Geometria Analítica - a reta - Parte 1

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CuriosIDADE:
Você, sem sombra de dúvidas, já deve ter ouvido falar que a menor distância entre
dois pontos é uma reta. Essa afirmação vem da geometria plana conhecida também como
Geometria Euclidiana.
De acordo com Geometria Euclidiana, a menor
distância entre dois pontos é uma linha reta.
O grego Euclides de Alexandria entrou para os anais da
História pela sua principal obra, Os Elementos.
CuriosIDADE:
Será que a menor distância entre dois pontos, fora da geometria euclidiana, é mesmo
uma reta?
Em 1697, o matemático suíço Johann Bernoulli publicou numa revista científica
alemã, cujo editor era nada mais nada menos que o matemático alemão Leibniz, os resultados
a cerca do Princípio de Fermat.
À esquerda Johann Bernoulli, um dos muitos matemáticos do clã
Bernoulli. À direita, Leibniz um dos inventores do Cálculo Infinitesimal
CuriosIDADE:
Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de um móvel
ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha reta. Esse
menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de cicloide.
Chama-se cicloide a curva definida por um ponto de uma circunferência que rola sem
deslizar sobre uma reta. Uma cicloide invertida é a solução para o problema da
braquistócrona. Denomina-se braquistócrona a trajetória
de uma partícula que, sujeita a um campo
gravitacional constante, sem atrito e com
velocidade inicial nula, se desloca entre
dois pontos no menor intervalo de tempo.
Equação da reta:
Consideremos a reta 𝑟, caracterizada por dois de seus pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e
𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵). Sendo 𝑃 = (𝑥, 𝑦) um ponto genérico de 𝑟, os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝑃 estão
alinhados e suas respectivas coordenadas obedecem a condição de alinhamento:
𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑥 𝑦 1
= 0
Equação da reta:
A equação na forma
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
é chamada de equação geral da reta.
A equação na forma
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
é chamada de equação reduzida da reta.
Outras formas de equação 
da reta:
Denomina-se raiz da equação 𝑚𝑥 + 𝑛 = 0 o número 𝛼 tal que
𝛼 = −
𝑛
𝑚
.
Assim, a equação
𝑥
𝛼
+
𝑦
𝑛
= 1
é denominada forma segmentária da reta.
Outras formas de equação 
da reta:
sejam 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) pontos da reta 𝑟 e seja 𝑢 o vetor definido como
𝑢 = 𝐵 − 𝐴 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 .
Tomando, 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 = 𝑥𝑢 e 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 = 𝑦𝑢, teremos
𝑢 = (𝑥𝑢, 𝑦𝑢)
O sistema de equações
 
𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝑢𝑡
𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝑢𝑡
é chamado de equações paramétricas da reta, em que 𝑡 é um número real chamado parâmetro.
Interseção entre retas:
O ponto 𝑃 = (𝑥𝑃 , 𝑦𝑃) de interseção de duas retas concorrentes 𝑟 e 𝑠 pertence
evidentemente a cada uma das retas e assim, por consequência, suas coordenadas devem
satisfazer as equações de ambas as retas, ao mesmo tempo.
Exemplo 1:
Obtenha o ponto de interseção entre as retas 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 e 𝑠: 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0.
Referências:
Vetores e Geometria
Analítica. WINTERLE. P;
Editora PEARSON.
História da Matemática,
BOYER. C. B;. Editora
Blucher.
Matemática: contexto e
aplicações. Volume único.
DANTE. Editora Ática
Várias Faces da Matemática .
ÁVILA, G. Editora Blucher.