Mineralogia

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ÍNDICE ANALÍTICO 
 
1 FUNDAMENTAÇÃO CONCEITUAL DA MINERALOGIA...................................2 
1.1 MINERAL E ROCHA................................................................................................. 2 
1.2 COMPOSIÇÃO DA CROSTA TERRESTRE.............................................................. 3 
1.3 CICLO DAS ROCHAS CROSTA TERRESTRE......................................................... 5 
2 PROCESSOS DE CRISTALIZAÇÃO........................................................................6 
2.1 EQUILÍBRIO SÓLIDO-LÍQUIDO E CRISTALIZAÇÃO........................................... 8 
2.1.1 FORMAÇÃO DE NÚCLEOS ESTÁVEIS EM LÍQUIDOS ...................................13 
2.1.2 ENERGIAS ENVOLVIDAS NA NUCLEAÇÃO HOMOGÊNEA...........................13 
2.1.3 RAIO CRÍTICO E SUPERCONGELAMENTO ...................................................15 
2.1.4 NUCLEAÇÃO HETEROGÊNEA 16 
2.1.5 SOLIDIFICAÇÃO DE MONOCRISTAIS ............................................................16 
2.1.6 EQUILÍBRIO SÓLIDO-LÍQUIDO E VARIAÇÕES DE PRESSÃO ......................17 
3 CRISTALOGRAFIA .................................................................................................18 
3.1 PROPRIEDADES FÍSICAS ESCALARES E DIRECIONAIS .................................. 18 
3.2 EVIDÊNCIAS DAS ESTRUTURAS INTERNA REGULAR DOS CRISTAIS ......... 19 
3.3 SIMETRIA EM CRISTAIS: OPERAÇÕES, NOTAÇÃO E CLASSES...................... 21 
3.4 REDES FUNDAMENTAIS DE BRAVAIS............................................................... 22 
3.5 NOTAÇÃO CRISTALOGRÁFICA. ......................................................................... 25 
3.6 MODOS DE REDES DE BRAVAIS ......................................................................... 28 
3.7 PROJEÇÕES EM CRISTAIS E MEDIDA DOS ÂNGULOS EM CRISTAIS............. 32 
3.8 CRISTALOGRAFIA POR DIFRAÇÃO DE RAIOS - X............................................ 34 
4 MINERALOGIA QUIMICA.....................................................................................42 
4.1 CLASSIFICAÇÃO DOS MINERAIS COM BASE NA COMPOSIÇÃO QUÍMICA . 42 
4.2 EMPACOTAMENTO ATÔMICO............................................................................ 42 
4.3 CRISTAIS IÔNICOS................................................................................................ 48 
4.3.1 NÚMERO DE COORDENAÇÃO 54 
4.3.2 TIPOS ESTRUTURAIS 56 
4.3.3 VALÊNCIAS ELETROSTÁTICAS 61 
4.4 ESTRUTURAS ESPECIAIS DOS SILICATOS........................................................ 61 
4.5 CRISTAIS COVALENTES ...................................................................................... 62 
4.6 CRISTAIS MOLECULARES ................................................................................... 65 
4.7 CRISTAIS METÁLICOS.......................................................................................... 68 
4.7.1 SEMICONDUTORES E TRANSISTORES...........................................................72 
4.8 DENSIDADES VOLUMÉTRICAS E PLANARES DE CÉLULAS UNITÁRIAS. .... 73 
5 A ESTRUTURA DOS CRISTAIS REAIS ................................................................76 
5.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 76 
5.2 DEFEITOS PONTUAIS OU DE DIMENSÃO ZERO ............................................... 77 
5.2.1 MOBILIDADE ATÔMICA 77 
5.2.2 ÁTOMOS SUBSTITUCIONAIS 77 
5.2.3 SOLUÇÕES SÓLIDAS INTERSTICIAIS .............................................................78 
5.2.4 LACUNAS 80 
5.2.5 DEFEITOS SCHOTTKY E FRENKEL................................................................81 
5.2.6 COMPOSTOS NÃO ESTEQUIOMÉTRICOS......................................................83 
5.3 DEFORMAÇÃO DOS CRISTAIS ............................................................................ 86 
5.4 DEFEITOS LINEARES OU UNIDIMENSIONAIS .................................................. 88 
5.5 IMPERFEIÇÕES PLANARES OU BIDIMENSIONAIS........................................... 93 
5.5.1 JUNÇÕES INTERGRANULARES.......................................................................94 
5.5.2 PAREDES DE DESLOCAÇÕES 95 
6 MINERALOGIA FÍSICA........................................................................................101 
 1 
6.1.1 TENSÃO x DEFORMAÇÃO 101 
6.1.2 DUREZA 103 
6.1.3 TENACIDADE 104 
 
 
 2 
 
1 FUNDAMENTAÇÃO CONCEITUAL DA MINERALOGIA 
 
1.1 MINERAL E ROCHA 
Mineral é todo o corpo inorgânico que toma parte naturalmente na constituição da crosta 
sólida da Terra. São sólidos, sendo conhecido apenas um mineral líquido - o mercúrio metálico. 
Os minerais são corpos homogêneos e podem ser expressos por uma fórmula química. O 
petróleo, embora seja encontrado naturalmente no interior da crosta, em jazimentos especiais, 
não é um mineral, porque é uma substância heterogênea, consistindo de uma mistura de vários 
compostos hidrocarbonosos, não representáveis por uma fórmula química única. Excluem-se da 
categoria de mineral os produtos da indústria humana, compostos obtidos em laboratórios ou 
formados nos altos fornos. A pérola, substância encontrada no interior do manto de ostras, não é 
também um mineral porque sua formação está inteiramente ligada à atividade vital desses 
organismos. 
Se considerarmos o mineral pirita, podemos verificar facilmente que ele é constituído por uma 
substância quimicamente homogênea, de composição constante, podendo ser expressa pela 
fórmula FeS2. É obtido pela combinação de ferro e enxofre, na proporção de uma massa atômica 
do primeiro para duas massas atômicas do segundo, assim representados: 55,84 de Fe para 64,14 
de S, ou seja, 46,54% de Fe, e 53,46.% de S. 
Assim como existem massas de minerais isolados, outras de maior amplitude, 
heterogêneas, são constituídas por agregados minerais de composição e propriedades diversas. 
Se examinarmos um pedaço de granito (material utilizado no calçamento de ruas, revestimento 
dc prédios, mausoléus etc.) verificaremos que ele é constituído por partes distintas, ou sejam, de 
minerais diversos. Mesmo a olho nu pode-se distinguir comumente quartzo, feldspato, mica preta 
(biotita), mica branca (muscovita), anfibólios, etc. Tais massas heterogêneas são conhecidas pelo 
nome de rocha. 
Mencione-se aqui, de passagem, que há também rochas que não são o resultado da 
agregação de minerais diversos, pois são formadas por um só mineral. O morro do Jaraguá, nas 
vizinhanças da cidade de São Paulo, constitui uma entidade geológica definida e é formado 
somente por grãozinhos de quartzo intimamente associados. A rocha, no caso em questão, é 
conhecida pelo nome de quartzito. 
A ciência que estuda os minerais é a Mineralogia e a que trata das rochas é a Petrografia 
ou Litologia. 
 
Cristais - são substâncias que manifestam uma forma exterior poliédrica, devido à estruturação interna de 
seus átomos. Os cristais podem ter origem inorgânica e, neste caso, são considerados minerais, como também, 
origem orgânica e/ou sintética. No entanto, o conceito de cristal é mais amplo e o termo descreve qualquer 
sólido com uma estrutura interna ordenada sistemática, a despeito dele possuir ou não faces externas regulares. 
Pode-se afirmar que "todos os minerais são cristais, embora nem todos cristais sejam minerais". Como 
exemplos cita-se o popular sal de cozinha, halita (NaCl), com forma exterior hexaédrica (Figura 1). A halita é 
um dos principais constituintes dos evaporitos (rochas sedimentares químicas de origem marinha), formada por 
processos exclusivamente inorgânicos. Logo, a halita enquadra-se tanto no conceito de mineral quanto no de 
cristal. O sulfato de cobre (CuSO4) geralmente, exibe belos cristais triclínicos, de cor azul intenso, semelhantes 
aos do mineral calcantita (CUSO4.5H2O). Esta substância, embora bem cristalizada, é produzida sinteticamente 
em laboratório e, desta forma, não é considerado um mineral 
) 
 3 
 
1.2 COMPOSIÇÃO DA CROSTA TERRESTRE 
Ana Paula Petrikoski 
Camila N. GiongoRoger Borges1 
 
 
A Terra divide-se em camadas concêntricas de diferentes composições e estados físicos. 
As camadas são separadas pelas descontinuidades de Mohorovicic e de Gutenberg. A camada 
mais externa é a crosta, formada por granito nos continentes e por basalto sob os oceanos. O 
manto é a camada intermediária e a mais extensa. Supõe-se que seja formado por uma rocha 
chamada peridotite. Na zona central da Terra encontra-se o núcleo, composto por ferro e 
níquel(1). 
 
 
 
 
A crosta terrestre é a parte externa consolidada do globo terrestre, nela são reconhecidas 
duas zonas que formam a crosta nas regiões continentais. A primeira zona é a superior, chamada 
de sial (devido ao predomínio de rochas graníticas, ricas em silício e alumínio). A zona inferior é 
conhecida por sima, pelo fato de se acreditar que nesta porção da crosta haja a predominância de 
silicatos de magnésio e ferro. 
Acredita-se que a espessura da crosta (sial + sima) se encontre numa profundidade média 
de 35 - 50 Km. Esse dado foi conseguido indiretamente, através de estudos modernos na área da 
geofísica. Supõe-se que os substratos dos oceanos sejam compostos pelo sima, devido ao fato do 
sial granítico se adelgar até desaparecer nas margens dos continentes. 
A crosta na sua porção mais externa é o local principal que se sucede os fenômenos 
geológicos possíveis de observação. Por outro lado, a zona de transição existente entre a parte 
externa e interna da crosta, é onde se tem o foco das atividades magmáticas e tectônicas 
profundas. Há evidências que indicam a inexistência da crosta em determinados planetas. Isso é 
mostrado através de observações sísmicas realizadas à superfície da Lua e Marte. A crosta 
terrestre é formada por rochas, ou seja, agregados naturais de um ou mais minerais, incluindo 
vidro vulcânico e matéria orgânica. 
 
1 Acadêmicos do 5º período do Curso de Química: Licenciatura em Química/Bacharelado em Química Industrial no 
primeiro semestre de 2009. 
 4 
Observam-se três tipos de rochas de acordo com sua gênese: rochas magmáticas, 
metamórficas e sedimentares. A petrologia responsabiliza-se pelo estudo sistemático das rochas. 
Através de pesquisas, realizou-se um balanço sobre a percentagem em que são encontradas as 
rochas (magmáticas, metamórficas e sedimentares) na crosta terrestre. 
 
 
Tabela 1 - Proporção aproximada das rochas que ocorrem na crosta terrestre, segundo A. 
Poldervaart. 
 
Sedimentos 6,2% 
Granodioritos, granitos, gnaisses 38,3 % 
Andesito 0,1 % 
Diorito 9,5% 
Basaltos 45,8% 
 
 
 
As rochas de origem magmáticas, juntamente com as rochas metamórficas originadas a 
partir da transformação de uma rocha magmática, representam cerca de 95% do volume total da 
crosta, ocupando porém 25% da superfície da mesma. As rochas sedimentares mais as rochas 
metassedimentares representam apenas 5% do volume, mas, no entanto cobrem 75% da 
superfície da crosta. Essas rochas formam uma delgada película que envolve a Terra em toda a 
sua superfície, originando a litosfera. 
Embora exista uma enorme variedade de rochas magmáticas (cerca de 1000), seus 
minerais constituintes se apresentam em pequenas quantidades, e a participação desse tipo de 
rocha na formação da crosta é bem reduzida. Os dados discutidos anteriormente referem-se a 
toda crosta. No entanto, se fossem pesquisados separadamente continentes e oceanos, ter-se-iam, 
quanto à derivação das rochas magmáticas, dados interessantes como: 95% das rochas intrusivas 
pertencem à família dos granitos e granodioritos e se encontram nos continentes; já 95% das 
rochas efusivas são basálticas e mais freqüentemente presentes no fundo dos oceanos. 
Com isso, pode-se concluir que as rochas magmáticas existentes nos continentes possuem 
essencialmente material granítico, e que as rochas magmáticas existentes no fundo dos oceanos 
são formadas basicamente de material basáltico, sendo quase isentos da camada de material 
granítico (sial). O basalto é uma rocha derivada do manto superior (regiões profundas da crosta). 
Os granitos são rochas formadas em profundidade, através da transformação de rochas que já 
estiveram na superfície. 
As rochas de superfície de alguma forma vão se acumulando em grossas camadas nas 
profundezas da crosta e, sob o efeito de grandes pressões e aquecimento, transformam-se em 
rochas metamórficas e posteriormente em granitos, seja por refusão ou por metamorfismo 
granitizante. Esse fenômeno ocorre nos geossinclinais. A constituição química da crosta diz 
respeito aos vários elementos químicos que a compõem. Para se ter conhecimento de tais 
elementos, é necessário identificar o volume e a composição das rochas presentes na crosta. Para 
a identificação dos componentes químicos da crosta, é lançado mão de algumas técnicas, como 
exemplo, a metodologia de Clark e Washington, que consiste em se tirar a média ponderada de 
numerosas análises de rochas e em seguida montar uma tabela dos elementos encontrados e suas 
respectivas percentagens(2). 
 
 
 
 
 5 
Tabela 2 - composição química da crosta terrestre (segundo peso e volume). 
 I (segundo CLARK) II (segundo LENZ) III (Em volume) 
O 46,6 46,4 91,77 
Si 27,7 28,4 0,80 
Al 8,1 7,3 0,76 
Fe 5,0 5,1 0,68 
Ca 3,6 3,7 1,48 
Na 2,8 1,9 1,6 
K 2,6 2,5 2,14 
Mg 2,1 2,4 0,56 
TOTAL 98,5% 97,7% 99,79% 
(1) Estrutura e composição da Terra. Disponível em: 
http://www.algosobre.com.br/geografia/estrutura-e-composicao-da-terra.html. Acesso em 
25/05/2009. 
(2) VOGT, S. P. Crosta Terrestre. Disponível em: 
http://www.coladaweb.com/geografia/crostaterrestre.htm. Acesso em 25/05/2009 
 
 
1.3 CICLO DAS ROCHAS CROSTA TERRESTRE 
 
Esquema do ciclo das rochas litológico ou petrogenético(3) 
 
 
 
(3) http://domingos.home.sapo.pt/rochas_7.html 
 6 
 
2 PROCESSOS DE CRISTALIZAÇÃO 
As características de um precipitado dependem da natureza da substância, mas também, 
em certa medida, das condições que prevalecem no momento da formação do precipitado, tais 
como: temperatura, concentração dos reagentes, ordem de adição dos reagentes, velocidade de 
adição, a solubilidade do precipitado no meio, pH, agitação e também do tempo de repouso. 
A influência dos fatores mencionados é melhor compreendida considerando a 
supersaturação relativa do sistema. A supersaturação é um estado instável, que se transforma em 
estado de saturação através da precipitação do excesso do soluto, sendo definida como (Q - S), 
onde Q representa a concentração instantânea do soluto e S, a solubilidade de equilíbrio. A 
supersaturação relativa é dada pela equação (40) de Von Weimarn: 
 
Supersaturação relativa = 
( )Q S
S
−
 (40) 
 
A formação de um precipitado acontece a partir de uma solução supersaturada da 
substância. A velocidade com que é atingido o equilíbrio químico depende grandemente da 
supersaturação relativa. A figura 2 relaciona a solubilidade de um soluto com a temperatura 
 
 
 
 TEMPERATURA 
 
Figura 2 – Solubilidade de um soluto e temperatura 
 
 
A curva inferior AB é a curva de solubilidade; ela representa a condição de equilíbrio 
entre o sólido e seus íons na solução. A região abaixo da curva corresponde às soluções não-
saturadas; acima da curva, têm-se as soluções supersaturadas. Entre a linha AB e a linha CD 
(curva de supersolubilidade) há uma região metaestável, em que a concentração do soluto excede 
a solubilidade de equilíbrio, mas onde não ocorre formação de sólido na ausência de partículas 
sólidas capazes de atuar como germes. Tal solução supersaturada pode permanecer em repouso 
por longo tempo neste estado metaestável. Acima da linha CD, aparece uma região instável, em 
que a supersaturação é rápida e espontaneamente destruída por formação da fase sólida, mesmo 
na ausência. de partículas sólidas. 
 7 
Consideremos agora, as modificações que têm lugar em uma solução mantida a 
temperatura constante, à qual é adicionado lentamente um reagente precipitante; a concentraçãodo soluto, Q, aumentará gradualmente ao longo da linha EFG. Enquanto Q se mantiver abaixo de 
F, a solução não estará saturada e, portanto, não poderá haver separação do sólido. Quando Q se 
situar acima de F, mas abaixo de G, ordinariamente não haverá formação de precipitado. 
Muitas vezes, torna-se necessário recorrer a processos especiais (agitação, atrito com 
bastão nas paredes do recipiente, adição de germens do soluto), para iniciar a cristalização; 
então, Q recuaria até F através da formação do sólido. Na ausência de sólido, um posterior 
incremento de Q pode levar o sistema à região instável, isto é, acima de G. Em semelhante 
circunstância, verificar-se-á formação espontânea de precipitado; a precipitação continuará até 
que Q alcance F, a concentração de equilíbrio do soluto. 
A precipitação pode compreender dois processos distintos: a nucleação e crescimento dos 
cristais. A predominância de um ou de outro determina, em grande parte, as características do 
precipitado. 
A taxa de nucleação pode ser definida pelo número de núcleos formados na unidade de 
tempo. Se a taxa de nucleação for elevada, um grande número de cristais será formado, porém 
nenhum deles crescerá muito, isto é será formado um precipitado de partículas reduzidas. A taxa 
de nucleação depende do grau de supersaturação da solução. Quanto maior o grau de 
supersaturação, maior será a probabilidade de formação de novos núcleos, portanto, maior a taxa 
de nucleação. A figura 3 representa o efeito da supersaturação na nucleação e no crescimento dos 
cristais. 
 
 
 
 
Figura 3– Nucleação e crescimento das partículas. 
 
 
A nucleação requer um número mínimo de íons, para que se manifestem as forças 
atrativas responsáveis pela integridade do cristal. Na verdade existe uma competição entre a 
energia de cristalização (proporcional ao cubo do raio da partícula) com a energia de interface 
(proporcional ao quadrado do raio da partícula). Antes de atingirem um raio crítico os núcleos 
formam-se e dissolvem-se, pois a energia de interface supera a energia de cristalização. Ao 
atingir o raio crítico, porém, a energia de cristalização consegue superar a energia de interface e 
acontece a formação da partícula. O tamanho crítico compreende apenas alguns grupos, por 
exemplo: oito para o sulfato de bário, seis no cromato de chumbo e nove no fluoreto de cálcio. 
 8 
A nucleação pode ser heterogênea, onde íons de impurezas são adsorvidos em superfícies 
particulares, podendo afetar as taxas de crescimento numa direção cristalina particular, 
precipitando partículas com formas anisométricas. Por outro lado, pode ser homogênea, onde os 
núcleos se formam pela orientação do número requerido de íons num arranjo ordenado. A taxa 
de nucleação heterogênea pode ser largamente independente da supersaturação, enquanto que a 
taxa de nucleação homogênea é exponencial em relação à supersaturação 
Para baixos níveis de supersaturação a nucleação é lenta, então o número de núcleos 
formados depende do número de partículas sólidas presentes na solução, assim como impurezas. 
Em condições de elevada supersaturação, o número de núcleos gerados homogeneamente, 
aumenta explosivamente com o grau de supersaturação relativa. 
A taxa de crescimento do cristal é outro fator que influencia o tamanho dos cristais 
formados no decorrer da precipitação. Se a velocidade for alta, os cristais formados serão 
grandes. A taxa de crescimento das partículas que é proporcional à supersaturação relativa, 
acontece simultaneamente com a nucleação. Quando suficiente reagente houver sido adicionado 
para se alcançar a região instável, produzem-se núcleos da segunda fase. Adicionando mais 
reagente, a deposição do sólido, pode seguir dois caminhos: A formação de novos núcleos e/ou o 
crescimento das partículas. Quando o reagente adicional gera uma alta supersaturação relativa, 
a taxa de formação de novos núcleos supera a taxa de crescimento das partículas, resultando em 
um precipitado finamente cristalino ou coloidal. Porém, se a supersaturação relativa for mantida 
em baixo nível, taxa de crescimento das partículas já existentes, poderá prevalecer sobre a taxa 
de nucleação, resultando em partículas maiores. 
 
 
 
2.1 EQUILÍBRIO SÓLIDO-LÍQUIDO E CRISTALIZAÇÃO 
Removendo-se energia de uma substância, a energia cinética média das moléculas reduz-
se, e se a remoção fizer o líquido atingir sua temperatura de congelamento, então a partir deste 
ponto, a temperatura não mais diminua, até que todo o líquido esteja congelando. A remoção 
contínua de energia durante esse processo ocasiona o decréscimo na energia potencial média das 
moléculas. 
O ponto de congelamento Tc (e o ponto de fusão Tf, que são idênticos se o sistema está em 
equilíbrio) de um sólido varia em grau menor com a pressão, apesar de ser uma variação não 
desconsiderável. A grandeza das forças de atração intermoleculares influi no calor necessário 
para fundir um sólido. Se o retículo cristalino for fortemente coeso, o ponto de fusão do sólido 
também será alto. 
Os átomos estão em movimento contínuo e colidem com as paredes do recipiente que os 
contém. As colisões dão origem à pressão exercida pelo gás. ‘A medida que a temperatura 
cresce, a energia calorífica transforma-se em energia cinética e os átomos se movimentam mais 
rapidamente. Considerando que o volume do gás permanece constante devido à expansão 
restringida, o resultado é que a pressão irá aumentar com o aumento das colisões com as paredes 
do recipiente. 
Se a temperatura baixar, a energia cinética média dos átomos decresce e a diferença é 
transformada em energia calorífica (calor específico). Eventualmente, pode-se atingir um nível 
de energia média, no qual as forças de van der Waals, que atuam entre os átomos, são capazes de 
sobrepor-se ao movimento emético de muitos átomos. Então, aqueles átomos que estiverem em 
nível energético menor que a energia cinética média, atraem-se mutuamente, de tal maneira, que 
se juntam. Deste modo eles se condensam, formando gotas de líquidos que caem sob a ação da 
gravidade. Neste ponto, o restante da energia cinética transforma-se em calor (calor latente de 
vaporização). No líquido não existe arranjo ordenado dos átomos; os átomos ainda estão livres 
para movimentar-se, isto é, um líquido possui mobilidade. 
 9 
A uma temperatura mais baixa, o líquido começa a solidificar-se. Este é um processo 
onde os átomos passam de um estado desordenado ou amorfo, para um estado crista1ino 
ordenado. Neste processo ocorre perda de energia potencial (Fig. 1.13), aqui, esta energia está na 
forma de calor latente de fusão. Como os átomos se dispõem segundo uma configuração 
qualquer, ordenada, geralmente a solidificação é acompanhada de uma contração. Por esta razão, 
a parte superior de um lingote metálico sofre o fenômeno de “rechupe”. 
 
 
 
Fig. 1.13 — Energia e estados da matéria, para um metal puro. 
 
 
As substâncias puras solidificam-se a uma temperatura fixa. A solidificação ideal deveria 
ocorrer de acordo com o tipo de curva de resfriamento mostrada na Fig. 1.14(i). Contudo, antes 
do início da cristalização, geralmente ocorre certo grau de super-resfriamento da massa líquida. 
Isto é devido a uma falta de nucleação no sistema (Fig. 3.17 (ii) e (iii)). Quando um núcleo 
cristalino se forma, aparece uma interface sólido/líquido, onde a cristalização pode ocorrer (Fig. 
1.15). Porém, nos líquidos muito puros, é necessário certo grau de super-resfriamento para que 
possa haver a nucleação. Quando a nucleação começa a ocorrer, a velocidade de cristalização e, 
conseqüentemente, a taxa de liberação de calor latente aumentam com o crescimento do valor do 
super-resfriamento. Como conseqüência da liberação de calor latente, a temperatura da massa 
líquida se eleva, atingindo uma posição de equilíbrio no ponto de solidificação (Fig. 1.14(ii)). Se 
apenas uma pequena quantidade de líquido está envolvida no processo, pode ser que a 
quantidade de calor latente seja insuficiente parase atingir novamente o ponto de fusão (Fig. 
1.14(iii)). 
 
 
 
 
Fig. 1.14 – Curvas de resfriamento típicas para sólidos amorfos e cristalinos. Em (iii) a massa 
fundida foi insuficiente para prover o calor latente que causaria um retorno ao 
equilíbrio, como em (ii). 
 
 10 
O crescimento do cristal tende a ocorrer em direção oposta à condução do calor desde a 
massa líquida, então uma “agulha” começa a crescer a partir do núcleo e em direção ao líquido 
super-resfriado. À medida que o processo se desenvolve ocorre liberação de calor latente, 
aquecendo o líquido em frente à agulha que está crescendo. 
 
 
 
 
Fig. 1.15 – Representação esquemática de uma interface sólido/líquido. 
 
 
Nestas condições, o crescimento da agulha é retardado e uma agulha secundária começa a 
formar-se a partir da primária. Este processo continua com o desenvolvimento de agulhas 
terciárias e assim por diante (fig. 1.16). 
 
 
Fig. 1.16 – Primeiros estágios do crescimento de dendritas metálicas, mostrando os ramos 
primário, secundário e terciário. 
 
 
 
(Cortesia do Dr. 1. Moore, W.B.C.C. 7’.) 
Gravura 1.1 – Dendrita de zinco — cresceu por eletrólise de uma solução aquosa de sulfato de 
zinco. x 15. 
 11 
Estas ramificações primárias, secundárias e terciárias, se orientam segundo planos 
cristalográficos, dando origem à regularidade geral da estrutura. O esqueleto cristalino que se 
desenvolve é chamado de dendrita, por causa da sua aparência com uma árvore (a palavra grega 
dendron significa árvore). Os ramos principais da dendrita continuam a crescer, até que as 
franjas externas entram em contato com as dendritas vizinhas (Fig. 1.17). Com o impedimento ao 
seu crescimento na mesma direção, os ramos da dendrita vão se alongar à medida que o calor 
fluir da região em questão. Os ramos externos de dendritas vizinhas fazem contato entre si, 
segundo ângulos irregulares, pois cada dendrita se desenvolve independentemente da outra. 
Além disso, como o fluxo de calor não é necessariamente uniforme, os cristais têm uma forma 
final irregular. Apesar disto, no interior de cada cristal, os átomos estão regular mente espaçados 
segundo um reticulado cristalino. 
 
 
 
Fig. 1.17 – Solidificação dendrítica. (i) As dendritas começam a se desenvolver a partir dos 
núcleos recém-formados, com o aparecimento dos ramos primário e secundário. (ii) 
Os ramos terciários crescem e se encontram em direções opostas. (iii) As dendritas 
continuam a crescer até que os ramos externos de dendritas vizinhas se encontram. 
Os ramos então se alargam, (iv) Quando o material está completamente sólido, há 
pouca evidência do crescimento dendrítico, já que nos metais puros todos os átomos 
são similares. Apenas os contornos de grão são visíveis. 
 
Se o metal em questão é puro, todos os átomos presentes na estrutura são similares. Por 
isso, quando uma seção do metal é observada no microscópio, apenas os contornos do cristal são 
visíveis. A presença de impurezas possibilita, de algum modo, a observação da configuração 
dendrítica, pois elas tendem a se concentrar na parte do metal que se solidifica por último, ou 
seja, entre os ramos dendríticos e, particularmente, junto aos contornos dos cristais. As 
cavidades, formadas pela ausência de líquido devido à contração durante a solidificação, também 
revelam, numa extensão limitada, a forma dendrítica (Fig. 1.18). 
 
 
 
Fig. 1.18 – A estrutura dendrítica pode ser revelada com a presença de impurezas e/ou 
cavidades de contração. 
 
 
As dendritas da fig. 1.17 aparecem com formas geometricamente perfeitas, em relação à 
direção de seus ramos. Contudo, freqüentemente se observam, no mesmo cristal, ramos vizinhos 
com orientações um pouco diferentes entre si. Em alguns casos isto pode atingir 40Å causa disto 
é a pressão mútua dos ramos em crescimento à medida que eles competem por espaço para 
desenvolver-se, como se fossem pinheiros, numa plantação densa de alguma Comissão Florestal. 
 12 
Ocorrem também desorientações dos átomos quando próximos aos contornos do cristal. Neste 
caso, existe uma camada com cerca de três átomos de espessura, onde os átomos estão defasados 
com respeito a ambos os cristais. Há algum tempo atrás, isto era conhecido como “argamassa do 
contorno de grão”. Felizmente este termo confuso caiu em desuso. Esta camada se comporta 
como se fosse um líquido extremamente viscoso, devido à natureza amorfa da mesma (Fig. 
1.19). Geralmente, a baixas temperaturas, os metais fraturam pela propagação de trincas 
transcristalinas, enquanto que a altas temperaturas, invariavelmente, a propagação da trinca é 
intercristalina. Presume-se que o filme amorfo se torna menos viscoso a temperaturas mais 
elevadas. 
 
 
 
Fig. 1.19 O “efeito amorfo”, devido à desorientação entre os contornos de grão. 
 
 
Os metais de granulação fina contêm mais contornos de grãos e, conseqüentemente, mais 
átomos defasados por unidade de volume. Sendo assim, eles fluem mais facilmente que os 
metais de granulação grosseira e de composição química similar. É razoável supor que a fluência 
é uma propriedade intimamente associada com o estado amorfo. 
O tamanho médio e, até certo ponto, a forma dos cristais no lingote metálico variam com 
a velocidade de resfriamento. O resfriamento rápido possibilita uma elevação no super-
resfriamento e a presença das paredes do molde facilita a nucleação dentro do líquido. Como 
resultado, forma-se instantaneamente uma densa quantidade de núcleos e desta maneira aparece 
uma camada de cristais muito pequenos ou cristais “frios” (Fig. 1.20 (ii)). Com o aumento 
progressivo do molde e a conseqüente redução da velocidade de resfriamento, atinge-se um 
estágio onde o crescimento dos cristais para o interior da massa líquida, é contrabalançado pelo 
fluxo de calor para fora. Então, não surgem novos núcleos e a solidificação se dá com o 
crescimento dos cristais existentes na forma de colunas. Nos lingotes muito grandes, a 
velocidade de resfriamento no centro pode ser tão baixa que surgem poucos núcleos devido ao 
pequeno super-resfriamento. 
 
 
 
Fig. 1.20 – Tipos de estruturas de solidificação nos lingotes. (i) Cristais colunares: excessiva 
segregação de impurezas no núcleo. (ii) Zonas contendo cristais de superesfriamento, 
colunares e equiaxiais. (iii) Grandes cristais equiaxiais: menor segregação devido à 
baixa velocidade de resfriamento. 
 13 
2.1.1 FORMAÇÃO DE NÚCLEOS ESTÁVEIS EM LÍQUIDOS 
Os dois principais mecanismos pelos quais ocorre a nucleação de partículas sólidas num 
líquido são a nucleação homogênea e a nucleação heterogênea. 
A nucleação homogênea é considerada em primeiro lugar, já que constitui o caso mais 
simples de nucleação. Num metal liquido, a nucleação homogênea ocorre quando o próprio 
metal fornece os átomos para formar os núcleos. Consideremos o caso da solidificação de um 
metal puro. Quando o metal líquido puro é arrefecido, em grau suficiente, abaixo da sua 
temperatura de solidificação, criam-se numerosos núcleos homogêneos através do movimento 
lento de átomos que se vão ligando uns aos outros. Geralmente, a nucleação homogênea exige 
um grau de supercongelamento considerável, que pode ser da ordem de algumas centenas de 
graus Celsius, no caso de alguns melais (ver tabela 4.1). Para que um núcleo seja estável, de 
modo a poder crescer até formar um cristal, tem que atingir um tamanho crítico. Um 
agrupamento de átomos, ligados uns aos outros, cujo tamanho é inferior ao critico é designado 
por embrião; se tiver um tamanho superior ao tamanho critico, é designado por núcleo. Devido à 
sua instabilidade, os embriões formam-se e redissolvem-se continuamente no metal líquido, 
devido à agitação dos átomos. 
 
 
Tabela 1.3 – Valores da temperatura de solidificação, calor de solidificação, energia de 
superfície e do supercongelamento máximo de alguns metais. 
Temperatura de 
solidificação 
Metal 
 °C K 
Calor de 
solidificação 
J/cm3 
Energia de 
superfície 
J/cm2 
Supercongelamentomáximo observado 
DT (°C) 
Pb 
Al 
Ag 
Cu 
Ni 
Fe 
Pt 
327 
660 
962 
1083 
1453 
1535 
1772 
600 
933 
1235 
1356 
1726 
1808 
2045 
-280 
-1 066 
-1 097 
-1 826 
-2660 
-2098 
-2 160 
33,3 x l0-7 
93 x l0-7 
126 x l0-7 
177 x l0-7 
255 x l0-7 
204 x l0-7 
240 x l0-7 
80 
130 
227 
236 
319 
295 
332 
Fonte: B. Chalmers, “Solidification of Metais”, Wiley, 1964 
 
 
 
2.1.2 ENERGIAS ENVOLVIDAS NA NUCLEAÇÃO HOMOGÊNEA 
Na nucleação homogênea que ocorre durante a solidificação de um metal puro, há dois 
tipos de variação de energia a considerar: (1) a energia livre de volume, libertada pela 
transformação líquido-sólido, e (2) a energia de superfície requerida para formar as novas 
superfícies das partículas solidificadas. 
Quando um metal puro líquido, como o chumbo, é arrefecido abaixo da sua temperatura 
de solidificação de equilíbrio, a energia motora para a transformação líquido sólido é a diferença 
entre a energia livre de volume ∆GV do líquido e a do sólido. Se ∆GV for a variação de energia 
livre entre o líquido e o sólido, por unidade de volume de metal, então a variação de energia livre 
de um núcleo esférico de raio r é 4/3πr3∆GV já que o volume de uma esfera é 4/3πr
3. Na fig. 
1.21 representa-se a variação da energia livre de volume em função do raio do embrião ou 
núcleo, a qual é negativa, uma vez que é uma energia libertada pela transformação líquido-
sólido. 
 14 
Contudo, existe uma energia que se opõe à formação dos embriões e núcleos, que é a 
energia requerida para formar a superfície destas partículas. A energia necessária para criar a 
superfície de partículas esféricas ∆Gs é igual à energia livre específica da superfície da partícula, 
γ, vezes a área da superfície da esfera, ou seja 4πr2γ, em que 4πr2 é a área da superfície de uma 
esfera. Esta energia ∆Gs que retarda a formação das partículas sólidas, está representada na fig. 
1.21 por uma curva ascendente, na metade superior (positiva) da figura. A energia livre total 
associada à formação de um embrião ou núcleo, que é a soma das variações das energias livres 
de volume e de superfície, está representada na fig. 1.21 pela curva intermédia. Na forma de 
equação, a variação total de energia livre para a formação de um embrião ou núcleo esférico de 
raio r, formado durante a solidificação de um metal puro, é: 
 γππ 23 4
3
4
rGrG VT +∆=∆ (11) 
 
Em que ∆GT = variação total de energia livre; r = raio do embrião ou núcleo; ∆GV = energia livre 
de volume; γ = energia livre específica de superfície 
 
 
 
Figura 1.21 – Variação da energia livre ∆G em função do raio do embrião ou núcleo criado 
durante a solidificação de um metal puro. Se o raio for maior do que r* o núcleo é 
estável e continuará a crescer. 
 
 
Na natureza, um sistema pode mudar espontaneamente de um estado de energia superior 
para um de energia inferior. No caso da solidificação de um metal puro, se as partículas sólidas 
formadas durante a solidificação tiverem raios inferiores ao raio critico r*, a energia do sistema 
diminuirá se elas se redissolverem. Estes pequenos embriões podem, por conseguinte, 
redissolver-se no metal líquido. Contudo, se as partículas sólidas tiverem raios superiores a r*, a 
energia do sistema diminuirá se estas partículas (núcleos) crescerem, formando partículas ou 
cristais maiores (fig. 1.17b). Quando r atinge o raio crítico r*, ∆GT tem o valor máximo ∆Gr*, 
(fig. 1.21). 
Na solidificação de um metal puro, pode obter-se uma relação entre o tamanho critico do 
núcleo, a energia livre de superfície e a energia livre de volume, derivando a equação (3). A 
derivada da energia livre total ∆GT em ordem a r é zero quando r = r*, já que a curvo da energia 
livre total em função do raio do embrião ou núcleo tem então um máximo e o declive d(∆GT)/dr 
= 0. Assim, 
γππγππ *2*23 8124
3
4)(
rGrrGr
dr
d
dr
Gd
VV
T +∆=





+∆=
∆
 (12) 
 15 
2.1.3 RAIO CRÍTICO E SUPERCONGELAMENTO 
Da mesma forma que o superaquecimento, algumas substâncias podem ter sua 
temperatura diminuída abaixo do seu ponto de congelamento, sem que entretanto se 
solidifiquem. Para que o líquido se solidifique, é necessário que algumas moléculas se 
aproximem umas das outras de forma a formar um núcleo cristalino, que servirá de núcleo de 
crescimento para um cristal maior. Quando há dificuldade para formação desses núcleos de 
cristal, o líquido continua a perder calor, sua temperatura cai abaixo do ponto de congelamento, 
até que em algum lugar do líquido, o núcleo de crescimento consiga se formar. A cristalização 
ocorre em seguida, rapidamente, acompanhada de liberação de calor, o calor de cristalização. 
Essa liberação de calor é captada pelo líquido, que aumenta de temperatura média até o ponto de 
congelamento, e então este continua a congelar. Se a temperatura de supercongelamento for 
muito baixa, extrema, talvez a liberação de calor não seja suficiente para elevar a temperatura ao 
ponto de congelamento, situação esta em que o líquido permanecerá supercongelado, sem formar 
retículo cristalino de sólido. 
Quanto maior for o grau de supercongelamento, ∆T abaixo da temperatura de equilíbrio 
de fusão e do metal, maior é a variação de energia livre de volume ∆GV,. Por outro lado, a 
variação de energia livre devida à energia de superfície ∆Gs, não depende muito da temperatura. 
Nestas condições, o tamanho critico do núcleo é determinado principalmente por ∆GV. Próximo 
da temperatura de solidificação, o tamanho critico do núcleo deverá ser infinito, já que ∆T se 
aproxima de zero. À medida que o grau de supercongelamento aumenta, o tamanho critico do 
núcleo diminui. Na fig. 4.5, mostra-se a variação do tamanho critico do núcleo em função do 
grau de supercongelamento para o cobre, O grau de supercongelamento máximo para a 
nucleação homogênea, no caso dos metais puros indicados na tabela 1.22, varia entre 80 e 
332°C. O tamanho critico do núcleo está relacionado com o grau de supercongelamento pela 
equação: 
TH
T
r
s
m
∆∆
=
π2* (13) 
 
Em que r* = raio crítico do núcleo; γ =energia livre de superfície; ∆Hs = calor latente de 
solidificação; ∆T = grau de supercongelamento a que o núcleo se forma. 
 
 
 
 
Figura 1.22 – Raio crítico do núcleo no cobre em função do grau de supercongelamento ∆T. 
Chalmers. “Principies of Solidification”, Wiley, 1964.1. 
 16 
2.1.4 NUCLEAÇÃO HETEROGÊNEA 
Nucleação heterogênea é a que ocorre, no líquido, sobre as paredes do recipiente, 
impurezas insolúveis ou outro material presente na estrutura que baixe a energia livre critica 
necessária para formar um núcleo estável. Dado que, durante as operações industriais de 
vazamento, não ocorrem graus de supercongelamento elevados (geralmente variam entre 0,1 e 
10°C), a nucleação será certamente heterogênea e não homogênea. 
Para que a nucleação heterogênea tenha lugar, o agente nucleante do sólido (impureza 
sólida ou recipiente) terá de ser molhado pelo metal líquido. O líquido deve igualmente 
solidificar facilmente sobre o agente nucleante. Na fig. 1.23, mostra-se um agente nucleante 
(substrato) que é molhado pelo líquido a solidificar e que, portanto, origina um pequeno ângulo 
de contacto O entre o metal sólido e o agente nucleante. A nucleação heterogênea ocorre sobre o 
agente nucleante, por que a energia de superfície, para formar um núcleo estável, é mais baixa se 
o núcleo se formar sobre aquele material do que se formar no próprio líquido puro (nucleação 
homogênea). Já que a energia de superfície é mais baixa no caso da nucleação heterogênea. a 
variação total de energia livre, necessária à formação de um núcleo estável, é mais baixa e o 
tamanho crítico do núcleo é menor. Por conseguinte, para formar um núcleo estável, por 
Nucleação heterogênea, é necessário um grau de supercongelamento menor. 
 
 
 
Figura 1.23 – Nucleação heterogênea de um sólido sobre um agente nucleante: an = agente nucleante, SL 
= sólido-líquido, S = sólido, L = líquido; θ = ângulo de contacto. (J. H. Brophy, R. M.Rose e John Wulff, “Structure and Properties of Materials”, vol. II: “Thermodynamics of 
Structure”, Wiley, 1964, p. 105.). 
 
 
Depois de se formarem núcleos estáveis, estes núcleos crescem e formam cristais, 
conforme se mostrou na fig. 1.17b. Em cada cristal, os átomos estão dispostos da mesma 
maneira, mas a orientação varia de cristal para cristal (fig. 1.17c). Quando a solidificação do 
metal está completa, os cristais, com diferentes orientações, juntam-se uns aos outros e originam 
fronteiras nas quais as variações de orientação têm lugar numa distância de alguns átomos (fig. 
1.17d). Do metal solidificado contendo muitos cristais, diz-se que é policristalino. Os cristais, no 
metal solidificado, designam-se por grãos e as superfícies entre eles por limites de grão ou 
fronteiras de grão. 
 
 
2.1.5 SOLIDIFICAÇÃO DE MONOCRISTAIS 
A maior parte dos materiais cristalinos é constituída por muitos cristais, ou seja, são, por 
policristalinos. Contudo, existem alguns materiais que são constituídos por um único cristal; ou 
seja, são monocristais. Por exemplo, os componentes eletrônicos sólidos, tais como transistores e 
alguns tipos de diodos, são constituídos por monocristais de elementos e compostos 
semicondutores. Nestas aplicações, são necessários monocristais, uma vez que os limites de grão 
destruiriam as propriedades elétricas dos dispositivos feitos desses materiais semicondutores. 
 17 
No crescimento de monocristais, a solidificação tem lugar em torno de um único núcleo, 
pelo que nenhum outro cristal é nucleado e cresce. Para conseguir isto, a temperatura da interface 
entre o sólido e o líquido deve ser ligeiramente inferior à temperatura de fusão do sólido, e a 
temperatura do líquido deve aumentar para além da interface. Para produzir este gradiente de 
temperatura, o calor latente de solidificação’ tem de ser escoado através do cristal sólido que está 
a solidificar. A velocidade decrescimento do cristal tem de ser baixa, de modo a que a 
temperatura da interface líquido-sólido esteja ligeiramente abaixo da temperatura de fusão do 
sólido. 
Na indústria, é possível fazer crescer monocristais de silício, com 15 a 20cm de diâmetro, 
para aplicação em dispositivos semicondutores. Uma das técnicas geralmente usadas para 
produzir monocristais de silício de alta qualidade (minimização de defeitos) é o processo 
Czochralski. Neste processo, começa-se por fundir, num cadinho não reativo, silício 
policristalino de elevada pureza, que é mantido a uma temperatura imediatamente abaixo da 
temperatura de fusão. Mergulha-se, no líquido, um cristal-semente de silício de alta qualidade, 
com a orientação desejada, que é simultaneamente rodado. Parte do cristal-semente sofre fusão, 
o que permite remover a região exterior deformada e originar uma superfície onde o líquido vai 
solidificar. O cristal-semente continua a rodar e é retirado lenta mente do líquido. À medida que 
é retirado do líquido, o silício líquido que se encontra no cadinho adere e cresce sobre o cristal-
semente, originando um monocristal de silício de diâmetro muito maior (fig. 1.24). 
 
 
 
Figura 1.24 - Produção de um monocristal de silício pelo processo Czochralski. 
 
 
Depois de formado, o monocristal é lixado até um diâmetro preciso e, em seguida, 
cortado em bolachas com cerca de 1 mm de espessura. As bolachas são então atacadas 
quimicamente e polidas, com abrasivos de polimento cada vez mais finos, até se atingir um 
acabamento espelhado sem defeitos. As bolachas podem então ser usadas no fabrico de 
dispositivos semicondutores. Este processo é o mais utilizado na indústria de semicondutores. 
Outra aplicação dos monocristais é na investigação das propriedades mecânicas, já que os 
contornos de grãos e a orientação aleatória dos grãos são eliminados. 
 
 
2.1.6 EQUILÍBRIO SÓLIDO-LÍQUIDO E VARIAÇÕES DE PRESSÃO 
Quando a pressão de um sistema em equilíbrio é aumentada, a fase mais densa é 
favorecida. Se a densidade do líquido for menor que a do sólido, forma-se mais sólido. Porque há 
mais espaço entre as moléculas no líquido (menos denso), o líquido se comprime e forma o 
sólido. Se a densidade do líquido for maior que a do sólido, forma-se mais líquido. Nesse caso há 
mais espaço entre as moléculas do sólido, que se comprimindo formará líquido. O que causa a 
diferença de densidade nos diferentes estados é a maneira como as moléculas interagem entre si. 
 18 
 
3 CRISTALOGRAFIA 
 
3.1 PROPRIEDADES FÍSICAS ESCALARES E DIRECIONAIS 
A matéria, na sua diversidade, apresenta diferentes propriedades específicas que permitem 
caracterizá-la. Estas propriedades físicas exprimem uma relação entre grandezas associadas, 
suscetíveis de medição. A capacidade calorífica, por exemplo, exprime uma relação entre calor 
cedido a um corpo e o aumento de temperatura do mesmo; a massa específica de uma substância 
traduz a razão existente entre a massa e o volume de qualquer corpo dessa substância; a 
condutibilidade térmica relaciona um gradiente de temperatura com fluxo de calor. Nos dois 
primeiros exemplos, capacidade calorífica e massa específica, as grandezas não envolvem 
qualquer idéia de direção. Tais propriedades são expressas por grandezas escalares, isto é, 
simplesmente por um número: a capacidade calorífica do gelo é de 0,55cal/g.oC e a massa 
específica do quartzo é de 2,65 g/cm3. 
 No exemplo da condutibilidade térmica, relacionam-se duas grandezas orientadas, que 
exigem vetores, para que fiquem perfeitamente orientadas. Tais propriedades, em cuja definição 
intervém a direção, são ditas vetoriais ou simplesmente direcionais, pois geralmente assumem 
valores diferentes, de acordo com a direção considerada. Por exemplo. A condutibilidade térmica 
nos cristais de quartzo é 40% maior na direção do eixo ternário (direção das arestas do prisma) 
que perpendicularmente a essa direção. 
 Quando numa substância, uma dada propriedade direcional manifesta valores variáveis 
com a direção, diz-se que tal substância é anisotrópica, relativamente a essa propriedade. Caso 
os valores sejam independentes da direção a substância é isotrópica, relativamente a essa 
propriedade. Todavia uma substância pode ser isotrópica para algumas propriedades, mas 
anisotrópica em relação a outras. Por exemplo, a fluorita é anisotrópica relativamente à 
clivagem, mas é isotrópica em relação à velocidade de propagação da luz. 
 Para visualizar o comportamento de uma substância relativamente à determinada 
propriedade direcional, é usual definir, a partir de um ponto do espaço, vetores que, pela sua 
amplitude e direção, indiquem valores assumidos por essa propriedade nas diferentes direções. 
Por exemplo, se pretendemos representar a dilatação térmica linear de um mineral, deve-se 
utilizar uma esfera de raio unitário desse mineral e por aquecimento, considerar o elipsóide 
resultante da deformação. Este elipsóide acontece devido as diferentes dilatações, mesmo que 
todas positivas, nas diferentes direções. Em alguns casos, como a calcita, a dilatação chega a ser 
negativa em uma das direções, o que acentua ainda mais o elipsóide. Propriedades como a 
dilatação térmica são ditas direcionais contínuas. 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Elipsóide resultante da deformação de uma esfera de calcita, por aquecimento. 
 19 
 Por outro lado, há outras propriedades tais como: clivagem, dureza, difração de raios-X e 
outras radiações, a piezoeletricidade, a velocidade de crescimento das faces cristalinas e os 
deslocamentos que só se verificam segundo direções muito restritas de retas ou de planos. Estas 
propriedades são ditas direcionais descontínuas. Em outras palavras, a variação não é contínua, 
mas descontínua e fortíssima, não havendo valores intermediários e a propriedade se 
manifestando em direções privilegiadas. Resumindo, 
 escalares 
Propriedades físicas contínuas 
 Direcionais 
 descontínuas 
 
 
3.2 EVIDÊNCIAS DAS ESTRUTURAS INTERNA REGULAR DOS CRISTAIS 
A manifestação, por parte dos cristais, de anisotropiarelativamente a certas propriedades 
físicas, aliada à idéia de descontinuidade da matéria, levou os cristalógrafos a atribuir aos cristais 
uma estrutura regular. Se num cristal, ao longo de uma dada direção, uma propriedade manifesta 
sempre o mesmo valor, é porque as partículas materiais (átomos, íons poliatômicos ou 
moléculas) se distribuem de maneira constante ao longo dessa direção. Mas, se noutra direção do 
mesmo cristal aquela propriedade assume um valor diverso do anteriormente verificado, é 
porque a distância constante entre as partículas nessa segunda direção é diferente daquela que 
caracteriza a primeira. Deste modo, chega-se a conclusão de que as partículas elementares 
definem uma distribuição regular e de que uma estrutura cristalina pode ser descrita pela 
repetição periódica de átomos ou agrupamento de átomos. Diz-se por esta razão, que a matéria 
cristalina apresenta uma homogeneidade periódica, quanto à distribuição das suas partículas 
elementares. 
A matéria cristalina pode ser definida como toda matéria dotada de homogeneidade 
periódica, caracterizada por manifestar propriedades direcionais descontínuas, em mais de uma 
direção. Qualquer massa homogênea de matéria cristalina diz-se ser um cristal. Esse provém do 
grego Krystalos. Quase todos os povos e culturas utilizaram esse elemento atrativo e misterioso. 
Os gregos acreditavam que o cristal de quartzo era a luz cósmica congelada vinda do Olimpo, 
residência dos deuses, para a Terra. 
O termo cristal é usado, normalmente, para fazer referência à concepção de cristal, acima 
definida, desde que o mesmo apresente forma limitada externamente por superfícies planas e 
lisas. Observa-se, porém, que essas formas externas dos cristais podem não se apresentar como 
superfícies perfeitamente bem formadas, planas e lisas (faces do cristal). Dessa forma, podemos 
qualificar o cristal em euédrico ou idiomórfico, subédrico e anédrico (informe). A saber: 
Euédrico: quando o cristal apresenta as faces perfeitamente desenvolvidas; Subédrico: o cristal 
apresenta-se com suas faces imperfeitamente desenvolvidas; Anédrico: quando o cristal não 
apresenta faces. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Caracterização da forma de um cristal, em amostra de mão: (a) cristal euédrico. (b). 
subédrico. (c) anédrico. 
 20 
A simetria do cristal exprime-se, sobretudo em constância dos ângulos interfaciais, ou 
melhor, dizendo, na constância dos ângulos (fig. 2.2) entre as normais das determinadas faces 
dum cristal – fato posto em evidência pelo monge beneditino Nicolaus Steno (Stensen), para 
cristais de quartzo nos finais do século XVII. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Constância de ângulos entre normais às faces do cristal de quartzo. 
 
 
Milhares de medições executadas por cientistas nos decênios a seguir da descoberta do 
Steno conduziram à conclusão que cada cristal de uma substância possui constância dos ângulos, 
com valores que lhe são característicos. 
As primeiras teorias sobre a estrutura triperiódica dos cristais provêm de 1784, formulada 
por R. J. Haüy. Segundo ele, ao observar um cristal de calcita, casualmente separado de um 
grupo de cristais idênticos, observou que uma das arestas do prisma tinha sido truncada e uma 
face brilhante aparecera em seu lugar. Procurando repetir o acidente, verificou que aquelas faces 
só ocorriam ao longo das arestas alternantes da base do prisma de calcita. Faces idênticas, 
obtidas na outra base do prisma, alternavam, não só entre si, como com as anteriores. Insistindo, 
as faces originais do prisma hexagonal foram progressivamente diminuindo, até que, Haüy 
obteve um romboedro. 
 
 
 
 a b c d e 
 
 
 
Figura 2.3 – (a) Obtenção do núcleo da calcita por clivagem (ultima figura) de um cristal 
prismático inicial. (b) Fotografia de calcita, mostrando a dupla refligência. 
 
 
 Haüy submeteu à mesma prova de clivagem outros cristais de calcita de diversos hábitos: 
em todos obteve o mesmo romboedro, que designou por núcleo ou forma primitiva da calcita. Do 
mesmo modo verificou que a partir de cristais de outros minerais se obtinham outros núcleos 
característicos: da barita, um prisma reto de base losângica, da galena um cubo, etc. Estes 
núcleos pelo mesmo processo de subdivisão, dão origem a poliedros idênticos cada vez menores, 
até se chegar a um ponto, em que se destruiria a natureza da substância. A estes corpúsculos 
Haüy deu o nome de moléculas integrantes. Ou seja, seriam pequenos paralelepípedos (isto é 
sólidos com seis faces paralelas duas a duas) com a forma do núcleo do cristal e de cujo 
empilhamento compacto (ou seja, sem deixar espaços vazios) resultaria os cristais. As figuras 2.4 
 21 
a e 2.4 b mostram como é possível para cristais de um mesmo mineral ter formas externas 
diferentes como a expressão externa do mesmo tipo de unidade interna. Deve-se salientar que 
cada cubo minúsculo (unidade interna) pode ser constituído de unidades menores. 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
Figura 2.4 – Um (a) octaedro e um (b) cubo, ambos construídos a partir de pequenos cubos. 
 
 
 Assim sendo, formas como o tetraedro, o octaedro, etc., não poderiam ser unidades 
estruturais, pois estas são incapazes, por empilhamento de originar um edifício sem vazios. No 
entanto, em alguns minerais, a clivagem conduz a núcleos não paralelepipédicos: por exemplo. 
De um cubo de pirita obtém-se um octaedro e de um cristal de blenda, um dodecaedro rômbico 
(ver figura 2.14). Haüy resolveu a dificuldade, agrupando várias dessas moléculas não 
paralelepipédicas, que designou por molécula subtrativa, de modo a formarem um 
paralelepípedo. 
 
 Assim, segundo Haüy, qualquer cristal consiste em um empilhamento compacto de 
paralelepípedos iguais (moléculas integrantes ou moléculas subtrativas). As diferentes formas 
cristalográficas resultariam do núcleo do cristal por acréscimo de camadas daquelas moléculas. 
O conteúdo material das “moléculas” seria sempre o mesmo, de modo que o edifício cristalino 
apresentaria periodicidade, ou seja, uma estrutura triperiódica, segundo as três direções das 
arestas dos paralelepípedos elementares. 
 
CLIVAGEM, PROPRIEDADES OTICAS: ver pág 13 Dana & Hurlbut 
 
 
 
3.3 SIMETRIA EM CRISTAIS: OPERAÇÕES, NOTAÇÃO E CLASSES 
Todos os cristais possuem simetria mesmo que isto não seja sempre evidente, pois somente 
em condições favoráveis desenvolvem formas externas regulares. 
Milhares de medições executadas por cientistas nos decênios a seguir da descoberta do 
Steno conduziram à conclusão que os cristais de todas as substâncias podem ser classificados em 
sete sistemas de simetria. Cada um dos sete sistemas ficou caracterizado por um eixo ou 
conjunto dos eixos de simetria, como indica a tabela 2.1. 
 
 
Tabela 2.1 - Sete sistemas de simetria e seus elementos principais 
 
Sistema eixos 
 22 
cúbico 4 eixos triplos 
Tetragonal 1eixo quádruplo 
hexagonal 1eixo quádruplo 
trigonal 3 eixos quádruplos 
ortorrômbico 1eixo quádruplo 
monoclínico eixo quádruplo 
triclínico sem eixos 
sete sistemas foram seguidamente subdivididos em 32 classes, de acordo com a presença ou 
ausência dos demais elementos de simetria: centros e planos de simetria2 .. 
 
Ver pág. 18 Dana & Hurlbut. 
 
 
3.4 REDES FUNDAMENTAIS DE BRAVAIS 
A presença, em muitas espécies minerais de formas com simetria inferior á de 
paralelepípedo sempre embaraçou Haüy. Efetivamente, já que uma forma cristalográfica tem, 
naqueles minerais, a simetria de paralelepípedo, e o seu empilhamento não poderia, geralmente, 
preencher todo o espaço. Esta dificuldade foi eliminada pela teoria que August Bravais 
apresentou em 1848-1850 e que, por algum tempo substituiu a de Haüy. 
 
A teoria das moléculas poliédricas de Bravais pode resumir-se em três pontos: 
 
1º A molécula constituinte do cristal (isto é, o motivo da sua estrutura interna) não preenche 
totalmente o espaço. 
2º Essa molécula tema simetria dum poliedro, que não é necessariamente, de um paralelepípedo. 
3º A distribuição das moléculas poliédricas obedece à um esquema triperiódico, designado por 
rede cristalográfica (rede de Bravais). 
 
 Esta teoria pouco difere da de Haüy. A sua originalidade não reside no esquema de 
distribuição periódica dos poliedros, mas na idéia de cristal “aberto”, onde as unidades 
estruturais estão separadas por vazios. Bravais, como se vê, para caracterizar a estrutura 
cristalina dissociou-a em duas entidades distintas: o motivo e o ritmo. Foi isso que lhe permitiu 
resolver a dificuldade acima referida. 
 O modo de distribuição das moléculas, embora implícito na teoria de Haüy, é geralmente 
designado por “rede de Bravais”, dado o claro desenvolvimento matemático que Bravais lhe deu. 
Um arranjo ordenado tridimensional de átomos no espaço é denominado de retículo 
cristalino. Contanto, se ao invés de átomos, houver um arranjo geometricamente regular de 
pontos (nós) no espaço, ter-se-á um retículo espacial. Então, um retículo cristalino pode ser 
imaginado como sendo um arranjo espacial, onde os pontos são ocupados por átomos, íons, 
moléculas, ou agrupamentos destes. 
Para um primeiro entendimento de retículo é interessante estudar um análogo 
bidimensional, ou seja, a rede. Esta última pode ser descrita como um arranjo regular de pontos 
em um plano, formando um padrão pequenos grupos que se repetem, ao qual se denomina de 
célula unitária. A célula unitária pode ser utilizada para gerar, por translações, a rede inteira, 
quando se move no plano, desde que seja a uma distância igual ao comprimento de uma de suas 
 
2 texto completo em: DANA, J. D, & HURLBULT, C. S. Manual de Mineralogia /// Trad. De Rui Ribeiro Filho. Rio de 
Janeiro, LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1969, 1o ed. 
 23 
arestas e em uma direção paralela a esta aresta escolhida conforme visto na figura 2.5. A 
distância constante entre os nós de uma fila é uma característica importante dessa fila, que se 
designa por parâmetro de fila. A figura indica 2.5 oito desses movimentos de translação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Pontos em uma plano, arranjados regularmente formando uma rede. A célula 
unitária quadrada pode ser usada para gerar a rede completa. 
 
 
Há várias maneiras de se escolher uma célula unitária para esta rede, uma delas seria o 
quadrado, mostrado no lado esquerdo superior da figura 2.6. Outras maneiras de se escolher uma 
célula unitária são apresentadas na figura 2.6. Geralmente, mas nem sempre, a célula escolhida 
para uma rede é um paralelogramo. A célula unitária a é dita primária ou reduzida, pois é a 
que possui as menores distâncias que separam os nós desse plano. Quaisquer outras redes que se 
definam naquela distribuição de nós são ditas secundárias, tais como as células b e c. 
 
 
 
 a b 
 
 
 e d c 
 
 f 
 
 
Figura 2.6 – Diferentes maneiras de se escolher uma célula unitária para uma rede. 
 
 
Nas redes primárias nunca há nós exteriores às interseções que as definem, enquanto que 
nas redes secundárias isto poderá acontecer. Quando não há nós fora das interseções as filas 
denominam-se conjugadas, tais como as células a, b e c. Já no caso de possuírem nós exteriores 
às suas interseções, as filas são ditas não-conjugadas, tais como nas células unitárias d e e. A 
célula f é equivalente à célula a, pois é idêntica a esta em tamanho e forma. Nas redes 
conjugadas cada ponto é compartilhado por quatro células adjacentes, como as células possuem 
quatro vértices, os números de pontos associados a ela é 4 x ¼, ou 1 ponto isto é, o equivalente a 
um ponto “pertence” a cada célula unitária. Numa rede definida por filas não-conjugadas, cada 
malha abrange, além de quatro nós nos vértices, mais certo número n de nós no seu interior. 
 
Exercício 2.1 – Há cinco diferentes organizações de pontos para formar redes bidimensionais: 
quadrado simples (já visto na figura 2.5 e 2.6), retângulo simples, retângulo de área centrada ou 
losângulo, paralelogramo, hexágono de área centrada. Desenhe-os. 
 
 24 
Já para outras células como a de pentágonos não é possível construir uma rede, conforme 
mostrado na figura abaixo,. 
 
 
Figura 2.7 – Com pentágonos não é possível construir uma rede bidimensional, sem que fiquem 
espaços vazios. 
 
 
 A partir das definições da rede bidimensional, pode-se então transpor para três 
dimensões. A célula unitária geralmente escolhida para um retículo espacial é a figura sólida 
conhecida como paralelepípedo. Estes são sólidos com três conjuntos de faces paralelas, onde 
cada face é um paralelogramo. Assim sendo, a célula unitária consiste na unidade estrutural 
básica ou bloco de construção básico (figura 2.8a) e define a estrutura cristalina em virtude da 
sua geometria, tendo como referência um sistema de coordenadas x, y, z, com sua origem 
localizada em um dos vértices de uma célula unitária. 
 A geometria geral de uma célula unitária tridimensional é completamente definida em 
termos de seis parâmetros: os comprimentos das arestas a, b, c e pelos ângulos α, β , γ entre os 
eixos cristalográficos. Estes parâmetros são referidos como constantes de rede ou parâmetros de 
rede de uma estrutura cristalina, conforme mostrado na figura 2.8 b. 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
Figura 2.8 – (a) Retículo espacial gerado pela repetição do empacotamento de células unitárias 
adjacentes face-a-face através do espaço tridimensional. (b) Geometria geral de 
uma célula unitária tridimensional. 
 
 
 São possíveis sete combinações diferentes destes seis parâmetros da rede: a, b, c e α, β e 
γ , consequentemente há sete tipos de paralelepípedos, formando os sete tipos essenciais de 
retículos conhecidos como redes de Bravais, os quais correspondem aos sete sistemas 
cristalográficos: triclínico, monoclínico, ortorrômbico, tetragonal, hexagonal, trigonal e cúbico. 
Os sistemas cristalinos dispostos em ordem crescente de simetria são mostrados na tabela 
2.2. A simetria aumenta conforme os ângulos tendem a serem retos (900) e conforme as arestas 
tendem a ter o mesmo tamanho. 
 
 
 25 
Tabela 2.2 – Os sete sistemas cristalinos, dispostos em ordem crescente de simetria. 
 
 
 
Triclínico Monoclínico Ortorrômbico Tetragonal 
a ≠ b ≠ c 
α ≠ β ≠ γ 
a ≠ b ≠ c, 
α = γ = 900 ≠ β 
a ≠ b ≠ c 
α = β = γ = 900 
a = b ≠ c 
α = β = γ = 900 
 
 
 
 
Hexagonal Romboedral Cúbico 
a = b ≠ c 
α = β = 900, γ = 1200 
a = b = c 
α = β = γ ≠ 900 
a = b = c, 
α = β = γ = 900 
Os parâmetros de rede a, b, c são os comprimentos de arestas das células unitárias. Os parâmetros de rede α, β e γ, 
são os ângulos entre os eixos adjacentes das células unitárias, onde α é o ângulo visto ao longo do eixo a (isto é 
entre os eixos b e c). 
 
 
3.5 NOTAÇÃO CRISTALOGRÁFICA. 
Há umas poucas regras básicas que se deve ter na descrição de uma célula unitária, pois 
se necessita de um vocabulário que permita que se comunique eficientemente sobre estrutura 
cristalina. Os aspectos geométricos em uma rede são descritos em termos de posições, direções e 
planos de uma rede. As posições de rede expressas como frações (ou múltiplos) de dimensões de 
células unitárias, são ilustradas na figura 2.9a. Assim, a posição no centro do corpo projetada à 
meio caminho ao longo das três margens da célula unitária é designada pelas coordenadas ½, ½, 
½. Estas posições equivalentes são conectadas por translações de rede, consistindo de múltiplos 
integrais de constantes de rede ao longo de direções paralelas aos eixos cristalográficos (figura 
2.9b). 
 
 
 
Figura 2.9 – (a) Notação para posições de rede. (b) Translações de rede conectadas com posições 
estruturalmente equivalentes em várias células unitárias. 
 26 
 As direções de rede são representadas por linhas retas que passam pela origem e por 
outro ponto interceptando um dos vértices da célula unitária ou de qualquer célula adjacente.A 
notação de uma direção de rede é representada entre colchetes [ ], para diferenciar da notação de 
posição. Na figura 2.10a, a direção que intercepta a célula unitária cúbica na posição 111, se 
estendida, interceptará a rede nas posições 222, 333, etc. Como a série 111 é a menor, a direção é 
referida como [111]. Apesar de passar pela posição ½ ½ ½ no centro do corpo da célula unitária 
o menor intercepto com um vértice de célula unitária é na posição 111. 
 Quando uma direção move-se ao longo de um eixo negativo, isto deve ser indicado pela 
notação de uma barra sobre a coordenada que representa a interceptação _ neste eixo. Por 
exemplo, na figura 2.10b, a barra sobre a última coordenada na direção [111] designa que a 
linha oriunda da origem intercepta a posição 11-1. 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
Figura 2.10 – (a) Notação para posições de rede. (b) Translações de rede conectadas com 
posições estruturalmente equivalentes em várias células unitárias. 
 
 
 As direções [111] e [111] são estruturalmente muito semelhantes, pois ambas são 
diagonais de corpo através de células unitárias _idênticas, diferindo somente em suas 
orientações no espaço. Em outras palavras, a direção [111] poderia se tornar a direção [111] se 
for feita uma diferente escolha de orientação em eixos cristalográficos. Dessa maneira pode-se 
ter um grupo de direções estruturalmente equivalentes, sendo chamado de família de direções e 
sendo representado em colchetes angulares. Um exemplo de diagonal de corpo no sistema cúbico 
é: 
 
 _ _ _ ___ __ _ _ __ 
<111> = [111], [111], [111], [111], [111], [111], [111], [111] 
 
 No estudo das propriedades mecânicas é útil conhecer o ângulo entre as direções. 
geralmente estes são determinados por cuidadosa visualização e cálculos trigonométricos. No 
sistema cúbico o ângulo pode ser determinado pelo simples cálculo do produto de dois vetores 
tomando as direções [uvw] e [u’v’w’]como vetores D = ua + vb + wc e D’ = u’a + v’b + w’c, 
pode-se determinar o ângulo δ, entre estas duas direções. 
 27 
 
D . D’ = |D| . |D’| cos δ 
 
222222 )'()'()'(.
'''
cos
wvuwvu
wwvvuu
++++
++
−=δ (1) 
 
 
Planos de rede são definidos em termos de seus interceptos nas laterais de uma célula. 
Porém, a notação destes planos não utiliza os interceptos, já que isto necessitaria o uso do 
símbolo de infinito (∞) se ocorresse de um plano ser paralelo a uma das laterais da célula 
unitária. Ao invés disso, são usados números inteiros, chamados de índices de Miller, estes são 
os recíprocos dos interceptos multiplicados pelo fator necessário para convertê-los em números 
inteiros. Os índices de planos são colocados entre parênteses, para distingui-los de direções. A 
notação geral para os índices de Miller é (hkl), referentes aos eixos x, y e z, respectivamente e 
pode ser usada para qualquer um dos sete sistemas cristalinos. Como exemplo, na figura 2.11a é 
mostrado que o plano (210) intercepta o eixo a em ½ a, o eixo b em 1b e o eixo c no infinito, 
pois é paralelo a este eixo. Seus recíprocos são 1/½, 1/1 e 1/∞, ou seja, os números inteiros 2, 1 e 
0, o que leva à notação _ (210). Na figura 2.11b os interceptos são nas posições 1, -1, ∞ e os 
índices de Miller são (110). Na figura 2.11c os interceptos são ∞, 2, 4, seus recíprocos são 0, 
½, ¼, dado que não são permitidas interseções fracionárias, estas terão de ser multiplicadas por 
4, de modo a eliminar as frações ½ e ¼. Assim os inversos das interseções passam a ser 0, 2, 1 e 
os índices de Miller são (021). 
Uma relação importante no sistema cúbico é quando as direções e planos cristalográficos 
contêm os mesmos índices, eles são perpendiculares um ao outro. Por exemplo, a direção [021] é 
perpendicular ao plano (021), conforme mostrado na figura 2.11c. Contanto, isto geralmente não 
é verdadeiro para outros planos cristalográficos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 – (a) Notação para _ os planos de rede, o plano (210) ilustra os índices de Miller 
(hkl). (b) Plano 110. (c) O plano (021), a direção perpendicular [021] e a direção 
não perpendicular [014]. 
 
 
Quando um conjunto de planos estruturalmente equivalentes estiverem relacionados pela 
simetria do sistema cristalográfico, são designados por famílias de planos. A representação da 
família de planos simétricos é feita colocando-se os índices de Miller entre chaves {hkl}. Assim 
 28 
sendo, a família {100} em um _ sistema _ cúbico, _ representa as seis faces de um cubo, tendo 
os planos: (100), (010), (001), (100), (010), (001). 
O sistema hexagonal, mostrado na figura 2.12, pode ser representado por quatro índices 
(hkil) denominados de índices de Miller-Bravais. No sistema hexagonal são mostrados três eixos 
no plano basal (a1, a2, a3) que fazem entre si um ângulo de 120
º. O outro eixo, localizado no 
centro da célula unitária e perpendicular ao plano basal é denominado de eixo c. Porém, somente 
dois eixos são suficientes para determinar plano basal, pois, como pode ser demonstrado h+ k = 
-i, o quarto índice do sistema Miller-Bravais é redundante. Dessa forma o sistema hexagonal 
pode ser designado pelos índices de Miller – Bravais (hkil) ou pelos índices de Miller (hkl). 
Assim, considerando os índices (hkil), no plano basal os interceptos acontecem nas posições ∞, 
∞, ∞, 1, consequentemente os índices de Miller–Bravais são (0001) e os índices de Miller (001). 
Já no plano prismático, os índices de Miller – Bravais são: (1010), (1100) e (1010). 
 
 
 
 
 
Figura 2.12 – Índices de Miller-Bravais para o sistema hexagonal. 
 
 
Exercício 2.2 – Liste os membros da família de direções <110> no sistema cúbico. 
Exercício 2.3 – Qual é o ângulo entre as direções [110] e [111] no sistema cúbico? 
 _ 
Exercício 2.4 – Identifique os interceptos axiais para o plano (311). 
Exercício 2.5 – Liste os membros da família de planos {110} no sistema cúbico. 
Exercício 2.6 – Desenhe uma célula unitária hexagonal e indique os planos basais e os planos 
prismáticos desta célula. 
 
 
 
3.6 MODOS DE REDES DE BRAVAIS 
Nas redes cúbicas primitivas (em que a malha reduzida é um cubo), a distância 
interplanar, dhkl representa o espaçamento entre dois planos paralelos sucessivos. Por exemplo, 
na figura 2.13, a distância d110, entre os planos 1 e 2 de índices (110) é igual ao comprimento 
AB. Do mesmo modo, a distância planos 2 e 3 é BC. 
 
 29 
 (110) plano 1 
 (110) plano 2 
 (110) plano 3 
 A 
 0 y 
 B a 
 C 
 d110 a 
 d110 x 
 
Figura 2.13 – Vista de topo de uma célula unitária cúbica, mostrando a distância entre planos 
cristalográficos. 
 
 
 
Por simples geometria facilmente se deduz a expressão: 
 
222 lkh
a
d hkl
++
= (2) 
 
Em que a é a medida da aresta do cubo (parâmetro de rede) malha simples definidora de rede de 
Bravais. Analisando a fórmula, Bravais fez notar que quanto mais simples são os índices dos 
planos, maiores são as distâncias reticulares. Assim, se essas distâncias forem colocadas em 
ordem decrescente sucedem-se os planos reticulares (100), (110), (111), (210), etc. 
Estes e os seus homólogos correspondem às faces cristalinas que definem, 
respectivamente, o cubo, o dodecaedro rômbico, o octaedro, um tetraexaedro, etc., isto é, as 
formas simples que, por ordem decrescente de freqüência, ocorrem habitualmente nos cristais 
das substâncias com uma estrutura cúbica primitiva. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.14 – (a) Os índices mais simples dos planos apresentam as maiores distâncias 
reticulares. (b) faces cristalinas que definem as formas simples que, por ordem 
decrescente de freqüência, ocorrem habitualmente nos cristais das substâncias com 
uma estrutura cúbica primitiva. 
 30 
Generalizando para todos os sistemas cristalográficos, Bravais postulou que a 
importância das faces dos cristais (ou de outros planos principais) varia em função dadensidade 
reticular dos correspondentes planos reticulares (hkl). Ou melhor, a freqüência com que certa 
face ocorre é diretamente proporcional ao número de nós que ela intercepta. Quanto mais 
comum o número tanto mais comum à face. Esse enunciado constitui a chamada lei de Bravais. 
Como exemplo a figura 2.15 representa uma camada de nós em um retículo de cristal cúbico. Os 
nós estão espaçados igualmente um do outro e têm um arranjo retilíneo. Pode-se notar que 
existem várias linhas possíveis através deste retículo, as quais incluem um número maior ou 
menor de nós. Estas linhas representariam o traço, nesta seção, dos planos possíveis do cristal e 
achar-se-ia que, destes planos possíveis, aqueles que incluem o maior número de pontos do 
retículo, ou seja, aqueles que cortam ao longo de AB e AC, seriam os mais comuns. Assim, 
desde que a estrutura interna de qualquer substância cristalina é constante e as faces do cristal 
têm relação definida com aquela estrutura, segue-se que as faces devem ter também uma relação 
definida entre si (lei de Steno generalizada). Por esta razão a morfologia cristalina é 
frequentemente instrumento valioso na identificação mineral. Um mineral pode ser achado em 
cristais de tamanhos e formas largamente variados, mas os ângulos entre os pares de faces 
correspondentes são sempre os mesmos, se medidos a mesma temperatura. 
 
 
 
 
Figura 2.15 – Plano de nós em um retículo cristalino 
 
 
Todavia, se a lei de Bravais fosse uma lei exata, os cristais apresentariam uma reduzida 
diversidade de formas simples, o que não se verifica. É evidente a falibilidade da lei de Bravais. 
No entanto, foi uma análise da aplicação dessa lei que conduziu Bravais a distinguir, em cada um 
dos sete tipos de redes cristalográficas, várias possibilidades ou modos. Se alguns cristais 
cúbicos, em vez do cubo (como seria de esperar pela lei de Bravais numa rede primitiva) 
apresentam, muito freqüentemente e com grande desenvolvimento, o octaedro ou o dodecaedro 
rômbico, é porque eles devem corresponder a modos estruturais diferentes, que façam alterar as 
distâncias reticulares dos diferentes planos, nomeadamente, devido à existência de nós 
suplementares nas malhas, conforme mostrado nas figuras 2.16. 
 
 
 31 
 
 
 
 
Figura 2.16 – Existência de nós suplementares nas malhas, que fazem alterar as distâncias 
reticulares dos diferentes planos, formando os modos centrado no corpo e 
centrado nas faces. 
 
 
(a) 
 
(a) 
 
(a) 
(b) 
3/111 ad = 
 
(b) 
 
(b) 
 
Figura 2.17 – Ilustração da dependência das distâncias reticulares, relativamente ao modo 
estrutural. Comparam-se as distâncias d111, d110, d100 para os modos: (a) cúbico 
simples e (b) cúbico de faces centradas. 
Assim, no sistema cúbico há três modos estruturais a considerar: 
 
P – Modo cúbico primitivo (simples ou hexaedral). 
F – Modo cúbico de faces centradas (ou octaedral) e 
I – Modo cúbico centrado (ou dodecaedral). 
 
 
Exercício 2.7 – Na figura 2.15 (ou 2.14) onde a densidade de pontos são maiores: nos planos 
AD, AE, AF, AC, ou AB? Quais são os índices de Miller para planos? 
 
Exercício 2.8 – Na figura 2.16, em quais planos a densidade de pontos são maiores? 
 32 
 
Exercício 2.9 – A partir da equação 2, mostrar que as distâncias reticulares (d) são maiores 
quanto mais simples são os índices dos planos, no sistema cúbico. Usar aos planos: (310), (210), 
(111), (110), (100), comparar com a figura 2.14. Comentar. 
 
 
As redes espaciais, conforme foi visto, podem conter nós apenas nos vértices (malhas 
simples ou primitivas) ou nós fora dos vértices (malhas múltiplas). O volume de uma malha 
múltipla é maior que o volume de qualquer malha simples (de rede primária ou de rede 
secundária) que se defina na mesma distribuição de nós. 
A malha simples definida pelas três menores translações não complanares de uma rede 
designa-se por malha reduzida. A malha reduzida correspondente à distribuição de nós descrita 
pela malha cúbica de faces centradas é o romboedro indicado na figura 2.18. Qualquer das duas 
malhas descreve perfeitamente a mesma distribuição de nós. 
 
 
 
 
Figura 2.18 – Malha cúbica de faces centradas. A correspondente malha reduzida é o romboedro 
inscrito no cubo. 
 
 
 Modos múltiplos foram investigados nos outros seis sistemas, além do sistema cúbico, 
definindo-se, ao todo, sete malhas múltiplas. Estas e as sete simples já descritas perfazem as 14 
malhas de Bravais, mostrados na figura 2.19. 
 
 
3.7 PROJEÇÕES EM CRISTAIS E MEDIDA DOS ÂNGULOS EM CRISTAIS 
 
Ver pág. 35 Dana & Hurlbut. 
 
 33 
a
120
o
c
a
a
a
a
c
a
a
c
a
b
a
c
b
αααα
ββββ γγγγ
c
a
bββββ
a
a a
αααα
simples face centrada corpo centrado
CÚBICA
TETRAGONAL
simples corpo centrado
simples
corpo centrado base centrada face centrada
romboedral hexagonal
monoclínica simples monoclínica base centrada triclínica
ortorrômbica
ortorrômbica ortorrômbica ortorrômbica
 
 
Figura 2.19 – As quatorze redes cristalinas de Bravais. 
 
 34 
3.8 CRISTALOGRAFIA POR DIFRAÇÃO DE RAIOS - X 
Os raios-X utilizados para difração são ondas eletromagnéticas com comprimentos de 
onda entre 0,5 e 0,25 Å. Para comparação, o comprimento de onda da luz visível é da ordem de 
6000 Å (600 ηm). Para produzir raios-X para difração, é necessário aplicar uma diferença de 
potencial da ordem de 35 KV entre um cátodo e um alvo metálico que funciona como ânodo, 
mantidos em vácuo, conforme é mostrado na figura 2.20. 
 
 
 
 
Figura 2.20 – Esquema da seção longitudinal de uma ampola de raios-X de filamento. 
 
 
Quando o filamento de tungstênio do cátodo é aquecido, libertam-se elétrons, por efeito 
termoiônico, que são acelerados através do vácuo pela diferença de potencial entre o cátodo e o 
ânodo, ganhando, assim, energia cinética. Quando os elétrons chocam-se com o alvo metálico 
(por exemplo, de molibdênio), libertam-se raios-X. Contudo, a maior parte da energia cinética 
(cerca de 98 por cento) é convertida em calor, pelo que o alvo metálico tem de ser arrefecido 
exteriormente. 
O espectro de raios-X emitido pelo alvo de molibdênio é mostrado na figura 2.47, com 
uma radiação contínua de raios-X de comprimentos de onda entre cerca de 0,2 e 1,4 Å e dois 
picos de radiação característicos, que são designados por linhas Kα e Kβ. Os comprimentos de 
onda das linhas Kα e Kβ são característicos de cada elemento. Para o molibdênio, a linha Kα 
aparece para um comprimento de onda de cerca de 0,7 Å. 
 
 
 
Figura 2.47 – Espectro de emissão de raios-X produzido quando se utiliza o metal molibdênio 
como alvo numa ampola de raios-X, funcionando à 35 kV. 
 35 
A origem da radiação característica é explicada do seguinte modo: em primeiro lugar, os 
elétrons K (n = 1) são retirados dos átomos pelos elétrons de alta energia que chocam com o 
alvo, deixando os átomos excitados. Em seguida, alguns elétrons das camadas superiores (ou 
seja, n = 2 ou n = 3) saltam para níveis de mais baixa energia para substituir os elétrons K 
perdidos, emitindo energia com um comprimento de onda característico. A transição dos elétrons 
da camada (n = 2) para a camada K (n = 1) liberta energia correspondente ao comprimento de 
onda da linha Kα, como se indica na figura 2.48. 
 
 
 
 
Figura 2.48 – Níveis de energia dos elétrons do molibdênio, mostrando a origem das radiações 
Kα e Kβ. 
 
 
 
A difração constitui um fenômeno característico de ondas, se houver difração, as ondas 
devem estar presentes. A luz pode sofrer difração, isto é, pode ser desviada e dividida em 
diversos feixes, como é mostrado na figura 2.49a, por meio de uma grade de difração, que seria 
uma série de linhas traçadas numa superfície plana, próximas umas das outras e espaçadas 
regularmente. Na ilustração, as linhas tão traçadas sob um espelho, configurando uma, assim 
chamada, grade de reflexão. A difração é o resultado da radiação sendo espalhada por um 
arranjo regular de centros de espalhamento, onde o espaçamento é aproximadamente igual