – 25 = –50. 
Agora, supondo que você 
efetue um pagamento de R$ 
30,00, terá um saldo de –50 + 
30 = –20. E, por fim, fazendo 
um pagamento de R$ 40,00, 
passará a ter um saldo de 
–20 + 40 = 20.
Esse caso prático ilustra as operações de soma de números com sinais diferentes, em que 
devemos proceder da seguinte forma:
Nome: José da Silva
Crédito
Compra
Saldo
100,00
75,00
25,00
_
_
Compra
Saldo
50,00
25,00
_
Compra
Saldo
25,00
50,00
_
Crédito
Saldo
30,00
20,00
_
Crédito
Saldo
40,00
20,00
_
-
-
-
Curso Técnico em Agronegócio
24
• Sinais iguais � somamos os valores e repetimos o sinal.
• Sinais diferentes – subtraímos os números e damos o sinal do maior número.
Exemplos:
1) 2 + 6 = 8
2) 19 + 3 = 22
3) - 3 - 15 = -18
4) -8 - 9 = -17
5) 15 - 3 = 12
6) -25 + 10 = -15
2.2. Regra de sinais
Considere o seguinte exemplo: possuo duas dívidas de R$ 1.000, logo posso representar o 
valor total da dívida por 2 * (-1.000). Assim, ao final terei uma dívida de R$ 2.000, ou seja, 
–R$ 2.000. Analogamente, se temos um crédito de R$ 5.000 e ele triplica, representamos como 
3 * 5.000, logo nosso crédito passa a ser de R$ 15.000.
Quando queremos multiplicar ou dividir números com sinais diferentes, devemos aplicar a 
seguinte regra de sinais:
• Sinais iguais � resultado positivo.
• Sinais diferentes � resultado negativo. 
Isto é:
(+) * (+) = + ou (+) ÷ (+) = +
(-) * (-) = + ou (-) ÷ (-) = +
(+) * (-) = - ou (-) ÷ (+) = -
(-) * (+) = - ou (-) ÷ (+) = -
Matemática Básica e Financeira
25
Se um número não possuir sinal, significa que é positivo. Por exemplo, 
3 = + 3.
Exemplos:
1) 3 * 5 = 15
2) (- 3) * (- 5) = 15
3) 3 * (- 5) = - 15
4) (- 3) * 5 = - 15
5) 6 ÷ (- 2) = -3 
6) (- 6) ÷ 2 = - 3 
7) (- 6) ÷ (- 2) = 3 
 
d
Comentário do Autor
Note que, nas multiplicações - 2 * 2 = - 4, - 2 * 1 = - 2 e - 2 * 0 = 0, quando 
multiplicamos um número negativo por outro número, conforme diminuímos 
a segunda parcela, o resultado aumenta ao invés de diminuir. Logo, se 
continuarmos diminuindo as parcelas, teremos: - 2 * - 1 = 2 e - 2 * - 2 = 4.
2.3. Expressões numéricas
Juntamos agora as somas algébricas com as regras de sinais e, ainda, operações de multiplicação 
e divisão. Para organizar melhor, usamos parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }.
Para resolver expressões numéricas, você deve realizar primeiro as 
operações de multiplicação e divisão e depois somas e subtrações. 
Quando aparecerem parênteses, colchetes ou chaves, efetue as operações 
primeiro dos parênteses, depois dos colchetes e por último das chaves. 
Fique atento às regras de sinais também!
Curso Técnico em Agronegócio
26
Exemplos:
1) 2 + [2 – 5 * (3 + 2) – 1] = 2 + [2 – 5 * 5 – 1] =
2 + [2 – 25 - 1] = 2 + [- 24] = 2 - 24 = - 22 
2) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 2 + {3 – [ 1 + 1 ] + 8}
 = 2 + {3 – 2 + 8 } = 2 + 9 = 11 
3) {2 – [3 * 4 ÷ 2 � 2 (3 – 1)]} + 1 = {2 – [12 ÷ 2 � 2 * 2]} + 1 
= {2 � [6 – 4]} + 1 = {2 - 2} + 1 = 0 + 1 = 1
3. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) e máximo divisor comum (m.d.c.)
Os cálculos que envolvem mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum são relaciona-
dos com múltiplos e divisores de um número natural. Entendemos por múltiplo o produto 
gerado pela multiplicação entre dois números. Assim, podemos dizer que 30 é múltiplo de 5, 
pois 5 * 6 = 30, isto é, existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30, que é 
o número 6. Indicamos os múltiplos pelo símbolo M( ). Veja mais alguns números e seus múl-
tiplos a seguir.
Exemplos: 
 M(3) = 0,3,6,9,12,15,18,21,…
 M(4) = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,…
 M(8) = 0,8,16,24,32,40,48,56,…
Observe que os múltiplos de um número formam um conjunto de infinitos elementos.
 
• Todo número inteiro múltiplo de 2 é chamado de par. Exemplos: 
6 = 2 * 3 e 30 = 2 * 15.
• Todo número inteiro que não é múltiplo de 2 édenominado 
ímpar. Exemplos: 15 = 3 * 5 e 21 = 3 * 7.
Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a 
zero. Indicamos os divisores de um número pela notação D( ). Observe alguns números e seus 
divisores. 
Matemática Básica e Financeira
27
Exemplos:
1) D(3) = 1,3
2) D(9) = 1,3,9
3) D(10) = 1,2,5,10
4) D(11) = 1,11
5) D(20) = 1,2,4,5,10,20
6) D(25) = 1,5,25
`
Atenção
Números que são divisíveis apenas pelo número 1 e por eles próprios são 
chamados de números primos. No exemplo anterior podemos verificar que 3 e 
11 são números primos.
3.1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O m.m.c. entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos 
múltiplos dos números. Denotamos o mínimo múltiplo comum pela notação m.m.c. ( , ).
Exemplo:
1) Vamos encontrar m.m.c.(4,8). Para isso precisamos encontrar os múltiplos de 4 e os 
múltiplos de 8 e o menor número que aparece em ambas as listas, ou seja:
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,…
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…
Portanto, m.m.c.(4,8)=8.
Podemos calcular de outra forma. Para isso decompomos os números simultaneamente 
por números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... Vamos refazer o exemplo anterior desta forma:
4 - 8 | 2
2 - 4 | 2
1 - 2 | 2
 1 - 1 | /
Curso Técnico em Agronegócio
28
Logo:
m.m.c. (4,8) = 2 * 2 * 2 = 8
2) Calcule o m.m.c. (12, 16, 45)
12 - 16 - 45 | 2
 6 - 8 - 45 | 2
 3 - 4 - 45 | 2
 3 - 2 - 45 | 2
 3 - 1 - 45 | 3
 1 - 1 - 15 | 3 
 1 - 1 - 5 | 5 
 1 - 1 - 1 | / 
Dessa forma:
m.m.c. (12, 16, 45) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 720
O m.m.c. é útil para resolver problemas práticos. Acompanhe!
Exemplos:
1) Três tratores numa colheita percorrem um mesmo trajeto saindo todos ao mesmo tempo, 
do mesmo ponto e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 minutos, o 
segundo em 36 minutos e o terceiro em 30 minutos. Gostaríamos de saber em quanto 
tempo os tratores voltam a se encontrar.
Para resolver essa questão, precisamos calcular o m.m.c. entre os tempos dos tratores, 
pois esse será o menor múltiplo do tempo entre eles, ou seja, o momento em que se 
encontrarão novamente. Vamos calcular o m.m.c.:
30 - 36 - 40 | 2
15 - 18 - 20 | 2
 15 - 9 - 10 | 2
 15 - 9 - 5 | 3
 5 - 3 - 5 | 3
 5 - 1 - 5 | 5
 1 - 1 - 1 | /
Logo:
m.m.c. (30, 36, 40) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 360 minutos = 6 horas
Portanto o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida é 
após 6 horas do início da colheita.
Matemática Básica e Financeira
29
2) Um médico veterinário, ao prescrever uma receita para um bovino, determina que três 
medicamentos sejam ingeridos pelo animal de acordo com a seguinte escala de horários: 
remédio A, de 2 em 2 horas; remédio B, de 3 em 3 horas; e remédio C, de 6 em 6 horas. 
Caso o paciente utilize os três remédios às 8 h da manhã, então o próximo horário em que 
ele tomará os três medicamentos simultaneamente de novo será o valor do m.m.c. (2, 3, 6) 
+ 8 h.
Calculando o m.m.c., temos:
2 - 3 - 6 | 2
1 - 3 - 3 | 3
1 - 1 - 1 | /
Assim, o m.m.c. (2, 3, 6) = 6. Portanto o bovino deverá tomar os três remédios novamente 
às 14 h.
Para entender melhor, veja a representação do m.m.c. no esquema a seguir.
Medicamento 1
Medicamento 2
Medicamento 3
3.2. Máximo divisor comum (m.d.c.)
O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum 
pertencente aos divisores dos números, representado por m.d.c.( ,).
Exemplo:
Vamos calcular o m.d.c. (20, 30). Precisamos primeiro encontrar os divisores de 20 e 30 e 
depois o maior valor comum aos dois, isto é:
D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20
 D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Logo, podemos ver que o m.d.c. (20, 30) = 10.
Também podemos encontrar o m.d.c. utilizando um método por decomposição simultânea 
em fatores primos, ficando:
20 - 30 | 2
10 - 15 | 2
 5 - 15 | 3
 5 - 5 | 5
 1 - 1 |/
Curso Técnico em Agronegócio
30
Para calcular o mdc multiplicamos apenas os fatores primos que dividiram ambos os 
números, neste caso 2 e 5 (em azul). Portanto:
m.c.d. (20, 30) = 2 * 5 = 10.
Assim como o m.m.c., o m.d.c. pode ser utilizado em exemplos práticos, confira.
Exemplos:
1) Uma indústria fabrica rolos de arames de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes 
necessários, verificou-se que duas bobinas restantes tinham as seguintes medidas: 156 
metros e 234 metros. Gostaríamos de cortar as sobras em partes iguais com o maior 
comprimento possível.
Para encontrarmos esse valor, precisamos calcular o m.d.c. (156, 234). Utilizando o método 
que você aprendeu, temos:
156 - 234 | 2
 78 - 117 | 2
 39 - 117 | 3
 13 - 39 | 3
 13 - 13 | 13
 1 - 1 | /
Logo, o m.d.c. (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78. Portanto devemos cortar os pedaços de arame 
em tamanhos iguais de 78 metros.
2) Uma empresa do agronegócio é composta de três áreas. A área administrativa tem 30 
funcionários, a operacional 48 funcionários e a de vendas 36 funcionários. Se quisermos 
formar grupos de funcionários com o mesmo número de integrantes, devemos calcular o 
m.d.c. (30, 36, 48). Assim:
30 - 36 - 48 | 2
15 - 18 - 24 | 2
 15 - 9 - 12 | 2
 15 - 9 - 6 | 2
 15 - 9 - 3 | 3
 5 - 3 - 1 | 3
 5 - 1 - 1 | 5
 1 - 1 - 1 | /
Portanto o m.d.c. (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6. Assim as equipes devem conter 6 funcionários cada.
Matemática Básica e Financeira
31
Atividade 2: Operações fundamentais
Calcule:
a) 2 + 3 � 1
b) – 2 – 5 + 8
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5
d) 2 * (- 3)
e) (- 2) * (- 5)
f) (- 10) * (- 1)
g) (- 1) * (- 1) * (- 2)
h) 4 : - 2
i) - 8 : 4
j) - 20 / - 10
k) [( 4) * ( 1)] 2
l) [( - 1 + 3 - 5) * (2 - 7)]: -1
m) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1
n) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 (- 5)}
o) 0,5 * (0,4 : 0,2)
p) (4 : 16 ) * 0,5
Curso Técnico em Agronegócio
32
q) m.m.c. (36, 60), m.m.c. (18, 20, 30)
r) m.d.c. (18, 36), m.d.c. (20, 60)
Tópico 3: Frações 
Uma fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números 
inteiros, ou seja, uma fração é uma divisão. O dividendo é chamado numerador, e o divisor 
recebe o nome de denominador.
fração
numerador
denominador
=
Veja como representar frações em desenhos por meio de pedaços de pizza ou lotes de um 
terreno:
1
2
__
4
6
(quatro sextos)__
1
4
__ 1
8
__
5
12
(cinco doze avos)___
18
24
(dezoito vinte e quatro avos)___
22
48
(vinte e dois quarenta e oito avos)___
Matemática Básica e Financeira
33
1. Multiplicação de frações
O conceito de multiplicação é muito usado para calcular percentuais: multiplicar um valor por 
 é o mesmo que multiplicar por 0,5 ou calcular 50% desse valor. 
Para efetuar a multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores entre si e os 
denominadores. Obtemos, assim, uma nova fração.
Exemplos:
1) 
2) 
Note que, nas duas últimas parcelas do exemplo 2, fizemos simplificações, isto é, dividimos 
ambas as parcelas por um número em comum, 2 e 3 respectivamente.
2. Soma e subtração de frações
Para somar ou subtrair duas frações, precisamos ficar atentos aos seus denominadores:
• Frações com denominadores iguais – repetimos o denominador e somamos/subtraímos 
o numerador. Por exemplo, imagine que um terreno é dividido em quatro lotes iguais e 
efetuamos duas compras de lotes: primeiro compramos e depois . A soma dessas 
frações nos fornece quantos lotes do terreno possuímos, isto é, do terreno. Veja a 
ilustração seguinte, que exemplifica essa operação
+
1
4
__
=
2
4
__ 3
4
1
4
2
4
__ = __ + __
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
1
2
1 1
2 2
3 33
7 7 14
= =* **
15
2
4 30
9 9
60
18
= = 10
3
=*
1
4
2
43
4
3 3
5 5
6 96
5 5
= =+ +
15 15
7 7
18 3518 2
7 7
7
7= = = = =+
2
7+
+ 5 5 5 = 517
7* * *+
- 1 1
4
3
4
-2
4
-1
2
-1
2
2
2= = = = =
-1
2=-
1 - 3
4 12 2*
2* * *
Curso Técnico em Agronegócio
34
• Frações com denominadores diferentes� quando os denominadores são diferentes, 
precisamos transformar essas frações em frações de mesmo denominador. Isso quer 
dizer que precisamos de frações equivalentes às que tínhamos, mas com o mesmo 
denominador. O mesmo processo deve ser realizado nas subtrações.
Observe, por meio da ilustração a seguir, como procedemos na soma das frações 
1
5
__
3
15
10
15
13
15
___ + ___ = ___
2
3
__
1
5
2
3
__ + __
1
5
3
15
__ = ___ 2
3
10
15
__ = ___
1
5
2
3
13
15
___ + ___ = ___
1
5
2
3
e
Matemática Básica e Financeira
35
A técnica usada para transformar essas frações em frações de mesmo 
denominador se resume a encontrar o m.m.c. entre os denominadores, 
depois dividir o m.m.c. encontrado pelo denominador de cada fração e 
multiplicar pelo seu numerador, respectivamente, para cada fração. Por 
fim, é feita a soma ou subtração entre os novos numeradores.
Exemplos: 
1) 
Primeiro devemos calcular o m.m.c. (2, 3) = 6. Em seguida, para encontrar as novas frações, 
dividimos o m.m.c. pelo denominador e multiplicamos pelo numerador de cada fração. Veja 
como fazer:
1
2
1
3
1 1
2+
1
3
13 3
33
2
2+
1
3
3
6
2
6
5
6+ + +* *1* * **
= 1
2 2
1 2
3
*
*2
= = 3 + 2
6
= ==
2) 
Nesse exemplo, vamos aplicar a técnica diretamente, de forma mais prática.
1
2
5
6
2
3+ -
Assim como fizemos no exemplo anterior, primeiro calculamos o 
m.m.c. (2, 6, 3) = 6.
1 3 1
6
5 2 2+* * *-
Agora devemos reescrever as frações. Como 6 é o novo denominador, 
dividimos 6 pelos denominadores antigos e multiplicamos o resultado 
pelo numerador. Nesse caso, 6 ÷ 2 = 3, então fazemos 
1 * 3. Em seguida, calculamos 6 ÷ 6 = 1 e então escrevemos 5 * 1. Por 
fim, realizamos 6 ÷ 3 = 2, logo o último numerador fica 2 * 2.
3 + 5 - 4
6 6
4= 3
2= Observe que 6 = 2 * 3 e que 4 = 2 * 2. Dessa forma, 
1 5
2 6
+
3
2-
3
2=
3. Divisão de frações
Quando dividimos duas frações, operamos da seguinte forma:
1
3
5
7
9
3
5
7
9
* *
*
*
=
3
5
7
9
9
7
9
7
9
7
9
7
=
27
35
63
63
=
27
35 27
351
1
= =
3
5
7
9
=
1
2
1
3
+
1
2
5
6
2
3+ -
6
4
3
2=
Curso Técnico em Agronegócio
36
Note que
 
e que, 
 
porque, pela regra de multiplicação, teremos 7
9
9
7 1=* 
e deixaremos de trabalhar com a divisão de frações para trabalhar com o produto, com o qual 
já sabemos como proceder.
Uma maneira mais prática de efetuarmos divisão de frações é “repetindo a fração de cima 
e multiplicado pelo inverso da fração de baixo (invertendo numerador por denominador e 
vice-versa)”.
3
5
7
9
*
*
= 97
27
35==
3
5*
9
7
3
5
Exemplos:
1) 
2) 
Atividade 3: Frações
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3/5
7/9
3/5
7/9 1*= 1=
9/7
9/7
1
2
1/2
5/3
3
5
3
10
1 3
2
== =* * 5*
3
7
3/7
2/5
5
2
15
14
3 5
7
== =* * 2*
1
10
1
5
+
4
3
2
3
-
1
3
1
2
- 1
6
+
2
5
1
3 *
1
3
3
7
+ 2
5
+
Matemática Básica e Financeira
37
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
Tópico 4: Equações de primeiro grau
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras 
(que se denominam incógnitas). Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior 
expoente dessa incógnita for 1, então a equação é dita equação do primeiro grau com uma 
incógnita. Nesta unidade curricular, sempre que dissermos equação do primeiro, estamos 
nos referindo a uma equação do primeiro grau com uma incógnita x (normalmente se utiliza 
o x como incógnita, mas qualquer letra pode ser atribuída, como y, z ou t). Por exemplo, se 
3 - x = 2, então o único valor possível de x é 1.
1. Resolução de equações de primeiro grau
Quando encontramos um valor para x que resolve a equação, chamamos esse valor de raiz 
da equação. No caso de uma equação do primeiro grau, conseguimos resolvê-la isolando 
a incógnita no primeiro membro da equação (o lado esquerdo do sinal de “=”). Para isso 
utilizamos as operações inversas àquelas que acompanham a incógnita em ambos os lados 
da equação para “transferir” ao segundo membro da equação (o lado direito do sinal de “=”) 
os termos que não contenham a incógnita.
1
6 *-
2
5
-
1/3
1/2
2
3 :
1
5
-
1
4: *
2
3
1
2
1
2+ :
2
4
1
3
1 + 1/3
3
Curso Técnico em Agronegócio
38
 
As operações inversas são: 
• adição e subtração; 
• multiplicação e divisão; 
• potenciação e radiciação (veremos estes conceitos nos tópicos 
subsequentes).
Exemplos:
1) 
Ou, ainda, isolando a incógnita no primeiro membro da equação, temos x = 2 � 3 = - 1.
2) 
Atividade 4: Equações de primeiro grau
Resolva as seguintes equações:
a) 4x = 8
b) -5x = 10
c) 7 + x = 8
d) 3 - 2x = -7
e) 16 + 4x - 4 = x + 12
f) 8 + 7x - 13 = x - 27 - 5x
g) 
3 + x = 2 ⟹ 3 + x -3 = 2 - 3 ⟹ x = -1
- 2x - 4 = 4 ⟹ - 2x = 4 + 4 ⟹ - 2x = 8 ⟹ x = ⟹ x = - 4
8
-2
2x
3
3
4
=
Matemática Básica e Financeira
39
h) 
i) 9x + 2 - (4x + 5) = 4x + 3
j) 3 * (2 - x) - 5 * (7 - 2x) = 10 - 4x + 5
Tópico 5: Proporcionalidade
Suponha que você precisa comprar determinado produto químico para o controle de uma 
praga. Tal produto apresenta uma recomendação de dose na proporção de dois litros para 
um hectare de lavoura. Considerando que a propriedade possui quatro hectares plantados, 
como encontramos a quantidade ideal a ser aplicada? 
O conceito matemático que nos auxilia na resolução desse problema é chamado de regra 
de três. Para compreender essa regra, primeiro devemos entender os conceitos de razão e 
proporção e o que significam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
1. Razão
Dados dois números quaisquer, por exemplo, 2 e 3, a razão entre esses números é represen-
tada por: 
2 ou 2/3 ou 2:3
3
De forma genérica, se os números são a e b, denominamos razão entre a e b o quociente a/b. 
É importante lembrar que b nunca poderá ser o número 0. Veja alguns exemplos práticos que 
envolvem razões.
Exemplos: 
1) Suponha que em determinado ano as vendas de frutas de uma fazenda tenham sido de 300 
mil reais e que as vendas do ano seguinte sejam de 450 mil reais. Poderíamos comparar 
esses dois valores dizendo que sua diferença é de 150 mil reais. Porém, a diferença dos 
valores não nos fornece uma ideia do crescimento de vendas entre os dois anos. Para 
avaliarmos esse crescimento, calculamos a razão entre as vendas, isto é:
1,5
450
300 =
Concluímos, assim, que as vendas de frutas do segundo ano são uma vez e meia maiores 
que a do primeiro ano, o que representa um aumento de receitas de 50%.
1
4
3x
4
=
Curso Técnico em Agronegócio
40
2) Ao compararmos mapas de propriedades, representamos as distâncias em escala menor 
que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:
escala
medida no mapa
medida real=
Por exemplo, a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 m foi 
representado por um segmento de 3 cm é:
3 cm
6.000 cm
1
1 ∶ 2.000
2.000
= =
 
Então nossa escala está na razão de 1 cm para 2.000 cm, ou seja, 1 cm no mapa significa 
2.000 cm no terreno.
3) Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso:
velocidade média
distância percorrida
tempo total de percurso=
A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo é de, aproximadamente, 400 
km. Um carro levou cinco horas para percorrer esse trajeto. Dessa forma:
400 km
5 h
80 km/h=velocidade média =
2. Proporção
Para compreender melhor o conceito de proporção, vamos nos aprofundar no exemplo 
anterior, da venda de frutas. Você viu que no primeiro ano as vendas de frutas da fazenda 
somaram 300 mil reais e no segundo ano, 450 mil reais. Suponha que as vendas no terceiro 
ano sejam de 600 mil reais e as do quarto ano, 900 mil reais. Dessa forma a razão das vendas 
do quarto ano para as vendas do terceiro ano pode ser calculada pelo quociente: 
1,5
900
600 =
Observe que:
1,5
450
300
900
600= =
Logo, a razão entre as vendas do primeiro e do segundo ano são proporcionais à razão das 
vendas entre o terceiro e o quarto ano.
Matemática Básica e Financeira
41
Conforme vimos,dadas duas razões (b e d não podem ser o número zero), a proporção 
entre elas é a igualdade .
Lemos essa expressão da seguinte forma: “a está para b assim como c está para d”. Toda 
proporção satisfaz a seguinte propriedade:
a
b
c
d
⟹ a d = b c= * *
 
Resumidamente, em toda proporção os produtos cruzados são iguais.
Exemplos:
1) Em virtude da demanda crescente de economia de água, há equipamentos e utensílios, 
como as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez 
dos 15 litros usados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação 
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por 
meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por 
dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí:
⟹ 15 x = 60 6 ⟹ x = = 2415
60
6
x
360
15
= * *
 
O resultado mostra que a bacia ecológica gasta 34 litros, enquanto a não ecológica gasta 
60 litros. Assim a economia será de: 
60 - 24 = 36 litros
3. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Definimos como grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, por exemplo, o tempo, 
a velocidade, o comprimento, o preço, a idade, a temperatura, entre outros. As grandezas são 
classificadas em diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.
3.1. Grandezas diretamente proporcionais
São aquelas grandezas em que a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma 
razão. Se uma dobra, a outra dobra. Se uma triplica, a outra triplica. Se uma é dividida em 
duas partes iguais, a outra também é dividida à metade.
Exemplos:
1) Se três rastelos custam R$ 80,00, o preço de seis rastelos será R$ 160,00. Observe que, se 
dobramos o número de rastelos, também dobramos o valor final deles.
a
b
c
d
e
a
b
c
d
=
Curso Técnico em Agronegócio
42
2) Para percorrer 30 km, um trator gastou 30 litros de diesel. Nas mesmas condições, o trator 
percorrerá 60 km com 60 litros de diesel. E com 120 litros percorrerá 120 km.
A distância percorrida e o consumo de combustível são diretamente proporcionais: se uma aumenta, a outra também aumen-
ta. Fonte: Shutterstock
3.2. Grandezas inversamente proporcionais
Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas 
grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas, temos de dividir a outra por dois. 
Se triplicamos uma delas, devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. 
Exemplos:
1) Para encher um bebedouro de bovinos, são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada 
uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, será preciso 60 vasilhas para encher o 
mesmo bebedouro. Observe que as grandezas “quantidades de vasilhas” e “capacidade 
das vasilhas” são inversamente proporcionais, pois, ao diminuirmos a capacidade de cada 
vasilha, precisamos de um número maior de vasilhas para encher o mesmo bebedouro.
2) O agricultor Pedro deseja realizar em sua fazenda uma festa junina em comemoração 
à boa colheita que teve. Para isso irá comprar 30 latas de refrigerante com capacidade 
de 200 mL cada uma. Caso ele compre latas de 600 mL, deverá comprar dez latas para 
ter a mesma quantidade de refrigerante. Note que as grandezas “quantidade de latas” e 
“capacidade de cada lata em mL” são inversamente proporcionais, pois, ao comprar latas 
com maior capacidade, Pedro precisou de um número menor de latas para obter a mesma 
quantidade de antes.
Matemática Básica e Financeira
43
Grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, o que fazemos com frequência, 
às vezes sem perceber. Nos casos que envolvem proporcionalidade direta e inversa, é de 
extrema importância conhecer a regra de três para a obtenção dos resultados.
4. Regra de três (simples)
Utilizamos regra de três simples na solução de problemas que envolvem grandezas propor-
cionais.
Exemplos:
1) Uma colheitadeira se desloca com velocidade constante, percorrendo 4 km em 1 hora. 
Qual o tempo gasto para percorrer 10 km?
As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, pois, quanto maior a distância, 
maior o tempo necessário. Teremos então uma regra de três simples e direta. Dispomos 
os dados do problema colocando frente à frente aqueles que se correspondem. Marcamos 
x no local do valor procurado, da seguinte forma:
distância
4 km
10 km
1 km
x h
tempo _
_ _
_
_ _
As setas para baixo nos auxiliam a perceber que ambas as grandezas são proporcionais. 
Sendo a regra de três simples e direta, as grandezas são dispostas na mesma ordem de 
correspondência, desta forma:
⟹ 4 x = 10 1 ⟹ x = ⟹ x = 2,54
10
10
4
1
x
= * *
Portanto o tempo gasto para percorrer 10 km é de 2,5 horas.
2) Dois trabalhadores juntos conseguem capinar certo terreno em 6 horas de trabalho. Se, em 
vez de dois, fossem três trabalhadores, em quantas horas o terreno poderia ser capinado?
Nesse caso, as grandezas são inversamente proporcionais, pois, quanto mais trabalhadores 
tivermos, menos horas serão necessárias para terminar o serviço. Assim, teremos uma 
regra de três simples e inversa. Dispondo os dados do problema com as setas para nos 
ajudar, temos:
horas
6 h
x h
2 trabalhadores
3 trabalhadores
trabalhador _
_ __
__
 
h
Curso Técnico em Agronegócio
44
Como as grandezas são inversas, invertemos um dos lados para montar a nossa equação, 
ficando assim:
⟹ 3 x =2 6 ⟹ x = = 4 ⟹ x = 4
x
6
12
3
2
3
= *
Portanto seriam necessárias 4 horas de 3 trabalhadores para capinar o mesmo terreno.
d
Comentário do autor
Como estão seus estudos até aqui? Lembre-se de que você pode assistir às 
videoaulas e acessar o AVA para se aprofundar. Além disso, conte sempre com 
apoio da Tutoria a distância! Resolva todas as suas dúvidas, pois assim você fica 
mais seguro para estudar os tópicos seguintes.
5. Porcentagem
A porcentagem tem inúmeras aplicações no dia a dia. No mercado financeiro, por exemplo, 
é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e 
deflacionários, descontos, aumentos e taxas de juros. 
Os números percentuais possuem representações na forma de fração com denominador 
igual a 100 e, quando escritos de maneira formal, devem aparecer na presença do símbolo 
de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Veja três 
representações de porcentagem de um mesmo valor:
1%
1
100
____ 0,01
O símbolo “%” é lido como “por cento” e significa centésimos. Por isso, “5%” lemos “5 por cento”.
Para calcularmos uma porcentagem, é importante lembrarmos o produto de frações, pois 
procedemos da seguinte forma:
x % de y = y
x
100 *
Exemplos:
1) 
2) 
5% de um terreno de 80 m2 = 80 = 0,05 80 = 4 m²
5
100 **
4% de 32 litros de leite = 32 = 0,04 32 = 1,28% litro de leite
4
100 **
Matemática Básica e Financeira
45
Para transformar frações em porcentagem, realizamos a divisão, depois multiplicamos por 
100 e colocamos o símbolo de porcentagem à sua direita.
Exemplos:
1) Se um produtor rural perder da safra de determinado período, podemos dizer que ele 
perdeu 20% da safra, pois:
= 0,2 ⟹ 0,2 100 = 20%3
15 *
Desse modo, para transformarmos em porcentagem, fazemos a divisão, depois multiplica-
mos por 100 e colocamos o símbolo “%”.
2) Procedendo da mesma maneira que no exemplo anterior, 
18
45 em fração equivale a 40%, 
pois:
18
*= 0,4 ⟹ 0,4 100 = 40%45
Atividade 5: Proporcionalidade
a) Uma bomba eleva 272 litros de água de um poço em 16 minutos. Quantos litros elevará 
em 1 hora e 20 minutos?
b) Doze operários levaram 25 dias para executar determinada obra num celeiro. Quantos 
dias levarão dez operários para executar a mesma obra?
c) Num armazém existem 200 pilhas de caixas com 30 caixas em cada pilha. Se houvesse 25 
caixas em cada pilha, quantas pilhas teríamos no armazém?d) Metade de uma obra em um silo foi feita por dez operários em 13 dias. Quantos tempo 
levaria para terminar essa obra com três operários a mais?
e) Converta as frações a seguir para porcentagem: 
f) Calcule as porcentagens a seguir: 15% de 180, 18% de 150, 35% de 126, 100% de 715, 115% 
de 60 e 200% de 48.
3
15
3
15
3 , , ,
4
8
50
45
18
14
42
Curso Técnico em Agronegócio
46
Tópico 6: Potências 
A operação realizada na potenciação é uma multiplicação por um mesmo número repetidas 
vezes e é representada da seguinte forma: 
Um número base a (que será multiplicado) elevado a um expoente n 
(quantidade de vezes que ele será multiplicado):
 a
n 
= “multiplicar a * a por n repetidas vezes”
Exemplos:
1) 23 = 2 * 2 * 2 = 8
2) (-1)2 = (-1) * (-1) = 1
3) 
d
Comentário do autor
Este conceito será muito útil no próximo tema, sobre matemática financeira, 
pois as fórmulas que veremos utilizam potências. Por isso, fique atento às 
propriedades a seguir e à forma como realizamos as operações fundamentais 
para potências.
1. Regras de potencialização
Devemos ficar atentos às seguintes propriedades das potências:
a) Quando o número não possuir expoente, sua potência será 1, isto é, a = a1.
b) Se o expoente for o número 1, o resultado será a própria base: a1 = a.
• 31 = 3 
• 171 = 17
c) Toda potência de 1 é igual a 1 : 1n = 1.
• 17 = 1
• 199 = 1
1
2
21
2
1
2
1
4
1 1
2 2 === *
*
*
Matemática Básica e Financeira
47
d) Toda potência de 0 é 0: 0n = 0.
e) Qualquer número, exceto 0, elevado a 0 é igual a 1 : a0 = 1.
• 190 = 1
• 00 não faz sentido, ou seja, não podemos fazer essa conta.
f) Se o expoente for negativo, exceto 0, devemos fazer o inverso do número, isto é: 
• 
• 
g) Em potência de frações, devemos elevar o numerador e o denominador ao mesmo 
expoente:
 
• 
• 
h) Potência de base dez – efetuamos as potências de 10 escrevendo à direita do número 1 
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
• 103 = 1.000
• 102 = 100 
i) Expoentes pares – uma potência com expoente par será sempre um número positivo.
• (-3)2 = (-3) * (-3) = 9
• 54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625
j) Expoentes ímpares – uma potência com expoente ímpar terá o sinal do número base.
• (-3)3 = -27
• (-2)5 = -32
a-n 1
an
=
2-1 1
2
=
3-2 1
32
= 1
9
=
an
bn
na
b
=
13
33
31
3
= = 1
27
(- 1)5
25
51
2
= =- 1
32
-
Curso Técnico em Agronegócio
48
2. Multiplicação de potências
Ao multiplicar potências, devemos ficar atentos às bases destas. Temos dois casos: potências 
de mesma base e potências de bases diferentes. Por exemplo: 23 e 24 são potências de mesma 
base, enquanto 32 e 72 são de bases diferentes.
Multiplicação de potências de mesma base
Observe o que acontece quando multiplicamos duas potências de mesma base:
22 * 23 = (2* 2) * (2 * 2 * 2) = 4 * 8 = 32
Note que essa operação é igual a:
22 + 3 = 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32
Logo, quando multiplicamos potências de mesma base, mantemos a base e somamos os 
expoentes:
an * am = an + m
Exemplos:
1) 23 * 25 = 23 + 5 = 28
2) 45 * 41 = 45 + 1 = 46
Multiplicação de potências de bases diferentes e mesmo expoente
Veja agora o que acontece quando multiplicamos duas potências de bases diferentes e com os 
expoentes iguais:
22 * 32 = (2 * 2) * (3 * 3) = 4 * 9 =36
Isso é o mesmo que fazer:
(2 * 3)2 = 62 = 6 * 6 = 36
Dessa forma, quando multiplicamos potências com bases diferentes e expoentes iguais, nós 
multiplicamos os números base e conservamos o expoente:
an * bn = (a * b)n
Exemplos:
1) 32 * 52 = (3 * 5)2 = 152
2) 33 * 73 = (3 * 7)3 = 213
Matemática Básica e Financeira
49
3. Divisão de potências
Na divisão de potências, procedemos como na multiplicação, isto é, temos dois casos.
Divisão de potências de mesma base
Considere a seguinte divisão entre potências de mesma base: 
24
22
16
4
42 2 2 2
2 2
= = =* * *
*
Observe que essa operação é equivalente a:
24 - 2 = 22 = 4
Assim, quando dividimos potências de mesma base, devemos manter a base e subtrair os 
expoentes (“o de cima menos o de baixo”):
an
am
an-m=
Exemplos:
1) 
2) 
Divisão de potências de bases diferentes e mesmo expoente
Veja o que acontece quando dividimos potências de base diferentes e mesmo expoente:
22
32
4
9
2 2
3 3
= =*
*
Agora, utilizando produto de frações, observe que:
2
3
22
3
2
3
4
9
2 2
3 3
== =** *
Logo, para dividir potências de bases diferentes e mesmo expoente, dividimos os números da 
base e conservamos o expoente:
na
b
an
bn
=
Exemplos:
1) 
2) 
45
42
45 - 2 = 43=
32
3
32 - 1 = 31 = 3=
27
2
72
32
=
38
3
83
33
=
Curso Técnico em Agronegócio
50
4. Potência de potências
Agora vejamos outra operação entre potências. Observe o exemplo a seguir, em que 
calculamos a potência de uma potência:
(22)3 = (22) * (22) * (22) = 4 * 4 * 4 = 64
Por outro lado, também podemos dizer que:
22*3 = 26 =2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64
Dessa forma, para calcularmos potência de potências, devemos multiplicar os expoentes e 
repetir a base:
(an)m = an * m
Exemplos:
1) (72)4 = 72 * 4 =78
2) (157)2 = 157 * 2 = 1514
'
Dica
Todo número natural pode ser escrito como produto de potências de 
números primos. Esse fato é conhecido como decomposição em fatores 
primos, assim como procedemos para calcular m.m.c. e m.d.c. Ele é muito 
útil para simplificarmos expressões matemáticas.
Exemplos:
1) 4 = 2 * 2 = 22
2) 12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3 = 22 * 3
3) 30 = 2 * 15 = 2 * 3 * 5 
Atividade 6: Potenciação
a) 13
b) 04
c) (-2)3
Matemática Básica e Financeira
51
d) (-4)3
e) 23 * 25
f) 3 * 32 * 34
g) 
h) 
i) (-3)5 * 55
j) 153 : 33
k) (24)2
l) [(52)3]5
m) 
n) 
o) (23 * 53)0
p) 4-2
q) 2 * 3-1
35
34
34 32
35
*
5
3
2
2
32
3
Curso Técnico em Agronegócio
52
Tópico 7: Raízes
Uma raiz é a operação inversa à potenciação, assim como são inversas a soma e a subtração 
ou a multiplicação e a divisão.
Quando calculamos uma raiz quadrada, por exemplo, estamos procurando qual número que 
elevado 2 nos fornece o número dentro da raiz. Exemplo:
2√9 = 3, pois 32 = 9
De forma genérica, temos:
n√a = x significa qual x é tal que xn = a
Chamamos o número n de índice ou grau da raiz (que deve ser um número natural diferente 
de 0 e 1) e o número a de radicando.
 
• Para encontrarmos o valor de determinada raiz, devemos 
consultar a tabuada desse número.
• Nem todo número possui um valor exato para raiz.
• Quando não aparece índice, subentendemos o número 2, isto 
é, √a = 2√a.
• Se o radicando é o número 1, então para qualquer índice 
teremos como resultado o número 1, ou seja, n√1 = 1.
• A raiz de índice 2 é recebe o nome de raiz quadrada e a de índice 
3 de raiz cúbica. Para outros números, dizemos raiz quarta, raiz 
quinta etc.
Quando resolvemos um exercício que envolve raízes e a raiz em questão não tem resposta 
exata, a menos que o enunciado peça, é melhor deixar indicado o resultado com raiz. Por 
exemplo, é preferível escrever √2 a escrever 1,4 (valor aproximado para raiz quadrada do 
número 2). Isso porque, como vimos no tópico sobre números irracionais, √2 é um número 
irracional e, portanto, não pode ser escrito em forma decimal com todas as suas casas decimais.
j
Informação extra
As raízes são utilizadas em diversas situações, entre elas na medição de distâncias 
entre dois pontos, utilizando o conceito geométrico chamado triângulo retângulo e 
o teorema de Pitágoras. Acesse o AVA e saiba mais sobre esse assunto!
Matemática Básica e Financeira
53
1. Propriedades da raiz 
1.1. Radicandos positivos e negativos
Quando estivermos calculando uma raiz cujo radicando tem sinal negativo, devemos ficar 
atentos se o índice é par ou ímpar.
Índice par
Se o índice da raiz for um número par, então o radicando não pode 
ser um número negativo. Por exemplo, 2√-8 não existe, pois não 
existe um número que ao quadrado resulte em -8.
Índice ímpar
Caso o índice seja um número ímpar, o radicando poderá ter qualquer 
sinal. Por exemplo:
 3√-8 = -2, pois(-2)3 = (-2) * (-2) * (-2) = -8
1.2. Simplificação de raízes
Como você viu no início deste tópico, nem todo número possui um valor exato de raiz. Porém, 
em alguns casos, podemos simplificar e reescrever a raiz. É possível retirarmos um fator do 
radical, bastando escrever o número em fatores primos e em seguida retirarmos todo número 
cujo expoente é igual ao índice da raiz. 
Exemplos:
1) 2√12 = ? 
Observe que não existe nenhum número que elevado a 2 resulte em 12. Entretanto 
podemos reescrever essa raiz de uma forma mais simples. Para isso, você precisa lembrar 
que qualquer número inteiro pode ser escrito como multiplicação de números primos. 
Vamos decompor o número 12 em fatores primos, isto é:
12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3 = 22 * 3
Dessa forma:
2√12 = 2√2²*3
Por fim retiramos da raiz o número 2, pois sua potência é a mesma do índice da raiz, 
ficando:
2√12 = 2√2²*3 = 2 * 2√3 = 22√3
Apenas para fins de comparação, usando uma calculadora podemos verificar os valores 
aproximados das raízes e fazer uma comparação:
2√12 = 22√3 = 3,46… 
2) 2√180 = 2√2²*3²*5 = 2* 3 * 2√5 = 62√5 
Curso Técnico em Agronegócio
54
3) 3√81 = 3√34 = 3√3 * 33 = 33√3
2. Adição e subtração de raízes
A soma e a subtração de raízes podem ser feitas apenas quando os radicandos e os índices 
são iguais. Mas não somamos os números entre das raízes, apenas os que estão do lado de 
fora delas.
Exemplos:
1) 2√3 + 32√3 = 42√3
2) 52√2 + 32√2 = 82√2
3. Multiplicação e divisão de raízes
Podemos multiplicar e dividir raízes de mesmo índice. Nesse caso, multiplicamos ou dividimos 
os radicandos conforme a operação que estivermos fazendo e repetimos a raiz e o índice.
Exemplos:
1) 3√2 * 3√5 = 3√2 *5 = 3√10
2) √5 * √7 * √3 = √5 * 7 * 3 = 105
3) 
4) 
4. Expoentes fracionários
Uma raiz também pode ser representada por meio de uma potência. Utilizamos para isso 
uma potência fracionária da seguinte forma:
Exemplo:
√15
= = √5
√3
15
3
*
Matemática Básica e Financeira
55
No caso de o radicando ser ele mesmo uma potência, escrevemos a raiz 
em forma de fração deste modo:
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
Nesses dois últimos exemplos, note que primeiro escrevemos a raiz em forma de potência e 
depois aplicamos a regra de potência de potências.
d
Comentário do autor
Compreender alguns conceitos matemáticos pode exigir certo esforço, mas com 
seu empenho você conseguirá superar as dificuldades. Lembre-se de que você 
conta com apoio da Tutoria a distância caso tenha dúvidas sobre algum assunto 
ou ao resolver os exercícios.
Atividade 7: Raízes
a) √5 + 3√5 - 2√5 
b) √32 + 2√8 - 3√2 
c) √8 * √3
d) (-√2)2
e) 3√-3 * 3√9
f) 
g) (3√3* 22)2 
2 = =
2
1
2
1- 2 1 1
Curso Técnico em Agronegócio
56
h) 
i) Escrever em forma de raízes: 
Tópico 8: Medidas agrárias
Para encerrarmos este primeiro tema sobre matemática básica, vamos estudar as medidas 
agrárias utilizadas para medir áreas rurais.
Fonte: Shutterstock
As medidas de áreas rurais são diferentes das medidas urbanas: metro, centímetro, decâmetro, 
hectômetro etc., mas elas se relacionam entre si. Por isso, primeiro vamos relembrar as 
medidas de comprimento mais usadas e, em seguida, veremos as medidas agrárias.
1. Unidades de medidas 
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI), o metro (m) é considerado a unidade 
principal de medida de comprimento. Os múltiplos do metro são o quilômetro (km), o 
hectômetro (hm) e o decâmetro (dam) e os submúltiplos são o decímetro (dm), o centímetro 
(cm) e o milímetro (mm). 
3
1
2
3
2
2 e 5
3
4
3
5
Matemática Básica e Financeira
57
Para converter uma unidade em outra, procedemos como no esquema a seguir.
x 10
: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10
x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
Quilômetro
km
Hectômetro
hm
Decâmetro
dam
Metro
m
Decímetro
dm
Centímetro
cm
Milímetro
mm
Da esquerda para a direita – devemos multiplicar pelo número 10 o número de vezes de 
casas que devemos andar.
• 15 km correspondem a 150 hm (andamos apenas uma casa, dessa forma multiplicamos 
por 10) ou equivalem a 15.000 m (3 casas = multiplicar por 10 três vezes, ou seja, por 1.000).
• 1 dm equivale a 100 mm (andamos duas casas e, por isso, multiplicamos por 10 duas 
vezes, isto é, por 100).
Da direita para a esquerda – devemos dividir pelo número 10 o número de casas que 
tivermos de andar.
• 7 cm corresponde a 0,07 m, pois tivemos de andar duas casas para a esquerda e, dessa 
forma, dividimos por 10 duas vezes.
'
Dica
Você pode usar a mesma tabela para conversão de áreas, mas ao invés 
de 10, deve multiplicar ou dividir por 100. Você também pode usar para 
conversão de volumes, mas nesse caso, multiplique ou divida por 1000.
2. Unidades de medidas agrárias
As unidades de medidas agrárias se relacionam com as unidades de medidas de superfície da 
seguinte forma: 
• 1 are (a) = 100 m²
• 1 a * 100 = 1 hectare (ha) = 100 a = 10.000 m²
• = 1 centiare (ca) = 1 centésimo de are = 1 m²
1 a
100
Curso Técnico em Agronegócio
58
No Brasil, a medida oficial de terras é esse sistema decimal, e o 
hectare é a medida mais usada.
Outra medida de superfície comumente utilizada no Brasil é o alqueire, que tem como 
principais variações regionais:
• 1 alqueire do norte = 27.225 m² = 2,72 ha
• 1 alqueire mineiro = 48.400 m² = 4,84 ha
• 1 alqueire paulista = 24.200 m² = 2,42 ha
• 1 alqueire baiano = 96.800 m² = 9,68 ha
Exemplos:
1) Uma propriedade com 11 hectares é equivalente a uma propriedade com 110.000 m², pois: 
1 ha = 10.000 m2 ⇒ 11 ha = 11 * 10.000 m2 = 110.000 m2
2) Um terreno com 2,42 hectares é equivalente a um terreno com 242 a, visto que:
2,42 * 100 = 242
3) Um lote de 5,5 alqueires paulistas é equivalente a um lote com 133.100 m², porque: 
 5,5 * 24.200 m2 = 133.100 m²
Encerramento do tema
Ao longo deste tema você estudou e praticou os conceitos fundamentais da matemática básica. 
Aprendeu os diferentes conjuntos de números e como realizar operações entre números com 
vírgulas ou frações. Conheceu proporcionalidade, regras de três e viu, ainda, potências e sua 
relação com raízes. Fechamos o tema com as principais unidades de medidas agrárias.
No próximo tema, você estudará a matemática financeira. Para isso, certifique-se de ter 
compreendido bem os conceitos que viu até aqui, pois eles auxiliarão no entendimento das 
fórmulas e na resolução dos cálculos que virão.
Matemática 
Financeira
02
Curso Técnico em Agronegócio
60
Tema 2: Matemática Financeira
A matemática financeira é muito importante dentro de uma empresa, pois ela fornece os 
instrumentos necessários para avaliar os recursos mais viáveis em termos de custo e os 
investimentos que podem ser mais rentáveis a curto ou longo prazo. Em outras palavras, a 
matemática financeira é essencial para que uma organização possa minimizar os custos e 
maximizar os resultados.
Contudo, sua aplicação não se restringe apenas às empresas. A matemática financeira é uma 
importante aliada para cálculos pessoais, como a melhor forma de efetuar o pagamento de 
uma casa, de um carro ou até mesmo de eletrodomésticos e das compras do mês.
Fonte: Shutterstock
Matemática Básica e Financeira
61
De modo geral, há momentos em que precisamos guardar e capitalizar o dinheiro e momentos 
nos quais necessitamos gastar com bens e serviços. Quando nosso objetivo é formar um capital 
em uma data futura, temos um processo de capitalização (que pode ser simples ou composto). 
Caso contrário, quando queremos pagar uma dívida, temos um processo de amortização.
Ao longo deste tema, você estudará diferentes conceitos de modo que desenvolva competên-
cias para:
• Compreender e calcular juros simples e montante, juros exatos e comerciais.
• Diferenciar os tipos de descontos simples.
• Calcular a taxa média e o prazo médio em operações de desconto.
• Realizar cálculos de montantes, taxas equivalentes, nominais e efetivas.
• Compreender os tipos de desconto composto.
• Reconhecer os tipos de pagamentos.
• Calcular o valor presente e o valorfuturo de uma renda imediata e de uma renda antecipada.
• Entender o sistema de amortização constante (SAC).
• Realizar análises de investimentos de forma básica.
d
Comentário do Autor
No decorrer deste tema você verá muitos exemplos resolvidos, mas nem todos 
os cálculos estão detalhados. O objetivo é que você compreenda os passos da 
resolução, e por isso algumas etapas apresentam números aproximados. Desse 
modo, mesmo sendo um exemplo resolvido, procure refazer as contas sem 
arredondar os números, pois eles podem mudar o resultado final. Ao término 
você pode considerar aproximações de números com vírgulas, escrevendo o 
sinal igualdade (≈), que deve ser lido como “aproximadamente”.
Antes de prosseguir, considere que a maioria das fórmulas presentes neste tema utiliza 
potências e que, em alguns casos, será preciso calcular raízes. Para isso, você necessitará de 
uma calculadora científica, dos modelos mais simples. Com ela você poderá calcular potências 
e raízes de quaisquer números, conforme o que você aprendeu no tema anterior.
'
Dica
Você pode procurar a versão “calculadora científica” no seu celular, pode baixar 
um aplicativo específico ou, ainda, utilizar a calculadora do Windows. No AVA 
você encontra um tutorial de como calcular raízes e potências com a calculadora 
do Windows. 
Curso Técnico em Agronegócio
62
Tópico 1: Juros simples
O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma 
relação entre o dinheiro e o tempo.
Juros é o “aluguel” que pagamos pelo tempo em que determinada quan-
tia de dinheiro fica emprestada a nós. Também é o pagamento que rece-
bemos quando emprestamos dinheiro a alguém.
O regime de juros simples, ou capitalização simples, consiste em somar os juros mensais ao 
capital no fim do prazo da operação financeira. Contudo, vale salientar que, atualmente, o 
sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Você verá esse 
assunto no Tópico 3.
1. Conceitos 
Antes de partir para os cálculos e exemplos, veja alguns conceitos importantes do universo 
financeiro:
Juros (j)
Juros é o valor cobrado pelo detentor do dinheiro para cedê-lo a quem 
o necessite. Em outras palavras, é um tipo de aluguel cobrado pela 
pessoa ou instituição que possui o dinheiro da pessoa ou instituição 
que precisa do dinheiro.
Capital (P)
Capital é a importância ou o dinheiro disponível para emprestarmos 
a quem dele necessite (do ponto de vista de um investidor) ou que 
necessitamos (do ponto de vista de quem toma emprestado).
Período (n)
Período é o intervalo de tempo em que o capital estará disponível 
para aplicação ou empréstimo.
Montante (F)
Montante é o valor resultante, ao final do período, da soma do capital 
(ou da aplicação financeira), com os juros recebidos (ou pagos), isto é:
montante = capital + juros
Usando as letras F para montante, P para capital e j para juros, 
podemos escrever a fórmula do montante do seguinte modo:
F = P + j
Matemática Básica e Financeira
63
Taxa de juros (i)
Taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) e o capital 
empregado, ou seja:
i
juros
capital
= j
P
=
As taxas de juros podem ser escritas de duas formas:
• Taxa percentual – utilizando a porcentagem, como 12% ao 
ano, ou 12% a.a.
• Taxa unitária – usando uma representação decimal, como 
0,12 ao ano, ou 0,12 a.a.
`
Atenção
lembre-se da forma de transformação que você estudou sobre porcentagem. A 
conversão entre taxa percentual e unitária é feita da seguinte maneira:
• Taxa percentual em taxa unitária – dividimos a taxa por 100 e tiramos o 
símbolo %. Por exemplo: uma taxa percentual de 1,25% equivale a taxa unitária 
de 0,0125, pois:
0,0125
1,25
100
=
• Taxa unitária em taxa percentual – multiplicamos a taxa unitária por 100 e 
colocamos o símbolo %. Por exemplo, uma taxa 1,53 unitária equivale a 153%, 
visto que:
Nas fórmulas, todos os cálculos são efetuados utilizando a taxa unitária 
de juros e tanto o prazo da operação quanto a taxa de juros devem 
estar na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se a taxa for anual, 
o prazo (n) também deve estar em anos, mantendo-se, assim, o mesmo 
parâmetro de tempo. Usaremos sempre o ano comercial com 360 dias e 
o mês comercial com 30 dias.
Para entender melhor, acompanhe este exemplo: qual a taxa de juros cobrada em um 
empréstimo de insumos agrícolas no valor de R$ 1.000 resgatado por R$ 1.200 ao final de um 
ano?
Curso Técnico em Agronegócio
64
O enunciado nos fornece os seguintes dados:
• Capital inicial: P = 1.000
• Juros: j = 1.200 – 1.000 = 200
Portanto a taxa de juros ( i ) é dada por:
i = = 0,20 a.a., ou 20% a.a.
200
1.000
2. Cálculo de juros simples e do montante
2.1. Cálculo de juros simples
No critério de juros simples, em cada período os juros são calculados sobre o capital inicial, 
sendo diretamente proporcionais ao valor e ao tempo de aplicação. O valor dos juros simples 
é obtido pela fórmula:
juros simples = (capital) * (taxa de juros) * (período)
Utilizando j para juros, P para capital, i para a taxa juros e n para período, podemos reescrever 
a fórmula anterior assim:
j = P * i * n 
Exemplos:
1) Calcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo para a compra de um trator 
de R$ 12.500 pelo prazo de 18 meses à taxa de 1,5% ao mês (por abreviação, a.m.).
Vejamos os dados que o problema nos fornece:
• Capital: P = 12.500
• Período: n = 18 meses
• Taxa de juros: i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
• Juros: j = ?
Note que o período e a taxa de juros estão na mesma unidade de tempo, ou seja, em 
meses. Aplicando diretamente a fórmula anterior, calcularemos os juros simples:
j = 12.500 * 18 * 0,015 = 3.375
Portanto, o valor dos juros é R$ 3.375. 
Matemática Básica e Financeira
65
2) Calcular o valor de um empréstimo para a reforma de um celeiro, à taxa de 36% ao ano e 
pelo prazo de 8 meses, sendo pagos R$ 12.000 de juros.
Dados do problema:
• Taxa de juros: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. 
• Período: n = 8 meses
• Juros: j = 12.000
• Capital: é o valor do empréstimo que desejamos calcular, isto é, P = ?
Antes de aplicarmos a fórmula e encontrarmos P, precisamos fazer uma conversão na taxa 
de juros, pois o período é dado em meses e a taxa ao ano. Como em um ano temos 12 
meses, para encontrar a taxa de juros ao mês devemos dividir o valor que temos por 12:
i = 36% a.a. = = 3% a.m. = 0,03 a.m.
36% a.a.
12
Vamos utilizar os dados na fórmula e isolar P:
12.000 = P * 0,03 * 8 ⟹ P = = 50.000
12.000
0,24
 
Portanto o valor do empréstimo, ou seja, do capital, é R$ 50.000.
3) Uma aplicação numa letra de crédito do agronegócio (LCA) de R$ 19.000, pelo prazo de 
120 dias, obteve um rendimento de R$ 1.825. Qual a taxa anual de juros simples dessa 
aplicação?
Dados:
• Capital: P = 19.000
• Período: n = 120 dias
• Juros: aqui indicado pela palavra “rendimento”, j = 1.825
• Taxa de juros: queremos calcular a taxa ao ano, i = ? a.a.
Vamos utilizar a fórmula dos juros simples isolando o termo i:
1.825 = 19.000 * i * 120 ⟹ i = = 0,0008
1.825
2.280.000
Portanto encontramos uma taxa de juros de aproximadamente 0,008% ao dia, já que 
nosso período foi dado em dias. Mas precisamos da taxa anual. Como em um ano temos 
360 dias, basta multiplicar a taxa diária que encontramos por 360. Dessa forma:
i = 0,008 * 360 = 28,8
Portanto a taxa de juros é de 28,8% ao ano.
Curso Técnico em Agronegócio
66
2.2. Cálculo do montante
O montante é o valor resultante, ao final do período, da soma do empréstimo (ou da aplicação 
financeira) com os juros pagos no período, isto é: 
montante = capital + juros
Usando a fórmula dos juros simples e considerando F para montante, P para capital, i para 
taxa de juros e n para período, o montante é calculado por:
F = P * (1 + i * n)
Note que a fórmula de juros simples e esta são iguais. Dependendo dos dados que tivermos 
em mãos, podemos usar uma ou outra.
Exemplos:
1) Um fazendeiro aplicou R$