[RESOLUÇÃO] Problema 1 17 - Mecânica Quântica - D

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[ESTRUTURA DA MATÉRIA] LISTA 1
Vinicius Carvalho.
JULHO DE 2021
Questão 4
Problema 1.17
Uma particula está representada (no ins-
tante t=0) pela função de onda:
Ψ(x, 0) =
{
A(a2 − x2), se− a ≤ x ≤ +a.
0, caso contrário.
(a)Determine a constante de normalização
A.
(b) Qual é o valor esperado de x (no ins-
tante t = 0) ?
(c) Qual é o valor esperado de p (no ins-
tante t = 0) ?
(d) Encontre o valor esperado de x2.
(e) Encontre o valor esperado de p2.
(f) Encontre a incerteza de x(σx).
(g) Encontre a incerteza de p(σp).
(h) Verifique se os resultados sãoconsistentes
com o principio da incerteza.
Resolução
Item (a)
Para normalização fazemos:∫ +∞
−∞
|Ψ|2dx =
∫ +∞
−∞
Ψ.Ψ∗dx = 1
Sendo a função dada por:
Ψ(x, 0) =
{
A(a2 − x2), se− a ≤ x ≤ +a.
0, caso contrário.
logo:∫ +a
−a
A(a2 − x2).A(a2 − x2)dx = 1
A2
∫ +a
−a
(a2 − x2)2dx = 1
A2
∫ +a
−a
a4 − 2.a2x2 + x4dx = 1
2A2
∫ +a
0
a4 − 2.a2x2 + x4dx = 1
2A2
(
a4.x− 2.a
2x3
3
+
x5
5
)a
0
= 1
2A2
(
a5 − 2.a
5
3
+
a5
5
)
= 1
2A2
(
15a5 − 10a5 + 3a5
15
)
= 1
A2
(
16a5
15
)
= 1
A =
√
15
16a5
A =
√
15a
4a3
Item (b)∫ +a
−a
x|Ψ|2dx =
∫ +a
−a
ΨxΨ∗dx = 〈x〉∫ +a
−a
x|Ψ|2dx = 〈x〉
1
∫ +a
−a
x[A(a2 − x2)]2dx = 〈x〉∫ +a
−a
x[A(a2 − x2)2]2dx = 〈x〉
A2
∫ +a
−a
x(a2 − x2)2dx = 〈x〉
〈x〉 = 0
Item (c)
〈p〉 =
∫ +a
−a
p̂|Ψ|2dx =
∫ +a
−a
Ψ∗p̂Ψdx
〈p〉 =
∫ +a
−a
Ψ∗p̂Ψdx
〈p〉 = A2
∫ +a
−a
(a2−x2)
(
−i~ ∂
∂x
)
(a2−x2)dx
〈p〉 = −i~A2
∫ +a
−a
(a2 − x2) ∂
∂x
(a2 − x2)dx
〈p〉 = −i~A2
∫ +a
−a
(a2 − x2).(−2x)dx
〈p〉 = 2i~A2
∫ +a
−a
x(a2 − x2)dx
〈p〉 = 0
Item (d)
〈
x2
〉
=
∫ +a
−a
Ψx2Ψ∗dx
〈
x2
〉
=
∫ +a
−a
A(a2 − x2)x2A(a2 − x2)dx
〈
x2
〉
= A2
∫ +a
−a
x2(a2 − x2)2dx
〈
x2
〉
= 2A2
∫ +a
0
x2(a4 − 2.x2.a2 + x4)dx
〈
x2
〉
= 2A2
∫ +a
0
a4x2 − 2.x4.a2 + x6)dx
〈
x2
〉
= 2A2
(
a4x3
3
− 2.x
5.a2
5
+
x7
7
)a
0
〈
x2
〉
= 2A2
(
a7
3
− 2a
7
5
+
a7
7
)
〈
x2
〉
= 2A2
(
35a7 − 42a7 + 15a7
105
)
〈
x2
〉
= 2A2
(
8a7
105
)
〈
x2
〉
=
(√
15a
4a3
)2(
16a7
105
)
〈
x2
〉
=
(
15a
16a6
)(
16a7
105
)
〈
x2
〉
=
(
a2
7
)
Item (e)
〈
p2
〉
=
∫ +a
−a
Ψp̂2Ψ∗dx
〈
p2
〉
=
∫ +a
−a
Ψ
(
− i~ ∂
∂x
)2
Ψ∗dx
〈
p2
〉
= −~2A2
∫ +a
−a
(a2 − x2) ∂
2
∂x2
(a2 − x2)dx
〈
p2
〉
= −~2A2
∫ +a
−a
(a2 − x2)(−2)dx
〈
p2
〉
= 4~2A2
∫ +a
0
(a2 − x2)dx
〈
p2
〉
= 4~2A2
(
a2x− x
3
3
)a
0〈
p2
〉
= 4~2A2
(
a3 − a
3
3
)
〈
p2
〉
= 4~2A2
2a3
3〈
p2
〉
= ~2
15a
16a6
8a3
3〈
p2
〉
=
5
2
(
~
a
)2
Item (f)
σx =
√
〈x2〉 − 〈x〉2
2
σx =
√
a2
7
− 02
σx =
a
√
7
7
Item (g)
σp =
√
〈p2〉 − 〈p〉2
σp =
√
5
2
(
~
a
)2
− 02
σp =
~
a
√
5
2
σp =
~
a
√
10
2
Item (h)
Dado o principio da incerteza:
σxσp ≥
~
2
Substituindo nossos dados:
a
√
7
7
~
a
√
10
2
≥ ~
2
√
70
14
~ ≥ ~
2
√
70
14
≈ 0, 6 > 1
2
portanto satisfaz o principio da incerteza.
3