AULA 4 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA 
 
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Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
CAPÍTULO 4 
 
As derivadas são utilizadas como ferramenta para solucionar uma grande va-
riedade de problemas. Sua aplicação está condicionada, em primeiro ao conheci-
mento teórico prévio do estudante como no caso de aplicação em física, química ou 
em outra disciplina que necessite do cálculo de taxa de variação. E em segundo nos 
casos em que é necessário verificar os pontos de máximos e mínimos de problemas 
intuitivos. 
Nesse capítulo estaremos aplicando a derivada na solução de problemas que 
envolve essas duas aplicações. 
 
4.1 Taxa de variação 
 
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Assim, sem-
pre que uma grandeza estiver variando em relação a uma variável, você pode aplicar 
uma técnica de derivação para solucionar o problema em questão. Essa prática é 
muito utilizada para solucionar problema de equações diferenciais, matemática e nas 
mais diversas áreas da ciência. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 4.1 
 
Uma cidade de 100 mil habitantes foi atingida por uma epidemia de gripe. O 
setor de saúde calcula que o número de pessoas atingidas pela epidemia, depois de 
um tempo t (medido em dias) pode ser determinada pela função: 
3
³
64)(
t
ttf −= 
Sabendo que os sintomas da gripe se manifestam a partir do terceiro dia de-
termine a taxa de contaminação no quarto dia. 
 
Resolução: 
 
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A taxa de variação da epidemia é dada pela razão da função )(tf em relação 
ao tempo t. Assim basta tomar a derivada da função e substituir o tempo. 
²64
)('
3
²3
64
)('
3
³
64)(
t
dt
tdf
t
dt
tdf
t
ttf
−=
−=
−=
 
481664²464
)4('
=−=−=
dt
df
 
 
Logo, podemos dizer que no quarto dia a gripe vai estar se propagando à 
razão de 48 pessoas por dia. 
 
Exemplo 4.2 
 
Um astrônomo amador observa um objeto luminoso que se move no céu no-
turno em uma noite límpida e muito escura. Com base em suas observações ele de-
terminou que a posição do objeto pode ser determinada pela equação de posição: 
2030³)( ++= ttty , com y dado em quilômetros e tempo em segundos. No ins-
tante t = 0 a posição do objeto é de 20 km a norte da estrela Alfa Centauro. Qual é a 
velocidade do objeto nessa posição? 
 
Resolução: 
 
A velocidade de um objeto pode ser determinada fazendo a diferenciação da 
posição em relação ao tempo. Assim: 
 
skmtv
dt
dy
tv
t
dt
tdy
tv
ttty
/30)(
30)²0(3
)0(
)(
30²3
)(
)(
2030³)(
=
+==
+==
++=
 
 
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4.2 Problemas de Maximização e Minimização 
 
Toda função, que pode ser no mínimo duas vezes derivável, pode apresentar 
pontos de máximo, mínimo ou de inflexão. Nesta seção, vamos explorar os conceitos 
de máximos e mínimos aplicados ao estudo de problemas e funções associados a 
suas derivadas. 
Para determinar os extremos de uma função e solucionar problemas de ma-
ximização ou de minimização, nós, nos apoiaremos em dois teoremas de cálculo. 
 
4.2.1 Critério da primeira derivada. 
 
Seja )(xf uma função continua num intervalo fechado  ba, que possui deri-
vada em todo o ponto do intervalo ( )ba, , exceto possivelmente num ponto c. 
 
(i) Se 0)(' xf para todo 0)('  xfecx para todo cx  , então )(xf tem um 
máximo relativo em c. 
(ii) Se 0)(' xf para todo 0)('  xfecx para todo cx  , então )(xf tem um 
mínimo relativo em c. 
 
 
4.2.2 Critério da segunda derivada 
 
Seja )(xf uma função derivável num intervalo ( )ba, e c um ponto crítico de
)(xf neste intervalo, isto é, 0)(' =xf , com bca  . Se )(xf admite a derivada )(" xf 
em ( )ba, , temos: 
 
(i) Se 0)(" cf , )(xf tem um valor máximo relativo em c 
(ii) Se 0)(" cf , )(xf tem um valor mínimo relativo em c 
 
Exemplo 4.3 
Verifique se a função, 6²)( −−= xxxf , possui um ponto de máximo ou mínimo. 
 
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Resolução: 
 
Essa é uma função do segundo grau côncava para cima. Logo, a função pos-
sui um mínimo relativo, como pode ser observado no gráfico da figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para provar, faremos a derivada primeira da função, em seguida igualamos a 
derivada a zero e determinaremos o ponto crítico da função. 
 
2
1
120
12)('
6²)(
=
−=
−=
−−=
x
x
xxf
xxxf
 
A função apresenta um ponto crítico em, 
2
1
=x . 
Para determinar se o ponto é de máximo ou de mínimo, faremos a derivada 
da segunda da função. 
2)('
12)('
=
−=
xf
xxf
 
Figura 18: Gráfico da função 6²)( −−= xxxf 
 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em: 30/05/2020 
− − − − − − − − −         
−
−
−
−
−
−
−
−








x
y
 
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Como podemos observar a derivada da segunda é maior que zero( 2)(' =xf
>0), logo o ponto 
2
1
=x é de mínimo. 
 
Exemplo 4.4 
 
Um fazendeiro recebeu 1200 metros de arame farpado para cercar um terreno 
retangular. Sabendo que a cerca deve conter três fios, determine as dimensões do 
terreno para que a área cercada seja máxima. 
 
Resolução: 
 
Como a cerca deve ter três fios, logo devemos dividir a quantidade de arame 
por três. Logo o perímetro a ser cercado é de 400 metros. Assim, basta determinar as 
dimensões do terreno. A figura 19 mostra o esboço do croqui do terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, a partir da junção das funções de perímetro yxyxP 22),( += e área 
xyyxA =),( do terreno determinaremos o ponto crítico da função. 
 
xy
yx
yx
yxyxP
−=
=+
+=
+=
200
200
22400
22),(
 
²200)(
)200()(
),(
xxxA
xxxA
xyyxA
−=
−=
=
 
 
Figura 19: Esboço do croqui do terreno 
 
Fonte: O Autor 
 
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Derivando a função de área. 
mx
x
xxA
xxxA
100
02200
2200)('
²200)(
=
=−
−=
−=
 
 
A função possui um ponto crítico em mx 100= . 
 
Fazendo a derivada da segunda: 
 
2)("
2200)('
−=
−=
xA
xxA
 
A derivada da segunda é menor que zero 02)(" −=xA , logo a função apre-
senta um máximo em 100=x . Assim: 
 
my 100100200 =−= 
 
²10000),(
100100),(
),(
myxA
mmyxA
xyyxA
=
•=
=
 
A área máxima que pode ser cercada é de 10000 metros quadrados e o ter-
reno possui 100 metros de frente e 100 metros de fundo, logo o terreno retangular é 
quadrado. 
 
 
Exemplo 4.5 
 
Um reservatório de água, sem tampa e de base quadrada, deve ser construído 
de forma que seu volume seja 25000 m³.a construção dabase vai custar R$1500 por 
m² e o custo de construção das R$1000 por m². Calcule as dimensões da caixa de 
modo que o custo da construção seja mínimo. 
 
 
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Resolução: 
 
Neste problema, devemos primeiro determinar uma função de custo e em se-
guida fazer o processo de derivada. Para esse problema temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xyxyxC 1000)4(²1500),( += e 
²
25000
²25000
²),(
x
y
yx
yxyxV
=
=
=
 
 
²
100000000
3000)('
²
100000000)1(0
3000)('
100000000
²1500)(
²
25000
4000²1500)(
1000)4(²1500),(
x
xxC
x
x
xxC
x
xxC
x
xxxC
xyxyxC
−=
−
+=
+=
+=
+=
 
 
Figura 20: Reservatório de água 
 
Fonte: Google imagem. Acesso em: 30/05/2020 
 
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Fazendo a derivada igual a zero. 
 
mx
x
x
x
x
x
x
18,32
3
100000
3
100000
³
3000
100000000
³
²
100000000
3000
²
100000000
30000
3 ==
=
=
=
−=
 
 
my
y
y
14,24
7,1035
25000
)²18,32(
25000
=
=
=
 
 
Assim, as dimensões do reservatório são mx 18,32= de frente, mx 18,32= de 
fundo e my 14,24= de altura. 
 
4.3 Regra de L’Hospital 
 
A regra de L’Hospital, um método prático para resolver limites indeterminados 
do tipo 0/0 e ∞/∞. Esse método se baseia na formula de Cauchy. 
 
4.3.1 Formula de Cauchy 
 
Se f e g são duas funções continuas em  ba, , deriváveis em ( )ba, e se 
0)(' =xg para todo ( )bax , ,então existe um número ( )baz , tal que: 
 
)('
)('
)()(
)()(
zg
zf
agbg
afbf
=
−
−
 
 
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4.3.2 Regra de L’Hospital 
 
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I , exceto, possivel-
mente, em um ponto Ia . Suponhamos que 0)(' xg para todo ax  em I . 
 
(i) Se 0)(lim)(lim ==
→→
xgxf
axax
 e L
xg
xf
ax
=
→ )('
)('
lim ,então L
xg
xf
xg
xf
axax
==
→→ )('
)('
lim
)(
)(
lim 
(ii) Se ==
→→
)(lim)(lim xgxf
axax
 e L
xg
xf
ax
=
→ )('
)('
lim ,então L
xg
xf
xg
xf
axax
==
→→ )('
)('
lim
)(
)(
lim 
 
Vamos agora, aplicar essas proposições na solução dos exemplos resolvidos 
na seção 2.3. 
 
 Exemplo 4.6 
 
 Vamos refazer o exemplo 2.5 utilizando agora a regra de L’Hospital 
 
Determine, 
4²
23³
lim
2 −
+−
−→ x
xx
x
 
 
Resolução: 
Como a indeterminação já foi constatada no exemplo 2.5, vamos agora aplicar 
a derivada no numerador e no denominador até que a indeterminação desapareça. 
 
4
9
4
312
)2(2
3)²2(3
lim
2
3²3
lim
4²
23³
lim
222
−=
−
−
=
−
−−
=
−
=
−
+−
−→−→−→ xxx x
x
x
xx
 
 
Exemplo 4.7 
 
 Vamos refazer o exemplo 2.8 utilizando agora a regra de L’Hospital 
 
Determine, 
24
53³2
lim
5 −
+−
−→ x
xx
x
 
 
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Resolução: 
 
Como a indeterminação já foi constatada no exemplo 2.5, vamos agora aplicar 
a derivada no numerador e no denominador até que a indeterminação desapareça. 
 
 
0
12
²240
12
240
12
lim
80
12
lim
20
3²6
lim
24
53³2
lim
2345
=

=

===
−
=
−
+−
−→−→−→−→ xx
x
x
x
x
xx
xxxx
 
 
 
4.4 Exercícios 
 
1) Determine a área máxima de um terreno retangular, que pode ser cercada usando 
1200 metros de arame, sendo a cerca composta de três fios. 
R: A(x,y) = 10000 m² 
 
2) Para a construção de um muro de 1 metro de altura ao redor de um terreno retan-
gular, foram disponibilizados 5000 tijolos. Sabendo que 25 tijolos cobrem um me-
tro quadrado de construção. Determine a área máxima que poderá ser cercada 
com o muro. 
R: A(x,y) = 25000m² 
 
3) Uma rede elétrica, ligará um transformador a uma caixa de distribuição localizada 
a 10 m a sua frente. Uma outra rede ligará a caixa de distribuição à casa de má-
quinas localizada 40 m abaixo da caixa de distribuição. O Transformador é ligado 
a caixa de distribuição por uma rede de cabos que custa 200 reais o metro. A rede 
de cabos que liga a caixa de distribuição a casa de máquinas custa 100 reais o 
metro. Calcule o ponto onde a caixa de distribuição deve ser instalada que gere o 
menor custo para a instalação da rede elétrica. 
R: x = 2,58 metros abaixo da linha do transformador. 
 
 
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4) Um Galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100m².A prefei-
tura exige que exista um espaço livre de 25m no frete,20m atrás, e 12m de cada 
lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser 
construído este galpão. 
R: x = 80,33 metros e y = 150,62 metros 
 
5) Uma caixa d’água sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma 
que seu volume seja 5000 m³. O material da base vai custar 1000 reais por m² e 
o material dos lados 700 reais o m². Encontre as dimensões da caixa de modo 
que o custo do material seja mínimo. 
R: x = 19,13 metros e y = 13,66 metros 
 
6) Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um 
círculo e com o outro um quadrado. Com se deve cortar o fio a fim de que a soma 
das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima? 
R: 1º pedaço =
4𝑙
4+𝜋
 ; 2º pedaço = 
𝑙𝜋
4+𝜋
 
 
7) Quais devem os valores das medidas dos lados de um lote retangular cuja a soma 
do perímetro seja 140 e a sua área seja a maior possível. 
R: x = 35 metros e y + 35 metros. 
 
8) Uma cerca de 1m de altura está situada a uma distância de 1m da parede lateral 
de um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se 
apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerca? 
R: C = 2√2 metros