Aula 06-parte-ii

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MATEMÁTICA PARA IBGE 
Aula 6 – Parte 2 
Prof. Guilherme Neves 
 
 
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1. Conjuntos Numéricos 
 
Não podemos ter um curso de Matemática sem falar sobre números. O 
engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. 
Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números... 
O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável. 
Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), 
escreveu: “Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., 
posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra 
agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o 
desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-
européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; 
ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara 
para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los.” 
Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção 
bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os 
números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras: 
“Os números governam o mundo”. 
Nesta parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas 
propriedades. 
Conjunto dos Números Naturais 
 
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao 
contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um 
número do tipo: 
ℕ = {0,1,2,3 … } 
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não 
poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”. 
A este conjunto ℕ denominamos conjunto dos números naturais. 
Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos 
com um asterisco sobrescrito à letra N. 
𝑁∗ = {1,2,3,4 … } 
 
 
 
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Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. 
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações 
básicas: adição e multiplicação. 
Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?” 
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando 
sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre 
possível somar dois números naturais? É claro que sim!! 
Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. 
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por 
isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à 
adição. 
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!! 
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0... 
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um 
número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em 
relação à multiplicação. 
Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora 
respondemos em alto e bom tom... NÃO!!! 
Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto 
dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um 
número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais 
NÂO É FECHADO em relação à subtração. 
Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É 
FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos 
efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma 
fração que não é um número natural). 
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como 
soma, adição, multiplicação, produto, etc. 
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos... 
Operações com números naturais 
 
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto 
dos números naturais: adição e multiplicação. 
 
 
 
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Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações. 
Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8. 
O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é 
chamado de soma. 
Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da 
operação. Soma é o resultado da adição. 
Definimos então a operação de adição: 
a,b parcelas
 
c soma
a b c

  
 
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. 
Vejamos algumas propriedades importantes da adição. 
1 Propriedade comutativa 
Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. 
Em símbolos: 
 para todos a,b Na b b a    
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3. 
Ex.: 4 5 5 4 
9 4 5
9 5 4






 
2 Propriedade associativa 
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas 
primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que 
devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos 
parêntesis. 
 
 
5) (3 2 5 3) (2 
10 8 2 5) (3 2
10 5 5 5 3) 2(






 
 
3 Existência do elemento neutro da adição 
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. 
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 
 
 
 
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Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de 
elemento neutro da adição. 
4 Propriedade do fechamento 
A soma de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é 
uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar 
dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número 
natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número 
irracional, etc. 
Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte 
cálculo: 
3 × 4 = 12 
Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou 
nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o × 𝑜𝑢 ∙. 
Assim, 3 × 4 = 3 ∙ 4 = 12. 
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de 
parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a 
multiplicação. Assim, 
3𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑎. 
Ou seja, 3𝑎 = 3 ∙ 𝑎 = 3 × 𝑎. 
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: (𝑥 + 2)(𝑥 − 1). 
Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão 
significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis. 
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 1) = (𝑥 + 2) × (𝑥 − 1) 
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos × 𝑒 ∙. Normalmente 
utilizaremos × quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e 
utilizaremos ∙ quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você 
pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor 
esteticamente e utilize... Ok? 
Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e 
nomenclaturas. 
 
 
 
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a,b fatores
 
c produto
a b c

  
 
Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar 
a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da 
operação e produto é o resultado da multiplicação. 
 
5 Propriedade comutativa 
A ordem dos fatores não altera o produto. 
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o 
mesmo 12. 
Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N  . 
Lembre-se que 𝑎𝑏 significa a vezes b. Ou seja, 
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 = 𝑎× 𝑏 = 𝑏 × 𝑎 
2 7 7 2 
14 2 7
14 7 2






 
6 Propriedade associativa 
 
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois 
primeiros ou os dois últimos fatores. 
 
 
5) (4 3 5 4) (3 
60 20 3 5) (4 3
60 5 12 5 4) 3(






 
 
7 Existência do elemento neutro da multiplicação 
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade: 
𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎 
Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. 
 
 
 
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Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. 
 
8 Propriedade do fechamento 
O produto de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a 
multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. 
Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será 
um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um 
número irracional, etc. 
Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a 
chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou 
simplesmente propriedade distributiva. 
 
9 Propriedade Distributiva 
Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos 
um exemplo. Efetue 2 ∙ (3 + 5). 
Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem 
escritos os parêntesis, no caso, 2 ∙ 3 + 5, deveríamos efetuar primeiramente 
2 ∙ 3 = 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 ∙ 3 + 5 = 6 + 5 = 11. 
Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia 
das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão 
dentro dos parêntesis. 
2 ∙ (3 + 5) = 2 ∙ 8 = 16 
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um 
número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em 
seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 ∙ (3 + 5) podemos 
multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados. 
2 ∙ (3 + 5) = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 6 + 10 = 16 
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a 
expressão 2 ∙ (𝑥 + 3) pode ser desenvolvida da seguinte maneira: 
2 ∙ (𝑥 + 3) = 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 3 = 2 ∙ 𝑥 + 6 
Ou simplesmente: 
2 ∙ (𝑥 + 3) = 2𝑥 + 6 
 
 
 
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01. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de 
uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário 
responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte 
resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números 
naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos 
substituídos por letras.” 
 M A R R A 
 + M A R R A 
 T O R T A 
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, 
ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros 
do acervo dessa biblioteca é um número 
a) menor que 70000. 
b) compreendido entre 70000 e 75000. 
c) compreendido entre 75000 e 80000. 
d) compreendido entre 80000 e 85000. 
e) maior que 85000. 
Resolução 
Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os 
algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras 
distintas correspondem a algarismos distintos. 
Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um 
número tal que A A A  . Ou seja, qual é o número que somado com ele 
mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, 
que 0A  . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento 
neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0. 
M 0 R R 0 
M 0 R R 0 
T O R T 0 
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos 
a mesma operação R R e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao 
fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma 
unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de 
valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10). 
Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar 
R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem 
 
 
 
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a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R 
não pode ser 5. 
Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12. 
M 0 R=6 R=6 0 
M 0 R=6 R=6 0 
T O=1 R=3 T=2 0 
Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo 
das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar 
R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então 
escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. 
Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6. 
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos 
com o caso R = 6. 
Chega-se a conclusão de que R=9. 
 0 9 9 0 
 0 9 9 0 
 9 8 0 
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma: 
4 0 9 9 0 
4 0 9 9 0 
8 1 9 8 0 
Logo, MARRA=81980. 
Letra D 
02. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada 
letra representa um algarismo 
 
 
 
 
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O valor de A+B+C é: 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
Resolução 
3 1 3, 3 2 6, 3 3 9
3 4 12, 3 5 15, 3 6 18
3 7 21, 3 8 24, 3 9 27
     
     
     
 
Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo 
algarismo das unidades é igual a 4. Logo, . Como , ao efetuarmos 
o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado. 
1 A B 8 
 x 3 
A B 8 4 
O produto 3 B deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 
6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo 
das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6  . 
1 A 2 8 
 X 3 
A 2 8 4 
Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A termine em 2. Portanto, 4A  . 
1 4 2 8 
 X 3 
4 2 8 4 
 
Como 4A  , 2B  e 8C  , temos que 14A B C   . Letra E 
8C  3 8 24 
 
 
 
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Conjunto dos números inteiros 
 
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em 
relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação 
“subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais. 
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela 
letra Z (inicial de zahl - número em alemão). 
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Dizemos que o número – 𝑥 é o simétrico ou oposto do número 𝑥. 
Por exemplo, o número −5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico 
de −5. 
Neste conjunto 𝑍 destacam-se os seguintes subconjuntos: 
(1) Conjunto 𝑍∗ dos inteiros não nulos (diferentes de zero): 
𝑍∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≠ 0} = {… − 3, −2, −1,1,2,3, … } 
(2) Conjunto 𝑍− dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero): 
𝑍− = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≤ 0} = {… − 3, −2, −1,0} 
 
(3) Conjunto 𝑍+ dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero): 
𝑍+ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≥ 0} = {0,1,2,3,4 … } 
(4) Conjunto 𝑍−
∗ dos inteiros negativos (menores que zero): 
𝑍−
∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥< 0} = {… − 3, −2, −1} 
(5) Conjunto 𝑍+
∗ dos inteiros positivos (maiores que zero): 
𝑍+
∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 > 0} = {1,2,3,4 … } 
Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros 
positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o 
número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é 
neutro. 
Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto 
(simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma: 
 
 
 
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5 + (−5) = 0 
2 + (−2) = 0 
−3 + 3 = 0 
Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira: 
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) 
a minuendo
 b subtraendo
c diferença
a b c


  

 
 
Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. 
Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também 
não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro. 
Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à 
subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, 
com certeza o resultado será um número inteiro. 
Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem 
todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números 
naturais é subconjunto dos números inteiros. 
Regras dos sinais com números inteiros 
 
( )a a   
( ) ( ) ( )a b a b a b ab          
( ) ( )a b ab    
As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a 
multiplicação (e divisão) de inteiros. 
Sinais dos 
números 
Resultado 
iguais positivo 
diferentes negativo 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros. 
Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir 
o sinal. 
+2 + 3 = +5 
−2 − 3 = −5 
Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e 
repetir o sinal do maior. 
+5 − 2 = +3 
−5 + 2 = −3 
03. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números 
inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T. 
 
Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
Resolução 
Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira: 
 
 
 
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Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e a 
terceira linha representa a diferença. 
Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2 4  . Portanto, 
2Z  . 
Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9 8  . Portanto, 
7X  . 
 
 
 
Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a 
subtração. 
 
 
7, 1, 2, 8
18
X Y Z T
X Y Z T
   
   
 
Letra D 
Conjunto dos números racionais 
 
Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, 
multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de 
definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, 
mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o 
conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q. 
ℚ = {
𝑝
𝑞
|𝑝 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ∈ ℤ∗} 
4 9 6 
 0 9 
3 8 4 
4 9 7 6 
 0 9 2 
3 8 4 
4 9 7 6 
1 0 9 2 
3 8 8 4 
 
 
 
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O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado 
denominador da fração. 
O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é 
inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números 
que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal 
finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração. 
Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser 
escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 
2 =
2
1
 
Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser 
escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 
−2 =
−2
1
 
Observe que o sinal – pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta 
forma: 
−2
1
=
2
−1
= −
2
1
= −2 
Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais 
finitos e as dízimas periódicas também são números racionais. 
Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; −3,0154. 
Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir 
os seguintes passos: 
i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula. 
ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem 
as casas decimais. 
1,47 =
147
100
 
2,513 =
2.513
1.000
 
−3,0154 =
−30.154
10.000
 
Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números 
decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não... 
 
 
 
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É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente 
infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos: 
0,14141414141414141414141414141414141414141414 …. 
Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes. 
32,021𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔 … 
Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes. 
Pense em uma raça preguiçosa... pensou? 
A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS! 
Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações, 
notações e símbolos... Tudo para escrever pouco. 
Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma 
preguiça enorme de escrever 
32,021𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔 … 
(Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!) 
A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se 
repetem, ou seja, do período. Portanto, 
32,021546546546546546 … = 32,021546̅̅ ̅̅ ̅ 
Muito mais simples, não? 
A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são 
números racionais e os números racionais são representados por frações, como 
transformamos as dízimas periódicas em frações? 
Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que 
costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que 
fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que 
utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o 
método abaixo como o mais simples por diversas razões. 
i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas? 
ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso 
para resolver uma simples questão de dízima periódica, não? 
iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma 
simples questão de dízima periódica? 
 
 
 
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Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851 … 
O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos 
anteriormente. 
3,12851851851 … = 3,12851̅̅ ̅̅ ̅ 
Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da 
dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo, 
𝑁𝐶 = 312.851. 
Denominaremos“Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números 
que estão fora da barra. No nosso exemplo, 𝑁𝐹𝐵 = 312. 
Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número 𝑁𝐶 − 𝑁𝐹𝐵. 
Por enquanto, nossa fração está assim: 
3,12851̅̅ ̅̅ ̅ =
312.851 − 312
 
E como fica o denominador? 
Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, 
há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no 
denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra. 
Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no 
denominador. 
3,12𝟖𝟓𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ =
312.851 − 312
𝟗𝟗𝟗
 
 
Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar... 
Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”. 
Quantos são eles? 2!!! 
A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos 
entre a vírgula e a barra. 
3, 𝟏𝟐𝟖𝟓𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ =
312.851 − 312
𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎
 
Pronto!!! 
3,12851̅̅ ̅̅ ̅ =
312.851 − 312
99.900
=
312.539
99.900
 
 
 
 
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Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por 
99.900. 
Muito fácil não?? 
E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil. 
Vamos praticar um pouco mais. 
Transforme em fração o número 0,666666 … 
Vamos colocar na notação da barra. 
0,666 … = 0, 6̅ 
𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 6 
𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 0 
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 
9 no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não 
colocamos zeros no denominador. 
0,666 … =
6 − 0
9
=
6
9
=
2
3
 
Transforme em fração o número 0,13434343434 … 
Vamos colocar na notação da barra. 
0,1343434 … = 0,134̅̅̅̅ 
𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 134 
𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 1 
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no 
denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto, 
colocamos um zero no denominador.. 
0,1343434 … =
134 − 1
990
=
133
990
 
Transforme em fração o número 0,999 … 
Vamos colocar na notação da barra. 
 
 
 
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0,999 … = 0, 9̅ 
𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 9 
𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 0 
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 
9 no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não 
colocamos zeros no denominador. 
0,999 … =
9 − 0
9
=
9
9
= 1 
Portanto, 0,999 … = 1 
Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!! 
A bem da verdade, 0,999 … 𝑒 1 representam o mesmo número. Apenas estão 
escritos de maneiras diferentes. 
04. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima 
periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta 
dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é 
igual a: 
 
A) 88 
B) 89 
C) 90 
D) 91 
E) 92 
Resolução 
Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o 
primeiro passo é escrever na notação da barra. 
0,011363636 … = 0,01136̅̅̅̅ 
𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 1.136 
𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 11 
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no 
denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos 
três zeros no denominador. 
 
 
 
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0,01136̅̅̅̅ =
1.136 − 11
99.000
=
1.125
99.000
 
 
A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. 
Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente 
podemos simplificar o numerador e o denominador por 5. 
1.125
99.000
=
225
19.800
 
Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias 
vezes. 
225
19.800
=
45
3.960
=
9
792
 
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9. 
9
792
=
1
88
 
Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível. 
0,011363636 … =
1
88
 
A questão pede para efetuar 𝑚 + 𝑛 onde 𝑚 = 1 𝑒 𝑛 = 88. 
𝑚 + 𝑛 = 1 + 88 = 89 
Letra B 
Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na 
divisão propriamente dita. 












resto r
quociente q
divisor d
dividendo D
 r q d D ou d | D
 q r
 
Exemplo: 
38 | ___9__ 
2 4 
 
Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 ∙ 4 + 2 = 38. 
 
 
 
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Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata. 
É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode 
ser 0. 
Assim, não há sentido na fração 5/0. 
05. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 𝑎 = 0,00003 e 𝑏 = 3.600.000. Desse modo, 
b/a vale 
a) cento e vinte trilhões. 
b) cento e vinte bilhões. 
c) um bilhão e duzentos milhões. 
d) cento e vinte milhões. 
e) um milhão, cento e vinte mil. 
Resolução 
Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em 
seguida “apagar as vírgulas”. 
𝑏
𝑎
=
3.600.000,00000
0,00003
=
360.000.000.000
3
= 120.000.000.000 
Letra B 
Subconjuntos Notáveis dos Racionais 
Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do 
conjunto dos números racionais que merecem destaque. Ei-los: 
(1) Conjunto 𝑄∗ dos racionais não nulos (diferentes de zero): 
𝑄∗ = {𝑥 ∈ 𝑄|𝑥 ≠ 0} 
(2) Conjunto 𝑄− dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero): 
𝑄− = {𝑥 ∈ 𝑄|𝑥 ≤ 0} 
(3) Conjunto 𝑄+ dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero): 
𝑄+ = {𝑥 ∈ 𝑄|𝑥 ≥ 0} 
(4) Conjunto 𝑄−
∗ dos racionais negativos (menores que zero): 
𝑄−
∗ = {𝑥 ∈ 𝑄|𝑥 < 0} 
 
 
 
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(5) Conjunto 𝑄+
∗ dos racionais positivos (maiores que zero): 
𝑄+
∗ = {𝑥 ∈ 𝑄|𝑥 > 0} 
Conjunto dos números irracionais 
 
Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos 
irracionais. 
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não 
é periódica. Tais números não são racionais e são denominados irracionais. 
Alguns exemplos famosos: 
√2 = 1,4142135 … 
𝜋 = 3,1415926535 … 
𝑒 = 2,718281 … 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜𝑤𝑛𝑒 = 0,12345678910111213141516 … 
A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas 
casas decimais. 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑝𝑒𝑟𝑙𝑎𝑛𝑑 − 𝐸𝑟𝑑ö𝑠 = 0,235711131719 … 
A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas 
casas decimais. 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 − 𝑀𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑟𝑜𝑛𝑖 = 𝛾 = 0,5772156649 … 
Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e 
denominador inteiros. 
Números reais 
 
Chama-se conjunto dos números reais - ℝ - aquele formado por todos os 
números com representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não 
periódica). Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união do 
conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. 
 
 
 
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Reta real 
 
Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada 
denominada Reta Real. 
 
06. (TRT-SC 2007/CETRO) Considereos conjuntos: 
N, dos números naturais. 
Z, dos números inteiros. 
Q, dos números racionais. 
R, dos números reais. 
Assinale a alternativa correta. 
(A) a, b ∈ N temos a − b ∈ N 
(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro. 
(C) N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R 
(D) a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0 ⇒ a/b ∈ Z 
(E) A equação 3x −1 = 0 não tem solução em Q. 
Resolução 
a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem 
sempre a – b ∈ N. A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior 
ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 – 5 = -2 e 
 −2 ∉ N. 
b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor 
elemento nem um maior elemento. 
c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é 
um número racional e todo número racional é um número real. 
 
 
 
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d) Falsa. Se a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0, nem sempre a/b ∈ Z. Por exemplo, 8 ∈ Z, 5∈ Z 
e 8/5 = 1,6 ∉ 𝑍. 
e) Vamos resolver a equação 3x −1 = 0. 
3𝑥 = 1 
𝑥 =
1
3
∈ 𝑄 
Portanto, a alternativa E é falsa. 
Letra C 
07. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em 
relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações: 
I. ℝ = ℚ ∪ 𝐼𝑟 
II. N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R 
III. ℚ ∪ 𝐼𝑟 = ∅ 
IV. ℚ ∩ 𝐼𝑟 = ℝ 
V. 𝐼𝑟 = ℝ − ℚ 
Considere: 
Ir = Conjunto dos números irracionais. 
N = Conjunto dos números naturais. 
Q = Conjunto dos números racionais. 
R = Conjunto dos números reais. 
Z = Conjunto dos números inteiros. 
As afirmações verdadeiras estão contidas em 
a) I apenas. 
b) I e III apenas. 
c) I, II e V apenas. 
d) II, III, IV e V apenas. 
e) I, II, III, IV e V. 
 
 
 
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Resolução 
Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que 
podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de 
zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos 
números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais. 
Como vimos na questão anterior, N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R. 
Assim, 
I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois ℚ ∪ 𝐼𝑟 = ℝ . IV é falsa, pois 
ℚ ∩ 𝐼𝑟 = ∅. V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado 
por todos os números reais que não são racionais. 
Letra C 
08. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) 
Considere os conjuntos: 
 
N dos números naturais, 
Q dos números racionais, 
Q+ números racionais não-negativos, 
R dos números reais. 
O número que expressa 
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não 
de N. 
b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+. 
c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N. 
d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+. 
e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q. 
 
Resolução 
 
a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N. 
b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. 
Por exemplo, 2,37 reais. 
 
 
 
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c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um 
elemento de N, pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m. 
d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um 
número irracional. 
e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional. 
Letra B 
09. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e 
Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. 
Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido 
entre 
a) 800 e 1 000 
b) 600 e 800 
c) 400 e 600 
d) 200 e 400 
e) 100 e 200 
Resolução 
A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim: 
15.480
(𝑋4𝑌)
 
Temos então: 
15.480
(𝑋4𝑌)
= 24 
O número (X4Y) que está dividindo, pode “passar para o segundo membro” 
multiplicando. 
15.480
24 24 ( 4 ) 15.480 ( 4 ) 645
( 4 )
X Y X Y
X Y
      Letra B 
2. Potências 
 
A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. 
Observe: 
 
 
 
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45 = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 1.024 
Na potência 45 → 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de 
vezes que o fator se repete). 
Sendo 𝑎 um número real e 𝑛 um número inteiro maior que 1, define-se: 
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 (𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠) 
Exemplos: 
53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 
(−8)2 = (−8) ∙ (−8) = 64 
(−
2
3
)
2
= (−
2
3
) ∙ (−
2
3
) =
4
9
 
(−2)3 = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = −8 
 
 
 
 
 
 
 Toda potência de expoente 1 é igual a base. 
𝑎1 = 𝑎 
 Toda potência de expoente 0 é igual a 1. 
𝑎0 = 1, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0 
Observação: 00 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎. 
 Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de 
expoente positivo. 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 
Exemplos: 
IMPORTANTE 
Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo. 
Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da 
potência é negativo. 
Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo. 
 
 
 
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51 = 5 
(
3
4
)
0
= 1 
(
2
5
)
−3
= (
5
2
)
3
=
125
8
 
5−1 = (
1
5
)
1
=
1
5
 
Propriedades Operatórias 
𝑥𝑎 ∙ 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎+𝑏 
𝑥𝑎
𝑥𝑏
= 𝑥𝑎−𝑏 
(𝑥𝑚)𝑛 = 𝑥𝑚𝑛 
Em palavras: 
 Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os 
expoentes são adicionados. 
 Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes 
são subtraídos. 
 Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os 
expoentes são multiplicados. 
Exemplos 
52 ∙ 54 = 52+4 = 56 
56
52
= 56−2 = 54 
(52)6 = 52∙6 = 512 
10. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 
1010 − 3 é: 
a) 88 
b) 89 
c) 91 
d) 95 
e) 97 
Resolução 
 
 
 
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Qual o significado de 𝑥10 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 
Com dez fatores “x”. 
Portanto, 1010 = 10.000.000.000 
1010 − 3 = 10.000.000.000 − 3 = 9.999.999.997 
A soma dos algarismos é 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 7 = 88. 
Letra A 
11. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando 
220+219
218
 , encontra-se: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 221 
Resolução 
Vamos relembrar algumas propriedades das potências. 
Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, 
repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de 
mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim, 
𝒙𝒂 ∙ 𝒙𝒃 = 𝒙𝒂+𝒃 
𝒙𝒂/𝒙𝒃 = 𝒙𝒂−𝒃 
E da mesma forma que 𝒙𝒂 ∙ 𝒙𝒃 = 𝒙𝒂+𝒃 , temos que 𝒙𝒂+𝒃 = 𝒙𝒂 ∙ 𝒙𝒃 (óbvio não?). 
Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão? 
Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto: 
220 = 218+2 = 218 ∙ 22 
219 = 218+1 = 218 ∙ 21 
220 + 219
218
=
218 ∙ 22 + 218 ∙ 21
218
 
Podemos colocar 218 em evidência: 
218 ∙ 22 + 218 ∙ 21
218
=
218 ∙ (22 + 21)
218
= 22 + 21 = 4 + 2 = 6 
 
 
 
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Letra C 
12. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão 
3𝑛−1+3𝑛−2+3𝑛−3
3𝑛+2+3𝑛+1+3𝑛
 
onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se oseguinte 
resultado: 
a) 1/3 
b) 1/27 
c) 3 
d) 27 
e) 1/9 
Resolução 
Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas 
na questão anterior. 
3𝑛−1 + 3𝑛−2 + 3𝑛−3
3𝑛+2 + 3𝑛+1 + 3𝑛
=
3𝑛 ∙ 3−1 + 3𝑛 ∙ 3−2 + 3𝑛 ∙ 3−3
3𝑛 ∙ 32 + 3𝑛 ∙ 31 + 3𝑛 ∙ 30
 
Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador. 
3𝑛 ∙ 3−1 + 3𝑛 ∙ 3−2 + 3𝑛 ∙ 3−3
3𝑛 ∙ 32 + 3𝑛 ∙ 31 + 3𝑛 ∙ 30
=
3𝑛 ∙ (3−1 + 3−2 + 3−3)
3𝑛 ∙ (32 + 31 + 30)
=
3−1 + 3−2 + 3−3
32 + 31 + 30
 
3−1 + 3−2 + 3−3
32 + 31 + 30
=
1
3 +
1
9 +
1
27
9 + 3 + 1
=
9 + 3 + 1
27
13
=
13
27
13/1
=
13
27
∙
1
13
=
1
27
 
Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil! 
Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de 𝑛 não influencia 
na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que 
vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o 
número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos. 
3𝑛−1 + 3𝑛−2 + 3𝑛−3
3𝑛+2 + 3𝑛+1 + 3𝑛
 
Esta é a expressão. Vamos substituir 𝑛 por 3. 
33−1 + 33−2 + 33−3
33+2 + 33+1 + 33
=
32 + 31 + 30
35 + 34 + 33
=
9 + 3 + 1
243 + 81 + 27
=
13
351
 
Simplificando por 13... 
13
351
=
1
27
 
 
 
 
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Bem melhor, não?! 
Letra B 
13. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 100,477 = 3 . O valor de 𝑥 
tal que 10𝑥 = 9.000 é: 
a) 3,628 
b) 3,746 
c) 3,882 
d) 3,015 
e) 3,954 
Resolução 
Perceba que 9.000 = 9 ∙ 1.000 = 32 ∙ 103 
Mas o enunciado nos disse que 3 = 100,477. 
Portanto: 
9.000 = 9 ∙ 1.000 = 32 ∙ 103 = (100,477)2 ∙ 103 
Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar 
a base e multiplicar os expoentes. 
9.000 = (100,477)2 ∙ 103 = 100,477×2 ∙ 103 = 100,954 ∙ 103 = 100,954+3 = 103,954 
10𝑥 = 9.000 
10𝑥 = 103,954 
𝑥 = 3,954 
Letra E 
1. Produtos Notáveis e fatoração 
 
Há alguns produtos de polinômios que ocorrem com muita frequência na 
álgebra e que são chamados de produtos notáveis. 
Quadrado da soma de dois termos 
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
 
 
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Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo 
termo, mais o quadrado do segundo termo. 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 + 2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) + (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 
Exemplo 1. Desenvolva (2𝑥 + 3𝑦)2. 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 = (2𝑥)2 = 4𝑥2 
2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 2 ∙ 2𝑥 ∙ 3𝑦 = 12𝑥𝑦 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (3𝑦)2 = 9𝑦2 
Resposta: (2𝑥 + 3𝑦)2 = 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 
Exemplo 2. Desenvolva (4𝑥3 + 2𝑦)2. 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 = (4𝑥3)2 = 16𝑥6 → 𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
Neste caso, para calcular (4𝑥3)2, conservamos a base e multiplicamos os expoentes! 
2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 2 ∙ 4𝑥3 ∙ 2𝑦 = 16𝑥3𝑦 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (2𝑦)2 = 4𝑦2 
Resposta: (4𝑥3 + 2𝑦)2 = 16𝑥6 + 16𝑥3𝑦 + 4𝑦2 
IMPORTANTE 
Note que (𝑎 + 𝑏)2 ≠ 𝑎2 + 𝑏2 
𝑎2 + 𝑏2 → 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 
𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠. 
(𝑎 + 𝑏)2 → 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜. 
 
 
Quadrado da diferença de dois termos 
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo 
termo, mais o quadrado do segundo termo. 
 
 
 
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(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 − 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 − 2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) + (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 
Exemplo 3. Desenvolva (4𝑚 − 3𝑛)2. 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 = (4𝑚)2 = 16𝑚2 
2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 2 ∙ 4𝑚 ∙ 3𝑛 = 24𝑚𝑛 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (3𝑛)2 = 9𝑛2 
Resposta: (4𝑚 − 3𝑛)2 = 16𝑚2 − 24𝑚𝑛 + 9𝑛2 
Produto da soma pela diferença de dois termos 
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 − 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏2 
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 − 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 − (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 
Exemplo 4. Desenvolva (2𝑎 + 3𝑏) ∙ (2𝑎 − 3𝑏). 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 = (2𝑎)2 = 4𝑎2 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (3𝑏)2 = 9𝑏2 
Resposta: (2𝑎 + 3𝑏) ∙ (2𝑎 − 3𝑏) = 4𝑎2 − 9𝑏2 
Cubo da soma de dois termos 
Para calcular (𝑎 + 𝑏)3 basta multiplicar (𝑎 + 𝑏)2 por (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)2 ∙ (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) ∙ (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, 
mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o 
cubo do segundo termo. 
 
 
 
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(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)3 + 3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) + 3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 + (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 
 
Exemplo 5. Desenvolva (2𝑥 + 3𝑦)3. 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)3 = (2𝑥)3 = 8𝑥3 
3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 3 ∙ (2𝑥)2 ∙ (3𝑦) = 36𝑥2𝑦 
3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = 3 ∙ 2𝑥 ∙ (3𝑦)2 = 54𝑥𝑦2 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 = (3𝑦)3 = 27𝑦3 
Resposta: (2𝑥 + 3𝑦)3 = 8𝑥3 + 36𝑥2𝑦 + 54𝑥𝑦2 + 27𝑦3 
Cubo da diferença de dois termos 
Para calcular (𝑎 − 𝑏)3 basta multiplicar (𝑎 − 𝑏)2 por (𝑎 − 𝑏) 
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)2 ∙ (𝑎 − 𝑏) 
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2) ∙ (𝑎 − 𝑏) 
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 𝑎2𝑏 − 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 − 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo 
termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, 
menos o cubo do segundo termo. O processo é praticamente igual ao caso 
anterior, só que os sinais vão se alternando. 
 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)3 − 3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) + 3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 − (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 
 
Exemplo 6. Desenvolva (3𝑥 − 4)3 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)3 = (3𝑥)3 = 27𝑥3 
3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 3 ∙ (3𝑥)2 ∙ 4 = 108𝑥2 
3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = 3 ∙ 3𝑥 ∙ (4)2 = 144𝑥 
 
 
 
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(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 = 43 = 64 
Resposta: (3𝑥 − 4)3 = 27𝑥3 − 108𝑥2 + 144𝑥 − 64 
14. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 
𝑎 + 𝑏 = 6 e 
1
𝑎
+
1
𝑏
=
4
5
. 
Então, 𝑎2 + 𝑏2 é igual a: 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 21 
e) 24 
Resolução 
1
𝑎
+
1
𝑏
=
4
5
 
Dica: sempre que tivermos frações em uma equação, devemos multiplicar todos 
os termos pelo m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores.No caso, 
𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏, 5) = 5𝑎𝑏 
Vamos multiplicar o primeiro termo por 5𝑎𝑏. 
1
𝑎
∙ 5𝑎𝑏 = 5𝑏 
Vamos multiplicar o segundo termo por 5𝑎𝑏. 
1
𝑏
∙ 5𝑎𝑏 = 5𝑎 
Finalmente, multiplicar o último termo por 5𝑎𝑏. 
4
5
∙ 5𝑎𝑏 = 4𝑎𝑏 
E equação ficará assim: 
5𝑏 + 5𝑎 = 4𝑎𝑏 
Colocando o número 5 em evidência: 
5 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 4𝑎𝑏 
Como o enunciado nos informou que 𝑎 + 𝑏 = 6: 
 
 
 
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4𝑎𝑏 = 5 ∙ 6 
4𝑎𝑏 = 30 
𝑎𝑏 = 7,5 
Agora vamos ao que nos interessa: calcular o valor de 𝑎2 + 𝑏2 
Vamos utilizar um artifício muito comum em questões deste tipo. Notou a 
semelhança da expressão 𝑎2 + 𝑏2 com a expressão (𝑎 + 𝑏)2? 
𝑎2 + 𝑏2 → 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 
𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠. 
(𝑎 + 𝑏)2 → 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜. 
Pois bem, esta expressão (𝑎 + 𝑏)2 é muito famosa em Matemática. É tão famosa 
e útil que é chamada de produto notável. 
Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Você está lembrado qual é o valor de 𝑎 + 𝑏? O enunciado nos informou que 
𝒂 + 𝒃 = 𝟔. E o valor de 𝑎𝑏, você está lembrado? Nós já calculamos e descobrimos 
que 𝒂𝒃 = 𝟕, 𝟓. 
(𝒂 + 𝒃)2 = 𝑎2 + 2𝒂𝒃 + 𝑏2 
(𝟔)2 = 𝑎2 + 2 ∙ 𝟕, 𝟓 + 𝑏2 
36 = 𝑎2 + 15 + 𝑏2 
36 − 15 = 𝑎2 + 𝑏2 
21 = 𝑎2 + 𝑏2 
Portanto, 𝑎2 + 𝑏2 = 21. 
Letra D 
15. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: 𝑎 + 𝑏 = 2 e 𝑎𝑏 = 1/2, 
𝑎3 + 𝑏3 vale: 
a) 5 
b) 5/2 
c) 2/5 
 
 
 
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d) 3 
e) 1/2 
Resolução 
Questão muito parecida com a questão anterior. Mesma banca, 3 anos depois... 
A banca foi gentil e agressiva simultaneamente. Gentil porque forneceu 
diretamente os valores de 𝑎 + 𝑏 e de 𝑎𝑏. Agressiva porque trocou o expoente da 
expressão pedida. Para calcular 𝑎3 + 𝑏3 vamos ter um pouco mais de trabalho. 
A conversa é bem parecida com a da questão passada. 
Notou a semelhança da expressão 𝑎3 + 𝑏3 com a expressão (𝑎 + 𝑏)3? 
𝑎3 + 𝑏3
→ 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠. 
(𝑎 + 𝑏)3
→ 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜. 
Pois bem, esta expressão (𝑎 + 𝑏)3 é muito famosa em Matemática. É tão famosa 
e útil que é chamada de produto notável. 
Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
“Nunca vou lembrar-me deste desenvolvimento na hora da prova!” 
Calma... Há uma saída: utilizar a força braçal! 
Para calcular (𝑎 + 𝑏)3 basta multiplicar (𝑎 + 𝑏)2 por (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)2 ∙ (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) ∙ (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular o valor de 𝑎3 + 𝑏3. 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Observe as duas parcelas do meio no segundo membro: 
3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 
 
 
 
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Podemos colocar a expressão 3𝑎𝑏 em evidência. 
3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 = 3𝑎𝑏 ∙ (𝑎 + 𝑏) 
Voltando ao produto notável: 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎𝑏 ∙ (𝑎 + 𝑏) + 𝑏3 
Sabendo que 𝒂 + 𝒃 = 𝟐 𝑒 𝒂𝒃 = 𝟏/𝟐: 
(𝒂 + 𝒃)3 = 𝑎3 + 3𝒂𝒃 ∙ (𝒂 + 𝒃) + 𝑏3 
(𝟐)3 = 𝑎3 + 3 ∙
𝟏
𝟐
∙ (𝟐) + 𝑏3 
8 = 𝑎3 + 3 + 𝑏3 
𝑎3 + 𝑏3 = 5. 
Letra A 
 
3. Radicais 
 
Se 𝑎 é um número não-negativo (𝑎 ≥ 0) e 𝑛 é um número natural maior que 1, 
então a raiz enésima de 𝑎 é um número 𝑏 não-negativo (𝑏 ≥ 0) tal que 𝑏𝑛 = 𝑎. 
Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito. 
√9 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 32 = 9. 
√32
5
= 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 25 = 32. 
√0
6
= 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 06 = 0. 
√𝑎
𝑛
= 𝑏 → 𝑛 é 𝑜 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒, 𝑎 é 𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒 𝑏 é 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧. 
Raízes de índice par 
Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer 
outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os 
exemplos: 
(+5)2 = 25 
 
 
 
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(−5)2 = 25 
Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5. 
Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um 
número positivo. 
Portanto: 
√25 = 5 (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
√25 = −5 (𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜) 
Desta maneira, é falso afirmar que √49 = ±7. 
Por outro lado, podemos escrever que −√25 = −5. Não é o radical que “causa” o 
sinal, e sim o sinal que o antecede. 
 
É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do 
radical for par (trabalhando com números reais). 
Por exemplo, √−16 não existe porque não há um número real que elevado ao 
quadrado dê −16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser 
negativo. 
Note a diferença: 
−√16 = −4 
√−16 → 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑚 ℝ 
Raízes de índice ímpar 
Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando 
negativo. 
√8
3
= 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 23 = 8 
√−8
3
= −2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−2)3 = −8 
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 → 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 → 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 
 
 
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Propriedades 
Considere 𝑎, 𝑏 números reais não-negativos (𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0), 𝑛 um número natural 
maior que 1 e 𝑚 um número inteiro qualquer. 
√𝑎
𝑛
∙ √𝑏
𝑛
= √𝑎𝑏
𝑛
 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
→ 𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 ≠ 0 
( √𝑎
𝑛
)
𝑚
= √𝑎𝑚
𝑛
 
√ √𝑎
𝑛𝑚
= √𝑎
𝑚𝑛
 
Efetue √3 ∙ (√12 − 2√27 + 3√75) 
√3 ∙ √12 − 2√3 ∙ √27 + 3√3 ∙ √75 = √3 ∙ 12 − 2√3 ∙ 27 + 3√3 ∙ 75 = 
= √36 − 2√81 + 3√225 = 6 − 2 ∙ 9 + 3 ∙ 15 = 33 
Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo: 
√28 = √4 ∙ 7 = √4 ∙ √7 = 2√7 
√300 = √100 ∙ 3 = √100 ∙ √3 = 10√3 
√0,444 … = √
4
9
=
√4
√9
=
2
3
 
Potência de expoente racional 
Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número 
natural não nulo, temos: 
√𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 
Observe: 
 
 
 
Exemplos: 
√𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 
 
 
 
 
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3
1
2 = √31
2
= √3 
5
2
3 = √52
3
= √25
3
 
270,3333… = 27
1
3 = √27
3
= 3 
Racionalização de Denominadores 
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que 
aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração. 
Grosso modo, racionalizar é “tirar” o radical do denominador. 
Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração 
por um número chamado fator racionalizante do denominador. 
1º caso → Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2 
Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, 
multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, 
assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical. 
Lembre-se que se 𝑎 é um número não-negativo, √𝑎 ∙ √𝑎 = √𝑎2 = 𝑎. 
Veja os exemplos: 
8
√2
=
8 ∙ √𝟐
√2 ∙ √𝟐
=
8√2
2
= 4√2 
10
2√5
=
10 ∙ √𝟓
2√5 ∙ √𝟓
=
10√5
2 ∙ 5
=
10√5
10
= √5O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!! 
2º caso → Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 
diferente de 2 
Lembre-se que se a é um número não-negativo, √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎. 
8
√23
5 =
8 ∙ √𝟐𝟐
𝟓
√23
5
∙ √𝟐𝟐
𝟓 =
8√4
5
√25
5 =
8√4
5
2
= 4√4
5
 
Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 − 3 = 2 
3º caso → Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de 
dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical 
 
 
 
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Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um “produto notável”. 
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 − 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 − (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 
Pois bem, vamos ver um exemplo: 
6
√5 + √2
=
6 ∙ (√𝟓 − √𝟐)
(√5 + √2) ∙ (√𝟓 − √𝟐)
=
6 ∙ (√5 − √2)
(√5)
2
− (√2)
2 =
6 ∙ (√5 − √2)
5 − 2
=
6 ∙ (√5 − √2)
3
= 
= 2 ∙ (√5 − √2) = 2√5 − 2√2 
7
4 − √3
=
7 ∙ (𝟒 + √𝟑)
(4 − √3) ∙ (𝟒 + √𝟑)
=
7 ∙ (4 + √3)
(4)2 − (√3)
2 =
7 ∙ (4 + √3)
16 − 3
=
7 ∙ (4 + √3)
13
 
Observe que o fator racionalizante de √5 + √2 é √𝟓 − √𝟐 (troca o sinal). 
O fator racionalizante de 4 − √3 é 𝟒 + √𝟑. 
16. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade 
√7+√5
√7−√5
= 𝑎 + √𝑏 , o valor de 𝑎2 − 𝑏 é: 
a) 1 
b) 3 
c) 3 
d) 5 
e) 7 
Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o 
denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou 
seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o 
radical. 
4
√2
 
Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o 
denominador significar “acabar com o número irracional do denominador”. 
Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por √2. 
4
√2
∙
√2
√2
=
4√2
2
= 2√2 
 
 
 
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Desta forma: 
4
√2
= 2√2 
Vamos lembrar o seguinte produto notável: 
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o 
do enunciado. 
Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos 
multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre 
que tivermos uma diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o 
numerador e o denominador pela soma dos radicais. 
√7 + √5
√7 − √5
∙
√7 + √5
√7 + √5
=
√49 + √35 + √35 + √25
(√7)
2
− (√5)
2 =
7 + 2√35 + 5
7 − 5
=
12 + 2√35
2
 
√7 + √5
√7 − √5
= 6 + √35 
Como 
√7+√5
√7−√5
= 𝑎 + √𝑏 , concluímos que 𝑎 = 6 𝑒 𝑏 = 35 
O valor de 𝑎2 − 𝑏 é 62 − 35 = 36 − 35 = 1 
Letra A 
17. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números 
racionais. Sabe-se, também, que 
𝑧 =
𝑥 − 2√3
3 − 𝑦√3
 . 
Com essas informações, conclui-se que: 
a) 𝑥 ∙ 𝑦 = −6 
b) 𝑥 + 𝑦 = 6 
c) 𝑥 ∙ 𝑦 = 0 
d) 𝑥/𝑦 = 6 
e) 𝑥 ∙ 𝑦 = 6 
Resolução 
Racionalizando o denominador: 
 
 
 
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𝑧 =
𝑥 − 2√3
3 − 𝑦√3
 ∙
3 + 𝑦√3
3 + 𝑦√3
 
𝑧 =
3𝑥 + 𝑥𝑦√3 − 6√3 − 6𝑦
9 − 3𝑦2
 
𝑧 =
(3𝑥 − 6𝑦) + (𝑥𝑦 − 6) ∙ √3
9 − 3𝑦2
 
Para que z seja racional, o número que multiplica √3 deve ser igual a 0. 
Portanto, 
𝑥𝑦 − 6 = 0 
𝑥𝑦 = 6 
Letra E 
Comparação de radicais 
 
Para comparar radicais (decidir quem é o maior ou o menor) devemos utilizar a 
seguinte propriedade: 
√𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚𝑝
𝑛𝑝
 
Isto significa que podemos alterar o índice da raiz. Para tanto, devemos 
multiplicar (ou dividir) o índice por certo número p e, para não alterar o valor 
da raiz, devemos multiplicar (ou dividir) o expoente do radicando pelo mesmo 
número p. 
Exemplo: 
√24
3
= √24∙2
3∙2
= √28
6
 
Exemplo: Quem é maior: √2
5
 ou √3
4
 ? 
Ora, os índices são diferentes. Para fazer a comparação, devemos reduzir os 
radicais ao mesmo índice. Devemos pensar em um número que seja múltiplo de 
4 e de 5. Que tal 20? 
Devemos raciocinar da seguinte maneira: Qual o número que multiplicado por 5 
é igual a 20? Este número é 4. Portanto, devemos multiplicar o índice e o 
expoente do primeiro radical por 4. 
 
 
 
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√2
5
= √24
5∙4
= √16
20
 
Vejamos o segundo radical. Qual o número que multiplicado por 4 é igual a 20? 
Este número é 5. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do 
segundo radical por 5. 
√35
4∙5
= √243
20
 
Desta forma: perguntar quem é maior: √2
5
 ou √3
4
 é o mesmo que perguntar 
quem é maior: √16
20
 ou √243
20
? 
Como √243
20
> √16
20
, então √3
4
> √2
5
 
18. (Secretaria Municipal de Fazenda 2005/FJG) Os valores √4
2
, √8
6
 𝑒 √16
3
, quando 
ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação: 
a) √4
2
> √16
3
> √8
6
 
b) √4
2
> √8
6
> √16
3
 
c) √16
3
> √4
2
> √8
6
 
d)√8
6
> √4
2
> √16
3
 
Resolução 
Para comparar os radicais, devemos reduzi-los ao mesmo índice. Para começar, 
devemos pensar em um número que seja múltiplo dos índices. 
Qual um múltiplo comum de 2, 6 e 3? Que tal 6? 
Devemos multiplicar 2 por 3 para obter 6. 
Devemos multiplicar 6 por 1 para obter 6. 
Devemos multiplicar 3 por 2 para obter 6. 
Desta forma: 
√4
2
= √43
2∙3
= √64
6
 
√16
3
= √162
3∙2
= √256
6
 
Facilmente percebemos que: 
√256
6
> √64
6
> √8
6
 
Portanto: 
√16
3
> √4
2
> √8
6
 
 
 
 
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Letra C 
Máximo Divisor Comum 
 
Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o 
primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do 
primeiro. Desta forma temos que: 
15 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 3 
3 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 15 
O conjunto dos divisores de um número é aquele que comporta todos os 
divisores do número em questão. Por exemplo, o conjunto dos divisores de 6 é: 
𝐷6 = {1,2,3,6} 
O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo 
divisor comum (m.d.c.). 
Vejamos... 
Qual é o m.d.c. entre 8 e 12? 
Vamos listar os divisores de cada número. 
𝐷8 = {𝟏, 𝟐, 𝟒, 8} 
𝐷12 = {𝟏, 𝟐, 3, 𝟒, 6,12} 
Os números em vermelho são os divisores comuns de 8 e 12. Dentre os 
divisores comuns, qual é o maior? A resposta é 4. Portanto, 𝑚𝑑𝑐(8,12) = 4. 
Vamos aprender um método mais rápido para calcular o m.d.c. na resolução 
das questões. 
19. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 
m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m 
cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os 
fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior 
possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa 
maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a 
(A) 24. 
(B) 36. 
(C) 49. 
(D) 64. 
(E) 89. 
 
 
 
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Resolução 
Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que 
podemos dividir o rolo do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto? É 
óbvio que não! E por que não? Porque 10 não é um divisor de 84. 
Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem 
que haja resto? Sim! E por que sim? Porque 4 é um divisor de 84, ou seja, 84 
dividido por 4 é igual a 21 e resto 0. 
Seguindo este raciocínio,o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do 
comprimento de cada rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos 
querendo calcular deve ser um divisor de 84, 144 e 60. Temos que calcular um 
número que seja divisor comum destes três números. O problema é que há 
vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4. 
O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior 
possível. 
Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum 
de 84, 144 e 60. Vocês conhecem este número como MDC: M de maior, 
D de divisor e C de comum. 
Vamos calcular o 𝑚𝑑𝑐(84,144,60). Utilizaremos o método da fatoração 
simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três 
números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos 
procurar números que dividam simultaneamente os três números. 
Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2? 
 
84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 
2 é igual a 30. 
 
 
Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente? 
42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 
é igual a 15. 
 
 
84, 144 , 60 2 
42, 72 , 30 
84, 144 , 60 2 
42, 72 , 30 2 
21, 36, 15 
 
 
 
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Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3? 
21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é 
igual a 5. 
 
 
 
Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 
simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos 
multiplicar 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12. 
Conclusão: cada pedaço terá 12 metros. 
O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo 
do fio X será dividido em: 
84
12
= 7 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 
Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 ∙ 7 = 𝟐𝟖 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔. 
O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada 
rolo do fio Y será dividido em: 
144
12
= 12 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 
Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 ∙ 12 = 𝟑𝟔 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔. 
O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo 
do fio Z será dividido em: 
60
12
= 5 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 
Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 ∙ 5 = 𝟐𝟓 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔. 
Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a 
28 + 36 + 25 = 89. 
Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o 
seguinte raciocínio para calcular o total de pedaços. 
Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é 
igual a 4 ∙ 84𝑚 = 336 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
84, 144 , 60 2 
42, 72 , 30 2 
21, 36, 15 3 
7, 12, 5 
 
 
 
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Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y 
é igual a 3 ∙ 144𝑚 = 432 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é 
igual a 5 ∙ 60𝑚 = 300 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a 336 + 432 + 300 = 1.068 𝑚. 
Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos: 
1.068
12
= 89 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 
Letra E 
20. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no 
setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de 
detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo 
esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem 
misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados 
(A) 5 grupos. 
(B) 8 grupos. 
(C) 10 grupos. 
(D) 12 grupos. 
(E) 13 grupos. 
Resolução 
Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos 
encontrar um número que seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para que 
não haja resto). Além disso, este divisor deve ser o maior possível. Devemos, 
portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números 240 e 160. O 
processo para o cálculo do MDC está descrito na questão anterior. Devemos 
fatorar os números apenas por números que dividam os dois números 
simultaneamente. 
 
 
 
 
Portanto, 𝑚𝑑𝑐(240,160) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 80. Isto significa que cada grupo terá 80 
detentos. 
240, 160 2 
120, 80 2 
 60, 40 2 
 30, 20 2 
 15, 10 5 
 3, 2 
 
 
 
 
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Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos (observe que 400 
dividido por 80 é igual a 5). 
Letra A 
Mínimo Múltiplo Comum 
 
Para obtermos os múltiplos do número 4, multiplicamos cada elemento do 
conjunto dos números naturais pelo número 4. 
4 × 0 = 0 
4 × 1 = 4 
4 × 2 = 8 
4 × 3 = 12 
4 × 4 = 16 
⋮ 
Os múltiplos de 4 são {0,4,8,12,16,20,24, … }. 
Percebe-se facilmente que esse conjunto tem infinitos elementos. 
Devemos nos lembrar dos seguintes fatos: 
 O zero é múltiplo de qualquer número. 
 Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo. 
 O único múltiplo de zero é o próprio zero. 
O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números 
chama-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.). 
Qual o m.m.c. entre 8 e 12? 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 8 = {0,8,16, 𝟐𝟒, 32,40, 𝟒𝟖, 56,64, 𝟕𝟐, 80, … } 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 12 = {0,12, 𝟐𝟒, 36, 𝟒𝟖, 60, 𝟕𝟐, 84, … } 
Observe que existem infinitos múltiplos comuns não-nulos. Dentre todos os 
múltiplos comuns não-nulos, o menor é 24. Portanto, 𝑚𝑚𝑐(8,12) = 24. 
Normalmente os problemas envolvendo mmc são aqueles que surgem 
periodicidades. Por exemplo: 
 
 
 
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Imagine que Guilherme tenha folga no trabalho a cada 8 dias. Sua esposa 
Manuella folga no seu trabalho a cada 12 dias. Se os dois folgaram juntos hoje, 
quando folgarão juntos novamente? 
A resposta é dada pelo mmc. Os dois folgarão juntos novamente daqui a 24 
dias! 
Obviamente eles não folgarão juntos APENAS daqui a 24 dias. Esta é apenas a 
PRÓXIMA vez em que folgarão juntos. Pelo conjunto dos múltiplos que escrevi 
anteriormente, percebemos que eles também daqui a 48 dias, daqui a 72 dias, 
etc. 
O processo para calcular o mmc é muito parecido com o processo para calcular 
o mdc, utilizando fatoração simultânea. A diferença é que no cálculo do mmc 
nós continuamos a fatoração até que não seja mais possível fatorar. 
Vejamos: 
 
 
Devemos pensar em um número que divida os dois simultaneamente. Que tal 
2? 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos agora pensar em um número que divida simultaneamente 4 e 6. Que 
tal 2? 
 
 
 
 
 
 
8, 12 
 
 
8, 12 2 
4, 6 
 
 
8, 12 2 
4, 6 2 
2, 3 
 
 
 
 
 
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Agora não temos mais como dividir 2 e 3 pelo mesmo número. Vamos continuar 
a fatoração. Dividindo por 2 (repetimos o 3). 
 
 
 
 
 
 
E agora dividimos por 3. 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, 𝑚𝑚𝑐(8,12) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 
21. (Instituto Butantan 2010/VUNESP) Um paciente recebe 3 medicamentos, 
todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o 
terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do 
dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, 
no mês de novembro de 2009, dia 
(A) 28, às 19 horas. 
(B) 28, às 23 horas. 
(C) 29, às 7 horas. 
(D) 29, às 11 horas. 
(E) 30, às 7 horas. 
Resolução 
Para calcular o tempo decoincidência dos eventos (período comum) devemos 
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos. 
 
 
 
 
8, 12 2 
4, 6 2 
2, 3 2 
1, 3 
 
 
8, 12 2 
4, 6 2 
2, 3 2 
1, 3 3 
1, 1 
 
 
4, 8, 10 2 
2, 4, 5 2 
1, 2, 5 2 
1, 1, 5 5 
1, 1, 1 
 
 
 
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Desta forma, 𝑚. 𝑚. 𝑐. (4,8,10) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 40 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. Isto significa que os 3 
medicamentos chegam juntos a cada 40 horas. Ele recebeu os medicamentos 
juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. 
Ora, sabemos que 40 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 1 𝑑𝑖𝑎 + 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de 
novembro de 2009. 
7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov. 
de 2009. 
Letra B 
22. (Agente Fiscalização Sanitária – Pref. de Sorocaba 2010/VUNESP) Antônio, 
Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e 
fazem plantão, respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam 
juntos no dia 27 de março. O próximo plantão, imediatamente após esse, que 
os três farão juntos, será no dia 
(A) 15 de maio 
(B) 26 de maio 
(C) 25 de junho 
(D) 30 de junho 
(E) 27 de julho 
Resolução 
Para calcular o período que os três trabalham juntos, devemos calcular o 
mínimo múltiplo comum de 10, 15 e 18. 
 
 
 
 
Assim, 𝑚𝑚𝑐(10,15,18) = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 90 dias. Observe que o problema não 
considera meses de 30 dias. Devemos considerar a quantidade de dias que 
cada mês realmente tem. 
Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um 
processo mnemônico muito fácil para a memorização destes meses. 
 
Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo. 
10,15, 18 2 
5, 15, 9 3 
5, 5, 3 3 
5, 5, 1 5 
1, 1, 1 
 
 
 
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Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do 
dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três 
reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo: 
 
 
 
Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como 
sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante, 
conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
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Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não 
tem mais “espaço” para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma 
coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo: 
 
 
 
Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que 
estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 
ou 29 dias). 
Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. Como o mês de março possui 31 
dias, então vamos contar 4 dias em março. 
O mês de abril tem 30 dias e o mês de maio tem 31 dias. Já contamos 4 + 30 +
31 = 65 𝑑𝑖𝑎𝑠. Para completar os 90 dias, precisamos de 90 − 65 = 25 dias, que 
serão contados em junho. Portanto, próximo plantão, imediatamente após 
esse, que os três farão juntos, será no dia 25 de junho. 
 
Letra C 
 
23. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Três agentes penitenciários fazem rondas 
noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de 
controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 
 
 
 
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18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam 
simultaneamente o relógio de controle a cada 
(A) 1 h 24 min. 
(B) 1 h 18 min. 
(C) 1 h 12 min. 
(D) 1 h 06 min. 
(E) 1 h. 
Resolução 
Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos 
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos. 
 
 
 
 
Desta forma, 𝑚. 𝑚. 𝑐. (36,24,18) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 72 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
72 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑚𝑖𝑛 + 12 𝑚𝑖𝑛 = 1ℎ 12 𝑚𝑖𝑛 
Letra C 
24. (Técnico Administrativo TRT 24ª Região 2011/FCC) Sabe-se que Vitor e 
Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, 
sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 
dias. Assim sendo, se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram 
de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência 
NÃO ocorrerá em 
(A) 18 de maio. 
(B) 24 de abril. 
(C) 31 de março. 
(D) 10 de fevereiro. 
(E) 18 de janeiro. 
Resolução 
 
 
 
36, 24, 18 2 
18. 12, 9 2 
 9, 6, 9 2 
 9, 3, 9 3 
 3, 1, 3 3 
1, 1 , 1 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA PARA IBGE 
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O intervalo das coincidências é calculado a partir do M.M.C. dos períodos. 
6, 8 2 
3, 4 2 
3, 2 2 
3, 1 3 
1,1 
Assim, 𝑚𝑚𝑐(6,8) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24. Ou seja, os plantões coincidem a cada 24 dias. 
 
Houve uma coincidência no dia 25 de dezembro de 2010. Vamos avançar de 24 
em 24 dias. 
A próxima coincidência será no dia 18 de janeiro (6 dias de dezembro mais 18 
dias de janeiro = 24 dias). 
Em seguida, há uma coincidência no dia 11 de fevereiro (13 dias em janeiro 
mais 11 dias de fevereiro = 24 dias). 
 
Já podemos marcar a alternativa D. 
 
A próxima coincidência será no dia 7 de março (17 dias em fevereiro mais 7 
dias de março = 24 dias). 
Como 7 + 24 = 31, então a próxima coincidência é no dia 31 de março. 
Correndo mais 24 dias, chegamos no dia 24 de abril. 
Finalmente, a próxima coincidência será no dia 18 de maio (6 dias em abril + 
18 dias de maio = 24 dias). 
 
Gabarito: D 
Sistemas Métricos 
 
25. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a 
cerca de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a 
uma altura mais próxima de: 
a) 6km 
b) 7km 
c) 8km 
d) 9km 
e) 10km 
Resolução 
 
 
 
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30.000 pés = 30.000 x 30,48 cm = 914.440 cm. Para transformar de 
centímetro para metro devemos dividir o resultado por 100. Assim, 
914.440 cm = 9.144,40 m. E para transformar de metro para 
quilometro devemos dividir o resultado por mil. Dessa forma, 9.144,40 
m = 9,14440 km. 
Letra D 
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro. 
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km). 
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
km hm dam m dm cm mm 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 10 a cada passagem. 
Então para 914.440 cm serem transformados em quilômetros, devemos dividir 
por 100.000 (5 casas). 914.440 cm = 9,14440 km. 
Significados dos prefixos: 
k  quilo (1000) 
h  hecto (100) 
da  deca (10) 
d  deci (1/10) 
c  centi (1/100) 
m  mili (1/1000) 
O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do 
litro e grama. 
kl hl dal l dl cl ml 
kg hg dag g dg cg mg 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 10 a cada passagem. 
 
 
 
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