A EQUAÇÃO DE POGSON

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Murillo C. S. Fonseca* 
murillofonseca@outlook.com 
* Graduado em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás e Especialista em Metodologia do 
Ensino e Aprendizagem da Matemática pela Faculdade Apogeu. Professor Efetivo da Rede Estadual de Educação de 
Mato Grosso. 
 
 
 
A EQUAÇÃO DE POGSON E A ESTIMATIVA DA DISTÂNCIA DE 
ESTRELAS EM RELAÇÃO À TERRA 
 
 
Considerações Iniciais 
 
Quem nunca parou um só instante para contemplar a beleza do céu em noite limpa, cravejada 
de estrelas? Distantes, elas nos parecem vagalumes celestiais, sinalizando o desconhecido; fogueiras 
siderais, iluminando o infinito. 
Todavia, embora longínquas, desde tempos imemoriais despertam fascinação na mente 
humana – de físicos a músicos, de astrônomos a poetas. Mesmo porque “Se as coisas são 
inatingíveis... ora! Não é motivo para não querê-las... Que tristes os caminhos, se não fora a presença 
distante das estrelas!” (Mario Quintana). 
 
Magnitude Absoluta e Magnitude Aparente de Estrelas 
 
O brilho das estrelas pode ser expresso por um sistema de magnitudes. No estudo delas, 
denomina-se magnitude a medida do brilho de uma estrela. 
A magnitude absoluta de uma estrela é a medida do brilho que essa estrela exibiria caso fosse 
observada de uma distância igual a 10 parsecs (1 parsec = 30 trilhões de quilômetros). Quanto mais 
brilhante o objeto celeste, menor sua magnitude absoluta. Assim, uma estrela A de magnitude 
absoluta -4 é mais brilhante do que uma estrela B de magnitude +6. Como a proporção é de 1/20, ou 
seja, cada unidade de magnitude corresponde a 20 vezes na intensidade do brilho, se as estrelas A e 
B pudessem ser vistas lado a lado de uma mesma distância, então constataríamos que A é 200 vezes 
(10 magnitudes = abs(-4) + (+6)) mais brilhante que B. 
A magnitude aparente de uma estrela, por outro lado, é o quão brilhante ela parece ser a olho 
nu. Essa magnitude não nos permite saber o brilho real da estrela, pois ela depende da distância em 
que o objeto se encontra, ao contrário da magnitude absoluta. Quanto maior a magnitude aparente, 
em módulo, mais próxima da Terra. Quanto menor o valor da magnitude aparente, mais brilhante é a 
estrela, vista da Terra. A magnitude aparente do Sol, por exemplo, é de -26,72. Da estrela Proxima 
Centauri, +11,13. 
O sistema antigo de magnitude aparente foi desenvolvido pelo astrônomo grego Hiparco, por 
volta de 150 a.C. Ele classificou as estrelas com magnitudes aparentes variando de 1 a 6, sendo 1 as 
mais brilhantes e 6 o as menos brilhantes. Portanto, o sistema de magnitude aparente é baseado no 
quão brilhante uma estrela se apresenta a olho nu. 
Com o aparecimento dos procedimentos de cálculo de distâncias astronômicas baseadas em 
paralaxe, Norman Robert Pogson (1829-1891) desenvolveu a noção de magnitude absoluta: a 
magnitude aparente que um astro teria se estivesse a 10 parsecs de distância de um observador na 
Terra. Pogson traduziu os resultados das suas pesquisas numa equação conhecida como Equação de 
Pogson, a qual relaciona a magnitude aparente (m), a magnitude absoluta (M) e a distância (D) de 
uma estrela: 
5(log D – 1) = m – M, 
onde log é o logaritmo na base 10 e D é expresso em parsecs. 
Atualmente com as modernas técnicas de fotometria a escala de classificação da magnitude 
aparente de estrelas foi estendida para valores menores que 1 e maiores que 6. A Tabela 1 apresenta 
valores de magnitudes absoluta e aparente de algumas estrelas. 
 
Tabela 1. Magnitude absoluta e magnitude aparente. 
Estrela 
Magnitude 
Absoluta 
Magnitude 
Aparente 
Estrela 
Magnitude 
Absoluta 
Magnitude 
Aparente 
Achernar −2,77 +0,45 Gacrux −0,52 +1,64 
Aldebaran −0,63 +0,87 Mintaka −4,99 +2,25 
Alnilam −6,37 +1,70 Mirzam −4,10 +1,98 
Alnitak −5,25 +1,70 Procyon +2,66 +0,38 
Alphard −1,70 +1,98 Proxima Centauri +15,60 +11,13 
Antares −5,28 +1,09 Rigel −6,69 +0,18 
Arcturus −0,31 −0,05 Sirius A +1,42 −1,47 
Becrux −3,42 +1,25 Sol +4,85 −26,72 
Betelgeuse −4,29 +1,30 Spica −3,55 +0,98 
Canopus −3,38 −0,74 Vega +0,58 +0,03 
Fonte: <http://www.stellar-database.com>. 
 
Dedução da Equação de Pogson 
 
Consideremos o caso particular da Equação do Transporte Unidimensional 
0
u u
t x
 
+ =
 
. 
Tomando u = D, t = m e x = M, obtemos: 
( ) ( ), , 0D m M D m M
m M
 
+ =
 
. 
Se admitirmos 
( ) ( ) ( )=D m,M X m T M , 
então 
( )

=

dT
D m,M X
M dM
, ( )

=

dX
D m,M T
m dm
. 
Logo, 
1 1
0+ =  − =  − = =
dT dX dT dX dT dX
X T X T K
dM dm dM dm T dM X dm
. 
Donde obtemos 
( ) 11
1 1 1
ln ,−− =  = −  = −  = − +  = 
CKMdT K dT KdM dT KdM T KM C T M e e
T dM T T
 
bem como 
( ) 22
1 1 1
ln .=  =  =  = +  = 
CKmdX K dX Kdm dX Kdm X Km C X m e e
X dm X X 
Assim, 
( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 −− − − −= = = = = K m MC C C CKm KM Km KM Km KM Km KMD m,M e e e e e e e e Ce e Ce Ce , 
onde K e C são constantes cujos valores numéricos podem ser encontrados a partir da condição inicial 
do problema, dada por: 
( )
( )
( ) ( )
( )( )
1 1
ln 10 ln 10
5 5
1
,0 10 ln 10 , 10 10 .
5
−
= =  = =  =
m m M
KmD m e Ce K C D m,M e 
Simplificando um pouco mais, encontramos a solução, a qual representa uma forma 
alternativa para a Equação de Pogson: 
( )
( )
1
5
510 .
− +
=
m M
D m,M 
 
Estimativa da Distância de Estrelas em Relação à Terra por meio da Equação de Pogson 
 
Doravante, aplicaremos a Equação de Pogson ao cálculo da distância (em parsecs), em relação 
ao nosso planeta, das seguintes estrelas que constam da Tabela 1: Aldebaran, Betelgeuse e Sol. Para 
isso, usaremos os valores referentes às magnitudes aparente e absoluta exibidos na tabela em questão. 
É importante compreender que as distâncias calculadas são estimativas e, portanto, não correspondem 
às distâncias exatas. 
 
Aldebaran 
 
Aldebaran, ou Alpha Tauri, é a mais brilhante e principal estrela da constelação do Touro. 
Apresenta 1,7 vezes a massa solar e possui 38 vezes o volume do Sol. Sua superfície alaranjada arde 
a 3 738°C. Ela é a décima terceira estrela mais brilhante do céu com uma luminosidade 150 vezes 
superior à do Sol. Sua distância em relação à Terra é de aproximadamente 
( )
( )( )
1
0,87 0,63 5
50,87 0,63 10 19,95 parsecs
+ − − +
+ − = =D , . 
 
Figura 1 – Constelação do Touro. Aldebaran (alaranjada) na parte inferior. 
 
Fonte: nasasearch.nasa.gov. 
 
Betelgeuse 
 
Betelgeuse, ou Alpha Orionis, é a segunda estrela mais brilhante na constelação de Orion. Sua 
massa é cerca de 14 vezes a massa do Sol e possui de 550 a 920 vezes o diâmetro solar. Betelgeuse é 
uma fornalha avermelhada que queima a 3 000 Kelvins (K). Ocupa a décima posição entre as estrelas 
mais brilhantes. Ela brilha o equivalente a 60 000 sóis. A distância entre essa estrela e a Terra é cerca 
de 
( )
( )( )
1
1,30 4,29 5
51,30 4,29 10 131,22 parsecs
+ − − +
+ − = =D , . 
 
Figura 2 – Foto da atmosfera de Betelgeuse tirada pelo telescópio Hubble. 
 
Fonte: nasasearch.nasa.gov. 
 
Sol 
 
O Sol, a única estrela do nosso sistema, possui a massa de 1,989 × 1030 kg, 332 900 vezes 
maior que a da Terra, e o raio equatorial de 6,963×108 m. Sua superfície apresenta 5 778 K 
(13 600 000 K no núcleo) e sua luminosidade 3,846 × 1026 Watts (W). A luz solar demora cerca de 8 
segundos para atingir a Terra, percorrendo uma distância de aproximadamente 
( )
( )( )
1
26,72 4,85 5
-6526,72 4,85 10 4,85 10 parsecs
− − + +
− + = = D , , 
ou seja, cerca de 149 655 362 quilômetros (km). 
 
Figura 3 – Regiões ativas no Sol. 
 
Fonte: www.nasa.gov. 
 
Referências 
 
CULLEN, Michael R.; ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais. – 3. ed. – São Paulo: Pearson 
Makron Books, 2001. 
 
FONSECA, Murillo C. S. Astrometria Estelar: Equação da Convecção Linear Aplicada ao 
Cálculo da Distância Estimada de Estrelas em Relação ao Planeta Terra. 2016. 35f. Trabalho de 
Conclusão de Curso (Especialização) – Faculdade Apogeu, Curso de Pós-GraduaçãoLato Sensu em 
Metodologia do Ensino e Aprendizagem de Matemática. Brasília, 2016. 
 
YAMASHITA, William Massayuki Sakaguchi. Introdução as Leis de Conservação e Aplicações. 
2014. 49 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - Universidade Federal de Juiz de Fora, 
Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática. Juiz de Fora, 2014.