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elétrico , isto é:
Quando aponta da carga negativa para a positiva, tem-
se o sentido positivo, e quando está orientada para a carga 
negativa, é negativo. Os valores de e não podem ser 
obtidos separadamente quando o campo elétrico é medido 
em locais distantes, apenas . Para como a distância entre 
o centro do dipolo e um ponto qualquer, tem-se que o 
campo elétrico é proporcional a . Um outro aspecto a 
ser mencionado é que a direção do vetor é a mesma que 
, para pontos sobre o eixo do dipolo. 
A maior influência sobre a diminuição ou o aumento 
de um campo elétrico é a variação da distância as partículas. 
A grandes distâncias os dipolos se comportam como um 
par de cargas elétricas de sinais opostos que se cancelam 
(NUSSENZVEIG, 2015; TIPLER et al., 2014). Logo, em 
pontos distantes, pode-se considerar que os campos elétricos 
resultantes destas cargas elétricas se cancelam. 
Exemplo 1
A figura mostra três partículas de cargas , 
 e , todas situadas a uma distância 
 da origem. Determine o campo elétrico total produzido 
na origem pelas três partículas (HALLIDAY et al., 2008, p. 
27).
 
Figura 4 – Cargas puntiformes , e no plano , 
dispostas a um ângulo de em relação ao eixo horizontal, 
com no quadrante esquerdo superior e, e nos 
quadrantes superior e inferior direito, respectivamente.
Fonte: Halliday et al. (2008). 
Solução:
O campo elétrico a uma determinada distância de 
uma partícula carregada é determinado por:
Sabendo que , , e 
, em relação a origem do sistema, podem ser calculados 
os módulos dos campos elétricos no mesmo ponto, gerados 
pelas três cargas, ou seja:
Cargas positivas possuem linhas de campo elétrico no 
sentido de afastamento da carga, enquanto cargas negativas 
possuem linhas de campo no sentido de aproximação. A 
seguir será demonstrada a disposição dos vetores de campo 
elétrico para o presente exemplo. 
Figura 5 – Sentido do campo elétrico produzido pelas 
cargas conforme o sinal positivo ou negativo. 
Fonte: Halliday et al. (2008).
Portanto, o campo elétrico total é dado pela soma dos 
campos elétricos individuais em , veja:
Observe que os campos elétricos se anulam em . 
Exemplo 2
Uma carga puntiforme positiva e uma 
carga puntiforme negativa estão localizadas no 
eixo em e em , respectivamente, como 
demonstrado adiante. Considere as seguintes regiões no eixo 
: região I ( ), região II ( ) e região 
III ( ). Em qual região, ou regiões, há um ponto no 
qual o campo elétrico resultante é igual a zero (TIPLER et al., 
2014, p. 13)?
17
Figura 6 – Posições de duas cargas puntiformes e 
em e , respectivamente, a partir das quais são 
definidas as regiões , e . 
Fonte: Tipler et al. (2014).
Solução:
Embora este exemplo constitua uma análise inteiramente 
teoria, sem a necessidade de mensurar os campos elétricos 
em termos quantitativos, trata-se de um importante exercício 
para que sejam melhor compreendidos exercícios análogos, 
mesmo sem realizar qualquer operação. Interpretando cada 
uma das regiões da imagem acima, inferimos que na região 
I, em razão da maior magnitude e proximidade da carga 
em relação a , é maior que em todos os pontos da 
região I. 
Na região II, os vetores campo elétrico possuem a mesma 
direção em todos os pontos, logo o campo elétrico resultante 
não é nulo. E na região III, em pontos próximos de 
, tem-se uma maior magnitude de ; enquanto em pontos 
mais distantes de , há um enfraquecimento do campo 
elétrico gerado por ; enquanto que uma maior magnitude 
da favorece a existência de . Logo, conforme a 
aproximação ou o distanciamento de em relação a carga 
, o campo elétrico resultante pode ser nulo. 
Exemplo 3
Uma carga puntiforme está na origem 
e uma segunda carga puntiforme está no 
eixo em . Determine o campo elétrico no eixo 
 em (TIPLER et al., 2014, p. 14). 
Figura 7 – Vetores do campo elétrico e no ponto 
, gerados a partir das cargas puntiformes positivas e 
sobre o eixo .
 Fonte: Tipler et al. (2014).
Solução:
Os sentidos dos campos elétricos gerados pelas cargas 
 e estão representados na figura 7. Calculando e :
Para temos duas componentes, empregado a soma 
dos vetores no ponto , desenvolve-se:
Onde e , resultando em:
O módulo de é dado por:
A orientação do campo elétrico resultante é encontrada 
pelo arco tangente a seguir:
O ângulo corresponde ao ângulo entre o vetor campo 
elétrico resultante e o eixo . 
Exemplo 4
A distância entre duas cargas puntiforme 
e é igual a . Denomina-se dipolo 
elétrico um conjunto de duas cargas iguais, porém de sinais 
contrários. Determine o campo elétrico produzido por 
, o campo elétrico produzido por e o campo elétrico 
resultante (YOUNG; FREEDMAN, 2014, p. 19): 
Figura 8 – Dipolo elétrico de cargas iguais, mas sinais 
contrários, com a representação dos pontos , e .
Fonte: Young e Freedman (2014).
18Física Teórica e Experimental iii
(a) no ponto .
Solução:
Calculando os módulos dos campos elétricos no ponto 
, em razão das cargas e :
 
Os campos elétricos e possuem a mesma 
orientação ( ), então o campo elétrico resultante no ponto 
 ( ) é dado por:
Como pode ser visualizado, é orientado da esquerda 
para a direita. 
(b) no ponto .
Solução:
Os módulos dos campos elétricos no ponto , devido 
às cargas e , são:
Na forma vetorial, o campo elétrico resultante no ponto 
 ( ) é:
 
Logo, neste caso é orientado da direita para a 
esquerda. 
(c) no ponto .
Solução:
No ponto , o módulo dos campos elétricos gerados 
pelas cargas e são iguais, onde:
 
Sendo que e dada a simetria 
de suas posições em relação ao ponto , os respectivos 
campos elétricos se cancelam em . Com isso, o módulo do 
campo elétrico em ( ) é:
Portanto, é orientado no sentido positivo do eixo . 
retomando a aula
 
Chegamos, assim, ao final de nossa aula. Vamos, 
então, recordar algumas discussões realizadas ao 
longo das seções? 
1 – Conceito de Campo
 Estudamos que pode ser realizada uma analogia entre 
o campo elétrico e os campos de temperatura e de pressão, 
pois em todos os pontos de um local tem-se um determinado 
valor, contudo, esses campos são escalares e o campo elétrico 
é um campo vetorial. Deve-se ressaltar que não analisamos o 
campo elétrico gerado pela carga de prova, mas a influência do 
campo elétrico de uma outra carga elétrica sobre esta carga de 
prova. A orientação de uma linha de campo elétrico retilínea 
ou da tangente de uma linha de campo elétrico não retilínea 
é a mesma do vetor campo elétrico, sendo que o número 
de linhas por unidade de área em um plano perpendicular é 
proporcional ao módulo. As linhas de campo elétrico partem 
das cargas positivas se afastando e terminam nas cargas 
negativas se aproximando.
2 – Campo Elétrico de Cargas Pontuais
 Apresentada a expressão para o cálculo do campo 
elétrico gerado por uma carga pontual, foi demonstrado o 
método de cálculo do campo elétrico em um ponto qualquer 
do espaço, dado um conjunto de cargas pontuais. O sentido 
do campo elétrico é igual ao da força , para longe da carga 
pontual se é positiva e na direção da carga pontual se é 
negativa. O campo elétrico total produzido por mais de uma 
carga pontual, dada uma carga de prova positiva próxima 
a cargas pontuais , , , é dado pela soma do campo 
elétrico produzido por cada carga pontual.
3 – Campo Elétrico Produzido por um Dipolo 
Elétrico
Dipolo elétrico, por definição, refere-se a duas partículas 
carregadas de mesmo módulo e sinais opostos, situadas a 
uma determinada distância uma da outra. Os parâmetros 
que caracterizam um dipolo elétrico são as magnitudes das 
cargas ( ) e a distância entre elas ( ), o produto resulta 
numa grandeza conhecida como momento dipolar elétrico 
. Quando aponta da carga negativa para a positiva, tem-se o 
sentido positivo e quando está orientada para a carga negativa, 
 é negativo. A direção do vetor é a mesma que , para 
pontos sobre o eixo do dipolo. Contudo, a maior influência 
sobre a diminuição ou o aumento

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