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PTV - Cálculo de Deslocamentos

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SUMÁRIO 
 
01. O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos rígidos ............................... 01 
1.1. Introdução .................................................................................................... 01 
1.2. - Roteiro para aplicação do PTV (estruturas isostáticas): ............................ 02 
1.3 - Exemplo número 1 ..................................................................................... 02 
1.4 – Exemplo número 2 ..................................................................................... 03 
02. O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformáveis ...................... 05 
2.1 – Introdução .................................................................................................. 05 
2.2 – Enunciado do PTV para corpos deformáveis ............................................ 06 
2.3 – O Processo da Carga Unitária Para Cálculo de Deslocamentos ................ 07 
03. Aplicação do PTV às treliças .................................................................................. 08 
3.1 – Exemplo número 1 ..................................................................................... 09 
3.2 – Exemplo número 2 ..................................................................................... 11 
04. O PTV aplicado às estruturas de nós rígidos ........................................................... 12 
4.1 – Avaliação da integral do produto de duas funções .................................... 13 
4.2 – Exemplo número 3 ..................................................................................... 14 
4.3 – Observação sobre o uso das tabelas ........................................................... 16 
4.4 – Exemplo número 4 ..................................................................................... 17 
05. Deformações por variação de temperatura .............................................................. 18 
5.1 – Exemplo número 5 ..................................................................................... 19 
06. Exercícios propostos ................................................................................................ 21 
07. Respostas dos exercícios propostos ......................................................................... 26 
 
1
DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARES 
 
1. O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos rígidos 
1.1. Introdução 
 Os conceitos relativos a deslocamentos virtuais e trabalho virtual são usualmente 
introduzidos durante o estudo da Mecânica Geral quando são usados para resolver problemas 
sobre equilíbrio estático. 
 A palavra virtual significa que as quantidades são puramente imaginárias e que não 
precisam existir no sentido real ou físico. Assim, um deslocamento virtual é um pequeno 
deslocamento imaginário, arbitrariamente imposto sobre um sistema estrutural. Não há 
necessidade de se tratar de um deslocamento real, como por exemplo os deslocamentos de 
flexão causada por cargas atuantes na estrutura. O trabalho realizado por forças reais durante 
um deslocamento virtual é chamado trabalho virtual. 
 O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) afirma: 
“A condição necessária e suficiente para o equilíbrio de um ponto ou 
sistema de pontos materiais qualquer é ser nula a soma dos trabalhos 
virtuais em qualquer deslocamento virtual compatível com as ligações do 
sistema”, ou seja: 
ΣΣΣΣ T virtual externo = zero ............................................................ (1.1) 
 Como se mostrou no estudo da Mecânica Geral, este princípio pode ser usado no lugar 
das três equações de equilíbrio ΣX = 0, ΣY = 0 e ΣM = 0 com o propósito de resolver 
problemas de equilíbrio estático. 
 O deslocamento virtual deve ser suposto infinitesimal, de modo a não alterar a 
configuração estática e geométrica do sistema das forças que nele agem, não violando as 
condições de equilíbrio que tais forças obedecem. O deslocamento virtual é causado por uma 
ação externa qualquer, cuja origem não é objeto de discussão, sendo completamente 
independente das forças externas que mantém a estrutura em equilíbrio. 
 O PTV aplicado às estruturas isostáticas em equilíbrio resolve o problema estático 
através do geométrico. Como o PTV consiste de apenas uma equação, ele se torna seletivo, ou 
seja, sua aplicação determina apenas uma incógnita, havendo necessidade de se repetir o 
procedimento para cada incógnita procurada. Não obstante este fato – e inclusive por isto - é 
muito útil quando se deseja determinar apenas um esforço, como é o caso de determinação de 
linhas de influência. 
 A aplicação do PTV às estruturas isostáticas para a determinação de um determinado 
esforço requer que seja aplicado um deslocamento virtual, que só pode ser realizado se o 
sistema for móvel, o que é obtido retirando-se o vínculo correspondente à incógnita e 
substituindo-o pelo esforço correspondente. Como os deslocamentos virtuais são supostos 
infinitesimais, estes deslocamentos seguem as leis dos pequenos deslocamentos, mais simples 
que as dos deslocamentos finitos. No caso dos pequenos deslocamentos a tangente dos 
ângulos formados durante os deslocamentos se confunde com o próprio ângulo, ou seja: 
 tg θθθθ = θθθθ (em radianos) .......................................................... (1.2) 
2
1.2. - Roteiro para aplicação do PTV (estruturas isostáticas): 
 01) retira-se o vínculo correspondente à incógnita, substituindo-o pela incógnita para 
manter o equilíbrio. A incógnita passa a ser considerada como carga externa; 
 02) aplica-se um deslocamento virtual compatível com as ligações remanescentes da 
estrutura; 
 03) calcula-se o trabalho virtual de todos os esforços externos igualando-o a zero. 
 Como estamos trabalhando com estruturas isostáticas, a retirada de um vínculo 
conforme item 01) do roteiro transformará a estrutura em uma cadeia cinemática (ou 
mecanismo ou sistema móvel) com um grau de liberdade, podendo então ser aplicado o 
deslocamento conforme item 02), sem que nesta fase ocorra deformações adicionais nas 
barras do sistema. 
 O fato da cadeia cinemática ter apenas um grau de liberdade significa que conhecido 
um deslocamento (linear ou angular), todos os outros deslocamentos podem ser determinados 
em função deste, o que em geral é bastante simples em se tratando de pequenos 
deslocamentos para os quais os ângulos e suas tangentes se confundem. 
 É conveniente no primeiro passo introduzir a incógnita com o sentido positivo das 
convenções usuais assim como o deslocamento virtual pode preferencialmente ser dado no 
sentido contrário ao sentido da incógnita e suposto unitário para facilitar os cálculos. 
 No cálculo dos trabalhos virtuais, pode-se usar as resultantes dos carregamentos 
distribuídos em cada chapa da estrutura. Não pode ser usada uma resultante para mais de uma 
chapa. 
1.3 - Exemplo número 1: Determinar a reação em A, RA, da viga simples da figura 1.1 a): 
 
Figura 1.1 – Exemplo número 1 
A aplicação do roteiro é ilustrada na figura 1.1 b), na qual a carga distribuída foi 
substituída pela sua resultante. Chamando de δ o deslocamento virtual infinitesimal arbitrário 
da incógnita RA, a rotação θ da viga assim como os valores de δ1 e δ2 necessários para o 
cálculo do trabalho da força concentrada (2t) e da resultante da carga distribuída (10t) podem 
ser determinados em função de δ:
3
10
55
10
66
10
2
1
δ=θ×=δ
δ=θ×=δ
δ=δ=θ
l
.................................................................... (1.3) 
 Aplicando-se a equação (1.1) do PTV aplicado aos corpos rígidos, obtém-se: 
t2,6R
52,1R
0102R
A
A
21A
=
δ+δ=δ×
=δ×+δ×+δ×−
............................................ (1.4) 
 Nota-se que o parâmetro δ aparece em todos os termos da equação, podendo ser 
eliminado, ou seja, não influi no resultado justificando adotá-lo unitário. Aplicando-se o 
deslocamento virtual unitário contrário ao sentido positivo da incógnita, o trabalho desta será 
negativo enumericamente igual ao seu valor (pois − RA x δ = − RA x 1 = − RA) e aparecerá 
sozinha quando for isolada no outro membro da equação. 
1.4 – Exemplo número 2 
 Para a Viga Gerber da figura 1.2 a), determinar os valores das reações RA, RB e dos 
momentos fletores MB e MC que ocorrem na seção sobre o apoio B e no engastamento C, 
respectivamente. 
 As figuras 1.2 b), c), d) e e) mostram as cadeias cinemáticas formadas após a retirada 
do vínculo correspondente à incógnita respectiva e aplicação do deslocamento unitário. 
 Nos casos e) e d) para o cálculo dos momentos fletores sobre os apoios B e C 
respectivamente, os apoios não podem ser retirados, pois correspondem às reações RB e RC.
No caso do engastamento C, a retirada do vínculo correspondente ao momento o transforma 
em um apoio fixo. Como MB é um esforço interno, o vínculo correspondente retirado deve ser 
substituído pelo par de esforços que foi eliminado, ou seja, deve ser indicado tanto a ação que 
a parte à esquerda da seção exerce na parte da direita, como a ação que a direita exerce na 
parte da esquerda (ação e reação). No caso de momentos fletores em vigas horizontais, a 
convenção usual prescreve que eles são positivos quando tracionam as fibras inferiores. 
 Seria conveniente lembrar que mesmo nos casos das reações de apoio (RA, RB e Mc), 
como as forças existem sempre aos pares (ação e reação), também poderia ser indicado as 
ações (inverso das reações nos apoios) que a viga exerce na terra. Isto não é necessário pois a 
terra é suposta um referencial absoluto, portanto não apresenta deslocamentos, gerando 
sempre trabalho nulo e não influindo nos resultados. 
 Indicadas as cargas externas aplicadas no sistema – as distribuídas através de suas 
resultantes em cada chapa – e calculados através de simples proporcionalidade os 
deslocamentos ao longo das suas linhas de ação, cujos resultados estão assinalados nas 
figuras, fica bastante simples o cálculo dos trabalhos realizados e a aplicação do PTV. A 
incógnita por ter substituído um vínculo da estrutura deve ser considerada esforço externo, 
junto com as ações aplicadas. 
4
βα
α
α
β
Figura 1.2 – Exemplo número 2 
5
No caso dos momentos, o deslocamento virtual correspondente é um deslocamento 
angular, que adotamos unitário. Como se trata de pequenos deslocamentos, para o ângulo ser 
unitário, o triângulo obtido durante a varredura do deslocamento deve ter a base e a altura 
iguais. 
 Considerando o deslocamento correspondente a incógnita admensional, as ordenadas 
da forma deslocada da cadeia cinemática no caso de incógnita força também resulta 
admensional, e no caso dos momentos, as ordenadas têm dimensão de comprimento, pois 
neste caso o valor do deslocamento angular é sempre a razão (cociente) entre dois 
comprimentos, e como um deles corresponde à distâncias na viga (em metros, por exemplo), o 
outro deve ter a mesma dimensão para se anularem na operação de divisão. 
 A aplicação da equação Text =0 fornece para a reação em A conforme figura 1.2 b): 
 RA = 4 x 0,5 + 2 x 0,25 → RA = 2,5 t
Para a reação em B – figura 1.2 c): 
 RB = 4 x 0,75 + 2 x 1,125 + 6 x 0,75 → RB = 9,75 t 
 Para o momento fletor em B - figura 1.2.d): 
 MB = − 4 x 1 − 2 x 1,5 − 2 x 1 → MB = − 9 tm 
 Para a reação momento em C – figura 1.2 e): 
 MC = 4 x 0,5 +2 x 0,75 + 2 x 0,5 − 4 x 1 − 3 x 2 − 2 x 1
MC = − 7,5 tm 
 Os sinais negativos dos valores de MB e MC indicam que estas incógnitas têm sentido 
oposto ao adotado nas figuras, ou seja tracionam as fibras superiores da viga. No cálculo de 
MC poderia ter sido usada a resultante total do trecho α−β: 6t deslocando 0,5m no sentido 
oposto, resultando o trabalho de − 3 tm. 
 Maiores detalhes sobre as cadeias cinemáticas serão vistos no estudo das Linhas de 
Influência, inclusive com um capítulo dedicado ao estudo das leis de deslocamento das 
cadeias cinemáticas. 
2. O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformáveis 
2.1 – Introdução 
 No estudo da análise estrutural deve-se estender o Princípio dos Trabalhos Virtuais 
para o caso de estruturas deformáveis. Neste caso deve-se levar em consideração não apenas o 
trabalho realizado pelas ações externas mas também o trabalho associado aos esforços 
internos na deformação dos elementos da estrutura. 
 Este princípio é extremamente valioso e tem muitas aplicações na análise estrutural. 
Durante o desenvolvimento do princípio nota-se que as propriedades do material não entram 
em discussão, e consequentemente o PTV aplica-se a todas as estruturas independente do 
material se comportar linearmente ou não. 
6
2.2 – Enunciado do PTV para corpos deformáveis: 
“Em uma estrutura deformável em equilíbrio, a soma dos 
trabalhos virtuais das ações externas, em um deslocamento 
compatível com as ligações, é igual ao trabalho virtual interno, 
realizado pelos esforços internos na deformação dos elementos da 
estrutura”, ou seja: 
 Texterno = Tinterno na deformação ................................................... (2.1) 
 Seja a viga da figura 2.1 a), em equilíbrio sob a ação de um carregamento genérico 
qualquer que denominaremos estado de carregamento – índice c. Nestas condições um 
elemento diferencial genérico (c) de comprimento dx, apresenta os esforços solicitantes MC,
QC e NC na face esquerda e na face direita podem ter alterado de quantidades diferenciais, 
sendo apresentadas como MC+dMc, QC+dQC e NC+dNC, conforme ilustra a figura 2.1 c). 
 Admita-se que nesta estrutura seja dada uma deformação virtual que produza uma 
pequena alteração em sua forma fletida. Esta deformação virtual é imposta sobre a estrutura 
de alguma maneira não especificada e é completamente independente do fato da estrutura já 
ter sido submetida a deflexões reais causadas pelas cargas do estado de carregamento. A 
deformação virtual representa uma deformação adicional imposta à estrutura. A única 
restrição é que ela deve ter uma forma que poderia ocorrer fisicamente, ou em outras palavras, 
a deformação virtual no estado de deslocamento – índice d, ilustrado na figura 2.1 b), deve ser 
compatível com as condições de apoio da estrutura e deve manter a continuidade entre os 
elementos da estrutura. 
 Durante a deformação virtual, o elemento genérico (c) se desloca para a posição (d) 
conforme mostra a figura 2.1 b) deformando até atingir a forma final ilustrada na figura 2.1 
d). Nesta figura estão indicadas as deformações que o elemento diferencial sofre nas direções 
dos esforços solicitantes N, Q e M, denominadas respectivamente dud, dvd e dφd. O índice d é 
usado para salientar que se trata de deformação do estado de deslocamento. 
 
φ
Figura 2.1 – Estados de carregamento e deslocamento 
7
O Princípio dos Trabalhos Virtuais afirma que o trabalho externo realizado pelas ações 
aplicadas no estado de carregamento durante os deslocamentos ocorridos no estado de 
deslocamentos é igual ao trabalho interno realizado pelos esforços solicitantes do estado de 
carregamento durante as deformações que os respectivos elementos sofrem no estado de 
deslocamento. 
 O Trabalho interno realizado pelos esforços solicitantes do estado de carregamento (c) 
– figura 2.1 c) - nas deformações do estado de deslocamentos (d) – figura 2.1 d) vale para o 
elemento diferencial: 
 dcdcdc.int dMdvQduNdT φ++= .................................................(2.2) 
 Integrando ao longo de toda a estrutura, obtém-se a expressão para o trabalho virtual 
interno realizado na deformação dos elementos da estrutura: 
 ∫∫∫ φ++= .estr dC.estr dC.estr dC.int dMdvQduNT ................................ (2.3) 
 Aplicando (2.3) em (2.1), aqui repetida, obtém-se a expressão geral para o caso de 
estruturas planas com carregamento no próprio plano do Princípio do Trabalho Virtual – 
PTV: 
 Texterno = Tinterno dos esforços solicitantes na deformação dos elementos da estrutura 
 ∫∫∫ φ++= .estr dC.estr dC.estr dC.ext dMdvQduNT ................................... (2.4) 
 Nesta expressão, o índice c refere-seaos esforços solicitantes causados pelas ações do 
estado de carregamento, e o índice d refere-se aos deslocamentos sofridos no estado de 
deslocamentos. Reforça-se aqui que o estado de deslocamentos foi obtido de maneira 
independente das cargas que atuam no estado de carregamento; pode ter sido causado por 
outro carregamento, variações de temperatura ou outro motivo qualquer, desde que seja 
compatível com as condições de apoio da estrutura. 
2.3 – O Processo da Carga Unitária Para Cálculo de Deslocamentos 
 O procedimento prático da aplicação do PTV para o cálculo de deslocamentos é 
conhecido como processo da carga unitária ou processo da carga substituta. Também é 
encontrado com o nome de processo ou método de Maxwell-Mohr, por ter sido desenvolvido 
independentemente por James Clerk Maxwell (1831-1879) e Otto Christian Mohr (1835-
1918) em torno do ano de 1870. 
 O procedimento prático da carga unitária é adequado para o cálculo de qualquer 
deslocamento linear ou angular, absoluto ou relativo. Pode ser usado tanto para estruturas 
isostáticas como para estruturas hiperestáticas, desde que se conheça os diagramas de estado 
em toda a estrutura. 
 Para a aplicação deste procedimento deve-se considerar dois sistemas: o primeiro 
consiste na estrutura com cargas reais, mudanças de temperatura ou outras causas 
responsáveis pela produção do deslocamento a ser calculado, configurando então um estado 
de deslocamento. O segundo sistema é um estado de carregamento que consiste na aplicação 
de uma carga unitária que age sozinha na estrutura. Esta carga unitária é uma carga fictícia ou 
substituta, introduzida apenas para se calcular o deslocamento produzido pelas ações reais. 
8
A carga unitária deve corresponder ao deslocamento procurado, ou seja, para se 
calcular um deslocamento linear absoluto, aplica-se uma força unitária na direção e sentido do 
deslocamento linear procurado. Caso o deslocamento procurado seja uma rotação, a carga 
unitária correspondente deve ser um momento. Se o deslocamento procurado for a translação 
relativa entre dois pontos ao longo da linha que os une, o carregamento unitário deve ser 
constituído de duas forças colineares e opostas agindo nos dois pontos considerados. Caso o 
deslocamento seja a rotação relativa entre duas tangentes, o carregamento constituirá de dois 
momentos iguais e opostos. 
 O cálculo prático para a determinação de um deslocamento qualquer é aplicar na 
estrutura uma carga (força ou momento) unitária na direção e sentido do deslocamento real 
procurado e determinar os diagramas de esforços solicitantes N, Q e M produzidos por este 
carregamento unitário, ou seja o estado de carregamento (c) é o sistema com a carga unitária. 
Tomando-se os deslocamentos e deformações causados pelas ações que agem na estrutura 
como estado de deslocamento, o único trabalho externo é o realizado pela carga unitária e é 
igual ao produto da carga unitária pelo deslocamento procurado. O trabalho interno, como foi 
visto, será igual a integral estendida a toda estrutura do produto dos esforços solicitantes 
causados pela carga unitária pelos respectivas deformações causadas pelas ações que agem na 
estrutura, ou seja: 
 ∫∫∫ φ++=δ× .estr dC.estr dC.estr dCprocurado dMdvQduN1 ..................... (2.5) 
 o índice c refere-se ao carregamento unitário; 
 o índice d refere-se à estrutura com as ações aplicadas. 
 Pode parecer estranho que neste procedimento o estado de deslocamentos que na 
concepção do PTV é um estado virtual, seja o dos deslocamentos reais. Isto é possível, e até 
conveniente pois os deslocamentos reais são certamente compatíveis com as condições de 
apoio da estrutura, bastando serem pequenos o suficiente para não alterarem as condições de 
equilíbrio das forças reais envolvidas para poderem ser considerados como deslocamentos 
virtuais. 
3. Aplicação do PTV às treliças 
 No caso das treliças com as hipóteses usuais de cálculo, articulações perfeitas e cargas 
apenas nos nós, o único esforço que resulta nas barras da treliça é o esforço normal e tem 
valor constante para cada barra. 
 Assim, como M = Q = zero, apenas a integral que calcula o trabalho interno 
relacionada com o esforço normal da equação 2.5 é diferente de zero. Temos então: 
 ∫=δ× treliça dCprocurado duN1 ............................................................... (3.1) 
 Como as normais são constantes para cada barra e a integral pode ser calculada como 
uma somatória das integrais em cada barra, temos tirando os valores constantes de N fora das 
integrais: 
 ∫∑=δ barrai d
barrasi
ciprocurado duN ............................................................. (3.2) 
 Como diinabarradbarrai ddu ll ∆=∆=∫ , obtém-se: 
9
di
barrasi
ciprocurado N l∆=δ ∑ ..................................................................... (3.3) 
 Os deslocamentos ∆l podem ser causados por cargas aplicadas que produzem normais 
Ndi nas barras i ou variação de temperatura e para cada um destes casos vale: 
 Caso força normal (conforme Lei de Hooke): 
ii
idi
di AE
N l
l =∆ ................................. (3.4) 
 Caso variação de temperatura: tidi ∆α=∆ ll ......................................................... (3.5) 
nas quais E é o módulo de elasticidade, A é a área da seção transversal e α é o coeficiente de 
dilatação térmica. 
3.1 – Exemplo número 1 
 Para a treliça da figura 3.1 a) de EA = 10.000 t, submetida ao carregamento mostrado, 
determinar: 
 a) as componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó 6; 
 b) o deslocamento relativo entre os nos 3 e 6. 
 
10
Figura 3.1 – Exemplo número 1 
Como os deslocamentos procurados são causados por um carregamento, as 
deformações nas barras da treliça são calculadas segundo a Lei de Hooke, conforme a 
equação (3.4). Aplicando na expressão (3.3), obtém-se: 
 di
barrasi ii
dici
procurado AE
NN
l∆=δ ∑ ............................................................. (3.6) 
 A figura 3.1 b) mostra os resultados das normais nas barras da treliça devido o 
carregamento dado, ou seja, as normais do estado de deslocamentos. As figuras 3.1 c) e d) 
mostram as normais determinadas dos estados de carregamento unitário para o cálculo das 
componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó 6, respectivamente. A figura 3.1 e) 
apresenta as normais do estado de carregamento unitário para o cálculo do deslocamento 
relativo entre os nós 3 e 6. 
 Como EA é constante e usando a notação (0) para os esforços do estado de 
deslocamento (treliça dada) e (1), (2) e (3) para os estados de carregamento unitário 
respectivos aos deslocamentos procurados conforme mostra a figura 3.1, a expressão (3.6) 
fica: 
 l∆=δ ∑
barras
i0procurado NNEA
1 ............................................................ (3.7) 
 ou, l∆=δ ∑
barras
i0procurado NNEA .............................................................. (3.8) 
 Os cálculos relativos a expressão (3.8) são facilitados organizando os dados e 
calculando os produtos através da tabela : 
 
Barra l N0 N1 N2 N3 N0 N1 l N0 N2 l N0 N3 l
1-2 2,0 +4,0 +1,00 0 0 +8,00 
3-4 2,0 +4,0 +1,00 0 +0,8 +8,00 +6,40 
5-6 2,0 +2,0 +1,00 0 +0,8 +4,00 +3,20 
1-3 1,5 +4,5 +1,50 0 0 +10,125 
3-5 1,5 +1,5 +0,75 0 +0,6 1,6875 +1,35 
2-4 1,5 -2,5 -0.75 +1,0 0 2,8125 -3,75 
4-6 1,5 -1,0 0 +1,0 +0,6 0 -1,50 -0,90 
2-3 2,5 -5,0 -1,25 0 0 15,625 
4-5 2,5 -2,5 -1,25 0 -1,0 7,8125 +6,25 
Σ = 58,0625 -5,25 +16,3 
Com os resultados dos somatórios obtidos na tabela, temos as respostas: 
 10000 x ∆H6 = 58,0625 tm ou ∆H6 = 5,80625 x 10-4 m para a direita. 
 10000 x ∆V6 = -5,25 tm ou ∆V6 = 5,25 x 10-5 m para baixo. 
11
 10000 x ∆3-6 = 16,3 tm ou ∆3-6 = 1,63 m x 10-4 m afastando os nós 3 e 6. 
 
3.2 – Exemplo número 2 
 Para a mesma treliça do exemplo anterior, determinar novamente a componente 
horizontal do deslocamento do nó 6, ∆H6, com a treliça sem as forças aplicadas mas com uma 
variação de temperatura igual a + 30o centígrados apenas nas barras verticais daesquerda 
(barras 1-3 e 3-5). Coeficiente de dilatação térmica do material α = 1,2 x 10-5 oC-1.
∆
∆
∆
Figura 3.2 – Exemplo número 3 
A figura 3.2 a) sugere o estado de deslocamento devido a variação de temperatura nas 
barras 1-3 e 3-5. O estado de carregamento unitário para o cálculo de ∆H6 é a aplicação de 
uma força unitária na direção e sentido suposto positivo do deslocamento horizontal do nó 6, 
que já foi resolvido no exercício anterior e para facilitar repetido na figura 3.2 b). 
 A aplicação do PTV fornece: 
 Text. = Tint 
1 x ∆H6 = Σ N1 ∆lT ........................................................................... (3.9) 
 Como só ocorre ∆lT nas barras 1-3 e 3-5, temos: 
 ∆lT = l α ∆T = 1,5 x 1,2 x 10-5 x 30 = 5,4 x 10-4 m 
 ∆H6 = (+1,5 +0,75) x 5,4 x 10-4 = 1,215 x 10-3 m para a direita. 
 Convém ressaltar que as direções dos deslocamentos pedidos são definidas, horizontal, 
vertical, relativos, etc., mas os módulos e sentidos por serem incógnitas não são conhecidos a 
priori, sendo então o sentido suposto através do sentido do carregamento unitário. Caso o 
resultado do trabalho total interno seja positivo, o sentido do deslocamento é concordante com 
o sentido da carga unitária, caso contrário, tem sentido oposto. Em relação ao trabalho 
12
interno, as parcelas do somatório serão positivas quando a deformação da barra for 
concordante com sentido do esforço solicitante correspondente no estado de carregamento 
unitário. 
4. O PTV aplicado às estruturas de nós rígidos 
 A equação fundamental do processo da carga unitária (2.5) acrescida da deformação 
relativa ao momento torçor T, vale: 
 ∫∫∫∫ θ+φ++=δ .estr dC.estr dC.estr dC.estr dCprocurado dTdMdvQduN ................ (4.1) 
onde TC é o momento torçor no estado de deslocamento unitário e θd é a correspondente 
rotação da seção no estado de deslocamento que ocorre na estrutura com as ações aplicadas. 
 Caso as deformações na estrutura analisada sejam devidas à cargas aplicadas, as 
deformações diferenciais da equação (4.1) valem, conforme deduzidas na Resistência dos 
Materiais: 
 ds
AE
N
du dd = .................................................................................... (4.2) 
 ds
AG
Qc
dv dd = ................................................................................... (4.3) 
 ds
IE
M
d dd =φ .................................................................................... (4.4) 
 ds
JG
T
d
t
d
d =θ ................................................................................... (4.5) 
nas quais: 
 E = módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young); 
 G = módulo de elasticidade transversal; 
 A = Área da seção transversal; 
 I = Momento de inércia da seção transversal; 
 Jt = Momento de Inércia à torção da seção transversal; 
 c = fator de forma para redução da área da seção transversal. 
 Para seções retangulares com base b e altura h: 
 A = bh 
 I = bh3/12 
 c = 1,2 
 Jt = k at3 [dimensão a>t não importando ser a base (b) ou a altura(h)] 
 relação a/t valor de k 
 1,0 0,141 
 1,2 0,166 
 1,5 0,196 
 2,0 0,229 
 2,5 0,249 
 3,0 0,263 
 4,0 0,281 
 5,0 0,291 
13
 10,0 0,312 
 ∞ 0,333
Para seções circulares vazadas de diâmetro externo D e interno d: 
 A = π (D2 - d2) / 4
I = π (D4 - d4) / 64 
 c = 1,1 (seção circular cheia, d = 0) 
 Jt = π (D4 - d4) / 32 
 
Na expressão (4.1) do trabalho virtual, só em casos excepcionais há necessidade de se 
considerar as quatro parcelas do trabalho interno. Como se viu, no caso das treliças apenas a 
primeira parcela correspondente à força normal é diferente de zero, sendo portanto a única a 
ser considerada. A quarta parcela só será diferente de zero se houver momento torçor, isto é, 
só se ocorrer carregamento fora do plano da estrutura. 
 Nas estruturas aporticadas, a flexão das peças - causadas pelos momentos fletores - são 
preponderantes nos deslocamentos e deformações da estrutura. A deformação por força 
cortante e força normal é em geral desprezível nas estruturas usuais em face da deformação 
causada pelo momento fletor. Assim, nos casos planos em geral, nas barras fletidas considera-
se apenas a terceira parcela do segundo membro da equação (4.1), ou seja a parcela 
correspondente ao trabalho interno realizado pelos momentos fletores. Neste caso a expressão 
(4.1), combinada com a (4.4) fica: 
 ∫=δ .estr
dC
procurado dsIE
MM
................................................................. (4.6) 
 Como normalmente a rigidez à flexão EI é constante para cada barra, pode ser 
colocada fora da integral que deve ser transformada em um somatório das integrais nos 
diversos trechos de EI constante da estrutura, ou seja: 
 ∑ ∫=δ
ibarras
ibarra dC
ii
procurado dsMMIE
1 ................................................. (4.7) 
 Em benefício da simplicidade, a notação desta expressão pode ser simplificada, 
subentendendo-se o índice i e que a integral é estendida a toda a estrutura, calculada barra a 
barra. 
 ∫=δ dsMMEI
1
dC ......................................................................... (4.8) 
 Nota-se então que nos cálculos práticos das estruturas aporticadas, o trabalho interno 
se resume a determinação da integral do produto de duas funções. 
4.1 – Avaliação da integral do produto de duas funções 
 A avaliação da integral do produto de duas funções como aparece na equação (4.8) é 
feita através de tabelas como a apresentada no quadro 4.1. 
 Quando o diagrama do esforço considerado não se encontra diretamente na tabela, ele 
deve ser separado em gráficos que estejam contemplados na tabela. 
14
 Os diagramas de MC referentes ao estado de carregamento com a carga unitária é 
sempre formado de trechos retos, portanto em geral não apresentam dificuldade. Os digramas 
de Md que são devidos ao carregamento real da estrutura pode necessitar ser separado na soma 
de dois ou mais diagramas mais simples conforme o esquema: 
 Md = Md1 + Md2 + ... 
 A integral fica: 
 ...dsMMdsMM)...MM(MdsMM 2dC1dC2d1dCdC ++=++= ∫∫∫∫
na qual as integrais dos produtos Mc Md1, Mc Md2, etc. podem ser encontradas na tabela. 
 Ilustrações da técnica do uso das tabelas serão apresentadas nos exercícios. 
Quadro 4.1 
4.2 – Exemplo número 3 
 Seja a viga em balanço da figura 4.1 para a qual calcularemos a flecha na extremidade 
livre B. Com o propósito de mostrar que nas estruturas usuais o efeito da força cortante nos 
deslocamentos é desprezível em face do efeito do momento fletor, consideraremos neste 
primeiro exemplo estes dois efeitos. 
 Aplicando a técnica da carga unitária, temos: 
15
GA2
pc
EI8
pf
1p
2
1
GA
c
2
p
4
1
EI
1f
dsQQ
GA
cdsMM
EI
1f
24
B
2
B
1010B
ll
lll
l
l
+=
⋅+=
+= ∫ ∫
 ............................................. (4.9) 
 A primeira parcela corresponde ao efeito do momento fletor (flexão) na deformação da 
viga e a segunda corresponde ao efeito da força cortante na deformação. Substituindo-se os 
valores numéricos, obtém-se: 
 fB = (0,1 + 0,001) m 
 Comparando-se o efeito do momento fletor com o efeito da força cortante: 
 01,0
1,0
001,0
MdeEfeito
QdeEfeito
==
Ou seja, o efeito da força cortante é 1% do efeito do momento fletor, justificando não 
considerar, na grande maioria dos casos práticos os efeitos do esforço cortante nas 
deformações. 
 
Figura 4.1 – Exercício número 3 
16
4.3 – Observação sobre o uso das tabelas. 
 Na combinação de M0 M1, como a tangente à parábola no diagrama de M0 é paralela à 
linha de referência, este ponto é vértice da parábola. Como este diagrama é encontrado na 
tabela, não houve necessidade de separá-lo em uma soma de diagramas mais simples. Caso 
houvesse uma carga concentrada na extremidade livre B, a tangente à parábola não seria mais 
horizontal e o diagrama de M0 não estaria previsto na tabela. Neste caso haveria necessidade 
de separá-lo em uma soma de diagramas mais simples que estivessem previstos na tabela. 
Caso haja dúvida se as parábolas estão nas condições prescritas na tabela, é aconselhável 
separá-las. 
 Para ilustrareste fato, vamos recalcular a integral do produto M0 M1, separando o 
diagrama de M0 na soma de duas parcelas, naturalmente ambos previstos na tabela. A técnica 
para separar os diagramas com parábolas do segundo grau pode mneumonicamente ser 
chamada de “retas + pl2/8”. 
 
Figura 4.2 – Decomposição de diagramas 
∫∫∫∫ ==+= dsMMdsMMds)MM(MdsMM 0210110201101
ou, 
8
p)14(
24
plp
8
p
3
1p
2
p
3
1dsMM
4422
01
l
ll
l
ll
l
l =−=−=∫
Ou seja, o resultado coincide com a parcela obtida em (4.9) correspondente a 
deformação por momento fletor. Nesta última integral calculada, o sinal negativo que aparece 
no cálculo da integral de M1 M02 é porque neste caso os diagramas de M1 e M02 têm sinais 
opostos. 
17
4.4 – Exemplo número 4 
 A figura 4.3 mostra uma viga com balanço, com rigidez à flexão constante, EI = 3000 
tm2, submetida ao carregamento indicado. Deseja-se determinar o giro na extremidade livre C. 
 
ϕ
Figura 4.3 – Exercício número 4 
18
 O estado de deslocamento, que chamaremos de estado (zero), é a viga com o 
carregamento real que consiste de três cargas: uma distribuída e duas concentradas. O 
digrama de momentos fletores correspondente M0, está indicado na figura e nota-se que na 
sua forma final não se encontra diretamente na tabela. A alternativa mais conveniente neste 
caso é usar o Princípio da Superposição de Efeitos, separando o carregamento múltiplo em 
uma soma dos carregamentos obtidos pela aplicação de cada carga atuando isoladamente 
como ilustra a figura, obtendo-se os diagramas mais simples, M01, M02 e M03.
O estado de carregamento unitário para o cálculo do giro na extremidade C, ϕc,
chamado de estado de carregamento (1), consiste em um momento unitário aplicado na 
posição do deslocamento procurado, conforme mostra a figura 4.3. 
 A aplicação do PTV - técnica da carga unitária, equação (4.8) – resulta: 
 ∫ ∫ ∫ ∫++==ϕ dsMMdsMMdsMMdsMMEI 10310210110c
15,4
2
1315,4
3
1916)
9
61(
6
191125,10
3
19EI c ×××+×××+××+××−×××−=ϕ
2
c tm125,25EI −=ϕ
ou, .radianos10375,8
3000
125,25 3
c
−×−=−=ϕ
O sinal (-) significa que a rotação ocorre no sentido contrário ao suposto no estado de 
carregamento unitário, ou seja, ocorre no sentido anti-horário. Para não haver dúvidas em 
relação ao sentido, os deslocamentos podem ser expressos em módulo explicitando-se o 
sentido. No caso dos giros, é também conveniente expressá-los em graus (1 rad = 180/π
graus). Assim, 
 .horárioantitidosenno48,0rad10375,8 o3c −=×=ϕ
−
No cálculo da integral de M03 M 1, usou-se a propriedade: 
 ∫ ∫ ∫+=
C
A
B
A
C
B 103103103
dsMMdsMMdsMM
5. Deformações por variação de temperatura. 
 Caso o estado de deslocamentos (d) seja causado por uma variação não uniforme de 
temperatura, a expressão geral do PTV (4.1), usando a técnica da carga unitária fica: 
 ∫∫ φ+=δ .estr dC.estr dCprocurado dMduN ........................................................... (5.1) 
na qual as deformações dud e dφd valem os valores mostrados na figura 5.1. Notar que neste 
caso a deformação dud é relativo ao eixo médio e dvd é nulo. 
 Substituindo os valores de dud e dφd, obtém-se: 
 ∫∫
∆−∆
α+∆α=δ
.estr C
infsup
.estr Cmédioprocurado
dxM
h
tt
dxNt .......................... (5.2) 
 
19
φ
α ∆
α ∆
φ
α
α
∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆∆
Figura 5.1 – Variação de temperatura 
Neste caso, cuidado especial deve ser tomado em relação ao sinal do trabalho interno 
na deformação, ou seja, com o sinal dos resultados das integrais. Caso as deformações por 
temperatura sejam concordantes com o sentido dos esforços do estado de deslocamento, o 
sinal será positivo, caso contrário, negativo. Assim, A primeira integral será positiva para 
esforços normais de tração e a segunda será positiva quando o momento fletor Mc tracionar a 
fibra que se encontra mais distendida do trecho, ou aquela com a temperatura mais elevada. 
5.1 – Exemplo número 5 
 
A estrutura da figura 5.2 apresenta uma variação de temperatura nas fibras “externas” 
de ambas as barras de + 50o centígrados. Deseja-se determinar a flecha (componente vertical 
do deslocamento) na extremidade livre C. O coeficiente de dilatação térmica do material vale: 
α = 1,2 x 10-5 oC-1 e a seção transversal das barras tem altura h = 0,40m. 
 
Figura 5.2 – Exemplo número 5 
20
 
Determinados os esforços solicitantes N e M do estado de carregamento conforme 
figura 5.2, a expressão 5.2 fica: 
 ∫∫
∆−∆
α+∆α= dxM
h
tt
dxNtf infsupmédioC





 ××+×−××+××+××−= −− 3
2
1333
40,0
050102,113
2
050102,1f 55C
baixoparam01935,002025,00009,0fC =+−=
21
6. Exercícios propostos (respostas no final da lista) 
01) Para a treliça da figura, de EA = 10000 e coeficiente de dilatação térmica α = 1,2 x 10-5,
determinar: 
a) a flecha no nó 4 (f4); 
b) a flecha no nó 4 (f’4), caso ao invés do carregamento ocorra uma variação de 
temperatura ∆t = +50 oC nas barras do banzo superior (5-6, 6-7 e 7-8). 
02) Para a treliça da figura, cujas barras possuem EA = cte = 10000 t, determinar: 
a) a flecha no nó 4; 
b) qual o defeito de fabricação constante que deve ter as barras do banzo superior (1-3, 
3-5, 5-7 e 7-8), para que o nó 4 tenha uma contra flecha igual a flecha calculada no 
item a). 
03) Para a treliça de EA = cte = 10000 t, determinar através de suas componentes o 
deslocamento do nó 5, ∆5.
22
04) Para a treliça da figura, de aço (E=2100 t/cm2), cujas áreas das seções transversais estão 
indicadas na convenção ao lado da figura, determinar: 
a) a flecha do nó 3, f3;
b) o deslocamento do apoio móvel 5, ∆5;
c) qual o defeito de fabricação que ser dado na barra 6-7 para que o apoio 5 retorne 
para a posição da treliça descarregada. 
05) Para a treliça da figura, de EA = 10000 t, determinar: 
a) a componente vertical do deslocamento do nó 8, ∆V8;
b) a componente horizontal do deslocamento do nó 8, ∆H8.
23
06) Para a viga em balanço da figura, de EI = constante, calcular: 
a) a flecha na extremidade B, fB;
b) a rotação na extremidade B, ϕB;
c) a flecha no meio do vão, fC;
d) a rotação no meio do vão, ϕC.
07) Para a viga simplesmente apoiada da figura, de EI = 5000 tm2, determinar: 
a) a flecha no meio do vão, fC;
b) o giro na extremidade A, ϕA;
c) o giro no meio do vão, ϕC.
08) Para a viga da figura, de EI = 10000 tm2, determinar: 
a) o giro em A, ϕA;
b) a flecha em C, fC.
09) Para a viga articulada (Gerber) da figura, de EI=10000 tm2, determinar: 
a) a flecha na articulação B, fB;
b) a flecha na extremidade livre D, fD;
c) o giro na extremidade livre D, ϕD.
24
10) Para o pórtico da figura de EI=10000 tm2, determinar: 
a) o deslocamento do apoio móvel C, ∆C;
b) o giro no apoio fixo A, ϕA;
c) o giro do nó B, ϕB;
d) o giro no apoio C, ϕC.
11) Para o pórtico da figura de EI = 19200 tm2, determinar: 
a) o deslocamento horizontal do apoio D, ∆D;
b) a flecha no meio do vão BC, fM.
12) Para o pórtico da figura, de EI = 10000 tm2, determinar: 
a) o deslocamento horizontal do apoio D, ∆D;
b) o giro do nó C, ϕC.
13) Para o pórtico do exemplo anterior, determinar os mesmos deslocamentos caso esteja 
submetido ao carregamento da figura abaixo. 
25
14) Para a estrutura da figura, de EI = 50000 tm2, determinar: 
a) o deslocamento translação do apoio C, ∆C;
b) o giro do nó B, ϕB.
15) Para o pórtico tri-articulado da figura, E = 210 t/cm2, I = 300.000 cm4, determinar o 
deslocamento (horizontal) da articulação C, ∆C.
16) Para o pórtico tri-articulado da figura, de EI = 50.000 tm2, determinar: 
a) a flecha na articulação C, fC.
b) o giro no apoio E, ϕE.
26
7. Respostas dos exercícios propostos 
01) a) f4 = 1,566 cm para baixo 
 b) f’4 = 0,9 cm para baixo 
02) a) f4 = 1,241 cm para baixo 
 b) ∆l = 0,3723 cm (alongamento) 
03) ∆V5 = 1,7517 cm para baixo 
 ∆H5 = 0,7184 cm para a direita 
 ∆5 = 1,893 cm formando um ângulo de 67,7o horário com o eixo horizontal. 
04) a) f3 = 0,8586 cm para baixo 
 b) ∆5 = 1,7937 cm para a direita 
 c) ∆l = 0,897 cm (encurtamento) 
05) a) 0,993 cm para baixo 
 b) 0,399 cm para a direita 
06) a) fB = PL3/3EI 
 b)ϕB = PL2/2EI 
 c) fC = 5PL3/48EI 
 d) ϕC = 3PL2/8EI 
07) a) fC = 6,975 mm para baixo 
 b) ϕA = 3,6 x 10-3 radianos no sentido horário 
 c) ϕC = zero 
08) a) ϕA = 3,5625 x 10-3 radianos no sentido horário 
 b) fC = 8,55 mm para cima 
09) a) fB = 4,8375 mm para baixo 
 b) fD = 1,40625 mm para cima 
 c) ϕD = 3,5625 x 10-4 radianos no sentido anti-horário 
10) a) ∆C = 1,067 cm para a direita 
 b) ϕA = 3,467 x 10-3 radianos no sentido horário 
 c) ϕB = 1,333 x 10-3 radianos no sentido horário 
 d) ϕC = 6,667 x 10-4 radianos no sentido anti-horário 
11) ∆D = 1 cm para a direita 
 fM = 0,222 cm para baixo 
12) ∆D = 1,973 cm para a direita 
 ϕC = 1,467 x 10-3 radianos no sentido anti-horário 
13) ∆D = 4,325 cm para a direita 
 ϕC = 2,907 x 10-3 radianos no sentido anti-horário 
14) a) ∆C = 0,08 cm para a direita 
 b) ϕB = zero 
15) ∆C = 1,822 cm para a esquerda 
16) a) fC = 1,92 mm para baixo 
 b) ϕE = 1,333 x 10-4 radianos no sentido horário

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