CircII_1 Tensao e Corrente Altenadas

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Profa. Ruth P.S. Leão Email: rleao@dee.ufc.br 
 
Capítulo 1 
 
 
TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 
 
 
1.1 Introdução 
 
 
1.2 Sinal Elétrico Alternado 
 
 
1.3 Fonte de Tensão Senoidal 
 1.3.1 Princípio da Geração em Corrente Alternada 
 1.3.2 Polaridade de uma Fonte Senoidal 
 
 
1.4 Parâmetros de uma Onda Senoidal 
 1.4.1 Período, Ciclo e Frequência 
 1.4.2 Valor de Pico 
 1.4.3 Velocidade ou Frequência Angular 
 1.4.4 Ângulo de Fase 
 1.4.5 Valor Médio 
 1.4.6 Valor Eficaz 
 1.4.7 Fator de Crista 
 1.4.8 Fator de Forma 
 
 
1.5 Representação de Senoide nos Domínios do Tempo e 
Frequência 
 
1.7 Ondas Não Senoidais 
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1.1 Introdução 
Na análise dinâmica de circuitos elétricos1 é necessário determinar a 
resposta ou saída natural e forçada do circuito a uma dada função de 
excitação. A resposta natural ou não forçada é uma característica do 
circuito, depende de componentes, topologias e condições iniciais e 
independe da função de excitação (ou entrada). Uma outra 
característica da resposta natural é que ela decai ou amortece ao longo 
do tempo. 
 
A resposta forçada, entretanto, depende diretamente do tipo da função 
de excitação que pode ser constante e alternada. 
 
Em circuitos elétricos, a função de entrada alternada senoidal é a mais 
comum e mais importante fonte de excitação. Na indústria, comércio e 
residências, os equipamentos elétricos são alimentados por fonte 
senoidal. 
 
A resposta forçada de um circuito elétrico com entrada senoidal 
operando em estado estacionário é denominada de resposta senoidal 
em regime permanente. O regime permanente é entendido como a 
operação em condições estáveis por um tempo suficientemente longo 
quando comparado ao tempo dos fenômenos dinâmicos ou transitórios. 
 
No curso de Circuitos Elétricos II, será avaliada a resposta forçada de 
circuitos com excitação senoidal. Restringir a análise à resposta de um 
circuito com excitação forçada senoidal operando em estado 
permanente permite uma considerável simplificação na análise do 
circuito: é necessário obter solução de equações algébricas ao invés 
de equações diferenciais. Na análise em regime, os efeitos das 
condições iniciais tornam-se desprezíveis decorrente do decaimento no 
tempo da resposta natural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Circuitos elétricos passivos é um conjunto formado por elementos que incluem resistores, indutores e 
capacitores interligados por condutores e alimentado por uma fonte. 
 
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1-3 
Figura 1.1 Sinal de entrada u(t) e de saída y(t) com amortecimento. 
 
 
 
(a) Sinal de entrada 
 
(b) Sinal de saída 
 
O curso de Circuitos Elétricos II se concentrará no estudo da resposta 
em regime permanente (ou estado estacionário) de redes excitadas por 
fontes senoidais. As condições iniciais e os transitórios serão 
ignorados, pois tais fenômenos eventualmente desaparecerão por 
completo nos circuitos considerados. Entretanto, antes de prosseguir 
com essa análise de regime, a natureza da função senoidal deve ser 
completamente entendida. 
 
1.2 Sinal Elétrico Alternado 
Em circuitos elétricos uma onda alternada é um sinal elétrico que varia 
no tempo e assume uma série de valores positivos, zeros e negativos. 
A Figura 1.2 mostra uma onda que alterna entre valores positivos e 
negativos durante a passagem pelo zero. Se a onda alternada se repete 
em iguais intervalos de tempo sendo, é dita periódica. 
 
Figura 1.2: Forma de onda alternada e periódica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A onda senoidal é a mais comum e fundamental dentre as ondas 
alternadas, porque todos os demais tipos de ondas alternadas 
(quadrada, triangular, dente de serra, etc.) podem ser decompostas em 
ondas senoidais. 
 
 
 
t 
a 
- a 
y 
T T 
 
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1-4 
Figura 1.3: Forma de onda quadrada decomposta em senóides. 
 
 
Fonte: http://electronics.stackexchange.com/questions/148288/help-me-understand-fft-and-
harmonic-distortions 
 
Transformadores, máquinas e aparelhos elétricos são projetados com 
base em um suprimento senoidal. 
 
1.3 Fonte de Tensão Senoidal 
As tensões senoidais são geradas por dois métodos: osciladores 
eletrônicos e máquinas elétricas rotativas. 
 
Os geradores eletrônicos de sinal consistem basicamente em um 
oscilador que é um circuito eletrônico que produz ondas de amplitude e 
frequência controladas. 
 
1.3.1 Princípio da Geração de Corrente Alternada 
O princípio básico de geração de energia elétrica por máquinas 
elétricas rotativas consiste no movimento relativo de bobinas elétricas 
imersas em um campo magnético. Como resultado, tem-se a indução 
de tensão alternada nos terminais da máquina. Ao ser colocada uma 
carga para ser alimentada pelo gerador elétrico em 𝑐𝑎, estabelece-se a 
circulação de corrente elétrica alternada. 
 
A Figura 1.4 mostra um gerador elétrico 𝑐𝑎 simplificado, o qual consiste 
em uma bobina de uma espira apenas em um campo magnético 
permanente. Cada terminal da bobina é conectado a um anel coletor 
 
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1-5 
condutor. À medida que a bobina gira no campo magnético entre os 
polos norte e sul, o anel coletor também gira em contato com as 
escovas que conectam a bobina a uma carga externa. 
 
Figura 1.4: Gerador elétrico 𝑐𝑎 simplificado. 
 
 
Fonte: Floyd (2000) 
 
Segundo o princípio de indução do eletromagnetismo, quando um 
condutor se move em um campo magnético, de modo a ‘cortar’ as 
linhas do campo magnético, uma tensão é induzida nos terminais do 
condutor. 
 
A Figura 1.5 mostra uma bobina de uma espira girando em um campo 
magnético. A Figura 1.5 (a) apresenta o primeiro quarto de rotação da 
bobina, desde a posição horizontal, em que a tensão induzida é zero, 
até a posição vertical da bobina, em que a tensão induzida é máxima. 
As Figuras 1.5 (b), (c) e (d) apresentam, respectivamente, o segundo, 
terceiro e quarto quadrante de um giro completo. 
 
Figura 1.5: Um ciclo de tensão senoidal gerada. 
 
 
(a) Metade do semi ciclo positivo. 
 
(b) Semi ciclo positivo. 
 
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1-6 
 
(c) Metade do semi ciclo negativo. 
 
(d) Ciclo completo. 
 
Fonte: Floyd (2000) 
 
De acordo com a Figura 1.5, tem-se uma espira de área 𝐴 imersa em 
um campo magnético 𝐵 uniforme (de N para S). O ângulo formado entre 
o campo 𝐵 e o vetor normal ao plano da espira é 𝜃. Assim, para calcular 
o fluxo magnético  através da espira deve-se levar em consideração o 
ângulo. 
 
 = 𝐵 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 [𝑊𝑏] (1.1) 
 
A espira na posição (a) apresenta um ângulo 𝜃 = 90°, sendo  = 0, ou 
seja, a quantidade de fluxo que concatena a espira é nula, estando o 
vetor perpendicular ao campo; na posição (b) tem-se 𝜃 = 0° e  = 
𝑚𝑎𝑥
, 
o vetor paralelo ao campo; se repetindo, respectivamente, em (c) e (d). 
Como a tensão induzida depende do número de espiras 𝑁 da bobina e 
da taxa de variação do fluxo magnético  no tempo, tem-se 
 
𝑣𝑖𝑛𝑑 = 𝑁
𝑑
𝑑𝑡
= −𝑁 ∙ 𝐵 ∙ 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 [𝑉] (1.2) 
 
Observa-se que a tensão induzida será máxima em 𝜃 = 90° (posição 
(a)), mínima em 𝜃 = 270° (posição (c)) e nula em 𝜃 = 0° (posição (b)) e 
𝜃 = 180° (posição (d)). O sinal negativo em (1.2) garante que a 
𝑓𝑒𝑚 induzida é no sentido de criar um campo magnético que vai se opor 
à variação do fluxo. 
 
A Figura 1.5 apresenta, portanto, a força eletromotriz induzida ou 
tensão senoidal gerada por um gerador elétrico. Quando o rotor do 
gerador completa uma rotação de 360º, um ciclo completo de tensão é 
induzido. O movimento continuado do rotor faz gerar repetidos ciclos 
da onda senoidal. 
 
Uma representação mais realista de uma máquina 𝑐𝑎 é mostrada na 
Figura 1.6. A máquina tem enrolamentos de rotor e de armadura. Os 
 
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enrolamentos de rotor são alimentados por uma fonte cc. A rotação do 
rotor contribui para indução de uma tensão alternada senoidal nos 
terminais do estator2. 
 
Figura 1.6: Geração de tensão monofásica em máquina síncrona. 
 
 
 
Fonte: Notas de aula em Sistemas Trifásicos Equilibrados – UFPE. 
 
A Figura 1.7 mostra o símbolo de uma fonte de tensão alternada. 
 
Figura 1.7: Símbolo de uma fonte de tensão alternada. 
 
 
 
 
Fonte: Floyd (2000) 
 
O método mais prático de aumentar a tensão induzida é através do 
aumento do número de espiras da bobina uma vez que a taxa de 
variação do fluxo (frequência) é normalmente constante. 
Uma onda senoidal pode ser medida em uma base temporal ou angular. 
Como o tempo para completar um ciclo depende da taxa de variação 
da onda, ou seja, da velocidade angular, em geral é comum especificar 
os valores em uma onda senoidal em termos de medida angular, 
expresso em graus ou em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 A indução eletromagnética pode se dar por duas maneiras: Espira (enrolamento) de condutor elétrico, se movendo no 
interior de um campo magnético estacionário; Espira de condutor elétrico fixa, e imersas no interior de um campo 
magnético variável. 
~ 
 
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1-8 
Figura 1.7: Relação entre uma onda senoidal e a rotação de um gerador ca. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Floyd (2000) 
Um ciclo completo equivale a 360º e corresponde a 2 [𝑟𝑎𝑑] (Fig.1.7). 
Radiano (𝑟𝑎𝑑) é uma medida angular definida pela relação entre o 
comprimento do arco e o raio da circunferência (𝜃 = 𝑠 𝑟⁄ ). A unidade 
radiano é adimensional já que é dada pela relação de dois 
comprimentos, no entanto, é importante manter a unidade para não se 
perder a sensibilidade física da definição de ângulo. Um radiano é 
equivalente a 57,3°. 
A letra grega  representa a relação da circunferência de qualquer 
círculo por seu diâmetro (𝐶 = 2𝜋 ∙ 𝑟 ∴ 𝜋 = 𝐶 2𝑟⁄ ) e tem um valor 
constante de aproximadamente 3,1416. Assim, 
 
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 2 ∙ 3,1416 ∙ 57,3 = 360° (1.3) 
 
A conversão de graus para radianos e vice-versa é obtida por (1.4) e 
(1.5): 
 (1.4) 
 
 (1.5) 
 
1.3.2 Polaridade de uma Fonte Senoidal 
Quando uma fonte de tensão senoidal é aplicada a um circuito resistivo, 
como na Figura 1.8, a polaridade da tensão varia alternadamente, i.e., 
a cada meio ciclo, com mudança na direção do fluxo de corrente 
senoidal como resultado. 
 
 
 
 
 
graus
180
rad 




 
=

rad
180
graus 






=

 
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1-9 
Figura 1.8: Circuito elétrico alimentado por fonte de tensão senoidal. 
 
 
Quando a tensão muda de polaridade, a corrente muda de direção 
durante a passagem por zero, como indicado na Figura 1.9. Durante o 
semiciclo positivo da tensão, a corrente flui em uma direção e muda de 
direção durante o semiciclo negativo da tensão. 
 
Figura 1.9: Onda senoidal de tensão e corrente em circuito resistivo. 
 
 
1.4 Parâmetros de uma Onda Senoidal 
1.4.1. Período, Ciclo e Frequência 
Em uma onda periódica tem-se que o menor espaço de tempo que 
separa um conjunto completo de valores diferentes é denominado de 
período, representado por 𝑇. 
 
A Figura 1.10 ilustra dois períodos de uma onda senoidal. O período de 
uma onda senoidal não necessariamente necessita ser medido entre 
os zeros da forma de onda. 
 
 
 
 
 
 
Tensão (+V) 
Corrente (+I) 
Tensão (-V) 
Corrente (-I) 
 
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1-10 
 
Figura 1.10: Medição de um período de uma onda senoidal. 
 
 
 
O ciclo é a menor parte que não se repete em uma onda periódica. Em 
uma onda alternada, o ciclo corresponde à combinação do semiciclo 
positivo e negativo. Se um ciclo corresponde a 𝑇 (s), o número de ciclos 
correspondente a 1 s é definido como frequência. 
 
1 (ciclo) → 𝑇 (s) 
 𝑓 (ciclos) → 1 s (1.6) 
 
𝑓 =
1
𝑇
 (1.7) 
 
A frequência 𝑓 de uma onda é o número de ciclos que a onda completa 
em um segundo. No Sistema Internacional (SI) de unidades o hertz (Hz) 
é a unidade da frequência. Um hertz é equivalente a um ciclo por 
segundo. 
 
Num gerador de dois polos magnéticos como visto na Figura 1.11, uma 
rotação completa da bobina no campo magnético de um gerador 𝑐𝑎 
gera um ciclo da tensão induzida. 
 
A velocidade com que a bobina gira define o tempo, ou período, para 
completar um ciclo. Se uma bobina completa 60 ciclos em 1s, a 
frequência é de 60 Hz e o período da onda senoidal é de 1/60 s ou 
0,01666 s. Quando a bobina faz 120 ciclos em 1s, o período é de 𝑇 =
1 120⁄ = 0,00833 𝑠, metade do período correspondente a 60 Hz. 
Portanto, aumentar a velocidade de rotação é aumentar a frequência e 
diminuir o período. Assim, quanto mais rápido a bobina gira, maior é a 
frequência da tensão induzida, como ilustra a Figura 1.11. 
 
 
 
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1-11 
Figura 1.11: A frequência é proporcional à velocidade de rotação da bobina. 
 
 
 
Fonte: Floyd (2000) 
 
Outra forma de aumentar a frequência do sinal elétrico é aumentar o 
número de polos magnéticos. Quando 4 polos magnéticos são usados 
ao invés de 2, como mostra a Figura 1.12, um ciclo é gerado durante 
metade da rotação. Isto dobra a frequência do sinal elétrico para a 
mesma velocidade de rotação. 
 
Figura 1.12: Aumento da frequência com o aumento de polos. 
 
 
 
 
 
Fonte: Floyd (2000) 
 
A Figura 1.12 mostra que um ciclo completo do sinal elétrico ocorre em 
metade de uma rotação mecânica. Assim, em uma máquina de 4 polos, 
uma velocidade igual a 60 rotações mecânicas por segundo 
corresponde a 120 ciclos elétricos por segundo, i.e., 120 Hz. 
O ângulo elétrico e de uma onda senoidal pode ser relacionado ao 
ângulo mecânico m de rotação de um gerador, como mostra a Figura 
1.12. O ângulo mecânico m é igual ao ângulo elétrico e dividido pelo 
número de pares de polos p (𝜃𝑚 ≤ 𝜃𝑒). 
 
𝜃𝑚 =
𝜃𝑒
𝑝
 (1.8) 
 
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1-12 
 
Uma expressão que relaciona frequência 𝑓 com número de polos, 𝑃, e 
de número de rotações por minuto, 𝑛, é dada por: 
 
𝑓 = 𝑝 ⋅
𝑛
60
=
𝑃
2
⋅
𝑛
60
=
𝑃⋅𝑛
120
 𝐻𝑧 (1.9) 
 
em que o termo 60 representa o número de segundos em um minuto. 
 
As curvas ilustradas na Figura 1.13 representam valores instantâneos 
de uma onda de tensão e de corrente que variam no tempo, 
representadas pelas letras minúsculas 𝑣(𝑡) e 𝑖(𝑡), respectivamente. 
 
Figura 1.13: Valores instantâneos de onda senoidal. 
 
 
As ondas senoidais de tensão e corrente são definidas 
matematicamente por: 
 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 𝜑𝑣) (1.10) 
 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 𝜑𝑖) (1.11) 
 
𝑣(𝑡), 𝑖(𝑡) valores instantâneos das ondas de tensão e corrente 
𝑉𝑝, 𝐼𝑝 amplitudes das ondas de tensão e corrente 
𝜔 velocidade angular ou frequência angular da onda 
𝜔𝑡 ângulo instantâneo 
𝜑𝑣, 𝜑𝑖 ângulos de fase das ondas de tensão e corrente 
 
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1-13 
 
1.4.2. Valor de Pico 
O valor de pico ou amplitude de uma onda senoidal de tensão e 
corrente é o máximo valor positivo ou negativo em relação ao zero. O 
valor de pico em uma onda senoidal é constante, e representado por 𝑉𝑝 
ou 𝐼𝑝. 
 
O valor pico-a-pico de uma tensão ou corrente senoidal compreende o 
valor desde o pico positivo ao pico negativo. Os valores pico a pico de 
tensão ou corrente senoidais são representados por 𝑉𝑝𝑝 = 2𝑉𝑝 ou 𝐼𝑝𝑝 =
2𝐼𝑝. 
 
1.4.3. Velocidade ou Frequência Angular 
A velocidade angular 𝜔 ou frequência angular de uma onda senoidal de 
tensão ou corrente descreve a velocidade de rotação e é definida como 
a relação entre um ciclo completo, expresso em radianos, e o tempo T 
para percorrê-lo. 
 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ (1.12) 
 
A velocidade angular  multiplicadapelo 𝑡 define o ângulo de tempo, 
𝜔𝑡, que corresponde ao valor angular instantâneo de uma onda 
senoidal. Como a onda senoidal é periódica, o ângulo de tempo será 
sempre um múltiplo inteiro do conjunto de ângulos compreendidos no 
intervalo de 0 a 2 rad. 
 
1.4.4. Ângulo de Fase 
A fase de uma onda senoidal é uma medida angular que especifica a 
posição da senoide em relação a uma referência. 
 
Figura 1.14: Onda senoidal com deslocamento angular . 
 
 
 
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1-14 
O ângulo de fase de uma onda senoidal corresponde à menor medida 
angular desde a referência até o ponto zero da senoide. 
O ângulo de fase  de uma onda determina o valor da função seno / 
cosseno em t=0; portanto o ângulo de fase fixa o ponto na onda 
periódica em que o tempo começa a ser medido. A Figura 1.15 mostra 
a onda de tensão em 𝑡 = 0 igual a 𝑣 = 155,56 𝑉, o que corresponde 
para 𝑉𝑝 = 311,129 𝑉 a um ângulo de fase igual a +30º. 
 
𝑣(𝑡) = 311,129𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 30°) (1.13) 
 
 
Figura 1.15: Onda de tensão com ângulo de fase igual a 30º. 
 
 
Duas ondas de mesma frequência podem apresentar diferença de fase. 
Isto significa que os valores de pico e zeros das ondas não ocorrem ao 
mesmo tempo. 
Na Figura 1.16 as ondas de tensão e de corrente estão deslocadas ou 
defasadas uma em relação à outra. A onda de corrente está deslocada 
para direita de  rad. Assim há um defasamento de  entre 𝑣(𝑡) e 𝑖(𝑡). 
Em termos de tempo, o pico positivo da senóide 𝑖(𝑡) ocorre depois do 
pico positivo da senóide 𝑣(𝑡). Neste caso, a onda 𝑖(𝑡) é dita atrasada 
da onda 𝑣(𝑡) de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1-15 
Figura 1.16: Ilustração de deslocamento angular: 𝑖(𝑡) deslocada para a direita. 
 
 
Quando uma onda senoidal é deslocada para a direita (atrasada) da 
referência (atrasada) de certo ângulo , onde a referência é o eixo 
vertical, o ângulo  da onda é negativo. Por exemplo, a expressão 
genérica para a corrente e tensão representadas na Figura 1.14 é: 
 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (1.14) 
 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑𝑖) (1.15) 
 
Quando a onda senoidal é deslocada para a esquerda (adiantada), o 
ângulo de fase  é positivo. A Figura 1.17 mostra a onda de corrente 
deslocada para a esquerda de i. 
 
Figura 1.17 Deslocamento angular de i(t) para a esquerda. 
 
0 0.01 0.02 0.03
200-
100-
0
100
200
250
250-
v t( )
i t( )
0.0350 t
0 0.01 0.02 0.03
200-
100-
0
100
200
250
250-
v t( )
i t( )
0.0350 t
- 
+ 
 
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1-16 
 
A diferença de fase entre duas senoides pode ser encontrada 
subtraindo-se os ângulos de fase das ondas. Para tanto é necessário 
que: 
- Ambas as ondas tenham a mesma frequência. 
- Ambas as ondas tenham a mesma forma de onda (senoidal ou 
cossenoidal, pois cosseno é adiantado de 90º em relação ao seno). 
− As amplitudes das ondas (senoides ou cossenoides) tenham o 
mesmo sinal. 
 
As relações de transformação são: 
𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 90∘) = 𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 ± 180∘) = −𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 90∘) = −𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 90∘) = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ± 180∘) = −𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 90∘) = −𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
Quando a diferença de fase entre duas ondas senoidais é igual a zero, 
diz-se que as ondas estão em fase (Figura 1.13). 
 
Exemplo 1.1 
 
Para cada uma das seguintes funções especifique a amplitude, 
velocidade angular, período, frequência e ângulo de fase. 
 
a) 𝑣1(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 
b) 𝑣2(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
c) 𝑣3(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡) 
d) 𝑣4(𝑡) = 5𝑐𝑜𝑠(10𝑡 + 60
°) 
 
O período pode ser calculado conhecida a velocidade angular 
(𝑇 = 2𝜋 𝜔⁄ ). Assim, 
 
 𝑣1(𝑡) 𝑣2(𝑡) 𝑣3(𝑡) 𝑣4(𝑡) 
Amplitude 1 1 2 5 
Velocidade angular 
(𝜔 = 2𝜋 𝑇⁄ ) 
1 1 2 10 
Período 2 2 1 2𝜋 10⁄ = 0,63 
Frequência 0,16 0,16 1 1,6 
Ângulo de fase 0 0 0 60° 
 
Qual a diferença de fase entre as ondas 𝑣1(𝑡) e 𝑣2(𝑡)? 
 
As funções 𝑣1(𝑡) e 𝑣2(𝑡) têm mesma amplitude, período e ângulo de 
fase, no entanto diferem na forma de onda. Para calcular a diferença 
 
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1-17 
de fase é preciso que as duas ondas tenham a mesma forma de onda, 
senoidal ou cossenoidal. Se 𝑣1(𝑡) for convertida em uma onda 
senoidal, tem-se: 
 
𝑣1(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 90
°) 
 
𝑣2(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
 
A diferença de fase é, pois, 90º. Em t=0, 𝑣1 = 1 e 𝑣2 = 0. 𝑣1(𝑡) está 
adiantada de 90º em relação a 𝑣2(𝑡). 
 
Porém, 𝑣2(𝑡) pode ser convertida em uma onda cossenoidal. 
 
𝑣1(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 
 
𝑣2(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 90°) 
 
A diferença de fase permanece 90º. Em t=0, 𝑣1 = 0 e 𝑣2 = −1. 𝑣1(𝑡) 
está adiantada de 90º em relação a 𝑣2(𝑡). 
 
1.4.5. Valor Médio 
O valor médio �̅� de uma função ou sinal representa o resultado líquido 
(média) da variação de uma grandeza física. O cálculo do valor médio 
da tensão, corrente e potência é igual à área sob a curva 𝑓(𝑡) 
correspondente a um ciclo completo dividido pelo período. 
 
�̅� =
1
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
 (1.16) 
 
Uma onda senoidal ou qualquer onda alternada simétrica apresenta 
igual área no semiciclo positivo e no semiciclo negativo, sendo o valor 
médio sempre nulo. No entanto, como medida prática de amplitude, 
uma forma de onda pode ser caracterizada por seu valor médio 
absoluto, calculado como a média aritmética dos valores absolutos da 
forma de onda. 
 
O valor absoluto médio de uma onda senoidal retificada é definido sobre 
meio ciclo de uma senoide ao invés de um ciclo completo. 
 
 
 
 
 
 
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1-18 
Figura 1.17: Onda senoidal retificada. 
 
 
Para a tensão 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 ⋅ sen(𝜔𝑡), a média do valor absoluto é dada por: 
 
�̅� =
𝑉𝑝
𝑇 2⁄
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 = −
2𝑉𝑝
2𝜋
𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
𝑇
∙ 𝑡)|
0
𝑇 2⁄𝑇 2⁄
0
 
= −
2𝑉𝑝
2𝜋
(𝑐𝑜𝑠𝜋 − 1) = (
2
𝜋
) 𝑉𝑝 = 0,6366 ∙ 𝑉𝑝 (1.17) 
 
De modo semelhante tem-se para a corrente que: 
 
𝐼 ̅ = 0,637 ∙ 𝐼𝑝 (1.18) 
 
A média da onda senoidal retificada completa é 2/ ou 63,7% de seu 
valor de pico. 
 
1.4.6. Valor Eficaz 
O valor eficaz é uma medida da magnitude de um conjunto de valores. 
Seja por exemplo o conjunto de valores {−2, 5, −8, 9, −4}. 
Para calcular o valor eficaz do conjunto: 
– cada número é elevado ao quadrado, tornando-o positivo; 
– calcula-se a média dos quadrados; 
– calcula-se a raiz quadrada da média. 
Para o exemplo dado, o valor eficaz é igual a: 
 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧 = √
(−2)2 + 52 + (−8)2 + 92 + (−4)2
5
= √
190
5
= 6,16 
 
Observe que se os valores do conjunto fossem iguais, o valor médio 
absoluto e o valor eficaz seriam iguais. Portanto, o valor eficaz 
 
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1-19 
corresponde ao valor médio de um conjunto de números constantes ou 
iguais. 
 
O valor eficaz de um sinal senoidal de tensão e corrente é expresso 
como 
 
𝑉𝐸𝐹 = √
1
𝑇
∫ 𝑣2𝑑𝑡
𝑇
0
 (1.19) 
 
𝐼𝐸𝐹 = √
1
𝑇
∫ 𝑖2𝑑𝑡
𝑇
0
 (1.20) 
 
Em um circuito elétrico 𝑐𝑐, a potência dissipada em um resistor R é 
calculada por: 
𝑃𝑐𝑐 = 𝑉 ∙ 𝐼 =
𝑉2
𝑅
= 𝑅 ∙ 𝐼2 (1.21) 
 
Figura 1.18: Potência em circuito cc. 
 
 
Quando o circuito é alimentado por uma onda senoidal cujo valores 
instantâneos variam no tempo, que valor da onda de tensão e corrente 
dissipará potência média igual ao circuito 𝑐𝑐? 
 
A potência média do circuito 𝑐𝑎 deve ser igual à potência do circuito 𝑐𝑐. 
 
𝑃𝑐𝑎 = 𝑃𝑐𝑐 (1.22) 
 
A potência média de uma onda senoidal de tensão e corrente é 
calculada por: 
 
𝑃𝑐𝑎 =
1
𝑇
∫ 𝑣(𝑡) ∙ 𝑖(𝑡)
𝑇
0
 
=
1
𝑇
∫ 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) ∙ 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑇
0
=
1
𝑇
∫ 𝑉𝑝𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛
2(𝜔𝑡)
𝑇
0
=
𝑉𝑝𝐼𝑝
𝑇
∫
1
2
[1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡)]𝑑𝑡
𝑇
0
 
 
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1-20 
=
𝑉𝑝𝐼𝑝
2𝑇
[𝑡|0𝑇 −
1
(2∙2𝜋 𝑇⁄ )
𝑠𝑒𝑛 (
2∙2𝜋
𝑇
𝑡)|
0
𝑇
] =
𝑉𝑝∙𝐼𝑝
2
 (1.23) 
 
Como a potência média do sinal 𝑐𝑎 é igual à potência do sinal 𝑐𝑐, tem-
se que: 
 
𝑃𝑐𝑎 =
𝑉𝑝∙𝐼𝑝
2
=
𝑉𝑝
√2
∙
𝐼𝑝
√2
= 𝑉 ∙ 𝐼 = 𝑃𝑐𝑐 (1.24) 
 
Tem-se que o valor eficaz do sinal 𝑐𝑎 de tensão e corrente senoidal 
constante e igual a: 
 
𝑉𝐸𝐹 =
𝑉𝑝
√2
 (1.25) 
 
𝐼𝐸𝐹 =
𝐼𝑝
√2
 (1.26) 
 
𝑉𝐸𝐹 e 𝐼𝐸𝐹 correspondem, respectivamente, aos valores de 𝑉 e 𝐼 do 
circuito 𝑐𝑐 e apresentam a mesma capacidade de dissipação de 
potência do circuito 𝑐𝑐. 
 
A potência média em um circuito 𝑐𝑎 pode ser expressa como 
 
𝑃𝑐𝑎 = 𝑉𝐸𝐹 ∙ 𝐼𝐸𝐹 =
𝑉𝐸𝐹
2
𝑅
= 𝑅 ∙ 𝐼𝐸𝐹
2 (1.27) 
 
Figura 1.19: Potência média em circuito 𝑐𝑎. 
 
 
O exemplo mostra que 10 volts eficaz e 5 ampères eficaz são valores 
de tensão 𝑐𝑎 e corrente 𝑐𝑎 que produzem a mesma potência média em 
um resistor R que uma tensão de 10 V e corrente de 5 A contínuos. 
 
O valor eficaz de um sinal variante no tempo corresponde ao valor do 
sinal 𝑐𝑎 capaz de dissipar em um resistor R uma potência média 
equivalente à potência dissipada por um sinal 𝑐𝑐 sobre o mesmo 
resistor. 
 
 
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1-21 
A potência 𝑐𝑐 e o valor médio da potência instantânea 𝑐𝑎 podem 
calculados em função da corrente: 
 
𝑃𝑐𝑐 = 𝑅 ∙ 𝐼
2 (1.28) 
 
𝑃𝑐𝑎 =
1
𝑇
∫ 𝑅 ∙ [𝑖(𝑡)]2 ∙ 𝑑𝑡
𝑇
0
 (1.29) 
 
𝐼 é o valor da corrente 𝑐𝑐, 𝑇 representa o período da onda senoidal de 
corrente 𝑐𝑎, 𝑖 o valor instantâneo da corrente 𝑐𝑎. 
 
Para 𝑃𝑐𝑎 = 𝑃𝑐𝑐, tem-se que os valores correspondentes entre as 
correntes 𝑐𝑐 e 𝑐𝑎, sob esta condição denominada de corrente eficaz 𝐼𝐸𝐹. 
 
1
𝑇
∫ 𝑅 ∙ [𝑖(𝑡)]2 ∙ 𝑑𝑡
𝑇
0
= 𝑅 ∙ 𝐼2 
∫
1
𝑇
[𝑖(𝑡)]2 ∙ 𝑑𝑡
𝑇
0
= 𝐼2 ∴ 
𝐼𝐸𝐹 = √
1
𝑇
∫ 𝑖2𝑑𝑡
𝑇
0
 𝑐. 𝑞. 𝑑. (1.30) 
 
Note que o valor eficaz de uma onda senoidal independe do resistor. 
 
Para uma corrente senoidal definida como: 
 
 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 ⋅ sen(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) (1.31) 
 
tem-se que o valor eficaz é calculado como: 
 
𝐼𝐸𝐹 = √
𝐼𝑝
2
𝑇
∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)𝑑𝑡
𝑇
0
 
= √
𝐼𝑝
2
2𝑇
∫ [1 − 𝑐𝑜𝑠(2(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖))]𝑑𝑡
𝑇
0
 
= √
𝐼𝑝
2
2𝑇
[𝑡|0
𝑇 −
𝑇
4𝜋
𝑠𝑒𝑛 (2 (
2𝜋
𝑇
𝑡 + 𝜑𝑖))|
0
𝑇
] (1.32) 
 
Assim 
𝐼𝐸𝐹 =
𝐼𝑝
√2
= 0,707𝐼𝑝 𝑐. 𝑞. 𝑑. (1.33) 
ou 
𝐼𝑝 = 1,414𝐼𝐸𝐹 (1.34) 
 
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1-22 
 
De modo análogo é definido o valor eficaz de tensão. A potência média 
e 𝑐𝑐 são dadas em (1.35) e (1.36). 
 
𝑃𝑐𝑎 =
1
𝑇
∫
1
𝑅
∙ [𝑣(𝑡)]2 ∙ 𝑑𝑡
𝑇
0
 (1.35) 
 
𝑃𝑐𝑐 =
𝑉2
𝑅
 (1.36) 
 
Finalmente, para 𝑃𝑐𝑎 = 𝑃𝑐𝑐, tem-se: 
 
𝑉𝐸𝐹 = √
1
𝑇
∫ 𝑣2𝑑𝑡
𝑇
0
 𝑐. 𝑞. 𝑑. (1.37) 
 
Para uma tensão senoidal definida como: 
 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 𝜑𝑣) (1.38) 
 
O valor eficaz da tensão senoidal é dado por: 
 
𝑉𝐸𝐹 =
𝑉𝑝
√2
= 0,707𝑉𝑝 (1.39)
 
ou 
𝑉𝑝 = 1,414𝑉𝐸𝐹 (1.40) 
 
O valor eficaz ou valor efetivo de uma onda senoidal é também 
denominado de valor 𝑟𝑚𝑠, termo derivado do inglês com o significado 
da expressão matemática que o define – 𝑟𝑜𝑜𝑡 𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒. 
 
Note que o valor eficaz de uma onda senoidal independe do tempo, 
sendo assim um valor constante e positivo. 
 
 
Exemplo 1.2 
 
Determine os valores médio e eficaz de uma função periódica com 
período 𝑇 = 3𝑇1, definida como: 
 
𝑣(𝑡) = {
𝑉0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 𝑇1
−𝑉0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇1 < 𝑡 < 3𝑇1 
 (1.41) 
 
 
 
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1-23 
 
 
 
 
 
a) Valor médio 
 
�̅� =
1
𝑇
∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
=
1
3𝑇1
(𝑉0 ∫ 𝑑𝑡
𝑇1
0
− 𝑉0 ∫ 𝑑𝑡
3𝑇1
𝑇1
) 
=
𝑉0
3𝑇1
[𝑇1 − (3𝑇1 − 𝑇1)] = −
𝑉0
3
 (1.42) 
 
b) Valor eficaz 
 
𝑉𝐸𝐹 = √
1
𝑇
∫ 𝑣2(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
= √
𝑉0
2
3𝑇1
(∫ 𝑑𝑡
𝑇1
0
+ ∫ 𝑑𝑡
3𝑇1
𝑇1
) 
 
= √
𝑉0
2
3𝑇1
3𝑇1 = 𝑉0 (1.43) 
 
Enquanto o valor médio da função em (1.31) é negativo, seu valor eficaz 
é positivo e igual 𝑉0. 
 
1.4.7. Fator de Forma 
É definido como a relação entre o valor eficaz e o valor médio de uma 
onda de tensão ou corrente. 
 
𝐹𝐹 =
𝐹𝐸𝐹
�̅�
 (1.44) 
 
O valor médio e o valor eficaz podem ser expressos em função do valor 
de pico ou amplitude de uma onda. O fator de forma como uma relação 
entre eficaz e médio, torna-se independente da amplitude do sinal. 
 
O fator de forma de uma senoide perfeita é calculado como: 
 
Assim, 
𝐹𝐹 =
𝐹𝑝
√2
2
𝜋
𝐹𝑝
=
𝜋
2√2
= 1,11 =
𝐹𝐸𝐹
�̅�
 (1.45) 
 
Qualquer outra forma de onda não senoidal terá 𝐹𝐹 diferente de 1,11. 
 
T1 T3 
V0 
-V0 
 
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1-24 
Muitos dos medidores analógicos eletromecânicos e digitais 
respondem proporcionalmente ao valor absoluto médio de uma tensão 
ou corrente alternada. O valor eficaz de uma onda senoidal é 
usualmente medido multiplicando a constante 1,11 ao valor absoluto 
médio. Isso significa que a precisão do valor 𝑟𝑚𝑠 dado depende da 
pureza da forma de onda. 
 
Ondas não senoidais 
 
 
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 0,258 
�̅� = 0,1 
𝐹𝐹 = 2,582 
𝐹𝐶 = 3,873 
 
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 0,894 
�̅� = 0,8 
𝐹𝐹 = 1,118 
𝐹𝐶 = 1,118 
 
Para diferentes formas de onda, a calibração do medidor deve ser 
ajustada. O medidor digital ‘𝑟𝑚𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜’ indica o valor como 
calculado pela expressão (1.29) e (1.36), sem uso de constantes. 
 
1.4.8. Fator de Crista 
O valor crista de uma onda de tensão ou corrente periódica é definido 
como a relação entre o valor de pico e o valor eficaz. 
 
Figura 1.18: Onda alternada. 
 
 
 
𝐹𝐶 =
𝐹𝑝
𝐹𝐸𝐹
 (1.46) 
 
𝐹𝐶 expressa a capacidade de um instrumento de medição em medir o 
quão maior pode ser a amplitude do sinal de entrada em relação a seu 
valor 𝑟𝑚𝑠. Se 𝐹𝐶 = 3, significa que é possível medir um sinal de entrada 
cujo valor de pico é 3 vezes maior que seu valor rms. 
 
O valor de crista é normalmente usado como medida de estresse que 
um dielétrico é capaz de suportar. Quando o valor de pico de um sinal 
 
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1-25 
ultrapassa ao 𝐹𝐶 do instrumento de medição, a onda terá seu pico 
grampeado. 
 
Para uma onda senoidal de tensão ou corrente, o fator de crista é igual 
a: 
𝐹𝐶 =
𝐹𝑝
𝐹𝑝 √2⁄
= √2 (1.47) 
 
Em circuitos com interruptores eletrônicos, em que a condução de 
corrente ocorre apenas durante parte do ciclo completo, o valor de 
crista não mais obedece à relação √2. 
 
𝐹𝐶 também indica o grau de distorção da forma de onda. Para uma 
senoide perfeita, o fator de crista será √2 =1,414, e quanto mais 
distorcida, maior será o fator de crista devido à relação entre o valor de 
pico e o valor eficaz. 
 
1.7 Representação de Ondas nos Domínios do Tempo e Frequência 
Existem situações em que se torna mais conveniente analisar um sinal 
no domínio da frequência ao invés de no domínio do tempo. 
 
Fourier faz um mapeamento entre sinais no domínio do tempo e no 
domínio da frequência. Para existir um mapeamento entre fenômenos 
analisados nos domínios do tempo e da frequência, o comportamento 
da grandeza no domínio do tempo deve ser periódico, ou seja, repetir-
se em intervalos iguais a 𝑇 que é o período que contém um ciclo do 
sinal de frequência 𝑓. Portanto, a regra básica de mapeamento entre 
os dois domínios é ditada por 𝑓 = 1 𝑇⁄ . 
 
No domínio do tempo é preciso definir explicitamente a função e os 
parâmetros que a caracterizam. Numa onda senoidal, por exemplo, 
tem-se três parâmetros característicos: amplitude (𝐴), frequência (𝑓) e 
ângulo de fase (). 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡 − 𝜑) (1.48) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1-26 
Figura 1.19: Representação de uma senoide no domínio do tempo. 
 
Fonte: S.M. Deckmann e J.A.PomIlio. Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica. Notas de aulas. 
http://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/b3.pdfNo domínio da frequência esse mesmo sinal, para cada frequência 
contida no sinal é necessário conhecer os parâmetros [𝐴, 𝜑]. Em uma 
onda puramente senoidal, a frequência é única e, portanto, a 
caracterização do sinal necessita apenas dos parâmetros amplitude e 
ângulo de fase. 
 
𝑋(𝑓) → [𝐴, 𝜑] (1.49) 
 
Figura 1.20: Representação de uma senoide no domínio da frequência. 
 
 
Fonte: S.M. Deckmann e J.A.PomIlio. Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica. 
Notas de aulas. http://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/b3.pdf 
 
As ondas senoidais (ou cossenoidais) podem ser representadas por 
fasores (vetor orientado) que se assemelham à representação do sinal 
no domínio da frequência. 
 
Um fasor é uma grandeza usada para representar uma senoide (ou 
cossenoide) cuja amplitude (𝐴), frequência angular (𝜔) e ângulo de 
fase (𝜑) são invariantes no tempo. 
 
Se o sinal tem múltiplas frequência, cada uma das frequências 
corresponde a uma senoide de amplitude e ângulo de fase constantes. 
 
 
 
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1-27 
 
Referências 
 
[1] Floyd, T.L. Principles of Electric Circuits, 6th Ed. Prentice Hall, 
2000. ISBN 0-13-095997-9.927p. 
 
[2] Nilsson, James W., Reidel, Susan A., Circuitos Elétricos, LTC, 6a 
Edição, 2003. 
 
[3] Kerchner, R.M., Corcoran,G.F., Circuitos de Corrente Alternada, 
Porto Alegre, Globo, 1973.