Resumo_para_Concurso_-_Geometria

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Ponto, Reta e Plano
A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que se sabe muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial.
Representação, (notação)
→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,…
→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,…
→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex: β,∞,α,...
Representação gráfica
Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.
- Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
- Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).
- Pontos colineares pertencem à mesma reta.
- Três pontos determinam um único plano.
- Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.
- Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum. 
Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s.
Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contida no conjunto. 
Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações: 
- Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta); 
- Um ponto e uma reta que não contem o ponto; 
- Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto; 
- Duas retas paralelas que não se sobrepõe; 
- Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; 
- Duas retas concorrentes; 
- Dois segmentos de reta concorrentes. 
Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas. 
Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa. 
Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta. 
Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada. 
Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.
Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula. 
Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta.
Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção. 
Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes. 
Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).
Razão entre Segmentos de Reta
Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como, por exemplo, AB, sendo A o início e B o final do segmento.
Exemplo
AB é um segmento de reta que denotamos por AB.
A _____________ B
Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos.
Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:
A ________ Bm(AB) = 2cm
C ______________ D m(CD) = 5 cm
A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, é definida como a razão entre as medidas desses segmentos, isto é: AB/CD = 2/5
Segmentos Proporcionais
Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.
Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:
	m(AB) = 2cm
	A______B
	P__________Q
	m(PQ) =4 cm
	m(CD) = 3cm
	C__________D
	R___________________S
	m(RS) = 6cm
A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e RS, são dadas por frações equivalentes, isto é: AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6 e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.
Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se: AB/BC = CD/DE
Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:
Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos. m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)
Feixe de Retas Paralelas
Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.
Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura abaixo representa uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortadas por duas retas transversais.
Identificamos na sequência algumas proporções:
AB/BC = DE/EF
BC/AB = EF/DE
AB/DE = BC/EF
DE/AB = EF/BC
Exemplo
Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros.
Assim:
BC/AB = EF/DE
AB/DE = BC/EF
DE/AB = EF/BC
Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.
Exercício
1. Seja r a reta determinada pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3, -2, 3).
a) Obtenha equações de r nas formas vetorias paramétrica e simétrica
b) Verifique se o ponto P = (-9, 10, -9) pertence a r.
2. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:
a) Passa pelo ponto (-4, -5) e é PARALELA à reta cuja equação é 2x – 3y + 6 = 0.
b) Passa pelo ponto (-2, 3) e é PERPENDICULAR à reta cuja equação é 2x – y – 2 = 0.
3. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t: 2x – 9y – 5 = 0.
4. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:
a) O INTERCEPTO Y é -4 e é PERPENDICULAR à reta cuja equação é 3x – 4y + 8
b) Passa pelo ponto (-3, -4) e é PARALELA ao EIXO Y.
5. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:
a) Passa pelo ponto (1, -7) e é PARALELA ao EIXO X.
b) Passa pela origem e é bissetriz dos ângulos formados pelos eixos no PRIMEIRO e TERCEIRO quadrantes.
c) Passa pela origem e é bissetriz dos ângulos formados pelos eixos no SEGUNDO e QUARTO quadrantes.
6. Dado os pontos A (-3; 1) e B (3; -5), determine o ponto que divide o segmento AB na razão: k = 2.
7. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (0; 2) e B (-3; 0).
8. Uma reta r tem a equação: x + 2y – 10 = 0.
a) Determine o ponto de r com abscissa 2.
b) Obtenha o ponto de r com ordenada 3.
9. Escreva a equação segmentada da reta r dada por 6x – 5y – 30 = 0.
10. Estude a posição relativa dos pares da reta: 2x – y – 5 = 0 e 4x – 2y + 6 = 0.
Respostas
1) Solução:
a) Seja P(x, y, z) um ponto genérico da reta r.
(I) equação vetorial de r:
P = A + t(B – A)
(x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, -2, 2)
(II) equações paramétricas de r:
 
Da eq. vetorial temos que,
(x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, -2, 2)
= (1 + 2t , -2t , 1 + 2t)
Então, as eqs. paramétricas de r são
x = 1 + 2t
y = – 2t
z = 1 + 2t
(III)equações simétricas de r:
Das paramétricas
x = 1 + 2t  →  t = (x – 1)/2
y = – 2t     →  t = – y/2 
z = 1 + 2t  → t = (z – 1)/2
Logo,
(x – 1)/2 = – y/2 = (z – 1)/2
b) P(-9, 10, -9) pertence a r ?
Substituindo nas equações simétricas de r temos
(-9 – 1)/2 = – 10/2 = (-9 – 1)/2
- 5 = – 5 = -5
Logo, P in r.
2) Solução: 
a) -3y = -2x – 6
y = 2x/3 + 2
-5 = (2/3)(-4) + b
b = -5 + 8/3
b = -7/3
y = (2/3)x - 7/3
b) y = 2x – 2
a . 2 = -1
a = -1/2
3 = (-1/2)(-2) + b
b = 2
y = (-1/2)x + 2
3) Resposta “43”.
Solução: 
t: 2x – 9y – 5 = 0 p(k,9)
2k 9 . 9 – 5 = 0
t: 2k – 81 – 5 = 0
t: 2k – 86 = 0
2k = 86 → k = 86/2 → k = 43.
4) Solução:
a) 4y = 3x + 8
y = (3/4)x + 2
a.(3/4) = -1
a = -4/3
b = -4
y = (-4/3)x – 4
b) x = -3.
5) Solução:
a) y = -7
b) y = x
c) y = -x
6) Solução:
Como conhecemos as coordenada A e B e o valor da razão k, basta substituirmos esses valores nas formas deduzidas. Assim:
 e
 
7) Solução: Sendo P (x; y) um ponto genérico da reta, temos:
 = 0 → 2x – 3y + 6 = 0
Logo, a equação procurada é 2x – 3y + 6 = 0.
8) Solução:
a) Seja A (2; ya) o ponto de r com abscissa 2. Como as coordenadas de A satisfazem a equação de r, então:
2 + 2 . ya – 10 = 0 → ya = 4 → A (2; 4)
b) Seja B (xb; 3) o ponto de r com ordenada 3. Da mesma forma, podemos escrever:
xb + 2 . 3 – 10 = 0 → xb = 4 → B (4; 3)
9) Solução:
6x – 5y – 30 = 0 → 6x – 5y = 30 → 
Logo, a equação segmentária é 
10) Solução: as retas são paralelas.
Geometria Plana
A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa idéia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.
As Figuras Básicas
Aproveitaremos o cubo, figura bastante conhecida de todos, para mencionar três figuras básicas da geometria: o ponto, a reta e o plano.
No cubo seguinte, três faces são visíveis, e três não. As três faces visíveis têm em comum apenas o ponto A.
Os matemáticos consideram que os pontos são tão pequenos que não chegam a ter tamanho algum. Para representar um ponto fazemos uma marca bem pequena no papel e para nomeá-lo usamos uma letra maiúscula: A, B, C, etc.
Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos à direita. Estas faces têm em comum o segmento de reta AB, com extremidades nos pontos A e B.
 O segmento AB (“tem começo e fim”)
Nas próximas figuras, indicamos a semi-reta AB, de origem A, e a semi-reta BA, de origem B.
A semi-reta AB A semi-reta BA 
(sua origem é A e “ela não tem fim”) (sua origem é B e “ela não tem fim”)
A seguir, indicamos a reta AB.
A reta AB 
(“não tem começo nem fim”) 
Os matemáticos consideram que as retas não têm largura. Para nomeá-las, além de notações como AB, é muito comum o uso de letras minúsculas: r, s, t, etc.
Prolongando indefinidamente uma face de um cubo em todas as direções, como indica a próxima figura, temos um plano.
O plano α
Os planos não têm espessura. Para nomeá-los, usamos letras gregas, principalmente as três primeiras α (alfa), β (beta) e γ (gama).
Perímetro
Entendendo o que é perímetro.
Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento.
Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé?
A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja:
P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1
P = 26 – 1
P = 25
Colocaríamos 25m de rodapé.
A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.
Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.
Área 
Área é a medida de uma superfície.
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área: 
Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. 
A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros. 
Se tivermos uma figura do tipo:
Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.
No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área. 
Área do Retângulo
Existe dois tipos de retângulos: com lados todos iguais (quadrado) e com os lados diferentes. 
No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo: 
Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.
 
O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:
A = 6 . 4 
A = 24 cm2 
Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é: 
A = b . h 
Quadrado 
É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula: 
Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:
A =  .   
Área do Trapézio 
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura). 
                                     2 
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). 
Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como: 
Primeiro: completamos as alturas no trapézio:
Segundo: o dividimos em dois triângulos: 
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF). 
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.
Cálculo da área do ∆CEF:
A∆1 = B . h 
                2 
Cálculo da área do ∆CFD: 
A∆2 = b . h 
                2 
Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer: 
AT = A∆1 + A∆2 
AT = B . h + b . h 
              2         2 
AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo comum aos dois fatores.         2 
AT = h (B + b) 
                   2 
Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula: 
A = h (B + b) 
               2 
h = altura 
B = base maior do trapézio 
b = base menor do trapézio 
Área do Triângulo
Observe o retângulo abaixo, ele está dividido ao meio pela diagonal: 
A área do retângulo é A = b. h, a medida da área de cada metade será a área do retângulo dividida por dois. Cada parte dividida do retângulo é um triângulo, assim podemos concluir que a área do triangulo será: 
A = b . h 
          2 
Mas como veremos a altura no triângulo? A altura deve ser sempre perpendicular à base do triângulo. 
No triângulo retângulo é fácil ver a altura, pois é o próprio lado do triângulo, e forma com a base um ângulo de 90° (ângulo reto). 
Quando a altura não coincide com o lado do triângulo, devemos traçar uma reta perpendicular à base (formando um ângulo de 90º com a base) que será a altura do triângulo. 
Observe o exemplo:Observe o triângulo equilátero (todos os lados iguais). Calcule a sua área. 
Como o valor da altura não está indicado, devemos calcular o seu valor, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo:
42 = h2 + 22 
16 = h2 + 4 
16 – 4 = h2 
12 = h2 
h = √12 
h = 2√3 cm 
Com o valor da altura, basta substituir na fórmula A = h (B + b)  o valor da base e da altura. 2
A = 4 . 2√3 
            2 
A = 2 . 2√3
A = 4 √3 cm2 
Exercícios
1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :
a) m é um número primo 
b) m é primo e par 
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m < 4
2. Se o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :
a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3.
e) não existe r nestas condições.
3. Se o ponto P(k, -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0, então o valor de k2 é:
a) 200
b) 196
c) 144
d) 36
e) 0
4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas; dados os pontos B(2, 3) e C(-4, 1), sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto. Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é:
a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)
5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:
a) 25
b) 32
c) 34
d) 44
e) 16
6. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t:2x – 9y – 5 = 0.
7. (EPUSP/1966) Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x – y) = 0 constituem:
a) uma reta
b) uma senóide
c) uma elipse
d) um feixe de retas paralelas
e) nenhuma das respostas anteriores
8.  A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas cartesianas:
a) uma hipérbole
b) uma elipse
c) uma circunferência
d) uma parábola
e) duas retas
9. UEMS, Uma folha de papel retangular foi dobrada conforme a figura. Assinale a alternativa que represente corretamente o valor de x.
a) 15º
b) 20º
c)30º 
d)40º
e)45º
10. Na figura, OD e OB são bissetrizes de EÔC e AÔC respectivamente. Sendo EÔC = 41º e AÔC = 29º40′, calcule a medida do ângulo BÔD:
Respostas
1) Resposta “C”.
Solução: Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y), então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e, portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22).
2) Resposta “C”.
Solução: Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x) possuem abscissa e ordenada iguais entre si.
Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.
Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir  x  por   -2 , ou seja:
(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que   -2 é raiz da equação.
3) Resposta “B”.
Solução: Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0.
Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196.
Logo, a alternativa correta é a letra B.
4) Resposta “D”.
Solução: Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y), já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:
AB2 = (0 - 2)2 + (y - 3)2 = 4 + (y - 3)2
AC2 = (0 - (-4))2 + (y - 1)2 = 16 + (y - 1)2
BC2 = (2 - (-4))2 + (3 - 1)2 = 40
Substituindo, vem: 4 + (y - 3)2 + 16 + (y - 1)2 = 40 \ (y - 3)2 + (y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0, que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo.
Portanto, o ponto procurado é A (0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.
5) Resposta “C”.
Solução: Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anterior, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M(3, 5).
Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e, portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.
6) Solução:
t: 2x-9y-5=0 p(k,9)
2k 9.9-5=0
t: 2k -81 -5 = 0
t: 2k-86 = 0
2k = 86  k = 86/2  k = 43.
7) Resposta “D”. 
Solução: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p , 4p, ... , kp, onde k é um número inteiro. Logo:
sen(x - y) = 0 Þ x – y = kp.
Daí, vem:
y = - x + kp \ y = x - kp, k Î Z.
Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja:
...................................................................
k = - 1 reta: y = x + p
k =   0 reta: y = x
k =   1 reta: y = x - p , e assim sucessivamente.
...................................................................
Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas).
8) Resposta “E”.
Solução: Temos: x2 – y2 + x + y = 0; podemos escrever:
(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;
Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2
Fatorando, fica:
(x + y) (x – y + 1) = 0
Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente:
x + y = 0 ou x – y + 1 = 0; 
Logo,
y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à alternativa E.
9) Resposta “E”.
Solução: Primeiramente, vamos dar nome aos vértices da figura dobrada, Que forma um quadrilátero. Chame de A o vértice do ângulo de 70°, no sentido anti-horário, nomeie os respectivos vértices de B, C e D. Assim temos o quadrilátero ABCD. Trace a bissetriz do ângulo B e a chame de r (por r ser reta bissetriz, ela divide o ângulo, em dois ângulos de mesma medida, sendo o ângulo B igual a 90°, assim formaremos dois ângulos com medidas iguais a 45°). Considere, a reta que passa pelos pontos A e B, sendo esta transversal a reta r e ao lado inferior do retângulo. Daí, temos que a medida de x, vale 45°. Pois, o ângulo x e o ângulo formado pela bissetriz no vértice B, são alternos internos, portanto tem a mesma medida.
Portanto, a resposta é letra “e”.
10) Solução: Sabendo que EÔC = 41º e são bissetrizes, basta dividir 41 por 2 = 20,5
É AÔC = 29º40′ por 2 = 14º7
Agora basta somar 20,5 + 14º5= BÔD = 30º20′
Ângulos
Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
Ângulo Central: 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono. 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes à ela. 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados são secantes a ela. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 	
Ângulo Raso:
 
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apóiam em retas perpendiculares. 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 900. 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as respectivas semi-retas opostasaos lados do outro. 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 3600. 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º. 
Poligonal: Linha quebrada, formada por vários segmentos formando ângulos. 
Grado: (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado.
 
Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau.
Exercícios
1. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos:
a)
b)
c)
2. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?
3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:
a)
b)
c)
d)
4. Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do triângulo:
                
a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?
5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um deles é igual ao dobro do outro. Determine o suplemento do menor.
6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu complemento mede 38 graus. Qual é esse angulo?
7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, formando cinco ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule o maior dos ângulos.
8. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
   
9. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.
10. Determine o valor de a na figura seguinte:
Respostas
1) Resposta
a) 55˚
b) 74˚
c) 33˚
2) Resposta “130”.
Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b".
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b.
Logo, î = 80° + 50° = 130°.
3) Solução:
a) 160° - 3x = x + 100°        
160° - 100° = x + 3x    
60° = 4x     
x = 60°/4    
x = 15°  
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115°
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180°
6x + 2x = 180° -15° - 5°
8x = 160°
x = 160°/8
x = 20°
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45°
c) Sabemos que a figura tem 90°.
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°
4x + 50° = 90°
4x = 40°
x = 40°/4
x = 10°
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo.
Então, 138° + x = 180°
x = 180° - 138°
x = 42°
Logo, o ângulo x mede 42°.
4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°.
Então, 6x + 4x + 2x = 180°
12x = 180°
x = 180°/12
x = 15°
Os ângulos são: 30° 60° e 90°.
a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portanto a soma deles vale 360º.
5) Resposta “144˚”.
Solução: 
- dois ângulos são complementares, então a + b = 90º
- o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a = 2b
É um sistema de equações do 1º grau. Se fizermos a = 2b/3, substituímos na primeira equação:
2b/3 + b = 90
5b/3 = 90
b = 3/5 * 90
b = 54 → a = 90 – 54 = 36º
Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-36 = 144º.
6) Resposta “80˚”.
Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta parte] de seu [complemento] mede 38º.
[a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38
a/2 – 90/5 + a/5 = 38
a/2 + a/5 = 38 + 90/5
7a/10 = 38 + 18
a = 10/7 * 56
a = 80º
7) Resposta “180˚”.
Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, temos para os ângulos: a, b, c, d, e…, a seguinte proporção com os números 2, 3, 4, 5 e 6:
a/2 = x → a = 2x
b/3 = x → b = 3x
c/4 = x → c = 4x
d/5 = x → d = 5x
e/6 = x → e = 6x
Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 360º
Agora a soma das retas: 20x
Então: 20x = 360º → x = 360°/20
x = 18°
Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°.
8) Resposta “135˚”.
Solução: Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
Então vale lembrar que:
x + y = 180 então y = 180 – x.
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
x = y/6 + z/2
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z
Então:
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração:
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x
6x – 2x = 180°
4x = 180°
x=180°/4
x=45º
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x
y=180º - 45°
y=135°.
9) Resposta “11º; 159º”.
Solução: 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais.
3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º.
   (m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º
Resposta: m = 11º e n = 159º.
10) Resposta “45˚”.
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais.
Triângulos
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.
Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.
1. Vértices: A,B,C.
2. Lados: AB,BC e AC.
3. Ângulos internos: a, b e c.
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana.
Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.
Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos.
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado).
Classificação dos triângulos quanto ao número de lados
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) = m(CA)
Triângulo Isóscele: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) = m(CA)
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes.
Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus).
Medidas dos Ângulos de um Triângulo
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é: a + b + c = 180º
Exemplo
Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º + 60º + x = 180º e dessa forma, obtemos x = 180º - 70º - 60º = 50º.
Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.
Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim: A = b+c, B = a+c, C = a+b
Exemplo
No triângulo desenhado: x=50º+80º=130º.
Congruência de Triângulos
A idéia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho.
Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação: ABC ~ DEF
Para os triângulos das figuras abaixo, existe a congruência entre os lados, tal que: 
AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ T e entre os ângulos: A ~ R , B ~ S , C ~ T
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos: ABC ~ RST
Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, istoé, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecerem três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais. 
Casos de Congruência de Triângulos
LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.
Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.
LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes.
ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.
LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado.
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruente.
Semelhança de Triângulos
A idéia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Se duas figuras R e S são semelhantes, denotamos: R~S.
Exemplo
As ampliações e as reduções fotográficas são figuras semelhantes. Para os triângulos:
os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é: A~R, B~S, C~T
Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triângulos possuem lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos homólogos. Nos triângulos acima, todos os lados proporcionais são homólogos.
Realmente:
AB~RS   pois   m(AB)/m(RS) = 2
BC~ST   pois   m(BC)/m(ST) = 2
AC~RT   pois   m(AC)/m(RT) = 2
Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é chamado razão de semelhança entre os triângulos. Podemos concluir que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo RST.
Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.
Casos de Semelhança de Triângulos
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Se A~D e C~F então: ABC~DEF
Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2
Então ABC ~ EFG
Exemplo
Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser "rodado" sobre o outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8. 
Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos. 
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.
Exercícios
1. Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:
2. Determine os valores literais indicados na figura:
3. Determine os valores literais indicados na figura:
4. Determine os valores literais indicados na figura:
5. Determine os valores literais indicados na figura:
6. Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.
7. Determine x nas figuras.
8. Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
9. Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5
10. Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado.
Respostas
1) Solução: 
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c =  a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
2) Solução:
13² = 12² + x²                                      
169 = 144 + x²                                     
x² = 25      
x = 5
5.12 = 13.y
y = 60/13      
3) Solução: 
4) Solução:
5) Solução:
6) Solução:
7) Solução: O triângulo ABC é equilátero.
8) Solução:
9) Solução:
10) Solução:
 
 
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras
	Dizem que Pitágoras, filósofo e matemático grego que viveu na cidade de Samos no século VI a. C., teve a intuição do seu famoso teorema observando um mosaico como o da ilustração a seguir
Observando o quadro, podemos estabelecer a seguinte tabela:
	
	Triângulo ABC
	Triângulo A`B`C`
	Triângulo A``B``C``
	Área do quadrado construído sobre a hipotenusa
	4
	8
	16
	Área do quadrado construído sobre um cateto
	2
	4
	8
	Área do quadrado construído sobre o outro cateto
	2
	4
	9
Como 4 = 2 + 2,8 = 4 + 4,16 = 8 + 8, Pitágoras observou que:
A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
A descoberta feita por Pitágoras estava restrita a um triângulo particular: o triângulo retângulo isósceles.
Estudos realizados posteriormente permitiram provar que a relação métrica descoberta por Pitágoras era válida para todos os triângulos retângulos.
Com base no triângulo retângulo utilizado nas construções egípcias e construindo quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter as seguintes figuras:
 = 1 unidade de comprimento
 = 1 unidade de área
25 = 16 + 9	ou	52 = 42 + 32
	
Nessas condições, confirma-se a relação: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à somadas áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos.
Muito utilizada, essa relação métrica é um dos mais importantes teoremas da matemática.
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados da medida dos catetos.
Demonstrando o teorema de Pitágoras
Existem inúmeras maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras. Veremos uma delas, baseada no cálculo de áreas de figuras geométricas planas.
Consideremos o triângulo retângulo da figura.
a = medida da hipotenusa
b = medida de um cateto
c = medida do outro cateto
Observe, agora, os quadrados MNPQ e DEFG, que têm a mesma área, pois o lado de cada quadrado mede (b+c).
	
- Área do quadrado MNPQ = área do quadrado RSVT + (área do triângulo RNS) . 4
- Área do quadrado DEFG = área do quadrado IELJ + área do quadrado GHJK + (área do retângulo DIJH).2
- Área do quadrado RSVT = a2
- Área do triângulo RNS=
- Área do quadrado IELJ=c2
- Área do quadrado GHJK=b2
- Área do retângulo DIJK=b.c
Como os quadrados MNPQ e DEFG têm áreas iguais, podemos escrever:
a2+42=c2+b2 + (bc) . 2
a2 + 2bc = c2 + b2 + 2bc
Cancelando 2bc, temos:
	a2=b2+c2
	
A demonstração algébrica do teorema de Pitágoras será feita mais adiante.
Pense & Descubra
Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo e tem rente para três ruas: Rua 1, Rua 2 e Rua 3, conforme nos mostra a figura. Calcule, em metros, o comprimento a da frente do terreno voltada para a rua 1.
De acordo com os dados do problema, temos b = 96 m e c = 180 m.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2				a2 = 41616
a2 = (96)2 + (180)2				a =
a2 = 9216 + 32400				a = 204
Então, a frente do terreno para a rua 1 tem 204 m de comprimento.
	
Teorema de Pitágoras no quadrado
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação importante entre a medida d da diagonal e a medida l do lado de um quadrado.
			
d= medida da diagonal
l= medida do lado
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:
d2=l2+l2		d=
 (
d=
l
)
d2=2 l2		
Teorema de Pitágoras no triângulo equilátero
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação importante entre a medida h da altura e a medida l do lado de um triângulo equilátero.
			
l= medida do lado
h= medida da altura
No triângulo equilátero, a altura e a mediana coincidem. Logo, H é ponto médio do lado .
No triângulo retângulo AHC, é ânguloreto. De acordo com o teorema de Pitágoras, podemos escrever:
 (
h=
)
l2=h2+ h2=l2- h2= h= 
Exercícios
1. Sendo a,vb e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângulos:
a) a = 6; b = 7 e c = 13;
b) a = 6; b = 10 e c = 8.
2. Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:
a)
    
b)
 
3. A figura representa um barco à vela.
Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.
4. O Pedro e o João estão a andar de balance, como indica a figura:
A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.
Qual o comprimento do balance?
5. Qual era a altura do poste?
6. Qual é a distância percorrida pelo berlinde.
7. Calcule a área da seguinte figura.
8. Calcule a área da seguinte figura.
9. Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
 10. Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
Respostas
1) Solução: "Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo".
Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.
a) 
b) 
2) Solução:
a)
b)
3) Solução:
4) Solução: Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.
Então vem:
1,8 m = 180 cm
Logo, o comprimento do balance é de 1,9 m.
5) Solução:
h = 4 + 5 = 9
Logo, a altura do poste era de 9 m.
6) Solução: 
 
Portanto, a distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m.
7) Solução:
 
8) Solução:
 
9) Solução: 
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144 
x² = 225 
√x² = √225
x = 15 
10) Solução:
x² + 20² = 25² 
x² + 400 = 625 
x² = 625 – 400 
x² = 225 
√x² = √225 
x = 15 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Definiremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos rever algumas de suas propriedades.
A fig. 1 apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de medida 90º ou rad), o que nos permite classificá-lo como um triângulo retângulo.
	
Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito do triângulo ABC apresentado, dizemos que:
Com isso, podemos concluir:
- Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos cujas medidas somam 90º;
- Uma vez que são complementares ambos terão medida inferior a 90º.
Portanto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um ângulo interno reto e dois agudos, complementares entre si.
De acordo com a figura, reconhecemos nos lados b e c os catetos do triângulo retângulo e em a sua hipotenusa.
Lembremo-nos de que a hipotenusa será sempre o lado oposto ao ângulo reto em, ainda, o lado maior do triângulo. Podemos relacioná-los através do Teorema de Pitágoras, o qual enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos (sic) ou, em linguajar moderno, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo”.
	Aplicado ao nosso triângulo, e escrito em linguagem matemática, o teorema seria expresso como segue:
a2 = b2 + c2
Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo Agudo
A fig. 2 ilustra um triângulo retângulo conhecido como triângulo pitagórico, classificação devida ao fato de que, segundo a tradição grega, através dele Pitágoras enunciou seu Teorema.
De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de comprimento) satisfazem a sentença 52 = 32 + 42.
	Apesar de nos apoiarmos particularmente no triângulo pitagórico, as relações que iremos definir são válidas para todo e qualquer triângulo retângulo. Apenas queremos, dessa forma, obter alguns resultados que serão comparados adiante.
	Definimos seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo pelas relações apresentadas no quadro a seguir:
 Seno do ângulo = 
 Co-seno do ângulo = 
Tangente do ângulo = 
A partir dessas definições, o cálculo de seno, co-seno e tangente do ângulo α, por exemplo, nos fornecerão os seguintes valores:
sen α = = 0,6
cos α = = 0,8
tg α = = 0,75
Ao que acabamos de ver, aliemos um conhecimento adquirido da Geometria. Ela nos ensina que dois triângulos de lados proporcionais são semelhantes.
Se multiplicarmos, então, os comprimentos dos lados de nosso triângulo pitagórico semelhante, com os novos lados (6, ,8 e 10) igualmente satisfazendo o Teorema de Pitágoras.
Na fig. 3, apresentamos o resultado dessa operação, em que mostramos o triângulo ABC, já conhecido na fig. 1 e A1BC1.
Observemos que os ângulos α e β permanecem sendo os ângulos agudos internos do triângulo recém-construído.
Lançando Mao das medidas dos novos lados (respectivamente 8, 10 e 6 unidades de comprimento), calculemos, para o ângulo α, os valores de seno, co-seno e tangente:
sen α = = 0,6
cos α = = 0,8
tg α = = 0,75
Nosso intuito, na repetição dessas operações, é mostrar que, não importando se o triângulo PE maior ou menor, as relações definidas como seno, co-seno e tangente têm, individualmente, valores constantes, desde que calculados para os mesmo ângulos.
Em outras palavras, seno, co-seno e tangente são funções apenas dos ângulos internos do triângulo, e não de seus lados.
Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e Co-secante
Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas a co-tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo de triângulo retângulo através de relações entre seus lados, como definimos no quadro a seguir:
cot do ângulo = 
sec do ângulo = 
cosec do ângulo = 
Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento, como exibido na fig. 6, teríamos, para o ângulo α,
cotg α = 
sec α = 
cosec α = 
Seno, Co-seno, Tangente e Co-tangente de Ângulos Complementares
Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares.
Sabemos ainda que:
sen α = 			sen β = 
cos α = 			cos β = 
tg α = 			tg β = 
cotg α = 		cotg β = 
Verifica-se facilmente que:
sen α = cos β; cos α = sen β;
tg α = cotg β; cotg α = tg β.
Exemplo
Um triângulo retângulo tem catetos cujas medidas são 5 cm e 12 cm. Determine o valor de seno, co-seno e tangente dos seus ângulos agudos.
Resolução
Para respondermos ao que se pede, necessitaremos do comprimento da hipotenusa do triângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:
 
a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 122 = 169
Logo, a = 13 cm. Assim, obtemos para seno, co-seno e tangente dos ângulos da Figura, os seguintes valores:
			
			
Ângulos Notáveis
Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos Notáveis
Uma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tangente de ângulos agudos internos a um triângulo retângulo, passaremos a determinar seus valores para ângulos de grande utilização em diversas atividades profissionais e encontrados facilmente em situações cotidianas.
Por exemplo, na Mecânica, demonstra-se que o ângulo de lançamento, tomado com relação à horizontal, para o qual se obtém o máximo alcance com uma mesma velocidade de tiro, é de 45o; uma colméia é constituída, interiormente, de hexágonos regulares, que por sua vez, são divisíveis, cada um, em seis triângulos equiláteros, cujos ângulos internos medem 60o; facilmente encontram-se coberturas de casas, de regiões tropicais, onde não há neve, com ângulo de inclinação definido nos 30o, etc.
Vamos selecionar, portanto, figuras planas em que possamos delimitar ângulo com as medidas citadas (30o, 45o e 60o). Para isso, passaremos a trabalhar com o quadrado e o triângulo equilátero.
Observemos, na figura 4 e na figura 5, que a diagonal de um quadrado divide ângulos internos opostos, que são retos, em duas partes de 45 + o+, e que o segmento que define a bissetriz (e altura) de um ângulo interno do triângulo equilátero permite-nos reconhecer,em qualquer das metades em que este é dividido, ângulos de medidas 30o e 60o.
Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da diagonal do quadrado (identificado na figura 4 por d) e a altura h, do triângulo equilátero (figura 5).
Uma vez que as regiões sombreadas nas figuras são triângulos retângulos, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada um deles.
Para o meio-quadrado, temos que:
D2 =a2 + a2 → d2 = 2 . a2
Quanto ao triângulo equilátero, podemos escrever o seguinte:
l2=
Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior do quadrado tem catetos de medida a e hipotenusa a . Para o outro triângulo sombreado, teremos catetos e medidas , enquanto sua hipotenusa tem comprimento l.
Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangente dos ângulos de 30om 45o e 60o.
Seno, Co-seno e Tangente de 30o e 60o.
Tomando por base o triângulo equilátero da figura 5, e conhecendo as medidas de seus lados, temos:
sen 30o= 
cos 30o=
tg 30o=
sen 60o=
cos 60o=
tg 60o= 
 Seno, Co-seno e Tangente de 45o
A partir do quadrado representado na figura 4, de lado a e diagonal a, podemos calcular:
sen 45o=
cos 45o= 
Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a seguir, uma tabela de valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis, que nos será extremamente útil.
	
	30o
	45o
	60o
	sen
	
	
	
	cos
	
	
	
	tg
	
	1
	
Identidades Trigonométricas
É comum a necessidade de obtermos uma razão trigonométrica, para um ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
Nesses casos, as identidades trigonométricas que iremos deduzir neste tópico são ferramentas de grande aplicabilidade.
Antes de demonstrá-las, é necessário que definamos o que vem a ser uma identidade.
Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade verdadeira para quaisquer valores a elas atribuídos, desde que verifiquem as condições de existência de expressão.
Por exemplo, a igualdade é uma identidade em x, pois é verdadeira para todo x real, desde q x≠0 (divisão por zero é indeterminado ou inexistente).
Vamos verificar agora como se relacionam as razões trigonométricas que já estudamos. Para isso, faremos uso do triângulo ABC apresentado na figura A, retângulo em A.
Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte igualdade:
b2 + c2 = a2
Dividindo os seus membros por a2, não alteraremos a igualdade. Assim, teremos:
Observemos que as frações entre parênteses podem definir, com relação ao nosso triângulo, que:
sen2α + cos2α = 1	e	cos2β + sen2 β = 1
Podemos afirma, portanto, que a soma dos quadrados de seno e co-seno de um ângulo x é igual à unidade, ou seja:
Sen2x + cos2x = 1
Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações co-seno, cotangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo, co-seno de 22o tem valor idêntico ao seno de 68o (complementar de 22o)
Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento desse ângulo.
Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de razão, podemos dizer que:
co-razão x = razão (90o –x)
Facilmente podemos concluir, com base no triângulo apresentado na figura A, que:
sen α=cos β 		sen β=cos α
tg α=cotg β		tg β=cotg α
sec α=cossec β		sec β=cossec α
Façamos outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos agudos do triângulo ABC, da figura A. Por exemplo, α. Dividindo-se sen α por cos α, obtemos:
De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se tomar o ângulo β. Dizemos, portanto, que, para um ângulo x, tal que cós x ≠ 0,
Podemos observar, também, que a razão , que representa tg α, se invertida (passando a ), vem a constituir cotg α. Em virtude disso, e aproveitando a identidade enunciada anteriormente, podemos dizer que, para todo ângulo x de seno não-nulo:
cotg x = 
Tais inversões ocorrem também e se tratando das relações seno, co-seno, secante e co-secante. Vejamos que:
		e 
Teríamos encontrado inversões semelhantes se utilizássemos o ângulo β.
Dizemos, assim, que, para um dado ângulo x,
sec x = 
cosec x = 
Desde que seja respeitada a condição de os denominadores dos segundos membros dessas identidades não serem nulos.
Exercícios
1. Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.
2. Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.
 
3. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.
4. Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde a = 20, b = 10 e B = 30. Calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo C.
5. Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 1388m e 2526m e o ângulo formado entre estes lados mede 54,42º. Determinar o comprimento da maior diagonal desse quadrilátero.
6. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11 / 24
b) - 11 / 24
c) 3 / 8
d) - 3 / 8
e) - 3 / 10
7. Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que 
A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:
a) 0
b) ½
c) 3/2
d) 1
e) 2
8. Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.
9. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?
10. Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado da tangente vale 2.
Respostas
1) Solução:
2) Solução:
3) Solução:
4) Solução: 
Pela Lei dos senos, b = 2R . sen(B), logo 10 = 2R . sen(30) e desse modo R = 10.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, calcularemos o ângulo A.
Pela Lei dos Senos, b . sem (A) = a . sen(B), de onde segue que 10. sem(A) = 20 . sen(30), assim, sem (A) =/2
Como A é um dos ângulos do triângulo então A = 45º ou A = 135º.
Como B = 30°, da relação A + B + C = 180º, segue que A + C = 150° e temos duas possibilidades:
1. A = 45º e C = 105º
2. A = 135º e C = 15º.
5) Solução:
No triângulo ABC, A + C = 54,42º, então: B = 180º - 54,42º = 125,58º
A lei dos cossenos:
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
garante que:
b² = (1388)² + (2526)² - 2(1388)(2526) cos(125,58º)
Assim, b = 3519,5433 e então garantimos que a maior diagonal do paralelogramo mede aproximadamente 3519,54 metros.
6) Resposta “B”.
Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:
62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b \ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos b \ cos b = - 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B.
Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.
7) Resposta “E”. 
Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem:
A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y
Organizando convenientemente a expressão, vem:
A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º \ y = 90º - x. 
Substituindo, vem:
A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x)
Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento.
Logo, substituindo, fica:
A = 2 - 2 . cosx . senx+ 2 . senx . cosx
A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta é a letra E.
8) Solução:
Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:
Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx \ senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem:
(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3.
9. Solução:
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:
Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].
Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2.
Resposta:  D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].
10) Solução:
Seja x o arco. Teremos:
tg2x = 2
Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do arco.
Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg2x = sec2x
Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec2x = 3
Como sabemos que:
secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem:
sec2x = 1/ cos2x \ cos2x = 1/sec2x = 1/3 \ 3cos2x = 3(1/3) = 1
Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é igual à unidade.
Resposta: 1
Quadrilátero
Quadriláteros e a sua classificação
Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais quadriláteros são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trapezóide.
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos:
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D.
- Os ângulos internos são A, B, C e D.
- Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA.
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus.
 
Classificação dos Quadriláteros
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Trapézio: É o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gráficos de um trapézio (parecido com aquele de um circo).
- AB é paralelo a CD
- BC é não é paralelo a AD
- AB é a base maior
- DC é a base menor
Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm características semelhantes. Um trapézio pode ser:
- Retângulo: dois ângulos retos
- Isósceles: lados não paralelos congruentes
- Escaleno: lados não paralelos diferentes
Exercícios
1. Determine a medida dos ângulos indicados:
a)
b)
c)
2. As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17°; x + 37°; x + 45° e x + 13°. Determine as medidas desses ângulos.
3. No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.
4. A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, a medida da diagonal , da diagonal e o perímetro do triângulo BMC.
5. No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:
6. Determine as medidas dos ângulos do trapézio da figura abaixo:
7. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a medida de a, b, c.
8. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y.
9. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
10. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm?
Respostas
1) Solução:
a) x + 105° + 98º + 87º = 360º
x + 290° = 360°
x = 360° - 290°
x = 70º
b) x + 80° + 82° = 180°
x + 162° = 180°
x = 180º - 162º
x = 18°
18º + 90º + y + 90º = 360°
y + 198° = 360°
y = 360º - 198°
y = 162º
c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2
10a = 720º
a = 720° / 10
a =  72°
 
72° + b + 90° = 180°
b + 162° = 180°
b = 180° - 162°
b = 18°.
2) Solução:
x + 17° + x + 37° + x + 45° + x + 13° = 360°
4x + 112° = 360°
4x = 360° - 112°
x = 248° / 4
x = 62°
Então, os ângulos são:
x + 17° = 79°
x + 37° = 99°
x + 45° = 107º
x + 13° = 75°.
3) Solução:
9y + 16° = 7y + 40°
9y = 7y + 40° - 16°
9y = 7y + 24°
9y - 7y = 24°
2y = 24°
y = 24º /2
y = 12°
Então:
x + (7 * 12° + 40°) = 180°
x = 180º - 124°
x = 56°
4) Solução:
x = 15
y = 20
= 20 + 20 = 40
 = 15 + 15 = 30
BMC = 15 + 20 + 25 = 60.
5) Solução:
12 x + 2° + 5 x + 3° = 90°
17 x + 5° = 90°
17 x = 90° - 5°
17 x = 85°
x = 85° / 17° = 5°
y = 5x + 3°
y = 5 (5°) + 3°
y = 28°
6) Solução:
x + 27° + 90° = 180°
x + 117° = 180°
x = 180° - 117°
x = 63°
 
y + 34° + 90° = 180°
y + 124° = 180°
y = 180° - 124°
y = 56°
As medidas dos ângulos são:
63° ; 56° ; 90° + 27° = 117° ; 90 + 34° = 124°.
7) Solução:
c = 117°
a + 117° = 180°
a = 180° - 117°
a = 63°
b = 63°
8) Solução:
x + y = 11
x - y = 5
__________
2x + 0 = 16
2x = 16/2
x = 8
x + y = 11 
8 + y = 11
y = 11 – 8
y = 3
9) Solução:
A2 = (2b)(2h) = 4 bh = 4 A1
10) Solução:
Não, pois os ângulos entre os lados de dois losangos, podem ser diferentes.
Polígonos
Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada. A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).
Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:
Linha poligonal fechada simples 
Linha poligonal fechada não-simples
Linha poligonal aberta simples 
Linha poligonal aberta não-simples 
Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns.
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos: , , , , , .
- Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: , , , , 
- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , , .
- Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , , .
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados
	Nome
	Número de lados
	Nome
	Número de lados
	triângulo
	3
	quadrilátero
	4
	pentágono
	5
	hexágono
	6
	heptágono
	7
	octógono
	8
	eneágono
	9
	decágono
	10
	hendecágono
	11
	dodecágono
	12
	tridecágono
	13
	tetradecágono
	14
	pentadecágono
	15
	hexadecágono
	16
	heptadecágono
	17
	octodecágono
	18
	eneadecágono
	19
	icoságono
	20
	triacontágono
	30
	tetracontágono
	40
	pentacontágono
	50
	hexacontágono
	60
	heptacontágono
	70
	octacontágono
	80
	eneacontágono
	90
	hectágono
	100
	quilógono
	1000
	googólgono
	10100
Classificação dos polígonos
A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:
Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa), caso o contrário é denominado complexo.
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.
Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência.
Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:
- triângulo equilátero 
- quadrado 
- pentágono regular 
- hexágono regular 
Propriedades dos polígonos
De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diagonais (dv). 
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por , onde n é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por . 
A soma das medidas dos ângulosexternos de um polígono de n lados (Se) é igual a . 
Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n - 2. 
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por. 
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por .
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a 360º. 
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por. 
Outros polígonos
Alguns polígonos são diferentes dos outros, por apresentarem lados cruzados, são eles:
Estrelado
Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
Falso: Pela sobreposição de Polígonos
Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples
Entrecruzado
Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajuda a formar outro polígono.
Entrelaçado
Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam
Esboço dos Polígonos citados acima
Ângulos de um Polígono Regular
Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Também, em cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180°.
Para um polígono de n lados, temos que o ângulo interno (A¡) = 
Exemplos
Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos internos: S¡ = 6-2 . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.
Para um polígono convexo qualquer de n lados:
Soma dos ângulos Internos
SÎ = (n-2) . 180º
Soma dos ângulos Externos
Sê = 360º
Número de Diagonais
d= n(n-3) / 2
Polígonos regulares
São aqueles que possuem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes.
Î = (n-2).180º /n ê=360º/n
Î + ê =180º
Exercícios
1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dodecágono?
2. Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos igual a 3240º?
3. Ache o valor de x na figura: 
	
4. Um quadrilátero possui:
a) Quantos vértices?
b) Quantos Lados?
c) Quantos lados internos e externos?
5. De o nome do polígono que possui:
a) 8 lados
b) 5 vértices
6. De o nome do polígono que possui:
a) 3 ângulos externos
b) 22 ângulos internos
7. Qual o número mínimo de lados de um polígono?
8. Determine o número de diagonais do octógono.
9. Determine o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados.
10. Quantos ângulos internos possui um decágono? 
Respostas
1) Solução:
n = 12 
	
2) Solução:
3) Solução: 
A soma dos ângulos internos do pentágono é: 
	
	
4) Solução: Um quadrilátero, pelo próprio nome já diz, possui 4 lados. Portanto:
a) 4 vértices
b) 4 lados
c) 4 ângulos internos e externos.
5) Solução:
a) Octógono
b) Pentágono
6) Solução:
a) Triângulo
b) Polígono de 22 lados.
7) Solução:
3 lados.
8) Solução. Um octógono possui 8 lados, ou 8 vértices, logo: n = 8
 
9) Solução:
n número de lados: n
n de diagonais: d = 
Pelo dado do problema: d = 2n
 
Logo, o polígono é o heptágono.
10) Solução:
10 ângulos
Circunferência, Círculo e seus Elementos Respectivos
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.
 
Equação Geral
 Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
- Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; 
- Não deve existir o termo xy. 
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições.
 Assim:
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente 
x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes 
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos 
( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio 
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
	a) P é exterior à circunferência 
 
	
	b) P pertence à circunferência 
 
	
	c) P é interior à circunferência 
	
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a)2 + (y - b)2 - r2:
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência; 
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 =    0, então P pertence à circunferência; 
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:
Assim:
Condições de tangência entre reta e circunferência
Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
A Importância da Circunferência
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.
Pontos interiores de um círculo e exteriores a umcírculo
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.
Raio, Corda e Diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.
Observações: Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas, mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10 cm ou que o raio ON tem 10 cm.
- Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.
Propriedades das secantes e tangentes
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro, mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.
Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.
Arco de circunferência e ângulo central
Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP = OQ = OR =... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.
Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.
Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.
Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.
Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contêm os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior, mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.
Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.
Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
- A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).
- A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.
- Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
- Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).
- Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).
- Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.
Propriedades de arcos e corda
Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar. 
Observações: Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.
- Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos