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MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1 Aula 2 – Parte 2 Juros Compostos ......................................................................................................................................... 2 Fórmula do Montante Composto ........................................................................................................... 3 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ........................................................ 3 Convenção Linear e Convenção Exponencial ................................................................................... 5 Taxas Equivalentes................................................................................................................................... 20 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ................................................................................................................ 22 Taxa Real e Taxa Aparente ................................................................................................................... 23 Relação das questões comentadas .................................................................................................... 42 Gabaritos ...................................................................................................................................................... 52 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 2 Juros Compostos No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são ����� ∙ 10.000 = 2.000 e o montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. Os juros gerados no segundo ano são ����� ∙ 12.000 = 2.400 e o montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano são ����� ∙ 14.400 = 2.880 e o montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. Os juros gerados no quarto ano são ����� ∙ 17.280 = 3.456 e o montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736. Os juros gerados no quinto ano são ����� ∙ 20.736 = 4.147,20 e o montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. � Período de Capitalização O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização. Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital. Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre. E assim por diante. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 3 Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros). Fórmula do Montante Composto Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica: � = � ∙ (1 + �)� M → montante (capital + juros). C → Capital inicial aplicado. i → taxa de juros n → número de períodos. Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação: � = � + � ⇔ � = � − � Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização: a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses Resolução a) Capitalização Simples �� = � ∙ (1 + � ∙ �) �� = 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 1) = 1.100 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 4 Capitalização Composta �� = � ∙ (1 + �)� �� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)� = 1.100 Observe que, para � = 1, o montante simples é igual ao montante composto. b) Capitalização Simples �� = � ∙ (1 + � ∙ �) �� = 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 0,5) = 1.050 Capitalização Composta �� = � ∙ (1 + �)� �� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)�,� = 1.048,81 Observe que, para � = 0,5, o montante simples é maior do que o montante composto. c) Capitalização Simples �� = � ∙ (1 + � ∙ �) �� = 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 2) = 1.200 Capitalização Composta �� = � ∙ (1 + �)� �� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)� = 1.210 Observe que, para � = 2, o montante simples é menor do que o montante composto. Em resumo, temos as seguintes relações � = 1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 < � < 1 O montante simples é maior do que o montante composto. � > 1 O montante simples é menor do que o montante composto. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 5 Convenção Linear e Convenção Exponencial Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o credor cobrar juros simples. Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número de períodos for fracionário. Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente). Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras: - Convenção Exponencial - Convenção Linear Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado. - Convenção Exponencial A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no expoente da expressão do montante. Assim, (1 ) nM C i= ⋅ + 3,510.000 (1 0,10)M = ⋅ + 3,510.000 1,10M = ⋅ O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão. 10.000 1,395964M = ⋅ 13.959,64M = - Convenção Linear A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 6 Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear: (1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte fracionária do período. 310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 310.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅ 13.975,50M = Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante da convenção exponencial. 01. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resolução Basta aplicar a formula do montante composto. O capital aplicado é de R$ 20.000,00, a taxa é de 50% = 50/100 = 0,50 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 2anos. � = � ∙ (1 + �)� � = 20.000 ∙ (1 + 0,50)� = 45.000,00 Letra A 02. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) O montante final de uma aplicação financeira de R$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos, durante 2 meses é: (A) R$ 2.080,80 (B) R$ 2.122,42 (C) R$ 2.020,00 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 7 (D) R$ 20.100,00 (E) R$ 2.040,00 Resolução Novamente devemos aplicar a fórmula do montante composto. � = � ∙ (1 + �)� O capital aplicado é de R$ 2.000,00, a taxa é de 2% ao mês e o tempo é igual a 2 meses. � = 2.000 ∙ (1 + 0,02)� = 2.000 ∙ 1,0404 � = 2.080,80 Letra A 03. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse investimento totalizava: (A) R$ 694,44. (B) R$ 1.400,00. (C) R$ 1.440,00. (D) R$ 1.514,12. (E) R$ 2.200,00. Resolução Mais uma questão idêntica. Mera aplicação da fórmula do montante composto... O capital é de R$ 1.000,00, o tempo de 2 anos e a taxa de 20% ao ano. � = � ∙ (1 + �)� � = 1.000 ∙ (1 + 0,20)� = 1.000 ∙ 1,44 � = 1.440,00 Letra C 04. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) A taxa de juros mensal, juros compostos, que faz com que um capital aumente de R$ 1.500,00 para R$ 1.653,75 em dois meses é de: (A) 2% (B) 5% (C) 3% MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 8 (D) 10% (E) 8% Resolução Neste caso, o capital aplicado é igual a 1.500,00 e o montante da aplicação é igual a R$ 1.653,75. Assim, � = 1.500 " � = 1.653,75 O tempo de aplicação é igual a 2 meses. Queremos calcular a taxa mensal... � = � ∙ (1 + �)� 1.653,75 = 1.500 ∙ (1 + �)² O número 1.000 que está multiplicando o segundo membro, “passa” dividindo o primeiro membro. (1 + �)� = 1,1025 Vamos testar as alternativas. Letra A � (1 + 0,02)� = 1,0404 Letra B � (1 + 0,05)� = 1,1025 (RESPOSTA) Gabarito: B 05. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 Resolução � = � ∙ (1 + �)� � = 20.000 ∙ 1,04# O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 9 1,04 × 1,04 = 1,0816 1,0816 × 1,04 = 1,124864 ≅ 1,1249 � = 20.000 ∙ 1,04# = 20.000 ∙ 1,1249 = 22.498,00 Letra E 06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses Resolução Aplicação a juros compostos: � = � ∙ (1 + �)� � = 12.500 ∙ (1 + 0,08)� � = 14.580 Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado 14.580 – 12.500 = 2.080. Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês. � = � ∙ � ∙ � 2.080 = 10.400 ∙ 0,0125 ∙ � 2.080 = 130 ∙ � � = 16 '"("( Letra D 07. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 10 Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. Resolução O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto). Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto. Letra E 08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) ) = log� - b) ) < - c) ) = - d) ) = √-/ e) ) > - Resolução Vimos que: � = 1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 < � < 1 O montante simples é maior do que o MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 11 montante composto. � > 1 O montante simples é menor do que o montante composto. Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a convenção exponencial. Letra E 09. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10 Resolução De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês. � = � ∙ (1 + �)012 ∙ (1 + � ∙ �3456) � = 300 ∙ (1 + 0,10)� ∙ 71 + 0,10 ∙ 138 � = 300 ∙ 1,21 ∙ 71 + 1308 = 363 ∙ 71 + 1308 � = 363 + 36330 = 363 + 12,1 = 375,10 Letra D 010. (SERC/MS 2006/FGV) Determine o montante, em 75 dias, de um principal de R$ 5.000,00 a juros de 10% ao mês, pela convenção linear. (A) R$ 6.250,00 (B) R$ 6.300,00 (C) R$ 6.325,00 (D) R$ 6.344,00 (E) R$ 6.352,50 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 12 Resolução Vamos utilizar a fórmula do montante composto pela convenção linear. � = � ∙ (1 + �)012 ∙ (1 + � ∙ �3456) Ora, 75 dias = (60 + 15) dias = 2 meses e meio. � = 5.000 ∙ (1 + 0,10)� ∙ (1 + 0,10 ∙ 0,5) � = 5.000 ∙ 1,21 ∙ 1,05 � = 6.352,50 Letra E 011. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00 Resolução Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investido durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a parte fracionária do período (3 meses) será utilizada no regime simples. Como o ano tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 do ano= 0,25 anos. Assim, (1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 220.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 25)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 220.000 1,10 1,025M = ⋅ ⋅ 24.805,00M = Letra C MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 13 012. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento: I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. Assinale: a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativade investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. Resolução I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses. � = � ∙ (1 + � ∙ �) = 10.000 ∙ (1 + 0,02 ∙ 6) = 11.200 II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses. � = � ∙ (1 + �)� = 10.000 ∙ (1 + 0,01)9 = 10.615,20 Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento. Letra D 013. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um montante de R$ 1.000 foi aplicado durante 6 meses em um banco à taxa de 21% ao ano, juros compostos e, a seguir, o montante resultante foi colocado em outro banco a juros de 20% ao ano, durante mais 1 ano. A taxa anual que faria com que o montante final fosse equivalente ao montante encontrado é a) 18,25% b) 16,00% c) 20,33% d) 25,00% e) 22,22% Resolução Vejamos qual o montante encontrado: � = 1.000 ∙ (1 + 0,21)�,� ∙ (1 + 0,20)� = 1.320,00 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 14 Lembrando que 1,21�,� = :1,21 = ;121100 = 1110 = 1,1 O problema pede a taxa anual de modo que R$ 1.000,00 sejam aplicados durante 1,5 anos a uma taxa de juros compostos constante com montante igual a R$ 1.320,00. 1.320 = 1.000 ∙ (1 + �)�,� 1,32 = (1 + �)�,� 1,32 = (1 + �)#� 1,32� = <(1 + �)#�=� 1,32� = <(1 + �)#�=� 1,7424 = (1 + �)# Podemos neste momento testar as alternativas e verificar que (1 + 0,2033)# = 1,74229 Assim, a resposta é a letra C. 014. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00. Resolução Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos a metade do capital em cada uma das aplicações, então o capital das aplicações será x. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 15 1ª aplicação (Regime Composto) Sabemos que � = � + � ⇔ � = � − � No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte. � = � ∙ (1 + �)� A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano (2 semestres). � = > ∙ 1,08� � = 1,1664 ∙ > Como � = � − �, �� = 1,1664 ∙ > − > �� = 0,1664 ∙ > 2ª aplicação (Regime Simples) �� = � ∙ � ∙ � Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 trimestres. �� = > ∙ 0,04 ∙ 4 �� = 0,16 ∙ > A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00. �� + �� = 4.080 0,1664 ∙ > + 0,16 ∙ > = 4.080 0,3264 ∙ > = 4.080 > = 12.500 Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante. � = 1,1664 ∙ > � = 1,1664 ∙ 12.500 = 14.580,00 Letra C 015. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 16 a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 Resolução Temos nessa questão duas aplicações: uma no regime de capitalização simples e outra na capitalização composta. É fato que o montante na capitalização simples é dado por (1 )SM C i n= ⋅ + ⋅ A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma unidade. Podemos aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado informou que a taxa é de 4% ao mês e o tempo é igual a 3 meses. Dessa forma, 500 (1 0,04 3)SM = ⋅ + ⋅ 500 1,12SM = ⋅ 560SM = Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segunda aplicação. Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igual a R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses. O montante da capitalização composta é dado por (1 ) n CM C i= ⋅ + . 2560 (1 0,05)CM = ⋅ + 2560 1,05CM = ⋅ 617,40CM = MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 17 Letra E 016. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 1,425760) a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00. Resolução Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) será aplicada a juros compostos e a outra metade (C) será aplicada a juros simples. Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a soma do capital com os juros. M C J J M C= + ⇒ = − Capitalização Composta Capital aplicado: C Taxa de juros: 3% = 0,03 ao mês Tempo de aplicação: 12 meses Assim, o juro da capitalização composta será dado por: 12(1 )CJ M C C i C= − = ⋅ + − 121,03CJ C C= ⋅ − 1, 425760 1CJ C C= ⋅ − ⋅ MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 18 0,425760CJ C= ⋅ Capitalização Simples Capital aplicado: C Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês Tempo de aplicação: 12 meses Assim, o juro da capitalização simples será dado por: SJ C i n= ⋅ ⋅ 0,035 12SJ C= ⋅ ⋅ 0, 42SJ C= ⋅ As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02. 21.144,02S CJ J+ = 0,42 0,425760 21.144,02C C⋅ + ⋅ = 0,84576 21.144,02C⋅ = 21.144,02 0,84576 C = 25.000C = O capital total aplicado é 2 ∙ �. Logo, 2 50.000C⋅ = Letra E 017. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 19 capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 ≅ 0,48 e log 1,03 ≅ 0,012. Assinale abaixo a única alternativa correta. a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses Resolução Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização também é mensal. Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o triplo do capital (M = 3.C) Assim, 3M C= ⋅ . Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado por (1 )nM C i= ⋅ + . Temos então: (1 ) 3nC i C⋅ + = ⋅ (1 0,03) 3n+ = 1,03 3n = Para resolver esta equação exponencial, devemos “logaritmar” os dois membros. log1,03 log 3n = Aplicando a propriedade do logaritmo da potência... log1,03 log 3n ⋅ = log 3 log1,03 n = MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 20 0, 48 0,012 n = 0, 480 0480 480 40 meses. 0,012 0012 12 n = = = = Letra E Taxas Equivalentes Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros compostos.Só que falar em taxas equivalentes no regime simples é o mesmo que falar em taxas proporcionais. Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos. Exemplo Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao mês? Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a seguinte equação: 3 1(1 ) (1 )m tC i C i⋅ + = ⋅ + 3(1 0,10) 1 ti+ = + 1 1,331ti+ = 0,331ti = MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 21 33,1%ti = Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1 + �)� Exemplo Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao trimestre? Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação: (1 + �5�?5@)� = (1 + �A4BCDEA45@)F 1 + �5�?5@ = (1 + 0,2)F 1 + �5�?5@ = 2,0736 �5�?5@ = 1,0736 �5�?5@ = 107,36% )H )�H MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 22 Taxa Nominal e Taxa Efetiva Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo “24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”. A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamada de taxa efetiva. No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva. São exemplos de taxas nominais: - 30% ao mês com capitalização diária. - 48% ao ano com capitalização bimestral. Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva. Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”. A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são feitos com taxa nominal !!! Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: I)>) "J"K�L) = I)>) MH'��)NMú'"OH P" Q"OíHPH( P" R)Q�K)N�S)çãH RH�K�PH( �) K)>) �H'��)N MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 23 Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva. Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral. 1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será 60% 10% a.b. 6 bi = = Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de taxas equivalentes. Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira: 1 6(1 ) (1 )a bi i+ = + 61 (1 0,10)ai+ = + 61,10 1ai = − 0,7715ai = 77,15%ai = Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para efeito de cálculo será 10% a.b.. Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal. Taxa Real e Taxa Aparente Imagine que Thiago fez uma aplicação financeira durante 2 anos e obteve um rendimento total de 80%. Mas nesse período de 2 anos houve uma inflação total de 60%. Então, na verdade, o ganho real não foi de 80%, pois se assim fosse, não estaríamos levando em conta a perda causada pela inflação! A taxa de 80% do nosso problema é denominada taxa aparente. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 24 A taxa real é aquela que leva em consideração a perda influenciada pela inflação. E como calcular a taxa real nessa situação? Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes notações: A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real É válida a seguinte relação: A I R I R= + + ⋅ No nosso exemplo: A = 80% = 0,8 I = 60% = 0,6 R → taxa real = ? A I R I R= + + ⋅ 0,8 0,6 0,6R R= + + ⋅ 0,8 0,6 1,6 R− = ⋅ 1,6 0, 2R⋅ = 0, 2 2 0,125 1,6 16 R = = = 12,5%R = Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionário foi de 12,5%. A expressão que fornece a taxa real em função da taxa aparente e da inflação é a seguinte: MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 25 1 A I R I − = + No nosso exemplo, 0,8 0,6 0, 2 12,5% 1 1 0,6 1,6 A I R I − − = = = = + + . 018. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% Resolução Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 meses e que 1 ano é composto por 3 quadrimestres. Assim, (1 + �5)� = (1 + �T)# 1 + �5 = (1 + 0,3)# 1 + �5 = 2,197 �5 = 1,197 = 119,70% Letra E 019. (Senado Federal 2008/FGV) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a taxa de juros simples ao bimestre seja: a) 5,0%. b) 5,5%. c) 6,0%. d) 6,5%. e) 7,0%. Resolução MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 26 Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: I)>) "J"K�L) = I)>) MH'��)NMú'"OH P" Q"OíHPH( P" R)Q�K)N�S)çãH RH�K�PH( �) K)>) �H'��)N Como 1 semestre contém 2 trimestres, então: � = 20%2 = 10% )H KO�'"(KO" Vamos aplicar R$ 2.000,00, à taxa de juros efetiva de 10% ao trimestre durante 1 semestre. O número de períodos � é igual a 2 (trimestres). � = � ∙ (1 + �)� � = 2.000 ∙ (1 + 0,10)² � = 2.420,00 O que o problema pede? Aplique R$ 2.000,00 a juros simples, durante 6 meses (3 bimestres) e obtenha um montante igual a R$ 2.420,00. Qual a taxa bimestral? Já que a taxa pedida é bimestral, devemos utilizar o tempo em bimestres. Ora, o juro auferido no período é igual a R$ 420,00. � = � ∙ � ∙ � 420 = 2.000 ∙ � ∙ 3 420 = 6.000 ∙ � � = 4206.000 = 0,07 = 7% )H -�'"(KO" Letra E 020. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de juros semestral equivalente à taxa de 125% ao ano é igual a: (A) 45%. (B) 50%. (C) 61,25%. (D) 62,25%. (E) 275%. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br27 Resolução Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1 + �)� Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: (1 + �5�?5@)� = (1 + �EDCDEA45@)� (1 + 1,25)� = (1 + �E)² (1 + �E)� = 2,25 (1 + �E)� = 225100 1 + �E = 1510 �E = 1,5 − 1 = 0,5 = 50% Letra B 021. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente à taxa de 10% ao bimestre é: (A) 3,33%. (B) 30,00%. (C) 31,33%. (D) 33,10%. (E) 36,66%. Resolução Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1 + �)� Já que 1 semestre é o mesmo que 3 bimestres, temos a seguinte relação: (1 + �EDCDEA45@)� = (1 + �UBCDEA45@)# (1 + �E)� = (1 + 0,10)³ 1 + �E = 1,331 �E = 0,331 = 33,1% Letra D MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 28 022. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um principal de R$ 100.000,00, um indivíduo retirou o valor de R$ 150.000,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anual desse investimento, no regime de juros compostos, foi de: (A) 50%. (B) 125%. (C) 100%. (D) 5%. (E) 120%. Resolução Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado durante 1 semestre e montante obtido foi de R$ 150.000,00. Vamos calcular a taxa semestral. � = � ∙ (1 + �)� 150.000 = 100.000 ∙ (1 + �)� (1 + �)� = 150.000100.000 1 + � = 1,5 � = 0,5 = 50% )H ("'"(KO" Queremos calcular a rentabilidade anual. Basta calcular a taxa anual equivalente à taxa calculada. Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: (1 + �5�?5@)� = (1 + �EDCDEA45@)� (1 + �5)� = (1 + 0,5)� 1 + �5 = 2,25 �5 = 1,25 = 125% Letra B 023. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: (A) 14,89%. (B) 15,25%. (C) 16,33%. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 29 (D) 18,45%. (E) 20,00%. Vamos considerar que o capital aplicado foi de R$ 100,00. Quando a taxa de juros compostos varia, podemos utilizar a seguinte fórmula para o cálculo do montante: � = � ∙ (1 + ��)�V ∙ (1 + ��)�W � = 100 ∙ (1 + 0,10)� ∙ (1 + 0,20)� � = 132 Queremos, para a mesma quantia de R$ 100,00, obter o mesmo montante com uma taxa anual efetiva única. � = � ∙ (1 + �)² 132 = 100 ∙ (1 + �)² (1 + �)� = 132100 Queremos calcular a raiz quadrada de 132/100. A raiz quadrada de 100 é 10. Existe um método muito bom para calcular raízes quadradas aproximadas. O método é chamado de Newton-Raphson e você pode aprendê-lo no seguinte artigo que eu escrevi na parte aberta do Ponto: http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/4950_D.pdf O método é descrito da seguinte maneira: 2 2 a x a x + ≅ , em que 2x é o quadrado perfeito mais próximo de a. √132 ≅ 132 + 11²2 ∙ 11 √132 ≅ 25322 √132 ≅ 11,5 Se quisermos uma aproximação melhor, basta substituir novamente > por 11,5. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 30 √132 ≅ 132 + 11,5²2 ∙ 11,5 √132 ≅ 264,2523 √132 ≅ 11,489 Voltando ao nosso problema... (1 + �)� = 132100 1 + � = 11,48910 1 + � = 1,1489 � = 0,1489 = 14,89% Letra A 024. (SERC/MS 2006/FGV) Determine a taxa efetiva anual correspondente a 30% ao ano com capitalização semestral. (A) 60% (B) 63% (C) 65% (D) 67% (E) 69% Resolução Há uma taxa nominal assim descrita: 30% ao ano com capitalização semestral. Desta forma, a taxa semestral efetiva é igual a: �E = 30%2 = 15% )H ("'"(KO" Queremos calcular a taxa efetiva anual equivalente. Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: (1 + �5�?5@)� = (1 + �EDCDEA45@)� (1 + �5)� = (1 + 0,15)� MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 31 1 + �5 = 1,3225 �5 = 0,3225 = 32,25% Não há gabarito compatível e a questão foi anulada pela FGV. 025. (BESC 2004/FGV) A taxa efetiva anual correspondente a 40% ao ano com capitalização semestral é: (A) 40% (B) 42% (C) 44% (D) 48% (E) 56% Resolução Questão idêntica à anterior. Há uma taxa nominal assim descrita: 40% ao ano com capitalização semestral. Desta forma, a taxa semestral efetiva é igual a: �E = 40%2 = 20% )H ("'"(KO" Queremos calcular a taxa efetiva anual equivalente. Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: (1 + �5�?5@)� = (1 + �EDCDEA45@)� (1 + �5)� = (1 + 0,20)� 1 + �5 = 1,44 �5 = 0,44 = 44% Letra C 026. (SEFAZ/RJ 2007/FGV) A taxa efetiva anual equivalente a � ao ano, capitalizados X vezes ao ano é: MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 32 Resolução Outra questão idêntica!! Neste caso, temos uma questão literal. Perceba que a resolução é idêntica... Há uma taxa nominal assim descrita: � ao ano capitalizados X vezes ao ano. Desta forma, a taxa efetiva é igual a: �Y = �X A taxa efetiva anual será calculada da seguinte forma: (1 + �5�?5@)� = (1 + �Y)Y 1 + �5 = 71 + �X8 Y �5 = 71 + �X8 Y − 1 Letra D 027. (Auditor da Receita Estadual – Amapá 2010/FGV) Seja i a taxa semestral de juros equivalente à taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juros compostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i é: (A) 28,2% (B) 26,1% (C) 24,6% (D) 22,8% (E) 20,0% Resolução Já que 1 semestre é o mesmo que 2 trimestres, temos a seguinte relação: MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 33 (1 + �EDCDEA45@)� = (1 + �A4BCDEA45@)� (1 + �E)� = (1 + 0,123)� 1 + �E = 1,261129 �E = 0,261129 �E ≅ 26,1% Letra B 028. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% Resolução Vamos analisar cada parte do enunciado. “ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”. Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a taxa efetiva bimestral é dada por 40% 20% a.b. 2 bi = = Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrando que um semestre é composto por 3 bimestres. 1 3(1 ) (1 )s bi i+ = + 31 (1 0,20)si+ = + 1,728 1 0,728si = − = 72,8%si = MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 34 Letra B 029. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864% Resolução Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é: �C = 12%12 = 1% )H 'ê( Devemos fazer a comparação dos fatores (1 + �)� para o cálculo da taxa de juros anual. (1 + �5)� = (1 + �C)�� 1 + �5 = (1 + 0,01)�� Consultando a tabela financeira: 1 + �5 = 1,126825 �5 = 0,126825 = 12,6825% Letra C 030. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fimde dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92 Resolução Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral é: �A = 24%4 = 6% )H KO�'"(KO" MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 35 O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva é trimestral, então usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres. � = � ∙ (1 + �)� � = 20.000 ∙ (1 + 0,06)9 = 28.370,38 Letra D 031. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: a) Z(1,02)�[ − 1\ b) ](18 ∙ √1,36V^ − 1_ c) ](18 ∙ √1,24VW − 1_ d) ](3 ∙ √1,24 − 1_ e) ](6 ∙ √1,24` − 1_ Resolução O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal é de 24%/12 = 2%. � = � ∙ (1 + �)� � + � = � ∙ (1 + �)� � = � ∙ (1 + �)� − � � = � ∙ Z(1 + �)� − 1\ � = 25.000 ∙ Z(1 + 0,02)�[ − 1\ � = 25.000 ∙ Z(1,02)�[ − 1\ Letra A 032. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 36 e) 13,20% Resolução Para facilitar o processo mnemônico, chamarei de: A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real É válida a seguinte relação: a = b + c + b ∙ c 0,2320 = 0,10 + c + 0,10 ∙ c 0,2320 − 0,10 = 1,10 ∙ c 1,10 ∙ c = 0,1320 c = 0,12 = 12% Letra A 033. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de20%, equivale a uma rentabilidade real de: (A) 20% (B) 44% (C) 50% (D) 55% (E) 60% Resolução Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real É válida a seguinte relação: a = b + c + b ∙ c 0,80 = 0,20 + c + 0,20 ∙ c 0,60 = 1,20 ∙ c MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 37 c = 0,601,20 = 0,50 = 50% Letra C 034. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%. Resolução Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário mínimo (reajuste nominal). dB�B6B5@ = 350 e d3B�5@ = 380 a = d3B�5@ − dB�B6B5@dB�B6B5@ = 380 − 350350 = 8,57% A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%. Calculemos o aumento real: a = b + c + b ∙ c 0,0857 = 0,034 + c + 0,034 ∙ c 0,0517 = 1,034 ∙ c c = 0,05171,034 = 0,05 = 5% Letra C MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 38 035. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, a ser pago ao final de um ano, a taxa de juros real a ser cobrada é igual a 10%, enquanto a taxa de inflação, para esse mesmo período, é de 5%. A taxa aparente anual para esse financiamento será de: (A) 50%. (B) 20%. (C) 15,5%. (D) 10%. (E) 5%. Resolução Basta aplicar diretamente a fórmula mencionada anteriormente. a = b + c + b ∙ c a = 0,05 + 0,10 + 0,05 ∙ 0,10 a = 0,05 + 0,10 + 0,005 a = 0,155 = 15,5% Letra C 036. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 20%. Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros aparente é: (A) 12%. (B) 22%. (C) 28%. (D) 30%. (E) 32%. Resolução Mais uma questão idêntica... a = b + c + b ∙ c a = 0,10 + 0,20 + 0,10 ∙ 0,20 a = 0,10 + 0,20 + 0,02 a = 0,32 = 32% Letra E MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 39 037. (SERC/MS 2006/FGV) De quanto diminui o seu salário real, se o seu salário nominal aumenta de 10% e há uma inflação de 40%? (A) 12% (B) 15% (C) 18% (D) 21% (E) 30% Resolução Se você recebe um aumento de 10% e a inflação no período foi de 40%, então o seu poder de compra diminui, obviamente. Ou seja, seu salário aumentou “pouco” se comparado com o aumento dos preços. Queremos então, saber qual foi a variação percentual real do salário, levando em conta a inflação. a = b + c + b ∙ c 0,10 = 0,40 + c + 0,40 ∙ c 0,10 = 0,40 + 1,40 ∙ c −0,30 = 1,40 ∙ c c = −0,301,40 c ≅ −0,2142 c ≅ −21,42% Letra D 038. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00 e) R$ 25.800,00 Resolução MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 40 Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real É válida a seguinte relação: a = b + c + b ∙ c e = f, fgh + f, if + f, fgh ∙ f, if = f, igjh = ig, jh% Então o montante resgatado pelo investidor é dado por � = � ∙ (1 + �)� = 24.000 ∙ (1 + 0,1275)� = 27.060,00 Letra A 039. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação foi de a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85% Resolução Para calcular a inflação acumulada podemos utilizar a seguinte fórmula: k = (i + li) ∙ (i + lg) ∙ ⋯ ∙ (i + ln) − i Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de: b = (1 + 0,05) ∙ (1 + 0,04) − 1 = 0,092 Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos � = 1, pois queremos calcular a taxa real no período de 2 anos. � = � ∙ (1 + �)� MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 41 98.280 = 80.000 ∙ (1 + a)� a = 0,2285 a = b + c + b ∙ c 0,2285 = 0,092 + c + 0,092 ∙ c 0,1365 = 1,092 ∙ c c = 0,13651,092 = 0,125 = 12,5% Letra B MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 42 Relação das questões comentadas 01. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao finalde dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 02. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) O montante final de uma aplicação financeira de R$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos, durante 2 meses é: (A) R$ 2.080,80 (B) R$ 2.122,42 (C) R$ 2.020,00 (D) R$ 20.100,00 (E) R$ 2.040,00 03. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse investimento totalizava: (A) R$ 694,44. (B) R$ 1.400,00. (C) R$ 1.440,00. (D) R$ 1.514,12. (E) R$ 2.200,00. 04. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) A taxa de juros mensal, juros compostos, que faz com que um capital aumente de R$ 1.500,00 para R$ 1.653,75 em dois meses é de: (A) 2% (B) 5% (C) 3% (D) 10% (E) 8% 05. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 43 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses 07. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 44 08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) ) = log� - b) ) < - c) ) = - d) ) = √-/ e) ) > - 09. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10 010. (SERC/MS 2006/FGV) Determine o montante, em 75 dias, de um principal de R$ 5.000,00 a juros de 10% ao mês, pela convenção linear. (A) R$ 6.250,00 (B) R$ 6.300,00 (C) R$ 6.325,00 (D) R$ 6.344,00 (E) R$ 6.352,50 011. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00 012. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento: I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 45 Assinale: a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. 013. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um montante de R$ 1.000 foi aplicado durante 6 meses em um banco à taxa de 21% ao ano, juros compostos e, a seguir, o montante resultante foi colocado em outro banco a juros de 20% ao ano, durante mais 1 ano. A taxa anual que faria com que o montante final fosse equivalente ao montante encontrado é a) 18,25% b) 16,00% c) 20,33% d) 25,00% e) 22,22% 014. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00. 015. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 46 016. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 1,425760) a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00. 017. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 ≅ 0,48 e log 1,03 ≅ 0,012. Assinale abaixo a única alternativa correta. a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses 018. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% 019. (Senado Federal 2008/FGV) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a taxa de juros simples ao bimestre seja: a) 5,0%. b) 5,5%. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 47 c) 6,0%. d) 6,5%. e) 7,0%. 020. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de juros semestral equivalente à taxa de 125% ao ano é igual a: (A) 45%. (B) 50%. (C) 61,25%. (D) 62,25%. (E) 275%. 021. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente à taxa de 10% ao bimestre é: (A) 3,33%. (B) 30,00%. (C) 31,33%. (D) 33,10%. (E) 36,66%. 022. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um principal de R$ 100.000,00, um indivíduo retirou o valor de R$ 150.000,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anual desse investimento, no regime de juros compostos, foi de: (A) 50%. (B) 125%. (C) 100%. (D) 5%. (E) 120%. 023. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por maisum ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: (A) 14,89%. (B) 15,25%. (C) 16,33%. (D) 18,45%. (E) 20,00%. 024. (SERC/MS 2006/FGV) Determine a taxa efetiva anual correspondente a 30% ao ano com capitalização semestral. (A) 60% (B) 63% (C) 65% (D) 67% (E) 69% MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 48 025. (BESC 2004/FGV) A taxa efetiva anual correspondente a 40% ao ano com capitalização semestral é: (A) 40% (B) 42% (C) 44% (D) 48% (E) 56% 026. (SEFAZ/RJ 2007/FGV) A taxa efetiva anual equivalente a � ao ano, capitalizados X vezes ao ano é: 027. (Auditor da Receita Estadual – Amapá 2010/FGV) Seja i a taxa semestral de juros equivalente à taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juros compostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i é: (A) 28,2% (B) 26,1% (C) 24,6% (D) 22,8% (E) 20,0% 028. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% 029. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 49 c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864% 030. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92 031. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: a) Z(1,02)�[ − 1\ b) ](18 ∙ √1,36V^ − 1_ c) ](18 ∙ √1,24VW − 1_ d) ](3 ∙ √1,24 − 1_ e) ](6 ∙ √1,24` − 1_ 032. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20% 033. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de20%, equivale a uma rentabilidade real de: (A) 20% (B) 44% (C) 50% (D) 55% (E) 60% MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 50 034. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%. 035. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, a ser pago ao final de um ano, a taxa de juros real a ser cobrada é igual a 10%, enquanto a taxa de inflação, para esse mesmo período, é de 5%. A taxa aparente anual para esse financiamento será de: (A) 50%. (B) 20%. (C) 15,5%. (D) 10%. (E) 5%. 036. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 20%. Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros aparente é: (A) 12%. (B) 22%. (C) 28%. (D) 30%. (E) 32%. 037. (SERC/MS 2006/FGV) De quanto diminui o seu salário real, se o seu salário nominal aumenta de 10% e há uma inflação de 40%? (A) 12% (B) 15% (C) 18% (D) 21% (E) 30% 038. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 51 a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00 e) R$ 25.800,00 039. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação foi de a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85% MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 52 Gabaritos 01. A 02. A 03. C 04. B 05. E 06. D 07. E 08. E 09. D 10. E 11. C 12. D 13. C 14. C 15. E 16. E 17. E 18. E 19. E 20. B 21. D 22. B 23. A 24. Anulada 25. C 26. D 27. B 28. B 29. C 30. D 31. A 32. A 33. C 34. C 35. C 36. E 37. D 38. A MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 53 39. B
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