Avaliação de Probabilidade e Estatística

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UFV- CCE - DET
EST 105 - 2a avaliac¸a˜o - 10 semestre de 2017 - 13/maio/17
Nome: Matr´ıcula:
Assinatura: . Favor apresentar documento com foto.
ˆ Sa˜o 5 questo˜es e formula´rio em pa´ginas numeradas de 1 a 8, total de 30 pontos, FAVOR
CONFERIR ANTES DE INICIAR.
ˆ ATENC¸A˜O: Assinale (X) em qual turma esta´ matriculado (sua nota sera´ divulgada no
sistema SAPIENS).
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TURMA HORA´RIO SALA PROFESSOR
------------------------------------------------------------------------
( ) T1 3ª 08-10 5ª 10-12 PVB300 Cecon
( ) T2 3ª 10-12 6ª 8-10 PVB109 Moyse´s
( ) T3 3ª 14-16 5ª 16-18 PVB109 Camila/Carol
( ) T4 2ª 14-16 4ª 16-18 PVB107 Carol
( ) T5 3ª 20:30-22:10 6ª 18:30-20:10 PVB204 Eduardo
( ) T6 4ª 14-16 6ª 16-18 PVA361 CHOS - coordenador
( ) T7 2ª 16-18 5ª 14-16 PVB307 Camila
( ) T10 2ª 18:30-20:10 4ª 20:30-22:10 PVA361 Eduardo
( ) T20=EST085 T1 2ª 16 PVA134,T2 2ª 18:30 PVA348(Leı´sa, monitor II)
------------------------------------------------------------------------
ˆ Interpretar corretamente as questo˜es e´ parte da avaliac¸a˜o, portanto na˜o e´ permitido ques-
tionamentos durante a prova !
ˆ E´ OBRIGATO´RIO APRESENTAR OS CA´LCULOS organizadamente, para ter direito a`
revisa˜o.
ˆ PODE UTILIZAR A CALCULADORA, pore´m mostre os valores utilizados na fo´rmula.
ˆ BOA SORTE e BOA PROVA !!!.
1
FORMULA´RIO
P (Ai|B) = P (Ai
⋂
B)
P (B)
=
P (Ai)P (B|Ai)∑
j
P (Aj)P (B|Aj)
, P (B) > 0
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B) P (A) = 1− P (Ac), Ac e´ o evento complementar
Leis de DeMorgan: P (Ac ∩Bc) = P (A ∪B)c e P (Ac ∪Bc) = P (A ∩B)c
X v.a.d.⇒ f(x) = P (X = x)
X v.a.c.⇒
∫ x2
x1
f(x) dx = P (x1 ≤ X ≤ x2)
F (x) = P (X ≤ x)
2
1.(8 pontos) Sabe-se que, em uma certa populac¸a˜o, 50% dos indiv´ıduos possuem casa pro´pria
e 80% possuem casa pro´pria ou automo´vel. Com base nestas informac¸o˜es, pede-se:
a.(5 pontos) Determine a probabilidade de um indiv´ıduo sorteado ao acaso possuir auto-
mo´vel, quando:
a1.(2,5 pts) Possuir casa pro´pria e possuir automo´vel sa˜o eventos mutuamente exclusivos.
Sejam A: “possuir casa pro´pria” e B: “Possuir automo´vel”. Sabemos que P (A) = 0, 50 e
P (A ∪B) = 0, 80.
Como os eventos sa˜o mutuamente exclusivos sabemos que P (A ∩B) = 0, assim
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
0, 80 = 0, 50 + P (B)− 0
P (B) = 0, 30
a2.(2,5 pts) Se admite que 5% dos indiv´ıduos possuem casa pro´pria e automo´vel.
Sabemos que P (A ∩B) = 0, 05, assim
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
0, 80 = 0, 50 + P (B)− 0, 05
P (B) = 0, 35
b.(3 pontos) Admita que possuir casa pro´pria e possuir automo´vel sa˜o eventos indepen-
dentes e calcule a probabilidade condicional de um indiv´ıduo sorteado ao acaso possuir
automo´vel, dado que o mesmo na˜o possui casa pro´pria.
P (A ∩B) = P (A) · P (B) = 0, 50P (B) (1)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) . (2)
Utilizando (1) em (2) temos
0, 80 = 0, 50 + P (B)− 0, 50P (B)
0, 50P (B) = 0, 30
P (B) = 0, 60.
Ale´m disso
P (Ac ∩B) = P (B)− P (A ∩B)
= 0, 60− 0, 50P (B) = 0, 60− 0, 50 · 0, 60 = 0, 60− 0, 30 = 0, 30
Assim
P (B|Ac) = P (A
c ∩B)
P (Ac)
=
0, 30
1− 0, 50 = 0, 60.
3
2.(5 pontos) Admita que seis softwares dispon´ıveis no mercado, para resolver um problema
de programac¸a˜o linear, tenham sido rankeados de 1o ao 6o (melhor ate´ pior). Uma firma que
na˜o sabia deste rankeamento adquiriu aleatoriamente dois destes softwares. Pede-se,
calcule a probabilidade da firma ter adquirido:
a.(2,5 pts) Apenas os softwares rankeados de 3o ao 6o.
Sejam A1 = {O primeiro software comprado esta´ entre os dois primeiros ranqueados}, A2 =
{O segundo software comprado esta´ entre os dois primeiros ranqueados} e X: “nu´mero de
softwares de A1 ∪ A2 que foram adquiridos” e note que a compra e´ feita sem reposic¸a˜o.
Assim
Pelo conceito cla´ssico temos:
P (X = 0) =
(
2
0
) · (4
2
)(
6
2
) = 1 · 6
15
= 0, 40.
ou pelo diagrama em a´rvore:
A2 ⇒ X = 2 2/30 = 1/15
A1
1/5
4/5
Ac2 ⇒ X = 1 8/30 = 4/15
•
2/6
4/6
A2 ⇒ X = 1 8/30 = 4/15
Ac1
2/5
3/5
Ac2 ⇒ X = 0 12/30=2/5
P (Ac1 ∩ Ac2) =
4
6
· 3
5
=
2
5
= 0, 4
b.(2,5 pts) Os softwares rankeados 1o e 6o.
Sejam B1 = {O primeiro software comprado e´ o 1o ou o 6o ranqueados}, B2 = {O segundo
software comprado e´ o 1o ou o 6o ranqueados} e Y : “nu´mero de softwares de B1 ∪ B2 que
foram adquiridos” e note que a compra e´ feita sem reposic¸a˜o. Assim
Pelo conceito cla´ssico temos:
P (Y = 2) =
(
2
2
) · (4
0
)(
6
2
) = 1 · 1
15
≈ 0, 0667
4
ou pelo diagrama em a´rvore:
B2 ⇒ Y = 2 2/30=1/15
B1
1/5
4/5
Bc2 ⇒ Y = 1 8/30 = 4/15
•
2/6
4/6
B2 ⇒ Y = 1 8/30 = 4/15
Bc1
2/5
3/5
Bc2 ⇒ Y = 0 12/30 = 6/15
P (Y = 2) = P (B1 ∩B2) = 2
6
· 1
5
=
1
15
≈ 0, 0667
P (Y = 1) = P (B1 ∩Bc2) + P (Bc1 ∩B2) =
2
6
· 4
5
+
4
6
· 2
5
=
8
30
+
8
30
=
16
30
=
8
15
≈ 0, 5333
P (Y = 0) = P (Bc1 ∩Bc2) =
4
6
· 3
5
=
12
30
=
6
15
=
2
5
= 0, 4
5
3.(6 pontos) O diretor de Recursos Humanos de uma empresa possui duas listas com nomes de
candidatos; a lista 1 conte´m cinco mulheres e dois homens, ja´ a lista 2 conte´m duas mulheres
e seis homens. Se um nome foi aleatoriamente selecionado da lista 1 e adicionado na lista 2
e em seguida um nome foi aleatoriamente selecionado da lista 2 aumentada, pede-se:
a.(3 pts) Calcule a probabilidade de se selecionar uma mulher da lista 2 aumentada.
Sejam os seguintes eventos:
ˆ Fi = {selecionar um candidato do sexo feminino da i-e´sima lista} e
ˆ Mi = {selecionar um candidato do sexo masculino da i-e´sima lista};
Pelo diagrama em a´rvore tem-se o espac¸o amostral
F2
F1
3/9
6/9
M2
•
5/7
2/7
F2
M1
2/9
7/9
M2
P (F2) = P (F1 ∩ F2) + P (M1 ∩ F2)
=
5
7
· 3
9
+
2
7
· 2
9
=
15
63
+
4
63
=
19
63
∼= 0, 3016 ou 30, 16%.
b.(3 pts) Se o nome selecionado da lista 2 aumentada e´ de um homem, calcule a probabi-
lidade condicional de que a primeira selec¸a˜o da lista 1 tenha sido uma mulher.
P (F1|M2) = P (F1 ∩M2)
P (M2)
=
P (M2|F1)P (F1)
1− P (F2)
=
5
7
· 6
9
1− 19
63
=
30
63
44
63
=
30
44
=
15
22
∼= 0, 6818 ou 68, 18%.
6
4.(6 pontos) Suponha que o tempo, em meses, para a recuperac¸a˜o de pacientes submetidos
a um determinado tipo de cirurgia do corac¸a˜o pode ser modelado por uma varia´vel aleato´ria
cont´ınua X, cuja func¸a˜o densidade de probabilidade e´ dada por:
f(x) =

1
3
, para 0 ≤ x < 1
1
12
(5− x), para 1 ≤ x ≤ 5
0, para outros valores de x
Pede-se:
a.(2 pts) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada F (x).
ˆ Para x < 0, F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f (t) dt =
∫ x
−∞
0dt = 0
ˆ Para 0 ≤ x < 1,
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f (t) dt =
∫ x
0
1
3
dt =
1
3
t|xt=0 =
1
3
x
ˆ Para 1 ≤ x < 5,
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f (t) dt =
∫ 1
0
1
3
dt +
∫ x
1
1
12
(5− t) dt = 1
3
+
(
5
12
t− t
2
24
)∣∣∣∣x
t=1
=
1
3
+
(
5
12
x− x
2
24
)
−
(
5
12
· 1− 1
2
24
)
=
5
12
x− x
2
24
− 1
24
=
1
24
(−x2 + 10x− 1)
ˆ Para x ≥ 5,
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f (t) dt =
∫ 1
0
1
3
dt +
∫ 5
1
1
12
(5− t) dt +
∫ x
5
0dt = 1
Desta maneira
F (x) =

0, x < 0
1
3
x, 0 ≤ x < 1
1
24
(−x2 + 10x− 1) , 1 ≤ x < 5
1, 5 ≤ x.
7
b.(2 pts) Calcule P (1
2
≤ X ≤ 3) usando a f(x). ATENC¸A˜O: utilize a f(x).
P
(
1
2
≤ X ≤ 3
)
=
∫ 1
1/2
1
3
dx +
∫ 3
1
1
12
(5− x)dx
=
1
3
x|1x=1/2 +
(
5
12
x− x
2
24
)∣∣∣∣3
x=1
=
1
3
− 1
6
+
15
12
− 9
24
− 5
12
+
1
24
=
8− 4 + 30− 9− 10 + 1
24
=
16
24
=
2
3
c.(2 pts) Calcule P (1
2
≤ X ≤ 3) usando a F (x). ATENC¸A˜O: utilize a F (x).
P
(
1
2
≤ X ≤ 3
)
= F (3)− F
(
1
2
)
=
1
24
(−32 + 10 · 3− 1)− 1
3
· 1
2
=
1
24
(−9 + 30− 1)− 1
6
=
20
24
− 1
6
=
5
6
− 1
6
=
4
6
=
2
3
8
5.(5 pontos) Considere o espac¸o amostral do seguinte experimento aleato´rio: observar o
sexo (masculino ou feminino) de treˆs crianc¸as em treˆs partos de ma˜es distintas, escolhidos
aleatoriamente. Seja X a varia´vel aleato´ria discreta que representa o nu´mero de crianc¸as do
sexo masculino que nasceram, pede-se:
a.(3 pts) Determine a tabela com a distribuic¸a˜o das probabilidades para X. Admita que o
nascimento de bebeˆs do sexo masculino ou feminino sejam eventos equiprova´veis.
Sejam os eventos Fi = {bebeˆ do i-e´simo parto e´ do sexo feminino}, Mi = {bebeˆ do i-e´simo
parto e´ do sexo masculino} e X: “nu´mero de bebeˆs do sexo masculino”.
Pelo diagrama em a´rvore temos:
3◦ parto
2◦ parto F3
1◦ parto F2 M3
F1 F3
M2 M3
•
F2 F3
M1 M3
M2 F3
M3
basta examinar os caminhos da a´rvore para se obter que:
P (X = 0) = P (F1 ∩ F2 ∩ F3) = P (F1)P (F2)P (F3)
=
1
2
· 1
2
· 1
2
=
1
8
P (X = 1) = P (F1 ∩ F2 ∩M3) + P (F1 ∩M2 ∩ F3) + P (M1 ∩ F2 ∩ F3)
= 3 · 1
2
· 1
2
· 1
2
=
3
8
P (X = 2) = P (F1 ∩M2 ∩M3) + P (M1 ∩ F2 ∩M3) + P (M1 ∩M2 ∩ F3)
= 3 · 1
2
· 1
2
· 1
2
=
3
8
P (X = 3) = P (M1 ∩M2 ∩M3) = P (M1)P (M2)P (M3)
=
1
2
· 1
2
· 1
2
=
1
8
x 0 1 2 3 Total
P (X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
9
b.(2 pts) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada F (x).
F (x) =

0, x < 0
1
8
, 0 ≤ x < 1
4
8
, 1 ≤ x < 2
7
8
, 2 ≤ x < 3
1, 3 ≤ x
10