5 kit impresso 2 eja -A , B AGOSTO2021

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CENTRO DE ENSINO TEÓFILO DIAS – ALDEIAS AL-
TAS –MARANHÃO 
PROFESSOR José Gentil Moita Neto DISCIPLINA DE 
matemática 
SÉRIE: 2ª ETAPA EJA A, B 
Kit impresso 05 (02/08 a 02/09) 
 
1- Aprendizagens esperadas: 
Elaborar e resolver problemas de contagem relacionando o 
Princípio Multiplicativo da Contagem com do Diagrama 
de árvore. 
 
2- Objetivos: 
Noção de organização triangular e construção de grafos e 
tabelas para representação de contagens. 
3- Conteúdo: 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA CONTAGEM E DI-
AGRAMAS DE ÁRVORE 
 
A análise combinatória é a matéria que desenvolve métodos 
para fazer a contagem com eficiência. Os problemas de conta-
gem estão presentes no cotidiano, por exemplo, no planeja-
mento de pratos em um cardápio, a combinação de números 
em um jogo de loteria, nas placas dos veículos, entre inúmeras 
outras situações. A ideia é a seguinte: Imagine que você tenha 
3 calças, 5 camisas e 2 sapatos e queira saber quantas são as 
combinações possíveis utilizando essas peças. Para isso basta 
efetuar a multiplicação, assim: 5 . 3 . 2 = 30 possibilidades de 
combinações. Esse é chamado de princípio multiplicativo. 
Exemplo 1. Quantos números de dois algarismos distintos 
podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6? 
Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos 
diferentes, e para as unidades serão 3, pois não queremos 
repetidos, portanto: 
4 . 3 = 12 números de dois algarismos distintos. 
Muitos problemas de Análise combinatória podem ser resolvi-
dos utilizando o fatorial (n!), que é a multiplicação de números 
consecutivos: 4!= 4.3.2.1= 24. 
Exemplo 2. Calcule o valor de: 5! 
5.4.3.2.1 
5.4 
20 . 3 . 2 . 1 
120 
Essa propriedade utilizada na análise combinatória é a permu-
tação, significa mudar a ordem, pense: De quantas maneiras 
distintas sete pessoas podem sentar em sete poltronas? 
Temos uma permutação de sete elementos, então: 
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 maneiras. No dia-a-dia estamos 
interessados em contar o número de maneiras que um experi-
mento ou experiência pode ser realizado. 
Por exemplo: 
1. De quantas maneiras podemos organizar uma fila 
com 4 pessoas? 
2. Quantas senhas com 3 dígitos podemos formar usan-
do os dígitos ímpares do sistema decimal? 
3. De quantas maneiras podemos entrar e sair de um es-
tádio de futebol que possui 5 portões? 
4. De quantas maneiras diferentes podemos pintar uma 
bandeira de 3 listras, usando as cores amarela ou ver-
de? 
Uma maneira simples de obter o total de possibilidades de um 
experimento acontecer é descrever todas as opções possíveis e 
fazer a contagem direta. Entretanto, isso nem sempre é viável 
porque o número de possibilidades pode ser tão grande que se 
torna impraticável a contagem direta dos resultados. 
Por exemplo: 
1. De quantas maneiras diferentes um candidato pode 
“chutar” todas as questões de um teste com 10 ques-
tões do tipo V ou F? 
2. Um estádio de futebol possui 6 portões. De quantas 
maneiras distintas uma pessoa pode entrar no estádio 
e sair dele por um portão diferente do que usou para 
entrar? 
Para essas situações, usamos o princípio fundamental da 
contagem ou princípio multiplicativo, que é um método algé-
brico para determinar o número total de possibilidades. 
Este método consiste em multiplicar o número de possibilida-
des de cada etapa do experimento. Para entendermos melhor, 
observe o infográfico abaixo: Observe o seguinte problema: 
 Três atletas participam de uma corrida. Quantos re-
sultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 
Resolução: 
Cada resultado consta como uma “tripla ordenada” (A, B, C) 
onde A representa o atleta que chegou em 1º lugar, B o que 
chegou em 2º, e C o que chegou em 3º. 
A, B e C pertencem ao conjunto dos atletas e A ≠ B, A ≠ C e 
B ≠ C. 
Podemos obter as sequências possíveis, usando o diagrama de 
árvore. 
https://www.infoescola.com/matematica/sequencias/
 
Pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o resultado 
procurado é: 3 . 2. 1 = 6 
1º) Com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 
três algarismos distintos podemos formar? 
Resolução: 
Formar um número de três algarismos pode ser considerado 
uma ação constituída de três etapas sucessivas, a saber: 
 1ª) escolha do algarismo das centenas: temos seis 
possibilidades; 
 2ª) escolha do algarismo das dezenas: como não pode 
haver repetição de algarismo, devemos ter um alga-
rismo diferente do algarismo escolhido para a cente-
na. Assim, há cinco possibilidades; 
 3ª) escolha do algarismo das unidades: devemos ter 
um algarismo diferente dos dois anteriores (centena e 
dezena). Assim, há apenas quatro possibilidades. 
Aplicando o princípio fundamental da contagem (PFC), te-
mos: 6 x 5 x 4 = 120 números. 
2º) Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quan-
tas maneiras distintas ela pode ser resolvida? 
Resolução: 
Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de res-
posta: V ou F. 
3º) Quantos números pares de três algarismos distintos pode-
mos formar com os dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 
Resolução: 
 
Observe que, além do princípio multiplicativo também usamos 
o princípio aditivo, pois ou o número termina em zero ou o 
número não termina em zero. 
Observação: 
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) fornece-nos o 
instrumento básico para a resolução de problemas de conta-
gem, entretanto, sua aplicação pode, às vezes, tornar-se muito 
trabalhosa. 
Alguns problemas de contagem são mais complexos e devem 
ser resolvidos adotando-se novas técnicas de contagem. Se faz 
necessária a distinção entre os diferentes tipos de agrupamen-
tos, que constituem sequências de elementos pertencentes a 
um conjunto dados. A partir da compreensão desses agrupa-
mentos e, usando os princípios aditivos e multiplicativo, po-
demos deduzir fórmulas que permitem a contagem dos mes-
mos, em cada caso particular a ser estudado. Vale lembrar que 
as fórmulas deverão ser interpretadas como atalhos para a 
obtenção do resultado final. 
Os principais tipos de agrupamentos são: arranjos, permuta-
ções e combinações. 
Exemplo 1 
João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico 
da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que 
levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping 
para o centro histórico. 
 
https://www.infoescola.com/combinatoria/arranjo-simples/
https://www.infoescola.com/matematica/permutacao/
https://www.infoescola.com/matematica/permutacao/
https://www.infoescola.com/matematica/combinacao-simples/
De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o 
centro histórico passando pelo shopping? 
Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é 
útil para analisar a estrutura de um problema e visualizar o 
número de combinações. 
Observe como a constatação das combinações foi feita utili-
zando o diagrama de árvore. 
 
Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o 
shopping, e do shopping para o centro histórico temos 4 possi-
bilidades, então o total de possibilidades é 12. 
Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fun-
damental da contagem, efetuando a multiplicação das possibi-
lidades, ou seja, 3 x 4 = 12. 
Exemplo 2 
Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 
tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos 
menus poderiam ser montados para uma refeição com uma 
entrada, um prato principal e uma sobremesa? 
Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para enten-
der a montagem dos menus com entrada (E), prato principal 
(P) e sobremesa (S). 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 
12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus com uma en-
trada, um prato principal e uma sobremesa. 
 
VÍDEOS 
https://www.youtube.com/watch?v=a0GcRAWcoUY 
https://www.youtube.com/watch?v=3dm6pq6akQI 
https://www.youtube.com/watch?v=ihYehubzSsI&list=PLoug
O8IRm3JaFX4eZY1NYJ0kq-mdlG-nZ&t=0shttps://www.youtube.com/watch?v=PS1owQf_pt8&list=PLou
gO8IRm3JaFX4eZY1NYJ0kq-mdlG-nZ&index=3 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) - Quantas placas (distintas) de automóveis, poderão ser 
emitidas; com o sistema atual de emplacamento? 
2) Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser instala-
das, com o prefixo 436, se os telefones têm 7 algarismos (ex 
436-0000). 
3) Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos, são 
possíveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8. ? 
4) Uma garota tem 3 saias e 4 blusas. De quantas maneiras ela 
poderá sair usando saia e blusa sem repetir o mesmo conjunto? 
 
https://www.youtube.com/watch?v=a0GcRAWcoUY
https://www.youtube.com/watch?v=3dm6pq6akQI
https://www.youtube.com/watch?v=ihYehubzSsI&list=PLougO8IRm3JaFX4eZY1NYJ0kq-mdlG-nZ&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=ihYehubzSsI&list=PLougO8IRm3JaFX4eZY1NYJ0kq-mdlG-nZ&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=PS1owQf_pt8&list=PLougO8IRm3JaFX4eZY1NYJ0kq-mdlG-nZ&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=PS1owQf_pt8&list=PLougO8IRm3JaFX4eZY1NYJ0kq-mdlG-nZ&index=3
5 ) Um rapaz dispõe de 6 calças, 9 camisas e 2 pares de sapa-
tos. Com estas peças, quantos conjuntos diferentes de calça, 
camisa e sapato ele pode formar para vestir-se? 
 
6) Para a diretoria de uma firma concorrem 4 candidatos a 
presidente e 2 a vice-presidente. Quantas chapas podem ser 
formadas? 
 
7) Um salão possui 10 portas. Pergunta-se: 
a) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar no salão 
e sair dele? 
b) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar por uma 
porta e sair por outra diferente? 
 
8) Uma bandeira deve ser formada por três faixas de cores 
diferentes escolhidas entre 10 cores diferentes. 
De quantas maneiras essa bandeira pode ser composta? 
 
9) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os 
algarismos 1, 2, 4, 8 e 9? 
 
10) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos for-
mar com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 8? 
 
11) Dados os algarismos 1,3, 4, 7 e 8, pergunta-se: 
a) quantos números de 3 algarismos podemos formar? 
b) quantos números de 3 algarismos, iniciando por 8, podemos 
formar? 
c) quantos números de 3 algarismos, não iniciando por 4, 
podemos formar? 
d) quantos números de 3 algarismos distintos terminam por 3? 
 
12) Numa cidade os números de telefone tem 6 algarismos. 
Determine: 
 
a) o número de telefones que podem ser formados, sabendo-se 
que os números não podem começar por zero; 
b) quantos telefones existem com prefixos 47; 
c) quantos telefones terminam por 3. 
 
 
13) (FGV/2005) Em uma gaveta de armário de um quarto 
escuro há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas e 7 
camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas que se 
deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas cores, para que: 
a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de cores 
diferentes. 
b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma 
cor. 
c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de 
cada cor. 
 
14) (Enem/2004)No Nordeste brasileiro, é comum encontrar-
mos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas 
com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão 
deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e 
amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores 
da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. 
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, 
nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza 
ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa 
nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o núme-
ro de variações que podem ser obtidas para a paisagem é 
a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 
 
15) (UFES/2002) Num aparelho telefônico, as dez teclas nu-
meradas estão dispostas em fileiras horizontais, conforme 
indica a figura a seguir. Seja N a quantidade de números de 
telefone com 8 dígitos, que começam pelo dígito 3 e terminam 
pelo dígito zero, e, além disso, o 2o e o 3o dígitos são da pri-
meira fileira do teclado, o 4o e o 5o dígitos são da segunda 
fileira, e o 6o e o 7o são da terceira fileira. 
O valor de N é 
a) 27 b) 216 c) 512 d) 729 e) 1.331 
 
16) (UFC/2002) A quantidade de números inteiros, positivos e 
ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos 
dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a: 
a) 320 b) 332 c) 348 d) 360 e) 384
17)(UFAL/200) Quantos números pares de quatro algaris-
mos distintos podem ser formados com os elementos do 
conjunto A={0,1,2,3,4}? 
a) 60 b) 48 c) 36 d) 24 e) 18 
 
18)(UFPI/2000) Escrevendo-se em ordem decrescente todos 
os números de cinco algarismos distintos formados pelos 
algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, a ordem do número 75389 é: 
a) 54 b) 67 c) 66 d) 55 e) 56 
 
19)(UFAL/99) Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7} formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos 
dos números formados NÃO são divisíveis por 5? 
a) 15 b) 120 c) 343 d) 720 e) 840 
 
20)(ITA/2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos 
distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. 
Quantos destes números são ímpares e começam com um 
dígito par? 
a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625 
 
21)(UNESP/2000) Um turista, em viagem de férias pela 
Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cida-
de B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B 
até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovi-
as. O número de percursos diferentes que o turista pode 
fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando 
rodovia e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: 
a) 9. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20. 
 
22)(UECE/99) Quantos números ímpares, cada um com três 
algarismos, podem ser formados com os algarismos 2,3,4,6 
e 7, se a repetição de algarismos é permitida? 
a) 60 b) 50 c) 40 d) 30