PRÁTICA DE ENSINO: ETNOMATEMÁTICA E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

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PRÁTICA DE ENSINO: 
ETNOMATEMÁTICA 
E HISTÓRIA DA 
MATEMÁTICA 
Professora Dra. Clélia Maria Ignatius Nogueira
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius.
 
 Prática de Ensino: Etnomatemática e História da 
Matemática. Clélia Maria Ignatius Nogueira.
 
 Reimpressão - 2019
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2018. 
 190 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Prática de Ensino. 2. Etnomatemática. 3. História. 4. EaD. 
I. Título.
ISBN 978-85-459-0236-2
 CDD - 22 ed. 512
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
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José Jhonny Coelho
Arte Capa
Arthur Cantareli Silva
Editoração
Robson Yuiti Saito
Revisão Textual
Keren Pardini
Ilustração
André Luís Onishi
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quan-
do investimos em nossa formação, seja ela pessoal 
ou profissional, nos transformamos e, consequente-
mente, transformamos também a sociedade na qual 
estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando 
oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capa-
zes de alcançar um nível de desenvolvimento compa-
tível com os desafios que surgem no mundo contem-
porâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialó-
gica e encontram-se integrados à proposta pedagó-
gica, contribuindo no processo educacional, comple-
mentando sua formação profissional, desenvolvendo 
competências e habilidades, e aplicando conceitos 
teóricos em situação de realidade, de maneira a inse-
ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais 
têm como principal objetivo “provocar uma aproxi-
mação entre você e o conteúdo”, desta forma possi-
bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação pes-
soal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cres-
cimento e construção do conhecimento deve ser 
apenas geográfica. Utilize os diversos recursos peda-
gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possi-
bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente 
Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e en-
quetes, assista às aulas ao vivo e participe das discus-
sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de 
professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
Professora Dra. Clélia Maria Ignatius Nogueira
Possui graduação em Licenciatura Em Matemática pela Faculdade de Filosofia 
Ciências e Letras de Tupã (1973), mestrado em Matemática pela Universidade 
de São Paulo (1979) e doutorado em Educação pela Universidade Estadual 
Paulista Júlio de Mesquita Filho (2002). Atualmente é professora convidada do 
programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da 
Universidade Estadual de Maringá e docente no Centro de Estudos Superiores 
de Maringá - CESUMAR. Atua na área de Educação, com pesquisas nas áreas 
de Educação Matemática; Educação de Surdos e em Epistemologia Genética. 
É autora de livros didáticos de Educação Matemática e de Libras para cursos 
de Pedagogia e de Educação Especial na modalidade a distância. Autora de 
livros sobre ensino de matemática segundo a perspectiva da epistemologia 
genética e sobre o ensino de matemática para surdos. É revisora dos seguintes 
periódicos: Zetétikè (Unicamp); Acta Scienciarum (UEM); RBEP (INEP); EMR: 
Educação Matemática em revista (SBEM); Ensaio: pesquisa em educação 
em ciências (UFMG); Psicologia em Estudo (UEM); Schème (UNESP); Práxis 
(UEPG); Em Teia(UFPE) e RPEM (Unespar). Participa dos seguintes grupos de 
pesquisa GIEPEM: Grupo Interdisciplinar de Estudos e Pesquisa em Educação 
Matemática (UEM); GEPEGE: Grupo de Estudos e Pesquisas em Epistemologia 
Genética e Educação (UNESP / Marília) e GEPSEM: Grupo de Estudos e 
Pesquisas em Surdez e Ensino de Matemática (UNESPAR). membro do 
GPEMCAM: Grupo de Pesquisas em Educação Matemática de Campo Mourão 
(UNESPAR); Vice coordenadora do GT1: Educação Matemática na Educação 
Infantil e Anos Iniciais do Ensino Fundamental e membro fundadora do GT13: 
Diferença, Inclusão e Educação Matemática da SBEM (Sociedade Brasileira de 
Educação Matemática).
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SEJA BEM-VINDO(A)!
No Brasil, quando buscamos um marco histórico para a discussão sobre o ensino de Ma-
temática, diríamos que até 1960 pouco se debateu sobre esse tema. Mesmo após essa 
data, por várias razões, a Matemática escolar não tinha capital simbólico e científico na 
escola. Além disso, faltavam professores e formação coerente com os campos disciplina-
res ligados à produção científica de um país ou do planeta. A ideia de ensinar nas escolas 
sempre se situou no campo da instrução sustentada na transmissão deconteúdos, na 
repetição das lições e na sua fixação. Caberia ao aluno repetir o que o professor falava. 
Os professores encaravam os alunos em uma sala de aula como ignorantes, sem cultura 
ou saberes, que deveriam ser transformados – por meio de uma imersão nos conteúdos 
escolares – em adultos cultos e úteis à sociedade. Os conhecimentos eram vistos como 
uma massa de conteúdos – de caráter universal – como legado das gerações mais ve-
lhas. 
Podemos dizer que a Matemática foi a primeira das disciplinas escolares a discutir pro-
blemas em seu ensino, com o surgimento de um movimento internacional de reformu-
lação curricular, no início do século XX, sob a liderança do matemático Felix Klein.
No Brasil, segundo Nogueira (2007), a reforma curricular consistiu basicamente em lar-
gar a matéria tradicional em favor de campos novos da Matemática e o que se pretendia 
era diminuir a distância entre o saber da disciplina e o saber escolar, não se enfatizando 
nenhuma discussão pedagógica acerca do ensino da Matemática. Essa preocupação 
pedagógica só se faz evidente com os estudos experimentais realizados por psicólogos 
europeus e norte-americanos acerca de como as crianças aprendiam Matemática, no 
início do século XX, e se constituía em buscar para a educação escolar um ensino de 
Matemática “[...] diferente daquele proveniente das engenharias que prescrevia méto-
dos puramente sintéticos, pautados no rigor das demonstrações” (PARANÁ, 2008, p. 47). 
Desses estudos, emergiram propostas de um ensino pautado em explorações indutivas 
e intuitivas, o que, de acordo com Schubring (2003), seria a base para configurar um 
novo campo de estudo, o da Educação Matemática.
Assim, se iniciava a constituição de um campo de conhecimento com o objetivo de 
compreender “[...] a comunicação do saber matemático e das transformações que esta 
comunicação produz nos alunos e no próprio saber” e “[...] os fenômenos do ensino e da 
aprendizagem do saber matemático (independentemente de que os estudos realizados 
resultem ou não na produção de métodos, técnicas ou materiais de ensino)” (LERNER, 
2001, p. 275). Esse campo científico teve início no Brasil no final dos anos 1970 e, segun-
do Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 9), seu objeto pode ser sintetizado como o estudo 
das “[...] múltiplas relações e determinações entre o ensino, a aprendizagem e o conhe-
cimento matemático em um contexto sócio cultural específico”. 
APRESENTAÇÃO
PRÁTICA DE ENSINO: ETNOMATEMÁTICA E 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Enfim, com essa primeira aproximação sobre o que é a Educação Matemática como 
campo de conhecimento, se pretendeu evidenciar que apenas o conhecimento da 
Matemática, de algumas noções superficiais de Didática Geral e mesmo os anos de 
experiência docente não são suficientes para a sua atuação profissional enquanto 
professor de Matemática. 
O principal objetivo desta disciplina é preparar você para ser um(a) educador(a) ma-
temático(a)! Apesar de visar à ação pedagógica e de apropriadamente apresentar 
explicitamente a expressão Prática de Ensino em sua denominação, esta disciplina 
é predominantemente teórica. Isso porque o processo educativo envolve ensino e 
aprendizagem, o que, segundo Alfonso (1991, p. 59), constitui-se em uma “[...] du-
alidade cujos termos correspondem, em linguagem coloquial à teoria e prática [...] 
a teoria descrevendo a forma como se aprende e a prática determinando como as 
pessoas devem atuar para que se aprenda”.
Assim, cotidianamente, o professor sustenta sua prática na teoria. É ela que dá sus-
tentação e confiança a sua atuação. São os conhecimentos teóricos que nos permi-
tem separar o que aceitamos e o que recusamos do que nos cerca, como, por exem-
plo, optar por determinado livro didático ou por determinado material pedagógico.
Para darmos conta da tarefa de apresentar um quadro teórico que permita a você 
atuar futuramente com segurança, organizamos este livro da seguinte forma:
Unidade I: História da Educação Matemática, que tem como propósito situar você 
neste novo campo científico, mostrando suas origens, objetivos e evolução.
Unidade II: Tendências em Educação Matemática (EM) pretende apresentar as di-
ferentes subáreas de conhecimento da EM, tanto no que se refere a abordagens 
metodológicas como a linhas de pesquisas.
Unidade III: História da Matemática como abordagem pedagógica. Trata-se de um 
dos objetos desta disciplina, que é mostrar as possibilidades pedagógicas para o 
ensino da Matemática deste campo de conhecimento.
Unidade IV: Etnomatemática como abordagem pedagógica. Como objeto de estu-
do desta disciplina, esta unidade pretende apresentar a etnomatemática, conside-
rada por seu principal teórico, o brasileiro Ubiratan D’Ambrósio, como estudo com-
parativo de técnicas, modos, artes e estilos de explicação, dentre outros aspectos, 
em realidades culturalmente diferentes, e explorar seu potencial desencadeador da 
aprendizagem matemática.
APRESENTAÇÃO
Unidade V: Práticas e experiências no ensino de Matemática utilizando História da 
Matemática e Etnomatemática como estratégias metodológicas. 
Finalmente, com as Conclusões, procuramos estabelecer relações entre os tópicos 
abordados no livro, apresentando um fechamento para as ideias tratadas nas cinco 
unidades.
Como pretendemos apresentar um quadro teórico referente a um campo de co-
nhecimento nascido há menos de cinquenta anos, ou seja, ainda em construção, 
em que determinados aspectos já estão solidamente constituídos enquanto outros 
ainda estão apenas esboçados, pressupõe-se que o que aqui se apresenta, mais do 
que verdades estabelecidas, são elementos de reflexão.
Bons estudos!
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
UNIDADE I
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
15 Introdução
16 Educação Matemática e Didática da Matemática 
21 A Evolução do Ensino da Matemática 
28 O Movimento da Matemática Moderna 
40 Considerações Finais 
UNIDADE II
TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
49 Introdução
50 Abordagens Educacionais para a Matemática 
55 A Resolução de Problemas 
59 O Recurso às Mídias Tecnológicas 
63 O Uso de Jogos e de Materiais Manipuláveis 
69 A Modelagem Matemática 
73 Investigações Matemáticas 
77 Considerações Finais 
SUMÁRIO
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UNIDADE III
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
85 Introdução
86 A História da Matemática na Contextualização do Saber 
93 A Importância da História da Matemática na Formação do Professor 
101 A História da Matemática como Agente de Cognição na Educação 
Matemática
107 Considerações Finais 
UNIDADE IV
ETNOMATEMÁTICA
115 Introdução
116 A Etnomatemática na Contextualização do Saber 
123 A Etnomatemática e a Formação do Professor 
128 A Etnomatemática e a Escola Inclusiva 
134 Considerações Finais 
SUMÁRIO
UNIDADE V
PRÁTICAS E EXPERIÊNCIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA
143 Introdução
144 Entrelaçando as Diferentes Tendências 
148 Uma Sequência Didática de Situações-Problema para a Construção do 
Conceito de Funções Utilizando a História da Matemática
161 Práticas e Experiências Didáticas Apoiadas na Etnomatemática 
168 Considerações Finais 
 
177 CONCLUSÃO
179 REFERÊNCIAS
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Professora Dra. Clélia Maria Ignatius Nogueira
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO 
MATEMÁTICA
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Refletir sobre o papel dos conhecimentos teóricos na prática 
pedagógica.
 ■ Conceituar Educação Matemática e Didática da Matemática.
 ■ Analisar a evolução do Ensino De Matemática.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Educação Matemática e Didática da Matemática
 ■ A Evolução do Ensino da Matemática
 ■ O Movimento da Matemática Moderna
INTRODUÇÃO
“Como educador matemático procuro utilizar aquilo que aprendi como matemá-
tico para realizar minha missão de educador”. Essa frase de D’Ambrósio (1996, p. 
14) deveria bastar para encerrar o dilema vivenciado pela maioria dos professo-
res de Didática e de Prática de Ensino ao ministrarem tais disciplinas noCurso 
de Licenciatura em Matemática. Afinal, de maneira abrangente, aquilo que é 
apresentado nessas disciplinas vai na contramão da experiência vivenciada pelos 
licenciandos ao cursarem disciplinas específicas, quase sempre ministradas por 
professores de Matemática que se enxergam como matemáticos (e provavelmente 
o são), que buscam desenvolver em seus alunos o mesmo amor que sentem pela 
Matemática em si. Dito de outra forma, ensinar Matemática para a Matemática.
Ensinar Matemática para aqueles que a escolheram como profissão é rela-
tivamente fácil, o problema é o ensino desta disciplina para aqueles que não 
apenas não têm nenhum interesse por ela e como também se sentem “obriga-
dos” a estudá-la. Para esses alunos, é fundamental um professor que conheça 
muito bem Matemática, afinal, ninguém ensina o que não sabe, mas seus conhe-
cimentos precisam extrapolar os conteúdos específicos. Ele precisa ser capaz 
de compreender os diversos fenômenos envolvidos nos processos de ensinar e 
aprender Matemática. 
De acordo com D’Ambrósio (1996, p. 13), o primeiro passo para isso é o 
professor se entender como um “[...] educador que tem a matemática como sua 
área de competência e seu instrumento de ação, mas não como um matemático 
que utiliza a educação para a divulgação de suas habilidades e competências”.
Este é o objetivo desta unidade: apresentar a Educação Matemática, objeti-
vos, origem e evolução, como a área de conhecimento que objetiva a formação 
de professores de Matemática que sejam, antes de tudo, educadores. 
Introdução
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HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E DIDÁTICA DA 
MATEMÁTICA
É somente a partir dos anos 60 do século XX que o fracasso escolar se tornou 
uma preocupação mundial e, desde então, inúmeras teorias foram elaboradas 
procurando esclarecer por que isso acontece sem que nenhuma delas obtivesse 
pleno êxito. Ao longo desse período, no mundo todo, foram propostas mudan-
ças curriculares, aconteceram rupturas teóricas e ideológicas, multiplicaram-se 
as orientações metodológicas fundamentadas em diferentes teorias de aprendi-
zagem, mas a realidade educacional a tudo resiste.
Diversas propostas já foram colocadas em prática, algumas alterando apenas 
os conteúdos das propostas curriculares, outras se fixando na questão metodo-
lógica, além daquelas que propunham alteração tanto nos conteúdos quanto na 
forma de tratá-los, porém qualquer que seja a proposta, o seu sucesso depende, 
essencialmente, do professor. Salvo exceções, todavia, a obsessão pela ação, a 
premência em “passar do discurso à prática”, não permite que os professores 
reflitam sobre seu fazer pedagógico.
Uma das razões para isso é o fato de que a maioria dos professores ainda 
compartilha da conhecida concepção de ensino e aprendizagem que já faz parte 
do senso comum: “ensinar consiste em explicar exaustivamente e aprender con-
siste em repetir (ou exercitar) o ensinado até repeti-lo fielmente”. 
Educação Matemática e Didática da Matemática
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Essa maneira de atuar do docente, conforme já mencionamos na apresenta-
ção deste livro, o fazia encarar os alunos em uma sala de aula como ignorantes, 
sem cultura ou saberes, que seriam transformados em cidadãos produtivos sim-
plesmente pela transmissão dos conteúdos escolares. 
O primeiro campo do conhecimento a se preocupar com os problemas de 
ensino e aprendizagem foi a Psicologia da Educação, a qual, sozinha, não avançou 
muito. Mesmo com o auxílio da Didática Geral, que é o campo do conheci-
mento “[...] que estuda os objetivos, os conteúdos, as formas e os processos de 
ensino, tendo em vista as finalidades educacionais”, tradicionalmente a disci-
plina suporte para a ação pedagógica, a Psicologia da Educação não conseguiu 
resolver os problemas do ensino, por uma razão que, vista de hoje, parece bem 
simples: não se consideravam as especificidades das diferentes áreas de conhe-
cimento (MATEUS, 2014, p. 16).
Quando estabelecemos como necessária a construção de um novo conhe-
cimento em didática, desvinculado da Psicologia da Educação e da Didática 
Geral, a principal justificativa para isso foi que essa discussão deveria enfocar 
os conhecimentos específicos de cada área, acompanhando assim as especifici-
dades epistêmicas e históricas de cada campo de saber.
Mas por que isso foi importante? Primeiro porque saímos da ideia de didática 
geral que ensina tudo a todos sem questionar as especificidades dos conheci-
mentos. Segundo porque essas especificidades levam a singularidades ou a 
racionalidades múltiplas do sujeito que aprende. 
Isso significa que, para ensinar Matemática, é preciso compreender que sua 
natureza dedutiva e não experimental leva os aprendizes a pensarem esse campo 
de forma diferente de ciências como a Biologia, a Física e a Química. 
É evidente que Matemática é também uma ciência e que por ciências com-
preendemos conhecimentos da Física, da Biologia e da Química que também 
diferem entre si. Todavia, esses três últimos campos científicos se sustentam, com 
mais ou menos intensidade, na experimentação, enquanto o conhecimento mate-
mático se sustenta na reflexão, exigindo do professor a utilização de estratégias 
e métodos diferenciados em sala de aula. Dessa constatação é que emergiram as 
discussões sobre a necessidade de didáticas específicas.
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Para Cachapuz et al. (2011), os próprios psicólogos da educação rejeitaram 
a ideia de que as leis de aprendizagem seriam as mesmas, independente do tipo 
de conhecimento em questão. O que tínhamos para o ensino de Ciências, de 
humanidades e da Matemática era uma importação direta dos saberes psico-
lógicos (de caráter mais geral) para resolver os problemas didáticos (de caráter 
mais específico). Estava estabelecido, assim, o cenário para o surgimento das 
Didáticas Específicas, como a Didática das Ciências e a Didática da Matemática. 
De acordo com Lerner (2001), foi a Didática da Matemática que contribuiu 
de maneira decisiva para delimitar o campo da Didática e explicar o objeto e os 
métodos de estudo que lhes são particulares. 
Ao definir a problemática a ser estudada – a comunicação do saber 
matemático e das transformações que esta comunicação produz nos 
alunos e no próprio saber – ao assumir-se como uma disciplina orien-
tada a compreender os fenômenos do ensino e da aprendizagem do 
saber matemático (independentemente de que os estudos realizados 
resultem ou não na produção de métodos, técnicas ou materiais de en-
sino), a Didática da Matemática realizou um aporte essencial às outras 
didáticas específicas e permitiu uma diferenciação mais nítida entre os 
problemas psicológicos e os didáticos (LERNER, 2001, p. 275).
Para os membros da escola francesa, o estabelecimento da Didática da Matemática 
com o objetivo de empreender investigações com o objetivo de contribuir para 
não apenas resolver problemas didáticos, mas, principalmente, estudar os pro-
cessos de construção dos conhecimentos matemáticos escolares corresponde a 
uma terceira etapa dos estudos relacionados aos processos de ensinar e de apren-
der Matemática, denominando a primeira dessas etapas de “antiga” e a segunda 
de “clássica”.
A etapa “antiga” corresponderia a uma ausência de profissionalização, na qual 
o ensino e a aprendizagem da Matemática eram encarados como uma arte asso-
ciada aos talentos inatos do professor e do aluno. O fundamental era o domínio 
dos conteúdos pelo professor. Trata-se da submissão da Didática à Matemática.Na etapa “clássica”, começam a ser discutidos alguns assuntos relacionados 
à atuação do professor, como, por exemplo, os conhecimentos prévios dos alu-
nos, a motivação para a aprendizagem, técnicas para a resolução de problemas, 
a avaliação e, o mais importante, se trata de uma didática que vai utilizar outras 
Educação Matemática e Didática da Matemática
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disciplinas para explicar ou justificar seus “fazeres”. É nessa etapa que são usados 
os trabalhos de Piaget, Vygotsky, Bruner, entre outros. Um exemplo de investi-
gações da Didática da Matemática clássica, centrada na aprendizagem do aluno, 
é a teoria da Aprendizagem Significativa de David Ausubel, em que o objeto da 
investigação é essencialmente voltado a qual é o conhecimento do aluno e a 
como esse conhecimento evolui. O outro enfoque das investigações da Didática 
“clássica” da Matemática é a atividade do professor, obviamente direcionada 
para a aprendizagem do aluno e, nesse caso, afirma-se a necessidade de incor-
porar conhecimentos de outras disciplinas, como a Psicologia da Aprendizagem, 
a Sociologia, a História da Matemática, entre outras, porém os fatos didáticos 
não modificam as noções importadas dessas disciplinas, isto é, trata-se de jus-
taposição, continuando ainda muito forte a orientação a partir dos fenômenos 
psicológicos. Podemos dizer que, no caso clássico, temos uma redução da Didática 
à Psicologia na explicação dos fenômenos didáticos da Matemática.
A terceira etapa, segundo os estudiosos franceses, é que pode ser caracte-
rizada como a Didática “Fundamental”, etapa esta necessária, uma vez que nas 
anteriores não era possível resolver assuntos específicos dos “fazeres” da Didática 
da Matemática como, por exemplo, o papel da resolução de problemas na apren-
dizagem da Matemática, que tipos de relações podem ser estabelecidos entre as 
aprendizagens da Aritmética, da Álgebra e da Geometria; a aquisição de con-
ceitos matemáticos precisos e formais; ou, ainda, o estabelecimento de critérios 
para a elaboração de currículos para os diferentes níveis de ensino.
Assim, de acordo com esses estudiosos, sob a denominação “Didática 
Fundamental da Matemática” se pretende constituir uma ciência da comunica-
ção dos conhecimentos matemáticos e de suas transformações.
Aqui, não temos mais a Didática submetida nem à Matemática nem à 
Psicologia, apesar de recorrer à segunda e ter como ponto de partida a primeira. 
Para Brousseau (1989), a Didática da Matemática é o conjunto de meios e pro-
cedimentos que buscam favorecer a aprendizagem da Matemática.
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Sintetizando, a Didática da Matemática é o campo do conhecimento que 
estuda as ações necessárias à difusão dos conhecimentos matemáticos, enquanto 
que, por educação matemática, podemos entender tanto “[...] a prática pedagógica 
conduzida pelos desafios do cotidiano escolar” quanto uma área de conhecimento 
científico (PAIS, 2002, p. 10). Nesse último caso, a Educação Matemática é a: 
[...] grande área de pesquisa educacional cujo objeto de estudo é a com-
preensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao ensino 
e à aprendizagem da matemática, nos diferentes níveis de escolaridade, 
quer seja em sua dimensão teórica ou prática (PAIS, 2002, p. 10).
De maneira resumida, Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 5) apresentam a Educação 
Matemática como “[...] uma área de conhecimento das ciências sociais ou huma-
nas que estuda o ensino e a aprendizagem da matemática”, sendo “[...] resultante 
das múltiplas relações que se estabelecem entre o específico e o pedagógico num 
contexto constituído de dimensões histórico-epistemológicas, psicognitivas, his-
tórico-culturais e sociopolíticas”. 
Apesar de as discussões sobre o ensino da Matemática terem sido fortale-
cidas já no início do século XX, “[...] as produções nesta área começaram a se 
multiplicar com o declínio do Movimento da Matemática Moderna, mais pre-
cisamente a partir da década de 1970” (PARANÁ, 2008, p. 47). Dessa forma, é 
possível inferir que a consolidação da Educação Matemática como área de pes-
quisa é bem recente, entretanto, nas últimas décadas do século XX e na década 
inicial do século XXI, apresentou grande desenvolvimento, “[...] dando origem 
a várias tendências teóricas, cada qual valorizando determinadas temáticas edu-
cacionais do ensino da matemática”, das quais a Didática da Matemática é uma 
delas (PAIS, 2002, p. 10).
Assim, 
A didática da matemática é uma das tendências da grande área de edu-
cação matemática, cujo objeto de estudo é a elaboração de conceitos e 
teorias que sejam compatíveis com a especificidade do saber escolar 
matemático, procurando manter fortes vínculos com a formação de 
conceitos matemáticos, tanto em nível experimental da prática peda-
gógica, como no território teórico da pesquisa acadêmica (PAIS, 2002, 
p. 11).
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A História da Matemática no ensino da Matemática e a Etnomatemática, desta-
ques nessa disciplina, são também tendências teóricas da Educação Matemática. 
Em nossa próxima unidade, trataremos com mais detalhes das tendências atu-
ais da Educação Matemática.
A EVOLUÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
A importância da disciplina 
Matemática na educação de 
crianças e jovens parece hoje 
inquestionável. Integrando 
o conjunto de disciplinas 
que compõem o núcleo 
comum, a Matemática faz 
parte dos currículos esco-
lares da Educação Infantil, 
do Ensino Fundamental 
e Médio. Atualmente, na 
Educação Fundamental de 
todos os países do mundo, 
a carga horária destinada à 
matemática é igual ou superior 
à das demais disciplinas. Entretanto, nem sempre foi assim.
A Matemática tem suas primeiras manifestações ainda no período paleolítico, 
manifestações estas que se ligavam diretamente às necessidades práticas do con-
texto social, acarretando que, enquanto conhecimento, passasse por momentos 
de importância qualitativamente diferentes durante o seu longo desenvolvi-
mento. Assim também ocorre com o seu ensino. Sua maior ou menor ênfase 
está estreitamente ligada à importância desfrutada pela matemática em deter-
minado contexto social.
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
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Em um passado não muito distante, se uma criança devia ou não aprender 
Matemática, dependia da profissão para a qual estava sendo preparada. Durante 
o período colonial americano, foram organizadas escolas especiais para treinar 
os alunos nas habilidades de calcular porque a Companhia Holandesa das Índias 
Ocidentais precisava de homens treinados em cálculos para serem encarregados 
de seus negócios. Naquele contexto, ser um hábil calculista não era considerado 
nada mais do que um simples ofício.
Para a aristocracia do período colonial americano (tal como na Grécia Antiga, 
onde apenas a Geometria era valorizada), uma pessoa que soubesse calcular 
servia apenas para desempenhar funções menos importantes, ao contrário da 
leitura e da escrita, que eram consideradas imprescindíveis e seu ensino exigido 
por lei nos Estados Unidos desde 1679. A Aritmética, por seu lado, permane-
ceria ausente dos currículos escolares americanos durante um longo período 
(D’AUGUSTINE, 1976). 
Na Europa, por outro lado, em cursos intitulados Lições de Pedagogia, minis-
trados durante a segunda metade do século XVIII aos estudantes da Universidade 
de Könisgberg, o filósofo alemão Emmanuel Kant evidenciava a importância do 
ensino de Matemática às crianças. Esse ensino era importante, de acordo com 
Kant, não apenas pelo conteúdointrínseco e utilidade prática da Matemática, 
mas, também, pela sua contribuição à memória. Por ser uma ciência ao mesmo 
tempo rigorosamente dedutiva e que se adapta exatamente à experiência, a 
Matemática se apresentava para o grande filósofo, do ponto de vista pedagógico, 
como a única disciplina capaz de proporcionar aos aprendizes a possibilidade 
da “união entre o saber e a capacidade”, entre a razão e a experiência: “Na ins-
trução da criança é preciso unir pouco a pouco o saber e a capacidade. Entre todas as 
ciências parece que a Matemática é a única para se obter da melhor maneira essa fina-
lidade” (KANT, 1996, p. 70).
Fica evidente que, apesar do estágio de desenvolvimento científico-cultural da 
época, a Matemática ainda não era considerada uma disciplina “necessária” na 
educação infantil.
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A educação infantil até então era realizada a domicílio, por professores par-
ticulares, sendo que, na sua grande maioria, as primeiras escolas criadas eram 
destinadas a adultos e não tinham por objetivo ensinar os rudimentos escolares, 
ao contrário, poderiam ser caracterizadas como grupos de estudos orientados.
As primeiras informações “confiáveis” com relação à criação de escolas as 
quais deram origem posteriormente às universidades datam do século VIII d.C., 
durante o reinado de Carlos Magno (768 – 814) com a criação de escolas reli-
giosas, o que continuou acontecendo na corte de Alfredo, o Grande, no século 
seguinte (SILVA, 1992).
A intenção de Carlos Magno era elevar o nível educacional do clero em seu 
reino, constituído na sua maioria por analfabetos e, com isso, não ficar atrelado 
à direção da Igreja em Roma. Além disso, em virtude do enfraquecimento do sis-
tema feudal e do desenvolvimento comercial e artesanal dos burgos, o monarca 
planejava, também, a escolarização das crianças urbanas e das camponesas que 
morassem nas cercanias dos mosteiros.
Uma das idéias do monarca era que, uma vez alfabetizados, os religio-
sos pudessem compreender e ensinar devidamente a fé cristã. E, desse 
modo, o clero poderia ajudar no domínio de seu vasto império, subju-
gando, via religião – ao lado de seus exércitos – a crescente população 
dos burgos e cidades episcopais (SILVA, 1992, p. 16).
Assim, a partir do reinado de Carlos Magno, no século VIII e nos séculos IX e 
X, em virtude das transformações sociais e econômicas pelas quais atravessava 
todo o Ocidente, as escolas religiosas e as dos Palácios (destinadas à nobreza e 
seus filhos) são ampliadas e, nos séculos seguintes, devido ao aprofundamento 
das mudanças nas estruturas econômico-sociais, dão início ao florescimento das 
universidades europeias (SILVA, 1992).
Com a pressão da burguesia, passaram a surgir “escolas livres”, isto é, locais 
fora das igrejas, e bastava existir um professor para que os alunos aparecessem 
e estava criado “um centro de estudos”. Por volta do século XII começaram a 
surgir associações de mestres e discípulos que ficaram inicialmente conhecidas 
como studia e, posteriormente, devido ao seu significado universal, passaram a 
ser chamadas de studia generalia. Os mais famosos studia generalia foram os de 
Bologna, na Itália, e os de Paris, na França.
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No século XIII, aconteceu a criação dos Estudos Gerais de Lisboa, que 
depois foram transferidos para Coimbra e se transformaram na Universidade 
de Coimbra. É nessa Universidade que se formaram os primeiros docentes do 
curso de Matemática da Academia Real Militar da Corte do Rio de Janeiro, a 
primeira escola de Matemática do Brasil, fundada em 1810.
O nível do ensino de Matemática no Brasil, no início do século XIX, pode 
ser depreendido da decisão da Corte, de 22 de junho de 1809, na qual ficava esta-
belecido que a cadeira de Álgebra, Aritmética e Trigonometria, cuja criação na 
Corte era recomendada pela Carta-Régia de 19 de agosto de 1799, era destinada 
a pessoas que desejassem distinguir-se nas diferentes ocupações e empregos da 
sociedade, de caráter científico ou mecânico (CARVALHO, 2000).
[...] convém pelo menos que os seus elementos ou primeiros ramos, 
como são a aritmética, a álgebra, a geometria teórica e prática se tor-
nem vulgares, e constituam uma das primeiras instruções da mocida-
de; por este justificado motivo se deve criar a dita cadeira, na qual se 
ensinará aritmética e álgebra até equações do 2º grau, inclusivamente; 
a geometria teórica e prática e trigonometria. Este professor ensinará 
o cálculo numérico provisoriamente com o algébrico, tanto das quan-
tidades inteiras como fracionárias; a resolução das equações algébricas 
do 1º e 2º grau; e formação de potências, e extração de suas raízes; a 
teoria das proporções e progressões; regra de três simples e composta, 
direta e inversa, as de sociedade, de liga e falsa posição, terminando o 
ensino de aritmética e álgebra com a resolução dos diferentes proble-
mas de mais uso no comércio, como são os que pertencem a juros ou 
interesses, etc., e com explicação do uso das tábuas de Price, insertas no 
tratado das pensões vitalícias de Saint Cirau, publicadas em português. 
No ensino da geometria teórica [...] (CARVALHO, 2000, p. 91-92).
A decisão estabelecia também os conteúdos programáticos para a geometria 
teórica e prática. O que é interessante destacar é que a sequência recomendada 
(primeiro a parte teórica, depois as aplicações práticas) ainda está presente na 
maioria dos livros didáticos.
Até 1808 eram proibidas no Brasil a circulação de jornais, as escolas superio-
res, a impressão de livros e panfletos, bem como a existência de gráficas (SILVA, 
1992).
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A implantação das primeiras escolas no Brasil aconteceu por intermédio 
dos padres da Companhia de Jesus e pela política colonizadora iniciada pelo 
rei D. João III. As primeiras escolas foram a da Bahia, criada pelo padre jesuíta 
Vicente Rijo Rodrigues, em 1549, e a de São Vicente criada pelo padre Manuel 
da Nóbrega em 1550. A escola de São Vicente destinava-se à instrução de doze 
órfãos trazidos de Portugal e, nela, assim como na da Bahia, não havia aulas de 
Matemática; era apenas ensinado a ler e a escrever.
As primeiras aulas de Matemática foram ministradas no Brasil no Colégio 
da Bahia (instituição inaciana), em 1572. O curso era de ciências naturais e nele 
se estudava, durante três anos, Matemática, Física, Ética e Metafísica. Esse curso 
era de nível superior e ficou conhecido como Curso de Artes e graduava bacha-
réis e licenciados.
Em 1573, os jesuítas inauguraram o Colégio do Rio de Janeiro e ali teve 
início um curso onde se ensinava a ler e escrever os algarismos e as quatro ope-
rações algébricas.
Outras ordens religiosas que se encontravam já estabelecidas no Brasil tam-
bém iniciaram a oferta de aulas em seus conventos, entretanto, fossem inacianas 
ou não, as escolas existentes no Brasil destinavam-se apenas a alunos do sexo 
masculino.
Também existiram no Brasil, a partir da segunda metade do século XVI, clas-
ses particulares (não eram colégios), dirigidas por professores não religiosos. A 
primeira delas surgiu no Rio de Janeiro em 1578, dirigida pelo escrivão Francisco 
Lopes, em que se ensinava as quatro operações. Pernambuco e São Paulo pas-
saram a ter classes particulares a partir de 1585, mas “em todas elas o reino da 
Matemática não ia além das quatro operações algébricas” (SILVA, 1992, p. 34).
Apesar dessas iniciativas, a educação no Brasil é conduzida pelos jesuí-
tas até a sua expulsão em 1759, pelo marquês de Pombal, e se caracteri-
zava pela ênfase a uma culturaclássica e humanística, sendo a matemá-
tica ensinada como simples ferramenta necessária para as necessidades 
imediatas do dia-a-dia (CARVALHO, 2000, p. 91).
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As reformas no ensino brasileiro tiveram início com a reforma pombalina em 
Portugal e, com a chegada de D. João VI, em 1808, o Brasil foi descoberto de fato, 
proporcionando um grande impulso nas questões educacionais. A Matemática 
tornou-se obrigatória em todos os níveis de ensino no Brasil em 1826, com a 
reforma Januário Cunha Barbosa, que organizou o ensino, dividindo as escolas 
em pedagogias, liceus, ginásios e academias.
De um modo geral, podemos então dizer que, por volta de 1800, a Matemática 
já era ensinada nas escolas da maioria dos países do mundo, porém esse ensino 
consistia, basicamente, em como resolver problemas mediante o uso de regras. 
Os livros dessa época continham um grande número de problemas e regras rela-
tivas a negócios e ao comércio e não se destinavam a ensinar crianças. Raramente 
se ensinava algo além de contagem e operações com números pequenos a crian-
ças menores de dez anos.
O caráter dos livros de matemática começou a mudar em torno de 1820, 
com o método de apresentação do assunto partindo do concreto ao abstrato, 
sem enfatizar a simbolização, que era feita posteriormente. Havia a preocupa-
ção em motivar os alunos com a introdução de conceitos por meio de problemas 
aplicados.
O currículo de Matemática, nos fins do século XIX, recebeu influências de 
duas concepções divergentes sobre a disciplina e que ainda hoje são fortemente 
presentes: a de disciplina formal e a de disciplina de caráter indutivo. Os defensores 
da disciplina formal acreditavam que a mente da criança poderia ser desenvol-
vida por meio de um treino intensivo mediante exercícios repetidos – como o 
utilizado pelo popular Método Kumon – e os seus opositores apregoavam que 
se chegava aos conceitos aritméticos de maneira indutiva, por meio do uso de 
objetos, e não pela aplicação de regras.
No começo do século XX, começou a preocupação com a aplicação dos con-
teúdos escolares à vida real dos adultos, e esse fato levou a abusos, tais como: 
ensinar juros e taxas para crianças do então ensino primário.
No final dos anos 20 do século XX, inicia-se a preocupação com a idade 
mental adequada à aprendizagem de alguns tópicos de Matemática. Inúmeros 
estudos foram feitos acerca do desenvolvimento cognitivo das crianças, estu-
dos esses que exerceram enorme influência nos currículos escolares nos vinte 
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anos seguintes, embora diversas pesquisas provassem que o lugar e a época em 
que determinado tópico deveria ser colocado dentro do currículo dependia da 
maneira como ele ia ser ensinado (D’AUGUSTINE, 1976).
Mesmo com algumas alterações, os currículos atuais refletem o modelo 
daquela época, com os seis primeiros anos do Ensino Fundamental enfatizando 
a Aritmética e os dois últimos apresentando a Álgebra e os fatos mais simples 
da Geometria Indutiva. O Ensino Médio continua com a Álgebra, a Geometria 
é a dedutiva e aparece a Trigonometria. As mudanças que ocorreram, mormente 
as baseadas em estudos sobre a criança, tiveram caráter mais metodológico, dei-
xando fixos os conteúdos curriculares.
Pesquisas evidenciaram que as crianças melhoravam a sua aprendizagem 
quando os conteúdos eram trabalhados a partir do concreto para o abstrato, 
fato que motivou o uso de muito material manipulável, os materiais concretos, 
no ensino de Matemática. Outras pesquisas determinaram que os problemas 
deveriam ser orientados no sentido de aproveitar as experiências anteriores da 
criança; outras ainda indicaram que a Aritmética requeria um período de tempo 
maior para ser compreendida, dando origem ao ensino em espiral.
Diversos foram os movimentos pela reformulação do ensino de Matemática 
a partir de 1920, tais como o Movimento Progressivo, o movimento dos defensores 
da Gestalt, movimento em favor do Ensino pela Compreensão e, o mais impor-
tante deles, o Movimento da Matemática Moderna.
O movimento progressivo buscava atender às necessidades da criança utilizan-
do-se de experiências significativas para a mesma. Embora essa metodologia tenha 
sido abandonada por ocasionar muitas lacunas na aprendizagem da Aritmética, 
ela deixou um legado importante: o de que a criança, quando está motivada, 
aprende melhor.
Depois de 1920 chegaram os defensores da Gestalt. Para esses estudiosos, 
a organização da aprendizagem deve basear-se na percepção total, centrando-
-se mais no todo que nas partes. O aspecto positivo que ficou desse movimento 
foi a consciência de que é preciso menos repetição para dominar os conceitos 
quando a situação é significativa.
A partir de 1930 cresceu o movimento em favor do ensino pela compreensão e, 
junto com a situação significativa, recomendava-se desenvolver uma habilidade.
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O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA
Durante as décadas de 50 e 60 do 
século XX, o ensino de Matemática, 
em diferentes países, foi influenciado 
por um movimento de renovação que 
ficou conhecido como Matemática 
Moderna.
A constatação de que o ensino 
de Matemática apresentava proble-
mas e necessitava de reformulações 
não era nenhuma novidade, e, desde 
o século XIX, discussões e estudos 
sobre o tema eram realizados. Tais atividades foram intensificadas a partir das 
décadas iniciais do século XX e ficaram registradas em inúmeras publicações 
a respeito, como a citação abaixo, de autoria de dois grandes matemáticos con-
temporâneos, que, apesar de publicada em Madri no ano de 1967, a original, 
publicada nos Estados Unidos, data da segunda metade da década de quarenta.
Há mais de dois milênios, uma certa familiaridade com a Matemática é 
considerada como parte indispensável da formação intelectual de uma 
pessoa culta. Atualmente, sem dúvida, se encontra em grande perigo o 
posto tradicionalmente ocupado por esta disciplina na educação, infe-
lizmente, alguns dos profissionais que a representam compartilham a 
responsabilidade por tal situação. O ensino de Matemática tem se dege-
nerado, freqüentemente, num vazio treinamento de resolução de pro-
blemas que, se pode desenvolver uma habilidade formal, não conduz, 
em troca, a uma compreensão efetiva nem a uma maior independência 
intelectual. A investigação matemática mostra uma tendência para a 
super especialização e para uma excessiva insistência no abstrato; as 
aplicações e conexões com outros campos do saber têm sido descuida-
das. Sem dúvida, tal estado de coisas não deve justificar uma política de 
retraimento. Ao contrário, a reação oposta pode e deve partir daqueles 
que se sentem conscientes do valor intelectual da disciplina. Professo-
res, estudantes e público culto pedem uma reforma construtiva e não 
uma resignação seguindo a linha da menor resistência. A meta será 
uma verdadeira compreensão da Matemática como um todo orgânico 
e como base para o pensamento e a ação científicos (COURANT; RO-
BBINS, 1967, prólogo da primeira edição, p. ix).
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No princípio da década de 1950, e mesmo antes, já existia o consenso de que 
o ensino de Matemática malograra e não estava atendendo a quem ensinava e, 
menos ainda, a quem aprendia.
Como acontece ainda hoje com pessoas adultas, que por pelo menos durante 
12 anos estudaram Matemática na Educação Básica, os adultos daquela época 
pouco ou nada retinham do conteúdo estudado a não ser nomesfamosos, como 
Teorema de Pitágoras, apesar de não se recordarem do enunciado, ou fórmulas 
exaustivamente memorizadas sem a devida compreensão, como a do quadrado 
da soma de dois números reais quaisquer, x e y, dada por: (x+ y)2 = x2 + 2xy + 
y2 , sem falar, é claro, na total incapacidade de operar com frações, conteúdo 
que aparece no quarto ano do Ensino Fundamental e acompanha o indivíduo 
nos nove anos restantes, fazendo com que muitos afirmem que nada sabem de 
Matemática, o que é evidentemente um exagero.
Quando os Estados Unidos entraram na Segunda Guerra Mundial, ficou 
patente para os militares que os soldados pouco sabiam de Matemática e foram 
instituídos cursos especiais para melhorar seus desempenhos. Tal fato motivou 
a necessidade de se “reformar” o ensino de Matemática, e, embora sejam muitos 
os fatores envolvidos em qualquer atividade de ensino, os grupos que empreen-
deram a reforma concentraram-se no currículo, acreditando que, se este fosse 
melhorado, todo o ensino teria êxito.
Esses grupos de reformas eram integrados por matemáticos profissionais, 
os quais verificaram que as escolas de todos os países tratavam ainda das noções 
mais antigas da Matemática, em particular, da Matemática grega, e que o conhe-
cimento mais recente existente nos programas escolares dessa disciplina datava 
de, no mínimo, 200 anos e, portanto, as conquistas mais recentes da ciência 
Matemática não estavam contempladas nos currículos.
O conflito político entre Rússia e Estados Unidos, particularmente, ao final 
da década de 1950, influenciou intensamente a educação na década seguinte. No 
outono de 1957, os russos lançaram seu primeiro Sputnik e esse fato convenceu 
o governo norte-americano (e todo o país) de que estavam atrasados, em rela-
ção aos russos, em Ciências e em Matemática.
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Na verdade, o que ficou enfatizado foi o fato de que a educação intelectual 
não recebia a ênfase necessária, com a valorização excessiva da memorização e 
do treinamento, em detrimento da compreensão e criatividade.
Como quase sempre acontece na história da Educação, eventos externos obri-
garam os educadores a revisar suas práticas e a ultrapassar seus preconceitos. 
A corrida espacial estimulou o fomento das agências governamentais america-
nas e surgiram muitos grupos interessados em criar um novo currículo para 
a Matemática, incrementando, assim, o Movimento da Matemática Moderna.
Não há consenso quanto à pertinência do nome “Matemática Moderna” e, 
para alguns estudiosos, a palavra “moderna” seria inadequada, sendo mais apro-
priada a expressão “matemática revolucionária”, porque a reforma do currículo 
conteria muitas características que normalmente são associadas a uma revolu-
ção (D’AUGUSTINE, 1976, p. xxi).
Para outros estudiosos, a expressão “Matemática Moderna” seria apropriada, 
pois a principal mensagem dos grupos que trabalharam na mudança curricular 
era a de que o “ensino de Matemática tinha malogrado porque o currículo tra-
dicional oferecia ‘Matemática antiquada’, que era como se referiam à Matemática 
criada antes de 1700” (KLINE, 1976, p. 34).
É preciso ficar claro que não foram apenas os fatores externos, tais como 
o lançamento do Sputnik ou o rápido desenvolvimento da sociedade técnica 
nos anos 1950, cujo mercado necessitava de pessoas com boa preparação em 
Matemática, que caracterizavam a urgência de uma nova postura frente ao ensino 
dessa disciplina. Fatores “internos” ou pedagógicos vinham, desde os anos 20 
do século passado, instigando os profissionais da área a buscarem mudanças. 
Podem ser considerados fatores favoráveis ao começo da “revolução”, de acordo 
com D’Augustine (1976, p. xxi):
 ■ Informações contínuas sobre o modo pelo qual as crianças aprendiam.
 ■ Melhor conhecimento da estrutura básica da Matemática.
 ■ Tentativas bem-sucedidas de unificar os conhecimentos matemáticos.
 ■ Reconhecimento de que a continuidade do ensino nas diferentes séries 
não era o suficiente.
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 ■ Reconhecimento de que o ensino da Aritmética era totalmente orientado 
para desenvolver habilidades de computação.
 ■ Reconhecimento de que a sequência no ensino da Matemática era mais 
histórica do que lógica.
 ■ Reconhecimento da sociedade de uma maior competência em Matemática.
 ■ Reconhecimento do melhor preparo do professor.
Por se restringir às mudanças curriculares, a reforma realizada pelo Movimento 
da Matemática Moderna consistiu, basicamente, em se substituir conteúdos tra-
dicionais por campos novos, como o da Álgebra abstrata, da Topologia, da Lógica 
simbólica e da Álgebra de Boole (KLINE, 1976, p. 35). 
A Matemática a ser ensinada era aquela concebida como lógica, compre-
endida a partir de estruturas que conferiram um papel importante à linguagem 
matemática. O que se pretendia era diminuir a distância entre o saber ensinado 
e o saber da disciplina. Era como se os alunos tivessem conhecimento do imenso 
fosso existente entre os conteúdos da escola e os avanços da disciplina e, por 
essa razão, se recusavam a aprender a matéria. A Matemática moderna buscava 
então aproximar os conteúdos escolares da Matemática dos pesquisadores, cen-
trando seu ensino nas estruturas e fazendo uso de uma linguagem unificadora, 
a linguagem da teoria dos conjuntos.
A “moderna matemática” apresentava alto nível de generalidade, ele-
vado grau de abstração e maior rigor lógico. Podendo ser identificado 
com as estruturas e a axiomatização, ela surgiu com o desenvolvimento 
dos três ramos seguintes:
1. As extensões da noção de número e o aparecimento da álgebra abs-
trata.
2. O nascimento das geometrias não euclidianas de Gauss, Lobache-
vsky e Bolyai, seguido mais tarde pelas axiomatizações da geome-
tria de Euclides realizadas por Pasch, Peano e, sobretudo, Hilbert 
(1899).
3. O desenvolvimento da lógica, com a publicação da famosa obra de 
Boole em 1854 e as contribuições, dentre outros, de Frege e Pea-
no, para culminar no monumental tratado de Russell e Whitehead 
(MIORIM, 1998, p. 110).
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
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O estilo formalista de exposição matemática do qual o principal exemplo é a 
obra do grupo francês Bourbaki penetrou gradualmente no ensino da Matemática, 
mesmo em níveis mais elementares.
O desenvolvimento dessa “moderna Matemática”, cada vez mais distan-
tes da antiga concepção de Matemática como ciência da quantidade, 
culminou com os trabalhos de Nicolas Bourbaki (nome fictício, de um 
grupo de matemáticos, na maioria franceses) cujo objetivo central con-
sistia na exposição de toda a Matemática de forma axiomática e uni-
ficada, em que as estruturas seriam os elementos unificadores (MIO-
RIM, 1998, p. 110).
Vale destacar que essa revolução no ensino da Matemática partiu dos mate-
máticos profissionais que não concordavam com os conteúdos ensinados e, por 
não existirem maiores preocupações de ordem pedagógica, prevaleceu a crença 
de que o êxito da reforma dependia apenas da mudança curricular.
Como esses matemáticos eram, na sua maioria, professores universitários, que 
raramente tiveram contato com a realidade do ensino de crianças e adolescentes, 
grande parte dessas reformas reflete a visão que o pesquisador matemático tem do 
que deveria ser ensinado nas escolas de Ensino Fundamental e Médio. “Nota-se, 
nelas, um viés para transformar essa criança ou adolescente em um matemá-
tico mirim preocupado com a exatidão, rigor e estrutura lógica da Matemática” 
(CARVALHO, 2000, p. 102). 
Para saber mais sobre os suportes teóricos do Movimento da Matemática 
Moderna, como os trabalhos aqui citados de Boole, Russelll, Frege, Whitehe-ad e do Grupo Bourbaki, retome seus estudos de História da Matemática, 
particularmente as unidades IV e V do livro texto utilizado em seu próprio 
curso, ou qualquer outro que aborde a “libertação da Matemática do Real” e 
a “crise dos Fundamentos”.
Fonte: a autora.
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A esse respeito, assim se pronunciou o ministro da educação do Peru, Dr. 
Carlos Cueto Fernandini, na abertura da segunda conferência organizada pelo 
Comitê Interamericano para o Ensino da Matemática, o CIAEM: 
O trabalho pedagógico da segunda metade do século XX está ainda de-
rivando daquela combinação de eventos aos quais nos referimos como 
a revolução no ensino da matemática. Esta revolução nasceu primeiro 
nas mentes dos matemáticos profissionais que, cerca de 25 anos atrás 
verificaram que as escolas de todos os países estavam ainda tratando das 
noções mais obsoletas nas ciências matemáticas. O que havia de mais 
“novo” nos programas de matemática escolar tinha 200 anos. Mesmo 
hoje, a despeito de tudo, ainda falhamos ao tirar vantagem das novas e 
maravilhosas contribuições feitas pela ciência matemática ao aperfei-
çoamento do espírito humano, assim como ao nosso meio material. Se 
um dos aspectos essenciais da educação é a integração do homem e do 
sistema de conhecimento contemporâneo a ele, como podemos voltar 
nossas costas à matemática moderna? Como podemos mover nossos 
horizontes de volta ao tempo em que nada se sabia, por exemplo, da 
teoria dos conjuntos? (FEHR, 1969, p. 15-16).
Os principais assuntos abordados na segunda conferência foram a moderniza-
ção do ensino de Matemática, a necessidade de trazer para a sala de aula algumas 
das recentes conquistas da ciência Matemática, a modernização dos currículos e 
programas, o treinamento de professores para a realidade e a produção de tex-
tos e materiais adequados ao novo enfoque.
Com a ênfase principal na introdução de novos conteúdos, surgiram grupos 
propondo uma reforma curricular bastante radical, como o grupo internacional 
que se reuniu em Royaumont, França, em 1971, e recomendou que se abando-
nassem completamente os conteúdos da Matemática tradicional, inclusive a 
Geometria euclidiana, tendência esta acentuada pelo famoso grito de Dieudonné: 
“Abaixo Euclides” (KLINE, 1976). 
Já no século passado se considerava a passagem das matemáticas da 
escola secundária às das universidades como um salto a um mundo 
diferente. Com a introdução das matemáticas modernas, esse fosso tem 
aumentado muito [...] Recentemente, têm sido introduzidos nos últi-
mos programas dos três anos da escola secundária superior (das esco-
las francesas) os elementos de cálculo diferencial e integral, da álgebra 
vetorial e de geometria analítica, mas esses temas são sempre relegados 
a um segundo plano, e o interesse se concentra em primeiro lugar na 
geometria pura ensinada, mais ou menos, à maneira de Euclides, com 
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um pouco de álgebra e de teoria de números. Eu estou convencido que 
o tempo deste “trabalho remediado” já passou e que deveríamos pensar 
em uma reforma mais profunda, a menos que se deixe piorar a situação 
até o ponto de comprometer seriamente cada progresso científico ulte-
rior. Se eu quiser resumir em uma frase todo o programa que tenho em 
mente, tenho de pronunciar o slogan: Abaixo Euclides! (DIEUDONNÉ 
apud MIORIM, 1998, p. 109).
Os novos conteúdos eram conjuntos, números, probabilidades, estatística e 
lógica. Além disso, as concepções modernas invadiram o ensino da Álgebra: 
operações e sistemas operacionais, conjuntos, relações e aplicações, estruturas 
e isomorfismos, estrutura de espaço vetorial etc. A Geometria foi algebrizada, 
com a introdução da Geometria afim. 
A preocupação com os métodos e meios começou a aparecer subordinada às 
questões de mudança de conteúdo, consideradas como fundamentais até então.
Devido à influência de matemáticos profissionais e como resultado de inves-
tigações realizadas em diferentes partes do mundo por especialistas qualificados, 
estavam estabelecidos, segundo a UNESCO (1973, p. 117), no início da década 
de 1970, os seguintes objetivos para o ensino da Matemática:
Ensinar matemática atualizada, incluindo probabilidades, estatística e 
matemática numérica;
Ensinar a matemática fortemente unificada por meio de conceitos bási-
cos e das estruturas fundamentais;
Desenvolver a matemática conceitual, junto com a habilidade no cál-
culo;
Ensinar a matemática tanto como um corpo de conhecimentos abstra-
tos, como um útil instrumento operacional;
Ensinar a Matemática como uma disciplina em contínua expansão;
Apresentar uma imagem clara da metodologia da matemática;
Prestar atenção à motivação e desenvolvimento de atitudes positivas 
com respeito à matemática;
Definir a matemática necessária ao cidadão médio da nossa sociedade. 
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No Brasil, no início do movimento (em torno de 1950), havia grande insatisfação 
entre os professores de Matemática devido à educação antiquada, aos programas 
inflexíveis determinados sem levar em conta a opinião dos professores. Essa insa-
tisfação favoreceu a realização de Congressos do Ensino de Matemática, que foram 
organizados objetivando reunir professores de Matemática de todo o país, com 
o propósito de desenvolver diretrizes para um plano de trabalho em comum. O 
I Congresso Brasileiro do Ensino da Matemática aconteceu em Salvador, Bahia, 
de 4 a 7 de setembro de 1955, e teve a participação de 94 professores.
No II Congresso, realizado em São Paulo, em 1957, as discussões foram 
orientadas pela pergunta: “Matemática clássica ou Matemática moderna nos 
programas do curso secundário?”. Quando da realização do III Congresso, no 
Rio de Janeiro, em 1959, quase não se havia avançado nada e a maioria dos pro-
fessores brasileiros ainda não conhecia a Matemática moderna.
Nesta época e devido à insistência dos professores secundários de Ma-
temática, vários Grupos de Estudo, Centros e mesmo Institutos foram 
organizados no país, para atualizar o conhecimento do professor. Por 
exemplo, o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática de São Paulo, 
fundado em 31 de outubro de 1961 e o Instituto de Física e Matemática 
da Universidade Federal da Bahia fundado em 1960.
Os Institutos e Grupos de Estudo começaram a formar equipes de pro-
fessores secundários, que podiam atualizar seus colegas, recém-gradu-
ados nas faculdades sem bom preparo, bem como professores registra-
dos que lecionam sem ter preparo universitário. O Grupo de São Paulo, 
maior e melhor preparado, apresentou ao IV Congresso Brasileiro do 
Ensino da Matemática, que se realizou em Belém do Pará, em julho 
de 1962, sua primeira utilização da Matemática Moderna no ensino 
secundário (FEHR, 1966, p. 219).
No Brasil, assim como nos demais países do mundo, o maior mérito do Movimento 
da Matemática Moderna foi motivar o debate em torno do ensino de Matemática, 
com a criação de diversos grupos de férias para discutir o ensino dessa disciplina, 
modificando-se os programas e os livros didáticos (principais responsáveis pela 
veiculação do movimento), proporcionando, efetivamente, uma modernização 
do ensino de Matemática em nosso país.
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A partir de 1961, alteram-se os programas de Matemática do ensino 
do 1º grau. Por um lado, temos a liberdade permitida pela Lei de Di-
retrizes e Bases; por outro, começam a chegar ao Brasil as propostas 
do chamado movimento da Matemática Moderna,com suas propostas 
radicais de revisão do ensino da matéria. Temos assim um movimento 
em direção à diversidade, com as várias Secretarias instituindo grupos 
específicos para estudos de currículos (laboratórios de currículos, por 
exemplo) e ao mesmo tempo um ponto de abstração muito forte para 
o qual se direcionavam essas mudanças, a Matemática Moderna (CAR-
VALHO, 2000, p. 101).
Outro fator importante é que o Movimento da Matemática Moderna coincidiu 
com as mudanças políticas iniciadas pelo governo João Goulart, que atingiram 
seu clímax na ditadura militar. O espírito ufanista e as metas de um progresso 
acelerado refletiram na educação reforçando uma tendência tecnicista direcio-
nada pela Psicologia comportamental.
É o momento da preocupação com a formulação de objetivos operacio-
nais, com a avaliação objetiva, a instrução programada e outras inova-
ções de caráter didático (GOULART, 1998, p. 12).
O Movimento da Matemática Moderna teve forte influência e alcançou os pro-
fessores por meio dos livros didáticos, porém, no Brasil, como nos demais países 
do mundo, as desilusões com a renovação não tardaram a ocorrer, evidenciando 
que a Matemática não havia se transformado em algo fácil de aprender. Alguns 
objetos de ensino introduzidos sofreram transformações não previstas pelos 
autores das reformas e as inovações realizadas não levaram à constituição de um 
corpo de conhecimento confiável (PARRA; SAIZ, 1996). 
A reforma dos programas, simplesmente inserida na estrutura existente e 
sem as necessárias críticas aos objetivos do ensino da matemática no contexto 
social, não foi suficiente para satisfazer as exigências de uma sociedade que se 
apresentava cada vez mais complexa (CARVALHO, 2000).
Em 1980, o Conselho Nacional dos Professores de Matemática – NTCM 
– dos Estados Unidos elaborou um documento intitulado Agenda para Ação, 
contendo recomendações para o ensino de matemática durante a década que se 
iniciava, destacando a Resolução de Problemas como foco da educação matemática 
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dos anos 80. Esse fato, aliado à compreensão nascente da relevância de aspec-
tos cognitivos, linguísticos, antropológicos e sociais no ensino da matemática, 
imprimiu novos rumos às discussões curriculares.
As reformas curriculares que aconteceram em todos os países do mundo 
entre 1980 e 1995 se fundamentaram nessas ideias e apresentavam diversos pon-
tos de convergência, entre os quais, destacam-se:
 ■ Direcionamento do ensino fundamental para a aquisição de competên-
cias básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas à aquisição de 
pré-requisitos para estudos posteriores.
 ■ Importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção 
do seu conhecimento.
 ■ Ênfase na resolução de problemas, na exploração da matemática do coti-
diano e na interdisciplinaridade.
Wadsworth (1984) atribui à metodologia tradicional para os conteúdos novos o 
fracasso da “matemática nova” nos EUA:
A tentativa de se implementar a “matemática nova” nos Estados Unidos 
durante o final da década de 50 e na de 60 foi um esforço no sentido 
de fazer com que as crianças aprendessem um conjunto de conceitos 
matemáticos negligenciados pela “matemática velha”. O fracasso da 
“matemática nova” nos Estados Unidos em grande escala provavel-
mente se deve ao fato de que, embora o conteúdo do ensino da mate-
mática de certo modo mudasse, os métodos de ensino não mudaram 
(WADSWORTH, 1984, p. 204).
A partir da constatação da inadequação de alguns de seus princípios e das dis-
torções ocorridas na sua implantação, a matemática moderna teve o seu refluxo 
no Brasil, entretanto, estudos revelaram que, até o momento da implantação 
dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs, ainda existiam currículos com 
características do Movimento da Matemática Moderna em alguns estados, autô-
nomos nas elaborações de suas propostas curriculares, desde que respeitado um 
mínimo comum.
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Carvalho (2000) analisou os currículos de Matemática de todos os esta-
dos brasileiros, com propostas elaboradas entre 1985 e 1995, e constatou que 
era possível dividi-los em duas “Grandes Famílias”, os que ainda enfatizavam a 
Teoria dos Conjuntos e os que já a eliminaram ou a reduziram a um mínimo. 
O estado do Amazonas seria um exemplo extremo do 1º grupo, e o do Paraná, 
um bom exemplo do 2º grupo. Com o advento dos PCNs, esperava-se que, em 
breve, em todo Brasil, as propostas curriculares estivessem harmonizadas e dis-
tantes da ideia de formação do “matemático mirim”. Atualmente, outra proposta 
de renovação curricular está em andamento no Brasil, a Base Nacional Comum 
Curricular – BNCC, que pretende unificar os currículos do país. As sociedades 
representantes dos matemáticos (SBM – Sociedade Brasileira de Matemática) 
e a dos educadores matemáticos (SBEM – Sociedade Brasileira de Educação 
Matemática) brasileiros foram convidadas pelo Ministério da Educação a partici-
par mais proximamente das discussões, que estão abertas a todos os interessados 
mediante o acesso ao site da Base Nacional Comum Curricular.1 Em âmbito inter-
nacional, as críticas à Matemática Moderna começaram a ganhar corpo durante 
o Terceiro Congresso Internacional sobre Educação Matemática, realizado em 
Karlsruhe, na Alemanha Ocidental, em 1976. 
A variedade e a abrangência dos temas abordados e o enfoque dado às dis-
cussões revelaram uma mudança significativa no Movimento da Educação 
Matemática, com a intensa preocupação com a modernização dos currículos, per-
dendo espaço para debates sobre a influência da vida social, o desenvolvimento 
da atitude de investigação no aluno, a formação do professor, a preocupação com 
os alunos lentos e deficientes, a relação entre Matemática e linguagem, o uso de 
computadores, entre outros.
Nesse Congresso de Karlsruhe, foi criado pelo israelense E. Fischbein o Grupo 
Internacional de Psicologia da Educação Matemática, internacionalmente conhe-
cido por PME e que, atualmente, continua ainda muito ativo.
Esses eventos foram se consolidando e, simultaneamente, a Educação 
Matemática se constituiu enquanto área do conhecimento que:
1 Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/>. Acesso em: 18 nov. 2015.
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Investiga, também, como o aluno, por intermédio do conhecimento 
matemático, desenvolve valores e atitudes de natureza diversa, visando 
a formação integral como cidadão. Aborda o conhecimento matemáti-
co sob uma visão histórica, de modo que os conceitos são apresentados, 
discutidos, construídos e reconstruídos, influenciando na formação do 
pensamento do aluno (PARANÁ, 2008, p. 48).
Um conhecimento só é pleno se for associado e aplicado em diferentes situações. 
Para atingir esse objetivo, os conhecimentos construídos devem ser descon-
textualizados, para serem novamente contextualizados em outras situações. O 
conhecimento aprendido não deve ficar exclusivamente vinculado a um único con-
texto concreto, deve ser transferido a outros contextos e finalmente generalizado. 
O aluno, ao ingressar na escola, já traz consigo um conhecimento matemático 
de natureza prática que precisa ser elaborado e ampliado pela escola. O profes-
sor deve levar o aluno a fazer relações entre diversas noções da matemática e, 
dessa forma, contribuir para que este reconheça propriedades gerais e relações 
importantes entre os diversos temas. O conhecimento matemático mantido iso-
lado não se estabelece como ferramenta eficaz na resolução de problemas ou na 
construção de novos conhecimentos matemáticos necessários para o crescimento.A compreensão de que o aluno é o principal agente na construção de seu conhe-
cimento é recente. Nesse contexto, o papel a ser desempenhado pelo professor de 
Matemática no Ensino Fundamental assume novas dimensões: a de organizador da 
aprendizagem. Para isso, deve considerar as condições socioculturais, expectativas 
e as diferenças individuais dos alunos e escolher atividades e problemas que possi-
bilitem a construção de conceitos tendo em vista os objetivos a serem alcançados. 
O professor deve, também, estimular a cooperação entre os alunos, pois o 
contato com diferentes formas de interpretar e resolver um mesmo problema 
estabelece uma aprendizagem significativa, obrigando os interlocutores a argu-
mentar, cooperar na resolução, questionar, verificar e validar as soluções; tarefas 
que são impossíveis de serem realizadas sem a compreensão real das questões. 
Assim, a interação entre alunos, além do aspecto afetivo e da interação social, 
desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cogniti-
vas, pois, como já dissemos, ao tentar compreender outras formas de resolver 
uma situação, o aluno necessariamente ampliará seu grau de compreensão das 
noções matemáticas envolvidas.
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
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IU N I D A D E40
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta unidade apresentou a você alguns pontos que não são muito conhecidos fora 
do meio acadêmico, como, por exemplo, que a diferença da natureza dos conhe-
cimentos, em particular das ciências da natureza (Física, Química e a Biologia) 
e da Matemática, estabeleceu a necessidade de didáticas diferenciadas para cada 
uma dessas ciências. 
Vimos que as discussões acerca do ensino da Matemática se intensificam em 
meados do século XX, com o advento do Movimento da Matemática Moderna. 
A partir desse movimento, dos Congressos realizados, da reunião de professores 
e pesquisadores em torno de interesses de estudos comuns, foram se delineando 
as tendências em Educação Matemática, e esse corpo de conhecimentos se conso-
lida, embora seu objeto de estudo, centrado na prática pedagógica e que engloba 
as múltiplas relações entre a Matemática, seu ensino e sua aprendizagem, ainda 
esteja em construção. 
Considerando o que você estudou de Matemática no Ensino Médio, os co-
nhecimentos que você já possui de Cálculo Diferencial, de Álgebra Vetorial e 
de Geometria Analítica, qual sua opinião acerca da proposta de Dieudonnè, 
de se substituir o ensino da Geometria Euclidiana no Ensino Secundário (En-
sino Médio) por esses conteúdos? Discuta com seus colegas e tutores essa 
questão.
Fonte: a autora.
Considerações Finais
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Durante a construção desse campo de conhecimento, os problemas enfren-
tados foram e são tão complexos que, segundo Steiner (1985 apud GODINO, 
1991, p. 142), produziam duas reações extremas: os que afirmam que a Educação 
Matemática não poderia se constituir como um campo com fundamentação cien-
tífica e que, portanto, o ensino da Matemática seria essencialmente uma arte, 
e os que, acreditando ser possível a existência da Educação Matemática como 
ciência, reduzem a complexidade dos problemas selecionando somente aspec-
tos parciais como análise de conteúdos, construção do currículo, métodos de 
ensino, desenvolvimento de competências no aluno e interação em sala de aula 
e lhes atribuem um peso especial dentro do conjunto, ensejando diferentes defi-
nições e visões dela.
Não desconsideramos a enorme complexidade dos problemas enfrentados 
pela Educação Matemática, até porque, se eles fossem fáceis, as dificuldades 
de se ensinar e de aprender Matemática já teriam sido superadas. Entretanto, 
trinta anos se transcorreram após a análise de Steiner (1985) e, apesar de ainda 
os problemas serem abordados por temáticas (que constituem as tendências), a 
Educação Matemática avançou muito do ponto de vista científico, podendo sim 
ser reconhecida como área científica. 
Durante o Quarto Congresso Internacional de Matemática, realizado em abril de 1908 
em Roma, a partir de constatações que nos Congressos anteriores não se havia dado a 
devida dimensão às discussões acerca do ensino da Matemática, foi criada a Comissão 
Internacional de Instrução Matemática cuja sigla em inglês é ICMI. Essa Comissão, que 
até hoje é atuante e que tem como foco a Educação Matemática, teve como primeiro 
presidente o matemático alemão Christian Felix Klein, que a presidiu desde sua cria-
ção em 1908 até a sua morte, em 1925. Desde 2003 a ICMI agracia os pesquisadores da 
Educação Matemática com uma medalha que leva o nome de Felix Klein a pesquisado-
res que proporcionaram contribuições relevantes à Educação Matemática em toda sua 
vida. Receberam essa honraria: o francês Guy Brousseau (2003); o brasileiro Ubiratan 
D’Ambrósio (2005); o norte-americano Jeremy Kilpatrick (2007); a australiana Gilah Le-
der (2009), o norte-americano Alan H. Schoenfeld (2011) e a francesa Michèle Artigue 
(2013).
Felix Klein
Felix Klein foi um dos mais importantes matemáticos do final do século XIX e um dos 
últimos - junto com Gauss, Riemann e Poincaré - a conseguir quebrar a barreira da espe-
cialização e fornecer os elementos fundamentais que impulsionariam a Matemática do 
século XIX e inícios do século XX.
As preocupações com o desenvolvimento e a divulgação da Matemática de seu tempo, 
e a consciência “da crescente importância das matemáticas na indústria” fizeram com 
que Klein fosse um dos primeiros matemáticos a obter apoio de setores privados, quer 
para a organização, quer para a realização de pesquisas em Matemática aplicada. Um 
dos resultados desses esforços foi a criação do Instituto de Investigação Aerodinâmica e 
Hidrodinâmica, em Gottingen em 1908 (STRUIK, 1989, p. 300).
Quando, em 1886, assumiu o cargo de professor, a Universidade de Gottingen tornara-
-se “um centro universal de investigação matemática, onde jovens, rapazes e raparigas, 
de muitos países se reuniam para estudar os assuntos do seu interesse como uma parte 
integrante de todas as matemáticas” (STRUIK, 1989, p. 286). O fato se deveu, especial-
mente, à importância que Klein dispensava ao ensino. Suas aulas eram consideradas 
estimulantes. Prova disso é que as notas de suas aulas “circularam de uma forma mime-
ografada e proporcionaram a gerações inteiras de matemáticos uma informação espe-
cializada e, acima de tudo, uma compreensão da unidade de sua ciência” (STRUIK, 1989, 
p. 286).
Em relação aos objetivos da Educação Matemática, Klein acreditava que deveria ser con-
siderado o desenvolvimento da própria Matemática, ou seja, estudar Matemática por 
ela mesma. A razão disso estaria na satisfação que esse estudo poderia propiciar aos 
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alunos, apesar de poucos chegarem a obter o prazer máximo proporcionado por uma 
produção independente. Para ele, isso ocorreria, também, em outras áreas que exigiam 
determinadas habilidades específicas, como, por exemplo, a música.
Além desse objetivo, dois outros também seriam contemplados: a importância da Ma-
temática para o desenvolvimento de outras ciências e, especialmente, o valor formal 
propiciado pelos estudos matemáticos.
A maneira como a Matemática poderia auxiliar no desenvolvimento de outras ciências, 
no entanto, deveria ser entendida não no sentido usual, como meras aplicações práticas, 
mas, ao contrário, como uma ferramenta teórica fundamental para a obtenção de re-
sultados gerais [...] uma vez que o mais importante era “o treinamento da mente ganho 
pelo trabalho com a matemática pura” (apud ROWE, 1985, p. 138).
Dessa forma, a Matemática seria uma ferramenta teórica indispensável a todo cientista, 
especialmente no momento em que as ciências estariam buscando raciocínios gerais 
para justificar seus resultados.
Seguindo essa linha de argumentação, Klein propunha que a