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UNIVERSIDADE FEDERAL
MECÂNICA DOS FLUIDOS
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS 
CENTRO DE ENGENHARIAS 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Prof. Dr. Hugo Alexandre Soares Guedes 
Maíra Martim de Moura 
Carina Krüger Bork 
PELOTAS - RS 
MARÇO, 2015 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
 
Hugo Alexandre Soares Guedes – UFPel 
 
Colaboração: 
Maíra Martim de Moura – UFPel 
Carina Krüger Bork – UfPel 
2 
 
SUMÁRIO 
 
UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS ....................................................................... 6 
1.1. Introdução ........................................................................................................................................ 6 
1.1.1. Aplicações da Mecânica dos Fluidos ........................................................................................... 6 
1.2. Definição de fluído .......................................................................................................................... 6 
1.2.1. Hipótese do Contínuo ..................................................................................................................... 7 
1.3. Classificação dos fluidos .............................................................................................................. 8 
1.3.1. Líquido .............................................................................................................................................. 8 
1.3.2. Aenforme .......................................................................................................................................... 8 
1.4. Sistemas de Unidades .................................................................................................................... 8 
1.4.1. Correlações ...................................................................................................................................... 9 
1.5. Propriedades dos Fluidos ............................................................................................................. 9 
1.5.1. Peso Específico (γ) ........................................................................................................................ 9 
1.5.2. Massa específica (ρ) ou densidade absoluta ............................................................................. 9 
1.5.3. Densidade relativa (dr) ................................................................................................................ 10 
1.5.4. Volume específico (Vs) ................................................................................................................ 10 
1.5.5. Compressibilidade α ..................................................................................................................... 11 
1.5.6. Elasticidade (ε) .............................................................................................................................. 11 
1.5.7. Capilaridade (h) ............................................................................................................................. 12 
1.5.8. Equação Geral dos Gases Perfeitos .......................................................................................... 12 
1.5.9. A lei de Newton de Viscosidade ................................................................................................. 13 
1.5.10. Viscosidade cinética ou cinemática (�) ..................................................................................... 15 
1.6. Exercícios de Aplicação ...............................................................................................................16 
1.7. Exercícios de Revisão ...................................................................................................................18 
UNIDADE 2 – A ESTÁTICA DOS FLUIDOS ........................................................................ 20 
2.1. Conceito de Pressão ..........................................................................................................................20 
2.2. Transmissão de Pressão ...................................................................................................................21 
2.3. Pressão Atmosférica: Experiência de Torricelli ............................................................................22 
2.4. Atmosfera Técnica: Experiência de Pascal ....................................................................................22 
2.5. Relações importantes .........................................................................................................................23 
2.6. Pressão em torno de um ponto de um fluido em r epouso ..........................................................23 
2.7. Lei de Pascal ........................................................................................................................................23 
3 
 
2.8. Teorema de Steven .............................................................................................................................24 
2.8.1. Fluido em equilíbrio estático .............................................................................................................. 25 
2.8.2. Conclusões do teorema ..................................................................................................................... 28 
2.8.3. Aplicações do Teorema de Stevin .................................................................................................... 29 
2.8.3.1. Princípio dos vasos comunicantes ................................................................................................ 29 
2.8.3.2. Pressão e força no fundo do recipiente ................................................................................ 29 
2.8.3.4. Vasos comunicantes com líquidos diferentes ...................................................................... 31 
2.8.4. Carga de Pressão ......................................................................................................................... 32 
2.9. Exercícios de Aplicação ...............................................................................................................32 
2.10. Exercícios de Fixação ...............................................................................................................35 
UNIDADE 3 – MANOMETRIA ................................................................................................... 37 
3.1. Finalidades dos dispositivos ............................................................................................................37 
3.2. Classificação dos dispositivos .........................................................................................................37 
3.2.1. Manômetros de coluna líquida .......................................................................................................... 37 
3.2.2. Dispositivos mecânicos ou piezômetro ............................................................................................ 42 
3.3. Exercícios de Aplicação ...............................................................................................................43 
3.4. Exercícios de Fixação ...................................................................................................................47 
UNIDADE 4 – EMPUXO ............................................................................................................... 53 
4.1. Variação de pressão com a profundidade ......................................................................................53 
4.2. Empuxo exercido por líquidos sobre superfícies plan as .......................................................56 
4.2.1. Conceito de empuxo ..................................................................................................................... 56 
4.3. Força Hidrostática Sobre Superfícies Planas ...........................................................................574.3.1. Empuxo sobre superfície plana inclinada (grandeza e direção) ............................................ 57 
4.3.2. Ponto de aplicação do empuxo: centro de pressão (CP) ....................................................... 58 
4.3.3. Profundidade de CP (HP) ............................................................................................................ 60 
4.4. Exercícios de Aplicação ...............................................................................................................61 
4.5. Empuxo sobre superfícies curvas ..............................................................................................65 
4.6. Exercícios de Aplicação ...............................................................................................................67 
4.7. Exercícios de Fixação ...................................................................................................................70 
UNIDADE 5 – EQUILÍBRIO DE CORPOS FLUTUANTES ............................................... 74 
5.1. Corpos imersos ..............................................................................................................................74 
5.2. Corpos flutuantes ..........................................................................................................................74 
4 
 
5.3. Princípio de Arquimedes ..............................................................................................................75 
5.3.1. Critérios de classificação ............................................................................................................. 75 
5.4. Carena ..............................................................................................................................................76 
5.5. Equilíbrio dos corpos flutuantes ......................................................................................................76 
5.6. Altura metacêntrica ( ��) ...................................................................................................................78 
5.7. Exercício de Aplicação ......................................................................................................................82 
5.8. Exercícios de Fixação ........................................................................................................................83 
UNIDADE 6 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS ....................................................................... 87 
6.1. Conceito ...........................................................................................................................................87 
6.2. Métodos de Estudo ........................................................................................................................87 
6.3. Regimes de Escoamento ..............................................................................................................87 
6.3.1. Regime Permanente ..................................................................................................................... 87 
6.3.2. Regime Variado ............................................................................................................................ 88 
6.4. Escoamento Laminar e Turbulento .............................................................................................89 
6.5. Trajetória e Linha de Corrente .....................................................................................................90 
6.6. Conceito de Vazão .........................................................................................................................92 
6.7. Conservação de massa .................................................................................................................94 
6.7.1. Equação da Continuidade ........................................................................................................... 94 
6.8. Exercícios de Aplicação ...............................................................................................................96 
6.9. Teorema da Quantidade de Movimento .....................................................................................99 
6.9.1. Equação Geral da Quantidade de Movimento .............................................................................. 100 
6.9.2. Exercícios de Aplicação ................................................................................................................... 101 
6.10. Exercícios de Fixação ............................................................................................................. 105 
UNIDADE 7 – EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA REGIME PERMANEN TE ............. 109 
7.1. Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido ......................................................... 109 
7.1.1. Energia potencial (Ep) ................................................................................................................ 109 
7.1.2. Energia cinética (Ec) .................................................................................................................. 109 
7.1.3. Energia de pressão (Epr) ........................................................................................................... 110 
7.1.4. Energia mecânica total do fluido (E) ........................................................................................ 111 
7.2. Equação de Bernoulli .................................................................................................................. 111 
7.2.1. Exercícios de Aplicação ............................................................................................................. 115 
5 
 
7.3. Tubo de Pilot ................................................................................................................................. 117 
7.3.1. Pressão total ao longo de uma linha de corrente .................................................................. 117 
7.3.2. Exercícios de aplicação ............................................................................................................. 118 
7.4. Extensão do Teorema de Bernoulli para os Líquidos N aturais (Fluidos Reais) – Perda de 
Carga 121 
7.4.1. Representação gráfica da Equação de Bernoulli para fluidos naturais (reais) ................. 121 
7.4.2. Equação da Energia ................................................................................................................... 122 
7.4.3. Exercícios de Aplicação ............................................................................................................. 125 
UNIDADE 8 – PERDA DE CARGA ........................................................................................ 130 
8.1. Conceito ......................................................................................................................................... 130 
8.2. Regime de escoamento .............................................................................................................. 130 
8.2.1. Experiência de Osborne Reynolds ........................................................................................... 130 
8.2.2. Número de Reynolds (Rey) ....................................................................................................... 131 
8.3. Classificação das perdas de carga ........................................................................................... 133 
8.3.1. Perda da carga contínua ou distribuída ou perda por atrito (ℎ�) ........................................ 133 
8.3.2. Resistência das paredes internas do conduto ao escoamento ........................................... 133 
8.3.3. Fator de atrito (f) ......................................................................................................................... 134 
8.3.4. Fórmula Racional ou Universal .................................................................................................139 
8.3.5. Exercícios de Aplicação ............................................................................................................. 139 
8.3.5. Perda de carga acidental ou localizada ou singular (ha)...................................................... 142 
8.3.6. Valores K (Perda Localizada) ................................................................................................... 143 
8.3.7. Perda de carga devida ao alongamento gradual de seção .................................................. 144 
8.3.8. Perda de carga total	ℎ� .............................................................................................................. 145 
8.3.9. Exercícios de Aplicação ............................................................................................................. 145 
8.4. Linha piezométrica e linha de energia nas perdas de cargas distribuídas e localizada . 147 
LITERATURA CONSULTADA ............................................................................................... 152. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Unidade 1 – Conceitos Fundamentais 
 
1.1. Introdução 
 
Mecânica dos Fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do 
comportamento físico dos fluidos e das leis que regem este comportamento. 
 
1.1.1. Aplicações da Mecânica dos Fluidos 
 
� Ação de fluidos sobre superfícies submersas; barragens; 
� Equilíbrio de corpos flutuantes; embarcações; 
� Ação dos ventos sobre construções civis; 
� Estudos de lubrificação; 
� Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica; elevadores; 
� Cálculo de instalações hidráulicas; instalações de recalque; 
� Cálculo de máquinas hidráulicas; bombas e turbinas; 
� Instalações de vapor; caldeiras; 
� Ação de fluidos sobre veículos; aerodinâmica. 
 
1.2. Definição de fluído 
 
Fluidos são substâncias capazes de escoar e que não resistem a forças de 
cisalhamento ou tangencial. 
 
7 
 
Força	Normal�90°� = Pressão	�P� = 	F�
A
→ Mecânica	dos	Fluidos	e	dos	Sólidos 
Força	Tangencial	ou	de	Cisalhamento	�τ� = 	F�
A
→ Mecânica	dos	Sólidos 
 
 
1.2.1. Hipótese do Contínuo 
 
Na Engenharia, frequentemente empregamos expressões matemáticas cujas 
deduções baseiam-se no cálculo diferencial e integral. 
A matéria tem estrutura descontinua, sendo caracterizada pela existência de 
“vazios”. Para facilitar o estudo formula-se a “Hipótese do Contínuo”: 
� A cada ponto do espaço corresponde um ponto de fluido. 
� Não existem “vazios” no interior do fluido. 
� Despreza-se a mobilidade das moléculas e o espaço intermolecular. 
 
Amostra de sólido 
 
 
Amostra de líquido 
 
 
8 
 
Vazios nos fluidos NÃO existem. Pode-se aplicar os conceitos de limite, 
derivada e integral. 
 
1.3. Classificação dos fluidos 
 
1.3.1. Líquido 
 
� É um fluido que escoa por ação da gravidade até um determinado ponto do 
recipiente. 
� Praticamente incompressível. 
� Volume constante. 
� Superfície livre. 
 
1.3.2. Aenforme 
 
� Gases e vapores. 
� Ocupam todo o espaço do recipiente que o contém. 
� Altamente compressível e expansível. 
� Sem superfície livre. 
 
1.4. Sistemas de Unidades 
 
SI CGS MKFS 
Força N dyna Kgf (quilograma força) 
Comprimento m cm m 
Massa kg g UTM (unidade técnica de massa) 
Tempo s s s 
 
� CGS: Sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional. 
� MKFS: Sistema técnico. 
� SI: Sistema Internacional de Unidades. 
 
 
1.4.1. Correlações 
 
1 Kgf = 9,81
1 UTM = 9,8
1 N = 105 d
 
 
1.5. Propriedades dos Fluidos
 
 
1.5.1. Peso Específico (γ
 
 
γ �
 
Em que, 
W é peso; 
V é volume; 
R é a constante universal dos gases e,
T é temperatura absoluta.
 
 
1.5.2. Massa específica (
 
ρ �
1 N 
81 kg 
dyna 
Propriedades dos Fluidos 
γ� 
� WV → líquidos								γ �
W
RT → gases 
R é a constante universal dos gases e, 
T é temperatura absoluta. 
Unidades: 
�
��
	�SI�;	����
���
Massa específica (ρ) ou densidade absoluta 
� mv 			e					γ �
W
v �
mg
v 			→ 		
m
v �
γ
g 
 
9 
 
 
 
 
�CGS�;	�	
��
	�Mkfs� 
10 
 
ρ =
�
�
 
 
Em que, 
m é massa; 
v é volume e, 
g é gravidade. 
Unidades: 
	�
�
	�SI�; 	 �
�
�
�CGS�; 	�
�
�
	�Mkfs�. 
 
1.5.3. Densidade relativa (dr) 
 
 
dr =
����
ρ������	�����ê����
=
�����
γ������	�����ê����
 
 
 
Unidades: adimensional. 
 
Fluido de referência: 
� Água�	γH�O = 1000 	��
³ 
� Ar	�	γar = 1,2	 	��
³
 
 
1.5.4. Volume específico (Vs) 
 
 
Vs =
volume
peso
=
V
W
=
1
γ
 
 
Unidades: 
�
�
	�SI�; �
�
����
�CGS�; 
�
���
	(Mkfs) 
11 
 
1.5.5. Compressibilidade �α� 
 
É a propriedade do fluido de reduzir seu volume quando se aumenta a 
pressão. 
dV = −αVdp 
 
Em que, 
α é coeficiente de compressibilidade cúbica; 
V é volume inicial; 
dp é a variação de pressão e, 
dV é a variação de volume. 
Unidades:	
�
�
	�SI�; �
�
����
�CGS�; 
�
���
	(Mkfs) 
 
Observação! 
O sinal negativo aparece devido às variações, de sinal contrário, que ocorrem 
com p e V. Sua presença acarreta que o valor de α será positivo. 
 
 
1.5.6. Elasticidade (ε) 
 
É a propriedade do fluido de aumentar seu volume quando há diminuição da 
pressão. 
dV = −
�
 
Vdp 
 
Em que, 
ε = coe�iciente	de	elasticidade	volumétrica. 
 
Unidades:	 �
�
	�SI�; 	����
�
�
�CGS�; 	���
�
	(Mkfs) 
 
 
12 
 
1.5.7. Capilaridade (h) 
 
É a propriedade de um líquido sofrer elevação ou queda na sua superfície em 
contato com o corpo sólido. A capilaridade é inversamente proporcional ao diâmetro. 
• Coesão é um esforço que ocorre entre as moléculas do fluido. 
• Adesão é um esforço que ocorre entre o recipiente e o fluido. 
Mercúrio Água 
 
Coesão > Adesão Adesão > Coesão 
Mercúrio não “gruda” nas paredes do 
tubo. 
A água “gruda” nas paredes do 
tubo. 
 
h	 ∝ 1
D
 
“Diâmetro menor, maior capilaridade” 
 
1.5.8. Equação Geral dos Gases Perfeitos 
 
 
pV = WRT 
 
 
p�V�
T�
=
p�V�
T�
→ W	e	R	são	iguais 
p�
T�γ�
=
p�
T�γ�
= R = constante 
 
13 
 
Em sistemas isotérmicos (T� = T�	), portanto: 
 
P�	V� = P�	V� 
 
 
1.5.9. A lei de Newton de Viscosidade 
 
Sejam 2 placa paralelas, sendo a de baixo fixa e a de cima móvel, separadas 
por uma distância Y. Entre elas existe um fluido. 
 
 
A		 ≫ Y → Desprezar	os	efeitos	da	borda. 
 
 
Figura 1.1: Representação da viscosidade de Newton. 
 
 
 
F
A
	∝ 	V
Y
 
 
 
 Figura 1.2: Perfil de velocidade. 
 
τ =
	dF
dA
=
F
A
= μ	dV
dY
 
 
Em que, 
�!
�"
	é o gradiente de velocidade; 
μ é o coeficiente de proporcionalidade e viscosidade absoluta ou dinâmica. 
 
14 
 
1.5.9.1. Conversão de Unidades 
μ =
FY
VA
 
i) μ = � #$�
�
$²
� = 
#$
$�
� = 
#
$�
� → FLT	(força, comprimento, tempo) 
Unidades: 
�%
�
	�SI�; ����%
�
�
�CGS�; ���%
�
	(Mkfs) 
 
ii) μ = 
�$$

�$	$�
� = 
�

$
� → MLT	(massa, comprimento, temperatura) 
Unidades: 
��
&
	�SI�; �
�
&
= poise	�CGS�; �
�
&
	(Mkfs) 
 
Observação! 
1Kg
ms
=
10'	g
10�cms
=
10g
cms
= 10	poise 
 
1.5.9.2. Fluidos Newtonianos e não Newtonianos 
 
 
 
 
Figura 1.3: Representação dos fluidos Newtonianos e não Newtonianos. 
15 
 
(1) Fluido Newtoniano: relação linear entre � e �!
�"
. 
(2) Fluido Não Newtoniano: relação não linear entre τ e 
�!
�"
. 
(3) Plástico: resiste a � até um certo limite, quando começa a deformar. 
(4) Fluido ideal: não precisa de τ para escoar. 
(5) Sólido ideal: não escoa independentemente da taxa de deformação (
�!
�"
). 
 
 
1.5.10. Viscosidade cinética ou cinemática (�) 
 
 
ν =
μ
ρ
 
 
Dimensões de ν: 
 
#
$�
.
$�
�
=
#
$
�
 
Unidades: 
�
�
&
�CGS�; �
�
&
	(stoke) 
�
$
.
$�
�
=
$�
 
Unidades: 
�
&
	�SI	ou	Mkfs� 
 
1.5.10.1. Viscosímetro de cilindros coaxiais 
Mede a viscosidade dinâmica. 
μ =
KMt
L
 
Em que, 
M = massa 
 t = tempo	de	queda 
L = comprimento	do	�io	 
K = constante	do	intrumento 
16 
 
K = f(n, R�, R�) 
 
1.5.10.2. Viscosímetro de Saybolt 
Mede a viscosidadecinemática. 
ν = 0,002197	t − 1798
t
 
Em que, 
ν = viscosidade	cinematica	(cm2/s); 
t = tempo	de	escoamento	(s). 
 
1.6. Exercícios de Aplicação 
 
 
1) Um cilindro contém 0,5	�� de ar a 30℃ e a 2		
�/���. O ar é comprimido até 
0,05	��. Considerando condições isotérmicas, qual é a pressão do ar comprimido 
no novo volume e qual é o módulo de elasticidade volumétrica? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
2) Duas placas horizontais estão separadas de 1,25	cm. O espaço entre elas é 
ocupado por óleo de viscosidade 14 poise. Calcular a resistência viscosa no óleo 
quando a placa superior se mover na velocidade de 2,5m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um eixo de 50mm de diâmetro gira num mancal de 51mm de diâmetro e 80mm de 
comprimento com 500	RPM. O espaço entre o eixo e o mancal é ocupado por um 
óleo lubrificante de viscosidade absoluta de 1 poise. Calcular o torque necessário 
para vencer a resistência do óleo gerada pela viscosidade. V = Wr;W =
���
�
; N =
número	de	rotações	e	t = tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
1.7. Exercícios de Revisão 
 
1) Em um cilindro de 60 cm de comprimento e 16 mm de diâmetro interno, 
determinar a massa de mercúrio (ρ = 13,6 g/cm³) necessária para encher o tubo. 
 
2) Colocam-se 5 kg de mercúrio (ρ = 13,6 g/cm³) em um recipiente em forma de 
prisma reto, com 100 cm² na área da base. Determinar a altura a que se elevaria 
o líquido no recipiente. Em seguida, substituindo o mercúrio por óleo de linhaça 
(dr = 0,93), obter a altura a que se elevaria igual massa de óleo. 
 
 
3) Enche-se um frasco até o traço de afloramento com 3,06 g de ácido sulfúrico. 
Repete-se a expereência, substituido o ácido por 1,66 g de água. Obter a 
densidade relativa do ácido sulfúrico. 
 
4) A densidade do gelo em relação a água é 0,918. Calcular em porcentagem o 
aumento de volume da água ao solidificar-se. 
 
 
5) Determinar a variação de volume de 0,04 m³ de água a 27ºC quando sujeito a um 
aumento de 35 kgf/cm² na pressão. Dado: módulo de elasticidade volumétrica da 
água igual a 22.750 kgf/cm². 
 
6) Dos seguintes dados de teste, determinar o módulo de elasticidade volumétrica 
da água, sabendo que a 25 kfg/m², o volume era de 0,03 m³, e a 250 kgf/m², o 
volume passou para 0,0291 m³. 
 
 
7) Obter o módulo de elasticidade da água, em determinada temperatura, sendo que 
à pressão de 30 kgf/cm², o volume era de 0,04 m³ e que a 220 kgf/cm² o volume 
passou para 0,0396 m³. 
 
8) Converter a pressão de 610 mm de mercúrio para metros de: óleo (dr = 0,750); 
querosene (dr = 0,80); tetracloreto de carbono (dr = 1,59); vinho (dr = 0,990). 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) m = 1,641 kg 
2) h1 = 3,68 cm; h2 = 53,76 cm 
3) dr = 1,843 
4) 8,90% 
5) dV = -61,54 cm³ 
6) Ɛ = 73,58 kPa 
7) Ɛ = 1,86 GPa 
8) Poleo = 11,06 m; Pquerosene = 10,37 m; Ptetracloreto = 5,218 m; Pvinho = 8,38 m 
20 
 
Unidade 2 – A Estática dos Fluidos 
 
 
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda fluidos em equilíbrio sujeitos a 
ação da gravidade e também sua interação com os corpos sólidos. 
 
2.1. Conceito de Pressão 
 
Seja uma porção de fluido no interior de um fluido em equilíbrio. 
 
Figura 2.1: Representação de fluido em equilíbrio. 
 
Em que, 
F
�	é	o	esforço	devido	à	ação	de	gravidade; 
dA	é	o	elemento	de	área	da	porção	do	�luido; 
dFn



�	é	o	componente	normal	de	F	

�	atuando	em	dA. 
 
P��� = dFn�����
dA
 
 
� Direção:	normal	à	super�ície	; 
� Sentido ∶ compressão	�	de	fora	para	dentro�. 
21 
 
Na maioria das aplicações, a pressão pode ser tratada como um escalar. 
Unidades: 
�
�
= Pa	�SI�; ����
�
�
�CGS�; ���
�
	(Mkfs) 
 
2.2. Transmissão de Pressão 
 
Se a pressão é medida em relação ao vácuo ou zero absoluto, é chamada 
“pressão absoluta”, quando é medida adotando-se a pressão atmosférica como 
referência, é chamada “pressão efetiva” ou “pressão manométrica”. 
 
Figura 2.2: Simplificação das pressões (Fonte: BRUNETTI, 2008). 
 
P�(& = P�)
 + P
�� 
 
� Pressão manométrica negativa � depressão. Exemplo: sucção. 
� Pressão absoluta é sempre maior que zero. 
 
A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão – a 
diferença entre a pressão medida e aquela do ambiente (usualmente a pressão 
atmosférica). 
Por exemplo, uma medida manométrica poderia indicar 30	psi; a pressão 
absoluta seria próxima de 44,7	psi. Pressões absolutas devem ser empregadas em 
todos os cálculos com a equação de gás ideal ou com outras equações de estado. 
A seguir são apresentadas as experiências de Torricelli e Pascal para o 
cálculo da pressão atmosférica. 
 
22 
 
2.3. Pressão Atmosférica: Experiência de Torricelli 
 
 
Figura 2.3: Exemplificação da Experiência de Torricelli. 
 
A pressão atmosférica (ponto A) equilibra uma coluna de mercúrio de 
aproximadamente 76	cm de altura. Logo, a pressão exercida pela atmosfera equilibra 
a pressão exercida por uma coluna de Hg de 76	cm, qualquer que seja a área da 
base. 
É preciso esclarecer, porém, que a pressão atmosférica não é constante. Isto 
é, não é sempre que ela equilibra uma coluna de Hg de 76	cm. Só será assim 
quando a pressão atmosférica for medida ao nível do mar (atmosfera normal). 
 
 
2.4. Atmosfera Técnica: Experiência de Pascal 
 
 
Figura 2.4: Exemplificação da Experiência de Pascal. 
23 
 
2.5. Relações importantes 
 
� Para atmosfera normal ou física 
1	atm	N = 10,33mca = 1,033 Kgf
cm�
= 760	mmHg 
 
� Para atmosfera técnica 
1atm = 0,968	atm	N	 
1atm = 10	mca = 1 ���
�
�
= 10.000	 ���
�
= 736mm	Hg = 1bar = 100	cbar =
1000	mbar = 14,7	PSI = 100.000	Pa = 100	KPa. 
 
2.6. Pressão em torno de um ponto de um fluido em r epouso 
 
A pressão em torno de um ponto fluido contínuo, incompressível e em 
repouso é igual em todas as direções, e ao aplicar-se uma pressão em um de seus 
pontos, esta será transmitida integralmente a todos os demais pontos. 
 
Figura 2.5: Esquematização da pressão em um fluido em repouso. 
 
2.7. Lei de Pascal 
 
A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se 
integralmente a todos os pontos do fluido. 
Observe o exemplo a seguir: 
 
24 
 
P� = 1	N/cm� 
P� = 1,5	N/cm� 
P' = 2	N/cm� 
P* = 3	N/cm� 
Figura 2.6: Fluido com superfície livre à atmosfera. 
 
Com aplicação de uma força de 100 N, temos: 
 
P =
�++�
,	�
�
= 20cm� 
P� = 1
N
cm�
+ 20
N
cm�
= 21
N
cm�
 
P� = 21,5		N/cm� 
P' = 22	N/cm� 
P* = 23	N/cm� 
 Figura 2.7: Fluido com aplicação da força de 100 
 N por meio do êmbolo. 
 
 
2.8. Teorema de Steven 
 
 
Figura 2.8: Elemento diferencial de fluido e as pressões na direção y. 
 
 
dF�� = dF-����� + 	dP&���� 
25 
 
Em que, 
dF�� = força		total; 
dF-����� = força	gravitacional; 
dP&���� = força	de	pressão	super�ícial. 
 
ρ =
M
V
=
dM
dV
			∴ 			dM = ρ	dV 
 
Em que, 
dV = �dx��dy�(dz); 
dM = ρ[�dx��dy��dz�]. 
 
dF-����� = (dM)g�� 
dF-����� = 	g	���ρ[�dx��dy��dz�] 
 
Em que, 
g��	é	o	vetor	gravidade	local; 
ρ	é	massa	especí�ica; 
dV = �dx��dy��dz�	é	o	volume	do	elemento. 
 
 
2.8.1. Fluido em equilíbrio estático 
 																		F� = pressão 
 P = P�x, y, z� 																									Fτ = 0 
 
 
 
26 
 
PE = P +
∂P
∂Y
�ye − y� = P + ∂P
∂Y
	�− dy
2
� 
PD = P +
∂P
∂Y
�yd − y� = P + ∂P
∂Y
	�− dy
2
� 
 
 
dFps������� = �P − ./
.0
.
�1
�
�dydz�î� + �P + ./
.0
.
�1
�
�dydz�−î�	+ 	�P − ./
."
.
��
�
� dxdz	(ȷ)� 
+ �P + ./
."
.
��
�
� dxdz�−ȷ ̂� + 
�P − ∂P
∂Z
.
dz
2
�dxdy�k�	� + �P + ∂P
∂Z
.
dz
2
�dxdy −	k�! 
 
 
Desmembrando a equação diferencial no eixo x, temos: 
 
P	dydz − .2
.1
�1���3
�
− P	dydz − .2
.1
�1���3
�
= −
.2
.1
	dxdydz 
 
 
Agrupando todas as equações, temos: 
dFps������� = 	− �∂p
∂x
	 ı ̂ + ∂p
∂yȷ ̂ + ∂p
∂z
	k"� 	dxdydz 
gradiente	P = 	∇P = 	 �∂p
∂x
	ı ̂ + ∂p
∂y
	ȷ ̂ + ∂p
∂z
	k"� 
 
∇P = 	 � .
.1
	ı ̂ + .
.�
	 ȷ ̂ + .
.3
	k"� 	P 
 
dFps������� = 	−∇p	dxdydz 
dF�� = dFG + dFps������� = g��	ρ	dxdydz + 	 �−∇p	dxdydz� 
27 
 
dF�� = �−∇p + ρg���			dxdydz 
dF�� = �−∇p + ρg���			dV 
dF��
dV
= �−∇p + ρg��� 		→ equilíbrio	estático	 dF��
dV
= 0 
 
−∇p + ρg�� = 0 
Em que, 
−∇p	é	a	força	de	pressão	líquida	por		unidade	de	volume	em	um	ponto; 
ρg��	é	a	força	gravitacional	por	unidade	de	volume	em	um	ponto. 
 
−
∂p
∂x
+ 	ρg��x = 0 → eixo	x 
−
∂p
∂y
+ 	ρg��y = 0 → eixo	y				 
−
∂p
∂z
+ 	ρg��z = 0 → eixo	z 
 
Como, 
gx = gy = 0	 ∴ ∂p
∂x
=
∂p
∂y
= 0 
Portanto, 
∂p
∂z
= ρg��z 
g��z = −g 
28 
 
∂p
dz
= 	ρ�−g� → ∂p
∂z
= 	−ρg 
dp
dz
= −γ 
P
Z
= −γ	 ∴ P
h
= −γ 
 
Em que, 
h é a altura, profundidade. 
P = γh 
 
2.8.2. Conclusões do teorema 
 
a) Na diferença de pressão entre dois pontos não interessa a distância entre eles, 
mas sim a diferença de cotas. 
b) A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma, desde 
que os pontos estejam localizados no mesmo fluido. 
c) O formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum 
ponto. 
d) Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a 
pressão num ponto à profundidade (h) dentro do líquido será dada por: � = �ℎ. 
e) Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois 
pontos não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre 
eles. 
 
 
 
 
 
 
Lei de Steven ou Lei 
Fundamental da 
Hidrostática 
29 
 
2.8.3. Aplicações do Teorema de Stevin 
 
2.8.3.1. Princípio dos vasos comunicantes 
As superfícies livres de um líquido em equilíbrio contido em recipientes 
interligados (vasos comunicantes) permanecem sempre horizontais e num mesmo 
plano, independente da forma dos vasos. 
Devem estar submetido à pressão atmosférica. 
 
Figura 2.9: Vasos comunicantes. 
 
2.8.3.2. Pressão e força no fundo do recipiente 
 
Figura 2.10: Representação de pressões em recipientes diferenciados. 
 
p =
F
A
				e					p = 	γ	h 
F
A
= γ	h	 ∴ F = γ	hA 
P�4	P� 
30 
 
F�
A�	
=
F�
A�
	∴ 	F�A� = 	F�A�	�equílibrio� 
Se, A� > A� → F� > F� 
Quanto maior a área, maior a força sobre o fundo do reservatório! 
 
2.8.3.3. Equilíbrio de dois líquidos de pesos específicos diferentes 
 
 
Figura 2.11: Equilíbrio entre líquidos de pesos específicos diferentes. 
P54	P6 
γ�		h5	 + γ�	h57 + 	P�)
 = γ�		h6	 + γ�	h67 + 	P�)
 
γ�	h5	 − γ�	h6 = γ�	h67 − 	γ�		h57 
γ�	�h5 − 	h6�		 − γ�		�	h67 + h57 � = 0 
γ�	 ≠ γ�	 
h5 − 	h6 = 	h67 + h57 
γ�	 < γ�	 
As camadas se superpõem na ordem crescente de seus pesos específicos, 
sendo plana e horizontal a superfície de contato. 
 
 
31 
 
2.8.3.4. Vasos comunicantes com líquidos diferentes 
 
 
Figura 2.12: P1 >> Patm. 
 
Figura 2.13: Esquema de vaso comunicante relacionando líquidos diferentes. 
 
γ� > γ� 
p� = p� 
P�)
	+	γ�	h� =	 P�)
 + γ�	h� 
32 
 
γ�	h�	 = γ�	h� 
h�
h�
=
γ�	
γ�	
→
h�
h�
= d	relativa 
 
� Fluido de referencia: água (γ	= 1000 kgf/m³) 
� Fluido manométrico: mercúrio (γ	= 13600 kgf/m³) 
 
 
2.8.4. Carga de Pressão 
 
A pressão em um ponto qualquer de um líquido pode ser imaginada como 
sendo causada pelo peso da coluna vertical do líquido. A altura ℎ desta coluna é 
chamada de carga e é expressa em termos de “metros de líquido”. 
 
Não confunda!!! 
 
P =
F
A
→ (
kgf
m�
) 
h =
P
γ
→ �m� 
 
 
2.9. Exercícios de Aplicação 
 
1) Converter a pressão de 1,5 kgf/cm� em: 
a) Metro de coluna de água �mca�. 
b) Metro de coluna de mercúrio �mcHg�. 
Sabendo: γágua = 1000
	��
�
	e	γHg = 13600 = 	��
�
. 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um mergulhador está trabalhando na profundidade de 20	m da superfície do mar 
�γ = 1025 	��
�
�. Um barômetro instalado no nível do mar acusa a pressão de 
760	mmHg. Qual a pressão absoluta sobre o mergulhador? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
3) Seja um tubo com êmbolo bem ajustado. Façamos baixar sua face interna num 
recipiente com líquido e elevamos gradualmente este êmbolo. O líquido subirá no 
cilindro atrás do êmbolo e se elevará até uma certa altura h em relação a 
superfície livre onde atua a pressão atmosférica. 
a) Qual a altura máxima se o líquido for a água? 
b) E se for gasolina? 
c) Interprete os resultados encontrados. 
Dados: γágua = 1000
	
�
��
; 	γgasolina = 750 	
�
��
; Patm = 1,033
	
�

��
	. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
2.10. Exercícios de Fixação 
 
1) As áreas dos dois pistões de uma prensa hidráulica são de 3,00cm2 e 60,00cm2, 
respectivamente. Desejando-se obter uma força de 3.000N no pistão maior, qual 
o módulo da força que deve ser aplicada no pistão menor? 
 
2) Deseja-se construir uma prensa hidráulica para exercer forças de 104N. Qual a 
área que deverá ter o pistão maior se, sobre o menor, com 39,20cm2, for aplicada 
uma força de 40,00kgf? 
 
3) Os diâmetros dos dois pistões de uma prensa hidráulica medem, 
respectivamente, 2,00cm e 20,00cm. Quantas vezes a força aplicada no êmbolo 
menor aparecerá multiplicada no êmbolo maior? 
 
4) No funcionamento de um elevador de automóveis num posto de serviço utilizou-
se uma pressão de até 5,0kgf/cm2. Qual o peso máximo que poderá elevar se o 
diâmetro do pistão maior mede 20,00cm? 
 
5) Uma prensa hidráulica, que contém um fluido incompressível, possui dois pistões 
com áreas que estão entre si na razão de 1/10. Pergunta-se: 
a) aplicando no pistão menor uma força de 2,0kgf, qual a força exercida sobre o 
pistão maior? 
b) se o pistão menor baixou 150,00cm, qual foi o deslocamento do pistão maior? 
6) No pistão menor de uma prensa hidráulica, de 10,00cm2, foi aplicada uma força 
de 200N, que o desloca 100,00cm. Sendo a área da secção transversal do pistão 
maior igual 500,00cm2, determine: 
a) a força que atua no pistão maior; 
b) o deslocamento do pistão maior; 
7) Para acionar um elevador de automóveis, num posto de gasolina, usa-se uma 
pressão de 8,0kgf/cm2. Sabendo que o pistão maior tem um diâmetro de 40,00cm 
e o menor de 4,00cm, determine: 
36 
 
a) a pressão transferida para o pistão maior; 
b) o peso máximo que pode ser elevado; 
c) a força aplicada no pistão menor; 
d) a razão entre o deslocamento do pistão menor e o maior. 
 
8) O êmbolo maior de uma prensa hidráulica apresenta 1,00m2. Qual deverá ser a 
área, em cm2 , da seção reta do êmbolo menor para que a força aplicada seja 
multiplicada por 1.000? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) F = 150N 
2) A = 9993,1cm² 
3) F2 = 100 x F1 
4) F = 1570,8kgf 
5) (a) F = 20kgf; (b) d = 15cm 
6) (a) F = 10000N; (b) d = 2cm 
7) (a) F = 8,0kgf; (b) F = 10047kgf; (c) F1 = 100,5kgf; (d) d1 = 100 x d2 
8) A = 10 cm² 
37 
 
UNIDADE 3 – MANOMETRIA 
 
É a parte da Mecânica dos Fluidos responsável pela medição da pressão. 
Os dispositivos que usam colunas de líquido em tubos verticais (ou 
inclinados) para medição de pressão são denominados manômetros. 
 
3.1. Finalidades dos dispositivos 
 
• Controle de vazão; 
• Verificar condições de funcionamento das instalações; 
• Determinar alcance de jatos; 
• Calcular esforços sobre paredes de recipientes; 
• Determinar o potencial de água no solo. 
 
3.2. Classificação dos dispositivos 
 
3.2.1. Manômetros de coluna líquida 
 
3.2.1.1. Piezômetro simples ou manômetro aberto 
Tipo mais simples de manômetro consiste de um tubo vertical, aberto na parte 
superior e fixado a um recipiente cuja pressão se deseja determinar. 
 
P5 = γh 
38 
 
 
Figura 3.1: Manômetro aberto ou piezômetro. 
 
3.2.1.1.1. Limitações do Piezômetro 
 
Embora simples e precisos, os tubos piezométricos têm as seguintes 
limitações: 
a)Só mede pressões maiores que a atmosférica. 
b) A pressão medida deve ser relativamente baixa para proporcionar pequenas 
alturas da coluna do liquido. 
c) O fluido cuja pressão deve ser medida deve ser um líquido e não um gás. 
d) O diâmetro do tubo deve ser maior que 1	cm. 
 
 
3.2.1.2. Manômetro de tubo em U 
 
Figura 3.2: Manômetro de tubo em U. 
39 
 
Consiste na inserção de um tubo transparente contendo líquido indicador ou 
manométrico. É utilizado para medir altas ou baixas variações de pressões. 
� Finalidades do liquido indicador: aumentar ou diminuir o comprimento da 
coluna liquida. 
� Qualidades do liquido indicador: apresentar densidade bem definida, formar 
menisco bem definido com o líquido de contato, não ser miscível com o 
líquido de contato e, ser de coloração diferente do líquido de contato. 
 
Figura 3.3: Manômetro de tubo em U, para obtenção da pressão em A. 
 
Método 1 
P� = P�		e	 #	P� = P5 + 	γ�hP� = γ�h $ 
P5 + 	γ�h = γ�h 
P5 = 	γ�h − γ�h 
P5 = h(	γ�	 − γ�) 
 
 
40 
 
Método 2 
P5 + 	γ�h − γ�h = P�)
 
P5 + 	γ�h − γ�h = 0 
P5 = 	γ�h − γ�h 
P5 = h(	γ� − γ�) 
 
3.2.1.3. Manômetro diferencial 
Utilizado para medir a diferença de pressão em dois pontos na tubulação. 
 
Figura 3.4: Manômetro diferencial, verificando diferença de pressão entre A e B. 
P5 + �x + y + h�γ� − γ'h − γ�y = P6 
P5 − P6 = hγ' + hγ� − 	(x + y + h)γ� 
 
 
 
41 
 
3.2.1.4. Manômetro de tubo inclinado 
Usado na medição de pequenas pressões ou pequenas diferenças de 
pressão. Permite o aumento na precisão da leitura manométrica. 
 
Figura 3.5: Manômetro inclinado sem fluido indicador. 
P = γh 
sin θ =
h
L
	∴ h = L	 sin θ 
P = γ	L	 sin θ 
 
Figura 3.6: Manômetro inclinado para medir diferença de pressão entre dois pontos 
P� = P� 
γ�x + P6 = γ�h + γ�y + P5 
P6 − P5 = γ�h + γ�y − γ�x 
 
42 
 
3.2.2. Dispositivos mecânicos ou piezômetro 
 
3.2.2.1. Manômetro de Bourdon 
Consiste de um tubo metálico de seção transversal (seção reta) elíptica que 
tende a se deformar quando a pressão P aumenta. Possui baixa precisão. 
 
 
Figura 3.7: Manômetro de Bourdon. 
 
3.2.2.2. Transdutor de pressão 
 
O termo "medidor de pressão" refere-se usualmente a um indicador que 
converte a pressão detectada, num movimento mecânico de um ponteiro fixo a um 
êmbolo móvel. Um transdutor de pressão pode combinar o elemento primário de um 
medidor com um conversor mecânico/elétrico. 
Durante o processo de transmissão de pressão, o êmbolo multiplicador da 
força é substituído por uma membrana flexível ou um fole que está acoplado a um 
sistema piso-elétrico (similar a um microfone) que ao se mover produz um pulso 
elétrico que é captado por um amperímetro sensível (medidor de corrente elétrica), 
convertendo numa escala para a unidade de pressão. 
 
 
 
 
 
43 
 
3.3. Exercícios de Aplicação 
 
1) A tubulação da figura transporta óleo �γ = 880 	
�
��
�. Um manômetro (M), instalado 
na sua parte superior, indica a pressão de 2,05
	
�

��
. Acoplando-se um manômetro 
de mercúrio aberto na sua parte inferior, determinar a deflexão do mercúrio 
�h��.	Dado γHg = 13600 = 	
��� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
2) Um manômetro de mercúrio aberto é instalado na entrada de uma bomba. Mede-
se a deflexão manométrica encontrando-se 0,4	m. Determinar a pressão efetiva e 
absoluta no eixo da tubulação de sucção, sendo a água o líquido succionado. 
Considere P��� absoluta igual a 1,0	kgf/cm� e diâmetro de sucção igual a 200mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
3) Um manômetro diferencial apresenta a configuração (a) antes de ser ligado aos 
reservatórios A e B. Após ser ligado a A e a B, o manômetro passa a apresentar a 
configuração (b). Sendo PA = 	0,12 	
�

��
; PB = 0,08	 	
�

��
, determinar os pesos 
específicos dos líquidos manométricos, considerando constante o diâmetro dos 
tubos e que os reservatórios A e B transportam água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
4) No sistema abaixo, sabe-se que PA = 	1033,6 	
�
��
	e	P����local� = 9356,8 	
���.	 
Determinar a pressão absoluta em A, o peso específico γ�	e o ângulo 
α.	Dados:	L = 60	cm; 	h� = 10	cm; 	h� = 20	cm; h = 30cm	; 	γá
�� = 1000 	
��� ; 	� =
1,201
	
�
��
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4. Exercícios de Fixação
 
1) No ponto R da figura abaixo, a pressão efetiva é de 
densidade do líquido E = 1,4. Determinar a densidade do líquido F, desprezando
se o peso do ar entre A e C.
2) No topo do reservatório da figura abaixo, o manômetro registra
de –0,122kgf/cm². Os líquidos de densidades d
Obter: 
a. as cotas nas colunas piezométricas A, B e C;
b. a deflexão hm do mercúrio.
Fixação 
No ponto R da figura abaixo, a pressão efetiva é de –960kgf/cm², sendo o a 
densidade do líquido E = 1,4. Determinar a densidade do líquido F, desprezando
se o peso do ar entre A e C. 
 
No topo do reservatório da figura abaixo, o manômetro registra
0,122kgf/cm². Os líquidos de densidades d1 e d2 não miscíveis com a água. 
as cotas nas colunas piezométricas A, B e C; 
do mercúrio. 
 
47 
960kgf/cm², sendo o a 
densidade do líquido E = 1,4. Determinar a densidade do líquido F, desprezando-
No topo do reservatório da figura abaixo, o manômetro registra a pressão efetiva 
não miscíveis com a água. 
 
3) Um aumento de pressão no reservatório R ocasiona um rebaixamento do nível D 
para a posição B. Com isso, a água sobe no tubo inclinado T do micromanômetro, 
desde o ponto N até C. Sabendo que as seções transversais do reservatório R e 
do tubo T têm áreas de A
diferença de pressão ent
 
 
4) No recipiente fechado da figura abaixo, há água, óleo (
os pontos B, C e D, obter as respectivas pressões (em mca).
 
5) Para o ponto E, indicado na figura, calcular a pressão efetiva. Adotar para o 
mercúrio o peso específico 
Um aumento de pressão no reservatório R ocasiona um rebaixamento do nível D 
ra a posição B. Com isso, a água sobe no tubo inclinado T do micromanômetro, 
desde o ponto N até C. Sabendo que as seções transversais do reservatório R e 
do tubo T têm áreas de AR = 3200 mm² e AT = 80 mm², respectivamente, obter a 
diferença de pressão entre B e C. 
No recipiente fechado da figura abaixo, há água, óleo (γ = 895kgf/m³) e ar. Para 
os pontos B, C e D, obter as respectivas pressões (em mca). 
 
Para o ponto E, indicado na figura, calcular a pressão efetiva. Adotar para o 
mercúrio o peso específico γ = 13600kgf/m³. 
48 
Um aumento de pressão no reservatório R ocasiona um rebaixamento do nível D 
ra a posição B. Com isso, a água sobe no tubo inclinado T do micromanômetro, 
desde o ponto N até C. Sabendo que as seções transversais do reservatório R e 
= 80 mm², respectivamente, obter a 
 
= 895kgf/m³) e ar. Para 
 
 
Para o ponto E, indicado na figura, calcular a pressão efetiva. Adotar para o 
49 
 
 
 
 
6) Um óleo (γ = 880kgf/m³) passa pelo conduto da figura. Um manômetro de 
mercúrio, ligado ao conduto, apresenta a deflexão indicada. A pressão efetiva em 
M é de 2kgf/cm². Obter hm. 
 
 
7) Um óleo de peso específico γ1 = 980kgf/m³ é transportado verticalmente de B 
para C. Calcular a diferença de pressão entre os pontos B e C. 
 
50 
 
 
 
8) O recipiente da figura contém 2 líquidos não miscíveis, de densidades d1 = 0,95 e 
d2 = 0,70. O peso do ar na parte superior é desprezível. Supondo que o líquido 
mais denso se eleve até o nível N, determinar a leitura do manômetro instalado 
no topo do recipiente. 
 
 
9) Para o manômetro da figura abaixo se conhece o γ1 = 830kgf/m³, γ2 = 
1000kgf/m³, h1 = 540mm e h2 = 675mm. Supondo que a pressão atmosférica 
local p0 = 1kgf/cm². Calcular as pressões efetiva e absoluta em B. 
 
 
10) O conduto da figura, transporta água (
tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio (d = 13,6). Calcular a pressão 
efetiva (em kgf/cm²) no ponto B.
11) Os recipientes R e S contém água, sob pressões de 2,2kgf/cm² e 1,3 kgf/cm², 
respectivamente. Determinar o valor de h
 
O conduto da figura, transporta água (γ1 = 1000kgf/m³). Ao conduto junta
ido manométrico é o mercúrio (d = 13,6). Calcular a pressão 
efetiva (em kgf/cm²) no ponto B. 
 
Os recipientes R e S contém água, sob pressões de 2,2 kgf/cm² e 1,3 kgf/cm², 
respectivamente. Determinar o valor de hm da deflexão do mercúrio.
 
51 
= 1000kgf/m³). Ao conduto junta-se um 
ido manométrico é o mercúrio (d = 13,6). Calcular a pressão 
Os recipientes R e S contém água, sob pressões de 2,2 kgf/cm² e 1,3 kgf/cm², 
da deflexão do mercúrio. 
 
 
12) Um encanamento de eixo horizontal contém água sob pressão e está ligado a 
um tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio, ficando sua superfície livre 
em nível com o eixo do encanamento. Sendo h = 74mm a deflexão do Hg, 
calcular a pressão efetiva em B
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) dF = 0,8 
2) a) ZF = 908,64m; Z
3) PB – PC = 483 kgf//m² = 0,0483 kgf/cm²
4) PB = 2,7 mca; PC = 1,6mca; P
5) PE = 15420kgf/cm²
6) hm = 1,62m 
7) PB – PC = 1680 kgf//m²
8) PN = 1700 kgf/m² 
9) Pefetiva = 226,8 kgf/m² e P
10)PB = 1,542 kgf/cm²
11)hm = 0,83m 
12)PB = 932,4 kgf/m² = 0,093 kgf/cm² = 0,932 mca
Um encanamento de eixo horizontal contém água sob pressão e está ligado a 
um tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio, ficando sua superfície livre 
em nível com o eixo do encanamento. Sendo h = 74mm a deflexão do Hg, 
calcular a pressão efetiva em B (em kgf/cm²; kgf/m², mca e Pa).
= 908,64m; ZG = 908,48m; ZI = 907,90m. b) hm = 0,62m
= 483 kgf//m² = 0,0483 kgf/cm² 
= 1,6mca; PD = 0,526mca 
= 15420kgf/cm² 
= 1680 kgf//m² 
 
= 226,8 kgf/m² e Pabs =10226,8 kgf/m² 
= 1,542 kgf/cm² 
= 932,4 kgf/m² = 0,093 kgf/cm² = 0,932 mca 
52 
Um encanamento de eixo horizontal contém água sob pressão e está ligado a 
um tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio, ficando sua superfície livre 
em nível com o eixo do encanamento. Sendo h = 74mm a deflexão do Hg, 
(em kgf/cm²; kgf/m², mca e Pa). 
 
= 0,62m 
53 
 
Unidade 4 – E mpuxo 
 
 
Nos fluidos em repouso, a força é perpendicular à superfície. A pressão varia 
linearmente, aumentado com a profundidade ℎ.	Para uma superfície horizontal, 
temos: 
 
P = γh 
F = PA 
Sendo P a pressão uniforme sobre a superfície e A é a área da mesma. 
Como a pressão é constante e uniformemente distribuída ao longo da 
superfície então a força resultante atua no centroide da área. 
 
4.1. Variação de pressão com a profundidade 
 
Diagrama de pressão para: 
 
i) Parede Vertical 
 
 
Figura 4.1: Pressão atuante em parede vertical. 
 
54 
 
ii) Parede inclinada 
 
 
Figura 4.2: Pressão atuante em parede inclinada. 
 
 
Figura 4.3: Pressão atuante em parede com mais de uma inclinação. 
 
 
 
 
 
 
55 
 
iii) Parede vertical com líquido à montante e a jusante 
 
 
Figura 4.4: Pressão atuante em parede com líquido à montante e jusante. 
 
 
iv) Parede com comporta 
 
Figura 4.5: Pressão atuante em parede com comporta. 
 
 
 
56 
 
4.2. Empuxo exercido por líquidos sobre superfícies planas 
 
4.2.1. Conceito de empuxo 
 
Figura 4.6: Representação auxiliar para conceituação de empuxo. 
 
A pressão em �� é: 
P =
�#
�5
→ dF = PdA. 
Considerando-se toda a área A, surgira uma força resultante, o empuxo. 
F8 = E = %dF
5
= 	%P	dA
5
= % γh	dA 
E = γh& dA
5
	∴ E = γhA = γV 
 
E = W = γV	 
Igual ao peso da 
massa fluida sobre a 
área plana 
considerada. 
57 
 
4.3. Força Hidrostática Sobre Superfícies Planas 
 
O empuxo (força hidrostática) exercido por um líquido sobre uma superfície 
plana imersa é uma força perpendicular à superfície e é igual ao produto de sua área 
pela pressão relativa no seu centro de gravidade (C.G.). 
E = γh�A 
 
4.3.1. Empuxo sobre superfície plana inclinada (grandeza e direção) 
 
Figura 4.7: Representação do empuxo atuando sobre superfície plana inclinada. 
 
'( = )'* = +ℎ'* 
Mas, 
ℎ = , sin-	 ∴ ./0/	'( = +,	 sin- '* 
1 = %'(
9
= %+	,	 sin-	'*	
9
∴ 	+	 sin-%,'*
9
 
Da estática, 
	%y	dA = y2
5
A 
Logo, 
E = γ	 sin θ y2	A 
Momento estático em 
relação ao eixo “0” 
saindo do papel. 
58 
 
Mas, 
y	3 sin θ = h2 
 
E = γh2A 
 
4.3.1.1. Direção em relação a horizontal 
 
 
Figura 4.8: Direção do empuxo em relação à horizontal. 
φ + θ + 90° = 180 
φ = 90° − θ 
 
 
4.3.2. Ponto de aplicação do empuxo: centro de pressão (CP) 
 
Determinado pelo “teorema de Varignon”: “O momento da resultante em 
relação ao ponto 0 deve ser igual à soma dos momentos das forças elementares 
dF”. 
Y2 = Y� + � I+Y�A� 
 
59 
 
 
Figura 4.9: Ponto de aplicação do empuxo. 
 
Da dedução anterior, 
E = γ	 sin θ y2	A 
dF = γ	y	 sin θ dA 
γ	sin θ y2	A	Y2 = % γ	y	 sin θ dA	y 
γ	sin θ y2	A	Y2 = γ sin θ& y�5 dA 
I = & y�
5
dA 
 
 										y3A	y2 = I																							(1) 
 
Do Teorema dos Eixos Paralelos, 
 
 I = I+ + Y3�A																					(2) 
Em que, 
I+ = momento	de	inércia	em	relação	ao	eixo	que	passa	pelo	CG. 
Momento de inércia em relação 
ao eixo 0. 
60 
 
Igualando (1) e (2) temos: 
Y3A	Y2 = I+ + Y3�A	 
Y2 =
:�
";5
+
";�5
";5
 
Y2 = Y3 + I+Y3A	 
 
4.3.3. Profundidade de CP (HP) 
 
 
Figura 4.10: Profundidade do ponto de aplicação. 
 
h2 = y2 sin θ	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
4.4. Exercícios de Aplicação 
 
 
1) Determine o CP de uma comporta vertical retangular com lado superior 
coincidente com o nível da água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
2) Determine a força de pressão da água atuante sobre uma comporta circular 
inclinada de diâmetro igual a 0,5�, bem como seu ponto de aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
3) Um recipiente retangular com base de 2,5�4,0	� e altura igual a 6,0� contém 
querosene de densidade relativa 0,8. Pede-se. 
a) O empuxo na base do recipiente; 
b) O empuxo nas faces verticais do recipiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
4) Uma tubulação de 4,0� de diâmetro possui uma válvula de controle. A pressão no 
centro do tubo é 2�
�/���. Esta tubulação está cheia de densidade relativa 0,7. 
Pede-se a força exercida pelo óleo e a posição do CP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
4.5. Empuxo sobre superfícies curvas 
 
Seja a barragem apresentada a seguir. 
 
 
� Força elementar 
dF = γhdA 
 
� Empuxo 
E = %dF = %γhdA
5
 
 
66 
 
� Componente vertical 
EV = %γhdA<
5
 
										E! = γV = W							(3) 
 
� Componente horizontal 
 
EH = & γhdA!5 = γ	 & hdA!5 
								E< = γh2A!													�4� 
 
� Magnitude do Empuxo 
 
E = 4E!� + E<� 
 
� Ângulo com a horizontal (θ) 
 
θ = arctg
E!
E<
 
 
� Ponto de Aplicação (CP) 
 
O CP do empuxo horizontal será o CP da superfície curva projetada na 
vertical, ou seja, ele é o centro de pressão de A�. O CP do empuxo vertical está 
aplicado no CG do volume de líquido acima da superfície curva. 
 
XG =
∑X�A�
∑A�			
													YG = ∑Y�A�
∑A�			
 
Volume elementar de 
fluido acima da superfície 
curva. 
Momento 
estático! 
67 
 
Observação! 
 
 
4.6. Exercícios de Aplicação 
 
1) Uma barragem de 4m de altura e 10m de extensão apresenta um perfil 
parabólico. Calcular o empuxo da água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
2) Determinar a intensidade, direção e ponto de aplicação da força atuante exercida 
pela água sobre a superfície curva AB, que um quadrante de cilindro de raio 2,5m 
e comprimento 3m. O nível da água situa-se a 2m acima de B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
4.7. Exercícios de Fixação 
 
1) Uma piscina possui base retangular de 15 x 45 metros e paredes paralelas de 2,5m de altura, estando completamente cheia de água. Determine: 
a) os diagramas de pressão no fundo, na maior dimensão, e na parede vertical, 
explicitando os valores de pressão nas extremidades dos diagramas. 
b) as forças resultantes no fundo e na parede. 
c) os pontos de aplicação destas forças. 
 
2) A barragem mostrada na figura possui comprimento de 100 m. A profundidade da 
água é de 25 m e a inclinação da barragem é 60º (ângulo formado na face interna 
da barragem). Determine: 
a) o diagrama de pressão na barragem. 
b) a força resultante na barragem. 
c) o ponto de aplicação da força resultante na barragem. 
 
 
 
3) A figura abaixo mostra, em perfil, uma porta retangular, com comprimento de 1,0 
m e altura de 1,5 m mostrada no plano vertical de um tanque de água, aberto à 
atmosfera. A porta é articulada no ponto H (pode girar em torno do eixo z), 
localizada a uma distância D = 1,0 m da superfície livre. Nestas condições, e 
considerando como referência o nível da água, determine: 
a) o diagrama de pressões atuantes na porta. 
b) a força F resultante na porta. 
c) o ponto de aplicação da resultante F. 
d) a força R que deve ser aplicada no ponto B a fim de manter a porta fechada. 
71 
 
 
 
4) A figura abaixo mostra o corte transversal de uma comporta que apresenta massa 
igual a 363 kg. Observe que a comporta é articulada em A e que está imobilizada 
por um cabo. O comprimento e largura da placa são respectivamente iguais a 1,2 
e 2,4 metros. Sabendo que o atrito na articulação é desprezível, determine a 
tensão no cabo para alçar a comporta. 
 
 
 
5) A comporta quadrada (1,83 m x 1,83 m) mostrada na figura abaixo pode girar 
livremente em torno do vínculo indicado. Normalmente é necessário aplicar uma 
força P na comporta para que ela fique imobilizada. Admitindo que o atrito no 
vínculo é nulo, determine a altura da superfície livre da água, h, na qual o módulo 
da força P seja nulo. 
 
72 
 
 
 
6) Uma comporta com 3 metros de comprimento está localizada na parede lateral de 
uma tanque, conforme mostrada na figura abaixo. Determine os módulos da 
componente horizontal e vertical do empuxo com que a água atua sobre a 
comporta. A linha de força passa através do ponto A? Justifique sua resposta. 
 
 
7) A comporta mostrada é articulada em O e tem largura constante, L = 5 m. A equação 
da superfície é x = y2/a, com a = 4 m. A profundidade da água à direita da comporta 
é D = 4 m. Determine o módulo da força, Fa, aplicada como mostrado, requerida 
para manter a comporta em equilíbrio se o peso da comporta for desprezado. 
 
 
 
 
 
y 
73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) a) Pressão nas extremidades: P1 = 0 e P2 = 2500 kgf/m² 
b) EFUNDO = 1687500 kgf; EPAREDE 1 = 46875 kgf; EPAREDE 2 = 140625 kgf 
c) No fundo: hp = 2,5 m 
 Nas paredes: hp = 1,67 m 
2) a) Pressão nas extremidades: P1 = 0 e P2 = 25000 kgf/m² 
b) E = 36116370 kgf 
c) yp = 19,25 m; hp = 16,67 m 
3) a) Pressão nas extremidades: P1 = 1000 kgf/m² e P2 = 2500 kgf/m² 
b) E = F = 2625 kgf 
c) yp = hp = 1,86 m 
d) R = 1505 kgf 
4) T = 590,98 kgf 
5) h = 0,59 m 
6) EV = 33424,78 kgf; EH = 54000,00 kgf; Somente o empuxo horizontal passa pelo 
ponto A � yp = 4,00 m 
7) EV = 261 kN; EH = 392 kN; Fa = 167 kN 
L = 5 m 
Fa 
D = 4 m 
x 
O 
74 
 
Unidade 5 – Equilíbrio de Corpos Flutuantes 
 
5.1. Corpos imersos 
 
Figura 5.1: Representação de um corpo afundando. 
W > 1 → ( = 5 − 1	 ∴ 6/78/	9:;<'9 
 
Figura 5.2: Representação de um corpo em equilíbrio. 
W = E → F = 0	 ∴ corpo	em	equilíbrio	 
 
 
5.2. Corpos flutuantes 
 
Figura 5.3: Representação de um corpo flutuando. 
E > 5 
F = E − W 
E7 = W → empuxo	referente	à	parte	submersa 
F7 = E7 − w = 0 
 
75 
 
5.3. Princípio de Arquimedes 
 
Seja um corpo sólido no interior de um líquido, conforme ilustração a seguir. 
 
Figura 5.4: Representação do experimento de Arquimedes. 
 
� Força atuante na base superior: FB% = γh�ab 
� Força atuante na base inferior:	FB: = γh�ab 
 
“Todo corpo imerso sofre um empuxo de baixo para cima igual ao volume de fluido 
deslocado vezes o peso específico do fluido.” 
 
E = FB: − FB% = γh�ab − γh�ab 
E = γab�h� − h�� ∴ E = γabH	 ∴ E = γV 
 
5.3.1. Critérios de classificação 
 
� Se γ�ó���� > γ�í����� → W > � → o corpo afunda sob a ação da força F = W − E, até 
o fundo do recipiente. 
� Se γ�ó���� = γ�í����� → W = E → o corpo está em equilíbrio. 
� Se γ�ó���� < γ�í����� → W < � → o corpo flutua, tal que W = E�. 
76 
 
5.4. Carena 
 
É a porção imersa do corpo flutuante. O centro de gravidade (CG) da figura 
imersa é denominado centro de carena, e é ponto de aplicação do empuxo (�′). 
 
Figura 5.5: Representação do centro de carena. 
 
5.5. Equilíbrio dos corpos flutuantes 
 
Quando um corpo flutuante sofre uma rotação o devido a uma ação qualquer 
(ventos, ondas etc.), o binário formado pelo peso e pelo empuxo tenderá a uma das 
três situações a seguir: 
 
i) Centro de massa (G) abaixo do centro de carena (C) 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
ii) Centro de massa (G) coincidindo com o centro de carena (C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii) Centro de massa (G) acima do centro de carena (C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em que, 
M (metacentro) � ponto em torno do qual gira o centro de carena. 
c = centro	de	carena 
c7 = novo	centro	de	carena 
E = empuxo	no	equilíbrio	 
∆F= = acréscimo	e	decréscimo	de	empuxo 
E7 = composição	de	E	e	∆F=	 
78 
 
Logo, quando G está acima de c temos três classes de equilíbrio: 
 
a) Estável � quando M está acima de G. 
b) Instável � quando M está abaixo de G. 
c) Indiferente � quando M coincide com G. 
 
5.6. Altura metacêntrica ( �������) 
 
É a medida da instabilidade da embarcação. 
Seja um flutuante sofrendo uma pequena oscilação. O centro de carena 
passa de C para C�. O empuxo E� deve ter efeito equivalente ao sistema de forças 
formado por E e pelos ∆F
′s. 
 
Figura 5.6: Situação da planta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
� O deslocamento de E para �′ faz surgir o momento ��. 
� O binário de forças ∆�� faz surgir o momento ∆���. 
� �� não causa momento em relação �. 
 
∆F�� − Eδ = 0	 
 
δ =
∆F��
E
								(5) 
 
 
∆F� = γ	V&�(/�
������ 
∆F� = γ =b2 	x	L2 > 
∆F� = γ
b
4
x	L	 
Em que, 
b
2
= h; 
x = base. 
tgθ =
x
b
2
	∴ x = btgθ
2
 
80 
 
Substituindo: 
∆F� = γ
b
4
		btgθ
2
	L 
∆F� = γ
b�
8
	tgθ	L				(6) 
 
θ é muito pequeno �	OA����� ≡ OA′ → 		m = b
2
. 
CGA =
2
3
h →
d
2
=
2
3
b
2
	 
 
d =
2
3
b				(7) 
Substituindo (6) e (7) em (5), tem-se: 
δ = γ
b�
8
	tgθ	. 2
3
b	. 1
E
 
 
δ = γ
tgθ
E
	 . b'L
12
 
Em que, 
L é o comprimento do maior eixo. 
δ = γ
tgθ	
E
	I	(8) 
 
sen	θ = x
m
				∴ 			sen	θ = X
b
2
= tg	θ	(para	θ	muito	8?@;?</) 
 
 
81 
 
Da figura, 
 
sen	θ = >
=�	?????
 
δ = sen	θ	CM2222	(9) 
Igualando (8) e (9) tem-se: 
 
sen	θ	CM2222 = γ	tg	θ	I 
CM2222 = tg	θ
sen	θ γE 	I	(θ	muito	pequeno) 
 
CM	22222 = γ
E
	I 
 
 
GM2222 = CM2222 − 	CG2222 
Em que, 
GM2222 = altura	metacêntrica	. 
CM2222 = distância	entre	o	metacentro	e	o	centro	de	carena. 
CG2222 = distância	entre	o	centro	de	carena	e	o	centro	de	gravidade 
 
 
82 
 
Observar que, 
 
� Se GM > 0 � equilíbrio estável. 
� Se GM < 0 � equilíbrio instável. 
� Se GM = 0 � equilíbrio indiferente. 
� Valores muito altos de GM causam momentos restauradores grandes, com 
desconforto e prejuízo estrutural. Ex.= iates� GM entre 0,9 a 1,2 m. 
� Valores muito baixos de GM causam perigo iminente de instabilidade, devido à 
possível má distribuição de carga. Ex. = transatlântico � GM entre 0,3 a 0,6m. 
� Da prática, observa-se em geral: 0,3 ≤ GM ≤ 1,2m. 
 
 
5.7. Exercício de Aplicação 
 
1) Uma barcaça de 10m de comprimento	7,5m de largura e 2,5m de profundidade, 
pesando 80	t, flutua sobre um lago �γ = 1000 	
�
��
�. A barcaça deve levarem seu 
convés uma caldeira cilíndrica de 5m de diâmetro pesando 50	t. Determine à 
altura metacêntrica e análise a estabilidade do sistema. 
 
 
 
 
 
 
83 
 
5.8. Exercícios de Fixação 
 
1) Sabendo-se que o deslocamento de um barco é o peso do volume de água 
deslocado pelo barco (desde a parte inferior até a linha de flutuação), suponha-se 
que seja de 2500 toneladas o peso total de um barco. Se este passa da água de 
um rio (γ = 1000 kgf/m³) para a água do mar (γ = 1025 kgf/m³), determinar a 
diferença entre os 02 volumes da água deslocada. 
 
2) Sejam: V = volume total de um sólido flutuante; V’ = carena, ou volume da parte 
submersa; γ1 = peso específico do sólido; γ = peso específico do líquido. Mostrar 
que V’ = V/2 se γ1 = γ/2. Neste caso, o centro de gravidade G do sólido estará no 
plano da superfície livre. 
 
 
 
 
 
 
3) Um tronco de madeira cilíndrico de raio r e comprimento L encontra-se 
semissubmerso na água. 
a) Mostrar que o peso específico da madeira é 500 kgf/m³. 
b) O que ocorrerá ao colocar-se um peso de 01 tonelada, uniformemente distribuído 
na aresta superior do tronco, no caso em que r = 0,5 m e L = 4 m (Sugestão: 
calcule o peso a ser colocado de tal ordem que a aresta superior do tronco fique 
tangenciando o nível d’água (NA)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
NA 
NA NA 
84 
 
4) Uma pedra possui massa igual a 40 kg no ar e quando imersa na água possui 
massa igual a 25 kg. Determinar o volume da pedra e sua densidade. 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um objeto prismático de 200 mm de espessura por 200 mm de largura e 400 mm 
de comprimento (perpendicular ao plano do papel) foi pesado na água a uma 
determinada profundidade encontrando-se o peso igual a 5 kgf. Qual o seu peso 
no ar e sua densidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) A boia cilíndrica para balizamento de embarcação tem raio de 1 m na base. Seu 
peso próprio é de 1200 kgf. A boia flutua na água salgada, cujo peso específico é 
de γ = 1025 kgf/m³. A boia não é homogênea, de modo que seu centro de 
gravidade fica na cota ZG = 0,40 m acima da base inferior. Pretende-se definir 
uma carga ideal para mantê-la estável. Inicialmente coloca-se um peso P = 250 
kgf no seu topo. Com as informações descritas solicita-se: 
a) Determinar o volume de água deslocado; 
b) A profundidade de imersão; 
c) A cota do centro de carena em relação a base inferior; 
d) a cota da altura metacêntrica GM (Dado I = πr4/4); 
e) Faça a análise da estabilidade do conjunto boia e peso. 
 
 
25 kg 
E 
NA 
NA 
40 kg 
E 
W 
5 kgf 
85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Uma caixa de concreto armado tem 70 m² na seção de flutuação, pesa 26 tf e é 
colocado na água do mar (dr = 1,025). Adicionando-se 2,4 tf de lastro, a seção de 
flutuação desce de h e continua com a área indicada. Calcule h. 
 
8) Uma pedra (dr = 2,250) apresenta o peso de 18 kgf no ar. Em seguida a pedra é 
totalmente imersa na água. Obter: 
a) o volume de água deslocado; 
b) o peso da pedra quando totalmente imersa. 
 
9) Em uma doca flutuante, com 5200 tf de peso, desloca-se uma carga de 12,5 tf ao 
longo dos 10 m de largura do convés, o que provoca uma inclinação de 2º07’ na 
doca. Calcular a altura metacêntrica. 
 
10) A seção de flutuação de um navio é de 480 m². Adicionando-se determinada 
carga, a seção desce 8,0 cm e continua com a área indicada. Sendo γ’ = 1025 
kgf/m³ o peso específico médio da água do mar, determinar o peso 
correspondente à carga adicionada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NA 
Peso P 
M 
G 
86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) V = 61 m³ 
3) Com o peso, o tronco não fica totalmente imerso. 
4) 0,015 m³; dr = 2,67 
5) W = 21 kgf; dr = 1,31 
6) a) 1,415 m³; b) 0,45 m; c) 0,225 m; d) 0,38 m. 
7) 400 mm 
8) a) 0,008 m³; 10 kgf 
9) 1,35 m 
10) 39,36 tf 
87 
 
UNIDADE 6 – Cinemática dos Fluidos 
 
 
6.1. Conceito 
 
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o movimento e a vazão de 
uma massa fluida entre superfícies delimitadas sob a ação da gravidade ou pressão 
externa. 
 
6.2. Métodos de Estudo 
 
 
� Lagrangeano: descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a em sua 
trajetória total. 
� Euleriano: consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou um 
volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passam por 
este local. É o método mais utilizado para estudar o movimento de fluidos. 
 
 
6.3. Regimes de Escoamento 
 
6.3.1. Regime Permanente 
 
É aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto 
com o passar do tempo. Note-se que as propriedades do fluido podem variar de 
ponto para ponto, desde que não haja variação com o tempo. Isso significa que, 
apesar do fluido estar em movimento, a configuração de suas propriedades em 
qualquer instante permanece a mesma. 
 
Figura 6.1: Exemplo de regime permanente. 
88 
 
No tanque da Figura 6.1, a quantidade de água que passa em (1) é idêntica à 
quantidade de água que sai por (2); nessas condições, a configuração de todas as 
propriedades do fluido, como velocidade, massa específica, pressão, etc., será, em 
cada ponto, a mesma em qualquer instante. 
O regime permanente pode ser ainda: 
� Uniforme: quando a velocidade média permanece constante ao longo das seções. 
� Q� = Q� → VazãoV�� = 	V���� → Velocidade	Média
A� = A� → Área
� 
 
� Não uniforme: quando o movimento é dito acelerado ou retardado. 
� Q� = Q�V�� < 	V���� ∴ 	A� > A�
V�� > 	V���� ∴ 	A� < A� � 
 
6.3.2. Regime Variado 
 
É aquele em que as propriedades do fluido em alguns pontos ou regiões de 
pontos variam com o passar do tempo. 
 
Figura 6.2: Exemplo de regime variado. 
É muito comum em Mecânica dos Fluidos e em Hidráulica trabalhar com 
reservatórios de grandes dimensões. Denomina-se reservatório de grandes 
dimensões um reservatório do qual se extrai ou no qual se admite fluido, mas, 
devido à sua dimensão transversal muito extensa, o nível não varia sensivelmente 
com o passar do tempo. 
89 
 
Em um reservatório de grandes dimensões o nível mantém-se 
aproximadamente constante com o passar do tempo, de forma que o regime pode 
ser considerado aproximadamente permanente. 
 
6.4. Escoamento Laminar e Turbulento 
 
 
� Laminar: é aquele em que as partículas se deslocam em lâminas individualizadas, 
sem troca de massa entre elas ( velocidade baixa). 
 
Figura 6.3: Regime laminar em tubulações. 
 
� Turbulento: é aquele em que as partículas apresentam um movimento aleatório 
macroscópico, isto é, a velocidade apresenta componentes transversais ao 
movimento geral do conjunto do fluido (velocidade alta). 
 
Figura 6.4: Regime laminar em tubulações. 
 
No regime laminar a velocidade máxima ocorre no centro da tubulação, junto 
às paredes da tubulação a velocidade é nula (condição de aderência). 
 
Figura 6.5: Lei Parabólica � Lei de variação de velocidade. 
 
V
�1 = 2V			 → 		Regime	Laminar 
 
(1) Velocidade nula 
(2) Velocidade média (V) 
(3) Velocidade máxima 
90 
 
 No regime turbulento, como ocorre maior intercâmbio de quantidade de 
movimento no sentido transversal, a velocidade máxima é: 
 
Figura 6.6: Lei Logarítmica. 
 
V
�1 =
120V
98
			→ 		V
�1 = 1,224	V 
 
 
6.5. Trajetória e Linha de Corrente 
 
 
� Trajetória: é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em 
instantes sucessivos, sendo a equação de trajetória dada em função do ponto 
inicial, que individualiza a partícula, e do tempo. 
 
Figura 6.7: Trajetória. 
 
� Linha de Corrente (LC): é a linha tangente aos vetores de velocidade de 
diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na equação de uma linha 
de corrente, o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a um instante t. 
 
91 
 
 
Figura 6.8: Linha de corrente. 
 
� Tubo de Corrente: é a superfície de forma tubular formada pelas linhas de 
corrente que seapoiam numa Lina geométrica fechada qualquer. 
 
�������:����	
���
�		���	����í
����	(	�����	����çã		��	���) 
Figura 6.9: Tubo de corrente. 
 
 Se a seção do tubo de corrente for suficientemente pequena, a velocidade do 
ponto médio de qualquer seção pode ser tomada como velocidade média da seção. 
 Propriedades dos tubos de correntes: 
a) Os tubos de correntes são fixos quando o regime é permanente. 
b) Os tubos de correntes são impermeáveis à passagem de massa, isto é, não 
existe passagem de partículas de fluido através do tubo de corrente. 
 
 Outras definições: 
� Sistema: porção de matéria de massa constante. Um sistema pode mudar a forma 
e a posição, mas as condições termodinâmicas permanecem constantes. 
� Volume de controle: região fixa no espaço, em cujo interior podem variar a massa 
e as condições termodinâmicas, mantendo, porém, a forma e a posição. 
92 
 
6.6. Conceito de Vazão 
 
A vazão em volume pode ser definida por: 
 
Q =
Volume
Tempo
 
 
Unidades:
m'
s
;
L
s
;
m'
h
 
 
 
Q = 	Volume
Tempo
=
A	S
Tempo
= A	 S
Tempo
= A	V 
 
Q = AV 
 
 Essa expressão só seria verdadeira se a velocidade fosse uniforme na seção. 
Posteriormente será apresentada uma equação similar a Q = VA definindo a 
velocidade média na seção. 
 Considere o tubo de corrente da Figura 6.10: 
Vazão ou Vazão 
Volumétrica 
93 
 
 
Figura 6.10: Esquema de um tubo de corrente. 
 
Q
 =
Massa
Tempo
		→ 	Q
: vazão	em	massa 
Unidades:
Kg
s
;
UTM
s
;
Kg
h
 
Q2 =
Peso
Tempo
	→ 	Q2:	vazão	em	peso 
Unidades:
Kgf
s
;
N
s
;
Kgf
h
 
	Como, ρ = Massa
Volume
→ 	Massa = 	ρ	Volume 
 
Q
 = 	 Massa	Tempo	 = ρ	VolumeTempo 	 
Q
 = ρVA			 ∴ 		dQ
 = ρVdA 
 
																					Q
 = % ρVdA 
 
 
A quantidade de massa fluida 
que atravessa a seção dA na 
unidade de tempo. 
94 
 
6.7. Conservação de massa 
 
 
6.7.1. Equação da Continuidade 
 
 Considere o volume de controle abaixo, obtido em um tubo de corrente sobre 
o qual foram tomadas duas seções transversais perpendiculares ao eixo do tubo. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.11: Esquema de um volume de controle obtido em um tubo de corrente. 
 
Em que, 
��




�: vetor com direção perpendicular à superfície de controle A, com “sentido sempre 
para fora” do volume de controle V. 
A variação de massa (dm) no interior do volume de controle será igual a 
diferença de vazão em massa que entra e sai deste volume. 
 
dm = 	Qm� − Qm� 
dm = % ρ�V�dA� − 	% ρ�V�dA� 
 
Se o regime de escoamento é permanente: 
dm = 0	 ∴ 	Qm� = Qm� 
& ρ�V�dA� = & ρ�V�dA�	 											(10) 
95 
 
Generalizando, para regime permanente: 
∮ ρV���dA��� = 0 							(11) 
Em que, 
V���dA��� → Produto	escalar 
V���dA��� = VdA	cosθ 
θ: ângulo	formado	entre	as	direções	de	V���	e	dA��� 
 
Se o fluido for incompressível �ρ� = ρ� = ρ� e o regime permanente: 
 
De	�10�, temos					 
% ρ�V�dA� = % ρ�V�dA� 
&V�dA� = &V�dA� 				(12) 
E	de	11,								 
B ρV���dA��� = 0 
De	�12�:					 
	�Q� = Q� = Q' = ⋯ = Q�� 
			A� 1A� % V�dA� = A� 1A� % V�dA� 
Em que, 
1
A�
%V�dA� = 	V����� → Velocidade	Média	em	1	e 
1
A�
%V�dA� = 	V������ → Velocidade	Média	em	2 
 
 
 
Logo, a velocidade média na seção pode ser obtida por:
 
Equação
 
6.8. Exercícios de Aplicação
 
 
1) Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de velocidades a 
seguir. Supor que não haja variação de velocidade segundo a direção normal ao 
plano da figura (escoamento bidimensional).
 
 
Logo, a velocidade média na seção pode ser obtida por: 
V$ � 1A ' VdA 
Q � V$A 
Equação	da	Continuidade:	 , Q� � Q�V$�A� � V$�A�
Exercícios de Aplicação 
Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de velocidades a 
não haja variação de velocidade segundo a direção normal ao 
plano da figura (escoamento bidimensional). 
96 
 
$
�
- 
Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de velocidades a 
não haja variação de velocidade segundo a direção normal ao 
 
97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) O Venturi é um tubo convergente/divergente, como é mostrado na figura. 
Determinar a velocidade na seção mínima (garganta) de área igual a 5 cm2, se na 
seção de entrada de área 20 cm2 a velocidade é 2 m/s. O fluido é incompressível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
98 
 
3) Considere o escoamento permanente da água através do dispositivo da figura 
abaixo. Determinar as componentes da velocidade média na seção 3. Considere 
o fluido incompressível. 
Dados: A1= 0,09 m²; A2 = 0,046 m²; A3 = 0,019 m²; V!1 = 3m/s; V!2 = 9	m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
99 
 
6.9. Teorema da Quantidade de Movimento 
 
 Em inúmeros problemas de Mecânica dos Fluidos ocorrem mudanças na 
grandeza e/ou na direção da velocidade de um fluido em movimento. A grandeza da 
força necessária para produzir estas mudanças pode ser determinada por meio da 
Equação da Quantidade de Movimento. 
Assim, a quantidade de movimento é uma grandeza vetorial dada por: 
Q��� = mv�� 
dQ��� = ρdVdv��			(13) 
 
� Impulso para uma partícula de fluído em movimento: 
 
I� = dFr����	dt				�14� 
 
� Da equação geral da mecânica: 
 
Fr���� = m	a�� 
dFr���� = m	dv��
dt
 
dFr����	dt = ρdVdv��			�15� 
	∴ I� = dQ���			(16) 
Mas, de (14): 
dFr���� 	= ρdVdv��
dt
			 
dV
dt
= dQ	(vazão) 
dFr���� = ρv��dA���dv��		(17) 
 
100 
 
De (14) e (16): 
dFr����	dt = dQ��� 
dFr���� = dQ���
dt
		(18) 
 
 
 
 
“A resultante de todas as forças que atuam sobre um sistema de fluidos é igual à 
variação da quantidade de movimento num intervalo de tempo”. 
 
 
6.9.1. Equação Geral da Quantidade de Movimento 
 
 A força resultante que age em um sistema é igual à taxa de variação com o 
tempo da quantidade de movimento no volume de controle (termo 1) mais o saldo 
dos fluxos da quantidade de movimento do sistema de controle (termo 2). 
 
C F = ∂
∂t
% ρdVdv�� + % ρv��(v��. dA���) 
 
 Termo 1 Termo 2 
Caso particular da equação da quantidade de movimento para fluidos 
incompressíveis: 
 
C F = % ρv��(v��. dA���) 
 
Teorema da 
Quantidade de 
Movimento 
101 
 
Exemplos de forças que atuam sobre os fluidos e os corpos sólidos: 
� contato: pressões estáticas; 
� gravitacional: peso da massa fluida; 
� internas: atrito e viscosidade; 
� externas: blocos de ancoragem (blocos de concreto) 
 
6.9.2. Exercícios de Aplicação 
 
OBS: Vista em Planta! � Desprezar o volume e a diferença de cotas. 
1) No tubo de corrente da figura abaixo (fluxo permanente e fluido incompressível), 
calcular a força que o fluido exerce sobre o tubo (F�



�). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
 
2) Consideremos um fluido incompressível se deslocando em regime permanente 
através do tubo de corrente. Calcule a força que o fluido exerce sobre o tubo (F�



�). 
Despreze o atrito nas paredes do tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
 
3) Calcule as forças que o fluido exerce sobre a curva da figura abaixo, sabendo 
que: ∅ = 30	cm; Q = 250	L/s; P� = P� = 4	kgf/cm�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
 
6.10. Exercícios de Fixação 
 
1) A água escoa em regime laminar através de um conduto cujo diâmetro é 1,50 m. 
A velocidade da água em relação ao tubo é dado por Vr = 0,563 – r
2 (m/s), sendo 
“r” o raio da tubulação. Qual a velocidade média da água na saída do tubo, 
quando seu diâmetro é reduzido para 0,30 m? 
 
2) A água escoa em regime laminar através de um conduto de diâmetro 1,0 m. Se o 
perfil de velocidade do fluxo permanente é dado por Vr = 3,75 – 15 r
2 (m/s), 
calcule a vazão de escoamento. 
 
3) Um fluido com densidade relativa de 1,05 está escoando em regime permanente 
através da caixa retangular da figura abaixo. Determine a velocidade na seção 3. 
São dados: A1 = 0,05 m
2; V1 = 4,0 i m/s; A2 = 0,01 m
2; V2 = - 8,0 j m/s; A3 = 0,06