Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
ELETRÔNICA ANALÓGICA AULA 4 Profª Viviana Raquel Zurro 2 AMPLIFICADORES OPERACIONAIS CONVERSA INICIAL Caro aluno, nesta aula estudaremos amplificadores operacionais (Amp Op). Circuitos eletrônicos com transistores discretos são difíceis de projetar e calcular e, quando montados numa placa, ocupam muito espaço, sendo menos eficazes que os Amp Op, que são circuitos integrados compostos por até centos de transistores num único chip. Nos circuitos transistorizados discretos, além de todos os componentes (resistores, capacitores e os próprios transistores) terem a própria margem de erro, as conexões entre eles (pistas da placa) são muito longas (comparando com as conexões internas do circuito integrado), e podem se comportar como antenas captando ruído externo, o qual diminui a precisão do sistema. O Amp Op leva esse nome porque é capaz de realizar operações matemáticas com o sinal de entrada, podendo ser: multiplicador por uma constante (inversor ou não inversor), somador, subtrator (diferencial), separador entre etapas (seguidor), conversor corrente – tensão, conversor tensão – corrente, derivador (diferenciador), integrador e outras aplicações não lineares. Nesta aula estudaremos o Amp Op ideal. TEMA 1 – O AMP OP O Amp Op é um amplificador com ganho de tensão muito alto, chamado de “ganho de laço aberto” (ou “ganho de malha aberta”). O ganho de laço aberto é característico do dispositivo e é dado do fabricante. Quanto maior o ganho, melhor o amplificador. O símbolo do Amp Op é apresentado na Figura 1. 3 Figura 1 – (a) Símbolo do Amp Op; (b) conexões da fonte simétrica no amplificador (a) (b) Fonte: Sedra; Smith, 2000. A tensão de saída é igual a: 𝑣𝑜 = 𝐴(𝑣2 − 𝑣1) (1) Sendo: 𝐴: Ganho de laço aberto; 𝑣2 = 𝑣 +: tensão da entrada não inversora; 𝑣1 = 𝑣 −: tensão da entrada inversora; 𝑣𝑜: tensão de saída. A maioria dos circuitos com Amp Op apresenta saída em modo comum (tensão de saída única), poucos são os circuitos que apresentam saída diferencial (como a saída da primeira etapa do amplificador de instrumentação a ser estudado nesta aula). Como o ganho de laço aberto é muito alto, os circuitos são projetados com realimentação negativa para ter um ganho de laço fechado muito menor, determinado pelo projetista e quase totalmente dependente dos elementos externos, o que garante estabilidade e banda passante (BP) larga. 1.1 Projeto de circuitos eletrônicos O uso de Amp Op no projeto de circuitos eletrônicos facilita o processo, tornando os circuitos mais simples, estáveis e fáceis de calcular. Para tensões de entrada superiores a 100 mV, o dispositivo pode ser considerado ideal, mas, para tensões de entrada inferiores, todas as características e dados do fabricante de um amplificador real deverão ser considerados. 4 Cada Amp Op possui características diferentes tanto de entrada quanto de saída, então o dispositivo deverá ser escolhido de acordo com as características do sinal de entrada e com o tipo de processamento que se pretende fazer. Cada sensor ou etapa eletrônica anterior ao circuito têm características próprias de saída, como impedância e tensão (equivalente Thévenin), que a entrada do circuito deverá respeitar estritamente para que haja máxima transferência de potência entre a saída da etapa anterior e a entrada do circuito com Amp Op. Caso não seja possível encontrar um dispositivo que cumpra exatamente as exigências do projeto, o Amp Op que tenha as características mais parecidas com as necessárias deverá ser escolhido, e o circuito deverá ser adaptado para uma melhor resposta do sistema. Quando se trabalha com sinais de entrada menores do que 100 mV, o circuito do Amp Op deverá ser modificado para correção dos parâmetros reais do amplificador. Todos os módulos do sistema deverão ser adequados e ajustados para seu funcionamento correto. Estas correções são necessárias para que os Amp Op se comportem o mais próximo possível do ideal. Quando o sinal (ou sinais de entrada) for maior do que 100 mV, estes erros do dispositivo podem ser desprezados, e o dispositivo pode ser considerado ideal para o desenvolvimento do sistema. 1.1.1 Comportamento com sinais contínuos O ganho de laço aberto é característico do dispositivo e é dado do fabricante, e está na sua folha de dados (datasheet). Este ganho corresponde à relação saída-entrada em laço aberto, quando não há realimentação negativa. Na prática, ele pode ser considerado um valor infinito, mas na realidade tem um valor muito alto, e é definido pela equação número (1). Nos dispositivos atuais, ele varia entre 100.000 e 1.000.000 para dispositivos comuns. Realimentando negativamente, esse ganho, chamado “ganho de laço fechado” (ou “malha fechada”), é muitíssimo menor, mas o sistema fica estável e com BP maior. Os Amp Op têm limites, e o projetista deve levar em conta todas a limitações para fazer o projeto. 5 1.1.2 Comportamento com sinais variáveis O ganho do amplificador calculado para corrente contínua ou baixas frequências não se aplica a sinais variáveis fora da faixa de frequência de operação do dispositivo, devido às limitações do Amp Op real. Os amplificadores baratos e de uso comum têm uma BP de até alguns MHz, mas, com amplificadores especiais de alta velocidade, a BP pode atingir centos de MHz. 1.2 Limitações Os Amp Op reais, devido às diferenças entre os transistores de entrada e variações dos componentes internos, têm limitações que devem ser consideradas. Os Amp Op mais exatos, avançados e caros chegam mais perto das condições ideais do que os comuns, mas não chegam a ter as características de um amplificador ideal. Todos podem ser considerados ideais sempre e quando o sinal de entrada for suficientemente grande. 1.3 Características do amplificador real Ganho: finito, entre 100.000 e 1.000.000 de vezes; Impedância de entrada: finita. Mesmo estando entre M e T em alguns projetos específicos, ela deve ser considerada; Impedância de saída: maior do que zero – deve ser considerada quando trabalharmos com cargas de baixa impedância que requerem fornecimento de corrente (potência), com exceção de saídas de baixa tensão; Correntes nas entradas: correntes entre nA e pA, chamadas de “correntes de polarização de entrada”. As correntes nas entradas inversora e não inversora são ligeiramente diferentes, pois os transistores de entrada não são iguais (no amplificador ideal eles são exatamente iguais); Tensão de offset de entrada: acontece devido às diferenças entre os transistores da configuração diferencial de entrada, quando as duas entradas 𝑣+ e 𝑣− estão na mesma tensão, e a tensão de saída (que é zero no amplificador ideal) é diferente de zero. Muitos Amp Op têm pinos de correção de offset e, para os que não têm, deverá ser implementado um circuito para correção; 6 BP (ou largura de banda – faixa) finita: todos os amplificadores reais têm BP finita; isso significa que a faixa de frequência de operação é limitada pelas próprias características do dispositivo; Capacitância de entrada: atrapalha o funcionamento em altas frequências; Saturação: a tensão de pico de saída é limitada pela fonte de alimentação a um valor levemente menor que o da própria fonte; Slew rate: velocidade de resposta da saída às variações de entrada. No amplificador ideal este valor é infinito, o que faz com que ele responda instantaneamente às variações de entrada. No amplificador real este valor é finito, portanto, o amplificador não responde instantaneamente; Potência: limitada pelo próprio dispositivo e pela fonte de alimentação; Temperatura: como todos os dispositivos semicondutores, a operação do Amp Op depende da temperatura. O circuito interno dos Amp Op varia de fabricante para fabricante,e há muitos dispositivos com diferentes características disponíveis no mercado. Mas a estrutura interna é basicamente igual, composta por blocos, como mostra a Figura 2. Figura 2 – Diagrama de blocos de um Amp Op Estágio diferencial de entrada: provê alta impedância de entrada, isolando o circuito da etapa anterior. Este estágio geralmente tem entrada e saída diferencial; Estágio de processamento: amplificador de tensão, provendo um alto ganho de tensão, geralmente com saída em modo comum; Estágio de saída: fornece altas correntes com baixa impedância de saída, etapa de potência do amplificador. 1.4 Estrutura interna de um Amp Op LM741 A Figura 3 mostra o circuito interno de um CI LM741. Ela mostra somente o circuito simplificado correspondente ao sinal. Toda a parte de polarização foi retirada para facilitar a visualização do sistema. 7 Figura 3 – Circuito interno de um Amp Op integrado LM741 com entrada diferencial de transistores de junção Fonte: Braun, 2007. 1.4.1 Fontes (ou espelhos) de corrente Os blocos tracejados em vermelho são espelhos ou fontes de corrente. A corrente principal do circuito, a partir da qual são geradas as outras correntes, é determinada pelas fontes de alimentação do chip e pelo resistor de 39 k, que atua como fonte de corrente em conjunto com os transistores Q10, Q11, Q12 e Q13. A polarização dos transistores de entrada é controlada pelas fontes de corrente formadas por Q8, Q9, Q10 e Q11. A fonte constituída por Q8 e Q9 favorece que as tensões de modo comum nas entradas não ultrapassem a região ativa dos transistores de entrada. A fonte constituída por Q10 e Q11 determina indiretamente a corrente no estágio de entrada. Esta corrente está definida pelo resistor de 5 k. As fontes de corrente Q8/Q9 e Q10/Q11 trabalham em conjunto como circuito de alta impedância, que se comporta como diferenciador de corrente. Q10 define a corrente do estágio de entrada e, se o transistor Q8 detectar que esse estágio tende a desviar corrente, o transistor Q9 percebe essa variação corrigindo a tensão nas bases dos transistores Q3 e Q4. Assim, as correntes de polarização do estágio de entrada são mantidas, estabilizadas e controladas por um sistema com alto ganho e realimentação negativa. A fonte constituída por Q12 8 e Q13 fornece corrente constante para o amplificador intermediário (estágio em classe A) formado por Q15, Q19 e Q22 por meio do coletor de Q13. 1.4.2 Circuito diferencial de entrada O amplificador diferencial de entrada é o bloco tracejado em azul. Q1 e Q2 em configuração coletor comum formam o estágio de entrada diferencial junto com Q3 e Q4 em base comum. Q3 e Q4 alimentam o amplificador intermediário em classe A, provendo ganho de tensão. Os transistores Q5 a Q7 formam uma fonte de corrente de carga ativa. Q7 reduz a quantidade de corrente de sinal de que o Q3 precisa para controlar as bases de Q5 e Q6, aumentando a precisão da fonte de corrente. A fonte formada por Q5 a Q7 provê a saída em modo comum do primeiro estágio da seguinte maneira: Q3 fornece a corrente de sinal de entrada para a fonte, e o coletor de Q4 é conectado ao coletor de Q6, que é a saída da fonte, na qual as correntes de Q3 e Q4 são somadas, formando uma saída única. Como as correntes de polarização das entradas são diferentes de zero e a impedância de entrada 𝑅𝑖 ≅ 2𝑀, aparecerá uma tensão de offset de entrada que deverá ser compensada por ajuste externo. Nos chips de oito pinos com um Amp Op, os pinos 1 e 7 têm a finalidade de corrigir o offset colocando um potenciômetro entre eles. Na Figura 4 podemos ver o diagrama de blocos de um LM741, e os pinos são os seguintes: 1. Correção de offset (em conjunto com 5); 2. Entrada inversora 𝑣−; 3. Entrada não inversora 𝑣+; 4. Fonte de alimentação negativa 𝑉𝐸𝐸; 5. Correção de offset (em conjunto com 1); 6. Saída 𝑣𝑜; 7. Fonte de alimentação positiva 𝑉𝐶𝐶; 8. Sem conexão (no connection). 9 Figura 4 – Circuito integrado (chip) LM741 Fonte: Farichild Semiconductor, 2001. 1.4.3 Estágio em classe A O estágio intermediário tracejado em magenta é composto por dois transistores Q15 e Q19 em configuração Darlington, com fonte de corrente como carga de coletor para obter um alto ganho. A realimentação negativa variável com a frequência é proporcionada pelo capacitor de 30 pF, para estabilizar o Amp Op em configurações de realimentação. Este é o chamado “efeito Miller”, e o princípio de funcionamento é similar ao de um circuito integrador. Também é chamada de “compensação por polo dominante”, por colocar um polo que mascara os outros polos do sistema (dominante) na resposta em laço aberto. Isso torna o amplificador mais fácil de utilizar, pois aumenta grandemente a estabilidade do sistema. 1.4.4 Estágio adaptador de nível O estágio anterior à saída, adaptador de nível de tensão composto pelo transistor Q6, tracejado em verde, atua como uma “fonte de tensão”. A queda de tensão constante entre coletor e emissor é independente da corrente do circuito. Se a corrente na base de Q16 for aproximadamente zero, e a tensão 𝑉𝐵𝐸16 ≅ 0,65 [𝑉] (característico do transístor de silício na região ativa), a corrente nos resistores de 4,5 kΩ e 7,5 kΩ será a mesma, mantendo estável a tensão do transistor. A função desse transistor é prevenir a distorção de crossover na etapa de saída. Para resolver esse problema, o Q16 pode ser substituído por diodos de silício, mas com estabilidade menor. 10 1.4.5 Etapa de saída de potência A etapa de saída tracejada em azul-céu é formada por Q14, Q17 e Q20, cuja entrada é a saída de Q16, e é controlada por Q13 e Q19 (pela corrente de coletor desses transistores). A amplitude máxima do sinal de saída atinge uma tensão aproximadamente igual à tensão de alimentação menos 1 V, e depende das tensões 𝑉𝐶𝐸 dos transistores Q14 e Q20 polarizados em classe AB em configuração push-pull. O resistor de 25 Ω na saída funciona como sensor de corrente, limitando a corrente do transistor Q14 (em configuração de coletor comum – seguidor de emissor) a aproximadamente 25 mA no caso do LM741. A impedância de saída não é zero, mas com a realimentação negativa, ela se aproxima de zero (Wikipedia, 2019). TEMA 2 – O AMP OP IDEAL As características do amplificador real são consideradas quando os sinais de entrada são muito pequenos. Nesta disciplina, estudaremos o Amp Op ideal e trabalharemos com sinais de entrada de amplitude superior a 100 mV. O Amp Op é um dos dispositivos mais versáteis da eletrônica, tanto para aplicações analógicas quanto digitais. Ele tem características que o fazem adequado para inúmeras aplicações. Figura 5 – Amp Op ideal – circuito equivalente Fonte: Sedra; Smith, 2000. 11 A Figura 6 mostra o modelo e as características do amplificador real. Figura 6 – Modelo do Amp Op real Fonte: Boylestad; Nashelsky, 2013. Os pinos evidenciados na Figura 6 são: Entrada inversora 𝑣−; Entrada não inversora 𝑣+; Fonte de alimentação negativa 𝑉𝐸𝐸 = 𝑉𝑆−, ou terra nos amplificadores de fonte única; Fonte de alimentação positiva 𝑉𝐶𝐶 = 𝑉𝑆+; Saída 𝑣𝑜. Os terminais de alimentação podem ser nomeados de várias formas. Por exemplo, para Amp Op com tecnologia FET, esses terminais são denominados 𝑉𝐷𝐷 = 𝑉𝑆+, conectados ao dreno, e 𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑆−, conectados à fonte. Para amplificadores com tecnologia de transistor de junção, 𝑉𝐶𝐶 = 𝑉𝑆+, pois estão conectados ao coletor, e 𝑉𝐸𝐸 = 𝑉𝑆−, conectados no emissor. Para simplificar o desenho do circuito, esses terminais são retirados na maioria das vezes. 2.1 Características do Amp Op ideal Impedância de entrada 𝑅𝑖𝑛 ⟶ ∞; Impedância de saída 𝑅𝑜𝑢𝑡 ⟶ 0; Ganho de laço aberto 𝐺 ou 𝐴𝑉 ⟶ ∞; Banda passante 𝐵𝑃 ⟶ ∞; As tensões nas entradas são exatamenteiguais 𝑣+ = 𝑣−; Tensão diferencial de entrada 𝑣𝑖𝑛 = 𝑣 + − 𝑣− = 0; Tensão de saída para entradas iguais 𝑣𝑜𝑢𝑡 = 0; 12 𝐼+ = 𝐼− = 0; Independente da temperatura. Como os Amp Op são alimentados por tensão contínua e trabalham com sinais variáveis, usaremos a nomenclatura correta: maiúsculas para os valores de contínua e minúsculas para os sinais: Tensão de entrada de sinal 𝑣𝑖 (i de input, em inglês); Tensão de saída de sinal 𝑣𝑜 (o de output, em inglês); 𝑉 para todas as fontes de alimentação. 2.1.1 Massa virtual de entrada Massa virtual, terra virtual ou curto-circuito virtual: a tensão de determinado ponto de um circuito é igual a uma tensão de referência sem ele estar conectado fisicamente a essa referência. Essa massa virtual é o ponto- chave para o funcionamento de Amp Op, se comportando como curto-circuito por onde não circula corrente. A Figura 7 mostra a massa virtual de entrada de um Amp Op. Figura 7 – Massa virtual de entrada de um Amp Op Fonte: Adaptado de Boylestad; Nashelsky, 2013. 𝑣+ = 𝑣− 𝑣𝑖𝑛 = 𝑣 + − 𝑣− = 0 𝐼+ = 𝐼− = 0 A Figura 8 mostra de onde vem o efeito da massa virtual de entrada. Considerando o Amp Op ideal, todos os transistores têm exatamente os mesmos parâmetros. Como a tensão base emissor do transistor de silício na região ativa é aproximadamente igual a 0,7 V e, seguindo o laço indicado pela seta verde: 13 𝑣− − 𝑣+ = 𝑉𝐵𝐸1 + 𝑉𝐵𝐸3 − 𝑉𝐵𝐸4 − 𝑉𝐵𝐸2 (2) 𝑣− − 𝑣+ = 0,7 + 0,7 − 0,7 − 0,7 = 0 [𝑉] (3) Como verificado pela Equação 3, existe um “curto-circuito” entre 𝑣− e 𝑣+, mesmo sem haver contato entre os terminais de entrada. Como os transistores Q5 a Q7 da Figura 3 formam um espelho de corrente de carga ativa com impedância tendendo a infinito, representados pelo bloco vermelho da Figura 8, as impedâncias vistas desde as entradas do Amp Op serão infinitas. Figura 8 – Estágio diferencial de entrada; massa virtual Fonte: Adaptado de Braun, 2007. 𝑅𝑖1 = 𝑅𝑖𝑄1 + 𝑅𝑖𝑄3 + 𝑅𝑒 = ∞ 𝑅𝑖2 = 𝑅𝑖𝑄2 + 𝑅𝑖𝑄4 + 𝑅𝑒 = ∞ (4) Como as impedâncias vistas desde as duas entradas (impedância Thévenin) são infinitas, as correntes nas entradas serão 𝐼+ = 𝐼− = 0. Então, verificando as Equações 3 e 4, é possível justificar a existência de massa virtual na entrada do Amp Op. 2.1.2 Estágio de saída A etapa de saída do Amp Op formada pelos transistores Q14, Q17 e Q20, sendo Q14 e Q20 polarizados em classe AB em configuração push-pull, tem a capacidade de fornecer e receber (puxar) corrente, fazendo que o sinal de saída possa ser em parte positivo e em parte negativo, no caso de amplificadores com fonte de alimentação simétrica. A Figura 9 mostra o funcionamento do estágio de saída. Para sinal de saída positivo, a fonte de alimentação positiva entrega corrente para a carga 14 (seta verde), e uma pequena parte pode se desviar para a fonte negativa. Para sinal de saída negativo, a fonte de alimentação negativa puxa corrente da carga (seta vermelha); uma pequena parte dessa corrente pode vir da fonte positiva. O fato de os transistores Q14 e Q20 estarem polarizados em classe AB permite que a saída do LM741 não tenha erro de crossover (ou seja mínimo). A potência de saída é menor que a dos CIs com transistores polarizados em classe B, mas o erro de crossover prejudica bastante o sinal (principalmente se for de áudio). Esses últimos Amp Op, na maioria das vezes, precisam de filtros extra para compensar esse erro. Figura 9 – Estágio de saída de um Amp Op LM741 Fonte: Adaptado de Braun, 2007. TEMA 3 – CIRCUITOS BÁSICOS O Amp Op tem esse nome porque inicialmente foi projetado para realizar operações matemáticas com o sinal (ou sinais) de entrada. Desde sua criação, passou por inúmeras melhorias, ganhando posição de destaque, executando as mais variadas funções com um único circuito integrado e poucos componentes externos. 15 3.1 Operações matemáticas Sendo 𝑣𝑖 o sinal de entrada e 𝑣𝑜 o de saída: Multiplicador por uma constante (inversor ou não inversor): 𝑣𝑜 = |𝐴𝑣|𝑣𝑖; Inversor: 𝑣𝑜 ≡ −𝑣𝑖; Não inversor: 𝑣𝑜 ≡ 𝑣𝑖. Somador: 𝑣𝑜 ≡ 𝑣𝑖1 + 𝑣𝑖2 + ⋯ + 𝑣𝑖𝑛; Diferencial: 𝑣𝑜 ≡ 𝑣𝑖2 − 𝑣𝑖1; Seguidor: 𝑣𝑜 = 𝑣𝑖; Conversor corrente – tensão: 𝑣𝑜 ≡ 𝑖𝑖; Conversor tensão – corrente: 𝑖𝑜 ≡ 𝑣𝑖; Diferenciador: 𝑣𝑜 ≡ 𝑑𝑣𝑖 𝑑𝑡 ; Integrador: 𝑣𝑜 ≡ ∫ 𝑣𝑖𝑑𝑡; Outras aplicações não lineares que serão estudadas em outra disciplina. 3.2 Aplicações Em todas as aplicações a seguir, será aplicado o conceito de massa virtual considerando o Amp Op ideal. Já que, com a tecnologia atual, os valores de impedância de entrada e ganho são muito altos, e a impedância de saída, muito baixa, as aproximações de cálculo não comprometem o resultado final para sinais de entrada maiores do que 100 𝑚𝑉. Nas seções a seguir, faremos a dedução da fórmula do ganho de tensão em laço fechado para todos os circuitos básicos. Cabe lembrar que essas fórmulas se aplicam somente ao Amp Op ideal e podem ser facilmente deduzidas com base em equações de nós (principalmente) e de malhas, caso o aluno não se lembre da fórmula. Nota Se o sinal a ser amplificado entra na entrada inversora, o sinal de saída sairá invertido (defasagem de 180o em relação à entrada). Por outro lado, se o sinal entra na entrada não inversora, o sinal de saída sairá em fase com a entrada (defasagem de 0o em relação à entrada). 𝑣+ = 𝑣− 𝐼+ = 𝐼− = 0 16 3.2.1 Amplificador inversor A configuração do amplificador inversor é apresentada na Figura 10. O sinal de entrada representado pela fonte 𝑣𝑖 é injetado na entrada inversora por meio do resistor 𝑅1. O resistor 𝑅2 proporciona realimentação negativa, que permite estabilizar o ganho do amplificador. Figura 10 – Amplificador inversor Considerando a massa virtual da entrada: 𝑣+ = 𝑣− = 0 Como as correntes nas entradas 𝐼+ = 𝐼− = 0, a corrente 𝑖 proveniente do gerador de sinal circula como indicado pela seta azul na Figura 10. Aplicando equação de nó em 𝑣−, teremos a seguinte situação: 𝑖 = 𝑣𝑖 − 𝑣 − 𝑅1 = 𝑣− − 𝑣0 𝑅2 ⟹ 𝑣𝑖 𝑅1 = − 𝑣0 𝑅2 Com base na última equação, podemos deduzir que o ganho do amplificador inversor é determinado pelas resistências dos resistores externos: 𝐴𝑉 = 𝑣0 𝑣𝑖 = − 𝑅2 𝑅1 (5) Exemplo: sendo a entrada 𝑣𝑖 = 3 [𝑉] e os resistores 𝑅1 = 1 [𝑘Ω] e 𝑅2 = 2 [𝑘Ω], a tensão de saída do circuito será: 𝑣0 = 𝐴𝑉𝑣𝑖 = − 𝑅2 𝑅1 𝑣𝑖 = − 2𝑘 1𝑘 . 3 = −6 [𝑉] 17 Figura 11 – Tensões de entrada (verde) e saída (azul) de um amplificador inversor 3.2.2 Amplificador não inversor A configuração do amplificador não inversor é apresentada na Figura 12. O sinal de entrada representado pela fonte 𝑣𝑖 é injetado diretamente na entrada não inversora, e o resistor 𝑅2 proporciona realimentação negativa para estabilizar o ganho de tensão. Para calcular o ganho desse amplificador, pode-se usar dois métodos: Por divisor de tensão em 𝑣−; Por corrente: 𝑣+ = 𝑣− = 𝑣𝑖 Divisor de tensão: 𝑣𝑖 = 𝑣0 𝑅1 𝑅1 + 𝑅2 ⟹ 𝑣𝑖(𝑅1 + 𝑅2) = 𝑣0𝑅1 ⟹ 𝑣0 𝑣𝑖 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅1 𝐴𝑉 = 1 + 𝑅2 𝑅1 (6) Por corrente: 𝐼+ = 𝐼− = 0, a corrente 𝑖 proveniente (pode estar no sentido contrário também) da saída circula como indicado pela seta azul na Figura 12. Aplicando a equação de nó em 𝑣−, teremos a seguinte situação: 𝑖 = 𝑣0 − 𝑣 − 𝑅2 = 𝑣− − 0 𝑅1 ⟹ 𝑣0 − 𝑣𝑖 𝑅2 = 𝑣𝑖 − 0 𝑅1 𝑣𝑖 ( 1 𝑅1 + 1 𝑅2 ) = 𝑣0 𝑅2 ⟹ 𝑣𝑖 ( 𝑅2 + 𝑅1 𝑅1𝑅2 ) = 𝑣0 𝑅2 18 𝑣0 𝑣𝑖 = 𝑅2 ( 𝑅2 + 𝑅1 𝑅1𝑅2 ) = 𝑅2 + 𝑅1 𝑅1 𝐴𝑉 = 𝑣0 𝑣𝑖 = 1 + 𝑅2 𝑅1 (7) As Equações 6 e 7 são iguais, portanto, o ganho de tensão do amplificador não inversor pode ser calculado pelos dois métodos. Figura 12 – Amplificador não inversorFigura 13 – Tensões de entrada (verde) e saída (azul) de um amplificador não inversor 3.2.3 Amplificador somador A configuração do amplificador somador é apresentada na Figura 14. Os sinais de entrada representados pelas fontes 𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2 e 𝑣𝑖3 são injetados na entrada inversora por meio de 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3. O resistor 𝑅𝑥 proporciona realimentação negativa para estabilizar o ganho de tensão. Como todos os sinais de entrada estão entrando na entrada inversora, a tensão de saída será 19 proporcional a cada uma das entradas invertidas. Devido à massa virtual de entrada, as fontes de sinal estarão isoladas entre elas, e as correntes de entrada se somarão para constituir a corrente 𝑖. Esse amplificador, como o nome indica, soma sinais de entrada. Figura 14 – Amplificador somador 𝑣+ = 𝑣− = 0 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 + ⋯ + 𝑖𝑛 𝑣− − 𝑣0 𝑅𝑥 = 𝑣1 − 𝑣 − 𝑅1 + 𝑣2 − 𝑣 − 𝑅2 + 𝑣3 − 𝑣 − 𝑅3 𝑣0 = − 𝑅𝑥 𝑅1 𝑣1 − 𝑅𝑥 𝑅2 𝑣2 − 𝑅𝑥 𝑅3 𝑣3 (8) Segundo a Equação 8, o sinal de saída será proporcional à soma das tensões das entradas multiplicadas pelos seus ganhos individuais. Se os resistores ligados aos geradores de sinal forem iguais, o ganho do amplificador será igual para todas as entradas: 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 𝑣0 = − 𝑅𝑥 𝑅1 ∑ 𝑣𝑖 𝑛 𝑖=1 𝐴𝑉 = − 𝑅𝑥 𝑅1 (9) 20 Figura 15 – Tensões de entrada e saída (verde) de um amplificador somador 3.2.4 Amplificador seguidor – separador ou buffer Muitas vezes é necessário isolar eletronicamente certas etapas do circuito. Por exemplo, etapas de baixa potência precisam ser isoladas das etapas de potência, pois estas podem interferir nos sinais de baixa potência (ruído). Para isso, usam-se diferentes tipos de separadores entre etapas, e o Amp Op, nessa configuração, se comporta como separador eletrônico. Existem outros separadores (como transformadores e acopladores óticos) que separam os estágios fisicamente. O circuito seguidor, a diferença desses outros, está conectado entre os dois estágios. Figura 16 – Seguidor O sinal de entrada está diretamente ligado à entrada não inversora, portanto: 𝑣𝑖 = 𝑣 + = 𝑣− = 𝑣𝑜 (10) 21 Esse circuito não fornece ganho de tensão (nos amplificadores reais, a tensão de saída é ligeiramente menor que a tensão de entrada), mas tem grande capacidade para fornecer corrente. Figura 17 – Tensões de entrada e saída de um seguidor (as tensões estão superpostas) 3.2.5 Amplificador diferenciador ou derivador A saída do amplificador diferenciador é proporcional à derivada da entrada. Esse circuito apresenta problemas de estabilidade em determinadas frequências, o que limita muito seu uso. 𝑖 = 𝐶 𝑑𝑣𝑖 𝑑𝑡 = 𝑣− − 𝑣𝑜 𝑅 Como 𝑣− = 𝑣+ = 0: 𝑣𝑜 = −𝑅𝐶 𝑑𝑣𝑖 𝑑𝑡 (11) Figura 18 – Amplificador diferenciador 22 Colocando uma onda quadrada, a derivada deveria ser igual a zero (derivada de constantes), mas, como a subida e a descida da onda não acontecem em tempo zero (rampas de subida e descida), o diferenciador deriva essas rampas, dando esses picos que aparecem na Figura 19. Figura 19 – Tensões de entrada (verde) e saída (azul) de um amplificador diferenciador 3.2.6 Amplificador integrador A saída do amplificador integrador é proporcional à integral da entrada. Esse circuito apresenta problemas de estabilidade em determinadas frequências, o que limita muito seu uso. 𝑖 = 𝑣𝑖 − 𝑣 − 𝑅 = 𝑣𝑖 𝑅 𝑣0 = − 1 𝐶 ∫ 𝑖 𝑑𝑡 𝑣0 = − 1 𝑅𝐶 ∫ 𝑣𝑖 𝑑𝑡 (12) 23 Figura 20 – Amplificador integrador A integral de uma constante positiva é uma rampa positiva. Na Figura 21 é possível ver que uma constante positiva na entrada gera uma rampa negativa na saída, e vice-versa. Isso acontece porque o amplificador é inversor. Figura 21 – Tensões de entrada (verde) e saída (azul) de um amplificador integrador TEMA 4 – AMPLIFICADOR DIFERENCIAL E DE INSTRUMENTAÇÃO A maioria dos sensores de sinais biológicos entrega um sinal vetorial como o mostrado na Figura 22 (eletrocardiograma ECG, eletroencefalograma EEG etc.). Essa figura representa um vetor elétrico que se movimenta no espaço, então, se colocarmos qualquer um dos extremos no terra do circuito, é como se fixássemos um dos extremos do vetor ao terra, eliminando o sinal correspondente. Sensores de vibração, como cristais piezoelétricos, transdutores de tração-compressão (strain gages e LVDTs) e outros, precisam de amplificadores diferenciais (principalmente amplificadores de instrumentação, que serão 24 explicados na seção seguinte) pois, além de entregarem um sinal vetorial, têm características de saída que não se adaptam a qualquer amplificador, por exemplo, cristais piezoelétricos para medir pressão e vibração. O próprio sensor tem três fios de conexão, dois para o sinal (𝑣1 e 𝑣2 na Figura 22) e um terceiro fio para o terminal terra, além de apresentar altíssima impedância de saída. Esses sensores captam parâmetros físicos e os transformam em sinais elétricos equivalentes (Millman; Halkias, 1972). Figura 22 – Sinal vetorial no espaço 4.1 Amplificador diferencial Quando a entrada de sinal é um vetor no espaço, para obter a projeção desse vetor, é necessário amplificar a diferença entre os dois sinais dos extremos do amplificador. Por isso, a função desse circuito é amplificar a diferença entre dois sinais de entrada. Para calcular o ganho desse amplificador, aplicaremos o conceito de massa virtual de entrada. Figura 23 – Amplificador diferencial 25 4.1.1 Cálculo do ganho do amplificador diferencial Considerando um divisor de tensão na entrada não inversora 𝑣+, e sendo a tensão na entrada inversora (𝑣−) igual a 𝑣+ por massa virtual: 𝑣+ = 𝑣𝑖2 ( 𝑅3 𝑅3 + 𝑅4 ) = 𝑣− (13) A corrente 𝑖1 proveniente do gerador de sinal 𝑣𝑖1 circula como indicado na Figura 23. Como não há circulação de corrente na entrada inversora do amplificador, a corrente passa diretamente para a saída (mesmo não tendo carga, a corrente retorna ao terra entrando no amplificador; portanto, há circulação de corrente mesmo sem carga): 𝑖1 = 𝑣𝑖1 − 𝑣 − 𝑅1 = 𝑣− − 𝑣𝑜 𝑅2 Trabalhando com a equação anterior: 𝑣𝑖1 − 𝑣 − 𝑅1 = 𝑣− − 𝑣𝑜 𝑅2 (𝑣𝑖1 − 𝑣 −) 𝑅2 𝑅1 = 𝑣− − 𝑣𝑜 𝑣𝑖1 𝑅2 𝑅1 − 𝑣− 𝑅2 𝑅1 − 𝑣− = −𝑣𝑜 𝑣𝑖1 𝑅2 𝑅1 − 𝑣− ( 𝑅2 𝑅1 + 1) = −𝑣𝑜 𝑣𝑖1 𝑅2 𝑅1 − 𝑣− ( 𝑅2 + 𝑅1 𝑅1 ) = −𝑣𝑜 Para que as duas entradas sejam igualmente amplificadas: 𝑅1 = 𝑅3 𝑅2 = 𝑅4 Portanto: 𝑣𝑖1 𝑅2 𝑅1 − 𝑣− ( 𝑅2 + 𝑅1 𝑅1 ) = 𝑣𝑖1 𝑅4 𝑅3 − 𝑣− ( 𝑅4 + 𝑅3 𝑅3 ) = −𝑣𝑜 (14) Substituindo a Equação 13 na Equação 14: 𝑣𝑖1 𝑅4 𝑅3 − 𝑣𝑖2 ( 𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 ) ( 𝑅4 + 𝑅1 𝑅3 ) = −𝑣𝑜 𝑣𝑖1 𝑅4 𝑅3 − 𝑣𝑖2 𝑅4 𝑅3 = −𝑣𝑜 (𝑣𝑖2 − 𝑣𝑖1) 𝑅4 𝑅3 = 𝑣𝑜 26 Portanto: 𝐴𝑉 = 𝑣𝑜 (𝑣𝑖2 − 𝑣𝑖1) = 𝑅4 𝑅3 (15) Para que o amplificador seja exato, os resistores têm que ser exatamente iguais (os dois 𝑅4 devem ter exatamente o mesmo valor, e os 𝑅3 também). Como mostra a fórmula do ganho, a entrada é diferencial, e a saída é em modo comum. Na Figura 24 são apresentados os sinais de entrada e o sinal de saída equivalente à diferença dos sinais de entrada. Figura 24 – Sinais no amplificador diferencial: 𝑣𝑖1 – sinal de entrada 1 (verde); 𝑣𝑖2 – sinal de entrada 2 (azul); 𝑣𝑜 – sinal de saída proporcional a 𝑣𝑖1 − 𝑣𝑖2 (vermelho) 4.2 Amplificador de instrumentação Esse amplificador é muito usado para sensores e transdutores que precisam de altíssima impedância de entrada, os quais geralmente têm sinal de saída extremamente pequeno (de poucos µV até alguns mV). O amplificador de instrumentação é constituído por dois amplificadores na entrada, formando um par (primeira etapa) com entrada e saída diferencial, acoplados a uma segunda etapa, constituída por um amplificadordiferencial com saída em modo comum, e pode ter ganho de tensão muito alto. Os amplificadores reais geram uma tensão de saída diferente de zero, mesmo estando as duas entradas com o mesmo potencial (modo comum); isso acontece porque as entradas nunca são perfeitamente simétricas. Existe um parâmetro que permite verificar quão “imune” é o amplificador a esse sinal de 27 modo comum, chamado “relação de rejeição de modo comum” – RRMC (CMRR para a sigla em inglês). Quanto maior esse parâmetro, melhor o amplificador. O amplificador de instrumentação, além de apresentar um ganho elevado, apresenta alta rejeição a tensões de modo comum. Figura 25 – Amplificador de instrumentação Outra vantagem é que o ganho é ajustável apenas com um resistor (𝑅1 na Figura 25). A primeira etapa, constituída pelos Amp Op AO1 e AO2, apresenta altíssima impedância de entrada, com entrada e saída diferencial, e é responsável pela altíssima impedância de entrada. A segunda etapa, constituída pelo amplificador AO3, representa um amplificador com entrada diferencial e saída em modo comum (explicado anteriormente), responsável pela RRMC. Para que a RRMC seja alta, os amplificadores de instrumentação são comercializados em um único circuito integrado (CI) (Alexander; Sadiku, 2006). 28 4.2.1 Cálculo do ganho da primeira etapa Figura 26 – Etapa diferencial de entrada de um amplificador de instrumentação Considerando os amplificadores ideais e aplicando o conceito de massa virtual na entrada: 𝑣𝑖1 = 𝑣1 + = 𝑣1 − e 𝑣𝑖2 = 𝑣2 + = 𝑣2 − A corrente 𝑖1 proveniente da saída do AO2 circula como indica a Figura 26. Como não há circulação de corrente nas entradas inversoras dos amplificadores, a corrente passa diretamente para a saída do AO1: Portanto, segundo as Leis de Kirchhoff das malhas: 𝑣𝑜2 − 𝑣𝑜1 = 𝑖1(𝑅2 + 𝑅1 + 𝑅2) = 𝑖1(𝑅1 + 2𝑅2) (16) Como as tensões das entradas estão aplicadas diretamente em 𝑅1 por meio da massa virtual de entrada de cada um dos amplificadores: 𝑣𝑖2 − 𝑣𝑖1 = 𝑖1. 𝑅1 (17) Como a função do ganho (função de transferência) é saída por entrada: 𝐴𝑉1 = 𝑣𝑜2 − 𝑣𝑜1 𝑣𝑖2 − 𝑣𝑖1 = 𝑖1(𝑅1 + 2𝑅2) 𝑖1. 𝑅1 = 𝑅1 + 2𝑅2 𝑅1 = 1 + 2 𝑅2 𝑅1 (18) O ganho da segunda etapa é definido pela Equação 19: 𝐴𝑉2 = 𝑅4 𝑅3 (19) 29 O ganho total do amplificador é igual ao produto dos ganhos individuais de cada etapa: 𝐴𝑉𝑇 = 𝑣𝑜 𝑣𝑖2 − 𝑣𝑖1 = 𝐴𝑉1. 𝐴𝑉2 = (1 + 2 𝑅2 𝑅1 ) . 𝑅4 𝑅3 (20) Para que o amplificador seja exato, os resistores têm que ser exatamente iguais (𝑅2, 𝑅3e 𝑅4 devem ter o mesmo valor). O resistor 𝑅1 serve para controlar o ganho do amplificador. Nos Cis, o controle do ganho é feito colocando um resistor externo. No lugar a que 𝑅1 deve ir, há dois pinos para que o resistor seja ligado externamente, e o valor dele determinará o ganho total do chip. Como mostra a fórmula do ganho, a entrada é diferencial, e a saída é em modo comum. Na Figura 27 são apresentados os sinais de entrada e o sinal de saída equivalente à diferença dos sinais de entrada. Figura 27 – Sinais no amplificador de instrumentação: 𝑣𝑖1 – sinal de entrada 1 (verde); 𝑣𝑖2 – sinal de entrada 2 (azul); 𝑣𝑜 – sinal de saída proporcional a 𝑣𝑖2 − 𝑣𝑖1 (vermelho) TEMA 5 – CONVERSORES TENSÃO-CORRENTE E CORRENTE-TENSÃO 5.1 Conversor tensão-corrente Muitas vezes é necessário converter uma tensão numa corrente. A maioria dos sensores fornece tensões de saída, mas existem alguns dispositivos nos quais a aquisição de dados é feita no modo corrente. Os controladores lógicos programáveis (CLPs – do inglês programmable logic controller, PLC) são dispositivos de automação nos quais a aquisição de dados é feita por corrente. 30 Para que esses dispositivos consigam processar sinais de tensão dos sensores, será necessária uma interface de conversão entre eles para transformar essa tensão numa corrente que possa ser processada pelo CLP. Essas interfaces de conversão podem ser implementadas usando Amp Op (Braga, [s.d.]). Esse tipo de circuito é usado também para controlar a velocidade de motores. Em robótica, por exemplo, os motores devem se movimentar em velocidades controladas pela CPU para movimentos exatos e precisos. Como a CPU entregará somente valores convertidos para tensão, essas tensões deverão ser convertidas em correntes que permitirão o movimento controlado dos motores. Nas seções a seguir, serão apresentados dois tipos de conversores tensão-corrente. 5.1.1 Com carga flutuante Nesse tipo de conversor, a carga não está aterrada. O circuito é bem simples, e a corrente de saída será proporcional à tensão de entrada. A Figura 28 mostra o circuito desse conversor. Figura 28 – Conversor tensão-corrente com carga flutuante Considerando o AOP ideal, usando o conceito de massa virtual por Lei de Ohm e, como não há circulação de corrente na entrada do amplificador (𝐼− = 0): 𝑣𝑖 = 𝑣 + = 𝑣− 𝑖𝐿 = 𝑣− 𝑅 = 𝑣𝑖 𝑅 (21) Sendo a carga representada por 𝑍𝐿, com a Equação 21 é possível verificar que a corrente na carga será proporcional à tensão de entrada, sem importar o valor da carga. 31 Figura 29 – Sinais de entrada e saída do conversor tensão-corrente com carga flutuante: 𝑣𝑖 – tensão de entrada (verde); 𝑖𝐿 – corrente de saída (azul) 5.1.2 Com carga aterrada Nesse conversor a carga está aterrada, e a corrente que circula por ela depende somente da tensão de entrada e da resistência do resistor 𝑅3. A Figura 30 apresenta o circuito desse conversor. Figura 30 – Conversor tensão-corrente com carga aterrada Considerando o AOP ideal, usando o conceito de massa virtual e aplicando equação de nó em 𝑣−: 𝑖1 = 𝑣𝑖 − 𝑣 − 𝑅1 = 𝑣− − 𝑣𝑜 𝑅2 𝑣𝑖 𝑅1 − 𝑣− 𝑅1 = 𝑣− 𝑅2 − 𝑣𝑜 𝑅2 32 𝑣𝑜 𝑅2 = 𝑣− ( 1 𝑅1 + 1 𝑅2 ) − 𝑣𝑖 𝑅1 𝑣𝑜 = 𝑣 − ( 𝑅2 𝑅1 + 1) − 𝑣𝑖 𝑅2 𝑅1 (22) Trabalhando com as correntes 𝑖2, 𝑖3 e 𝑖𝐿: 𝑖2 = 𝑖3 + 𝑖𝐿 𝑣𝑜 − 𝑣 + 𝑅4 = 𝑣+ 𝑅𝐿 + 𝑣+ 𝑅3 𝑣𝑜 𝑅4 = 𝑣+ ( 1 𝑅4 + 1 𝑅𝐿 + 1 𝑅3 ) 𝑣𝑜 = 𝑣 + (1 + 𝑅4 𝑅3 ) + 𝑣+. 𝑅4 𝑅𝐿 (23) Igualando as Equações 22 e 23: 𝑣𝑜 = 𝑣 − ( 𝑅2 𝑅1 + 1) − 𝑣𝑖 𝑅2 𝑅1 = 𝑣+ ( 𝑅4 𝑅3 + 1) + 𝑣+. 𝑅4 𝑅𝐿 Considerando: 𝑅2 𝑅1 = 𝑅4 𝑅3 𝑣+ = 𝑣− (24) 𝑣− ( 𝑅2 𝑅1 + 1) − 𝑣𝑖 𝑅2 𝑅1 = 𝑣− ( 𝑅2 𝑅1 + 1) + 𝑣+ 𝑅4 𝑅𝐿 −𝑣𝑖 𝑅2 𝑅1 = 𝑣+ 𝑅4 𝑅𝐿 −𝑣𝑖 𝑅2 𝑅1 = 𝑣+ 𝑅4 𝑅𝐿 𝑅3 𝑅3 −𝑣𝑖 𝑅2 𝑅1 = 𝑣+ 𝑅4 𝑅3 𝑅3 𝑅𝐿 De acordo com a Equação 24, 𝑅2 𝑅1 = 𝑅4 𝑅3 : −𝑣𝑖 𝑅2 𝑅1 = 𝑣+. 𝑅2 𝑅1 . 𝑅3 𝑅𝐿 𝑣+ = −𝑣𝑖. 𝑅𝐿 𝑅3 𝑖𝐿 = 𝑣+ 𝑅𝐿 = −𝑣𝑖 . 𝑅𝐿 𝑅3 . 1 𝑅𝐿 33 Portanto: 𝑖𝐿 = − 𝑣𝑖 𝑅3 (25) Sempre que os resistores 𝑅1, 𝑅2, 𝑅3 e 𝑅4 cumprirem com as condições especificadas, a corrente da carga dependerá somente da tensão de entrada e da resistência de 𝑅3. Figura 31 – Sinais de entrada e saída do conversor tensão-corrente com carga aterrada: 𝑣𝑖 – tensão de entrada (verde); 𝑖𝐿 – corrente de saída (azul) 5.2 Conversor corrente-tensão A saída do conversor corrente-tensão é uma tensão proporcional à corrente na entrada do circuito. Esse circuito é necessário quando o instrumento de medição mede somente tensão e o sinal que precisamos medir é uma corrente. Devido à massa virtual na entrada do amplificador, a corrente em 𝑅1 = 0. 𝑣+ = 𝑣− = 0 𝐼− = 0 𝑖1 = 𝑣− − 𝑣𝑜 𝑅2 𝑣𝑜 = −𝑖1𝑅2 (26) Como podemos verificar na Equação 26, a tensão de saída depende da corrente da entrada e do valor do resistor 𝑅2. 34 Figura 32 – Conversor corrente-tensão Figura 33 – Corrente de entrada (verde) e tensão de saída (azul) de um conversor corrente-tensão FINALIZANDO Nesta aula estudamos Amp Op ideais. Um único chip pode conter um ou mais Amp Op, e eles têm características diferentesde acordo com a aplicação, mas as funcionalidades são as mesmas. São capazes de realizar operações matemáticas com o sinal, como pudemos verificar. Quando trabalhamos com sinais muito pequenos, devemos considerar as características do amplificador real, e todas as fórmulas deduzidas nesta aula deverão ser adequadas e recalculadas para o amplificador real. Esse dispositivo é também utilizado em aplicações não lineares, como amplificadores logarítmicos, exponenciais, comparadores, Schmitt trigger e outros, que serão estudados posteriormente. Para finalizar, cabe lembrar que esta aula é somente um guia, e o aluno, além de ler este conteúdo, deve estudar pelos Capítulos 10 e 11 do livro-texto e pelo material de leitura obrigatória disponibilizado na aula. 35 Todos os circuitos foram projetados e simulados usando o software on- line Multisim (National Instruments, 2019). 36 REFERÊNCIAS ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Tradução de Gustavo Guimarães Parma. Porto Alegre: Bookman, 2006. AMPLIFICADOR operacional. Wikipedia. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Amplificador_operacional>. Acesso em: 30 ago. 2019. BOYLESTAD, R. L.; NASHELSKY, L. Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos. 11. ed. São Paulo: Pearson Education, 2013. BRAGA, N. C. Conversão tensão para corrente (ART127). Instituto Newton C. Braga. Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/eletronica/ 57-artigos-e-projetos/892-conversao-tensao-para-corrente-art127>. Acesso em: 29 ago. 2019. BRAUN, D. Op Amp Transistor Level Colored Labeled. Wikimedia Commons, 2007. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/File:OpAmpTransist orLevel_Colored_Labeled.svg>. Acesso em: 29 ago. 2019. FARICHILD SEMICONDUCTOR. LM741 Single Operational Amplifier. Alldatasheet, 2001. Disponível em: <http://pdf1.alldatasheet.com/datasheet- pdf/view/53589/FAIRCHILD/LM741.html>. Acesso em: 29 ago. 2019. MILLMAN, J.; HALKIAS, C. C. Integrated Electronics: Analog and Digital Circuits and Systems. Tokyo: McGraw-Hill, 1972. NATIONAL INSTRUMENTS. MultisimLive. Disponível em: <https://www.multisim.com/>. Acesso em: 30 ago. 2019. SEDRA, A. S.; SMITH, K. C. Microeletrônica. 4. ed. São Paulo: Makron Books, 2000.
Compartilhar