Física I - Aula 6

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Paulo lemos
assunto: movimento CirCular
frente: FísiCa i
OSG.: 118270/17
AULA 06
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Introdução
Uma partícula está em movimento circular quando sua 
trajetória é uma circunferência.
A
B
C
V
A
V
B
A
V
C
Movimento circular uniforme
O movimento efetuado por uma partícula ao longo de uma 
circunferência será chamado de circular uniforme, quando sua 
velocidade escalar for constante no decorrer do tempo.
V
V
V
Período e frequência
No movimento circular uniforme de uma partícula, definimos 
período ( T ), como sendo o tempo gasto para que ela execute uma 
volta completa. Já a frequência é definida como sendo o número de 
voltas que o fenômeno se repete na unidade de tempo.
Podemos estabelecer uma relação entre período e frequência 
da seguinte forma.
Intervalo de tempo
Nº de vezes que o fenômeno 
se repete
(período) T 1 (vez)
(unidade de tempo) 1 f (frequência)
Resolvendo a regra de três estabelecida, temos:
f f
f
⋅ = ⇒ = =T
T
T1
1 1
ou
• Unidades de frequência
 SI: voltas/s = Hertz (Hz)
 Usual: rotações/min (rpm)
• Velocidade angular (ω)
 Observe a figura.
x
1 t2
sentido da rotação
t
1
2
∆θ
θ
2
θ
1
A velocidade angular média, em um movimento circular, é a 
variação do ângulo θ descrito na unidade de tempo t, ou seja:
ωm = ∆θ/∆t
• Unidade de velocidade angular
 SI: rad/s
2F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
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Relação entre: velocidade escalar (V), velocidade 
angular (ω), período (T) e frequência (f)
Sabendo que a velocidade angular média é igual à velocidade 
angular em qualquer instante, podemos escrever:
ω
θ
τ
=
∆
∆
 , para ∆θ = 2π rad e ∆t = T, temos:
ω
π
ω π=
⋅
= ⋅ ⋅
2
2
T
ou f
As equações acima são as equações da velocidade angular em 
função do período e da frequência no MCU.
Observe a figura a seguir.
∆s = r ∆θ
∆θ
ω
y
x
v
P
Velocidade Linear
Para uma partícula que realiza movimento circular, notamos que 
esta partícula percorre uma distância linear dada pelo comprimento 
do arco: 
∆s = r · ∆θ
O deslocamento do arco ∆s ocorre em um intervalo de tempo 
∆t, então a velocidade linear é:
ν ν
θ
= ⇒ =
∆
∆
∆
∆
s
t
r
t
Mas:
ω
θ
=
∆
∆t
Logo:
V = ω · R
Onde: 
R é o raio da trajetória circular.
Aceleração centrípeta (
→
a
cp
)
Exercícios
01. (Unifor) Uma das modalidades de corridas de automóveis muito 
populares nos Estados Unidos são as corridas de arrancadas, lá 
chamadas de Dragsters Races. Estes carros são construídos para 
percorrerem pequenas distâncias no menor tempo. Uma das 
características destes carros é a diferença entre os diâmetros 
dos seus pneus dianteiros e traseiros. Considere um Dragster cujos 
pneus traseiros e dianteiros tenham, respectivamente, diâmetros 
de d
1
 = 1,00 m e d
2
 = 50,00 cm. Para percorrer uma distância 
de 300,00 m, a razão (n
1
 / n
2
), entre o número de voltas que os 
pneus traseiros e dianteiros, supondo que em nenhum momento 
haverá deslizamento dos pneus com o solo, será:
Tr
ek
ph
ile
r 
C
C
 B
Y
 3
.0
/W
ik
im
ed
ia
 
Fo
un
da
tio
n
A) 150,00 
B) 50,00
C) 25,00 
D) 2,00
E) 0,50
02. (Unirio-RJ) Na figura, um sistema mecânico é formado por uma 
roda R, uma haste H e um êmbolo E, que desliza entre as guias G
1
 
e G
2
. As extremidades da haste H são articuladas em P e P’, o que 
permite que o movimento circular da roda R produza um movimento 
de vai e vem de P’, entre os pontos A e B, marcados no eixo x.
P
R
H E
P’
A B
G
G
x
 Considerando-se que a roda R descreve 240 rotações por minuto, 
o menor intervalo de tempo necessário para que o ponto P’ se 
desloque de A até B é
A) 2s 
B) 1s
C) 
1
4
s 
D) 
1
8
s
E) 
1
16
s
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Módulo de estudo
03. (UFC/2000) Uma partícula descreve trajetória circular, de raio 
r = 1,0 m, com velocidade variável. A figura abaixo mostra a 
partícula em um dado instante de tempo em que sua aceleração 
tem módulo a = 32 m/s2 e aponta na direção e sentido indicados. 
Nesse instante, o módulo da velocidade da partícula é
1,0 m
60ºa
v
A) 2,0 m/s 
B) 4,0 m/s
C) 6,0 m/s 
D) 8,0 m/s
E) 10,0 m/s
04. (Unicamp) As máquinas cortadeiras e colheitadeiras de 
cana-de-açúcar podem substituir dezenas de trabalhadores rurais, 
o que pode alterar de forma significativa a relação de trabalho nas 
lavouras de cana-de-açúcar. A pá cortadeira da máquina ilustrada 
na figura abaixo gira em movimento circular uniforme a uma 
frequência de 300 rpm. A velocidade de um ponto extremo P da 
pá vale
(Considere π ≈ 3.)
P
R = 60 cm
A) 9 m/s B) 15 m/s
C) 18 m/s D) 60 m/s
05. (UFC-CE) Considere um relógio de pulso em que o ponteiro dos 
segundos tem um comprimento, r
s
 = 7 mm, e o ponteiro dos 
minutos tem um comprimento, r
m
 = 5 mm (ambos medidos a partir 
do eixo central do relógio). Sejam v
s
 a velocidade da extremidade 
do ponteiro dos segundos e v
m
 a velocidade da extremidade do 
ponteiro dos minutos. A razão 
V
V
S
m
 é igual a
A) 35
B) 42
C) 70
D) 84 
E) 96
06. (Pasusp) Uma bicicleta tem a roda
A B
27 cm27 cm 33 cm33 cm
dianteira com raio 27 cm e a roda 
traseira com raio 33 cm. Estando a 
bicicleta parada, dois pontos A e B são 
marcados, nas rodas dianteira e traseira, 
nos respectivos pontos de contato com 
o solo, conforme a figura ao lado.
Depois de a bicicleta percorrer uma distância d, os pontos A e B voltam 
a ficar, simultaneamente, em contato com o solo. Assumindo que 
não há escorregamento das rodas da bicicleta, o menor valor de 
d, em metros, para o qual essa situação acontece, é:
A) 1,98 π
B) 2,97 π
C) 5,94 π
D) 8,91 π
E) 17,82 π
07. (Enem/1998 – Adaptada) As bicicletas possuem uma corrente que 
liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a 
uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como mostra a 
figura.
 
 O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada 
depende do tamanho relativo destas coroas.
 Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior número de voltas 
por pedalada?
A) 
A)
C)
B)
D)
E)
 B) 
A)
C)
B)
D)
E)
C) 
A)
C)
B)
D)
E)
 D) 
A)
C)
B)
D)
E)E) 
A)
C)
B)
D)
E)
08. (Enem/1998) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo 
(isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta 
completa), qual é a distância aproximada percorrida pela 
bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de 
raio R é igual a 2πR, onde π ≈ 3?
30 cm80 cm 10 cm
A) 1,2 m B) 2,4 m
C) 7,2 m D) 14,4 m
E) 48,0 m
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Módulo de estudo
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09. (UFPR) Um ciclista movimenta-se com sua bicicleta em linha reta 
a uma velocidade constante de 18 km/h. O pneu, devidamente 
montado na roda, possui diâmetro igual a 70 cm. No centro da 
roda traseira, presa ao eixo, há uma roda dentada de diâmetro 
7,0 cm. Junto ao pedal e preso ao seu eixo há outra roda dentada 
de diâmetro 20 cm. As duas rodas dentadas estão unidas por uma 
corrente, conforme mostra a figura. Não há deslizamento entre 
a corrente e as rodas dentadas. Supondo que o ciclista imprima 
aos pedais um movimento circular uniforme, assinale a alternativa 
correta para o número de voltas por minuto que ele impõe aos 
pedais durante esse movimento. Nesta questão, considere π = 3.
A) 0,25 rpm 
B) 2,50 rpm
C) 5,00 rpm 
D) 25,0 rpm
E) 50,0 rpm
10. (Enem/1998) Com relação ao funcionamento de uma bicicleta 
de marchas, onde cada marcha é uma combinação de uma das 
coroas dianteiras com uma das coroas traseiras, são formuladas 
as seguintes afirmativas:
I. Numa bicicleta que tenha duas coroas dianteiras e cinco 
traseiras, temos um total de dez marchas possíveis onde cada 
marcha representa a associação de uma das coroas dianteiras 
com uma das traseiras;
II. Em alta velocidade, convém acionar a coroa dianteira de maior 
raio com a coroa traseira de maior raio também;
III. Em uma subida íngreme,convém acionar a coroa dianteira de 
menor raio e a coroa traseira de maior raio.
 Entre as afirmações acima, estão corretas
A) I e III apenas. 
B) I, II e III.
C) I e II apenas. 
D) II apenas.
E) III apenas.
11. (PUC-SP-2011) Lucas foi presenteado com
Bo
nz
am
i E
m
m
an
ue
lle
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
 
um ventilador que, 20 s após ser ligado, 
atinge uma frequência de 300 rpm em um 
movimento uniformemente acelerado. 
O espírito científico de Lucas o fez se 
perguntar qual seria o número de voltas 
efetuadas pelas pás do ventilador durante 
esse intervalo de tempo. Usando seus 
conhecimentos de Física, ele encontrou
A) 300 voltas.
B) 900 voltas.
C) 18000 voltas.
D) 50 voltas. 
E) 6000 voltas.
12. (Uece/99.1) Um ventilador acaba de ser desligado e está parando 
vagarosamente, girando no sentido horário, conforme a figura 
abaixo. O vetor aceleração da pá do ventilador no ponto p é melhor 
representado na opção:
A) P
P
P
P
C)
B)
D)
O
Y
X
10 cm/s
50 cm/s
13. (Uece/97.1) A f igura most ra um 
disco que gira em torno do centro O. 
A velocidade do ponto X é 50 cm/s e a do 
ponto Y é de 10 cm/s. A distância XY vale 
20 cm. Pode-se afirmar que o valor da 
velocidade angular do disco, em radianos 
por segundo, é 
A) 2,0 B) 5,0
C) 10,0 D) 20,0
14. (Uece/97.2) Clara de Assis se encontra sentada num banquinho 
de roda-gigante (brinquedo de parque infantil) de 5 metros de 
raio, que dá uma volta completa em 20 segundos. A velocidade 
escalar dessa menina é, em m/s 
A) π
B) 
π
2
C) 
π
4
D) 
π
3
15. (UFC/99-2ª Fase) A figura mostra dois discos planos, D
1
 e D
2
, 
presos a um eixo comum E. O eixo é perpendicular a ambos os 
discos e passa por seus centros. Em cada disco há um furo situado 
a uma distância d = 2,40 m e os furos alinham-se sobre uma 
reta paralela ao eixo E. Calcule as três frequências mais baixas 
(medidas em rotações por segundo) com as quais deverão girar 
os discos se quisermos que uma bala com velocidade v = 240 m/s, 
que passa pelo primeiro furo, passe também pelo segundo furo. 
Suponha a trajetória da bala paralela ao eixo E.
d
E
E
r
r
D1
D2
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
Resolução
01. Para qualquer distância percorrida (D), a razão entre os números 
de voltas dadas é a mesma.
D n d
D n d
n d n d
n
n
d
d
=
=




⇒ = ⇒
⇒ = =
1 1
2 2
1 1 2 2
1
2
2
1
2
2
2 2
0 5
1
π
π
π π 
 
,
 ⇒ =
n
n
1
2
0 5, .
 
 Resposta: E
02. Dado: f = 240 rot/min = 4 rot/s = 4 hz
 
P` P`
BA
P
P
 Quando o ponto P’ desloca de A para B, o ponto P da roda executa 
meia volta, veja figura acima. E o intervalo de tempo de meia volta 
é meio período, logo:
1. Cálculo do período:
 
T
f
T s= → =
1 1
4
2. Cálculo do intervalo de tempo:
 
∆ = ⋅
∆ = ⋅ → ∆ =
t T
t t s
1
2
1
2
1
4
1
8
 Resposta: D
03. 
a
60°
v
cpa a cos60= ⋅ °
 
 
a a
z
m scp = ⋅ = ⋅ =cos ” /60 32
1
16 2
 
a
v
R
v
V
v m s
cp =
=
=
=
2
2
2
16
1
16
4 /
 Resposta: B
04. Dados:
f = 300 rpm = 5 Hz; π = 3; R = 60 cm = 0,6 m.
A velocidade linear do ponto P é:
v R f R
v m
= = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
=
ω 2 3 5 0 6
18
 2 
/s.
,
 
 Resposta: C
05. 
V
s
t
V
s
t s
s
m
= = =
= = =
− −
−
∆
∆
∆
∆
2 7 10
6 030
7 10
30
2 5 10
3600
1500
3 3
3
π π
π
· · ·
· · ππ
π
π
·
·
·
·
10
360
1 3600
7 10
30
10
360
360 7
36
84
3
3
3
12
−
−
−
= =
= = =
∆t
s
m
h s
V
V
 Resposta: D
06. A distância d deve ser igual ao comprimento de cada circunferência 
das rodas vezes um número inteiro de voltas, para que os pontos 
A e B estejam simultaneamente em contato com o solo. Assim, 
supondo que a distância d será atingida após a roda menor dar 
um número x de voltas e a roda maior um número y de voltas, 
tem-se — d = x · 2 · π · 27 e d = y · 2 · π · 33 — igualando — 
x · 2 · π · 27 = y · 2 · π · 33 — 9 · x = 11 · y — como x e y devem 
ser números inteiros e 11 é um número primo, então x = 11 e 
y = 9 — assim, d = 11 · 2 · π · 27 = 594 π cm, ou d = 
= 9 · 2 · π · 33 = 594 π cm, ou d = 9 · 2 · π · 33 = 594 π cm — 
como a resposta está em metros — d = 5,94 π m. 
 Resposta: C
07. Quanto maior a coroa, no pedal, e menor a catraca, na roda, mais 
voltas a roda dá, e mais pesado o pedal fica, também!
 Quando se pedala e a corrente se move nas engrenagens, 
entrando na engrenagem do pedal um dente tem que ter saído 
da engrenagem da roda um dente também, ou a corrente se 
rompe! Quanto menos dentes a engrenagem da roda tiver, uma 
volta será completa com um menor deslocamento da corrente. 
Por outro lado, quanto mais dentes a engrenagem dos pedais 
tiver, mais rápido ela puxa a corrente.
 Resposta: A
08. Como coroa (pedais) e catraca (pneu) estão associadas por uma 
corrente temos:
V V R Rcatraca coroa catraca catraca coroa coroa
catraca
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ω ω
π2 f ⋅⋅ = ⋅ ⇒
⋅ = ⋅
R R
n
t
R
n
t
R
catraca coroa coroa
catraca
catraca
coroa
c
2π f
∆ ∆ ooroa
catraca catracan n voltas
⇒
⋅ = ⋅ ⇒ =5 1 15 3 
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Módulo de estudo
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 O pneu e a catraca possuem a mesma frequência já que estão 
unidos por um eixo, assim:
1 2
3
3 2
3 2 3 40
720
7 2
 
 
 
 
volta R
voltas S
S R
S
S cm
S m
=
=
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
=
π
π
∆
∆
∆
∆
∆ ,
 Resposta: C
09. A coroa e a catraca são interligadas por uma correia. Podemos 
dizer que as velocidades lineares de suas periferias são iguais.
V V wR r w
r
Rcoroa catraca
= → = → =ω
ω
 (01)
Cálculo de v: V
D V
D
= → =ω ω
2
2
 (02)
Substituindo 02 em 01, vem:
w
Vr
RD
=
2
 (03)
V =18 km/h = 5,0 m/s
D= 70 cm = 0,7 m
2R = 20 cm → R = 0,1 m
2r = 7 cm → r = 0,035 m
Substituindo os valores em 03, temos: 
w rd s w rd s
rot
=
×
= → = =
= = × =
2 5 0 035
0 1 0 7
5 0 5 0
5
2
1
60
5
6
60 5
. . ,
, ,
, / , /
min
π 00RPM
 Resposta: E
10. I. Com duas catracas e 5 coroas, são 2 × 5 = 10 marchas. Correto;
II. Alta velocidade ⇒ maior coroa (na frente) e menor catraca 
(atrás)! Não maior com maior! Errado;
III. Já na subida, para cansar menos, melhor ir devagar, com a 
menor coroa e a maior catraca. Correto.
 Resposta: A
11. Sendo um MCUA, a velocidade angular média em ∆t = 20 s = 
t
3
 
min é dada por → ω
m
 = 
ω ω ϕ π π π+
= →
+
=0 0
2 2
2
2
2
∆
∆ ∆t
t t n
t
→ 
t t n
t
n+
= →
+
=0
2
300 0
2 1
3
∆
 
→ n = 50 voltas
Resposta: D
12. Como está acontecendo um movimento circular, existe uma 
aceleração centrípeta dirigida para o centro. Como o ventilador 
está parando, existe uma aceleração tangencial contra o 
movimento. Então:
a
R
a
T
a
cp
Resposta: D
13.
 Rx = 20° + Ry V = W · R W
V
R
=
W
x
 = W
y
V
R
V
R R R
R R R R
R R cm
x
x
y
y x y
x y y y
y y
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒
+
= ⇒ =
50 10
5 5
4
20
20 5
W rad sy = =
10
5
2
 Resposta: A
14. T = 20 s R = 5 m v = ?
V W R
V
T
R m s
= ⋅
= ⋅ = ⋅ =
2 2
20
5
22
π π π
 Resposta: B
15. 
 
∆ ∆
∆ ∆
t t
f
s
V f
bala rota o
bala
bola
= ⇒ =
= ⇒ =
=
⋅
çã
2 4
240
1
1
100
1
2 4
240
2
,
,
ϕ
ω
ππ
π2
100
⋅ ⋅
⇒
=
f
f Hz
 Resposta: 100 Hz, 200 Hz e 300 Hz.
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO – AUTOR: PAULO LEMOS
DIG.: VICENTINA – REV.: KARLLA