Calculo derivada

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Prof. Otto H. M. Silva
Aula 3
Cálculo Diferencial
e Integral a uma 
Variável
Conversa Inicial
Vimos o conceito
de limite e agora, a 
partir dele, veremos 
a definição de 
derivada, a regra da 
cadeia, a derivação 
implícita e o 
formulário para o 
cálculo de derivadas 
Cálculo diferencial
Definição de derivada
Seja � � ���� uma curva, 
e ����, ��� um ponto 
sobre o seu gráfico,
o coeficiente angular
m da reta tangente ao 
gráfico de f no ponto
P é dado pelo limite 
 � lim
�⟶�
� � ������
����
quando 
este existir
Reta tangente Reta tangente à curva
2
Determine a equação 
tangente à parábola 
� � � �² no ponto de 
abscissa �� � 1
Exemplo
Equação da reta:
� � �� � 
�� � ���
�� � � �� � 4
� � 4
 � lim
�⟶�
� � ������
����
 � lim
�⟶�
�²��
���
� ⋯ � 2
Solução
� � � � 2 � � �
� � 2� � 2 � 1
� � 2� � 1
Seja � � � � uma 
função, e �� um
ponto do seu 
domínio, chama-se
a derivada da função 
� no ponto �� e se 
denota por	�� � o 
limite
A derivada de uma função em 
um ponto
�� � � lim
�⟶ !
� � ������
����
, 
quando existir
Dada a função � � �
�� � � � 1, determine 
�′�2�.
Solução:
�� � � lim
�⟶ !
� � ������
����
�� 2 � lim
�⟶�
�#��$%�����
���
�
Exemplo
3
�� 2 � lim
�⟶�
�#��$%�&
���
�
�� 2 � lim
�⟶�
�#����
���
�
�� 2 � lim
�⟶�
��$%������
���
�
�� 2 � lim
�⟶�
�� � 1� � 3
Álgebra das derivadas
Dadas ( e )� �, 
temos que:
( � ) ′ � (� � )′� �
(. ) ′ � (� )� � �
(� �)′� �
(
)
�
 �
(+ ) �( )�� �
)� � ²
Calcule a derivada de
y � � � �
5�� � 8
2�
Exemplo
� �
/
0
���� �� �
/�0�/0�
0²
�� �
%�� �� 	�	 1�# 	�	2 �
�� ²
�
%��# 	$	%3
��²
�� �
1�#	$	2
��²
Fórmulas de derivação
4
Seja � � � � � 5�³. 
Calcule a derivada 
�′�40�
Solução:
�� � � 15�²
�� 40 � 15.40²
�� 40 � 15.1600
�� 40 � 24000
Exemplo
Fórmulas de derivação
Determine a derivada 
da função
1. � � 78	�.
�� � � 9:;	 <
2.= � � 9:;	 
	=� � � 9:;	 	>) 
Exemplo
Regra da cadeia
Se � � 8 ? , ? � ����, e 
as derivadas @A
@/
e @/
@�
existem, então a 
função composta 
� � 8 ∘ � � � 8�� � �
tem derivada dada 
por	@A
@�
�
@A
@/
	 . 	
@/
@�
ou 
�� � � �� ? . ?� �
5
Calcule a derivada
de � � 2� � 1 &
� � ?C ����	? � 2� � 1 e 
 � 3
@A
@�
�
@A
@/
. @/
@�
�� � 
?C�%	. 	?′
�� � 3?�	. 	 2 � 6?²
�� � 6�2� � 1�²
Exemplo
Diferenciação 
implícita
Uma expressão na 
forma D �, � � 0	define 
implicitamente uma 
função � � ���� se o 
gráfico de � � ����
coincide com alguma 
parte do gráfico 
D �, � � 0
Derivada na forma implícita
:
 
= � < � E=
Calcule y’
:
 
=
F
F�
 
=
� < � E=′
:
 
=
= � =′
=²
� < � E=′
=� �
= <= � :
 
=
E=� � :
 
=
Exemplo
Na Prática
O custo em reais da 
produção de x peças 
automotivas é dado 
por: G� � � ³
H!!!
�
 ²
�!!
�
I � <!!
Considerando que
o custo marginal é 
uma derivada de G� �, 
calcule esse custo 
para x=10
6
Finalizando
Nessa aula, 
estudamos o conceito 
de derivada e o seu 
cálculo para várias 
funções e funções 
implícitas
Utilizamos também a 
regra da cadeia para 
o cálculo de funções 
compostas
Referências
FACCIN, G. M. 
Elementos de
Cálculo Diferencial
e Integral. Curitiba: 
Intersaberes, 2015.
FÍSICA MAIS 
MATEMÁTICA. 
Disponível em: 
<http://fisicamaismat
ematica.blogspot.com.
br>. Acesso em: 5 dez. 
2017.
GEOGEBRA. 
Disponível em: 
<https://www.geoge
bra.org/?lang=pt_BR
015>. Acesso em: 5 
dez. 2017.