T3 Potencial Elétrico - Exercícios com Resolução

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Potencial Elétrico I 
Lista de Exercícios 
Básicos 
1. Em um local na superfície da Terra, onde o campo elétrico tem valor aproximadamente constante 
de �⃗� = −120 𝑉/𝑚 ĵ (ou seja, está direcionada verticalmente para baixo. Uma partícula 
positivamente carregada com 𝑞 = 1 𝑚𝐶, de massa 𝑚 = 20 𝑔 é liberada a partir do repouso de 
uma altura de ℎ = 1000 𝑚. Qual a velocidade com que o corpo atinge o solo? Desconsidere a 
resistência do ar. 
Esse problema resolveremos por conservação de energia. Para tanto, precisaremos entender qual o 
trabalho (W) realizado pelo campo elétrico. Por definição, o trabalho (W) é dado por: 
𝑊 = ∫𝐹 . 𝑑𝑙 
A força eletrostática pode ser dada em termos do campo elétrico: 𝐹 = 𝑞�⃗� 
𝑊 = ∫𝑞�⃗� . 𝑑𝑙 
Tanto o campo elétrico quanto a distância percorrida estão na vertical, no eixo y. Assim, por simplicidade, 
podemos tratá-los como escalares. Sendo a carga e o campo constantes: 
𝑊 = 𝑞𝐸 ∫ 𝑑𝑙
0
ℎ
 
𝑊 = −𝑞𝐸ℎ 
Considerando que a energia do sistema se conserva, a soma das energias no instante inicial e final devem 
ser iguais: 
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
𝐾𝑖 + 𝑈𝑔,𝑖 + 𝑈𝐸,𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑔,𝑓 + 𝑈𝐸,𝑓 
Onde 𝐾 é a energia cinética, 𝑈𝑔é a energia potencial gravitacional e 𝑈𝐸 a energia potencial elétrica. Sendo 
a 𝑣𝑖 = 0 e a altura final ℎ𝑓 = 0, temos 𝐾𝑖 =
1
2
𝑚𝑣𝑖 = 0 e 𝑈𝑔,𝑓 = 𝑚𝑔ℎ𝑓 = 0. Reorganizando os termos: 
𝐾𝑓 = 𝑈𝑔,𝑖 + 𝑈𝐸,𝑖 − 𝑈𝐸,𝑓 
Sendo 𝑊 = −𝛥𝑈 → 𝛥𝑈 = −𝑊: 
𝐾𝑓 = 𝑈𝑔,𝑖 + 𝑊 
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 = 𝑚𝑔ℎ𝑖 − 𝑞𝐸ℎ𝑖 
Isolando a velocidade: 
𝑣𝑓 = √
2
𝑚
ℎ(𝑚𝑔 − 𝑞𝐸) 
Substituindo os valores: 
𝑣𝑓 = √
2
0,02
1000 [0,02. 9,81 − 1 × 10−3 . (−120)] 
𝑣𝑓 = 178 𝑚/𝑠 
2. Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado de cargas pontuais? 
A distância é d = 1,3 m e as cargas são: q1 = 12 nC, q2 = −24 nC, q3 = 31 nC e q4 = 17 nC. 
 
Para várias cargas, o potencial total no ponto P é a soma do potencial gerado por cada carga 
individualmente: 
𝑉 = ∑𝑉𝑖
𝑖
 
Lembrando que o potencial elétrico é um escalar e não um vetor, a soma pode ser feita diretamente, sem a 
necessidade de analisar a direção. Como as cargas são partículas pontuais: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
∑
𝑞𝑖
𝑟𝑖
𝑖
 
𝑟 é a distância do ponto P à carga (não é d). A distância r (que é igual para todas as cargas) pode ser 
determinada por trigonometria: 
 
𝑟 = √(
𝑑
2
)
2
+ (
𝑑
2
)
2
 
𝑟 = √2(
𝑑
2
)
2
 
𝑟 = √2
𝑑
2
 
𝑟 = √2
1,3
2
 
𝑟 = 9,19 × 10−1 𝑚 
Assim, como r é igual para todas as quatro cargas: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0𝑟
∑𝑞𝑖
𝑖
 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0𝑟
(𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4) 
Substituindo os valores e lembrando que é preciso considerar a polaridade da carga (positivo ou negativo): 
𝑉 =
1
4𝜋 8,85 × 10−12 9,19 × 10−1
(12 − 24 + 31 + 17 ) × 10−9 
𝑉 = 352 𝑉 
 
3. Na figura abaixo, os elétrons são mantidos fixos, com espaçamento uniforme, ao longo de uma 
circunferência de raio 𝑅: 
 
a. Tomando 𝑉 = 0 no infinito, qual o potencial elétrico no centro C da circunferência? 
b. Qual é o campo elétrico no centro C da circunferência? 
c. Se os elétrons forem deslocados ao longo da circunferência até ficarem distribuídos com 
espaçamento desigual em um arco de 120°, conforme ilustra a figura abaixo, qual será o 
potencial no ponto C? 
 
a) Todos os elétrons estão a uma mesma distância do centro. Como são cargas pontuais, cada elétron 
contribui com um potencial igual a: 
𝑉𝑖 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑖
𝑟𝑖
 
Todas as cargas são elétrons, logo 𝑞𝑖 = −𝑒 e têm a mesma distância ao ponto C, 𝑟𝑖 = 𝑅 
𝑉𝑖 = −
1
4𝜋𝜀0
𝑒
𝑅
 
Sendo 12 elétrons e novamente enfatizando que o potencial elétrico é um escalar e não um vetor: 
𝑉 = 12 𝑉𝑖 
𝑉 = −
12
4𝜋𝜀0
𝑒
𝑅
 
𝑉 = −
3
𝜋𝜀0
𝑒
𝑅
 
b) Lembrando mais uma vez que o potencial é uma variável escalar, a direção e o sentido não são levados 
em consideração. No entanto, a mesma lógica não pode ser aplicada ao campo elétrico, que é um vetor. 
Como o campo de cada um dos elétrons se somam vetorialmente, por causa da simetria do problema 
temos: 
�⃗� = 0 
c) Como a distância entre cada elétron e o centro permanece o mesmo e a direção e o sentido não têm 
influência quando se trata do potencial elétrico (que é uma variável escalar), o potencial permanece o 
mesmo: 
𝑉 = −
3
𝜋𝜀0
𝑒
𝑅
 
4. A figura abaixo mostra duas placas paralelas produzindo um campo elétrico uniforme �⃗� . A placa 
superior, positiva, tem densidade de carga igual a 𝜎+ = 7 × 10
−6 𝐶/𝑚2, enquanto a inferior, 
negativa, tem 𝜎− = −4 × 10
−6 𝐶/𝑚2. Determine a diferença de potencial Δ𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 entre os 
pontos i e f , que estão a uma distância 𝑟 = 1 × 10−4 𝑚 e cuja reta subentende um ângulo de 𝜃 =
25° com as linhas do campo elétrico, conforme ilustrada na figura abaixo. 
 
A diferença de potencial, neste caso, pode ser dada pela equação: 
𝛥𝑉 = −∫�⃗� . 𝑑𝑠 
O campo elétrico gerado por duas placas paralelas (supostamente infinitas), sendo uma negativa e outra 
positiva é dado por: 
�⃗� = (
𝜎+
2𝜀0
+
𝜎−
2𝜀0
) (−𝑗̂) 
Assim: 
�⃗� = (
7 × 10−6
2 . 8,85 × 10−12
+
4 × 10−6
2. 8,85 × 10−12
) (−𝑗̂) 
�⃗� = −6,21 × 105 j ̂
Considerando o problema em um sistema de coordenadas cartesianas: 
 
Dessa forma: 𝑑𝑠 = 𝑑𝑟 sen𝜃 𝑖̂ − 𝑑𝑟 cos𝜃 𝑗̂ 
Assim, retornando na equação da diferença de potencial: 
𝛥𝑉 = −∫−6,21 × 105 𝑗̂. (𝑑𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑖̂ − 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑗̂) 
Lembrando que ĵ . î = 0 e j ̂. ĵ = 1: 
𝛥𝑉 = ∫6,21 × 105(−𝑑𝑟 cos 𝜃) 
Uma vez que o ângulo 𝜃 é constante, a resolução da integração é trivial: 
𝛥𝑉 = −6,21 × 105 cos𝜃 ∫𝑑𝑟 
𝛥𝑉 = −6,21 × 105 cos𝜃 . 𝑟 
Substituindo os valores: 
𝛥𝑉 = −6,21 × 105 cos(25°) . 1 × 10−4 
𝛥𝑉 = −56,3 𝑉 
Contextuais 
1. Uma partícula alfa (dois prótons e dois nêutrons) se aproxima de um átomo de ouro estacionário 
(79 prótons e 118 nêutrons), passando pela nuvem de elétrons e rumando diretamente para o 
núcleo. A partícula alfa diminui de velocidade até parar e inverte o movimento quando está a uma 
distância 𝑟 = 9,23 × 10−15 𝑚 do centro do núcleo de ouro (como a massa do núcleo de ouro é 
muito maior que da partícula alfa, podemos supor que o núcleo de ouro se mantém imóvel durante 
o processo). Qual era a energia cinética 𝐾 da partícula alfa quando estava a uma distância muito 
grande (e, portanto, do lado de fora) do átomo de ouro? Suponha que a única força entre a 
partícula alfa e o núcleo de ouro é a força eletrostática. 
Esse problema podemos resolver por conservação de energia. A energia total (cinética mais potencial) no 
início deve ser igual à do final: 
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑖 = 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑓 
𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 
Como estamos considerando uma distância muito grande, inicialmente 𝑈𝑖 = 0, e como a partícula inverte o 
sentido do movimento, ou seja, 𝑣 = 0, temos 𝐾𝑓 = 0. Consideramos a partícula alfa, uma carga pontual: 
𝐾𝑖 = 𝑈𝑓 
𝐾𝑖 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝐴𝑢𝑞𝛼
𝑟
 
𝐾𝑖 =
1
4𝜋 8,85 × 10−12
(79 × 1,6 × 10−19)(2 × 1,6 × 10−19)
9,23 × 10−15
 
𝐾𝑖 = 3,94 × 10
−12𝐽 
Ou, na unidade mais comumente usada com partículas atômicas (resultado em J, dividido pela carga do 
elétron): 𝐾𝑓 = 2,46 × 10
7 𝑒𝑉 
2. Considere que a distância média entre um elétron e um próton em um átomo de hidrogênio é igual 
a 𝑟0 = 0,529 × 10
−10 𝑚. 
a. Qual é o potencial elétrico nessa distância? 
b. Qual é a energia potencial elétrica de um elétron e de um próton nessa separação? 
a) O potencial elétrico de uma carga pontual é dado por: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟
 
Sendo a carga do próton igual a 𝑞 = 𝑒 = 1,6 × 10−19 𝐶 e 𝑟 = 𝑟0: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑒
𝑟0
 
𝑉 =
1
4𝜋 . 8,85 × 10−12
1,6 × 10−19
0,529 × 10−10
 
𝑉 = 27,2 𝑉 
b) Como 𝑈 = 𝑞𝑉 e sendo a carga do elétron 𝑞 = −𝑒 = −1,6 × 10−19 𝐶: 
𝑈 = −1,6 × 10−19 . 27,2 
𝑈 = 4,35 × 10−18 𝐽 
Ou, dividindo pela carga do elétron, para dar o resultado em eletrón-volt: 𝑈 = −27,2 𝑒𝑉 
3. Muito materiais nãocondutores são ionizados em campos elétricos muito intensos e tornam-se 
condutores. Este fenômeno, denominado ruptura dielétrica, ocorre no ar em campos elétricos com 
módulo superior a 𝐸𝑚á𝑥 = 3 × 10
6 𝑉/𝑚. No ar, alguns dos íons existentes são acelerados e 
atingem energias cinéticas elevadas antes de colidirem com as moléculas vizinhas. Se a energia 
cinética for alta o suficiente, a colisão pode gerar mais íons, que se multiplicarão, provocando a 
ruptura dielétrica. O relâmpago é um exemplo de ruptura dielétrica do ar. Suponha que um 
condutor esférico tenha raio de 30 cm. 
a. Qual é a carga máxima que a esfera suporta sem que ocorra a ruptura dielétrica? 
b. Qual é o potencial máximo que a esfera consegue atingir sem que ocorra a ruptura 
dielétrica? 
a) De acordo com a Lei de Gauss, a carga interna de um condutor esférico (que se comporta como uma 
casca esférica), é dado por: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0 ∮ �⃗� �̂� 𝑑𝐴 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0𝐸 4𝜋𝑅
2 
Considerando o campo elétrico máximo: 
𝑄𝑚á𝑥 = 𝜀0𝐸𝑚á𝑥 4𝜋𝑅
2 
𝑄𝑚á𝑥 = 8,85 × 10
−12 . 3 × 106 . 4𝜋. 0,32 
𝑄𝑚á𝑥 = 3 × 10
−5 𝐶 
b) O potencial elétrico pode ser dado por: 
𝑉 = −∫ �⃗� . 𝑑𝑠 
Note que consideramos 𝑉𝑖 = 0. Sendo �⃗� = 𝐸 �̂� e 𝑑𝑠 = −𝑑𝑟 �̂�, sendo o sinal negativo, considerando que a 
carga seja trazida do infinito. Assim: 
𝑉 = ∫𝐸 𝑑𝑟 
Ao longo de toda a superfície, o campo é constante: 
𝑉 = 𝐸 ∫ 𝑑𝑟 
𝑉 = 𝐸𝑅 
𝑉𝑚á𝑥 = 3 × 10
6 . 0,3 
𝑉𝑚á𝑥 = 9 × 10
5 𝑉