Derivativos - Opções - Black Scholes

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Elaboração: Prof. Wadico Bucchi - Fontes: Profs. John C. Hull, E. Lozardo, A.C. Figueiredo.
EAD 734 – Mercados Financeiros - Parte 2
Derivativos – Opções
O Modelo de Black & Scholes
FEA/USP
Derivativos - Opções - Black & Scholes
Modelos para Cálculo do Preço (Precificação) de Opções
Black & Scholes - é o modelo mais utilizado no Brasil para precificação
de opções. É simples e operacional, e nele o parâmetro de volatilidade
segue uma função determinística no tempo;
Garman-Kolhagen & Black - extensão do Black-Scholes, utilizado
principalmente para opções cambiais;
Hull & White (HW) – modelo em que o parâmetro de volatilidade
segue um processo estocástico a tempo continuo;
Árvore binomial, árvore trinomial – que representam, durante a vida
do derivativo, as diferentes trajetórias que podem ser tomadas pelo
preço do ativo objeto;
Simulação de Monte Carlo - para derivativos cujo retorno depende do
histórico da variável-objeto ou com diferentes variáveis-objeto.
Derivativos - Opções - Black & Scholes
O modelo de precificação de opções de ações - Black & Scholes
- criado em 1973, por Fisher Black, Myron Scholes e Robert
Merton, representou um grande avanço na área de finanças.
É o pioneiro e mais conhecido modelo de precificação de
opções de ações. Em 1997 Merton e Scholes dividiram o
Premio Nobel de Economia por esse trabalho.
O modelo envolve matemática complexa a ser estudada em
cursos mais avançados. Ao desenvolverem o modelo, os autores
fizeram os seguintes pressupostos:
Derivativos - Opções - Black & Scholes
Pressupostos do Modelo:
1. A ação subjacente à opção de compra não fornece dividendos ou
outras distribuições durante a vida da opção.
2. Não há custos de transação ou impostos para comprar/vender, a
ação ou a opção.
3. A taxa de juros livre de risco é conhecida e constante durante a
vida da opção.
4. Qualquer comprador de um valor mobiliário pode tomar
emprestado qualquer fração do preço de compra no curto prazo, à
taxa de juros livre de risco.
5. É possível negociar a ação a qualquer momento até o exercício
da opção
6. A opção de compra pode ser exercida somente em sua data de
expiração.
7. A negociação em todos os valores mobiliários acontece
continuamente e o preço da ação movimenta-se
randomicamente.
Obs.: os preços reais das opções conformam razoavelmente bem com os
valores derivados do modelo.
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O valor da opção de compra é uma função das variáveis: (1) P, preço
da ação; (2) t, tempo de expiração da opção; (3) X, preço de exercício;
(4) a volatilidade do ativo-objeto; e (5) r = kRF, a taxa livre de risco.
2
OC = P[N(d1)] - X[N(d2)]e
-rt
    
t
t

 2/X / Pd 21  RFk ln e
t 12 dd Onde:
Oc = c = valor corrente da opção de compra (call).
P = S = preço corrente da ação subjacente (Spot Price).
N (d1) = probabilidade de que um desvio menor que d1, ocorrerá em 
uma distribuição normal. 
N (d1,) e N (d2) representam áreas sob uma função de 
distribuição normal.
X = E = preço de exercício da ação, ou strike da opção.
e = 2,7183 (base dos logaritmos naturais)
kRF = r = taxa de juro livre de risco ou taxa de juro referencial
t = tempo até que a opção expire (período da opção).
ln(P/X) = logaritmo natural de P/X (preço corrente / preço de 
exercício).
= variância da taxa de retorno sobre a ação (volatilidade)
2
O primeiro termo da
equação P{N(d1), pode
ser entendido como o
valor presente esperado
do preço final da ação.
O segundo termo,
X{N(d2)}e-rt pode ser
entendido como o valor
presente do preço de
exercício.
A diferença é o valor
teórico da opção.
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Relação da paridade entre opções de venda e de compra
Ov = Oc + __X____ - P 
(1 + r )t
Onde: 
Ov = p = valor corrente da opção de venda (put)
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Exemplos
1. Uma opção de compra de ações de uma
companhia está sendo negociada no mercado por
$4,00. O preço de negociação de mercado da ação
é $40,00, e o seu preço de exercício é de $38,00. A
opção tem 150 dias de prazo a transcorrer até o seu
vencimento. A variância da ação está estimada em
11,2% aa, e a taxa de juro livre de risco é 9% aa.
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Solução 1: Preço Corrente (P) = $40,00 Preço de Exercício (E) = $38,00
VAR = 11,2% a.a.; Prazo (n) = 150 dias; Risk free (r) = 9% a.a.
Valor da Opção = P [ N(d1) ] – X [ N(d2) ] e-r.t
d1 = Ln (40/38) + (0,09 + 0,112/2) x 150/360 = 0,5190
√0,112 x 150/360
d2 = 0,5190 – √0,112 x 150 /360 = 0,3029
De acordo com a tabela normal:
N(d1) = N(0,5190) = 0,698
N(d2) = N(0,3029) = 0,618
Substituindo no Modelo de Black-Scholes:
Valor da Opção = P [ N(d1)] – X [N(d2)] e-r.t
Valor da Opção = 40 x 0,698 – 38 x 0,618 x 2,7183-0,09 X 150/360
Valor da Opção de Compra = $5,30
O preço estimado da
opção pelo modelo de
Black-Scholes de $5,30 é
superior ao preço de
$4,00 que está sendo
negociado no mercado.
Conclui-se que a opção
está subavaliada no
mercado.
Interpolação Linear 
Utilizando os dados do Exemplo 1 de Black & Scholes 
e a Tabela da Distribuição Normal 
0,52 – 0,50 = 0,6985 – 0,6915 = 0,698
0,519 – 0,50 X – 0,6915
0,52 --- 0,6985
0,519 --- X
0,50 --- 0,6915
Derivativos - Opções - Black & Scholes
2. Considere uma opção de compra com as
seguintes características: Preço da ação = $ 28 /
Preço de exercício = $ 40 / Prazo de vencimento
= 6 meses / Variância do preço da ação = 0,50 /
Taxa de juros livre de risco = 0,06
a. Calcule o preço da opção de compra 
b. Calcule o preço da opção de venda usando a
relação de paridade entre opções de venda e
opções de compra.
Exemplos
Derivativos - Opções - Black & Scholes
      
   5.00.5x5.0
0.5x2/5.006.0$40 / $28ln  40.04033.0 =
   5.00.5x5.04033.0  90.09033.0 =d2 =
d1 =
a.
  1dN 3446.0   1841.0dN 2 
      20.5x0.06-1 dNxe40$dNx28$ Oc =
=
= $2.50
C + PV (E) – SOv =   28$06.01/40$50.2$
5.0

$13.35
=
=
b.
      0.1841e40$0.344628$ 0.5x0.06-