engenharia-economica---8a-edicao

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EEnnggeennhhaarriiaa 
 
EEccoonnôômmiiccaa 
 
8ª edição 
 
Prof. Ms. Scandiuzzi 
 
 
Copyright  - 2008 
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ÍNDICE 
 
Sistema Financeiro Nacional 02 
Conselho Monetário Nacional 03 
Banco Central do Brasil 04 
Autoridade de Apoio 05 
Por que os Juros são tão Altos? 07 
Função Financeira na Empresa 11 
Introdução á Engenharia Econômica 12 
Introdução á matemática Financeira 15 
Porcentagem 16 
Nomenclatura Usada na Matemática Financeira 18 
Taxas Equivalentes. 20 
Exercícios 21 
Conceitos Básicos Financeiros 22 
Exercícios 28 
Sistema Francês de Amortização – PRICE 31 
Sistema de Amortização Constante – SAC 34 
Sistema Amortização Misto – SAM 37 
Exercícios 39 
Decisões de Investimentos 40 
Taxa Mínima de Atratividade (TMA) 42 
Métodos de Analise de Investimentos – Payback 43 
O PayBack Descontado 44 
Valor Presente Liquido(VPL) ou Net Present Value(NPV) 46 
Taxa Interna de Retorno(TIR) ou Internal Rate of Retum (IRR) 50 
Exercícios 52 
Contabilidade de Depreciação 53 
Métodos de Depreciação - Linear 56 
Impostos 57 
A influência do Imposto de Renda nas Alternativas de Investimentos 59 
Exercícios 61 
Necessidade de Capital de Giro 62 
Exercícios 66 
Financiamentos de Projetos. 67 
Exercícios 70 
Leasing 71 
Exercícios 74 
Risco e Incerteza 75 
Analise da Sensibilidade 76 
Exercícios 79 
Resposta dos Exercícios 80 
Definições 81 
Bibliografia 87 
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 SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL 
 
ESTRUTURA ATUAL 
 
O sistema financeiro pode ser conceituado como um conjunto de instituições 
que se dedicam, de alguma forma, ao trabalho de propiciar condições satisfa-
tórias para a manutenção de um fluxo de recursos entre poupadores e inves-
tidores. 
O mercado financeiro pode ser considerado como elemento dinâmico no pro-
cesso de crescimento econômico, uma vez que permite a elevação das taxas 
de poupança e investimento. 
As instituições que formam o sistema se caracterizam em dois grandes gru-
pos: 
Os intermediários financeiros: emitem seus próprios passivos, ou seja, 
captam poupança diretamente do público por sua própria iniciativa e respon-
sabilidade e, posteriormente, aplicam esses recursos junto às empresas, 
através de empréstimos e financiamentos. Ex: bancos comerciais, de inves-
timento, de desenvolvimento, as caixas econômicas, as sociedades de crédi-
to imobiliário (SCI) e as associações de poupança e empréstimos (APE), en-
tre outras. 
As instituições auxiliares: propõe-se a colocar em contato poupadores e 
investidores, facilitando o acesso destes àqueles. Ex: as bolsas de valores, 
cuja finalidade, consiste em propiciar liquidez aos títulos emitidos pelas em-
presas (ações), através de institucionalização do mercado secundário para 
esses haveres. 
Outra caracterização de instituição financeira é a capacidade de criar ou não 
moeda escritural. 
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CONSELHO MONETÁRIO NACIONAL (CMN) 
O Conselho Monetário Nacional (CMN) é o órgão deliberativo máximo do 
Sistema Financeiro Nacional. Ao CMN compete: estabelecer as diretrizes 
gerais das políticas monetária, cambial e creditícia; regular as condições 
de constituição, funcionamento e fiscalização das instituições financeiras 
e disciplinar os instrumentos de política monetária e cambial. 
O CMN é constituído pelo Ministro de Estado da Fazenda (Presidente), 
pelo Ministro de Estado do Planejamento e Orçamento e pelo Presidente 
do Banco Central do Brasil (Bacen). Os serviços de secretaria do CMN 
são exercidos pelo Bacen. 
Junto ao CMN funciona a Comissão Técnica da Moeda e do Crédito 
(Comoc), composta pelo Presidente do Bacen, na qualidade de Coorde-
nador, pelo Presidente da Comissão de Valores Mobiliários (CVM), pelo 
Secretário Executivo do Ministério do Planejamento e Orçamento, pelo 
Secretário Executivo do Ministério da Fazenda, pelo Secretário de Políti-
ca Econômica do Ministério da Fazenda, pelo Secretário do Tesouro Na-
cional do Ministério da Fazenda e por quatro diretores do Bacen, indica-
dos por seu Presidente. 
Está previsto o funcionamento também junto ao CMN de comissões con-
sultivas de Normas e Organização do Sistema Financeiro,de Mercado de 
Valores Mobiliários e de Futuros, de Crédito Rural, de Crédito Industrial, 
de Crédito Habitacional e para Saneamento e Infra-Estrutura Urbana, de 
Endividamento Público e de Política Monetária e Cambial. 
 
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BANCO CENTRAL DO BRASIL (BC ou Bacen) 
O BC é a entidade criada para atuar como órgão executivo central do siste-
ma financeiro, cabendo-lhe a responsabilidade de cumprir e fazer cumprir as 
disposições que regulam o funcionamento do sistema e as normas expedidas 
pelo CMN. 
É de competência privada do BACEN: 
• emitir papel moeda e moeda metálica; 
• executar serviços de meio circulante; 
• receber os recolhimentos compulsórios dos bancos comerciais; 
• realizar operações de redesconto e empréstimos de assistência à li-
quidez às instituições financeiras; 
• regular a execução dos serviços de compensação de cheques e ou-
tros papéis; 
• efetuar, como instrumento de política monetária, operações de compra 
e venda de títulos públicos federais; 
• autorizar, normatizar, fiscalizar e intervir nas instituições financeiras; 
• controlar o fluxo de capitais estrangeiros, garantindo o correto funcio-
namento do mercado cambial. 
 
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Autoridades de apoio 
 
A Comissão de Valores Mobiliários: a CVM é um órgão normativo voltado 
ao mercado de ações e debêntures. Ela é vinculada ao Governo Federal e 
seus objetivos podem sintetizados em apenas um: o fortalecimento do mer-
cado acionário. 
O Banco do Brasil: até janeiro de 1986 o BB assemelhava-se a uma autori-
dade monetária mediante ajustamentos da conta movimento do BACEN e do 
Tesouro Nacional. Hoje, é um banco comercial comum, embora responsável 
pela Câmara de Confederação. 
O Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Soc ial: contando 
com recursos de programas e fundos de fomento, o BNDES é responsável 
pela política de investimentos de LP do Governo e, a partir do Plano Collor, 
também pela gestão do processo de privatização. É a principal instituição fi-
nanceira de fomento do Brasil por impulsionar o desenvolvimento econômico, 
atenuar desequilíbrios regionais, promover o crescimento das exportações, 
dentre outras funções. 
A Caixa Econômica Federal: a CEF caracteriza-se por estar voltada ao fi-
nanciamento habitacional e ao saneamento básico. É um instrumento gover-
namental de financiamento social. 
Instituições financeiras 
Os Bancos Comerciais: os BC são intermediários financeiros que transfe-
rem recursos dos agentes superavitários para os deficitários, mecanismo es-
se que acaba por criar moeda através do efeito multiplicador. Os BC's podem 
descontar títulos, realizar operações de abertura de crédito simples ou em 
conta corrente, realizar operações especiais de crédito rural, de câmbio e 
comércio internacional, captar depósitos à vista e a prazo fixo, obter recursos 
junto às instituições oficiais para repasse aos clientes, etc. 
Os Bancos de Desenvolvimento: o já citado BNDES é o principal agente de 
financiamento do governo federal. Destacam-se outros bancos regionais de 
desenvolvimento como, por exemplo, o Banco do Nordeste do Brasil (BNB), o 
Banco da Amazônia, dentre outros. 
As Cooperativas de Crédito: Equiparando-se às instituições financeiras, as 
cooperativas normalmente atuam em setores primários da economia ou são 
formadas entre os funcionários das empresas.No setor primário, permitem 
uma melhor comercialização dos produtos rurais e criam facilidades para o 
escoamento das safras agrícolas para os consumidores. No interior das em-
presas em geral, as cooperativas oferecem possibilidades de crédito aos fun-
cionários, os quais contribuem mensalmente para a sobrevivência e cresci-
mento da mesma. Todas as operações facultadas às cooperativas são exclu-
sivas aos cooperados. 
Os Bancos de Investimentos: os BI captam recursos através de emissão 
de CDB e RDB, de capitação e repasse de recursos e de venda de cotas de 
fundos de investimentos. Esses recursos são direcionados a empréstimos e 
financiamentos específicos à aquisição de bens de capital pelas empresas ou 
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subscrição de ações e debêntures. Os BI não podem destinar recursos a 
empreendimentos mobiliários e têm limites para investimentos no setor esta-
tal. 
Sociedade de Crédito, Financiamento e Investimentos : as "financeiras" 
captam recursos através de letras de câmbio e sua função é financiar bens 
de consumo duráveis aos consumidores finais (crediário). Tratando-se de 
uma atividade de alto risco, seu passivo é limitado a 12 vezes seu capital 
mais reservas. 
Sociedade Corretoras: essas sociedades operam com títulos e valores mo-
biliários por conta de terceiros. São instituições que dependem do BACEN 
para constituírem-se e da CVM para o exercício de suas atividades. As "cor-
retoras" podem efetuar lançamentos de ações, administrar carteiras e fundos 
de investimentos, intermediar operações de câmbio, dentre outras funções. 
Seguradoras: são enquadradas coo instituições financeiras segundo deter-
minação legal. O BACEN orienta o percentual limite a ser destinado aos mer-
cados de renda fixar e variável. 
Bancos Múltiplos: como o próprio nome diz, tais bancos possuem pelo me-
nos duas das seguintes carteiras: comercial, de investimento, de crédito imo-
biliário, de aceite, de desenvolvimento e de leasing. A vantagem é o ganho 
de escala que tais bancos alcançam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Por que os juros são tão altos? 
 
O Brasil tem uma das taxas mais altas do mundo -- e com ela é impossí-
vel crescer de verdade 
 
 
Em julho de2004, o Brasil estará comemorando sua primeira década de es-
tabilidade em muito tempo. Os dez anos do real foram marcados por taxas 
de inflação muito abaixo da média histórica -- mas também por crescimento 
fraco e investimentos produtivos aquém das necessidades. A combinação de 
resultados positivos no controle dos preços e comportamento medíocre na 
economia real tem intrigado os especialistas. A questão, levantada recente-
mente pelo economista Pérsio Arida ao receber o título de Economista do 
Ano, é entender por que o Brasil não tem conseguido unir crescimento e es-
tabilidade. "O Plano Real foi extremamente bem-sucedido em derrubar a in-
flação, mas claramente malsucedido em criar uma trajetória de crescimento 
elevado e sustentado", disse Arida, um dos pais do Real, em seu discurso de 
agradecimento durante a premiação. 
 
Um olhar sobre o comportamento dos juros no período ajuda a entender o 
problema. A economia brasileira tem ostentado nos últimos tempos a maior 
taxa do planeta. Desde 1994, os juros reais têm-se mantido sistematicamen-
te acima de 10% ao ano -- em 1998, bateram em inacreditáveis 27%. (Veja 
gráfico ao lado.) Enquanto isso, a maior parte dos países opera com taxas 
em torno de 2% -- ou ainda menores. "Há algo de específico na experiência 
brasileira com os juros", diz Arida. "Eles são absurdamente altos por qualquer 
critério que se tome." 
 
Exatamente por serem tão altos, os juros são tema obrigatório nas discus-
sões sobre a economia brasileira. Desde o começo do ano, não passa uma 
semana sem que alguma personalidade vocifere contra a política monetária 
da atual equipe econômica -- incluindo no grupo de críticos membros do alto 
escalão governamental, à frente o vice-presidente, José Alencar. Por mais 
que se possa compreender a insatisfação, o fato é que a maior parte dos que 
reclamam ainda não entendeu a natureza do problema brasileiro. Qualquer 
banco central do mundo tem a obrigação de subir os juros quando a inflação 
ameaça disparar -- e ninguém deveria atirar pedras em Henrique Meirelles, o 
presidente do BC, por ter feito isso. O grave, no caso brasileiro, não foi o 
aperto monetário dos últimos meses. O problema real, para Meirelles e os 
demais 170 milhões de brasileiros, é que a autoridade monetária simples-
mente não consegue fazer o contrário -- reduzir os juros para valer quando 
as coisas vão bem. É o que mostram as projeções dos economistas para o 
próximo ano. As apostas são de inflação de 7%, dentro da meta oficial. E de 
juros reais de cerca de 9% -- abaixo dos 14% projetados para este ano, mas 
ridiculamente altos em qualquer comparação internacional. "Com juros desse 
tamanho o custo do capital torna-se proibitivo", diz o economista Armando 
Castelar Pinheiro, do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea). "Aí 
fica difícil crescer." 
 
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O desafio, portanto, é entender o que deve ser feito para que os juros caiam 
de forma consistente. Para começo de conversa, é importante separar dois 
aspectos da questão. De um lado, há a taxa básica de juro -- aquela que o 
governo cobra por seus títulos. É uma espécie de piso para todas as demais 
taxas cobradas no país. De outro, há o chamado spread bancário, que é a 
diferença entre a taxa básica e o juro pago pelo tomador final. Na definição 
da taxa básica, importa a macroeconomia. Na do spread, a microeconômica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O principal problema macroeconômico do país -- e que tem efeitos diretos 
sobre a taxa básica de juro -- é o desequilíbrio das contas do governo. Quan-
do um governo gasta mais do que arrecada, ele é obrigado a recorrer ao di-
nheiro do setor privado para se financiar. Resultado: sobram menos recursos 
para as empresas -- e o preço do dinheiro sobe. Apesar de todo o esforço de 
ajuste dos últimos anos, o governo brasileiro continua registrando déficits em 
suas contas, forçando assim a taxa básica de juro para cima. 
 
O desequilíbrio fiscal tem outro impacto daninho: o de fazer subir o risco dos 
empréstimos ao país. Em qualquer negócio, o normal é cobrar mais barato 
de clientes que têm uma situação financeira melhor -- por serem aqueles que 
normalmente não causam problemas. Com países não é diferente. Em tem-
pos de globalização, os investidores estão sempre comparando os riscos que 
envolvem cada empréstimo -- e o Brasil acaba se dando mal nessa hora. A 
gastança promovida por anos de descontrole estatal produziu uma dívida pú-
blica de tamanho considerável. Embora o Brasil tenha melhorado muito o de-
sempenho fiscal desde a assinatura do acordo com o Fundo Monetário Inter-
nacional (FMI), em 1998, a dívida acumulada anteriormente ainda desperta 
dúvidas nos investidores. Conta também todo o passado de violações a con-
tratos, calotes, moratórias, choques econômicos, mudança de regras -- um 
ambiente de insegurança com o qual o governo Lula andou flertando perigo-
samente. "A história monetária do Brasil é marcada por episódios de violên-
cia, que se refletem nos juros", diz o economista Eduardo Giannetti. 
 
NAS ALTURAS
16
18,5
26,7
15,3
10,8
9
5,9
16,5
25
95 96 97 98 99 00 01 02 03
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Outro problema macroeconômico relevante diz respeito ao financiamento ex-
terno do país. O Brasil, como qualquer país, tem uma série de pagamentos a 
serfeitos a cada ano em moeda forte. Como o governo não pode fabricar dó-
lares, tem de garantir por outros meios que eles venham engordar o caixa do 
BC para que não faltem na hora dos desembolsos. Num cenário ideal, o país 
teria um amplo comércio com outros países -- e as exportações viabilizariam 
a entrada de divisas. Só que a maior parte das empresas brasileiras mal en-
gatinha no mercado internacional. Isso obriga o governo a ter de usar os ju-
ros para atrair capital sempre que haja turbulência à vista. Foi o que se viu 
durante o primeiro mandato do presidente Fernando Henrique Cardoso, 
quando a combinação de um regime de câmbio administrado com um ambi-
ente de crise nos mercados internacionais fez com que o Brasil estivesse 
sempre correndo atrás de dinheiro. A situação melhorou desde o começo de 
1999, com a desvalorização do real e a adoção do regime de câmbio flutuan-
te. "A média dos juros reais no período 1995-1998 foi de 21,5%, contra 
10,2% no período 1999-2002", diz o economista Fabio Giambiagi, do 
BNDES. "Isso mostra que o novo desenho macroeconômico já produziu ta-
xas mais baixas." De todo modo, enquanto o Brasil não aprofundar as rela-
ções comerciais com outros países, continuará sujeito às flutuações dos 
mercados externos. 
 
Se o governo conseguir avançar nos dois fronts -- fiscal e externo --, dará 
passos sólidos para fazer com que a taxa básica recue para níveis mais civi-
lizados. Mas ainda restaria resolver o outro lado da equação: o spread ban-
cário. Atualmente os juros básicos estão em 22% ao ano. Só que o consumi-
dor final chega a pagar taxas de 180% ao ano se tiver de usar o cheque es-
pecial. Portanto, tão ou mais importante que reduzir a taxa básica é trabalhar 
para atenuar a enorme diferença até o tomador final. 
 
Uma primeira maneira de encurtar essa distância depende apenas do gover-
no -- e nada melhor do que aproveitar a reforma tributária para esse fim. Há 
uma série de impostos que incidem nos empréstimos, como o Imposto de 
Renda, a Contribuição Social sobre o Lucro Líquido, a CPMF e vários outros. 
Somados, chegam a 25% do spread total, segundo estudo do Banco Central. 
(Veja gráfico 02.) "A taxação encarece o crédito e complica o sistema", diz 
Giambiagi. Infelizmente, a reforma aprovada pelos deputados pouco afeta o 
custo do crédito. 
 
Outro componente importante do spread é o custo da inadimplência. Segun-
do o BC, ela responde por 35% do total. Como a maior parte dos brasileiros 
paga as contas em dia, o peso da inadimplência chama a atenção. O aparen-
te paradoxo pode ser explicado pela dificuldade que os bancos têm em co-
brar empréstimos não pagos. "A Justiça não faz valer os contratos, mas julga 
se há um dos lados sendo prejudicado por ele", diz o economista José Már-
cio Camargo, da consultoria Tendências. O resultado é que o risco de não-
recebimento acaba fazendo com que a conta fique salgada para to dos. Há 
um único caso em que é relativamente fácil retomar o dinheiro em caso de 
calote: o empréstimo para a compra de automóveis. "Como há uma garantia, 
é um dos empréstimos mais baratos do país", diz o economista Pedro Caval-
canti Ferreira, da Fundação Getulio Vargas. 
 
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Há também uma fatia considerável do spread por conta de custos de admi-
nistração elevados e do lucro bancário. Isso pode estar refletindo uma situa-
ção de competição relativamente baixa no setor. Foi o que concluiu um estu-
do realizado recentemente por Agnès Belaisch, pesquisadora do Fundo Mo-
netário Internacional. "Os bancos brasileiros são lucrativos mas menos efici-
entes do que os de outros países da América Latina, dos Estados Unidos, da 
Europa e do Japão. Custos operacionais representam uma grande fatia das 
receitas. Uma possível explicação é que há pouca competição no setor. Os 
bancos brasileiros agem de maneira oligopolista", escreveu Belaisch. 
 
Por fim, o spread também é muito alto pelo simples fato de que o consumidor 
brasileiro aceita pagá-lo. Há aí um certo mistério. O que leva algumas pesso-
as a comprar um produto a prazo, pagando juros absurdos, em vez de pou-
par o dinheiro e comprá-lo à vista? Difícil saber. O certo é que os juros altos 
denotam certa impaciência dos brasileiros -- que preferem o consumo imedi-
ato mesmo que isso implique um custo elevado. É o que faz com que o país 
tenha uma taxa de poupança interna tão baixa. "Talvez seja resultado da 
própria distribuição de renda", diz Giannetti. "Quem é pobre tem pressa em 
consumir, ainda que o custo dos juros seja alto." 
Gráfico 02 
O PREÇO DO DINHEIRO
18%
22%
14%11%
35%
 
 
IImmppoossttoo ddee RReennddaa ee CCoonn--
tt rr iibbuuiiççããoo ssoocciiaall 
DDoo lluuccrroo ll ííqquuiiddoo 
IImmppoossttooss IInnddiirreettooss ee 
CCPPMMFF 
IInnaaddiimmppllêênncciiaa 
LLuuccrroo ddoo BBaannccoo 
DDeessppeessaa AAddmmiinniissttrraatt iivvaa 
Fonte: Banco Central 
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FUNÇÃO FINANCEIRA NA EMPRESA 
 
 
 
Uma das maneiras pela qual podemos definir a função financeira em uma 
empresa seria pelo organograma funcional no qual teríamos a seguinte dis-
tribuição de funções: 
 
 
 
 DIRETOR FINANCEIRO 
 
 
 
 TESOUREIRO CONTROLADOR 
 
 Ctas a pagar/receber Contabilidade geral 
 relações bancárias auditoria Interna 
 caixa orçamentos. 
 
 
O objetivo da função financeira compreende os esforços destinados á maxi-
mização da riqueza dos proprietários. Como pode-se notar este é um objetivo 
de longo prazo, contrario a visão imediatista de se obter o lucro máximo. 
 
 
As atribuições do administrador financeiro envolvem desde a obtenção e ava-
liação de recursos ( próprios ou de terceiros) para as atividades ou expansão 
da empresa, até avaliação de como esses recursos estão sendo utilizados na 
diversas áreas. Se formos detalhar estas atribuições poderíamos enumerar. 
 
1º) Análise de registros contábeis 
2º) Projeção de movimento de fundos 
3º) Aplicações financeiras 
4º) Perspectivas financeiras da empresa 
5º) Elaboração de planos para utilização de fundos 
 
As principais áreas de decisão da administração fin anceira são: 
 
1º) Investimento 
2º) Financiamento 
3º) Utilização do lucro liquido 
 
 
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ENGENHARIA. ECONÔMICA – Prof.:Ms. Scandiuzzi - Copyright  - 2008 12
INTRODUÇÃO Á ENGENHARIA ECONÔMICA 
 
Os estudos sobre engenharia econômica iniciaram nos Estados Unidos em 
1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro "The Economic Theory of 
Railway Location", texto que sintetizava análise de viabilidade econômica pa-
ra ferrovias. 
Engenharia econômica é importante para todos que precisam decidir sobre 
propostas tecnicamente corretas, e seus fundamentos podem ser utilizados 
tanto para empresas privadas como estatais. 
Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática fi-
nanceira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. 
 
Podem-se citar como exemplos de aplicação: 
 
• Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia 
transportadora; 
• Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou finos; 
• Substituição de equipamentos obsoletos; 
• Comprar carro a prazo ou à vista. 
Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem 
ser considerados, 
 
sendo os seguintes: 
 
a) devem haver alternativas de investimentos. É infrutífero calcular se é van-
tajoso comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro 
para tal; 
 
b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro. Não á possível compa-
rar diretamente 300 horas/mensais de mão de obra com 500 Kwh de energia. 
Convertendoos dados em termos monetários teremos um denominador co-
mum muito prático. Alguns dados entretanto são difíceis de converter em di-
nheiro. Exemplos que ocorrem muito nos casos reais são: boa vontade de 
um fornecedor, boa imagem da empresa ou status. São os chamados intan-
gíveis; 
 
c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para 
decidir sobre o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos 
mesmos se forem idênticos; 
 
d) sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado. Sempre 
existem oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda al-
guma coisa. Ao se aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de 
ser esta a maneira mais rendosa de utilizá-lo; 
 
e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado; inte-
ressa-nos o presente e o futuro. A afirmação: não posso vender este carro 
por menos de $ 10000 porque gastei isto com ele em oficina não faz sentido, 
o que normalmente interessa é o valor de mercado do carro. 
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O Problema Central da Engenharia Econômica 
 
a. Definição do Problema – principal problema é a aquisição de dados 
 
b. Determinação das Alternativas Tecnicamente Vi áveis – traçar linhas de 
ação tecnicamente viáveis, daí o nome Engenharia Econômica. 
 
c. Determinação e Avaliação Quantitativa das Diferença s Futuras – van-
tagens e desvantagens devem ser identificadas e quantificadas. 
 
d.Comparação e Escolha da Melhor Alternativa – métodos de comparação 
e critérios de decisão que permitam representar cada alternativa por um nú-
mero e que indiquem a solução mais econômica. 
 
e. Inclusão dos Fatores Imponderáveis e Modificação da Decisão Ante-
rior se for o Caso – fatores como prestígio e imagem da empresa, valor 
promocional, satisfação dos empregados, receptividade dos clientes, não po-
dem ser expressos em dinheiro. Neste caso, a solução é realizar o estudo 
econômico, irrelevando tais fatores imponderáveis, analisar os resultados ob-
tidos e mudar a decisão se for o caso. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
Os fatores sociais como: 
 
1. efeitos externos gerados pelo projeto, sejam eles negativos (poluição, des-
truição da fauna ou da flora, etc.) ou positivos (aproveitamento para pesca e 
turismo de um lago resultante do represamento para geração de energia, 
etc.) 
 
2. distorções de preço dos fatores de produção, ocasionados por oferta e 
procura como (mão-de-obra, matérias-primas, etc.) 
 
3. o enquadramento do projeto nos planos governamentais, etc. são chama-
dos "análise social do projeto" ou "análise custo-benefício" e é uma extensão 
da análise privada, análise de rentabilidade, viabilidade econômica ou enge-
nharia econômica. 
 
A Engenharia Econômica só considera um atributo: o Financeiro 
 
 Definição de Engenharia Econômica 
 
 Engenharia Econômica são os métodos e técnicas de decisão, empregados 
na escolha entre alternativas de investimento tecnicamente viáveis, nas quais 
as diferenças futuras são expressas em termos de dinheiro. 
 
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Objetivo da Engenharia Econômica 
 
Analisar alternativas de investimentos 
 
Os critérios de aprovação de um projeto são os segu intes: 
 
• Critérios financeiros: disponibilidade de recursos; 
• Critérios econômicos: rentabilidade do investimento; 
• Critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro. 
 
Neste curso, a atenção especial será sobre os critérios econômicos, ou seja, 
a principal questão que será abordada é quanto a rentabilidade dos investi-
mentos. 
 
Todos os métodos e critérios de avaliação de alternativas de investimento 
baseiam-se no princípio da equivalência. A comparação das alternativas só 
poderá ser realizada quando o investidor estabelecer uma medida de equiva-
lência. Esta medida e comumente chamada de Taxa mínima de Atratividade, 
Taxa mínima Atrativa de Retorno de um Investimento, ou, Taxa Interna de 
Retorno (IRR-Internal Rate of Return). 
 
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO: 
 
O conceito de equivalência está ligado, intimamente, à capacidade do dinhei-
ro gerar lucros (juros). Não se pode comparar valores absolutos de dinheiro 
em épocas ou datas diferentes. Esta comparação dependerá da taxa de ju-
ros que se atribuir ao dinheiro. Sempre iremos supor que o dinheiro poderá 
ser investido em alguma atividade produtiva que nos irá fornecer uma certa 
quantia de juros que serão a remuneração do investimento. 
 
A taxa de rendimento mínima que esperamos de nosso investimento é calcu-
lada em função da situação prevista para o mercado financeiro e do risco que 
atribuímos ao investimento. 
 
A taxa mínima atrativa de retorno* de um investimento é portanto, total-
mente subjetiva, podendo variar de pessoa para pessoa, de empresa para 
empresa, de ramo de negócio para ramo de negócio, etc.. 
* Veremos nos próximos capítulos 
 
Recomenda-se utilizar em um estudo econômico, as estimativas sempre em 
moeda corrente, incluindo-se, portanto, a inflação, ou seja, a expectati-
va de inflação pode ser incorporada à taxa mínima d e atratividade , sem 
qualquer problema. Todavia, se as estimativas forem feitas em moeda cons-
tante, eliminado-se o efeito da inflação, a taxa mínima de atratividade não 
estará incluindo a taxa de inflação. Também, pode-se não considerar a des-
pesa oriunda do imposto de renda, que é uma percentagem do lucro líquido, 
e que faz com que ocorram duas taxas mínimas de atratividade : uma antes 
do imposto de renda e outra depois do imposto de renda. 
 
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INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
No mundo moderno, a Matemática Financeira reúne conhecimentos impor-
tantes utilizados por profissionais das mais diversas áreas. Apoiados por cal-
culadoras ou computadores, estes profissionais podem, em segundos, resol-
ver complicadas situações de decisão financeira. A escolha de alternativas 
de investimentos na atividade produtiva, por exemplo, conta com instrumen-
tos de cálculo cuja base está na Matemática Financeira. Mas não somente 
para os estudos mais sofisticados das empresas esta disciplina é necessária. 
Decisões como escolher a melhor alternativa de compra de um imóvel, finan-
ciar ou comprar à vista um eletrodoméstico e identificar qual o desconto mais 
interessante para a antecipação de um pagamento encontram-se entre as 
inúmeras aplicações da Matemática Financeira no dia-a-dia das pessoas. 
No entanto, embora contando com recursos tão formidáveis, como algumas 
calculadoras financeiras ou mesmo as planilhas eletrônicas tão populares, é 
necessário dominar os conceitos básicos da Matemática Financeira, sob pe-
na de se operar estes instrumentos poderosos apenas em alguns casos mais 
comuns. No mundo real dos negócios, surge uma infinidade de problemas 
cujas soluções estão baseadas na aplicação dos fundamentos desta discipli-
na. 
 
Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor R$ 1,00 daqui a 
um ano. Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinhei-
ro envolvido numa transação financeira varia com o tempo . Em geral, 
todo empreendimento envolvendo dinheiro necessita de avaliação periódicas, 
antes de ser aceito e no decorrer do prazo até a data final do empreendimen-
to. Portanto, necessitamos de procedimentos de avaliação do resultado de 
uma operação em qualquer data. A Matemática Financeira é a disciplina 
dedicada ao estudo do comportamento do dinheiro em função do tem-
po . 
 
O principal objetivo deste trabalho é a transmissão de conhecimentos funda-
mentais de Matemática Comercial e financeira aplicados à resolução de situ-
ações práticas emergentes no dia-a-dia das empresas. 
 
Uma advertência deve ser feita àqueles que pretende m estudar Matemá-tica Financeira ou se dedicar a algum trabalho ness a área. São exigidos 
desses estudantes e profissionais análise atenta do s problemas que 
querem resolver, compreensão clara das operações fi nanceiras ali en-
volvidas e familiaridade não só com a linguagem dos negócios, como 
também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se 
consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se 
lançam na área pela primeira vez. 
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PORCENTAGEM 
 
 É freqüente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em 
preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. 
Alguns exemplos: 
 
A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 
 
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 
 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
 Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 
 Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para conseqüente o número 100 denomina-se ra-
zão centesimal . Alguns exemplos: 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou ta-
xas percentuais . 
 
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Considere o seguinte problema: 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
 
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) so-
bre o total de cavalos. 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 
Exercícios de Porcentagem 
 
1. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pes-
soas serão aprovadas num concurso público com 6.500 inscritos? 
 
 
 
2. Sabendo que um artigo de R$ 5.000,00 foi vendido com abatimento de R$ 
160,00 encontrar a taxa utilizada na operação? 
 
 
 
3. Poderei obter abatimento de 15% para pagamento à vista na compra de 
uma geladeira que custa R$ 900,00. Quanto pagarei pela geladeira nestas 
condições? 
 
 
4. Calcular a porcentagem que: 
 
a) 10 representa em 50; 
b) 2 representa em 40; 
c) 30 representa em 120; 
d) 5 representa em 80; 
e) 2,43 representa em 81; 
f) 0,42 representa em 42. 
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NOMENCLATURA USADA NA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
A Matemática Financeira teve seu início exatamente quando o homem criou 
os conceitos de Capital, Juros, Taxa e Montante. Daí para frente, os cálculos 
financeiros tornaram-se mais justos e exatos, mas é preciso conhecê-los, se 
possível muito bem. 
 
Veja então esses conceitos: 
 
iiii = do inglês Interest, taxa de juros é o índice que determina a remuneração 
de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos 
etc.). 
 
A taxa de juros pode ser apresentada de duas formas – no formato percen-
tual ou no unitário, por exemplo: 
 
- Taxa percentual: 34% ao mês, 10% ao semestre, 12% ao ano etc. 
 
- Taxa unitário: 0,34 ao mês; 0,10 ao semestre; 0,12 ao ano etc. 
 
No exemplo acima você percebeu que 34% ao mês nada mais é que 
 34,0100
34 = 
 
PV = Capital é o valor – normalmente dinheiro – que você quer aplicar ou 
emprestar. Também chamado Capital Inicial ou Principal, representado pela 
letra “PV”. (Valor presente – abreviações das palavras em inglês a Present 
Value. No curso adotaremos a terminologia “PV” 
 
PMT = Valor das prestações iguais de uma série uniforme. 
 
FV = do inglês a Mount, Montante (M) ou valor Futuro (FV – abreviação das 
palavras correspondentes em inglês a Future Value) é o capital inicial acres-
cido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pe-
la letra “FV”(capital + juros). 
 FV=PV + J . 
 
J= Juro é a remuneração do capital empregado. 
 
PARA O INVESTIDOR: é a remuneração do investimento. 
 
PARA O TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo. 
 
Existem dois regimes de juros: 
 
(a) Simples; 
 (b) Compostos 
 
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n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau 
usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao 
período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financei-
ra. Lembre-se da expressão: “ Levou n dias para devolver o dinheiro...” 
 
a.d. = abreviação usada para designar ao dia 
 
a.m. = abreviação usada para designar ao mês 
 
a.b. = abreviação usada para designar ao bimestre 
 
a.t. = abreviação usada para designar ao trimestre 
 
a.q. = abreviação usada para designar ao quadrimestre 
 
a.s. = abreviação usada para designar ao semestre 
 
a.a. = abreviação usada para designar ao ano 
 
d = do inglês Discount, é usado para representar o desconto conseguido nu-
ma aplicação financeira. 
 
N = do inglês Nominal, é usado para representar o valor Nominal ou de face 
de um documento financeiro. 
 
A = do inglês Actual, é usado para representar o valor real ou atual de um 
documento financeiro em uma determinada data. 
 
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TAXAS EQUIVALENTES 
 
Vamos definir o que quer dizer “taxas equivalentes ”. Em linguagem simples, 
é quando você quer verificar se duas taxas quando aplicadas em determina-
do lapso de tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo 
valor. E isso é fundamental só que há diferentes formas de avaliar uma equi-
valência de taxas conforme o regime. Assim, vamos por partes ou regime, 
como preferir: 
 
Equivalência entre duas taxas no regime de juros c omposto 
Se você quer passar de uma unidade de tempo “menor” para uma “maior”, 
como de mês para ano, você eleva a taxa de juros pelo número de períodos 
correspondente. Se for o contrário como por exemplo de ano para mês, você 
eleva ao inverso do período. 
 
Tabelas e conversões necessárias: 
 
De taxa mensal para taxa anual = > ( ) 11 12 −+= imia 
 
De taxa diária para taxa mensal = > ( ) 11 30 −+= idim 
 
De taxa diária para taxa anual = ( ) 11 360 −+= idia 
 
De taxa anual para taxa mensal = > ( ) 11 12/1 −+= iaim 
 
De taxa mensal para taxa diária = > ( ) 11 30/1 −+= imid 
 
De taxa anual para taxa diária = > ( ) 11 360/1 −+= iaid 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1. Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? 
 
2. Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 
 
3. Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia? 
 
4. Determine a taxa semestral equivalente a 45% ao ano? 
 
 
5. Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalente à 
taxa de: 
 
a) 30% ao ano Respostas: 
 
am= 
 
 
at= 
 
 
as= 
 
b) 20% ao semestre Respostas: 
 
at= 
 
 
am= 
 
 
aa= 
 
c) 8% ao trimestre Respostas 
 
aa= 
 
 
am= 
 
 
as= 
 
d) 3% ao mês Respostas: 
 
aa= 
 
 
as= 
 
 
at= 
 
 
6. Dada a taxa de 9% por trimestre, qual a taxa mensal equivalente de juros 
compostos? 
 
7. Supondo que um capital de R$ 1.200,00 vai ser aplicado à taxa de juroscompostos de 15% por trimestre ou 70% ao ano, qual é a melhor aplica-
ção? 
 
8. Um certo capital de R$ 2.500,00 foi aplicado por 2 anos, a taxa de 60% 
ao ano. Com capitalização semestral. Calcule o valor do montante e qual 
a taxa semestral? . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conceitos financeiros básicos 
 
1º) JUROS SIMPLES 
 
Quando somente o principal rende juros. 
 
FV = PV * (1 + n*i) 
onde: 
FV - valor do montante após n períodos 
PV - valor presente do montante 
n - número de períodos 
i - taxa de juros 
 
A utilização do conceito juro simples se da no mercado financeiro através da 
denominação de “taxa linear” apesar da sua pouca utilização pode ser en-
contrada em algumas transações de CDEN (Certificado de Depósito de 
Export Note ). 
 
Exemplo: O valor de $ 100,00 é aplicado pôr três meses a uma taxa linear de 
10% am, qual o seu valor no final do período?. 
 
FV = ? ; P = 100,00; i = 0,10 ; n = 3 
 
FV = 100 x (1 + 3 * 0,10) = 130,00 
 
 
2º) JURO COMPOSTO 
 
Quando os rendimentos são incorporados ao principal e passam também a 
receber juro. 
 
ni)(1*PVFV += 
 
onde: 
FV = valor do montante após n períodos 
PV = valor presente do montante 
i = Taxa de juro 
n = número de períodos 
 
 
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Exemplo: O montante de $ 100,00 é aplicado pôr três meses a uma taxa ex-
ponencial de 10% am, qual o seu valor no final do período. 
FV = ? ; PV = 100 ; n = 3 ; i = 0,10 
FV = 100 * (1+0,10)3 = 133,10 
 
3º) FATOR DE VALOR PRESENTE 
 
O que se precisa determinar é o valor presente (PV) equivalente a um valor 
futuro (FV) a uma taxa de juros (i) durante (n) períodos. 
 ni
FV
PV
)1( +
=
 
 
 
Na prática este conceito significa : “o máximo que se pode pagar pôr um in-
vestimento conhecendo-se a sua taxa de remuneração. 
 
Exemplo: Sabendo-se que a taxa de remuneração de um título qualquer é de 
10% am durante 3 meses e o seu valor futuro é de $133,10 qual é o máximo 
que se pode pagar pôr este título hoje?. 
PV = ? ; FV = 133,10 ; i = 0,10 ; n = 3 
 
00,100
)10,01(
10,133
3
=
+
=PV 
 
Máximo que se poderia pagar é $ 100,00 pois se pagássemos $110,00 o 
que teríamos seria: 
 
PV = 110,00 ; i = 0,10 ; n = 3 ; S = ? 
 
41,146)10,01(*110 3 =+=FV ou seja para obtermos a mesma remune-
ração teríamos de obter no dia do resgate o valor de $ 146,41. 
 
 
 
4º) FATOR DE VALOR FUTURO PARA UMA SÉRIE UNIFORME: 
 
A pergunta que queremos responder neste caso é : Qual o montante (FV) 
equivalente a uma série uniforme (PMT) de pagamentos ou recebimentos, 
a uma taxa de juros (i) durante (n) períodos. 
( )







 −+
i
i n 11
*PMT=FV
 
 
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Exemplo: Se pagarmos, mensalmente a prestação de um carro no valor de $ 
1.000,00 , qual o valor futuro do carro após 4 meses a uma taxa de juro de 
2% am?. 
 
 
 
5º) FATOR DE FUNDO DE AMORTIZAÇÃO 
 
Neste caso temos o valor futuro de investimento (FV) e desejamos obter a 
série uniforme (PMT) equivalente, durante (n) períodos a uma taxa de ju-
ros(i). 
 
( ) 




−1i+1
i
*FV=PMT n 
 
Exemplo: Quanto deverei aplicar anualmente durante 7 anos a uma taxa de 
juros e de 8% aa. A fim de se obter no final do sétimo período a quantia de $ 
200.000,00? 
 
PMT=? ; FV = 200.000 ; n = 7 ; i = 0,08 
 
( ) 48,414.22108,01
08,0
*000.200 7 =





−+
=PMT 
 
6º) FATOR DE VALOR ATUAL PARA UMA SÉRIE UNIFORME :(Formação 
do Capital) 
Neste tipo de problema o que se deseja determinar é a relação entre o valor 
presente e a série uniforme, sendo assim dado o valor a ser retirado ou de-
positado periodicamente (série uniforme = PMT), deseja-se saber qual é o 
principal (PV) que deve ser (des)investido a uma taxa de juros (i) no período 
considerado (n) para se dispor das parcelas (PMT) no fim de cada período. 
 
( )
( ) 




+
−+=
ii
i
PMTPV n
n
*1
11
*
 
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Exemplo: Quanto deveríamos dispor hoje a uma taxa de juros de 1% am, pa-
ra manter uma máquina que durante 1 ano terá os seguintes dispêndios 
mensais:Operador = $120,00 ; Energia/Lubrificante $75,00; Manutenção pro-
gramada $50,00 
 
( )
( ) 50,757.201,0*01,01
101,01
*245 12
12
=





+
−+=PV 
 
 
7º) FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL 
 
Neste caso desejamos responder a seguinte pergunta: Qual o valor da série 
uniforme (PMT) que deve ser retirado ao final de cada período (n), a fim de 
se esgotar o principal (PV) investido a uma taxa de juros (i). 
 
 
( )
( ) 




−+
+=
11
*1
* n
n
i
ii
PVPMT
 
 
Exemplo: Desejo aplicar hoje $ 300.000,00 pôr três anos a uma taxa de juros 
de 20% aa, quanto poderei resgatar no instante final de cada ano? 
 
PMT = ?; PV = 300.000 ; i = 0,20 ; n = 3 
 
( )
( ) 58,417.142120,01
20,0*0,20+1
*300.000 = PMT 3
3
=





−+ 
 
 
 
8º) TAXAS EQUIVALENTES 
 
Um fato que normalmente ocorre no mercado financeiro é o de se traba-
lhar com taxas que não correspondem ao período efetivo da aplicação, pa-
ra tanto é necessário encontrarmos uma taxa equivalente ao período do 
investimento para depois se conhecer o valor de resgate. 
 
( ) 100*1taxa+1=Ei% TENHO)fornecida( taxada dias em prazo
UERO)desejada(Q taxada dias em prazo








−
 
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ENGENHARIA. ECONÔMICA – Prof.:Ms. Scandiuzzi - Copyright  - 2008 26
Exemplo: Um CDB para 32 dias paga uma taxa 2.500% aa, qual o rendi-
mento bruto para os 32 dias Tx. do período dado = 2.500% ou 25; prazo 
taxa = 360 dias; prazo da aplicação = 32 
 
( ) %59,33100*125+1=Ei%
360
32
=








−
 
Exemplo: Qual a taxa equivalente para um período de um ano para uma 
aplicação que rende 0,5% am? 
Tx. do período dado = 0,5% ou 0,005 
prazo = 1 mês 
prazo da aplicação = 1 ano ou 12 meses. 
 
 
( ) . %1678,6100*10,005+1=Ei% 1
12
aa=





−
 
 
9º) NÚMERO ÍNDICE 
 
O conceito de número índice que iremos trabalhar será para basicamente 
montarmos rendimentos de títulos pós fixados. 
 
a-) Títulos Pós Fixados - estes títulos tem como características básicas a 
correção pôr um indexador qualquer mais juros. 
 
Fator de indexador = (1+ Index1) * (1+Indexn) 
Fator de valorização = Fator de Indexador * (1+ Ei) 
Valor Final = Fator de valorização * valor investid o 
 
Exemplo: Um titulo pós fixado tem como rendimento IGMP + 25%aa e o 
prazo de aplicação é de 1 mês de 31 dias, e valor da aplicação é de $ 
100.000,00. 
 
Tx.período dado = 0,25 p/360 dias; prazo da aplicação = 31 dias ; IGPM 
do mês = 26,23%⇒ indexador = 0,2623; 
 
( ) %94,1100*10,25+1=Ei% 360
31
=





−
 
 
Fator de índexador = 1 + 0,2623 = 1,2623 
Fator de valorização = 1,2623 *(1+0,0194)=1,2686789 
Valor Final = 100.000 * 1,286789 = 128.678,90 
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Exemplo: Um investimento em CDI de 90 dias no banco XYZ paga IGPM 
mais 28 aa , convencidos de obter um bom rendimento aplicamos $ 
100.000,00 qual o valor de resgate sabendo-se que : IGPM do 1º mês = 
25,00% ; IGPM 2º mês = 26,23%; IGPM do 3º mês = 28,30%. 
 
 
( ) %365,6100*10,28+1=Ei% 360
90
=





−
 
 
Fator indexador = 1,25 * 1,2623 * 1,2830 = 2,02441 
 
Fator de valorização = 2,02441 * (1+0,06365) = 2,153263 
 
Valor Final = 100.000 * 2,153263 = 215.326,30 
 
10º) DESCONTO COMPOSTO 
 
O conceito de desconto em juro composto é similar ao de desconto em juro 
simples. 
 
A fórmula é: 
 
( )ni1
N
 A 
+
=
 
 
Exemplo: 
 
Suponhamos quevocê quer descontar um título de R$ 25.000,00, 2 meses 
antes do vencimento, de um banco que utiliza uma taxa de juro composto de 
3% a.m. Calcule o valor atual do título. Aplicando a fórmula: 
 
A: (atual) o que você quer saber (incógnita) 
 
N:(Valor Nominal) R$ 25.000,00 
 
i = 3% a.m. = 0,03 
 
n = 2 meses 
 
Logo: 
( ) 23.564,90 R$ 0,031
25.000
 A 
2
=
+
=
 
 
 
 
 
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ENGENHARIA. ECONÔMICA – Prof.:Ms. Scandiuzzi - Copyright  - 2008 28
EXERCÍCIOS 
 
 
1º) Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas men-
sais de $ 2.500,00 cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira 
é de 4,75% am calcular o valor do empréstimo. R: 22.473,89 
 
 
 
 
2º) O valor de aplicação de um titulo é de $ 1.500,00 o montante resgatado 
foi de $ 2.162,30 sendo o prazo da aplicação de 30 dias, calcular a taxa ao 
ano deste título. R: 7.949% 
 
 
 
 
 
 
3º) Uma empresa investe hoje $ 2.000,00 quanto ela terá de obter de lucro 
mensal para reaver o investimento de 4 meses a uma taxa de juros de 10% 
am. R: 630,94 
 
 
 
 
 
4º) A empresa XYZ está preocupada com o desenvolvimento de um produto 
que espera colocar no mercado ao final de 12 meses . Estima-se que os cus-
tos de propaganda e distribuição na época do lançamento estarão por volta 
de $ 200.000,00 para que não haja problema financeiro para colocar o produ-
to no mercado quanto a empresa terá de poupar de sua receita mensal a 
uma taxa de juros 1% am. R: 15.769,76 
 
 
 
 
 
5º) Que importância daqui a 5 anos justificaria um investimento de $ 2.000,00 
hoje a uma taxa de juros de 0,7974% am. R: 3.220,99 
 
 
 
 
6º) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, fal-
tando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, saben-
do que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês. R: 6.314,00 
 
 
 
 
 
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7º) João leu em um jornal que, no estado de Tocantins. Era possível com-
prar por $ 1.000,00 á vista, um lote de dez acres. João decidiu economi-
zar uma importância constante ao final de cada mês, de modo a ter $ 
1.000,00 ao cabo de um ano. A instituição de crédito local paga a taxa de 
0,5% de juro ao mês, capitalizados mensalmente. Quanto João deve de-
positar mensalmente. R: 81,06 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Em 1º de janeiro uma pessoa deposita $ 5.000,00 em uma instituição 
de crédito que paga a taxa de 8% aa. de juros. O depositante deseja reti-
rar todo dinheiro em cinco parcelas iguais ao final de cada ano. A come-
çar de 31 de dezembro do primeiro ano. Quanto pode retirar a cada 
ano?.R: 1.252,28 
 
 
 
 
 
 
 
 
9º) Um investidor possui um contrato que lhe dá direitos sobre o uso de 
certa maquinaria. O contrato prevê recebimentos de $ 140,00 ao final de 
cada mês, durante um prazo de cinco anos. O primeiro pagamento vence 
daqui a um mês. O investidor propõe vender o contrato hoje por $ 6.800. 
Se o leitor pode aplicar seu dinheiro á taxa de 1% ao mês, aceitaria ou re-
jeitaria a oferta do investidor. R: 6.293,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10º) Uma pessoa deposita $ 500,00 em uma instituição de crédito ao fim 
de cada ano, durante cinco anos. A instituição paga taxa de 5% de juro ao 
ano. Qual será o montante acumulado ao final de cinco anos, imediata-
mente após o quinto depósito? R: 2.762,81 
 
 
 
 
 
 
 
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11º) O valor de $ 10.000,00 foi aplicado a taxa efetiva de 360% aa., du-
rante 1 ano. Calcule o montante considerando: 
a)capitalização semestral; R: 114,48% 
b)capitalização trimestral; R: 46,45% 
c)capitalização mensal. R: 13,56% 
 
12º) Calcular o valor atual de um título de $ 10.000,00, regatado 4 anos 
antes do vencimento, a 10% aa. R: 6.830,13 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO PRICE 
(SFA) 
 
O sistema Price consiste na devolução do principal mais juros em prestações 
de valor igual e de mesmo intervalo entre as parcelas. 
A taxa de juros sempre deverá corresponder ao período de amortização. 
A parcela de juros é obtida multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo deve-
dor existente no período imediatamente anterior. 
A parcela de amortização consiste na diferença entre a prestação e o valor 
da parcela de juros. 
Assim, o valor da parcela de juros referente à primeira prestação de uma sé-
rie de pagamentos é igual a taxa multiplicada pelo valor do capital empresta-
do ou financiado. 
Antecipado � 1ª prestação na data do empréstimo ou seja no ato. 
Postecipado � após n períodos (dias, mês, ano, etc.) 
SFA – Price com prazo de utilização unitário e sem carência 
 
Dá-se quando o credor entrega numa só parcela o valor financiado ao 
devedor. 
 
Exemplo:Um banco empresta $ 300.000,00, entregues no ato, sem ca-
rência. Sabendo-se que o banco utiliza o (SFA) á taxa de juros e de 
12% aa. e o principal deverá ser amortizado em 5 parcelas anuais, de-
terminar o valor das prestações e construir a planilha. 
 
PV = 300.000 
PMT = ? 
n = 5 
i = 0,12 
 
( ) n−+= i1-1
i * PV
 PMT
 
 
( ) 83.222,92 $ PMT0,432573
36.000
0,567427-1
36.000
0,121-1
0,12 * 300.000
 PMT 5- =⇒⇒⇒+
=
 
 
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Planilha de Amortização 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 83.222,92 36.000,00 47.222,92 252.777,08 
2 83.222,92 30.333,25 52.889,67 199.887,41 
3 83.222,92 23.986,49 59.236,43 140.650,98 
4 83.222,92 16.878,12 66.344,80 74.306,18 
5 83.222,92 8.916,74 74.306,18 0,00 
Total 416.114,60 116.114,60 300.000,00 
 
300.000 * 0,12 = 36.0000 � Juros 
83.222,92 – 36.000 = 47.222,92 � Amortização 
300.000 – 47.222,92 = 252.777,08 � Saldo devedor 
252.777,08 * 0,12 = 30.333,25 � Juros 
83.222,92 – 30.333,25 = 52.889,67 � Amortização 
252.777,08 – 52.889,67 = 199.887,41 � Saldo devedor 
. 
. 
. 
 
SFA – Price com prazo de utilização unitário e com carência 
 
Ocorre quando o credor entrega o valor financiado ao devedor numa só par-
cela, mas vai recebe-lo em prestações após um prazo determinado de ca-
rência. 
 
⇒ Juros Pagos durante a carência 
 
Exemplo: Um banco empresta $ 300.000, entregues no ato, com a primeira 
amortização realizada 3 anos após o empréstimo e os juros pagos durante 
a carência . O banco cobra 12% a.a de juros e o principal deverá ser restituí-
do em 5 parcelas anuais antecipadas , pelo SFA. 
 
PV = 300.000 
PMT = ? 
n = 5 
 i = 0,12 
 
( ) n−+= i1-1
i * PV
 PMT
 
 
( ) 83.222,92 $ PMT0,432573
36.000
0,567427-1
36.000
0,121-1
0,12 * 300.000
 PMT 5- =⇒⇒⇒+
=
 
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Planilha de Amortização 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 36.000,00 36.000,00 300.000,00 
2 36.000,00 36.000,00 300.000,00 
3 83.222,92 36.000,00 47.222,92 252.777,08 
4 83.222,92 30.333,25 52.889,67 199.887,41 
5 83.222,92 23.986,49 59.236,43 140.650,98 
6 83.222,92 16.878,12 66.344,80 74.306,18 
7 83.222,92 8.916,74 74.306,18 
Total 488.114,60 188.114,60 300.000,00 
 
 
SFA – Price com os juros capitalizados durante a ca rência 
 
Exemplo: Um banco empresta $ 300.000,00, entregues no ato, com a primei-
ra amortização realizada 3 anos após o empréstimo e os juros capitalizados 
durante a carência . O banco cobra 12% aa de juros, e o principal deverá ser 
restituído em 5 prestações anuais antecipadas , pelo SFA. 
 
PV = 300.000 
PMT = ? 
n = 5 (prestações) 
 i = 0,12 
 
 
376.320,00 0,12)(1*300.000FVi)(1*PVFV 2n =+=⇒+= 
( ) n−+= i1-1i * PV
 PMT
 
( ) 104.394,83 $ PMT0,432573
45.158,40
0,567427-1
45.158,40
0,121-1
0,12 * 376.320
 PMT 5- =⇒⇒⇒+
=
 
 
Planilha de Amortização 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 36.000,00 336.000,00 
2 40.320,00 376.320,00 
3 104.394,83 45.158,40 59.236,43 317.083,57 
4 104.394,83 38.050,03 66.344,80 250.738,77 
5 104.394,83 30.088,65 74.306,18 176.432,59 
6 104.394,83 21.171,91 83.222,92 93.209,67 
7 104.394,83 11.185,16 93.209,67 
Total 521.974,15 221.974,15 376.320,00 1.849.784,60 
 
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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 
(SAC) 
 
Consiste no plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, 
sucessivas e decrescentes, em progressão aritmética. 
 
A parcela de amortização é obtida dividindo-se o valor do empréstimo pelo 
número de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é determinado 
pela multiplicação do saldo devedor imediatamente anterior pela taxa de ju-
ros. 
 
Obs.: No SFA as prestações são constantes e as parcelas de amortização 
são crescentes, enquanto no SAC, as parcelas de amortização são constan-
tes e as prestações decrescentes. 
 
SAC – sem carência e com prazo de utilização unitár io 
 
 
Exemplo:Um banco empresta $ 300.000,00, entregues no ato, sem carência. 
E cobra 12% aa de juros. A restituição deverá ser feita em 5 prestações anu-
ais pelo sistema de amortização constante. Elaborar a planilha. 
 
i = 0,12 
n = 5 (prestações anuais) 
PV = 300.000 
AMORT (amortização) = $ ? 
 
n
PV
 AMORT = 
 
60.000,00 AMORT
5
300.000
 AMORT
=
=
 
 
Planilha de Amortização 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 96.000,00 36.000,00 60.000,00 240.000,00 
2 88.800,00 28.800,00 60.000,00 180.000,00 
3 81.600,00 21.600,00 60.000,00 120.000,00 
4 74.400,00 14.400,00 60.000,00 60.000,00 
5 67.200,00 7.200,00 60.000,00 0,00 
Total 408.000,00 108.000,00 300.000,00 
 
 
 
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SAC – Com prazo de utilização unitário e com carênc ia 
 
⇒ Com juros pagos durante a carência 
 
Exemplo: Um empréstimo de $ 300.000,00 entregue no ato, será amortizado 
em 5 prestações anuais, com a primeira amortização realizada 3 anos após o 
empréstimo antecipadas , a uma taxa de 12% aa pelo SAC. Os juros são 
pagos durante o prazo de carência . Elaborar a planilha. 
 
i = 0,12 
n = 5 (prestações anuais) 
PV = $ 300.000 
AMORT = $ ? 
 i = 0,12 
 
 
n
PV
 AMORT = 
 
60.000,00 AMORT
5
300.000
 AMORT
=
=
 
 
Planilha de Amortização 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 36.000,00 36.000,00 300.000,00 
2 36.000,00 36.000,00 300.000,00 
3 96.000,00 36.000,00 60.000,00 240.000,00 
4 88.800,00 28.800,00 60.000,00 180.000,00 
5 81.600,00 21.600,00 60.000,00 120.000,00 
6 74.400,00 14.400,00 60.000,00 60.000,00 
7 67.200,00 7.200,00 60.000,00 
Total 480.000,00 180.000,00 300.000,00 
 
 
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SAC - Com os juros capitalizados durante a carência 
 
Exemplo: Um empréstimo de $ 300.000,00, entregue no ato, será amortizado 
em 5 prestações anuais, com a primeira amortização feita 3 anos após o em-
préstimo antecipadas , a uma taxa de juros de 12% aa, pelo SAC. Os juros 
são capitalizados durante a carência e incorporado ao capital para cálculo 
da amortização. Elaborar a planilha. 
 
i = 0,12 
n = 5 (prestações anuais) 
PV = $ 300.000 
AMORT = $ ? 
 i = 0,12 
 
 
376.320,00 0,12)(1*300.000FVi)(1*PVFV 2n =+=⇒+= 
 
75.264,00 AMORT
5
376.320,00
 AMORT
=
=
 
 
Planilha de Amortização 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 36.000,00 336.000,00 
2 40.320,00 376.320,00 
3 120.422,40 45.158,40 75.264,00 301.056,00 
4 111.390,72 36.126,72 75.264,00 225.792,00 
5 102.359,04 27.095,04 75.264,00 150.528,00 
6 93.327,36 18.063,36 75.264,00 75.264,00 
7 84.295,68 9.031,68 75.264,00 
Total 511.795,20 211.795,20 376.320,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
 
Este sistema foi criado pelo BNH, em meados de 1979, e constituiu-se num 
misto entre o Sistema Francês de Amortização e o Sistema de Amortização 
Constante, originando-se daí sua denominação. O SAM é um plano de pa-
gamentos compostos por prestações cujos valores são resultantes da Media 
Aritmética dos valores da planilha de amortização do SFA e do SAC, cor-
respondentes aos respectivos períodos. 
 
Exemplo: Um empréstimo de $ 300.000,00, entregue no ato, sem carência, 
será restituído em 5 prestações anuais pelo sistema de amortização misto. 
Os juros cobrados serão de 12% aa. Elaborar a Planilha. 
 
PV = 300.000 
PMT = ? 
n = 5 (parcelas anuais) 
i = 0,12 
 
( ) n−+= i1-1
i * PV
 PMT
 
 
 
 
( ) 83.222,92 $ PMT0,432573
36.000
0,567427-1
36.000
0,121-1
0,12 * 300.000
 PMT 5- =⇒⇒⇒+
=
 
 
 
Vamos calcular a amortização pelo Sistema de Amortização Constante: 
 
 
n
PV
 AMORT = 
 
 
60.000,00 AMORT
5
300.000
 AMORT
=
=
 
 
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Planilha de Amortização Pelo SFA 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 83.222,92 36.000,00 47.222,92 252.777,08 
2 83.222,92 30.333,25 52.889,67 199.887,41 
3 83.222,92 23.986,49 59.236,43 140.650,98 
4 83.222,92 16.878,12 66.344,80 74.306,18 
5 83.222,92 8.916,74 74.306,18 0,00 
 
Planilha de Amortização Pelo SAC 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 96.000,00 36.000,00 60.000,00 240.000,00 
2 88.800,00 28.800,00 60.000,00 180.000,00 
3 81.600,00 21.600,00 60.000,00 120.000,00 
4 74.400,00 14.400,00 60.000,00 60.000,00 
5 67.200,00 7.200,00 60.000,00 0,00 
 
Planilha de Amortização Pelo SAM 
n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 300.000,00 
1 89.611,46 36.000,00 53.611,46 246.388,54 
2 86.011,46 29.566,62 56.444,84 189.943,70 
3 82.411,46 22.793,25 59.618,21 130.325,49 
4 78.811,46 15.639,06 63.172,40 67.153,09 
5 75.211,46 8.058,37 67.153,09 0,00 
Total 412.057,30 112.057,30 300.000,00 
 
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Exercícios 
 
Price com prazo de utilização unitário e sem carência 
 
1) Uma instituição financeira empresta $ 180.000,00 entregues no ato, 
sem carência. Sabendo-se que o banco utiliza a sistema Price á taxa 
de juros e de 15% aa. e o principal deverá ser amortizado em 06 par-
celas anuais, determinar o valor da prestações e construir a planilha. 
 
Price com prazo de utilização unitário e com carência 
 
2) Uma instituição financeira empresta $ 180.000,00 entregues no ato, 
com a primeira amortização realizada e 3 anos após o empréstimo e 
os juros pagos durante a carência . Sabendo-se que o banco cobra 
uma taxa de juros e de 15% aa. e o principal deverá ser restituído em 
06 parcelas anuais, antecipadas pelo sistema Price. 
 
Price com juros capitalizados durante a carência 
 
3) Uma instituição financeira empresta $ 180.000,00 entregues no ato, 
com a primeira amortização realizada e 3 anos após o empréstimo e 
os juros capitalizados durante a carência . Sabendo-se que o banco 
cobra uma taxa de juros e de 15% aa. e o principal deverá ser restituí-
do em 06 parcelas anuais, antecipadas pelo sistema Price. 
 
 
 
 
EXERCÍCIO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE –SAC 
 
SAC sem carência e com prazo de utilização unitário 
 
1) Um banco empresta $ 180.000,00 entregues no ato sem carênciae 
cobra 15% aa de juros. A restituição deverá ser feita em 06 prestações 
anuais pelo sistema de amortização constante (SAC) elaborar a plani-
lha. 
 
SAC com prazo de utilização unitário e com carência 
 
2) Um empréstimo de $ 180.000,00 entregues no ato será amortizado 
em 06 prestações anuais, com a primeira amortização realizada 3 
anos após o empréstimo antecipadas , a uma taxa de15% aa pelo 
SAC. Os juros são pagos durante o prazo de carência , elaborar a 
planilha. 
 
SAC com juros capitalizados durante a carência 
 
3) Um empréstimo de $ 180.000,00 entregues no ato será amortizado 
em 06 prestações anuais, com a primeira amortização realizada 3 
anos após o empréstimo antecipadas , a uma taxa de15% aa pelo 
SAC. Os juros capitalizados durante a carência e incorporado ao 
capital para cálculo da amortização elaborar a planilha. 
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DECISÕES DE INVESTIMENTO 
 
O processo de avaliação de investimentos envolve: 
 
• Dimensionamento dos fluxos de caixa 
• Avaliação com base em técnicas de investimentos 
• Análise de risco 
• Definição da taxa de retorno exigida 
 
 
1º) ORIGEM DAS PROPOSTAS DE INVESTIMENTOS 
 
I - ) Ampliação - é justificada quando a capacidade instalada for insuficiente 
para atender a demanda. 
 
II - )Reposição - normalmente ocorre quando as empresas já atingiram certo 
grau de amadurecimento, demandando assim a substituição de certos ati-
vos fixos já desgastados ou obsoletos. 
 
III - )Outras necessidades - normalmente advindas de funções como: Pes-
quisa e desenvolvimento, Publicidade ou assessoria externa. 
 
 
2º)TIPOS DE INVESTIMENTO 
 
I - )Independentes - quando a aceitação de uma proposta de investimento 
não implica na desconsideração das demais. 
 
II - )Dependentes - quando a aceitação de uma proposta depende da rigoro-
samente da execução de uma outra. 
 
III - )Mutuamente exclusivas - quando a aceitação de uma proposta implica 
na execução de uma outra, pôr motivos como impossibilidade física ou re-
dução do retorno esperado. 
 
IV - )Restrição orçamentária - quando existem várias alternativas de investi-
mento e os recursos são limitados, a aceitação se dará mediante aos re-
cursos disponíveis. 
 
 
3º) FLUXO DE CAIXA 
 
È definido como uma série de pagamentos e recebimentos que se dão em 
diferentes períodos de tempo. 
 
Para a análise de investimento o que irá nos interessar são os fluxos incre-
mentais , ou seja somente os valores originados em função da proposta de 
investimento e as variações que elas causarem. 
 
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Os principais itens do fluxo de caixa são: 
 
a-)Investimento Inicial - todos os gastos gerados em função do novo inves-
timento como pôr exemplo: fretes, seguros aquisição de ativo fixo e insta-
lações. 
 
b-)Receita Operacional - representa o volume monetário referente as ven-
das atribuídas ao projeto. 
 
R.O = preço * quantidade vendida 
 
c-) Custo dos Produtos Vendidos - são referentes aos gastos. 
 
 C.P.V. = custos unitário * quantidade 
 
d-) Despesas Gerais e Administrativas - são os gastos com a administra-
ção do negocio. 
 
e-) Valor Residual - refere-se ao valor recebido em função da alienação de 
algum ativo fixo. Deve ser comiserada como entrada de caixa ao final da vida 
útil do ativo fixo. 
 
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TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE 
 
 
A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é uma taxa de juros que representa o 
mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, 
ou o máximo que um tomador de dinheiro se propõe a pagar quando faz um 
financiamento. 
 
Esta taxa é formada a partir de 3 componentes básic as: 
 
• Custo de Oportunidade: remuneração obtida em outras alternativas 
que não as analisadas. Exemplo: caderneta de poupança, fundo de 
investimento, etc. 
 
• Risco do Negócio: o ganho tem que remunerar o risco inerente de uma 
nova ação. Quanto maior o risco, maior a remuneração esperada. 
 
• Liquidez: capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma posi-
ção no mercado para assumir outra. 
 
A TMA é considerada pessoal e intransferível pois a propensão ao risco varia 
de pessoa para pessoa, ou ainda a TMA pode variar durante o tempo. Assim, 
não existe algoritmo ou fórmula matemática para calcular a TMA. 
 
 
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MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
 
I. Payback 
II. Valor Presente Liquido (VPL) 
III. Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
I) Payback 
 
O Pay Back é uma das técnicas de análise de investimento mais comuns que 
existem. Consiste em umas das alternativas mais populares ao VPL. Sua 
principal vantagem em relação ao VPL consiste em que a regra do Pay Back 
leva em conta o tempo do investimento e conseqüentemente é uma metodo-
logia mais apropriada para ambientes com risco elevado. 
 
 Este método visa calcular o nº de períodos ou quanto tempo o investidor 
irá precisar para recuperar o investimento realizado. Um investimento signifi-
ca uma saída imediata de dinheiro. Em contrapartida se espera receber flu-
xos de caixa que visem recuperar essa saída. O Pay Back calcula quanto 
tempo isso irá demorar. 
 
 As pessoas (inclusive as que não tem muito conhecimento em finanças) 
usam constantemente esse método. Vejamos um exemplo prático aplicado 
ao nosso dia-a-dia. 
Ex: João deseja comprar um micro computador no valor de R$ 1600,00. O 
salário de João é de R$ 4000,00. Ele costuma gastar em média para o seu 
sustento e o de sua família aproximadamente 90% do seu salário. Os 10% 
de renda estão destinados a seus gastos sejam para a poupança ou para o 
consumo imediato. João sabe que dispõe de R$ 400,00 para gastar mensal-
mente com o que quiser. Assim sendo João decidiu comprar o computador e 
ao chegar na loja conversou com o gerente e com seu "bom papo" conseguiu 
com que o gerente dividisse o computador em quatro vezes sem juros. Assim 
sendo, a primeira coisa que veio a sua cabeça, e que viria a cabeça de todos 
nós, é quanto tempo ele levará para pagar o computador. Usando uma sim-
ples conta, chegaríamos a conclusão de que João iria demorar quatro meses 
para pagar o computador, pois o mesmo é quatro vezes maior do que o pre-
ço que João pode gastar por mês (1600 = 4 * 400). Diríamos então que o Pay 
Back desse investimento é de quatro períodos. A conclusão lógica é que a 
fórmula do Pay Back é: 
 
Pay Back = Valor do Investimento / Valor do Fluxo Periódico Esperado 
 
No caso citado o Pay Back seria de: 4 = 1600/4 
 
As diversas opções para a sua determinação (cálculo), consideram três situ-
ações específicas: 
 
1. Método simples , 
2. Método descontado, e 
3. Método do Valor Presente Líquido. 
 
 
 
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VALOR PRESENTE LIQUIDO (VPL) 
 
Imagine a seguinte situação. Uma empresa dispõe de fundos para investir 
em determinados projetos. Dentre a gama de alternativas, uma em particular 
chamou a atenção da diretoria. Trata-se de um projeto que consiste no lan-
çamento de um novo produto que, segundo os especialistas de mercado, é 
muito promissor para o futuro. O projeto demanda um investimento inicial de 
R$ 5.000.000,00. A possibilidade de retorno do investimento consiste em R$ 
750.000,00 ao ano durante oito anos. Se você fosse um dos principais acio-
nistas e a decisão de investir fosse exclusivamente sua, você investiria nesse 
projeto? Seguindo um raciocínio lógico simples, qualquer um nessa situação 
seria levado a investir, pois aentrada de fundos decorrente do projeto é de 
6.000.000,00 enquanto a saída é de apenas R$ 5.000.000,00. O que geraria 
um ganho de R$ 1.000.000,00. No entanto, o valor de R$ 5.000.000,00 cor-
responde a um desembolso hoje enquanto que as entradas futuras, além de 
estimativas, correspondem a entradas durante oitos anos consecutivos. Des-
sa forma para se ter uma análise mais precisa sobre se o projeto deve ser 
feito ou não, precisamos conhecer uma relação entre o poder do real de hoje 
com o poder do real de amanhã (no caso daqui a oito anos). Esta relação é 
conhecida como valor do dinheiro no tempo. 
 
Valor Presente e Valor Futuro 
 
 O exemplo acima retrata que o dinheiro possui seu valor alterado con-
forme o tempo em que estamos utilizando-o. Os R$ 5.000.000,00 são de-
sembolsados hoje para que se possa receber R$ 6.000.000,00 ao longo de 
oito anos. 
 O valor desembolsado ou recebido na data atual, data base ou ainda 
data zero (como é comumente conhecida) é conhecido como valor presente. 
No caso da empresa o valor presente seria R$ 5.000.000,00, pois é o valor 
desembolsado hoje. 
 Se por um lado foi necessário desembolsar um valor hoje, a lógica do 
investidor nos afirma que devemos auferir um rendimento no amanhã. O va-
lor que teremos de pagar ou receber em uma data futura é conhecido como 
valor final. No caso da empresa seria de R$ 6.000.000,00 em oito anos. 
 
Taxa de juros 
 
 Como foi explicado o dinheiro possui um determinado valor no tempo. 
Se hoje temos de sacrificar determinada quantia em um investimento espe-
ramos que no futuro nos seja proporcionado um ganho por esse sacrifício. 
Quando emprestamos dinheiro a alguém, estamos sacrificando uma quantia 
atual visando um recebimento no futuro. Assim sendo, o tomador do emprés-
timo fez com que nós sacrificássemos nossas possibilidades de consumo e 
emprestássemos esse dinheiro à ele. Naturalmente esse sacrifício merece 
alguma espécie de ganho. Esse ganho é conhecido como juros. De certa 
forma poderíamos dizer que os juros correspondem ao lucro que estamos 
determinados a ganhar para emprestar esse dinheiro. Sobre a ótica do toma-
dor de empréstimo poderíamos dizer que os juros correspondem ao preço 
que ele tem que pagar para realizar o empréstimo. Pode-se afirmar que a ta-
xa de juros corresponde a esse lucro, ou a esse aluguel, ou ainda, a relação 
entre o valor do dinheiro hoje e o valor do dinheiro amanhã. 
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Caracteriza-se pelo transporte para data zero(presente) de todos os recebi-
mentos e desembolsos esperados, descontados a um custo de capital (taxa 
de juros) dado. A hipótese considerada pelo método. é de que a empresa 
conseguirá reinvestir sempre a uma taxa igual ao seu custo de capital. 
 
 
Na pratica o V.P.L. representa quanto determinado investimento agregará de 
valor a empresa. 
 
Os critérios a serem seguidos são os seguintes : 
 
a-) Se o V.P.L. for maior de zero se aceita a alternativa de investimento, caso 
contrário se rejeita. 
 
b-) Quando maior o valor do V.P.L. melhor a alternativa. 
 
( ) ( ) ( ) I0i+1
Fc
...
i+1
Fc
i1
Fc
.L.P.V n
n
2
2
1
1 +





++
+
=
 
 
 
Onde: 
 
I0 = Investimento Inicial 
Fcn = fluxo de caixa no período 
i = custo de capital 
 
 
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Exemplo: V ejamos o caso do Sr. Sampaio, que tenciona se apose ntar 
nos próximos anos. Ele pretende juntar suas economi as e investir na 
compra de um táxi e contratar um motorista para tra balhar no mercado 
nos próximos cinco anos. 
 
Preocupado com esse investimento, levantou as seguintes informações: 
 
Um veículo novo popular custa $ 15.000,00 e será necessário comprar uma 
placa comercial no valor de $ 10.000,00. As despesas gerais com o veículo 
estão estimadas em $ 6.000,00 no primeiro ano e prevê-se um aumento de $ 
1.000,00 a cada novo ano. O faturamento anual é na ordem de $ 24.000,00 e 
o salário anual para contratar um motorista é de $ 6.000,00. Ao final do em-
preendimento, o Sr. Sampaio pretende vender a placa pelo mesmo valor de 
aquisição e o veículo por um valor residual de 40%. 
 
Após o levantamento das informações, o primeiro passo foi ordenar os dados 
e elaborar um fluxo de caixa: 
 
Fluxo de Caixa do Investimento 
Ano Investimento Receitas Despesas 
Veículo 
Salário do 
Motorista 
Fluxo de Cx 
Liquido 
0 (25.000) (25.000) 
1 24.000 (6.000) (6.000) 12.000 
2 24.000 (7.000) (6.000) 11.000 
3 24.000 (8.000) (6.000) 10.000 
4 24.000 (9.000) (6.000) 9.000 
5 16.000 24.000 (10.000) (6.000) 24.000 
 
Os valores líquidos desse fluxo de caixa podem ser representados por um 
diagrama de fluxo de caixa, para melhor visualização: 
 
 
 
Agora podemos analisar se o investimento é viável calculando o Valor Pre-
sente Líquido (VPL). Para isso é necessário descontar os valores do fluxo de 
caixa pela Taxa Mínima de Atratividade (TMA). 
 
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O Sr. Sampaio disse que seu dinheiro estava depositado na caderneta de 
poupança, o qual lhe rendia 6,17% ao ano livre da inflação e de qualquer tipo 
de risco e que aceitaria esse novo projeto se o mesmo lhe rendesse pelo 
menos 15% ao ano. Adotando-se a TMA de 15%, passamos a calcular o 
VPL. 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
17.405,54 VPL
000.25
15,01
000.24
15,01
000.9
15,01
000.10
15,01
000.11
0,151
12.000
 VPL 54321
=
−





+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
 
 
Portanto, o valor do VPL encontrado para o projeto do Sr. Sampaio é de $ 
17.405,55, o que significa o seguinte: 
 
Interpretação do VPL 
 
⇒ O projeto é viável, pois o VPL encontrado é maior do que zero ; 
 
⇒ Se o VPL fosse igual a zero, também indicaria que o projeto é viável, 
pois ao contrario do que alguns possam interpretar, não significa resul-
tado econômico igual a zero. Significa que o projeto além de pagar os 
valores investidos, proporcionou um lucro exatamente igual ao mínimo 
esperado, atingindo-se a TMA de 15%; 
 
⇒ O VPL apurado significa que o Sr. Sampaio atingira além do mínimo 
esperado (15%), um resultado excelente em dinheiro de $ 17.405,55. 
 
O VPL é um dos melhores métodos e o principal indicado como ferramen-
ta para analisar projetos de investimentos, não apenas porque trabalha 
com fluxo de caixa descontado e pela sua consistência matemática, mas 
também porque o seu resultado é em espécie ($) revelando a riqueza 
absoluta do investimento. A dificuldade em seu uso está na identificação 
da taxa de desconto a ser utilizada que, muitas vezes, é obtida de forma 
complexa ou até mesmo objetiva. 
 
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TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
 
A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a 
taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com 
os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em 
análise de investimentos significa a taxa de retorno de um projeto. 
 
Demonstra a rentabilidade do projeto de investimento ponderada geometri-
camente pelo critério de juros compostos, nunca deve ser considerada como 
rentabilidade de um único período, pois demonstra a rentabilidade do projeto 
como um todo. A hipótese deste método consiste na reaplicação dos fluxos 
de caixa sempre a mesma taxa interna de retorno (T.I.R.). 
 
Os critérios que o analista deve usar são os seguin tes: 
 
1º) A T.I.R. deve ser maior ou igual a Taxa mínima de Atratividade. 
 
2º) Quando maior a T.I.R. melhor. 
 
O critério de cálculo é por tentativa e erro (usada também pelas cálculadoras 
financeiras e planilhas eletrônicas que estão preparadas para encontrar