Exercícios de Física IV - Circuitos RLC

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
INSTITUTO DE FÍSICA
Lista de Exerćıcios de F́ısica IV
prof. Marcos Antônio de Castro
1. CORRENTE ALTERNADA
1.1 Um indutor de 5,00 H com resistência despreźıvel é conectado a uma
fonte ac com amplitude de voltagem igual a 60,0 V e frequência que pode
variar. (a) Calcule a amplitude de corrente quando a frequência angular
for: 100 rad/s; 1000 rad/s; 10.000 rad/s. (b) Faça um gráfico de I × ω em
escala log-log na faixa dos valores dados no item (a).
1.2 Um capacitor de 2,20 µF está conectado à fonte ac do problema an-
terior. (a) Calcule a amplitude da corrente quando a frequência angular
for: 100 rad/s; 1000 rad/s; 10.000 rad/s. (b) Faça um gráfico de I × ω em
escala log-log na faixa dos valores dados no item (a).
1.3 Um circuito contém um capacitor ligado a uma voltagem ac com am-
plitude de 170 V e frequência igual a 60,0 Hz. Determine a capacitância
para que a amplitude da corrente seja de 0,850 A.
1.4 Uma voltagem senoidal com amplitude de 12,0 V é aplicada nos ter-
minais de um indutor de 0,450 mH que é parte de um circuito. Determine
a frequência para que a amplitude da corrente seja igual a 2,60 mA.
1.5 Um circuito contém um resistor de 200 Ω e um indutor de 0,400 H
ligados em série a uma fonte de tensão ac com amplitude de voltagem
igual 30,0 V e frequência angular igual a 250 rad/s. Determine: (a) a
impedância do circuito; (b) a amplitude da corrente; (c) as amplitudes de
voltagem através do resistor e do indutor; (d) o ângulo de fase da voltagem
da fonte em relação à corrente. A voltagem está atrasada ou adiantada em
relação à corrente?
1.6 Um circuito contém um resistor de 200 Ω, um capacitor de 6,00 µF
e um indutor de 0,400 H ligados em série a uma fonte de tensão ac com
amplitude de voltagem igual 30,0 V e frequência angular igual a 250 rad/s.
Determine: (a) a impedância do circuito; (b) a amplitude da corrente; (c) o
ângulo de fase da voltagem da fonte em relação à corrente. A voltagem está
atrasada ou adiantada em relação à corrente? (d) Calcule as amplitudes
de voltagem através do resistor, do indutor e do capacitor. Explique como
a amplitude da tensão entre as placas do capacitor pode ser maior que a
amplitude da voltagem através da fonte.
1.7 Um circuito RLC em série, com L = 0, 120 H, R = 240 Ω e C = 7, 30
µF, conduz uma corrente eficaz de 0,450 A com uma frequência igual a
400 Hz. Calcule: (a) o ângulo de fase da voltagem na fonte em relação
à corrente; (b) a impedância do circuito; (c) a tensão eficaz da fonte; (d)
a potência média fornecida pela fonte; (e) a taxa de conversão de energia
elétrica em energia térmica no resistor.
1.8 Uma aplicação do circuito RLC é o filtro passa-alto, que filtra os com-
ponentes de baixa frequência de um determinado sinal. Um filtro passa-alto
é constitúıdo de um circuito RLC em série conectado a uma fonte ac, com
a tensão de sáıda tomada através da combinação LR (que em geral é uma
bobina de indução que possui uma resistência não despreźıvel, uma vez
que seu enrolamento é um fio de comprimento muito grande). (a) Deduza
uma expressão para Vs/V (a razão entre a amplitude da tensão de sáıda e a
amplitude de tensão na fonte) em função da frequência angular da fonte ω.
(b) Mostre que, quando ω é pequeno, essa razão é proporcional a ω, e por-
tanto, é pequena. (c) Mostre que ela tende para 1 no limite de frequências
grandes.
1.9 Uma aplicação do circuito RLC é o filtro passa-baixo, que filtra os
componentes de alta frequência de um determinado sinal. Um filtro passa-
baixo é constitúıdo de um circuito RLC em série conectado a uma fonte de
tensão ac, com a tensão de sáıda tomada através do capacitor. (a) Deduza
uma expressão para Vs/V em função da frequência angular da fonte ω.
(b) Mostre que, quando ω é grande, essa razão é proporcional a ω−2, e
portanto, é muito pequena. (c) Mostre que ela tende para 1 no limite de
frequências pequenas.
1.10 Um circuito RLC em série é conectado a uma fonte ac com amplitude
de tensão V e frequência angular variável ω. (a) Mostre que a potência
média dissipada no resistor é
P =
1
2
· V
2R
R2 + (ωL− IωC )2
(b) Mostre que P é máximo quando ω = 1/
√
LC, ou seja, quando a
frequência da fonte é igual à frequência de ressonância do circuito. (c)
Obtenha os limites de P (ω) quando ω → 0 e ω →∞. (d) Faça um gráfico
de P (ω)× ω para V = 100 V, R = 200 Ω, L = 2, 0 H e C = 0, 50 µF.
1.11 Considere um circuito RLC em série conectado a uma fonte ac com
amplitude de tensão V e frequência angular variável ω. (a) Obtenha ex-
pressões para a amplitude de voltagem VL através do indutor e a amplitude
de voltagem VC através do capacitor em função de ω. (b) Determine o valor
de ω para o qual VL = VC . (c) Obtenha os limites de VL(ω) e VC(ω) para
ω → 0 e ω → ∞. (d) Faça gráficos de VL(ω) e VC(ω) para V = 100 V,
R = 200 Ω, L = 2, 0 H e C = 0, 50 µF.
1.12 Um circuito RLC em série é conectado a uma fonte ac que possui
uma amplitude de voltagem V e frequência angular variável ω. (a) Mostre
que a média temporal da energia armazenada no indutor é UB =
1
4LI
2 e
a média temporal da energia armazenada no capacitor é UE =
1
4CV
2
C . (b)
Use os resultados para I(ω) das notas de aula e VC(ω) do problema anterior
para obter UB e UE em função de ω. (c) Determine o valor de ω para o
qual UB = UE. (d) Obtenha os limites de UB(ω) e UC(ω) quando ω → 0
e ω →∞. (e) Faça gráficos de UB e UC em função de ω para V = 100 V,
R = 200 Ω, L = 2, 0 H e C = 0, 50 mF.
1.13 Um resistor, um indutor e um capacitor são ligados em paralelo com
uma fonte ac que possui amplitude de voltagem V e frequência angular ω.
É fácil ver que as voltagems instantâneas nos terminais dos elementos, vR,
vL e vC , são iguais a v. Suponha que a voltagem na fonte seja dada por
v = V cos ωt. (a) Mostre que, em qualquer instante, i = iR + iL + iC , onde
i, iR, iL e iC são, respectivamente, as correntes na fonte, no resistor, no
indutor e no capacitor. (b) Escreva expressões para as correntes iR, iL e
iC em função do tempo (com as fases corretas em relação à fase de v). (c)
Use um diagrama de fasores para mostrar que a amplitude da corrente na
fonte é dada por I =
√
I2R + (IC − IL)2. (d) Mostre que a amplitude de
corrente na fonte pode ser escrita como I = V/Z onde
1
Z
=
√
1
R2
+
(
ωC − 1
ωL
)2
.
(e) Obtenha uma expressão para a fase da corrente na fonte em relação à
fase de v.
1.14 Considere o circuito RLC em paralelo conectado a uma fonte ac do
problema anterior, com V = 100 V, R = 200 Ω, L = 2, 0 H e C = 0, 50 µF.
Calcule as amplitudes de corrente no resistor, no indutor, no capacitor e
na fonte: (a) na frequência de ressonância; (b) em uma frequência igual à
metade da frequência de ressonância; (c) em uma frequência igual ao dobro
da frequência de ressonância.
1.15 Considere um circuito RLC em série, com L = 1, 80 H, C = 0, 900 µF
e R = 30, 0 Ω, conectado a uma fonte ac com voltagem eficaz Vqm = 60, 0
V e frequência angular variável ω. Calcule: (a) a frequência angular de
ressonância ω0 do circuito; (b) o valor eficaz Iqm da corrente na frequência
de ressonância; (c) os dois valores de frequência, ω1 e ω2, para os quais
a corrente eficaz é igual à metade da corrente eficaz na ressonância. (d)
Para os valores de L, C, R e Vqm dados acima, calcule a largura da
ressonância, definida como ∆ω = |ω1−ω2|. (e) Considerando os mesmos
valores de L, C e Vqm, calcule o valor eficaz da corrente na frequência de
ressonância e a largura da ressonância para R = 3, 00 Ω. Note que o pico
é mais estreito e mais alto para R menor.
1.16 Um transformador conectado a uma fonte ac com uma voltagem efi-
caz de 120 V deve fornecer uma tensão com valor eficaz de 12,0 V a um
dispositivo eletrônico portátil cuja resistência é igual a 5,00 Ω. Calcule:
(a) a razão entre o número de espiras do primário e o número de espiras
do secundáriodesse transformador; (b) o valor eficaz da corrente fornecida
pelo secundário; (c) a potência média fornecida para a carga; (d) a re-
sistência que deveria ser conectada diretamente na fonte de 120 V para
que ela consumisse a mesma potência fornecida ao transformador.
1.17 Um transformador conectado a uma fonte ac com uma voltagem eficaz
de 120 V deve fornecer uma tensão com valor eficaz de 13.000 V para um
anúncio de neônio. Para prevenir risco de choque, um fuśıvel é inserido
no circuito primário; o fuśıvel deve se fundir quando a corrente eficaz no
secundário exceder o valor de 8,50 mA. Calcule: (a) a razão entre o número
de espiras do secundário e o número de espiras do primário; (b) a potência
fornecida para o transformador quando a corrente eficaz no secundário
for igual 8,50 mA; (c) a corrente máxima no fuśıvel inserido no circuito
primário.
2. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
2.1 Quanto tempo a luz leva para viajar: (a) da Lua até a Terra; (b) do
Sol até a Terra. As distâncias Terra-Lua e Terra-Sol são 3, 84 × 105 km e
1, 50× 108 km, respectivamente. (c) A luz emitida pela estrela Sirius leva
8,61 anos para chegar até a Terra. Qual a distância entre a Terra e Sirius
em quilômetros?
2.2 Calcule o comprimento de onda em metros e em nanometros de: (a) um
raio gama com frequência de 6, 50× 1021 Hz; (b) luz viśıvel com frequência
de 5, 75× 1014 Hz.
2.3 Uma onda eletromagnética senoidal com frequência igual a 6, 10×1014
Hz se desloca no vácuo no sentido +z. O campo magnético ~B é paralelo ao
eixo y e possui amplitude de 5, 80× 10−4 T. Escreva as equações vetoriais
para ~E(z, t) e ~B(z, t). Não esqueça as unidades.
2.4 Uma onda eletromagnética propagando no vácuo possui campo elétrico
dado por
~E(y, t) = −(3, 10× 105 V/m)k̂ sen[(2, 65× 1012rad/s)t− ky].
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando?
(b) Determine o comprimento de onda e número de onda, k. (c)Escreva a
equação vetorial para ~B(y, t)
2.5 Supondo que a intensidade da luz solar incidindo diretamente sobre
um certo ponto da superf́ıcie terrestre seja igual a 0,78 kW/m2, calcule:
(a) a densidade de momento linear médio (momento linear por volume) da
luz solar; (b) o momento linear médio por unidade de área e por unidade
de tempo da luz solar.
2.6 Um pequeno espelho com área igual a 5,00 cm2 está em frente a uma
fonte de luz monocromática situada a uma distância de 3,20 m. Sobre o
espelho a amplitude do campo elétrico da luz proveniente da fonte é igual a
0,0280 V/m. (a) Qual é a quantidade de energia incidente sobre o espelho
em 1,0 s? (b) Qual é a pressão de radiação média exercida pela luz sobre o
espelho? (c) Qual é a potência total irradiada pela fonte supondo que ela
irradie uniformemente em todas as direções?
2.7 Um pequeno laser de hélio-neônio emite luz vermelha com potência
igual a 3,20 mW concentrada em um feixe com diâmetro de 2,50 mm.
Calcule: (a) as amplitudes do campo elétrico e do campo magnético da luz
emitida; (b) a densidade de energia média; (c) a energia contida em um
comprimento do feixe igual a 1,00 m.
2.8 O plano de uma superf́ıcie é perpendicular à direção de propagação
de um feixe de ondas eletromagnéticas com intensidade I. A superf́ıcie
absorve uma fração w da intensidade incidente, sendo 0 ≤ w ≤ 1, e reflete
a parte restante. (a) Mostre que a pressão da radiação sobre a superf́ıcie
é dada por (2 − w)I/c. (b) Mostre que o resultado precedente fornece
expressões corretas para superf́ıcies totalmente absorvedoras e totalmente
refletoras. (c) Para uma intensidade incidente de 1,40 kW/m2, qual é a
pressão da radiação quando ocorre uma absorção de 90%? E quando ocorre
uma reflexão de 90%?
2.9 O Sol emite energia sob a forma de ondas eletromagnéticas com uma
taxa de 3, 9× 1026 W. Essa energia é produzida por reações nucleares que
ocorrem próximas do centro do Sol. (a) Calcule a intensidade da radiação
eletromagnética e a pressão da radiação sobre um objeto absorvedor na
superf́ıcie do Sol (raio R = 6, 96 × 105 km) e a uma distância R/2 do
centro do Sol. Despreze os efeitos de espalhamento das ondas quando
elas propagam radialmente. (b) A pressão do gás na supeŕıcie do Sol é
aproximadamente igual a 1, 0 × 104 Pa. Para a distância R/2 , de acordo
com modelos do interior do Sol, a pressão do gás é de cerca de 4, 7× 1013
Pa. Comparando esses resultados com os que você obteve no item (a), você
diria que a pressão de radiação é um fator importante para determinar a
estrutura do Sol?
2.10 O combust́ıvel de uma astronauta se esgotou quando ela estava se
deslocando com uma velocidade relativa igual a zero a 16,0 m de sua nave
espacial. A astronauta com todo o seu equipamento possui uma massa
total igual a 150 kg. Se ela usasse sua lanterna de 120 W como um foguete
de luz, quanto tempo ela levaria para chegar a sua nave espacial?
2.11 O espaço sideral contém muitas part́ıculas que constituem a chamada
poeira cósmica. A pressão oriunda da radiação emitida pelo Sol estabelece
um limite inferior para o diâmetro dessas part́ıculas. Para verificar a origem
desse limite, considere uma part́ıcula esférica de poeira de raio R e massa
espećıfica ρ. (a) Escreva uma expressão para a força gravitacional exer-
cida pelo Sol sobre a part́ıcula quando ela está a uma distância r do Sol
(que possui massa M). (b) Seja L a luminosidade do Sol, ou seja, a taxa
com a qual ele emite energia através de ondas eletromagnéticas. Escreva
uma expressão para a força exercida sobre a part́ıcula (totalmente absorve-
dora) oriunda da pressão da radiação solar. (c) A massa espećıfica de uma
part́ıcula t́ıpica de poeira cósmica é da ordem de 3000 kg/m3. Determine
o raio R da part́ıcula para que a força gravitacional exercida pelo Sol seja
igual à força oriunda da pressão de radiação. A luminosidade do Sol é
igual a 3, 9 × 1026 W e a sua massa é 1, 99 × 1030 kg. Note que a sua
resposta não depende de r. (d) Explique por que a probabilidade de que
uma part́ıcula com raio menor do que aquele encontado no item (c) possa
existir no espaço interplanetário do sistema solar é muito pequena.
2.12 Considere uma nave espacial com uma grande vela feita de material
leve, onde a nave usaria o momento linear da radiação solar para propulsão.
(a) A vela deveria absorver ou refletir a luz solar? Por que? (b) Qual
deveria ser a área de uma vela para impulsionar uma nave espacial de massa
igual a 10.000 kg no sentido contrário ao da força de atração gravitacional
do Sol? Note que, como no problema anterior, a resposta não depende da
distância entre a nave e o Sol.
2.13 Um solenóide muito longo, com raio a, contén n espiras por unidade
de comprimento e conduz uma corrente i que cresce a uma taxa constante
di/dt. Admita que o campo magnético no interior do solenóide seja uni-
forme e dado por B = µ0ni. (a) Calcule o campo elétrico induzido no
interior do solenóide a uma distância r do eixo do solenóide. (b) Determine
o módulo, a direção e o sentido do vetor de Poynting ~S nesse ponto. (c)
Calcule a energia magnética acumulada em um comprimento l do solenóide
e a taxa de crescimento dessa energia devida ao aumento da corrente. (d)
Considere uma superf́ıcie ciĺındrica com raio a e comprimento l coincidindo
com as espiras do solenóide. Integre ~S sobre essa superf́ıcie para calcular a
taxa com a qual a energia eletromagnética está fluindo para o interior do
solenóide através de suas paredes. Note que a taxa de variação da ener-
gia do campo magnético calculada no item (c) é igual ao fluxo de energia
eletromagnética do item (d).
2.14 Um condutor ciĺındrico de raio a, feito de material com resistividade
ρ, conduz uma corrente constante I uniformemente distribúıda em sua
seção transversal circular. (a) Obtenha expressões para o campo elétrico e
para o campo magnético no interior do fio. (b) Calcule o módulo, a direção
e o sentido do vetorde Poynting ~S em um ponto imediatamente abaixo
da superf́ıcie do fio (situado a uma distância a do eixo central). (c) Use o
resultado do item (b) para calcular a taxa de escoamento de energia para
o interior do volume ocupado por um comprimento l do condutor. (d)
Mostre que o resultado do item (c) é igual à taxa de geração de energia
térmica no mesmo volume.
2.15 Uma onda eletromagnética propaga através de um material dielétrico.
A constante dielétrica do material (para a frequência dessa onda) é igual a
1,74 e a permeabilidade relativa é 1,00. Se a amplitude do campo magnético
é igual a 3, 80× 10−9 T, qual é a amplitude do campo elétrico?
2.16 Uma onda eletromagnética com frequência igual a 5, 70 × 1014 Hz
propaga com velocidade de 2, 17 × 108 m/s em um certo bloco de vidro.
Calcule: (a) o comprimento de onda dessa onda no vidro; (b) o com-
primento de onda da onda de mesma frequência quando ela propaga no
ar; (c) o ı́ndice de refração do vidro para uma onda eletromagnética com
essa frequência; (d) a constante dielétrica do vidro para essa frequência,
supondo que a permeabilidade relativa seja igual a 1,00.
2.17 Uma onda eletromagnética estacionária em um certo material possui
frequência igual a 1, 20×1010 Hz e velocidade de propagação de 2, 10×108
m/s. (a) Qual a distância entre um plano nodal e o plano antinodal mais
próximo do campo ~B? (b) Qual a distância entre um plano antinodal
do campo ~E e o plano antinodal mais próximo do campo ~B? (c) Qual a
distância entre um plano nodal do campo ~E e o plano nodal mais próximo
do campo ~B?
2.18 Uma onda eletromagnética estacionária em um certo material possui
frequência igual a 2, 20 × 1010 Hz. A distância entre dois planos nodais
consecutivos do campo ~B é igual a 3,55 mm. Calcule: (a) o comprimento
de onda; (b) a distância entre dois planos nodais adjacentes do campo ~E;
(c) a velocidade de propagação da onda.
3. NATUREZA E PROPAGAÇÃO DA LUZ
3.1 Um feixe de luz paralelo incide sobre um prisma, como na figura abaixo.
Parte do feixe é refletido em uma das faces e a outra parte é refletida na
outra face. Mostre que o ângulo entre os dois feixes refletidos é igual ao
dobro do ângulo do prisma onde o feixe incidiu.
3.2 Os três planos que convergem para um vértice de um cubo são revesti-
dos na parte interna por espelhos, de modo que se forme um refletor de
canto. Mostre que quando um raio de luz é refletido consecutivamente
pelos três planos perpendiculares entre si, o raio emergente propaga na
mesma direção do raio incidente, porém em sentido contrário.
3.3 Um raio de luz incide sobre a superf́ıcie plana que separa duas placas
de vidro com ı́ndices de refração 1,70 e 1,56, proveniente da placa com
ı́ndice de refração 1,70. Calcule o ângulo de refração quando o ângulo de
incidência é igual 62, 0◦.
3.4 O ângulo cŕıtico para a reflexão interna total em uma interface que
separa um ĺıquido do ar é igual a 42, 5◦. (a) Determine o ângulo que o raio
refratado no ar forma com a normal quando um raio de luz proveniente do
ĺıquido incide sobre a interface com um ângulo de incidência de 35, 0◦. (b)
Determine o ângulo que o raio refratado no ĺıquido forma com a normal
quando um raio de luz proveniente do ar incide sobre a interface com um
ângulo de incidência de 35, 0◦.
3.5 Um raio de luz proveniente do ar incide sobre a face superior do bloco
da figura abaixo à esquerda. Supondo que o bloco é feito de material
transparente, cujo ı́ndice de refração é n = 1, 38, determine o maior ângulo
de incidência para que ocorra reflexão interna total na face esquerda do
bloco.
3.6 A figura acima à direita mostra uma pessoa com uma lanterna, durante
a noite, iluminando o fundo de uma piscina a procura de uma chave. A
luz incide sobre a chave quando a lanterna está a 1,2 m acima superf́ıcie
da água e o ponto de incidência da luz na água está a 1,5 m da beirada da
piscina. Sabendo que a profundidade da piscina é de 4,0 m, determine a
distância entre a chave e a beirada da piscina.
3.7 Uma fina camada de gelo (n = 1, 309) flutua sobre a superf́ıcie da água
(n = 1, 333) em um lago. Um raio de luz proveniente do fundo do lago se
desloca de baixo para cima através da água. (a) Determine o maior ângulo
que o raio pode fazer com a interface água-gelo de forma que ele ainda
passe para o ar acima do gelo. (b) Depois que o gelo derreter, determine o
maior ângulo que o raio pode fazer com a interface água-ar de forma que
ele ainda passe para o ar.
3.8 A figura abaixo mostra um observador olhando o fundo de um re-
cipiente ciĺındrico com paredes verticais, numa direção em que o topo da
periferia fica alinhado com o fundo da extremidade oposta. O recipiente
tem altura 16,0 cm e diâmetro 8,0 cm. Enquanto o observador mantém seus
olhos na mesma direção, outra pessoa enche o recipiente com um ĺıquido
transparente. Quando o recipiente fica completamente cheio, o observador
vê uma moeda no centro do fundo do recipiente. Qual é o ı́ndice de refração
do ĺıquido?
3.9 O prisma da figura abaixo à esquerda possui ı́ndice de refração 1,66 e
o ângulo α é igual a 25◦. Sabendo que os raios de luz são paralelos antes
de entrar no prisma, determine o ângulo entre eles depois que emergem do
prisma.
3.10 Um feixe estreito de luz incide sobre uma grande placa de vidro (figura
acima, à direita) formando um ângulo de 20, 0◦ com a superf́ıcie da placa.
Em virtude da dispersão, o feixe se subdivide formando um espectro, como
indicado na figura. Os ı́ndices de refração do vidro para as cores vermelha e
violeta são repectivamente 1,61 e 1,66. Qual dos raios (a ou b) é o violeta?
Determine a largura da placa para que a largura do feixe emergente seja
igual a 1,0 mm.
3.11 Quando o Sol nasce ou se põe, ele parece estar no horizonte, porém
está abaixo. A explicação para isso é que a luz se encurva ligeiramente
quando penetra na atmosfera terrestre, como indicado na figura abaixo. A
nossa percepção é de que a luz provém de um ponto distante situado em
posição aparente que forma um ângulo δ acima da posição real do Sol.
Elabore a hipótese simples (mas não real) de que a atmosfera possui
uma densidade constante, e portanto um ı́ndice de refração n constante, e
que a ela se estende até uma altura h acima da superf́ıcie da Terra, onde
desaparece abuptamente. (a) Mostre que o ângulo δ é dado por
δ = arcsen
(
nR
R + h
)
− arcsen
(
R
R + h
)
(b) Supondo R = 6378 km, n = 1, 0003 e h = 20 km, calcule δ. Note que
δ é da ordem do raio angular do Sol, que é aproximadamente um quarto
de grau.
3.12 Um raio de luz vindo do ar incide com um ângulo θa sobre a superf́ıcie
superior de uma placa transparente, como mostra a figura abaixo. As duas
superf́ıcies da placa são planas e paralelas. (a) Mostre que o raio emergente
da placa é paralelo ao raio incidente, ou seja, que θa = θ
′
a. (b) Mostre que
o deslocamento lateral do raio é dado por
d = D · sen(θa − θb
cosθb
onde D é a espessura da placa. (c) Calcule d para um raio vindo do ar que
incide com ângulo θa = 66, 0
◦ sobre uma placa de vidro com espessura de
2,40 cm e ı́ndice de refração igual a 1,80.
3.13 Um feixe paralelo de luz não polarizado, proveniente do ar, incide
formando um ângulo de 54, 5◦ com a normal sobre uma superf́ıcie plana de
vidro. O feixe refletido é completamente linearmente polarizado. Deter-
mine: (a) o ı́ndice de refração do vidro; (b) o ângulo de refração do feixe
transmitido.
3.14 Um polarizador e um analisador são orientados de modo que se trans-
mita a maior quantidade de luz posśıvel. Determine a intensidade do feixe
transmitido, em termos da intensidade máxima, quando o analisador é
girado de um ângulo de: (a) 22, 5◦; (b) 45, 0◦; (c) 67, 5◦.
3.15 Três filtros polarizadores são colocados em sequência de modo que
o eixo do segundo polarizador forme um ângulo de 45, 0◦ com o eixo do
primeiro e o eixo do terceiro polarizador forme um ângulode 90, 0◦ com o
eixo do primeiro. (a) Determine a intensidade e o estado de polarização da
luz que emerge de cada filtro quando luz não polarizada com intensidade
I0 incide sobre esse conjunto de polarizadores. (b) Determine novamente
a intensidade e o estado de polarização da luz que emerge de cada filtro
quando o segundo polarizador é removido.
3.16 Um feixe de luz, depois de passar através do disco polaróide P1,
indicado na figura abaixo, atravessa um recipiente que contém um ĺıquido
que espalha a luz. O recipiente é observado em uma direção perpendicular
através de outro disco polaróide P2. Inicialmente os discos são orientados
de modo que o observador veja a intensidade máxima da luz espalhada pelo
recipiente. (a) Em seguida o disco P2 é girado de 90, 0
◦. O observador verá
o recipiente claro ou escuro? Explique. (b) A seguir o disco P1 é girado
de 90, 0◦. O observador verá o recipiente claro ou escuro? Explique. (c)
A seguir o disco P2 retorna para a posição original. O observador verá o
recipiente claro ou escuro? Explique.
3.17 Três filtros polarizadores são colocados em sequência de modo que
o eixo do segundo forme um ângulo θ com o eixo do primeiro e o eixo
do terceiro forme um ângulo de 90, 0◦ com o eixo do primeiro. Luz não
polarizada com intensidade I0 incide sobre esse conjunto de polarizadores.
(a) Deduza uma expressão para a intensidade da luz transmitida através
desse conjunto em função de I0 e θ. (b) Determine o valor de θ para que a
intensidade da luz emergente seja máxima.
3.18 A figura abaixo (à esquerda) mostra um raio de luz que parte do
ponto 1 com velocidade c, se relete em um espelho e chega ao ponto 2. (a)
Mostre que o tempo t necessário para o raio se deslocar de 1 até 2 é dado
por
t =
√
y21 + x
2 +
√
y22 + (l − x)2
c
(b) Faça a derivada de t em relação a x (mantendo l, y1 e y2 fixos), iguale
a zero e mostre que t atinge um mı́nimo quando θ1 = θ2 (que é a lei
da reflexão). Este resultado é o prinćıpio do tempo mı́nimo de Fermat,
segundo o qual, entre todas as trajetórias posśıveis ligando dois pontos a
que realmente ocorre é aquela para a qual o tempo é mı́nimo.
3.19 A figura acima (á direita) mostra um raio de luz que parte do ponto
1 deslocando-se em um meio onde a velocidade é v1, passa para outro meio
onde a velocidade é v2 e chega ao ponto 2. (a) Mostre que o tempo t
necessário para a luz se deslocar de 1 até 2 é dado por
t =
√
h21 + x
2
v1
+
√
h22 + (l − x)2
v2
(b) Faça a derivada de t em relação a x (mantendo l, h1 e h2 fixos), iguale
a zero e mostre que t atinge um mı́nimo quando n1 senθ1 = n2 senθ2 (que
é a lei de Snell). Este é outro resultado do prinćıpio do tempo mı́nimo de
Fermat.
4. ÓTICA GEOMÉTRICA
4.1 A imagem de uma árvore cabe precisamente em um espelho plano de
altura igual a 4,00 cm quando o espelho é mantido a uma distância de
35,0 cm do olho. Sabendo que a árvore está a uma distância de 28,0 m do
espelho, determine a altura da árvore.
4.2 Se você se afasta de um espelho plano com velocidade igual a 2,40 m/s,
qual a velocidade com a qual a sua imagem se afasta de você?
4.3 Determine a menor altura de um espelho plano vertical para que uma
pessoa com altura h possa ver sua imagem completa no espelho.
4.4 Um objeto com altura 0,60 cm é colocado a uma distância de 16,5 cm de
um espelho côncavo que possui raio de curvatura igual a 22,0 cm. (a) Faça
um diagrama de raios principais mostrando a formação da imagem. (b)
Determine a posição, o tamanho e a natureza (real ou virtual) da imagem.
4.5 Refaça o exerćıcio anterior para o caso de um espelho convexo.
4.6 Um espelho de barbear côncavo possui raio de curvatura igual a 32,0
cm. (a) Determine a ampliação da face de uma pessoa que está a 12,0
cm do vértice do espelho. (b) A imagem é real ou virtual? (c) Faça um
diagrama de raios principais mostrando a formação da imagem de uma
pequena parte da face.
4.7 Um espelho esférico côncavo deve formar a imagem do filamento de um
lâmpada de lanterna sobre uma tela situada a uma distância de 8,00 m do
espelho. O filamento possui altura igual a 6,00 mm e a altura da imagem
é igual a 36,0 cm. (a) A que distância do vértice do espelho o filamento
deve ser colocado? (b) Qual deve ser o raio de curvatura do espelho? (c)
Faça um diagrama de raios principais mostrando a formação da imagem.
4.8 O espelho retrovisor de um carro, do lado do passageiro, é convexo
e possui raio de curvatura igual a 3,00 m. Outro carro que está a uma
distância de 13,0 m atrás do espelho é visto pelo motorista. (a) Con-
siderando que a altura do outro carro seja igual a 1,5 m, determine a
altura da imagem. (b) O fabricante do espelho escreveu uma frase sobre
ele informando que os objetos vistos no espelho estão mais próximos do
que parecem. Por que isso ocorre?
4.9 Um grão de poeira está imerso em uma camada de gelo 3,50 cm abaixo
da superf́ıcie. (a) Determine a profundidade aparente do grão quando
observado normalmente de cima para baixo. (b) Faça um diagrama de
raios mostrando a formação da imagem. O ı́ndice de refração do gelo é
igual a 1,309.
4.10 Um tanque cheio de água possui altura de 20,0 cm e um espelho no
fundo. Um peixe imóvel flutua a 7,0 cm abaixo da superf́ıcie da água. De-
termine (a) a profundidade aparente do peixe e (b) a profundidade aparente
da imagem do peixe quando ele é observado normalmente de cima para
baixo.
4.11 A extremidade de um longo bastão de vidro com diâmetro 8,00 cm e
ı́ndice de refração 1,60 é uma superf́ıcie hemisférica convexa com raio 4,00
cm. Um pequeno objeto com forma de lápis e altura 1,50 mm é colocado
ortogonalmente ao eixo do bastão a uma distância de 24,0 cm do vértice da
superf́ıcie convexa. (a) Determine a posição e a altura da imagem do objeto
formada pelos raios paraxiais que incidem sobre a superf́ıcie convexa. A
imagem é direita ou invertida? (b) Faça um diagrama de raios mostrando
a formação da imagem.
4.12 Refaça o exerćıcio anterior supondo que a extremidade do bastão seja
uma superf́ıcie hemisférica côncava com raio igual a 4,00 cm.
4.13 Um pequeno peixe está no centro de um aquário esférico com diâmetro
28,0 cm, cheio de água. (a) Determine a posição aparente e a ampliação do
peixe visto por um observador na parte externa do aquário. Despreze os
efeitos da parede fina do aquário. (b) Um amigo diz ao dono do aquário que
não mantenha o aquário exposto aos raios solares porque o peixe poderia
ficar cego quando estivesse nadando nas vizinhanças do foco formado pelos
raios solares paralelos. O foco se forma efetivamente no interior do aquário?
4.14 Ambas as extremidades de uma barra de vidro com ı́ndice de refração
1,60 são polidas de modo a formar duas superf́ıcies hemisféricas convexas.
O raio de curvatura da extremidade esquerda é igual a 6,0 cm e o raio
de curvatura da extremidade direita é igual a 8,0 cm. O comprimento da
barra entre os vérices é igual a 40,0 cm. Um objeto na forma de lápis, com
altura 1,50 mm, é colocado a 23,0 cm do vértice da extremidade esquerda,
perpendicularmente ao eixo da barra. (a) Qual é o objeto para a superf́ıcie
da extremidade direita da barra? (b) Qual é a distância desse objeto até
o vértice da extremidade direita? (c) Esse objeto é real ou virtual? (d)
Qual a posição da imagem final? (e) A imagem final é real ou virtual? Ela
é direita ou invertida em relação ao objeto original? (f) Qual a altura da
imagem final?
4.15 Um hemisfério sólido de vidro com raio igual a 12,0 cm e ı́ndice de
refração 1,50 é colocado com sua superf́ıcie plana apoiada sobre uma mesa.
Um feixe de raios paralelos com diâmetro da seção reta igual a 3,80 mm
incide verticalmente de cima para baixo e entra no hemisfério através do
centro de sua superf́ıcie curva. Determine o diâmetro do ćırculo de luz que
se forma sobre a mesa. O resultado depende do raio do hemisfério?
4.16 Uma lente forma uma imagemde um objeto. A distância entre o
objeto e o vértice da lente é igual a 16,0 cm. A imagem se forma a 12,0
cm do vértice e do mesmo lado do objeto. (a) Determine a distância focal
da lente. A lente é convergente ou divergente? (b) Se a altura do objeto é
8,50 mm, qual a altura da imagem? A imagem é direita ou invertida? (c)
Faça um diagrama de raios principais mostrando a formação da imagem.
4.17 Um slide está situado à esquerda de uma lente. A lente projeta a
imagem do slide sobre uma parede situada a 6,00 m à direita do slide. A
imagem é 80 vezes maior do que o slide. (a) Determine a distância entre o
slide e a lente. A imagem é direita ou invertida? (b) Determine a distância
focal da lente. A lente é convergente ou divergente? (c) Faça um diagrama
de raios principais mostrando a formação da imagem.
4.18 Uma lente convergente com distância focal igual a 12,00 cm forma
uma imagem com altura igual a 8,00 mm situada a 17 cm da lente. A
imagem e o objeto estão de lados opostos em relação à lente. (a) Dtermine
a posição e a altura do objeto. (b) Faça um diagrama de raios principais
mostrando a formação da imagem. A imagem é direita ou invertida?
4.19 Faça um esboço de todas as lentes que podem ser obtidas combinando-
se duas superf́ıcies esféricas cujos raios de curvatura possuem valores abso-
lutos 4,00 cm e 8,00 cm. Quais são convergentes e quais são divergentes?
Supondo que as lentes são feitas de vidro com ı́ndice de refração 1,60,
determine a distância focal de cada uma das lentes.
4.20 Uma lente delgada está imersa em um ĺıquido com ı́ndice de refração
nliq. (a) Mostre que a distância focal da lente no ĺıquido é dada por
1
f ′
=
(
n
nliq
− 1
)(
1
R1
− 1
R2
)
onde R1 e R2 são os raios de curvatura da lente. (b) Use este resultado para
mostrar que a distância focal da lente imersa no ĺıquido pode ser expressa
em termos da distância focal da lente no vácuo através da equação
f ′ =
[
nliq(n− 1
n− nliq
]
f