Callen Questão 4_7/2

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Callen – Questão 4.7-2
o Calcule o trabalho e o calor transferidos em cada estágio do
Ciclo de Carnot para o sistema auxiliar sendo um cilindro
vazio (contendo somente radiação eletromagnética). A
primeira etapa do ciclo é novamente especificada como
uma expansão de Va para Vb. Todos os resultados são
expressos nos termos de Va, Vb, Th e Tc.
o Mostre que a relação entre a transferência de trabalho total
e a transferência de calor da primeira etapa é a eficiência
de Carnot.
o Na seção 3-6 do Callen (pág. 78-79) podemos encontrar as equações
de estado para uma radiação eletromagnética.
𝑈 = 𝑏𝑉𝑇4 𝑒 𝑆 =
4
3
𝑏
1
4𝑈
3
4𝑉
1
4
o Os dados do problema são em termo de T e V, então precisamos de S
= S (T, V, N) e não de S = S (U, V, N):
𝑆 =
4
3
𝑏
1
4(𝑏𝑉𝑇4)𝑉
1
4
𝑆 = 𝑆 𝑇, 𝑉, 𝑁
𝑆 =
4
3
𝑏
1
4 𝑏𝑉𝑇4 𝑉
1
4
𝑆 =
4
3
𝑏𝑉𝑇3
o Portanto, as equações serão:
𝑆 =
4
3
𝑏𝑉𝑇3 𝑒 𝑈 = 𝑏𝑉𝑇4
(𝑒𝑞. 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑜𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎)
o 1ª etapa do ciclo:
O cilindro com radiação eletromagnética é expandido
diatermicamente de um volume Va até um volume Vb com T = Th.
Variação da entropia de A-B:
∆𝑆𝐴𝐵 = 𝑆𝐵 − 𝑆𝐴
sendo 𝑆𝐴 =
4
3
𝑏𝑉𝐴𝑇ℎ
3 e 𝑆𝐵 =
4
3
𝑏𝑉𝐵𝑇ℎ
3:
∆𝑆𝐴𝐵 =
4
3
𝑏 𝑇ℎ3(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)
o 1ª etapa do ciclo:
A variação da energia interna ∆U será:
∆𝑈𝐴𝐵 = 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴
sendo 𝑈𝐴 = 𝑏𝑉𝐴𝑇ℎ
4 e 𝑈𝐵 = 𝑏𝑉𝐵𝑇ℎ
4:
∆𝑈𝐴𝐵= 𝑏𝑇ℎ
4 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
A transferência de calor de A para B:
𝑄𝐴𝐵 = 𝑇ℎ∆𝑆𝐴𝐵 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 ∆𝑄 = 𝑇∆𝑆
o 1ª etapa do ciclo:
𝑄𝐴𝐵 = 𝑇ℎ∆𝑆𝐴𝐵 → 𝑄𝐴𝐵 = 𝑇ℎ.
4
3
𝑏 𝑇ℎ3 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
𝑄𝐴𝐵 =
4
3
𝑇ℎ4𝑏(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)
O trabalho de A-B:
∆𝑄 = ∆𝑈 − ∆𝑊
𝑊𝐴𝐵 = ∆𝑈𝐴𝐵 − ∆𝑄𝐴𝐵
o 1ª etapa do ciclo:
𝑊𝐴𝐵 = 𝑏𝑇ℎ
4 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 −
4
3
𝑇ℎ4𝑏 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
𝑊𝐴𝐵 = −
1
3
𝑏𝑇ℎ4(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)
Logo, para a 1ª etapa do ciclo, temos que:
𝑄𝐴𝐵 =
4
3
𝑇ℎ4𝑏 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 𝑒 𝑊𝐴𝐵 = −
1
3
𝑏𝑇ℎ4(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)
o 2ª etapa do ciclo:
O cilindro com radiação eletromagnética é expandido
adiabaticamente (S = constante) levando a radiação eletromagnética a
uma temperatura Tc, enquanto o volume aumenta para Vc
Como a expansão é adiabática, 𝑄𝐵𝐶 𝑒 ∆𝑆𝐵𝐶 𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 0.
Pode-se então obter Vc:
∆𝑆𝐵𝐶 = 𝑆𝐶 − 𝑆𝐵 = 0
o 2ª etapa do ciclo:
∆𝑆𝐵𝐶 = 𝑆𝐶 − 𝑆𝐵 = 0
sendo 𝑆𝐵𝐶 =
4
3
𝑏𝑉𝐵𝑇ℎ
3 𝑒 𝑆𝐶 =
4
3
𝑏𝑉𝐶𝑇𝐶
3:
∆𝑆𝐵𝐶 =
4
3
𝑏𝑉𝐶𝑇𝑐
3 −
4
3
𝑏𝑉𝐵𝑇ℎ
3
∆𝑆𝐵𝐶 =
4
3
𝑏(𝑉𝐶𝑇𝑐
3 − 𝑉𝐵𝑇ℎ
3)
o 2ª etapa do ciclo:
𝑉𝐶𝑇𝑐
3 = 𝑉𝑏𝑇ℎ
3
𝑉𝐶 = 𝑉𝑏
𝑇ℎ
𝑇𝐶
3
A variação da energia interna de B-C:
∆𝑈𝐵𝐶 = 𝑈𝐶 − 𝑈𝐵
sendo 𝑈𝐵 = 𝑏𝑉𝐵𝑇ℎ
4 𝑒 𝑈𝐶 = 𝑏𝑉𝐶𝑇𝑐
4
o 2ª etapa do ciclo:
∆𝑈𝐵𝐶 = 𝑈𝐶 − 𝑈𝐵
∆𝑈𝐵𝐶 = 𝑏𝑉𝐶𝑇𝑐
4 − 𝑏𝑉𝐵𝑇ℎ
4
∆𝑈𝐵𝐶 = 𝑏 𝑉𝐶𝑇𝑐
4 − 𝑉𝐵𝑇ℎ
4
O trabalho de B-C vai ser:
𝑊𝐵𝐶 = ∆𝑈𝐵𝐶 − 𝑄𝐵𝐶
𝑊𝐵𝐶 = 𝑏 𝑉𝐶𝑇𝑐
4 − 𝑉𝐵𝑇ℎ
4 − 0
𝑊𝐵𝐶 = 𝑏 𝑉𝐶𝑇𝑐
4 − 𝑉𝐵𝑇ℎ
4
o 2ª etapa do ciclo:
Assim, para a 2ª fase do ciclo temos:
𝑊𝐵𝐶 = 𝑏 𝑉𝐶𝑇𝑐
4 − 𝑉𝐵𝑇ℎ
4 𝑒 𝑄𝐵𝐶 = 0
o 3ª etapa do ciclo:
Nessa etapa, a radiação eletromagnética sofre uma compressão
isotérmica (T=Tc) para um volume Vd.
O volume Vd pode ser obtido através da curva D → A, que é uma
curva isentrópica ∆𝑆𝐷𝐴 = 0 .
o 3ª etapa do ciclo:
∆𝑆𝐷𝐴 = 𝑆𝐴 − 𝑆𝐷 = 0
em que 𝑆𝐴 =
4
3
𝑏𝑉𝐴𝑇ℎ
3 𝑒 𝑆𝐷 =
4
3
𝑏𝑉𝐷𝑇𝑐
3:
∆𝑆𝐷𝐴 =
4
3
𝑏𝑉𝐴𝑇ℎ
3 −
4
3
𝑏𝑉𝐷𝑇𝑐
3 = 0
∆𝑆𝐷𝐴 =
4
3
𝑏 𝑉𝐴𝑇ℎ
3 − 𝑉𝐷𝑇𝑐
3 = 0
o 3ª etapa do ciclo:
V𝐷𝑇𝑐
3 = 𝑉𝐴𝑇ℎ
3
V𝐷 = 𝑉𝐴
𝑇ℎ
𝑇𝑐
3
A variação da entropia nessa etapa é:
∆𝑆𝐶𝐷 =
4
3
𝑏𝑇𝑐3(𝑉𝐷 − 𝑉𝐶)
o 3ª etapa do ciclo:
∆𝑆𝐶𝐷 = 𝑆𝐷 − 𝑆𝐶
em que 𝑆𝐶𝐷 =
4
3
𝑏𝑉𝐶𝑇𝑐
3 𝑒 𝑆𝐷 =
4
3
𝑏𝑉𝐷𝑇𝑐
3:
∆𝑆𝐶𝐷 =
4
3
𝑏𝑇𝑐3 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶
A variação da energia interna de C-D:
∆𝑈𝐶𝐷 = 𝑈𝐷 − 𝑈𝐶
em que 𝑈𝐶 = 𝑏 𝑉𝐶𝑇𝑐
4 𝑒 𝑈𝐷 = 𝑏 𝑉𝐷𝑇𝑐
4
o 3ª etapa do ciclo:
∆𝑈𝐶𝐷 = 𝑏 𝑇𝑐
4(𝑈𝐷 − 𝑈𝐶)
A transferência de calor será:
𝑄𝐶𝐷 = 𝑇𝑐 ∆𝑆𝐶𝐷
𝑄𝐶𝐷 =
4
3
𝑏 𝑇𝑐4 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶
Transferência de trabalho:
𝑊𝐶𝐷 = ∆𝑈𝐶𝐷 − 𝑄𝐶𝐷
o 3ª etapa do ciclo:
𝑊𝐶𝐷 = ∆𝑈𝐶𝐷 − 𝑄𝐶𝐷
𝑊𝐶𝐷 = 𝑏 𝑇𝑐
4 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 −
4
3
𝑏 𝑇𝑐4(𝑉𝐷 − 𝑉𝐶)
𝑊𝐶𝐷 = −
1
3
𝑏 𝑇𝑐4(𝑉𝐷 − 𝑉𝐶)
Temos, portanto, para a 3ª etapa do ciclo:
𝑄𝐶𝐷 =
4
3
𝑏 𝑇𝑐4 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 𝑒 𝑊𝐶𝐷 = −
1
3
𝑏 𝑇𝑐4 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶
o 4ª etapa do ciclo:
A radiação eletromagnética sofre uma compressão adiabática (∆S
=0) de uma temperatura Tc para Th e o volume vai de Vd para Va.
Como o processo é adiabática, 𝑄𝐷𝐴 𝑒 ∆𝑆𝐷𝐴 𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 0.
A variação da energia interna será de:
∆𝑈𝐷𝐴= 𝑈𝐴 − 𝑈𝐷
no qual 𝑈𝐴 = 𝑏 𝑉𝐴𝑇ℎ
4 𝑒 𝑈𝐷 = 𝑏 𝑉𝐷𝑇𝑐
4
o 4ª etapa do ciclo:
∆𝑈𝐷𝐴= 𝑈𝐴 − 𝑈𝐷 → ∆𝑈𝐷𝐴 = 𝑏 (𝑉𝐴𝑇ℎ
4 − 𝑉𝐷𝑇𝑐
4)
Transferência de trabalho de D-A:
𝑊𝐷𝐴 = ∆𝑈𝐷𝐴 − 𝑄𝐷𝐴
𝑊𝐷𝐴 = 𝑏 𝑉𝐴𝑇ℎ
4 − 𝑉𝐷𝑇𝑐
4 − 0
𝑊𝐷𝐴 = 𝑏 (𝑉𝐴𝑇ℎ
4 − 𝑉𝐷𝑇𝑐
4)
Para a 4ª fase do ciclo, temos:
𝑄𝐷𝐴 = 0 𝑒 𝑊𝐷𝐴 = 𝑏 (𝑉𝐴𝑇ℎ
4 − 𝑉𝐷𝑇𝑐
4)
o Mostre que a relação entre a transferência de trabalho total e a
transferência de calor da primeira etapa é a eficiência de
Carnot.
A eficiência é dada por −
𝑊𝑇
𝑄𝐻
Sendo:
𝑄𝐻 = 𝑄𝐴𝐵 =
4
3
𝑇ℎ4𝑏(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)
𝑊𝑇 = 𝑊𝐴𝐵 +𝑊𝐵𝐶 +𝑊𝐶𝐷 +𝑊𝐷𝐴
𝑊𝑇 = 𝑊𝐴𝐵 +𝑊𝐵𝐶 +𝑊𝐶𝐷 +𝑊𝐷𝐴
𝑊𝑇 = −
1
3
𝑏𝑇ℎ4 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 + 𝑏 𝑉𝐵𝑇ℎ
3 𝑇𝐶 − 𝑇𝐻 +
−
1
3
𝑏 𝑇ℎ3𝑇𝐶 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 + 𝑏 𝑉𝐴𝑇ℎ
3 𝑇𝐶 − 𝑇𝐻
𝑊𝑇 = (𝑇𝐶−𝑇𝐻)(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)𝑏 𝑇ℎ
3 + (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴)
1
3
𝑏𝑇ℎ3(𝑇𝐶 − 𝑇𝐻)
𝑊𝑇 =
4
3
𝑇𝐶 − 𝑇𝐻 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 𝑏 𝑇ℎ
3
Então,
−
𝑊𝑇
𝑄𝐴𝐵
=
4
3
𝑇𝐶 − 𝑇𝐻 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 𝑏𝑇ℎ
3
4
3
𝑏 𝑇ℎ4 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
−
𝑇𝐶 − 𝑇𝐻
𝑇𝐻
→ 1 −
𝑇𝐶
𝑇𝐻