Aplicação do Teorema de Hahn-Banach

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Solução de um Exercício do livro: Fundamentos de Análise
Funcional, Autores: Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e
Eduardo Teixeira.
Capítulo 3.6: Questão 3.6.2. Sejam x1, x2, x3, . . . , xn vetores linear-
mente independentes do espaço normado E e a1, a2, a3, . . . , an escalares da-
dos. Veremos que existe um funcional ϕ ∈ E∗ tal que ϕ(xj) = aj para todo
j = 1, 2, 3, . . . , n.
Solução. De fato, considere a aplicação
T : span{x1, x2, . . . , xn} −→ K, dada por ϕ
 n∑
j=1
αjxj
 = n∑
j=1
αjaj .
Pela de�nição da T , temos que T (xj) = aj para todo j = 1, 2, . . . , n. Note
que T é linear, pois, dados x, y ∈ span{x1, x2, . . . , xn}, digamos x =
n∑
j=1
αjxj
e y =
n∑
j=1
βjxj , com α1, α2, . . . , αn, β1, . . . , βn ∈ K, então
ϕ(x+ y) = ϕ
 n∑
j=1
(βj + αj)xj
 = n∑
j=1
(βj + αj)aj
=
n∑
j=1
βjaj +
n∑
j=1
αjaj
= ϕ(x) + ϕ(y).
De modo análogo mostra-se que ϕ(αx) = αϕ(x) para todo α ∈ K. Segue que
T é contínuo, pois é uma aplicação linear de�nida em um espaço normado
de dimensão �nita. Portanto, pelo Teorema de Hahn-Banach existe uma
extensão linear e contínua ϕ : E −→ K de T tal que ϕ(xj) = aj para todo
j = 1, 2, . . . , n.
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