Apostila S Estruturas 1 finalizada

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SISTEMAS ESTRUTURAIS I 
 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
 
 
 
 
 
Prof. José Dimas Rietra 
Professor da: 
 Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto 
 Escola de Engenharia Kennedy 
 FACEB 
 Universidade de Itaúna 
 Faculdade Promove 
 Unihorizontes 
 
2020 
 
TÓPICOS 
 
=> CONVERSANDO SOBRE ENGENHARIA 
=> ESTRUTURA 
 Apoio – Reações de Apoio 
 Exercícios Resolvidos 
 Exercícios Propostos 
=> FORÇA NORMAL/ FORÇA CORTANTE / MOMENTO FLETOR 
 Vigas Isostáticas 
 Exercícios Resolvidos 
 Exercícios Propostos 
=> VIGAS GERBER 
 Exercícios Resolvidos 
 Exercícios Propostos 
=> QUADROS ISOSTÁTICOS 
 Exercícios Resolvidos 
 Exercícios Propostos 
=> QUADROS TRIARTICULADOS 
 Exercícios Resolvidos 
 Exercícios Propostos 
=> TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 
 Método de Ritter 
 Método da Viga de Substituição 
 Exercícios Resolvidos 
 Exercícios Propostos 
 
1 
 
CONVERSANDO SOBRE ENGENHARIA 
 
Quando o homem e a mulher foram criados e toda sua descendência, 
havia necessidade da procura de abrigos para se proteger das intempéries. Estes 
abrigos não eram fáceis de se achar próximos das terras férteis, onde eles 
tiravam seu sustento. 
Assim sendo, ele foi obrigado a contratar as mãos hábeis de um pedreiro 
para construir suas casas. Isto aconteceu há mais de 11.000 anos. A cidade de 
Jericó, a mais antiga cidade do mundo e suas muralhas, comprova esta 
afirmação. É a engenharia florescendo! 
As sete maravilhas do mundo antigo eram obras monumentais de 
engenharia: 
 A Pirâmide de Quéops, no Egito; 
 Os Jardins Suspensos da Babilônia; 
 A Estátua de Zeus, em Olímpia; 
 O Templo de Ártemis, em Éfeso; 
 O Mausoléu de Halicarnasso; 
 O Colosso de Rodes; e 
 O Farol de Alexandria. 
 
 
 
 
2 
 
 
Pirâmides de Quéops 
 
 
 
Jardins Suspensos da Babilônia 
 
 
 
 
3 
 
 
Estátua de Zeus 
 
 
 
Templo de Ártemis 
 
4 
 
 
Mausoléu de Halicarnasso 
 
 
 
 
Colosso de Rodes 
5 
 
 
 
 
 
 
 
Farol de Alexandria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Hoje são consideradas maravilhas onde a engenharia está presente: 
 A Grande Muralha da China; 
 A Cidade de Petra, na Jordânia; 
 O Cristo Redentor, no Rio de Janeiro; 
 Machu Picchu, no Peru; 
 A Pirâmide de Chichén Itzá, no México; 
 O Coliseu de Roma; e 
 O Taj Mahal, na Índia. 
 
 
 
 
 
 
Grande Muralha da China 
 
7 
 
 
Cidade de Petra 
 
 
 
Cristo Redentor 
 
8 
 
 
 
Machu Picchu 
 
 
 
 
 
 
Pirâmide de Chichén Itzá 
 
 
9 
 
 
 
 
Coliseu 
 
 
 
 
 
Taj Mahal 
 
10 
 
Estas construções representam o domínio do homem sobre a natureza e 
os elementos, a precisão das formas e dos alinhamentos. 
 
 
 
 
 “Engenharia é a aplicação de métodos de conhecimento cientifico 
ou empírico, destinados a utilização de recursos materiais e naturais para 
o benefício do ser humano.” 
 
 
 
 
 “Engenharia Civil é a parte específica da Engenharia dedicada a 
projeção, construção, gerência e manutenção de todos os serviços ligados 
à infraestrutura produzida para o desenvolvimento e o bem estar das 
pessoas.” 
 
 
 
 Mas Engenharia implica considerar falhas, erros, vícios e defeitos. 
 
O que cada uma destas situações nos diz? 
 
Falhas: São imprevisíveis 
Erros: São evitáveis 
Vícios: Anomalias que afetam o desempenho de produtos ou serviços 
Defeitos: Dizem respeito a solidez e a segurança 
11 
 
Onde se encontra o erro em Engenharia? 
 
Na imprudência que é a falta de cuidado; 
 
Na negligência que é o descuido e o desleixo; e 
 
Na imperícia que é a inexperiência. 
 
 
 
“Em Engenharia pequenos erros podem gerar grandes problemas!” 
 
 
 
Erros não são incomuns com profissionais que trabalham dia a dia com 
engenharia, contudo, em algumas áreas, eles podem ser fatais, principalmente 
quando se trata de fundações e estruturas. Por esta razão é preciso que os 
profissionais estejam qualificados, antes de se estabelecer no mercado de 
trabalho. 
 
O que é acidente ou incidente? 
 
Acidente é um evento inesperado, indesejável e não intencional que 
causa danos pessoais, materiais e financeiros. 
Incidente é um evento não planejado com potencial de chegar a um 
acidente. 
12 
 
“Não existe segurança absoluta em estruturas, sempre há possibilidade 
do colapso ou ruína!” 
 
Então porque erros acontecem? 
Principais causas: 
Erro de Projeto 
Erro de Execução 
Outras 
 
Quando se fala em erro de projeto dois fatores pesam: 
 Falta de experiência para calcular utilizando programas de computador 
“O recém formado adquire um programa e dispara a fazer projetos sem 
ter sequer experiência para interpretar resultados.” 
 
Lembre-se: “Computadores são máquinas que produzem lixo com 
excelente apresentação e alta credibilidade.” 
 
 Excesso de experiência 
“O engenheiro já projetou inúmeras obras e como tem experiência, 
manda repetir os projetos e os cálculos, esquecendo que cada obra tem uma 
história diferente.” 
 
Lembre-se: “Mas eu sempre fiz assim e está de pé até hoje, não alivia 
seu erro.” 
13 
 
 “O médico enterra o erro, o erro enterra o engenheiro.” 
 
Na execução há o costume errado de deixar a obra na mão do mestre de 
obras, só que o seu nome e seu diploma, tem seu rosto! 
 
 “Muitos engenheiros de obras não têm qualquer noção sobre a estrutura 
que estão edificando. 
 
 Cuidado com os construtores cupins que adoram furar suas vigas. 
 
 
 Confira a armação das peças mais importantes na mão. Faça uma conta 
de padaria. 
 
 Não se concreta nada na sua obra sem sua presença e com sua verificação, 
faça disso um mantra.” 
 
 Meus amigos(as)! A Engenharia é uma profissão fantástica. exercê-la 
com cuidado, ética, responsabilidade e dignidade deve ser nosso lema. 
 
 
Nunca se esqueçam: 
 
 A força da gravidade funciona 7 dias por semana, 24 horas por dia. 
 
 
14 
 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
 
Vocês prezados(as) tem a oportunidades de ter o 1º contato com a 
Engenharia no seu curso. Esta disciplina é uma das primeiras disciplinas 
profissionais, o que torna o curso mais motivado, ela é base para as demais 
disciplinas profissionais de um curso de Engenharia Civil. Fiquem tranquilos, pois 
ao fim do semestre, garanto a vocês o aprendizado tão esperado, pois sou 
professor há 43 anos. 
 
 
Para iniciarmos vamos conceituar o termo estrutura. 
 
 
 
 
 
Estrutura: Conjunto de elementos que compõem uma construção, 
destinado a suportar cargas em equilíbrio estático. 
 
 
 
 
 
15 
 
Estudaremos estruturas compostas de barras. A barra é um elemento 
estrutural que tem uma dimensão ( l ) predominante sobre as outras duas (b) e 
(h). 
 
 
 
As barras podem ainda ser de seção quadrada ou circular, e podem ter 
eixo retilíneo ou curvilíneo. 
Vamos representar uma barra por seu eixo, como se faz no cálculo 
estrutural. Assim: 
 
 
 
Vamos em seguida, desenvolver nossa aula considerando o conceito de 
estrutura dado acima. 
 
 ELEMENTOS CONSTRUTIVOS 
Vigas Elemento estrutural que dá sustentação as lajes. 
16 
 
Tipos: 
Viga Biapoiada: É a mais simples e como o nome diz, ela tem dois apoios. 
Ela aparece em pequenas construções e pequenas pontes. 
Viga em balanço: Tem uma extremidade livre e outra engastada. Aparece 
em marquises. 
Viga Biapoiada com balanço(s): É uma viga que tem dois apoios e um ou 
dois balanços (extremidade livres) - pequenas pontes, há vigas deste tipo. 
Viga Gerber: São associações das vigas anteriores, muito utilizadas 
quando se quer vencer grandes vãos (pontes, passarelas e viadutos). 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
Viga Contínua: São aquelas constituídas de uma única barra sobre vários 
apoios; elas podem ter balanços. Encontramos estas vigas na maioria das nossas 
construções. 
 
 
 
 
Pórtico: Estruturas devárias barras, formando uma linha poligonal 
fechada ou aberta. Alguns destes pórticos podem associar a uma viga e dois 
pilares. 
 
Biapoiado 
ou 
Biarticulado 
18 
 
 
Treliça: Estruturas compostas de barras retas biarticuladas, formando 
malhas triangulares. 
 
 
19 
 
 CARGAS ATUANTES MAIS COMUNS 
Quanto a cargas fixas: Não se deslocam na estrutura e se dividem em: 
Cargas Permanentes: Atuam sempre. Exemplo: Peso Próprio. 
Cargas Acidentais: Podem ou não ocorrer. Exemplo: Vento. 
Quanto a cargas móveis: Cargas que se deslocam na estrutura. Exemplo: o peso 
de um veículo que se desloca numa ponte. 
 
 COMO AS CARGAS SE APRESENTAM: 
Concentradas 
Distribuídas 
Cargas Concentradas são as que se aplicam em áreas com dimensão tão 
reduzidas que podem ser consideradas com aplicadas em um ponto. 
Exemplo: reação de apoio de uma viga que se apoia em outra viga, que ocorre 
quase sempre em cálculo. 
 
 
20 
 
Cargas Distribuídas são as que se apoiam em grandes áreas. Exemplos: 
peso próprio, sobrecargas, reações de lajes, terra, água. 
As cargas distribuídas podem dividir-se em: 
 Uniformemente Distribuída 
 Variáveis 
 Triangulares 
 Trapezoidais 
 Parabólicas 
 
 
 
Distribuída de maneira variável: a carga � varia de ponto a ponto da 
barra. 
 
Carga Triangular: empuxos da terra e da água. 
Com menor frequência ocorrem as Cargas Trapezoidais e Parabólicas. 
Uniformemente 
Distribuída 
Peso próprio, 
sobrecarga, reação 
de laje, e outras. 
21 
 
 EQUIVALÊNCIA DE CARGAS 
Toda carga uniformemente distribuída que tem um formato de um 
retângulo pode ser substituída por sua equivalente concentrada, cujo valor é a 
área do retângulo. 
Assim: 
 
Assim também a carga triangular: equivalente a área do triângulo. 
 
 
 Equilíbrio 
 
≡ 
Área = �l 
≡ 
Área = 
 �l
�
 
∑ �� = 0; ∑ �� = 0 e ∑ � � = 0 
22 
 
 
EQUAÇÕES UNIVERSAIS DO EQUILÍBRIO 
 
“Estrutura é o que leva as cargas até a fundação, cabe ao engenheiro 
ver o caminho percorrido.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
APOIOS – REAÇÕES DE APOIO 
 
CONCEITUAÇÃO 
Seja uma barra de eixo reto sujeita a ação de várias cargas; em repouso. 
 
A barra não permanecerá em repouso, ela se movimentará, a não ser 
que se coloquem obstáculos que impeçam esta movimentação: 
 
A esses obstáculos damos o nome de apoios. Esses apoios por sua vez 
exercerão sobre a barra um conjunto de forças denominadas Reações de 
Apoio. 
 
24 
 
Caro aluno(a), tome uma régua em suas mãos. Esta régua pode sofrer 
três deslocamentos. 
Ela pode deslocar-se na horizontal e na vertical. Chamamos esta 
movimentação de translação. Então pode haver translação na horizontal e 
translação na vertical. Além desta movimentação linear, a barra também pode, 
fixada uma das suas extremidades, girar em torno desta fixação. Chamamos este 
movimento de rotação. Se pode acontecer com uma régua, também pode 
acontecer com uma barra. Desta forma foram criados apoios para identificar 
estas movimentações e seus impedimentos. 
 
TIPOS DE APOIOS 
 
 Apoio Móvel 
Representação: 
 
 
Movimentos Translação Horizontal 
Permitidos 
 Rotação ao redor do próprio eixo 
 
 
25 
 
 
Movimento Impedido Translação Vertical 
 
 Apoio Fixo 
Representação: 
Movimento Permitido Rotação ao redor do próprio eixo 
 
Movimentos Translação Horizontal 
Impedidos Translação Vertical 
 
26 
 
 Engaste 
Representação: 
Nenhum movimento permitido 
 
� � = Momento Reativo 
 Em última análise: “Reação de Apoio é o impedimento ao movimento” 
NOTAÇÕES E CONVENÇÕES 
Os nossos cálculos sempre serão considerados da esquerda para a 
direita, qualquer que seja a situação: 
 
27 
 
 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 
No cálculo das reações de apoio, visando obter o equilíbrio de uma 
estrutura, empregaremos as três equações universais do equilíbrio: 
∑ �� = 0 ; ∑ �� = 0 ; ∑ � � = 0 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
Estrutura Isostática 
Nº de Equações = Nº de Incógnitas 
Exemplos: 
 
Nº de Equações = 3 (∑ �� = 0 ; ∑ �� = 0 ; ∑ � � = 0) 
Nº de Incógnitas = 3 (�� ; �� ; �� ) 
28 
 
 
Estrutura Hiperestática 
Nº de Equações < Nº de Incógnitas 
Exemplo: 
 
Nº de Equações = 3 
Nº de Incógnitas = 4 
 
Não tenha pressa em concluir o curso de graduação. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nº 01 
Calcular as reações de apoio (equilíbrio) das estruturas a seguir: 
1) 
 
29 
 
 
∑ �� = 0 ∴ �� = 0 1 
∑ �� = 0 ∴ �� − 4 − 6 + �� = 0 ∴ �� + �� = 10 � 2 
∑ � � = 0 ∴ ∴ 8�� − 4�6 − 6�3 = 0 3 
8�� = 42 �� ∴ �� = �,�� � 
3 em 2 : �� = 10 − �� = 10 − 5,25 = �,�� � 
2) 
 
 
30 
 
∑ �� = 0 ∴ �� = 0 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 10 �� 
∑ � � = 0 ∴ ∴ − 1�7 − 2�6,5 + 6�� − 5�3 + 2�1 = 0 ∴
∴ 6�� = 33 ��� 
�� = �,� �� e �� = �,� �� 
Ou 
∑ � � = 0 ∴ ∴ − 1�1 − 2�0,5 + 5�3 − 6�� + 2�7 = 0 ∴
∴ − 6�� = − 27 ��� ∴ �� = �,� �� 
3) 
 
 
 
Mesmo 
valor 
31 
 
4��� 30°= 2 � e 4��� 30°= 3,48 � 
 
∑ �� = 0 ∴ �� − 4 cos30°= 0 
� � = �,�� � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 15 � 
∑ � � = 0 ∴ ∴ 8�� − (4��� 30°)�7 − 6�2 − 
− 2�1 + 3�1,5 + 2�3 = 0 
8�� = 14 + 12 + 2 − 4,5 − 6 = 17,5 �� 
�� = �,�� � e �� = ��,�� � 
 
Ou 
 
∑ � � = 0 ∴ ∴ (4��� 30°)�1 + 6�6 + 2�7 
− 8�� + 3�9,5 + 2�11 = 0 
− 8�� = − 2 − 36 − 14 − 28,5 − 22 = − 102,5 �� 
�� = ��,�� � 
 
 
 
 
32 
 
4) 
 
∑ �� = 0 ∴ − 3 + 4 + �� = 0 ∴ �� = 3 − 4 = − 1 � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 8 � 
∑ � � = 0 ∴ ∴ 8�� − 3�1 − 8�4 + 4�2 = 0 
8�� = 3 + 32 − 8 = 27 �� 
�� = �,�� � e �� = �,�� � 
 
33 
 
5) 
 
 
 
 
34 
 
 
∑ �� = 0 ∴ �� − 8 = 0 ∴ � � = � � 1 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 10 � 2 
∑ � � = 0 ∴ ∴ 6�3 − 8�4 − 6�� = 0 
− 6�� = 14 �� ∴ �� = − �,�� � 3 
3 em 2 : �� = 10 − �� = 10 + 2,33 = ��,�� � 
Ou 
∑ � � = 0 ∴ ∴ 6�� − 2�� − 6�3 − 8�2 − 4�6 = 0 
6�� = 2�8 + 18 + 16 + 24 = 74 �� 
�� = ��,�� � 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nº 01 
Calcular as reações de apoio (equilíbrio) das estruturas a seguir: 
1) 
 
 
 
35 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
36 
 
6) 
 
7) 
 
 
ALGUMAS RESPOSTAS: 
1) �� = 4,28 � ; 2) �� = 5,15 � ; 3) �� = 5 � 
4) �� = 6 � ; 5) � � = 33 �� ; 6) �� = 2 � 
7) �� = 0,33 �� 
37 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Obter as reações da viga em balanço: 
 
 
 
∑ �� = 0 ∴ � � = � 
∑ �� = 0 ∴ �� = �� �� 
∑ � � = 0 ∴ ∴ − � � + 4�1 + 4�2 + 12�4 = 0 
− � � = − 4 − 8 − 48 = − 60 ��� 
� � = �� ��� 
 
 
38 
 
2) Calcular as reações de apoio da viga abaixo: 
 
∑ �� = 0 ∴ � � = � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 4 �� 
∑ � � = 0 ∴ ∴ 4�� − 4�2 = 0 ∴ 4�� = 8 ��� 
�� = � �� e �� = � �� 
 
39 
 
OUTRA HIPÓTESE 
 
 
 
∑ �� = 0 ∴ � � = � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 5 �� 
∑ � � = 0 ∴ 4�� − 5�2 = 0 ∴ 
 ∴ 4�� = 10 ��� 
�� = �,� �� 
 
�� = �,� �� 
40 
 
3) Calcular as reações de apoio da estrutura abaixo: 
 
∑ �� = 0 ∴ 6 − 4 − �� = 0 ∴ �� = 2 � 
∑ �� = 0 ∴ �� = 11 � 
∑ � � = 0 ∴ ∴ − 3�5 + 6�10 + 2�3 + 3�4 + 3�5,5 − 
− 4�2 − � � = 0 
 
41 
 
− � � = 15 − 60 − 6 − 12 − 16,5 + 8 = − 71,5 �� 
� � = 71,5 �� 
 
FORÇA NORMAL – FORÇA CORTANTE E 
MOMENTO FLETOR 
 
 
Quando uma barra é solicitada por cargas aplicadas, surge no interior 
dela esforços denominados força normal, força cortante e momento fletor. Estes 
esforços definirão a quantidade de armadura e seu diâmetro, bem como as 
dimensões destas barras. Em primeiro lugar iremos conceituar pois são esforços 
que acompanharãotoda a vida do Engenheiro Civil. 
 
REDUÇÃO DE FORÇAS SITUADAS A ESQUERDA DE 
UMA SEÇÃO 
 
Seja uma barra com sua seção cheia, sujeita a ação de certo número de 
forças. Seja G um ponto qualquer do eixo da peça e SS a seção reta que passa 
por G. 
 
42 
 
 
Vamos considerar as forças situadas a esquerda da seção SS: � �; ��; 
� � e � �. Estas forças podem ser reduzidas a uma única força denominada 
resultante (R) aplicada no ponto G e a um momento (M) destas mesmas forças 
em relação a G. 
Decompondo R em duas componentes temos: N dirigida segundo o eixo 
da peça e V dirigida segundo a perpendicular a este eixo no ponto G. 
 A componente N denomina-se Força Normal, a componente V 
denomina-se Força Cortante e M, Momento Fletor em relação ao ponto G. 
Estas três grandezas são os elementos de redução das forças situadas a 
esquerda da seção SS, e caracteriza a ação das forças externas aplicadas na 
parte esquerda da barra (viga). 
Conceitua-se assim: 
 A Força Normal N é igual a soma das projeções sobre o eixo da peça, de 
todas as forças situadas a esquerda de G; 
43 
 
 A Força Cortante V é igual a soma das projeções sobre a perpendicular 
ao eixo da peça, de todas as forças situadas a esquerda de G; 
 E Momento Fletor M é igual a soma dos momentos destas mesmas forças 
(N e V) em relação ao ponto G. 
 
REDUÇÃO DE FORÇAS SITUADAS A DIREITA DE 
UMA SEÇÃO 
 
Ao invés de efetuar a redução de forças a esquerda da seção SS, 
podemos considerar todas as forças situadas a direita da mesma seção e efetuar 
a redução ao ponto G. Teremos então N’, V’, M’. 
 
 
 
44 
 
Como a barra AB está em equilíbrio, temos: 
 
N + N' = 0 ∴ � = − �′ 
V + V' = 0 ∴ � = − �′ 
M + M' = 0 ∴ � = − � ′ 
 
O que mostra que se quisermos calcular N; V e M, empregamos as 
definições dadas olhando a esquerda da seção, ou olhando a direita empregamos 
as mesmas definições e trocamos de sinal. 
Os esforços N, V e M são representados graficamente por meio de 
diagramas. 
CONVENÇÃO DE SINAIS PARA OS DIAGRAMAS 
 
SIGNIFICADO PRÁTICO DE N, V e M 
Grande parte das nossas estruturas sofrem esforços que tendem a 
alongá-las ou encurtá-las. 
Assim sendo, a Força Normal pode produzir um alongamento ou um 
encurtamento, em uma peça (barra). 
45 
 
Vejamos: 
 
Força Normal de Tração + 
 
 
Força Normal de Compressão - 
A Força Cortante, como o próprio nome indica, realiza um corte rente a 
seção. 
 
� = deformação 
O Momento Fletor tende a fletir a peça. 
 
Alongamento 
Encurtamento 
46 
 
Como surgiu o concreto armado? 
Como a maioria das nossas barras estruturais sofrem esforços de tração 
e compressão, surge então o concreto armado. 
 
 Areia Combate 
Concreto Brita os esforços 
(Mistura) Cimento de compressão 
 Água 
 
 Combate 
Armado armadura (ferragem) os esforços 
 de tração 
 
Além de cada um dos materiais combater um esforço, há uma alta 
aderência entre os dois materiais. As barras não são lisas que mergulhadas na 
massa de concreto produz uma alta aderência. 
Vamos agora considerar: 
 
 
Viga em repouso 
47 
 
 
Como as armaduras combatem tração, elas serão colocadas na parte de 
baixo onde ocorre a tração. Na parte superior, onde há compressão o próprio 
concreto dá cabo. 
 
 
 
Consideremos agora: 
 
Agora a situação é inversa da anterior, armadura principal acima, na 
parte de baixo o concreto dá cabo. 
Sujeita a 
Carga 
(Deformação) 
Armadura Transversal (Estribo) – (V) 
Armadura Principal – (M) 
(Longitudinal) 
Armadura Secundária 
Viga em repouso 
Sujeita a carga 
48 
 
 
 
 
 
Agora apresentamos alguns casos fundamentais e logo após aplicações 
numéricas. 
VIGA BIAPOIADA – CARGA CONCENTRADA 
 
Reações de apoio: ∑ �� = 0 ∴ �� = 0 1 
∑ �� = 0 ∴ �� − � + �� = 0 ∴ �� + �� = � 2 
∑ � � = 0 ∴ ∴ �� �l − �� = 0 ∴ �� =
��
l
 3 
Armadura 
Principal 
(Momento Fletor) 
Armadura Secundária Estribos 
(Força Cortante) 
 
49 
 
3 em 2 
�� = � − �� = � −
��
l
=
�l� ��
l
=
�(l� �)
l
=
��
l
 
Momentos Fletores: 
� � = � � = 0 
� � = �� �� =
��
l
�� =
���
l
 
Observe: Em vigas biapoiadas com ou sem balanços, quando 
 � = � � ��� 
Observe também a equação “� � = �� ��” é uma equação do 1º grau 
cuja representação é de uma reta. 
Caso Particular - � = � =
l
�
 
 
Reações de apoio: ∑ �� = 0 ∴ �� = 0 1 
∑ �� = 0 ∴ �� − � + �� = 0 ∴ �� + �� = � 2 
∑ � � = 0 ∴ ∴ �� �l −
�l
�
= 0 3 
a 
 
50 
 
Assim: �� =
�l
��
l
=
�
2
 
Logo: �� = � − �� = � −
�
2
=
�
�
 
 
Momentos fletores: 
� � = � � = 0 
� � = �� �
l
�
=
�l
�
 
Significado: 
 Pelo D.F.C. vemos que próximo dos apoios as cortantes são maiores, por 
esta razão os estribos tem espaçamento menor. 
51 
 
 Pelo D.M.F. vemos o momento máximo que será responsável pela 
armadura principal (longitudinal). 
 D.F.C.  Diagrama de Força Cortante 
 D.M.F.  Diagrama de Momento Fletor 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS RESOLVIDAS 
Para as vigas isostáticas a seguir, pede-se: 
a) Reações de apoio; 
b) Diagramas. 
1) 
 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + �� = 9 t 
∑ M � = 0 ∴ ∴ 10V� − 6x7− 2x4− 1x2 = 0 
52 
 
10�� = 52 �� ∴ �� = �,� � � �� = �,� � 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = �� �3 = ��,� �� 
� � = �� �6 − 6�3 = ��,� �� 
� � = �� �2 = �,� �� (Sinal trocado) 
 Ou 
Pelas áreas do D.F.C: � � = � � = � 
� � = �� = ��,� �� 
 
� � = � � + á��� = 15,6 − 2,4 = ��,� �� 
 
� � = �� = �,� �� (Sinal trocado) 
 
2) 
 
 
 
 
53 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + �� = 10 t 
∑ M � = 0 ∴ ∴ − 1x10+ 8V� − 4x7− 3x3+ 2x2 = 0 
8�� = 10 + 28 + 9 − 4 = 43 �� ∴ �� = �,�� � 
�� = �,�� � 
 
 
 
54 
 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = − 1�2 = − � �� 
� � = − 1�3 + �� �1 = �,�� �� 
� � = − 1�7 + �� �5 − 4�4 = �,� �� 
� � = − 2�2 = − � �� 
Ou 
Por área do D.F.C. 
M � = M � = 0 
 
� � = á��� = − 2�1 = − � �� 
 
� � = � � + á��� = − 2 + 4,38 = �,�� �� 
 
� � = � � + �� = 2,38 + 0,38�4 = �,� �� 
 
� � = − á��� = − 2�2 = − � �� 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
3) 
 
 
 
 
Reações de Apoio: ���� ��°= �,�� � � ���� ��°= �,� � 
∑ H � = 0 ∴ H � − 5 cos60°= 0 ∴ �� = 2,5 � 
∑ V� = 0 ∴ V� + �� = 5sen 60°+ 7 + 2 + 3 = 16,35 t 
∑ M � = 0 ∴ ∴ 13V� − (5��� 60°�10)− 7x6− 2x2+
+ 3x1 = 0 
13�� = 86,5 �� ∴ �� = �,�� � � �� = �,� � 
 

 F
o
rç
a
 N
o
rm
a
l 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C
o
m
p
re
ss
ã
o
 
 
56 
 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = �� �3 = 6,65�3 = ��,�� �� 
� � = �� �7 − (5��� 60°)�4 = 6,65�7 − 4,35�4 = ��,�� �� 
� � = − 3�3 + �� �2 = − 9 + 9,7�2 = ��,� �� 
� � = − 3�1 = − � �� 
OBS: 
 Os momentos também podem ser calculados pelas áreas do D.F.C 
 D.F.N  Diagrama de Força Normal 
VIGA EM BALANÇO – CARGA CONCENTRADA 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� = � 
∑ M � = 0 ∴ ∴ − M � + Pl = 0 ∴ − M � = − Pl 
� � = �l 
 
57 
 
Momentos Fletores: 
M � = − M � = − Pl e M � = 0 
 Equação tipo: � = �� (reta) 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS RESOLVIDAS 
Calcular as vigas abaixo: 
a) Reaçõesde Apoio; 
b) Diagramas. 
1) 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ − 2 − 4 + V� = 0 ∴ V� = � �� 
∑ M � = 0 ∴ ∴ − 2x5− 4x2+ M � = 0 ∴ M � = �� ��� 
58 
 
Momentos Fletores: � � = � 
� � = − 2�3 = − 6 ��� 
� � = − � � = − 18 ��� 
2) 
 
Reações de Apoio: ���� ��°= �� e ���� ��°= �,��� 
∑ H � = 0 ∴ H � + 5,22 = 0 ∴ H � = − 5,22 t (Sentido contrário do que 
foi arbitrado) 
∑ V� = 0 ∴ V� = � � 
∑ M � = 0 ∴ ∴ − M � + 3x2+ 4x5= 0 ∴ M � = �� �� 
Momentos Fletores: � � = − � � = − �� �� 
� � = − 4�3 = − 12 �� e � � = 0 
 
Tração 
 
59 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nº 02 
Para as vigas isostáticas pede-se: 
a) Reações de Apoio; 
b) Diagramas. 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
 Algumas Respostas: 
1) �� = 8,8 �� ; � ��� = − 6 ��� em B ; � � = 0,8 ��� 
2) � � = 13 ��� ; D.F.C no trecho BC 
3) �� = 4,5 � ; D.M.F no trecho BC 
 
 
 
60 
 
VIGA BIAPOIADA – CARGA UNIFORMEMENTE 
DISTRIBUÍDA 
 
Reações de Apoio: como a carga �l se localiza no meio do vão, não 
há necessidade de aplicar as 3 equações universais do equilíbrio. Chamamos isto 
de simetria. Logo: 
�� = 0 e �� = �� =
�l
�
 
Momentos Fletores: � � = � � = 0 
Quando � = 0 → � ��� em vigas biapoiadas com ou sem balanço 
Assim: � ��� = área =
�l
�
�
l
�
�
=
�l
2
�
 
 
61 
 
 Observe caro aluno(a), que a equação do � ��� é do 2º grau, logo o traçado 
é de uma curva (Parábola). 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS RESOLVIDAS 
Dada as vigas isostáticas abaixo, pede-se: 
a) Reações de Apoio; 
b) Diagramas. 
1) 
 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + V� = �� � 
∑ � � = � ∴ ∴ − ��� + ��� − ���,� − ��� + ��� + + ��� = � 
8V� = 63,5 tm ∴ �� = �,�� � e V� = �,�� � 
 
62 
 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = − 2�1 = − 2 �� 
� � = − 2�4 + �� �3 − 3�1,5 = 11,32 �� 
� � = − 2�1 − 1�2 = − 4 �� 
“Observe que onde há carga distribuída, o traçado é curvo.” 
Ou (Por áreas do D.F.C) 
 
� � = � � = 0 ;� � = á��� = − 2�1 = − 2 �� 
 
� � = � � + á��� = − 2 + �
�,��� �,��
�
��3 = 11,32 �� 
 
� � = − á��� = − �
�� �
�
��2 = − 4 �� 
 
Ao olhar para a direita troquei o sinal 
 
2) 
 
 
 
 
63 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + V� = 18 t 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ���,� − ��� − ��� + ��� = � 
9V� = 46,5 tm ∴ �� = �,�� � e V� = ��,�� � 
Ou 
∑ � � = � ∴ ∴ ���,� + ��� + ��� − ��� + ���� = � 
− 9V� = − 115,5 t e V� = ��,�� � 
 
Só para dizer e provar que podemos aplicar a 3ª equação em relação ao 
ponto A. 
 
 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = �� �3 − 3�1,5 = ��,�� �� 
� � = − 6�2 = − �� �� 
Ou (Por áreas do D.F.C) 
M � = M � = 0 
 
� � = �� = �
�,��� �,��
�
��3 = 11,01 �� 
 
� � = − á��� = − 2�6 = − 12 �� 
 
 
 
 
64 
 
 
3) 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + V� = 22 t 
∑ � � = � ∴ ∴ − ���� + ���� − ��� − ��� + ��� = � 
11V� = 148 tm ∴ �� = ��,�� � e V� = �,�� � 
 
65 
 
 
Momentos Fletores: (Por áreas do D.F.C) 
� � = � � = 0 ; � � = − 3�6 = − 18 �� 
� � = − 18 + 7,45�5 = 19,25 �� 
� � = − �
���
�
� = − 2 �� 
 
 
66 
 
4) 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + V� = 30 KN 
� � � = � ∴ ∴ ��� − ���,� − ��� − ���,� − ��� + ���,�
= � ∴ 
∴ 8V� = 122,5 KNm ∴ �� = ��,�� �� e V� = ��,�� �� 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = �� �3 − 9�1,5 = ��,�� ��� � � = − 3�1,5 = − �,� ��� 
 
67 
 
� � = − 3�3,5 + �� �2 − 2�1 = ��,�� ��� 
5) 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + V� = 15 t 
∑ � � = � ∴ ∴ − ���� − ��� + ��� − ��� − ��� + ���,� +
+ ��� = � 
8V� = 48,5 tm ∴ �� = �,�� � e V� = �,�� � 
Momentos Fletores: � � = � � = � ; � � = − ��� − ��� = − � �� 
� � = − 2�4 − 2�3 + �� �2 = − �,�� �� 
� � = − 3�6 − 3�4,5 + �� �3 = − �,�� �� 
 
68 
 
� � = − 3�1,5 − 3�3 = − ��,� �� 
VIGA EM BALANÇO – CARGA UNIFORMEMENTE 
DISTRIBUÍDA 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� = pl 
∑ � � = � ∴ ∴ − �l
l
�
+ � � = � ∴ � � =
�l�
�
 
Momentos Fletores: � � = � 
� � = − � � = −
�l�
2
� (Equação do 2º grau) 
 
69 
 
 Parábola 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS RESOLVIDAS 
Calcular para as vigas abaixo, as reações de apoio, traçando também os 
diagramas: 
1) 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ �� = �� �� 
∑ � � = � ∴ ∴ − � � + ��� + ��� + ���� = � 
� � = �� ��� 
Momentos Fletores: 
� � = − � � = − �� ��� 
 � � = 0 
 
70 
 
� � = − 12�2 = − �� ��� 
2) 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ �� = � �� 
∑ � � = � ∴ ∴ − ��� − ���,� + ��� + � � = � 
� � = ��,� ��� 
Momentos Fletores: � � = � 
� � = − 2�3 − 9�1,5 = − 19,5 ��� 
� � = − � � + �� �1 = − 41,5 ��� 
 
71 
 
� � = − � � = − 47,5 ��� 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nº 03 
Para as vigas isostáticas a seguir, pede-se: 
a) Reações de Apoio; 
b) Diagramas 
1) 
 
Algumas respostas: �� = �,� � 
 
Força Cortante no trecho AB 
 
Momento Fletor no trecho CA 
2) 
 
Algumas respostas: �� = �� �� 
 
Força Cortante no trecho BC 
 
 
 
 
 
72 
 
Momento Fletor no trecho AB 
3) 
 
Algumas respostas: � � = �,�� �� ← � � = − � ��� 
4) 
 
Algumas respostas: �� = ��,�� ��; � � = ��,�� ��� 
 
D.F.C no trecho CA 
5) 
 
Algumas respostas: �� = �,�� �; � ��� = �,�� �� 
O � ��� está a 0,64 m a esquerda de B 
 
 
 
73 
 
� ��� = − 16 �� em A 
COMO SÃO TRAÇADOS OS DIAGRAMAS 
 
Carga D.FC D.M.F 
 
C.C. 
 
 
C.D. 
 
 
C.C. + C.D. 
 
C.C. = Carga Concentrada 
C.D. = Carga Uniformemente Distribuída 
 
MÁXIMAS DA ENGENHARIA 
 
“Onde houver tração que eu leve armadura.” 
 
 
 
 
 
74 
 
“Pré-moldado e balanço, são iguais a limão em suco de laranja: pode colocar 
um pouco, mas se colocar demais, azeda.” 
“Lajes em balanço não tem pai nem mãe, são sós no mundo.” 
“Curar um concreto não significa deixar secar ao sol.” 
 
ATIVIDADES Nº 01 
 
1) Para a viga biapoiada com balanço abaixo, podemos afirmar: 
a) O momento fletor no apoio A é, na maioria das vezes, negativo. 
b) No vão AB o momento fletor é, na maioria das vezes, positivo. 
c) O momento máximo ocorre quando a cortante se anula. 
d) Na extremidade C o momento é nulo. 
e) A força cortante próxima dos apoios A e B é mínima. 
 
 
75 
 
 
Assinale a alternativa mais apropriada: 
I. A, B, C e D 
II. A, B e C 
III. B, C e D 
IV. C, D e E 
V. B, C e E 
 
2) Em muitas construções vê-se trincas nas proximidades dos apoios. O que 
pode ter ocorrido? 
 
 
 
 
a) Cálculo incorreto da força cortante originando tensões de 
cisalhamento mais elevadas que as normativas. 
b) Insuficiência de armadura transversal (estribo e/ou ferro dobrado) 
nestes pontos. 
c) Armadura longitudinal de combate aos momentos fletores insuficiente. 
76 
 
d) Armadura dos estribos e/ou ferros dobrados com diâmetro inferior ao 
calculado. 
e) Armadura longitudinal com diâmetro inferior ao calculado. 
 
Considerando as afirmações acima, assinale a alternativa mais 
apropriada: 
 
1) C, D e E 
2) D e E 
3) A, B e D 
4) A, D e E 
5) Todas as alternativas são apropriadas 
 
3) Todo estudante de engenharia sabe da importância das forças normal e 
cortante, bem como do momento fletor no cálculo estrutural. 
Podemos afirmar:a) A força normal de tração tende a encurtar a peça. 
b) O momento fletor de uma viga é combatido com armadura 
longitudinal. 
c) Onde houver tração, que eu leve armadura. 
77 
 
d) A armadura transversal (estribo e/ou ferro dobrado) combate a 
força cortante. 
e) O alongamento de uma peça é provocado pela força de tração. 
Assinale a alternativa correta: 
1) A, B e C 
2) A, B, D e E 
3) B, C e D 
4) B, C, D e E 
5) C, D e E 
 
4) A viga em balanço da figura abaixo, bem como sua deformação, 
encontra-se em marquises: 
 
 
 
78 
 
Podemos afirmar: 
a) A armadura principal é posicionada na parte inferior. 
b) O momento máximo se encontra no engaste. 
c) No apoio, a cortante é máxima. 
d) Onde há tração, ali estará a armadura. 
e) Compressão se combate com concreto 
 
Assinale a alternativa correta: 
1) A, B e C 
2) A, C, D e E 
3) B, D e E 
4) B, C, D e E 
5) C, D e E 
 
5) Em 04 de fevereiro de 1971, o Pavilhão da Gameleira, espaço a ser 
destinado a feiras e exposições, onde se localiza hoje a Expominas, em 
Belo Horizonte, desabou deixando 65 mortos e 50 feridos. 
Considerado o maior acidente da construção civil brasileira, até então, 
muitas causas foram apontadas como as principais. Segundo 
especialistas: 
79 
 
a) Pressa na entrega da obra por pressão do governador. 
b) Retirada antecipada dos escoramentos. 
c) Falha nas fundações com ruptura do terreno. 
d) Falta de projeto construtivo. 
e) Opinião ignorada pelos engenheiros sobre o alerta de fissuras e 
“estalos” nos alicerces, dada pelos operários da obra. 
 
Você que é estudante de engenharia, assinale a alternativa que julga ser 
mais correta: 
1) A, B e C 
2) A, B, C e E 
3) B, C, D e E 
4) C, D e E 
5) A, C e E 
 
 
 
 
 
80 
 
VIGAS GERBER ISOSTÁTICAS 
 
Prezados(as), até agora estudamos as seguintes vigas isostáticas: 
 
 
 
Se associarmos estas vigas de acordo com a numeração, estaremos na 
presença das Vigas Gerber Isostáticas, comumente utilizadas para vencer 
grandes vãos, como pontes, passarelas e viadutos. A numeração acima diz 
respeito a ordem de resolução das mesmas, que deve ser obedecida. 
 
Vejamos uma exemplificação: vamos supor que queiramos construir uma 
ponte de concreto armado, que deverá se apoiar sobre 4 pilares. 
Apresentamos duas soluções: 
 
81 
 
SOLUÇÃO CONVENCIONAL 
 
SOLUÇÃO EM VIGA GERBER 
 
 
 
Rio Profundo 
Ver detalhe 
Rio Profundo 
Cola Epóxi 
Cabos de Aço 
Detalhe 
82 
 
Na solução convencional para a execução da superestrutura da ponte, 
seríamos obrigados a escorar simultaneamente todo o volume compreendido sob 
o tabuleiro da ponte, escoramento este que, dependendo da velocidade do rio e 
de sua profundidade, pode tornar-se extremamente difícil, caro e até mesmo, 
arriscado no trecho BC. 
 
Na solução em Viga Gerber, a execução pode ser feita em separado dos 
trechos ABE, EF e FCD, com o que poderíamos escorar inicialmente o trecho 
ABE e concretá-lo, a seguir transferiríamos o escoramento para o trecho FCD 
que seria posteriormente concretado, e finalmente, usando os próprios trechos 
ABE e FCD, já executados, como apoios, concretaríamos a vigota EF, 
encerrando a execução da estrutura. 
 
Convém observar: a vigota EF pode ser pré-fabricada e lançada através 
de uma treliça. 
 
Sob o ponto de vista construtivo, a solução em Viga Gerber é a mais 
adequada no caso, pois não envolverá risco algum no vão BC durante a 
construção, além de reduzir o volume de material para escoramento a quase 1/3 
do necessário para a solução convencional. A solução em Viga Gerber trará ainda, 
83 
 
sob o ponto de vista estrutural, a vantagem de reduzir as forças horizontais nos 
pilares devidas a variações de temperatura e a retração do concreto. 
 
Assim, conceituando Vigas Gerber: associações de vigas biapoiadas, 
vigas biapoiadas com balanço(s) e vigas engastadas numa extremidade e livre 
na outra ligadas por meio de articulações ou rótulas. 
 
CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS DAS VIGAS GERBER: 
 
1) O número de rótulas (articulações) é igual ao número de apoios internos. 
2) O momento fletor nas rótulas é nulo. 
3) Na resolução das Vigas Gerber, deve-se substituir cada rótula por um 
apoio considerando a seguinte ordem de resolução: 
 
 
84 
 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS RESOLVIDAS 
Para as vigas Gerber isostáticas a seguir, pede-se: 
a) Esquema Estrutural; 
b) Reações de Apoio; 
c) Diagramas 
1) 
 
 
 
Solução: Esquema Estrutural 
 
85 
 
VÃO AC 
 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 4 � 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ��� = � ∴ �� =
��
�
= �,� � 
�� = � − �� = � − �,� = �,� � 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = �� �1 = 1,6 �� 
Quando � = � → � ��� 
Abscissa � =
�,� �
�� �⁄
= 2,4 � 
� ��� = �
�,���,�
�
� = 2,88 �� 
VÃO CDF 
 
 
86 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + V� = 4,6 t 
∑ � � = � ∴ ∴ − �,��� + ��� − ��� = � 
��� = ��,� �� �� = �,�� � e �� = �,�� � 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = − 1,6�2 = − 3,2 �� 
� � = + ���3 = 2,91 �� 
 
2) 
 
 
87 
 
Solução: Esquema Estrutural: 
 
VÃO DEF 
 
Reações de Apoio: ∑ �� = � ∴ �� + �� = � � 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ��� + ��� = � ∴ ��� = � �� 
�� = �,� � e �� = �,� � 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = − 2�1 = − 2 �� 
Quando � = � → � ��� � ��� = �
�,� ��,�
�
� = �,�� �� 
Abscissa � =
�,� �
�� �⁄
= 1,5 � 
VÃO AD 
 
 
88 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� = 4,5 t 
∑ � � = � ∴ ∴ − � � + ��� + ���,� + �,��� = � 
− � � = − 16 �� ∴ � � = 16 �� 
Momentos Fletores: � � = − � � = − �� �� 
� � = − � � + �� �2 = − 7 �� 
� � = − 1,5�1 − 1�0,5 = − 2 �� 
� � = 0 
 
3) 
 
 
89 
 
Solução: Esquema Estrutural: 
 
VÃO DF 
 
Reações de Apoio: �� = �� =
�
�
= �,� � 
Momentos Fletores: � � = � � = �;� � = �� �� = �,� �� 
VÃO ACD 
 
Reações de Apoio: ∑ �� = � ∴ �� + �� = ��,� � 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ��� − ��� − ��� + ��� + �,��� = � 
4V� = 9 tm ∴ V� = 2,25 t e V� = 10,25 t 
 
90 
 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = �� �2 − 2�1 = 2,5 �� 
� � = − 2,5�2 − 2�1 = − 7 �� 
 
VÃO FGI 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� + V� = 8,5 t 
∑ � � = � ∴ ∴ − �,��� + ��� − ��� = � 
3V� = 18,5 �� ∴ �� = 6,17 � e �� = 2,33 � 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = − 2,5�2 = − 5 �� 
� � = ���1 = 2,33 �� 
 
 
 
91 
 
4) 
 
Solução: Esquema Estrutural: 
 
VÃO DF 
 
Reações de Apoio: 
 
V� = V� =
4
2
= 2 KN 
92 
 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = �� �2 = 4 ��� 
VÃO ABCD 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
V� = V� =
�
�
= 2 KN 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = − 2�1 = − 2 ��� 
� � = − 2�1 = − 2 ��� 
VÃO FGI 
 
Reações de Apoio: ∑ �� = � ∴ �� + �� = � �� 
∑ � � = � ∴ ∴ − ��� + ��� − ��� = � 
4�� = 16 ��� ∴ �� = 4 �� e �� = 1 �� 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = − 2�1 = − 2 ��� 
� � = ���2 = 2 ��� 
 
93 
 
5) 
 
 
 
Solução: Esquema Estrutural: 
 
 
94 
 
VÃO ABC 
 
Reações de Apoio: ∑ �� = � ∴ �� + �� = � � 
∑ � � = � ∴ ∴ − ��� + ��� − ��� = � 
��� = �� + � = �� �� �� = � � e 
 �� = � � 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = 2�2 = − 4 �� 
Quando � = � → � ��� 
Abscissa �� =
� �
�� �⁄
= 1 � 
� ��� = �
���
�
� = 0,5 �� 
VÃO CDE 
 
 
95 
 
Reações de Apoio: ∑ �� = � ∴ �� + �� = � � 
∑ � � = � ∴ ∴ − ��� − ��� + ��� − ��� ,� = � 
��� = ��,� �� ∴ �� = �,�� � e �� = �,�� � 
Momentos Fletores: � � = � � = � 
� � = − 1�2 −2�1 = − 4 �� 
Quando � = � → � ��� 
Abscissa �� =
�,�� �
�� �⁄
= 0,17 � 
� ��� = �
�,����,��
�
� = 0,01 �� 
VÃO EF 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ V� = 0 ∴ V� = 4,17 t 
∑ � � = � ∴ ∴ − �,���� − ��� + � � = � 
� � = 8,68 �� 
Momentos Fletores: � � = � 
� � = − � � = − 8,68 �� 
 
 
96 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nº 04 
Dada as Vigas Gerber a seguir pede-se: 
a) Esquema Estrutural; 
b) Reações de Apoio; 
c) Diagramas. 
1) 
 
Algumas Respostas: 
�� = − 0,25 � �� = 0,05 � 
2) 
 
Algumas Respostas: 
� � = 43 �� em A �� = 19 � 
 
97 
 
3) 
 
Algumas Respostas: 
 �� = 4,44 � 
 
4) 
 
Algumas Respostas: 
�� = 7,65 � �� = 8,4 � 
 
 
 
 
 
 
 
 
98 
 
MÁXIMAS DA ENGENHARIA 
“Dimensionar fundações sem sondagem, não dá.” 
“Nunca trate um projeto de pequeno porte como se fosse um projeto 
pequeno. Ele merece tanta atenção quanto as maiores obras.” 
“Tenha argumentos técnicos, para defender o seu projeto. Evite a pérola: 
‘Eu sempre fiz assim.’.” 
 
ATIVIDADES Nº 02 
 
1) Desejando-se transpor uma via de tráfego intenso, a prefeitura de uma 
cidade do sudeste brasileiro abriu uma concorrência envolvendo 
empresas de cálculo estrutural para o projeto e cálculo de um viaduto. 
Uma destas empresas apresentou a proposta de um viaduto em Viga 
Gerber apoiado em quatro pilares conforme croquis abaixo: 
 
 
 
99 
 
As justificativas apresentadas para a utilização da Viga Gerber foram: 
a) Não utilização de escoramento no vão da via. 
b) Economia no escoramento dos trechos ABE e FCD. 
c) Redução das forças horizontais nos pilares devido à retração do 
concreto e às variações de temperatura. 
d) Pré-fabricação da vigota EF. 
Assinale a alternativa mais apropriada: 
1. A e B 
2. A e C 
3. A, B, C e D 
4. C e D 
5. A, B e C 
2) 
 
 
A Viga Gerber acima é comumente utilizada quando se quer vencer 
100 
 
grandes vãos com economia. Sobre a Viga Gerber, podemos afirmar: 
a) Na rótula D, o momento fletor é nulo. 
b) Resolve-se em primeiro lugar a viga biapoiada DC. 
c) O trecho ABD recebe a reação de apoio da viga biapoiada DC, em 
sentido contrário. 
d) É uma estrutura de fácil resolução, pois envolve apenas equações 
do equilíbrio. 
e) Constrói-se primeiramente a viga biapoiada DC. 
 
Assinale a alternativa mais apropriada: 
 
1. A, B e C 
2. A, B, C e D 
3. A, B, C e E 
4. B, C, D e E 
5. C, D e E 
 
 
 
101 
 
3) A figura abaixo representa o D.F.C de uma Viga AB. Traçar o D.M.F. 
 
 
 
 
 
 
 
4) Em estruturas foram criados apoios teóricos que se reduzem a maioria 
dos apoios reais encontrados na prática. Os apoios indicam por meio de 
suas reações, os movimentos permitidos e impedidos de uma estrutura. 
102 
 
Para o apoio representado abaixo pode-se afirmar: 
a) Associamos este apoio a um apoio móvel. 
b) Não há nenhum movimento permitido. 
c) Associamos este apoio a um apoio fixo. 
d) Este apoio se associa a um engaste. 
e) Poderá a viga sofrer movimento de rotação. 
 
Assinale a alternativa mais apropriada: 
1. A, B e C 
2. A, C e D 
3. B, C, D e E 
4. B e D 
5. C, D e E 
103 
 
5) Assinale o D.M.F da Viga Gerber abaixo: 
 
A. 
 
B. 
 
C. 
 
D. 
 
E. 
 
104 
 
QUADROS ISOSTÁTICOS 
 
CONCEITUAÇÃO 
Quadros isostáticos ou quadros simples são estruturas não – lineares 
contínuas formadas por uma barra horizontal e duas barras verticais. 
 
CLASSIFICAÇÃO 
De modo geral classificamos os quadros em dois grupos: 
 
QUADROS SIMÉTRICOS 
 
Para resolvê-lo basta determinar � � ou � � , pois � � = � 
105 
 
QUADROS ASSIMÉTRICOS 
 
Para resolvê-lo calculamos � � ≠ � e com esta reação os momentos 
� � e � � 
CONVENÇÃO DE SINAIS 
 
FORÇA NORMAL 
 
N ⊥ SEÇÃO 
V ∕∕ SEÇÃO 
FORÇA 
CORTANTE 
106 
 
MOMENTOS FLETORES 
 
 
107 
 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS 
Para os quadros abaixo, pede-se: 
a) Reações de apoio; Diagrama de Corpo Livre. 
b) Normais, cortantes e fletores com diagramas. 
1) 
 
SOL.: 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ 2 − �� = 0 ∴ �� = 2 � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 0 ∴ �� = − �� 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� + ��� = � 
 ��� = − � �� 
 �� = − � � e �� = + � � 
 
 
108 
 
Diagrama de Corpo Livre 
 
 
�� → � = + 1 � 
�� → � = − 2 � 
�� → � = − 1 � 
 
�� → � = 0 
�� → � = − 1 � 
�� → � = + 2 � 
 
N ⊥ SEÇÃO 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
 
109 
 
 
Momentos Fletores (M) 
 
 � � = 0 � � = 0 
 �� �� 
 � � = 0 � � = − 6 �� 
 � � = − 2�3 = 
 = − 6 �� 
�� 
 
 � � = 0 
 
 
 
110 
 
2) 
 
SOL.: 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ �� − 4 = 0 ∴ �� = 4 � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 2 � 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ��� = � 
 ��� = �� �� ∴ �� = �,�� � 
 �� = � − �� = � − �,�� = − �,�� � 
 
 
 
 
111 
 
Diagrama de Corpo Livre 
 
 
 
�� → � = − 6,67 � 
�� → � = − 4 � 
�� → � = + 4,67 � 
 
 �� → � = − 4 � 
 �� → � = + 6,67 � 
 �� → � = 0 
 
 
N ⊥ SEÇÃO 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
 
 
112 
 
 
 
Momentos Fletores (M) 
 
 
 � � = 0 
 �� 
 � � = − 4�5 = 
 = − 20 �� 
 � � = − 20 �� 
�� 
 � � = 0 
 � � = 0 
�� 
 � � = 0 
 
 
 
113 
 
3) 
 
 
SOL.: 
 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ �� − 3 = 0 ∴ �� = 3 � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 5 � 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ���,� − ��� = � 
��� = ��,� �� ∴ �� = �,� � 
 �� = �,� � 
 
114 
 
Diagrama de Corpo Livre 
 
 
 
�� → � = − 3,7 � 
�� → � = − 3 � 
�� → � = − 1,3 � 
 
 
�� → � = − 3 � 
 �� = 3,7 � 
�� → 
 �� = 3,7 − 5 = − 1,3 � 
�� → � = + 3 � 
 
N ⊥ SEÇÃO 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
 
 
115 
 
 
Momentos Fletores (M) 
 
 � � = 0 
 �� 
 � � = − 3�4 = − 12 �� 
 � � = − 12 �� 
�� 
 � � = − 6 �� 
 � � = − 3�2 = − 6 �� 
�� 
 � � = 0 
 
 
 
 
116 
 
4) 
 
 
SOL.: 
 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ �� − 6 = 0 ∴ �� = 6 � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 4 � 
∑ � � = � ∴ ∴ − ��� − ���,� ∴ − ��� = �� �� 
 �� = − �,�� � e �� = � − �� = � + �,�� = �,�� � 
 
 
117 
 
Diagrama de Corpo Livre 
 
 
�� → � = − 9,25 � 
�� → � = − 6 � 
�� → � = + 5,25 � 
 
 
�� → � = − 6 � 
�� → � = 9,25 − 4 = + 5,25 � 
 �� = + 6 � 
�� → 
 �� = 0 
 
N ⊥ SEÇÃO 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
 
118 
 
 
Momentos Fletores (M) 
 
 � � = 0 
 �� 
 � � = − 6�5 = − 30 �� 
 � � = − 30 �� 
�� 
 � � = − 9 �� 
 � � = − 6�1,5 = − 9 �� 
�� 
 � � = 0 
 
 
 
 
 
119 
 
 
5) 
 
SOL.: 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ 12 − �� = 0 ∴ �� = 12 � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 6 � 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ���� − ��� = � 
 ��� = �� �� ∴ �� = � � 
�� = 6 − �� = 6 − 9 = − 3 � 
 
 
 
120 
 
Diagrama de Corpo Livre 
 
 
�� → � = − 9 � 
�� → � = − 12 � 
 
 
 �� = 0 
�� → 
 �� = − 12 � 
 �� = 9 � 
�� →�� = 9 − 6 = 3 � 
N ⊥ SEÇÃO 
 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
121 
 
 
Momentos Fletores (M) 
 
 � � = 0 
 �� 
 � � = − 12�2 = − 24 �� 
 � � = − 24 �� 
�� 
 � � = 0 
 
 
122 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nº 05 
Para os quadros abaixo, pede-se: 
a) Reações de Apoio; 
b) Diagrama de Corpo Livre; 
c) Normais, cortantes e fletores com diagramas. 
1) 
 
Algumas respostas: � � = � �� 
�� → � = − 2 �� 
�� → � = + 2 �� 
 � � = − 2 ��� 
�� 
 � � = − 6 ��� 
2) 
 
 
123 
 
Algumas respostas: �� = �,�� �� 
 
3) 
 
Algumas respostas: � � = � � 
 
124 
 
4) 
 
Algumas respostas: �� = �,� �� �� → � = − �,� �� 
 � � = − 24 ��� 
�� �� → �� = 8,6 �� 
 � � = 0 
5) 
 
Algumas respostas: �� = − �,�� �� �� → � = − �,�� �� 
 � � = − 8 ��� 
�� → � = 1,33 �� �� 
 � � = 0 
 
 
125 
 
QUADROS TRIARTICULADOS 
CONCEITUAÇÃO 
Conceitua-se quadro Triarticulado a estrutura não-linear contínua 
formada por uma barra horizontal e duas barras verticais, ligadas por articulação 
(rótula). 
Estes quadros são resolvidos do mesmo modo que os quadros isostáticos. 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS 
Para os quadros triarticulados a seguir, pede-se: 
a) Reações de Apoio; 
b) Diagrama de Corpo Livre; 
c) Normais, cortantes, fletores com diagramas. 
1) 
 
126 
 
SOL.: 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 0 ∴ �� = − �� 1 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 10 � 2 
∑ � � = � ∴ ∴ ���� − ���,� − ���,� = � 
 ���� = �� �� ∴ �� = � � 3 
 
3 em 2 ∴ �� = 10 − �� = 10 − 5 = � � 
� �
� = � ∴ ∴ ��� − �� � − ���,� = � 
− 4�� = 24,5 − 7�5 = − 10,5 �� 
 �� = �,��� � 4 
4 em 1 ∴ �� = − �,��� � 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
 
 
127 
 
 
�� → � = − 5 � 
�� → � = − 2,625 � 
�� → � = − 5 � 
 
 
�� → � = − 2,625 � 
 �� = 5 � 
�� → 
 �� = 5 − 7 − 3 = − 5 � 
�� → � = + 2,625 � 
 
Momentos Fletores (M) 
 
N ⊥ SEÇÃO 
 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
128 
 
 � � = 0 
 �� 
 � � = − 2,625�4 = − 10,5 �� 
 � � = − 10,5 �� 
�� 
 � � = − 10,5 �� 
 � � = − 2,625�4 = − 10,5 �� 
�� 
 � � = 0 
 
2) 
 
 
 
 
129 
 
SOL.: 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ 8 + �� + �� = 0 ∴ �� + �� = − 8 � 1 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 3 � 2 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� + ��� − ��� = � ∴ ��� =
− �� �� 
 �� = − �,�� � 3 
 
3 em 2 ∴ �� = 3 − �� = 3 + 2,17 = �,�� � 
� �
� = � ∴ ∴ ��� − �� � − ��� = � 
− 4�� = 16 − 3�� = 16 − 3(− 2,17)= 22,51 �� 
 � � = − �,�� � 4 
4 em 1 ∴ �� = − 8 − �� = − 8 − (− 5,63) = − �,�� � 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
 
130 
 
 
 
 
�� → � = + 2,17 � 
�� → � = + 5,63 − 8 = − 2,37 � 
�� → � = − 5,17 � 
 
 
 
 �� = + 5,63 � 
�� → 
 �� = 5,63 − 8 = − 2,37 � 
 �� = − 2,17 � 
�� → 
 �� = − 2,17 − 3 = − 5,17 � 
N ⊥ SEÇÃO 
 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
131 
 
�� → � = + 2,37 � 
 
Momentos Fletores (M) 
 
 � � = 0 
 �� 
 � � = + 5,63�4 − 8�2 = 6,52 �� 
 � � = 6,52 �� 
�� 
 � � = − 9,48 �� 
 � � = − 2,37�4 = − 9,48 �� 
�� 
 � � = 0 
 
 
132 
 
 
3) 
 
SOL.: 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� − 8 + 5 = 0 ∴ �� + �� = 3 �� 1 
133 
 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 24 �� 2 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − � � �� + ��� − ����,� −
����,� − − ��� = � ∴ ��� − � � = − �� + �� + �� + �� =
�� ��� 3 
 
� �
� = � ∴ ∴ ��� − �� � − ��� − ����,� = � 
 ��� − �� � = �� �� 4 
3 e 4 ∴ 6�� − �� = 78 ��� 
 3�� − 5�� = 28 ��� �(− 2) 
 6�� − �� = 78 ��� 
 − 6�� + 10�� = − 56 ��� 
 9�� = 22 ��� �������������������������������������� 
 �� = �,�� �� 5 
 5 em 1 ∴ �� = 3 − �� = 3 − 2,44 = �,�� �� 
 5 em 3 ∴ 6�� − �� = 78 ��� 
 ∴ 6�� = �� + 78 = 2,44 + 78 = 80,44 ��� 
�� = ��,�� �� 6 
 6 em 2 ∴ �� = 24 − �� = 24 − 13,41 = ��,�� �� 
 
 
 
134 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
 
 
 
 
�� → � = − 13,41 �� 
�� → � = − 2,44 − 5 = − 7,44 �� 
�� → � = − 10,59 �� 
 
 
N ⊥ SEÇÃO 
 
135 
 
 
 
 �� = − 2,44 �� 
�� → 
 �� = − 2,44 − 5 = − 7,44 �� 
 �� = 13,41 �� 
�� → 
 �� = 13,41 − 12 − 12 = − 10,59 �� 
 
 �� = − 0,56 + 8 = 7,44 �� 
�� → 
 �� = − 0,56 �� 
 
 
 
 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
 
136 
 
Momentos Fletores (M) 
 
 � � = 0 
 �� 
 � � = − 2,44�5 − 5�2 = − 22,22 ��� 
 
 � � = − 22,22 ��� 
�� 
 � � = − 13,76 ��� 
 � � = 0,56�4 − 8�2 = − 13,76 ��� 
�� 
 � � = 0 
 
137 
 
 
4) 
 
SOL.: 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ 6 + �� + �� = 0 ∴ �� + �� = − 6 � 1 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 12 � 2 
∑ � � = � ∴ ∴ ���� + ��� − ���� = � 
���� = − �� + �� = �� �� 
�� = � � 3 
 
138 
 
 
3 em 2 ∴ �� = 12 − �� = 12 − 5 = � � 
� �
�
= � ∴ ∴ − �� � = � ∴ � � = � 4 
 
4 em 1 �� + 0 = − 6 � 
�� = − � � 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
 
 
 
�� → � = − 5 � 
 
N ⊥ SEÇÃO 
 
139 
 
�� → � = + 6 − 6 = 0 
�� → � = − 7 � 
 
 
 
 �� = + 6 � 
�� → 
 �� = + 6 − 6 = 0 
 �� = 5 � 
�� → 
 �� = 5 − 12 = − 7 � 
 
 
�� → � = 0 
 
 
Momentos Fletores (M) 
 
V ∕∕ SEÇÃO 
 
140 
 
 
 � � = 0 
 �� 
 � � = 6�6 − 6�4 = 12 �� 
 � � = 12 �� 
�� 
 � � = 0 
 � � = 0 
�� 
 � � = 0 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nº 06 
Para os quadros triarticulados pede-se: 
a) Reações de Apoio; 
b) Diagrama de Corpo Livre; 
c) Normais, Cortantes e Fletores com diagramas. 
1) 
 
141 
 
 
Algumas respostas: � � = � � 
�� → � = − 3,13 t 
 
2) 
 
142 
 
Algumas respostas: �� = − �,�� � 
 
3) 
 
Algumas respostas: �� = �,� �� 
�� → � = − 3,6 KN 
 �� = 2,4 KN 
�� → 
 �� = 2,4 − 6 = − 3,6 KN 
 � � = 0 
�� → 
 � � = 0143 
 
ATIVIDADES Nº 03 
 
1) A figura abaixo mostra um quadro isostático com balanço: 
 
 
Pode-se afirmar: 
 
a) O apoio B impede translações. 
b) O momento no balanço DE vale � ��l� 
c) O traçado do D.M.F nas barras horizontal e vertical é curvo. 
d) A reação horizontal � � vale � � e atua da direita para a 
esquerda. 
e) Na resolução desta estrutura não podemos separar as barras 
horizontal e vertical. 
144 
 
Assinale a alternativa correta: 
1. A, B e C 
2. A, B e D 
3. A, C e E 
4. B, C e D 
5. B, C e E 
 
2) Visando o equilíbrio, as reações de apoio da estrutura a seguir, são: 
a) �� = 5 �� → ; �� = 4 �� ; �� = 1,5 �� 
b) �� = 2 �� → ; �� = 3 �� ; �� = 3,5 �� 
c) �� = 3 �� → ; �� = 6,5 �� ; �� = − 2,5 �� 
d) �� = 7 �� → ; �� = 5,5 �� ; �� = 2,5 �� 
 
145 
 
3) Para o sistema triarticulado abaixo, calcular as reações de apoio: 
 
 
4) Determinar as reações de apoio para o triarticulado abaixo: 
 
146 
 
5) As reações de apoio da estrutura abaixo, são: 
a) �� = 6,25��������⃗ �→ ; �� = 6,25��������⃗ � ; �� = 5 � ; �� = 5 � 
b) �� = 5�⃗ �→ ; �� = 5�⃗ � ; �� = 10 � ; �� = 5 � 
c) �� = 6,25�⃖������� � → ; �� = 6,25��������⃗ � ; �� = 10 � ; �� = 10 � 
d) �� = 10����⃗ � → ; �� = 10 �⃖����� ; �� = 5 � ; �� = 5 � 
e) �� = 6,25��������⃗ � → ; �� = 6,25�⃖������� � ; �� = 10 � ; �� = 10 � 
 
 
MÁXIMAS DA ENGENHARIA 
“Laje em balanço deve ter, pelo menos 12 cm, mesmo sob pequenos 
esforços.” 
“A pressa passa, a merda fica.” 
“Engenheiros com 1-2 anos de formados devem ser fiscalizados com 
atenção. Ainda não ganharam indecisão, como diz Adélia Prado.” 
147 
 
TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 
 
1) CONCEITUAÇÃO 
Treliças são estruturas formadas de várias barras articuladas nas suas 
extremidades e com carregamento nas articulações. 
 
Neste tipo de estrutura só teremos esforços normais de tração + e 
compressão - . 
As treliças são muito utilizadas quando se quer vencer grandes vãos: 
coberturas de galpões, postos de gasolina, etc. 
Para o cálculo das barras de uma treliça iremos utilizar dois métodos: 
Método de Ritter e Método da Viga de Substituição. 
 
2) MÉTODO DE RITTER 
O Método de Ritter se baseia na passagem de seções que cortem um 
determinado número de barras. 
148 
 
Seja a treliça abaixo: 
 
 
Vamos supor que queiramos calcular os esforços normais nas barras 
6 , 7 e 8 . Cortando a treliça nestas barras por uma seção S-S indicada 
abaixo, nada se alterará sob o ponto de vista estático, se substituirmos as barras 
cortadas pelos esforços normais nelas atuantes: 
 
Para calcular �� ; �� e �� aplicamos as três equações universais do 
equilíbrio  ∑ � � = � ; ∑ �� = � ; ∑ � � = � 
149 
 
Assim: 
 
�� → ∑ � � � = � ; sendo D’ o ponto onde concorrem as outras duas 
barras �� e �� cortadas pela seção S-S; 
 
�� → ∑ � � = � ; sendo C o ponto onde concorrem as outras duas 
barras �� e �� cortadas pela seção S-S; 
 
�� → ∑ �� = � ; pois não há ponto comum entre as outras duas 
barras cortadas pela seção S-S (�� e ��) 
 
3) REGRAS GERAIS 
 
 Escolher seções que cortem no máximo três barras não paralelas 
nem concorrentes no mesmo ponto; 
 As seções escolhidas podem ter formas quaisquer (não 
precisando ser retas), desde que sejam contínuas, pois sua 
única obrigação é atravessar toda a treliça; 
 As barras cortadas pela seção devem ser consideradas positivas 
(saindo da seção). 
 
 
150 
 
4) APLICAÇÕES NUMÉRICAS 
4) .1 Calcular os esforços normais nas barras da treliça abaixo: 
 
Sol.: Aplicando a regra Nº 01, vamos cortar três barras não 
paralelas nem concorrentes no mesmo ponto. 
 
Seção �� − �� → ��; �� e �� (Observe que marcamos as barras saindo da 
seção para atender a regra Nº 03  Tração (saindo da seção) 
151 
 
�� → ∑ � � = 0 → � Ponto onde concorrem as outras duas barras 
(�� e ��) cortadas pela seção �� − �� 
∑ � � = � ∴ ∴ − ���� = � ∴ �� = � 
 
Observe que a única força situada acima de �� − �� (2 t) passa por B, 
gerando momento nulo. 
�� → ∑ �� = 0 → Não há ponto comum entre �� e �� 
 
 
(PITÁGORAS) 
 
cos� =
� �
�,�� �
= 0,83 
Sendo assim: ∑ �� = 0 ∴ 2 − �� cos� = 0 
2 = ���0,83 
 �� =
� �
�,��
= 2,41 � TRAÇÃO 
 
�� → ∑ � � = 0 → � Ponto onde concorrem as outras duas barras 
(�� e ��) cortadas pela seção �� − �� 
 
 (Barra denominada 
preguiçosa) 
���� =
adjacente
hipotenusa
 
 
�� = �� + ��
= �� � � 
 � = �,�� �
152 
 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� + ��� = � 
 ��� = − � �� ∴ �� = − �,�� � 
 COMPRESSÃO 
 
Seção �� − �� → ��; �� e �� 
 
 
 �� → ∑ � � = 0 → 2x2+ ��x3 = 0 ∴ � � = − 1,33 � 
�� → ∑ �� = 0 → 2 + 3 + �� = 0 ∴ � � = − 5 � 
 COMPRESSÃO 
�� → ∑ � � = 0 → 2x2− 3�� = 0 ∴ 3N� = 4 �� 
D  Ponto onde concorrem as outras duas barras (�� e ��) cortadas pela seção 
�� − �� 
N � =
� ��
� �
= 1,33 � TRAÇÃO 
 
153 
 
Seção �� − �� → ��; �� e �� 
 
�� → ∑ � � = 0 ∴ mesmo valor da seção anterior 
�� → ∑ �� = 0 ∴ 2 + 3 − �� cos� = 0 
5 = ���0,83 ∴ �� = 6,02 � 
O ângulo não mudou 
 
�� → ∑ � � = � ∴ ∴ ��� + ��� + ��� = � 
 ��� = − �� �� ∴ �� = − �,�� � 
E assim por diante 
Observe prezado(a) aluno(a) que a única barra que não podemos 
calcular por meio de uma seção uma vez que não atende a Regra Nº 01 é a 
barra 1 . 
Para calcular esta barra devemos isolar um dos nós A ou B e verificar o 
equilíbrio. 
Recomenda-se isolar o nó que não tenha barra inclinada. 
 
154 
 
Assim: �� → equilíbrio em torno do nó A 
 
∑ �� = 0 ∴ 2 + �� = 0 ∴ �� = − 2 � 
Observe que �� atendeu a Regra Nº 03 
 
4) .2 Calcular os esforços normais nas barras 4 , 5 e 6 da treliça em 
balanço abaixo: 
 
 
 
SOL.: 
Seção �� − �� → ��; �� e �� 
 
155 
 
�� → 
 
 
�� → ∑ �� = 0 ∴ − �� − 6 = 0 ∴ − �� = 6 � 
 �� = − 6 � 
 
 
�� → ∑ � � � = � ∴ ∴ ��� + ��� = � 
 ��� = − �� �� 
 �� = − �� � 
 
�� também poderá ser calculado pela seção �� − �� 
�� → ∑ � � = � ∴ ∴ − ���� + ��� = � 
 − ���� = − �� �� 
 �� = + �� � 
 
 
 
156 
 
�� → seção �� − �� 
 
 
 
 
�� → ∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ��� = � 
 �� = ��� 
 �� = + � � 
 
 
 
 
 
 
 
157 
 
MÉTODO DE RITTER 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS 
1) Para a treliça abaixo pede-se o cálculo das forças normais nas barras: 2; 
3 e 4 . 
 
2) Para a treliça abaixo, calcular os esforços normais nas barras: 1 , 4 , 
5 e 6 . 
 
Alguma Resposta: 
�� = + 2,5 � 
Alguma Resposta: 
�� = − 2 � 
158 
 
MÉTODO DA VIGA DE SUBSTITUIÇÃO 
O Método da Viga de Substituição é um caso particular do Método de 
Ritter, válido apenas para treliças de altura constante. 
Seja a treliça de altura constante abaixo: 
 
Substituindo a treliça por uma viga com mesmo carregamento e mesmo 
vão teremos: 
 
159 
 
 
MOMENTOS FLETORES POR ÁREA DO D.F.C: 
� � = � � = 0 ; � � = 1,5��� = 1,5�� 
� � = � � + 0,5��� = 2�� ; � � = 1,5��� = 1,5�� 
Vamos obter fórmulas que nos permitirão calcular as barras O, U e D: 
 
RITTER  SEÇÃO S-S 
�� → ∑ � � = 0 ∴ ∴ 2��� − � 2⁄ �� + ���ℎ = 0 
mas: 2��� − � 2⁄ �� = 1,5�� = � � 
 
160 
 
Assim: � � + ���ℎ = 0 ∴ �� = −
��
�
 
Generalizando: U 
� = −
�
�
 M eD 
�� → � � � � = 0 ∴ ∴ 2��2� − � 2⁄ �2� − �� − ���ℎ = 0 
mas: 2��2� − � 2⁄ �2� − �� = 2�� = � � 
Assim: � � − ���ℎ = 0 ∴ �� = +
��
�
 
Generalizando: O 
� = +
�
�
 M e 
 D 
� � → ∑ �� = 0 ∴ 2� − � 2⁄ − � + ����� � = 0 
mas: 2� − � 2⁄ − � = 0,5� = ��� (Força Cortante) 
Assim: ��� + ����� � = 0 ∴ �� = −
���
��� �
 
Observe que a diagonal se voltou para a direita, resultou então - 
Se a diagonal voltasse para a esquerda, teríamos: 
 
 
��� − ����� � = 0 
161 
 
e �� = +
���
��� �
 
Generalizando, então: 
 |�|=
�
��� �
 
 com seção 
BARRA V 
 sem seção 
Com seção: �� e �� (RITTER) 
Sem seção: �� ; �� e ��  (Equilíbrio de Nós) 
��  Nó A’ 
∑ �� = 0 ∴ − � 2⁄ − �� = 0 
�� = − � 2⁄ 
 
��  Nó D 
∑ �� = 0 ∴ �� = 0 
 
��  Igual a �� (Simetria) 
 
 “Convém ressaltar que as fórmulas das barras O, U e D são válidas com 
carregamento superior ou inferior e também carregamento alternado.” 
 
162 
 
MÉTODO DA VIGA DE SUBSTITUIÇÃO 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS 
Para as treliças de altura constante a seguir obter os esforços normais 
em suas barras: 
1) 
 
Sol.: 
VIGA DE SUBSTITUIÇÃO CORRESPONDENTE: 
 
163 
 
Reações de Apoio: 
∑ �� = 0 ∴ �� = 0 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 15 � 
∑ � � = � ∴ ∴ ��� − ��� − ��� − ��� − ��� = � 
 8�� = 62 �� �� = �,�� � e �� = �,�� � 
Momentos Fletores: (Por área do D.F.C) 
� � = � � = 0 ; � � = 5,75�2 = 11,5 �� 
� � = � � + 2,75�2 = 17 �� ; � � = 6,25�2 = 12,5 �� 
Cálculo das barras O, U e D: 
M  Momento na viga de substituição 
no ponto onde concorrem U e D. 
 
�� = −
��
�
= −
��,� ��
� �
= − ��,� � 
�� = −
��
�
= − ��,� � 
�� = −
��
�
= −
�� ��
� �
= − �� � 
�� = −
��
�
= −
� ��
� �
= � (PREGUIÇOSA) 
M  Momento na viga de substituição 
no ponto onde concorrem O e D. 
 
� = −
�
ℎ
 
� = +
�
ℎ
 
164 
 
�� = +
��
�
=
� ��
� �
= � (PREGUIÇOSA) 
�� = +
��
�
= + �� � 
�� = +
��
�
= +
�� ��
� �
= + ��,� � 
�� = +
��
�
= + ��,� � 
Q  Força cortante na viga de substituição 
no trecho onde se localiza a diagonal. 
 
�  Ângulo que a diagonal faz com a horizontal 
 
“Os sinais serão analisados caso a caso” 
 
Vamos em 1º lugar calcular o seno de � 
 
 
 
��� � =
������
����������
=
� �
�,�� �
= �,�� 
|�|=
�
��� �
 
PITÁGORAS 
ℎ� = 1� + 2� = 5 � � 
ℎ = 2,24 � 
165 
 
�� = −
���
��� �
= −
�,�� �
�,��
= − ��,�� � 
�� = +
���
��� �
= +
�,�� �
�,��
= + �,�� � 
�� = −
���
��� �
= −
�,�� �
�,��
= − �,� � 
�� = +
���
��� �
= +
�,�� �
�,��
= + ��,�� � 
 
 A 1ª Diagonal (� �) terá sempre o sinal contrário ao sinal da 
força cortante, para que haja equilíbrio. 
 
 Observe a 2ª Diagonal (� �); ela mudou sua inclinação em relação a 1ª; 
mas não mudou o sinal da força cortante no segundo trecho (bc), logo 
havendo só uma mudança quer na inclinação da diagonal, quer 
no sinal da força cortante, mudamos o sinal anterior; era – na 
diagonal � �; passa então a ser + na 2ª diagonal, � �. 
 
 
 A diagonal (� �) não mudou sua inclinação em relação a 2ª diagonal, 
mas mudou o sinal da força cortante do trecho (bc) + para – trecho 
(cd), sendo assim uma mudança, mudamos o sinal da diagonal anterior; 
era + na � � passa a ser – na � �. 
 
166 
 
 Finalmente observamos que a diagonal � � mudou sua inclinação em 
relação a anterior (� �), mas o sinal da cortante continuou o mesmo do 
trecho anterior ( - ); o que se conclui: uma mudança troca-se o sinal 
anterior, de – na � � para + na � �. 
 
 
BARRAS V – CÁLCULO 
Dois casos podem ocorrer conforme teoria anterior: 
��  Por seção (Conforme Ritter) 
��; ��; �� e ��  Sem seção (Equilíbrio de Nó) 
 
�� → ∑ �� = 0 ∴ 7,75 − 2 − 3 − 5 − �� = 0 
− 2,25 − �� = 0 
�� = − �,�� � 
 
167 
 
��  Equilíbrio do nó A 
 
��  Equilíbrio do nó B’ 
 
��  Equilíbrio do nó D 
 
��  Equilíbrio do nó E’ 
 
 Notar que todas as barras V foram marcadas com sendo de tração, 
saindo da seção, (Barra ��) e saindo dos nós (��; ��; �� e ��) 
conforme regra de Ritter. 
∑ �� = 0 ∴ 7,75 + �� = 0 
�� = − �,�� � 
∑ �� = 0 ∴ − 3 − �� = 0 
�� = − � � 
∑ �� = 0 ∴ �� = � 
(PREGUIÇOSA) 
∑ �� = 0 ∴ − 1 − �� = 0 
�� = − � � 
168 
 
2) 
 
Sol.: 
VIGA DE SUBSTITUIÇÃO CORRESPONDENTE: 
 
169 
 
Reações de Apoio: ∴ ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ �� = 0 ∴ �� + �� = 15 � 
∑ � � = � ∴ ∴ − ���� − ���� + ��� − ��� − ��� =
� �� = ��,�� � 
 9�� = 156 �� 
 �� = 15 − �� = 15 − 17,33 = − �,�� � 
Momentos Fletores: � � = � � = � (Por áreas do D.F.C) 
� � = − 4�3 = − 12 �� 
� � = � � − 10�3 = − 12 − 30 = − 42 �� 
� � = − 4,33�3 − 2,33�3 = − 19,98 �� = − 20 �� 
� � = − 2,33�3 = − 6,99 �� = − 7 �� 
Barras O, U e D: 
 
 
 
�� = −
��
�
= −
(� �� �� )
� �
= + � � 
�� = −
��
�
= −
(� �� �� )
� �
= + �� � 
�� = −
��
�
= + �� � 
�� = −
��
�
= −
(� �� �� )
� �
= + �� � 
 
� = −
�
ℎ
 
170 
 
 
 
 
�� = +
��
�
= +
� ��
� �
= � (PREGUIÇOSA) 
�� = +
��
�
= +
(� �� �� )
� �
= − � � 
�� = +
��
�
= +
(� �� �� )
� �
= − �� � 
�� = +
��
�
= +
(� � �� )
� �
= − �,� � 
�� = +
��
�
= − �,� � 
 Para o cálculo de �� consideramos a existência da barra �� e da barra 
�� que são nulas (Preguiçosas) e foram retiradas sem comprometer a 
estrutura. 
 
 
 
 
 
 
� = +
�
ℎ
 
[�] =
�
��� �
 
171 
 
 
 
��� � =
������
����������
=
� �
�,�� �
= 0,55 
 
�� = +
���
��� �
= +
� �
�,��
= + 7,27 � 
�� = +
���
��� �
= +
�� �
�,��
= + 18,18 � 
�� = +
���
��� �
= +
�,�� �
�,��
= + 13,33 � 
�� = +
���
��� �
= +
�,�� �
�,��
= + 7,87 � 
�� = −
���
��� �
= −
�,�� �
�,��
= − 4,24 � 
 
BARRAS V 
 
Com seção: �� e �� 
Sem seção: ��; �� e �� 
 
PITÁGORAS 
ℎ� = 2� + 3� = 13 � � 
ℎ = 3,61 � 
172 
 
�� e �� 
 
Seção �� − �� → �� e Seção �� − �� → �� 
∑ �� = 0 ∴ − 4 + �� = 0 ∴ �� = � � 
∑ �� = 0 ∴ 2,33 + 2 − �� = 0 ∴ �� = �,�� � 
(Troquei de sinal pois olhei à direita) 
�� → Nó A 
 ∑ �� = 0 ∴ �� = � 
(PREGUIÇOSA) 
�� → Nó C’ 
 ∑ �� = 0 ∴ �� = � 
(PREGUIÇOSA) 
�� → Nó E’ 
 ∑ �� = 0 ∴ �� = � 
(PREGUIÇOSA) 
 
 
 
173 
 
3) 
 
Sol.: 
VIGA DE SUBSTITUIÇÃO CORRESPONDENTE: 
 
Reações de Apoio: ∑ � � = � ∴ � � = � 
∑ �� = 0 ∴ �� = �� �� 
∑ � � = � ∴ ∴ − � � + ��� + ��� + ��� + ��� =
� 
 
174 
 
 − � � = − �� ��� ∴ � � = �� ��� 
Momentos Fletores: 
� � = − � � = − �� ��� 
� � = − � � + ���2 = − 44 ��� 
� � = − 5�4 − 2�2 = − 24 ��� 
� � = − 5�2 = − 10 ��� 
� � = 0 
Cálculo das Barras O, U e D: 
 
 
 
�� = −
��
�
= −
(� �� ��� )
� �
= + �� �� 
�� = −
��
�
= + �� �� 
�� = −
��
�
= −
(� �� ��� )
� �
= + �� �� 
�� = −
��
�
= + � �� 
 
 
 
�� = +
��
�
= +
(� �� ��� )
� �
= − �� �� 
� = −
�
ℎ
 
� = +
�
ℎ
 
175 
 
�� = +
��
�
= +
(� �� ��� )
� �
= − �� �� 
�� = +
��
�
 = +
(� �� ��� )
� �
= − � �� 
�� = +
��
�
= − � �� 
 
 
ℎ� = 2� + 2� = 8 � � 
ℎ = 2,83 � ��� � =
������
����������
=
�
�,��
= 0,71 
 
�� = −
���
��� �
= −
�� ��
�,��
= − 16,90 �� 
�� = +
���
��� �
= +
�� ��
�,��
= + 14,08 ���� =
���
��� �
=
� ��
�,��
= 9,86 �� 
�� = −
���
��� �
= −
� ��
�,��
= − 7,04 �� 
 
 
 
[�] =
�
��� �
 
176 
 
BARRAS V 
Observe que a barra V2 pode ser calculada por seção, uma vez que 
atende a regra Nº 01 de Ritter. 
Sendo assim, todas serão calculadas por equilíbrio de nós. 
�� → Nó B’ 
 ∑ �� = 0 ∴ �� = � 
(PREGUIÇOSA) 
 
�� → Seção �� − �� 
 ∑ �� = 0 ∴ 12 − 2 − 3 − �� = 0 
�� = + � �� 
 
 
 
�� → Nó D 
 ∑ �� = 0 ∴ �� = 0 
 (PREGUIÇOSA) 
 
�� → Nó E 
 ∑ �� = 0 ∴ �� = 0 
 (PREGUIÇOSA) 
 
 
 
 
 
177 
 
MÉTODO DA VIGA DE SUBSTITUIÇÃO 
APLICAÇÕES NUMÉRICAS 
Calcular os esforços normais nas barras das treliças de altura constante 
abaixo: 
1) 
 
Algumas respostas: �� = �,�� � 
�� = − 5,75 t ; �� = + 5,25 t ; �� = − 8,1 t ; �� = 0 
2) 
 
Algumas respostas: �� = �,�� � 
�� = − 12,5 t ; �� = 0 ; �� = − 5 t ; �� = + 1,67 t 
178 
 
ATIVIDADES Nº 04 
 
1) 
 
 
A figura acima é de uma treliça. Podemos afirmar: 
a) As barras desta estrutura são perfis metálicos sujeitos a força normal. 
b) As barras com esforços nulos são denominadas preguiçosas. 
c) As barras destas estruturas sofrem esforços normais de tração e 
compressão. 
d) Os esforços normais de tração tendem a encurtar a peça. 
e) Os esforços normais de compressão tendem a alongar a peça. 
Assinale a alternativa correta: 
1. A, B e C 
2. B, C, D e E 
3. C, D e E 
4. A, B, C e D 
5. D e E 
179 
 
2) Os esforços normais nas barras 3 ; 7 e 11 da treliça abaixo são: 
 
a) �� = − 5 �� �� = − 4 �� ��� = − 1 �� 
b) �� = − 5 �� �� = + 4 �� ��� = + 1 �� 
c) �� = + 5 �� �� = + 4 �� ��� = − 1 �� 
d) �� = + 5 �� �� = − 4 �� ��� = + 1 �� 
e) �� = + 5 �� �� = + 4 �� ��� = − 1 �� 
 
 
 
180 
 
3) Calcular os esforços normais nas barras 3 ; 10 e 12 da estrutura abaixo: 
 
4) Determinar o valor da altura h da viga em treliça abaixo de modo que 
nenhum esforço de tração ou de compressão em qualquer barra 
horizontal ultrapasse 4,5 t. 
 
5) Os esforços normais nas barras 1 ; 5 e 13 da treliça abaixo, são: 
a) �� = − 0,5 �� �� = + 8,5 �� ��� = + 3 �� 
b) �� = − 0,5 �� �� = + 5 �� ��� = − 3 �� 
181 
 
c) �� = − 0,5 �� �� = − 2 �� ��� = + 3 �� 
d) �� = + 3 �� �� = + 5 �� ��� = − 5 �� 
e) �� = + 0,5 �� �� = − 5 �� ��� = − 3 �� 
 
 
MÁXIMAS DA ENGENHARIA 
“Estruturas devem ser concebidas como se fosse projetar e calcular a 
própria mãe.” 
“Se a obra estiver andando e ninguém teve nenhuma dúvida, melhor dar 
uma olhada nela.” 
“Muitas vezes, um pilar a mais, é melhor que uma transição perigosa.” 
“A faculdade de Engenharia não nos ensina a criar, apenas a calcular. 
Aprendamos, pois com os arquitetos, afinal, somos também arquitetos, 
só que de estruturas.” 
182 
 
SINCEROS AGRADECIMENTOS 
 
 
AOS KENNEDYANOS: 
 
 UBIRAJARA ALVIM CAMARGOS por sua palestra “ERROS EM 
ENGENHARIA” de onde foram retirados vários itens. 
 
 MIGUEL NAJAR DE MORAES por seu “DISCURSO DE 
FORMATURA” de onde foram retirados vários itens. 
 
 EULÁLIA MARIA TOMAZ DE LIMA pela edição da apostila. 
 
 Ao ENGENHEIRO DE ESTRUTURAS ANTÔNIO CARLOS REIS 
LARANJEIRAS de onde foram retiradas as “MÁXIMAS DA 
ENGENHARIA” do seu “179 LIÇÕES QUE APRENDI COMO 
PROJETISTA DE ESTRUTURAS”. 
 
 
 
MUITO OBRIGADO!