Apotamento_unidade_4_(Hidrodinamica)[1]

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Elaborado por: Ângelo Damião 
ESCOLA SECUNDÁRIA 3 DE FEVEREIRO DE FURANCUNGO 
TEXTO DE APOIO DE FÍSICA 12ª CLASSE, UNIDADE IV- MECÂNICA DOS 
FLUIDOS-HIDRODINÂMICA 
 
1. VAZÃO VOLÚMICA (CAUDAL) 
 
A Hidrodinâmica é o estudo dos fluidos (líquidos e gases) em movimento, como a água 
escoando ao longo de um tubo ou no leito de um rio, o sangue que corre pelas veias de uma 
pessoa, a fumaça emitida pela chaminé de uma fábrica. 
O escoamento de um fluido pode ocorrer de modo turbulento, como nas corredeiras e nas 
cachoeiras, onde a velocidade em cada ponto muda de instante para instante; ou em regime 
estacionário (ou permanente), situação na qual a velocidade do fluido em cada ponto não varia 
com o decorrer do tempo, sendo função apenas da posição do ponto. Nessa situação, portanto, 
partículas diferentes do fluido, ao passarem por um mesmo ponto, terão a mesma velocidade. 
 
Vazão Volúmica 
A grandeza física que caracteriza o escoamento de um fluido é a vazão volúmica ou caudal. Por 
exemplo, necessita aproximadamente de 1 minuto para encher um depósito de 10 litros com 
água proveniente de uma torneira. Neste caso a vazão volúmica ou caudal é 10 𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ . A 
velocidade média é uma velocidade fictícia constante na secção tal que multiplicada pela área 
resulta na vazão do líquido. A vazão é a rapidez com qual um volume escoa. 
 
 
 
Por isso, a expressão para o seu cálculo é: 
 
Onde: Q é a vazão, ∆𝑽 ee o volume e ∆𝒕 é o intervalo de tempo em que se escoa o fluido. 
A unidade de vazão no Sistema Internacional é o metro cúbico por segundo (𝑚3/𝑠). Outra 
unidade de vazão bastante utilizada é o litro por segundo (𝑙/𝑠), cuja relação com a unidade do 
SI é: 
 
A vazão volúmica ou caudal é o volume de massa liquida que escoa pela secção transversal do 
tubo na unidade de tempo. 
 
𝑄 =
∆𝑉
∆𝑡
 
 
1 𝑚3 𝑠 = 103⁄ 𝑙 𝑠⁄ 
 
Elaborado por: Ângelo Damião 
A figura abaixo mostra um tubo que escoa um fluido com uma velocidade 𝑣 através da secção 
transversal 𝐴 do tubo. O volume de água dentro do comprimento 𝑥 do tubo será: 
 
 
Se o fluido escoar em regime permanente (𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.), ele vai percorrer o comprimento 𝑥 do 
tubo num intervalo de tempo ∆𝑡, ou seja, 
𝑥 = 𝑣 ∙ ∆𝑡 (I) 
E como o volume do tubo é: 𝑉 = 𝐴 ∙ 𝑥, e substituído x por (I) vem 𝑉 = 𝐴 ∙ 𝑣 ∙ ∆𝑡 (II) 
Como 𝑄 =
∆𝑉
∆𝑡
 e substituindo 𝑉 por (II) tem-se: 
𝑄 =
𝐴 ∙ 𝑣 ∙ ∆𝑡
∆𝑡
= 𝐴 ∙ 𝑣 ⇒ 𝑄 = 𝐴 ∙ 𝑣 
Ou seja, a vazão é o produto da área de um tubo de corrente pela velocidade do líquido que o 
atravessa. 
Ex: Um líquido flui através de um tubo de seção transversal constante e igual a 5,0𝑐𝑚2 com 
velocidade de 40 𝑐𝑚/𝑠. Determine: 
a) A vazão do líquido ao longo do tubo; 
b) O volume de líquido que atravessa uma seção em 10 𝑠. 
Solução: 
a) A vazão (Q) é dada pelo produto da área da seção transversal (A) pela velocidade (v) do 
líquido: 
𝑄 = 𝐴 ∙ 𝑉 ⇒ 𝑄 = 5,0𝑐𝑚2 ∙ 40 𝑐𝑚/𝑠 ⇒ 𝑄 = 2 ∙ 102𝑐𝑚3/𝑠 
b) De 𝑄 =
∆𝑉
∆𝑡
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 ∆𝑡 = 10𝑠, resulta: 
2 ∙ 102𝑐𝑚3/𝑠 =
∆𝑉
∆𝑡
⇒ ∆𝑉 = 2 ∙ 103𝑐𝑚3 
Ex2: Calcula a vazão de água que circula aa velocidade de 2 𝑚 𝑠⁄ por um tubo de 500𝑚𝑚 de 
diâmetro. Responder em 𝑚3 𝑠⁄ e 𝑚3 ℎ⁄ . 
𝑄 = 𝐴 ∙ 𝑣 ⇒ 𝑄 =
𝜋(𝐷)2
4
∙ 𝑣 ⇒ 𝑄 =
3,14(5 ∙ 10−2)2
4
∙
2𝑚
𝑠
 
𝑉 = 𝐴 ∙ 𝑥 
 
Elaborado por: Ângelo Damião 
𝑄 = 0,00196𝑚2 ∙ 2𝑚/𝑠 ⇒ 𝑄 = 0,00392 𝑚3 𝑠⁄ 
𝑄 = 0,00392 𝑚3 𝑠⁄ ∙ 3600
𝑠
ℎ
= 14,112 𝑚3 ℎ⁄ 
VISCOSIDADE 
Durante o escoamento de um fluido existem forças de atrito entre o líquido e as paredes do tubo 
em que se escoa. Essas forças caracterizam a grandeza física designada viscosidade. A 
viscosidade também existe sobre a superfície de um corpo que se desloca no interior de um 
líquido. Por exemplo, quando uma esfera de ferro é mergulhada num recipiente com óleo, a sua 
superfície está sujeita aa viscosidade. Por isso é que a mesma esfera cai mais rapidamente num 
recipiente com água, porque a viscosidade da água é menor do que a do óleo. 
 
Quanto maior é a viscosidade do fluido, maior é a força de atrito entre este e as paredes do 
recipiente. Por exemplo, o óleo é mais viscoso do que a água; isto significa que o óleo apresenta 
maior atrito com as paredes do recipiente que escoa em relação a água. 
Fluido Ideal 
Um fluido ideal é incompressível e não viscoso. 
 
2. PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE 
Considere um tubo cuja seção transversal não seja constante (figura abaixo). As seções 𝑆1 e 
𝑆2 têm áreas 𝐴1 e 𝐴2, sendo 𝑣1 e 𝑣2 as velocidades do fluido em 𝑆1 e 𝑆2, respectivamente. 
Considerando o fluido incompressível, isto é, sua densidade não vária ao longo do tubo, 
podemos concluir que, no intervalo de tempo ∆𝑡, o volume de fluido ∆𝑉 que atravessa a seção 
𝑆1 é o mesmo que atravessa𝑆2. Em outras palavras, a vazão do fluido através de 𝑆1 é a mesma 
através de 𝑆2: 
 
 
Esta relação entre a velocidade do fluido e área de secção por onde o fluido passa é o chamado 
Principio de Continuidade. De uma outra forma, a equação anterior pode ser escrita como: 
𝐴 ∙ 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
A viscosidade é o atrito entre o fluido e as paredes do tubo que o escoa 
 
𝑄1 = 𝑄2 ⇒ 𝐴1 ∙ 𝑣1 = 𝐴2 ∙ 𝑣2 
O princípio de continuidade estabelece que, no caso do escoamento de um fluido ideal, em 
regime permanente, o caudal permanece constante (𝑄 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 
Elaborado por: Ângelo Damião 
 
Com base na equação obtida pode se concluir que: a velocidade de escoamento de um fluido é 
inversamente proporcional à área da seção transversal do tubo. 
Por exemplo: diminuindo a área, a velocidade de escoamento aumenta na mesma proporção, e 
a vazão permanece a mesma. É o que ocorre quando tapamos parcialmente a saída de água de 
uma mangueira com o dedo, visando aumentar a velocidade de saída da água e o alcance dela. 
Ex: As superfícies 𝑆1 e 𝑆2 do tubo indicado na figura possuem áreas respectivamente iguais a 
2,5 ∙ 10−2𝑚2 𝑒 1,0 ∙ 10−2𝑚2 
 
 
Um líquido escoando pelo tubo atravessa a seção 𝑆1 com velocidade 3,0 m/s. Determine a 
velocidade com que o líquido atravessa a seção 𝑆2. 
Solução: 
Pela equação da continuidade, temos: 𝐴1 ∙ 𝑣1 = 𝐴2 ∙ 𝑣2 ⇒ 2,5 ∙ 10
−2𝑚2 ∙ 3,0 m/s = 1,0 ∙
10−2𝑚2 ∙ 𝑣2 ⇒ 𝑣2 =
2,5∙10−2𝑚2∙3,0
m
s
1,0∙10−2𝑚2
⇒ 𝑣2 = 7,5𝑚/𝑠 
 
3. PRINCÍPIO DE BERNOULLI 
 
O princípio de Bernoulli estabelece que a energia, em um fluxo estacionário, é constante ao 
longo do caminho descrito pelo fluido. Pode ser deduzida a partir do teorema da energia: << O 
trabalho da resultante das forças agentes em um corpo entre dois instantes é igual á variação da 
energia cinética experimentada pelo corpo naquele intervalo de tempo>> 
 
A figura abaixo mostra um fluido escoando no interior de uma tubagem que se eleva 
gradualmente desde uma altura ℎ1 até uma altura ℎ2, medidas em relação a um plano horizontal 
de referência. 
Na região mais baixa, o tubo tem área de secção transversal 𝑆1, e na mais alta área 𝑆2. A pressão 
do fluido na região inferior do tubo é 𝑝1 e na superio, 𝑝2. 
Elaborado por: Ângelo Damião 
 
O trabalho (𝑊) realizado pela força resultante sobre a porção sombreada de fluido é calculado 
considerando-se que: 
 O trabalho realizado sobre a Porcão de fluido pela força de pressão: 𝐹1 = 𝑝1 ∙ 𝑆1 
𝑊1 = 𝐹1 ∙ ∆𝑥1 ⇒ 𝑊1 = 𝑝1 ∙ 𝑆1 ∙ ∆𝑥1 
 O trabalho realizado sobre a Porcão de fluido pela força de pressão 𝐹2 = 𝑝2 ∙ 𝑆2 é: 
𝑊1 = −𝐹2 ∙ ∆𝑥2 ⇒ 𝑊2 = −𝑝2 ∙ 𝑆2 ∙ ∆𝑥2 Negativo, pois a força de pressão tem sentido oposto ao do 
deslocamento da porção fluida. 
 O trabalho realizado pela força peso para elevar o fluido desde a altura ℎ1 até a altura ℎ2 é: 
𝑊 = −𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ2 − ℎ1) Negativo pois o deslocamento ocorre em sentido contrário ao da força peso 
 
O trabalho resultante realizado sobre o sistema é dado pela soma dos três termos considerados. 
Assim temos: 
 
 
Mas, observe que 𝑆1 ∙ ∆𝑥1 = 𝑆2 ∙ ∆𝑥2 corresponde ao volume da porção de fluidoconsiderado 
e pode ser expresso como a relação entre massa de fluido e a sua densidade. observe também 
que estamos considerando que o fluido seja incompressível pois admitimos que 𝑆1 ∙ ∆𝑥1 = 𝑆2 ∙
∆𝑥2. 
Assim, o trabalho da força resultante sobre o sistema pode ser escrito como: 
𝑊𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = (𝑝1 − 𝑝2) ∙
𝑚
𝜌
= 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ2 − ℎ1) 
A variação da energia cinética do sistema é dada por: 
∆𝐸𝑐 = [
1
2
𝑚 ∙ (𝑣2)
2] − [
1
2
𝑚 ∙ (𝑣1)
2] 
O teorema da energia cinética estabelece que o trabalho resultante realizado sobre o sistema 
deve ser igual á variação de sua energia cinética. Temos então: 
(𝑝1 − 𝑝2) ∙
𝑚
𝜌
− 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ2 − ℎ1) = [
1
2
𝑚 ∙ (𝑣2)
2] − [
1
2
𝑚 ∙ (𝑣1)
2] 
𝑊𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑝1 ∙ 𝑆1 ∙ ∆𝑥1 − 𝑝2 ∙ 𝑆2 ∙ ∆𝑥2 − 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ2 − ℎ1) 
 
Elaborado por: Ângelo Damião 
Multiplicando-se todos os termos da expressão por 
𝜌
𝑚
 e rearranjando-se as parcelas teremos 
finalmente: 
 
 Principio Bernoulli 
Como os índices 1 e 2 referem-se a duas posições quaisquer do fluido no tubo podemos suprimi-
los e escrever, para qualquer ponto do fluido, que: 
 
 
Esta relação mostra-nos, principalmente, que, em uma canalização horizontal, um 
estrangulamento implica (pelo principio da continuidade) um aumento na velocidade do fluxo 
e, consequente, uma diminuição de pressão. 
Nesta relação, a soma 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ é denominada pressão estática enquanto o termo 
1
2
𝜌 ∙ 𝑣2 é 
a pressão dinâmica, exercida pelo fluido em movimento. 
Ex: As superfícies 𝑆1 𝑒 𝑆2 do tubo indicado na figura possuem áreas 3,0𝑐𝑚
2 𝑒 2,0𝑐𝑚2, 
respectivamente. Um liquido de densidade 𝜌 = 0,80 ∙ 103𝐾𝑔/𝑚3 escoa pelo tubo e apresenta, 
no ponto 1, velocidade 𝑣1 = 2,0𝑚/𝑠 e pressão 𝑝1 = 4,0 ∙ 10
4𝑃𝑎. 
Determine a velocidade e a pressão do líquido no ponto 2 
 
 
 
 
Solução: Pela equação da continuidade, temos 𝐴1 ∙ 𝑣1 = 𝐴2 ∙ 𝑣2. 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴1 = 3,0𝑐𝑚
2, 𝐴2 =
2,0𝑐𝑚2 𝑒 𝑣1 = 2,0𝑚/𝑠, 𝑣𝑒𝑚: 
𝑣2 =
𝐴1 ∙ 𝑣1
𝐴2
⇒ 𝑣2 =
3,0𝑐𝑚2 ∙ 2,0𝑚/𝑠
2,0𝑐𝑚2
⇒ 𝑣2 = 3,0𝑚/𝑠 
Para o cálculo da pressão no ponto 2, usamos a equação de Bernoulli, para o caso em que ℎ1 =
ℎ2: 
𝑝1 + [
1
2
𝜌 ∙ (𝑣1)
2] = 𝑝2 + [
1
2
𝜌 ∙ (𝑣2)
2] 
Sendo 𝑝1 = 4,0 ∙ 10
4𝑃𝑎, 𝜌 = 0,80 ∙ 103𝐾𝑔/𝑚3, 𝑣1 = 2,0𝑚/𝑠, 𝑣2 = 3,0𝑚/𝑠 
𝑝1 + [
1
2
𝜌 ∙ (𝑣1)
2] + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑝2 + [
1
2
𝜌 ∙ (𝑣2)
2] + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 
𝑝 + (
1
2
𝜌 ∙ 𝑣2) + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Elaborado por: Ângelo Damião 
4,0 ∙ 104𝑃𝑎 +
0,80 ∙ 103 ∙ (2,0)2
2
= 𝑝2 +
0,80 ∙ 103 ∙ (3,0)2
2
⇒ 𝑝2 = 3,8 ∙ 10
4𝑃𝑎 
4. APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DE BERNOULLI 
 
O princípio de Bernoulli pode ser aplicado em inúmeras situações práticas. A seguir, 
analisaremos as principais aplicações deste princípio em situação do nosso dia-a-dia e também 
em situações mais técnicas. 
 
O medidor de Venturi 
Consiste em inserir um medidor em uma canalização de secção transversal S para se medir a 
velocidade de escoamento 𝑣1 de um fluido incompressível, de massa especifica 𝜌, através dela. 
Um manómetro, tem uma de suas extremidades inserida num estrangulamento, com área de 
secção transversal S, e a outra extremidade na canalização de área S. seja 𝜌𝑚 a densidade do 
liquido manómetro (mercúrio, por exemplo). Por simplificação, vamos considerar que a 
tubagem é horizontal. 
 
 
 
Pelo Principio de Bernoulli, devemos ter: 
𝑝1 + [
1
2
𝜌 ∙ (𝑣1)
2] = 𝑝2 + [
1
2
𝜌 ∙ (𝑣2)
2] (𝐼) 
Mas, pela princípio da continuidade: 
𝑆 ∙ 𝑣1 = 𝑆 ∙ 𝑣2 ⇒ 𝑣2 =
𝑆 ∙ 𝑣1
𝑠
 (𝐼𝐼) 
Então, substituindo (II) em (I) teremos: 
𝑝1 − 𝑝2 =
𝑝
2
[(𝑣2)
2 − (𝑣1)
2] ⇒ 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 [
1
2
∙ (𝑣1)
2] ∙ [(
𝑆
𝑠
)
2
− 1] 
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 [
1
2
∙ (𝑣1)
2] ∙ [
𝑆2 − 𝑠2
𝑠2
] (𝐼𝐼𝐼) 
A relação de Stevin, da hidrostática, permite obter: 
𝑝1 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 = 𝑝2 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (𝐻 − ℎ) + 𝜌𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 
𝑝1 − 𝑝2 = (𝜌𝑚 − 𝜌) ∙ 𝑔 ∙ ℎ (𝐼𝑉) 
Elaborado por: Ângelo Damião 
Finalmente, substituindo (III) em (IV), chegamos a: 
𝑣1 = 𝑠√
2(𝜌𝑚 − 𝜌) ∙ 𝑔 ∙ ℎ
𝜌(𝑆2 − 𝑠2)
 
A bomba Spray 
É bomba utilizada em frascos de perfumes. 
A bomba de borracha ao ser comprimida expele o ar, contido no seu interior, a uma alta 
velocidade. De acordo com o Principio de Bernoulli, a pressão do ar fluindo a alta velocidade 
através da região superior do tubo vertical é menor que a pressão atmosférica normal actuando 
na superfície do líquido contido no frasco. Dessa maneira, o líquido é empurrado tubo acima 
devido a diferença de pressão. Ao atingir o topo do tubo, a coluna líquida é fragmentada em 
pequenas gotículas (spary). 
 
Vento rasante em uma janela 
Durante uma ventania, o ar que passa rente a uma janela origina uma diminuição da pressão, 
em relação ao ambiente interno. Como consequência, se a janela estiver aberta, uma cortina ali 
colocada desloca-se em direcção à janela, como se estivesse sendo puxada para fora. 
 
Asa do avião 
Este fenómeno é chamado paradoxo hidrodinâmica. É com base neste fenómeno que se explica 
o princípio da aerodinâmica dos aviões. 
A figura abaixo mostra um corte transversal da asa de um avião. Repare que a velocidade do ar 
na parte inferior. Por isso, a pressão na parte inferior é maior do que na parte superior. Desta 
forma actua uma força de impulsão para cima levando o avião a flutuar.