VLAJES, VIGAS E PILARES - PROJETO ARQUITETÔNICO

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Planta Baixa 
 
 
 
 
Critérios para avaliação 
Este trabalho equivale a 4,0 pontos para a nota final da AV2. Os seguintes critérios serão 
observados: 
• Limpeza, organização, e prazos de entrega (0,5) 
• Memorial de cálculo (3,0) 
• Pranchas com detalhamento (0,5) 
 
• Planta Baixa 
 
Fig. 1 - Dimensões da estrutur a 
6 m 
3 m 
3 m 
5 , 1 m 4 ,5 m 
 
2 
 
 
 
 
FACULDADE ESTÁCIO DE BELÉM 
CURSO DE ARQUITETURA E URBANISMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO 
Referente a LAJES, VIGAS E PILARES 
 
 
 
 
 
ALUNA: 
GIRLANE FÉLIX NAUAR 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM – PA 
2021 
 
 
 
PRÉ- DIMENSIONAMENTO 
 
3 
 
 
 
Passo: Definir quantas lajes são e qual tipo delas. 
 
RESPOSTA: Temos 03 lajes maciças que tem o comportamento mecânico: Unidirecional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A espessura da laje armada em uma direção é dada pela 
fórmula: 
 
Faremos então o cálculo das três lajes encontradas, seguindo a 
fórmula para encontrar a espessura de cada uma delas, 
separadamente. 
 
 
O valor mínimo indicado pela norma (ABNT 6118, 2014) é igual a 8cm para dimensões mínimas para 
lajes de piso não em balanço. 
CÁLCULO: 
 
 
 
Resposta: Seguindo as orientações da Norma, vamos considerar 8cm para as Lajes 01 e 02 e para 
a Laje 3 consideraremos 12cm. 
 
 
Laje 01 = 3m x 1,5m 
 
h=2% x l (dimensão menor) 
h=0,02 x 1,5m 
h= 0,03m ou 3cm 
Laje 02 = 3m x 4,5m 
 
h=2% x l (dimensão menor) 
h=0,02 x 3m 
h= 0,06 ou 6cm 
Laje 03 = 3m x 6m 
 
h=2% x l (dimensão menor) 
h=0,02 x 6m 
h= 0,12 ou 12cm 
MÍNIMO: 8cm MÍNIMO: 8cm MÍNIMO: 8cm 
Figura 1 - Lajes encontradas no exercício - Autora: Girlane Félix 
 
4 
 
 
DIMENSIONAMENTO 
 
Passo 01: calcular as cargas de cada laje: 
Considerar para apartamentos, o peso próprio do concreto, do piso e carga variável: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo 02: Calcular qual é o momento característico solicitante, para cada laje e 
transformar em momento solicitante de cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LAJE 01: 
 
Carga total 
Laje 01: 25kN/m³ x 0,8m = 20 KN/m² + 1,0 kN/m² + 1,5 kN/m² = 22,5 kN/m² 
Laje 02: 25kN/m³ x 0,8m = 20 KN/m² + 1,0 kN/m² + 1,5 kN/m² = 22,5 kN/m² 
Laje 03: 25kN/m³ x 0,12m = 3 KN/m² + 1,0 kN/m² + 1,5 kN/m² = 5,5 kN/m² 
 
Peso próprio do concreto: 
25kN/m³ x espessura da 
laje 
 
Peso próprio do 
piso: 1,0 kN/m² 
 
Carga variável: 
1,5 kN/m² 
 
Figura 2 - esquema de momento 
solicitante característico dado pelo 
professor em aula 07 (16.04) 
Figura 2 - Fórmulas com exemplo de momento solicitante de cálculo dado pelo 
professor em aula 07 (16.04) 
Figura 3 – Slide dado pelo professor em aula 07 (16.04) 
Ou também: 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde Msk = 6,32 KN . m (valor do momento solicitante característico) 
 e Msd = 8,84 KN . m (valor do momento de cálculo) 
 
 LAJE 02: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde Msk = 25,31 KN . m (valor do momento solicitante característico) 
 e Msd = 35,43 KN . m (valor do momento de cálculo) 
 
LAJE 03: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde Msk = 25,31 KN . m (valor do momento solicitante característico) 
 e Msd = 35,43 KN . m (valor do momento de cálculo) 
 
 
 
Observação: o número 1,4 usado na fórmula para transformar o momento solicitante característico em 
momento de cálculo corresponde ao fator de segurança em 40% para que a estrutura suporte um 
peso além do que foi proposto no momento solicitante característico. 
 
Passo 03: Escolher o diâmetro e a quantidade das armaduras (vergalhões). 
Msd = Q . L² 22,5 . (1,5)² 22,5 . ( 2,25) 6,32KN . m 
 8 8 8 
Q= 22,5KN/m² L= 1,50 m Msd= 1,4 . Msk 
 
Msd = Q . L² 22,5 . (3)² 22,5 . ( 9) 25,31KN . m 
 8 8 8 
Q= 22,5KN/m² L= 3,00 m Msd= 1,4 . Msk 
 
Q= 22,5KN/m² L= 3,00 m Msd= 1,4 . Msk 
 
Msd= Q . L² 22,5 . (3)² 22,5 . ( 9) 25,31KN . m 
 8 8 8 
Msd = 1,4 . Msk 
Msd = 1,4 . 6,32 KN . m 
Msd = 8,84 KN . m 
Msd = 1,4 . Msk 
Msd = 1,4 . 25,31 KN . m 
Msd = 35,43 KN . m 
Msd = 1,4 . Msk 
Msd = 1,4 . 25,31 KN . m 
Msd = 35,43 KN . m 
 
6 
 
 
 
A sigla fyd representa a resistência do aço. Para os cálculos seguintes, usaremos o Aço Ca 50, que é 
o mais utilizado em construções para lajes. A resistência do aço citado corresponde a 500 Mpa, 
usaremos o fator de segurança de 1,15 (de acordo com a figura 5 – dada em aula) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usaremos também a fórmula para altura útil: d = h – cobrimento – 10mm (valor imaginário da suposta 
armadura considerando metade do diâmetro = 20mm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Slide dado pelo professor na aula 8 (23/04/2021). 
Atenção: 
σ sd = fyd 
As = área de aço 
d = altura útil 
Figura 5 – Esquema visto na aula 8 (23/04/2021). 
A altura útil corresponde ao que de 
fato é o que tecnicamente chamamos 
de laje. 
 
O cobrimento serve para dar suporte 
como base para as armaduras 
evitando a sua oxidação. 
Consideraremos 3cm para o 
cobrimento das lajes que serão 
calculadas a seguir. 
Figura 6 – Esquema visto na aula 8 (23/04/2021). 
 
7 
 
1º calculamos a altura útil de todas as lajes pra depois seguirmos no cálculo da área de aço. 
Usaremos as espessuras de lajes calculadas na página 04. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Procuramos o valor do coeficiente adimensional Kz na tabela, mas para isto, precisamos encontrar 
primeiro o kmd 
 
 
Dado nas aulas: fcd = fck / 1,4 (fator de segurança) 
 
observação: Não foi dado a classe de concreto, mas escolhemos o concreto tipo C30, usar para fck. 
Logo: fcd = 30 / 1,4 > resultado 21,42 / 10 = 2,14 KN/cm² 
 
 
Dados já encontrados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usar a fórmula: 
 
 
 
 
 
Laje 01: 
Espessura –> 8cm 
d = h – cobrimento – 10 mm 
d = 8cm – 3cm – 1cm 
d = 4cm 
 
Laje 02: 
Espessura –> 8cm 
d = h – cobrimento – 10 mm 
d = 8cm – 3cm – 1cm 
d = 4cm 
 
Laje 03: 
Espessura –> 12cm 
d = h – cobrimento – 10 mm 
d = 12cm – 3cm – 1cm 
d = 8cm 
 
Laje 01: 
Msd = 8,84 KN . m 
d = 4cm 
bw = 100 cm 
fcd = 2,14 KN/cm² 
 
 
 
Laje 02: 
Msd = 35,43 KN . m 
d = 4cm 
bw = 100 cm 
fcd = 2,14 KN/cm² 
 
Laje 03: 
Msd = 35,43 KN . m 
d = 8cm 
bw = 100 cm 
fcd = 2,14 KN/cm² 
 
bw = 100 cm 
Figura 7 – slide visto na aula 9 (07/05/2021). 
 
8 
 
Cálculo do kmd: 
 
 
 
Procurar na tabela dimensionamento ao ELU - Flexão, com o valor de kmd o coeficiente kz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje 01: 
Msd = 8,84 KN . m 
d = 4cm 
bw = 100 cm 
fcd = 2,14 KN/cm² 
 
 kmd = 8,84 . 100 (para converter unidades) kmd = 884 kmd = 0,25 
 100 . 4² . 2,14 3424 
Laje 02: 
Msd = 35,43 KN . m 
d = 4cm 
bw = 100 cm 
fcd = 2,14 KN/cm² 
 
 kmd = 35,43 . 100 (para converter unidades) kmd = 3543 kmd = 1,03 
 100 . 4² . 2,143424 
Laje 03: 
Msd = 35,43 KN . m 
d = 8cm 
bw = 100 cm 
fcd = 2,14 KN/cm² 
 
 kmd = 35,43 . 100 (para converter unidades) kmd = 3543 kmd = 0,25 
 100 . 8² . 2,14 13696 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Colocaremos os dados na fórmula para encontrar a área de aço. 
 
 
 
 
 
Laje 01: 
Msd = 8,84 KN . m 
d = 4cm 
kmd = 0,25 -> kz = 0,820 
fyd = 43,47 KN/cm² 
 
 As = 8,84 . 100 (para converter unidades) As = 884 As = 6,20 cm² 
 0,820 . 4 . 43,47 142,58 
Laje 02: 
Msd = 35,43 KN . m 
d = 4cm 
kmd = 1,03 -> não encontrado o Kz corretamente optou-se por usar o valor de: 0,820 
fyd = 43,47 KN/cm² 
 
 As =35,43. 100 (para converter unidades) As = 3543 As = 24,84 cm² 
 0,820 . 4 . 43,47 142,58 
 
 
 
10 
 
 
 
Detalhamento 
 
 Laje 01 Laje 02 Laje 03 
Laje 03: 
Msd = 35,43 KN . m 
d = 8cm 
kmd = 0,25 - > kz = 0,820 
fyd = 43,47 KN/cm² 
 
 As = 35,43 . 100 (para converter unidades) As = 3543 As = 12,42cm² 
 0,820 . 8 . 43,47 285,16 
 
Laje 01: 
 
Para faixa unitária: diâmetro 8 Ø 10,0 [ As = 6,40 cm² ] 
 
Agora vamos distribuir essa área de aço para encontrar o espaçamento entre as barras: 
Espaçamento = 100cm = 12 cm 
 8 barras 
Quantidade p/ 3m = 300cm = 25 barras e o detalhamento é de 25 G1 Ø 10,0 c/ 12 C = 1,35m 
 12cm 
 
Quantidade p/ 1,5m = 150cm = 13 barras e o detalhamento é de 13 G2 Ø 10,0 c/ 12 C = 2,85 m 
 12cm 
 
11 
 
 
 
 
 
VIGAS – Pré-dimensionamento e Dimensionamento 
 
Pré-Dimensionamento 
 
Primeiramente analisamos quantos pilares temos na planta da edificação em estudo, na figura 8 os 
pilares estão identificados na cor amarela. Cada “espaço entre os pilares” está representando um tipo 
de viga. O autor Rebello, em seu estudo publicado em 2007 fala sobre a altura e largura de viga de 
acordo com o tipo estrutural de apoio. Organizou-se em uma tabela os cálculos. 
 
 
 
 
Laje 02: 
 
Para faixa unitária: diâmetro 8 Ø 20,0 [ As = 25,20 cm² ] 
 
Agora vamos distribuir essa área de aço para encontrar o espaçamento entre as barras: 
Espaçamento = 100cm = 12 cm 
 8 barras 
Quantidade p/ 4,5m = 450 = 39 barras e o detalhamento é de 39 G3 Ø 20,0 c/ 12 C = 4,35m 
 12 cm 
 
Quantidade p/ 3m = 300 = 25 barras e o detalhamento é de 25 G4 Ø 20,0 c/ 12 C = 2,85m 
 12cm 
 
 
Vigas 
 
 
V1 V1 
V2 V2 
V3 V3 
Figura 8 - Vigas e pilares 
 
12 
 
Numeração 
da viga 
Tipo bw (cm) 
largura 
h (cm) 
altura 
h (cm) 
a considerar 
V1 Contínua 12 0,06 x 450cm = 27 cm 30 cm 
V2 Contínua 12 0,06 x 450cm = 27 cm 30 cm 
V3 Contínua 12 0,06 x 300cm = 18 cm 20 cm 
V4 Contínua 12 0,06 x 300cm = 18 cm 20 cm 
V5 Bi apoiada 12 0,08 x 300cm = 24 cm 25 cm 
V6 Contínua 12 0,06 x 300cm = 18 cm 20 cm 
 
Dimensionamento de vigas 
 
Para o dimensionamento das vigas precisamos calcular os pesos que a estrutura recebe, tais como: 
peso próprio da viga, Peso de parede e Peso da laje sobre a viga. 
 
Consideraremos 25 KN para o peso próprio da viga. 
 
Para o peso de parede, usaremos os valores encontrados na tabela da ABNT NBR 6120, sobre 
Alvenaria de Vedação o material Bloco de cerâmico vazado, sendo 1,6 KN/m³ o peso da parede com 
o revestimento por face contando com o reboco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Usaremos também as cargas das lajes já calculadas anteriormente 
 
 
Áreas de influência para viga 01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Cálculo: Viga 01 – (12x30) 
 
Elementos Cálculos Resultado KN kg 
Peso próprio da viga 
 
25KN x Seção 
da viga em cm 
25kn x (0,12 x 0,30) = 
0,9 KN/m 
91,77kg 
Peso de parede 
 
1,6 KN/m³ x altura 3m 4,8KN/m 480 kg 
Peso da laje 
sobre a viga 
 
Área de influência: 6,74 KN/m e 20,8 KN/m 
 
 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 0,45m² = 10,12 KN 
PASSO 02: 10,12 KN / 1,5m = 6,74 KN/m 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 4,16m² = 93,6 KN 
PASSO 02: 93,6 KN / 4,5m = 20,8 KN/m 
 
14 
 
 
Áreas de influência para viga 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 0,45m² = 10,12 KN 
PASSO 02: 10,12 KN / 1,5m = 6,74 KN/m 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 4,16m² = 93,6 KN 
PASSO 02: 93,6 KN / 4,5m = 20,8 KN/m 
Vigas 
 
 
V1 V1 
V2 V2 
V3 V3 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 
 6,30 m² = 141,75 KN 
 
PASSO 02: 
141,75 KN / 6m = 23,62 KN/m 
 
15 
 
Resumo do Cálculo: Viga 02 – (12x30) 
 
Elementos Cálculos Resultado KN kg 
Peso próprio da viga 
 
25KN x Seção 
da viga em cm 
25kn x (0,12 x 0,30) = 
0,9 KN/m 
91,77kg 
Peso de parede 
 
1,6 KN/m³ x altura 3m 4,8KN/m 480 kg 
Peso da laje 
sobre a viga 
 
Área de influência: 6,74 KN/m ; 20,8 KN/m e 23,62 KN/m 
 
 
 
 
Áreas de influência para viga 03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Cálculo: Viga 03 – (12x20) 
 
Elementos Cálculos Resultado KN kg 
Peso próprio da viga 
 
25KN x Seção 
da viga em cm 
25kn x (0,12 x 0,20) 
= 0,6 KN/m 
61,18 kg 
Peso de parede 
 
1,6 KN/m³ x altura 3m 4,8KN/m 480 kg 
Peso da laje 
sobre a viga 
 
Área de influência: 5,77 KN/m 
 
 
 
 
 
 
Área de influência 
PASSO 01: 5,5 KN/m² x 6,30 m² = 34,65 KN 
PASSO 02: 34,65 KN / 6 m = 5,77 KN/m 
 
16 
 
Áreas de influência para viga 04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Cálculo: Viga 04 – (12x20) 
 
Elementos Cálculos Resultado KN kg 
Peso próprio da viga 
 
25KN x Seção 
da viga em cm 
25kn x (0,12 x 0,20) 
= 0,6 KN/m 
61,18 kg 
Peso de parede 
 
1,6 KN/m³ x altura 3m 4,8KN/m 480 kg 
Peso da laje 
sobre a viga 
 
Área de influência: 10,95 KN/m e 3,70 KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vigas 
 
 
V1 V1 
V2 V2 
V3 V3 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 1,46 m² = 32,85 KN 
PASSO 02: 32,85 KN / 3 m = 10,95 KN/m 
Área de influência 
PASSO 01: 5,5 KN/m² x 2,02 m² = 11,11 KN 
PASSO 02: 11,11 KN / 3 m = 3,70 KN/m 
 
17 
 
Áreas de influência para viga 05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo do Cálculo: Viga 05 – (12x25) 
 
Elementos Cálculos Resultado KN kg 
Peso próprio da viga 
 
25KN x Seção 
da viga em cm 
25kn x (0,12 x 0,25) 
= 0,03 KN/m 
30kg 
Peso de parede 
 
1,6 KN/m³ x altura 3m 4,8KN/m 480 kg 
Peso da laje 
sobre a viga 
 
Área de influência: 10,95 KN/m e 15,22 KN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vigas 
 
 
V1 V1 
V2 V2 
V3 V3 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 1,46 m² = 32,85 KN 
PASSO 02: 32,85 KN / 3 m = 10,95 KN/m 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 2,03 m² = 45,67 KN 
PASSO 02: 45,67 KN / 3 m = 15,22 KN/m 
 
18 
 
 
Áreas de influência para viga 06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo doCálculo: Viga 06 – (12x20) 
 
Elementos Cálculos Resultado KN kg 
Peso próprio da viga 
 
25KN x Seção 
da viga em cm 
25kn x (0,12 x 0,20) 
= 0,6 KN/m 
61,18 kg 
Peso de parede 
 
1,6 KN/m³ x altura 3m 4,8KN/m 480 kg 
Peso da laje 
sobre a viga 
 
Área de influência: 15,22 KN/m e 3,72 KN/m 
 
 
 
 
Obs: não consegui prosseguir nos cálculos para vigas. 
Vigas 
 
 
V1 V1 
V2 V2 
V3 V3 
Área de influência 
PASSO 01: 5,5 KN/m² x 2,03 m² = 11,16 KN 
PASSO 02: 11,16 KN / 3 m = 3,72 KN/m 
Área de influência 
PASSO 01: 22,5 KN/m² x 2,03 m² = 45,67 KN 
PASSO 02: 45,67 KN / 3 m = 15,22 KN/m 
 
19 
 
 
 
 
 
Pré- dimensionamento (usado em arquitetura) 
 
Primeiramente analisa-se a carga que o pilar está recebendo. Usou-se o valor de 15 KN/m² para o 
valor de dimensionamento. Esse valor é multiplicado pela quantidade de pavimentos. Como não 
sabemos a quantidade adotou-se um pavimento. 15x1 = 15KN/m². 
 
Áreas de influência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PILARES 
 
 
Vigas 
 
 
V1 V1 
V2 V2 
V3 V3 
 
20 
 
A partir da analise de área de influência os dados foram organizados em uma 
tabela: 
 
Em seguida analisa-se as áreas de influência de cada pilar, de acordo com os tipos: Pilar de canto, 
intermediário e de borda e multiplica-se essa área pela carga recebida que foi definida como 
15KN/m². O resultado corresponde a Força aplicada ao pilar. 
 
 
Número do pilar Área de influência Carga recebida Resultado 
P1 1,29 m² 
 
15KN/m² 
19,35 KN 
P2 4,72 m² 70,80 KN 
P3 3,66 m² 59,90 KN 
P4 2,47 m² 37,05 KN 
P5 8,98 m² 134,7 KN 
P6 6,97 m² 104,55 KN 
P7 2,48 m² 37,20 KN 
P8 4,64 m² 69,60 KN 
P9 2,56 m² 38,40 KN 
 
Em seguida é necessário calcular a área necessária que o pilar deve ter. 
 
Usou-se a fórmula vista em sala de aula no dia 11/06/2021: 
onde fcd corresponde a resistência do concreto usar 2,14 KN/m². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número do pilar Fórmula aplicada Resultado da área 
em cm² 
P1 A= 19,35 KN / 2,14 KN/cm² 9,04 cm² 
P2 A= 70,80 KN / 2,14 KN/cm² 33,08 cm² 
P3 A= 59,90 KN / 2,14 KN/cm² 27,99 cm² 
P4 A= 37,05KN / 2,14 KN/cm² 17,31 cm² 
P5 A= 134,7 KN / 2,14 KN/cm² 62,94 cm² 
P6 A= 104,7 KN / 2,14 KN/cm² 48,92 cm² 
P7 A= 37,20 KN / 2,14 KN/cm² 17,38 cm² 
P8 A= 69,60 KN / 2,14 KN/cm² 32,52 cm² 
P9 A= 38,40 KN / 2,14 KN/cm² 17,94 cm² 
 
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A norma admite que o valor mínimo de área para pilar deve ser de 360cm². 
Adota-se então os valores de 15cm para a base e 26cm para a altura da seção 
do pilar. 
 
PLANTA DE FORMA (anexo o pdf): 
 
 
 
 
 
Considerações finais: 
 
Foi muito valioso fazer esse trabalho para o enriquecimento do que foi aprendido em sala de aula. 
Conseguimos compreender bem melhor cada passo para os cálculos de lajes, vigas e pilares que 
foram dados na ementa do semestre para a disciplina de concreto.